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(シローの定理) 群Gの位数がpemであり,素数pがmを割らないとき,Gは位数peの部分群を持つ。それらをシローp部分群と呼ぶ。シローp部分群は互いに共役であり,その数はpを法として1に合同である。Gの部分群で位数がpの冪であるものは何れかのシローp部分群に含まれる。 (ホールの定理) 可解群Gの位数がmnであり,mとnとが互いに素で あるとき,Gは位数mの部分群を持つ。mの素因数を集合πで表し,それらをホールπ部分群と呼ぶ。ホールπ部分群は互いに共役である。Gの部分群で位数がmを割るものは何れかのホールπ部分群に含まれる。 可換群の場合 可換群の場合は可換群の基本定理から容易に導かれる。可換群Gを素数冪位数の群の直積に分解し,その直積因子から位数がpの冪であるものを集めればシローp部分群Pになる。GがPと異なるシローp部分群Qを持てば,PQがPより大きいp部分群になってGの位数を割り切らない。即ち,Gのシローp部分群は唯一である。 可換群の基本定理に依存しない証明を与える。Gを最小位数の反例とする。帰納法を二重に使うことになるが,まずはGが位数pの元を持つことを示す。単位元以外のGの元を任意に取ってaとする。aの位数がpで割り切れるときはb=a|a|/pの位数がpになる。aの位数が素数pで割り切れなければ,aiを(ai)pに移す写像は単射であり,かつ鳩の巣の原理により全射である。aが生成する部分群をAとし,位数pのG/Aの元をgAとすれば,gpA = (gA)p = A である。従い,gpaj = 1 となるjがあり,gp(ai)p = 1 となるiがあり,b=gaiの位数がpになる。 以上により,位数pの元b∈Gの存在が示された。bが生成する部分群をBとし,G/Bのシローp部分群をP/Bとすれば,PがGのシローp部分群になる。 証明 Gを最小位数の反例とし,ZをGの中心とする。Gが可換な場合については既に示してあるから,ZはGより真に小さいと仮定してよい。Zの位数がpで割り切れれば,AをZのシローp部分群,P/AをG/Aのシローp部分群とすれば,PがGのシローp部分群になる。従い,Gの中心の位数はpで割り切れないと仮定してよい。 G自身のGへの共役作用による軌道分解を考える。Zに属する元の軌道は各一点のみからなる。他の軌道の指数は2以上であるが,|G|−|Z|がpの倍数ではないからpで割られない指数の軌道が存在し,その軌道の任意の一点の固定群はGよりも小さく,シローp部分群を持つ。それがGのシローp部分群にもなる。 Gの任意のシローp部分群Pの共役類の集合をSとし,PのSへの共役作用による軌道分解を考える。 S={gPg−1 | g∈G} P(Q)={pQp−1 | p∈P} Sの元はGのシローp部分群である。P(Q)={Q}はPQ=QP≤Gを意味するが,P=QでなければPQの位数がpeを超えてしまう。従い,P(P)以外の軌道の指数はpの冪である。即ち,Sの元の数はpを法として1に等しい。一方,Rを任意のシローp部分群としてRの共役作用によるSの軌道分解を考えれば指数1の軌道が必ずある。それをR(Q′)とすれば先と同じくRQ′≤Gであり,RQ′の位数が矛盾しないためにはR=Q′でなければならない。即ち,RはSに属する。 別証明 これは上と同工異曲である。Gを最小位数の反例とし,ZをGの中心とする。Gが可換な場合については既に示してあるから,ZはGより真に小さいと仮定してよい。Gの真部分群Hの指数がpで割り切れないときは,Hのシローp部分群がGのシローp部分群になる。従い,Gの部分群の指数は必ずpで割り切れると仮定してよい。 G自身のGへの共役作用による軌道分解を考える。Gの中心Zに属する元の軌道は一点のみからなり,他の軌道は二点以上からなるが,二点以上からなる軌道に属する点の固定群の指数は先に示したようにpの倍数である。従い,二点以上からなる軌道に属する点の数は全てpの倍数であり,Zの位数もpの倍数でなければならない。AをZのシローp部分群,P/AをG/Aのシローp部分群とすれば,PがGのシローp部分群になる。 フラッチニ論法 群Gが正規部分群Hを持ち,Hがシローp部分群Pを持つと仮定する。 任意のg∈Gについてg−1Pg≤g−1Hg=Hであるから,g−1PgはHのシローp部分群になる。シローp部分群は互いに共役であるから,g−1Pg=h−1Phとなるh∈Hがあり,gh−1∈NG(P)となる。g∈NG(P)Hであるが,gは任意であるから結論としてG=NG(P)Hを得る。これをフラッチニ論法という。
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xに関する方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解を持ちます。素数pの値を求めてください。(03,千葉) に関する方程式,が整数解をもつような素数を求める. 整数解をaとすると、が成り立つ。 pについてくくり出せるような形に整理すると よって、p=5またはaの素因数。 (i)p=5のとき、 a=1,3であるからxは整数解を持つことより適する。 (ii)pがaの素因数であるとき、 とおける。(kは整数) これを代入して、 ∴k=1,3,-1,-3 これらについて考えていくと、k=-1のときp=2。これが適する。 以上より、p=2,5 by meganelover
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基礎計算 倍数/約数倍数 bに対しnに因る乗算数値a 約数 aに対しnに因る除算数値b 因数/素数因数 約数が3以上の整数 素数 約数が2の整数 例外 0/1 変数/方程式変数 可変を伴う任意の数値/x 方程式 変数構成を伴う等価式/y=ax 単項式/多項式/整式単項式 加減算不在の式 多項式 加減算構成を伴う式/複数の単項式に因り構成 整式 単項式/多項式総称 係数 変数に対する乗/除算定数 四則計算 多項式計算における制約最左項因り計算 加減乗除の混在に対し乗除を優先し計算 括弧全般における内部項に対し優先し計算 加法の計算法則交換法則 結合法則 乗法の計算法則交換法則 結合法則 分配法則 乗法公式1. 2. 3. 4. 5. 6. 等式特性同数の加/減/乗/除算に対し等式成立
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カメラ屋のジャンク箱を覗いたらNFD 35-105mm F3.5 のカビ玉が 500円で置いてあったので早速購入した。 前から開けようとしたが、コップのヘリに両面テープをつけて 飾り環に渾身の力で押し付けて回しても外れてくれない。 fd3.JPG 方針を変更して、鏡筒の滑り止めゴムをずらしていく。 距離環と前群ユニットは粘着テープでとめられていて、 テープを外して距離環を下にずらすと、 こんなモノが見えてきた。 真ん中に見えるのが最小距離と無限遠の回り止め。 これを外して、ヘリコイドをまわすと前群が外れる。 ちょうど外れた両側のレンズ面にカビが生えていたので、 レンズクリーナと中性洗剤で除去、エーテルで拭き仕上げ。 カビ痕は残ったが、ずいぶんましになったのでよしとする。 ヘリコイドを外すときにはマーキングが必須。 うっかり忘れて戻すのに苦労した。 -
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NO.1 囚人の問題(現在、画像が見れません) ~難易度☆☆☆★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 15 58 28.10 ID 5I6I7NRy0 囚人が4人、図のような配置で密室に閉じ込められている。 4人の囚人にはそれぞれ赤の帽子2つ、白の帽子2つのうちどちらか一つがかぶせられ、 囚人達には自分がどの色の帽子をかぶせられているかはわからない。 囚人Aは、他の3人とは壁で隔離されている。 囚人B、C、Dは図のような形(階段)で配置されている。 それぞれの向いている方向は、帽子のつばの方向である。 このような状況の中、誰か1人でも自分の帽子の色を言い当てられれば全員釈放されるという。 なお、囚人同士がコンタクトを取ることは禁止されていて、歩いたり振り向いたりしてもいけない。 自分の帽子の色を確実に答えられる囚人が1人いる。それは誰か? imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 解答 +... 2 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16 04 06.01 ID LLycoVswO Dが答えなければBCは赤白、白赤のどっちかだからCがBの帽子を見ればいい 解説 Dは、BとCの帽子の色が見えるのでDが一番他の人の帽子の色が把握できるのでDを中心に考える。 Dがはっきりと答えられる時、BとCが同じ色である必要がある。 もし、BとCが違う色の帽子だとDは、赤の可能性も白の可能性もある。 逆に言えば、Dがはっきりと答えられない時は、BとCが違う色の帽子だということが分かる。 ここで、CがBの帽子の色をみることが出来るからCが正確な色を答えることが出来る。 この問題で、重要な所は、答えられない時という場合を考えること。 答えられる人を答える問題で答えられない場合という裏の事象を考えることが、ポイント。 NO.1-2 囚人問題の拡張 ~難易度☆★★★★ +... 問題 15 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16 40 26.40 ID I6O875Gd0 赤色の帽子と白色の帽子が無数に用意されていると考えよう。 そしてとあるパーティーに参加した人全員に、 どちらかの帽子を自分の帽子の色が見えないようにかぶせた。 そして「少なくとも一人は赤色の帽子をしている。」 というヒントを全員に言い、自分の帽子の色を推測してもらった。 そしてしばらくすると全員が「自分は赤色の帽子をしている。」と答えた。 さてこのパーティーに参加している人は最大で何人か。また、 その場合どう推理して自分の帽子の色を導きだしたか答えなさい。 予想解答 +... 何人でも出来る。 予想解説 小さい数で検証すると 一人→明らか。 二人→二人とも答えられないなら互いに赤色であると分かる。 三人→左からABCとして白白赤の時、Cの人が答えることが出来る。 また、白赤赤の時、Cの人が答えられないのでBが赤と答えられる。 もし、赤赤赤の時、BもCも答えないためAが赤であると分かる。対称性からBとCも答えられる。 n人→A1,A2,A3,…,Anとする。 それらn個の内、A1~Ak人までが赤い帽子だとする。 K=1の時、A1が赤い帽子だとわかる。 K=2の時、A1が赤い帽子だと答えられないためA2が赤い帽子だとわかる。(同様に、A1もわかる) K=3の時、A1,A2が赤い帽子だと答えられないためA3が赤い帽子だとわかる。(同様にA1,A2もわかる) 同様にして、K=nの時、Anが答えられる。(同様にA1~Anもわかる) また、この時Anを基準に考えるのと他のAkを基準に考えるのは、同じことなので全ての人が答えることが出来る。 任意のnについていえるので、何人でも出来る。 NO.2 サミットなぞなぞ ~難易度☆☆☆☆★ +... 問題 18 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 16 45 06.57 ID izYeSP9G0 世界金融サミットの途中、地震が起こった。 この中で真っ先に『助けて!』と叫んだのはどこの国の代表? +... 解答 日本 解説 真っ先に飛び出す言葉が、日本語であるということは母国語が日本語であるはずである。 故に日本。 NO.3 幼女問題 +... 問題 31 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/25(土) 17 58 45.05 ID AfEwRMHPO 線分ABの間に同じ学校で同学年の5人の幼女が、AかBの方向を向いて立っている。 幼女は自分が何組かは知らないが、自分より前にいる幼女が何組かは知らされている。 幼女は自分が何組か確実にわかったら次の日に学校に来てはいけないが、 わからなかったら次の日も学校に 来て前日と同じ場所で同じ方向を向かなければならない。 幼女は各組から1人以上来てることを初日に知らされている。 その他にも5人がどちらの方向を向いているかと、その日に誰が来ているかがわかるが、 それ以外の情報は 伝わらないとする。 5人の幼女は自分の学年に何組まであるのか知らないのに、2日目以降一人ずつ減っていき 6日目に誰も来なくなった。 5人の幼女がかなり頭が良く、全員確実にわかったから来なかったとして、 幼女はそれぞれ何組でどちらの方向を向いていたか。 ただし幼女は組が数字で連番であるということを知っていたものとする。 解答 +... 24351 42315 →→→←← a c e d b 数字=組 矢印=向き アルファベット=順番 上記の解は2-6組などの場合も考慮しているものと思われる。以下は1組から連番だと仮定した場合の解。 「幼女は各組から1人以上来てる」をどう解釈するかによる。 http //bipblog.com/archives/3590535.html ※372 以下、VIPにかわりましてBIPがお送りします 2011年10月12日 23 03 ▼このコメントに返信 もーわからんくなってプログラムかいた 解は18個。対称性があるから実質9個、1組と2組の交換がきくのがあるから実質6個 A4→ B5→ C2→ D3→ E1→ ABCDEの順に確定 A3→ B2→ C4→ D1→ E2← ABECD A3→ B4→ C1→ D2← E2→ ABCDE A[21]→ B4→ C3→ D[12]← E5← ADBEC A5→ B[21]→ C3→ D4← E[12]← EBDAC A3→ B4→ C[12]→ D[21]← E4← ADBCE ※360は全部正解ですね ※28は4日目にどちらも2組の可能性が残るのでアウト 最終的にはプログラムで検証していたが、人力で3つまでは解が出ていた。 NO.4 数当てゲーム ~難易度☆★★★★ +... 問題 14 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 00 00 11.09 ID VuhyMesuO 出題者がAとBの二人に別々に自然数を伝えた後、こういった。 「2以上の相異なる2つの自然数に対し、Aにはその積を、Bにはその和を伝えた。」 A「私には元の二つが何か分かりません。」 B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」 A「ほほう、ならば分かりました。」 B「そうですか、それならば私にも分かりました。」 AとBの会話から、元の2自然数を決定しなさい。 ただし、それらはともに20以下であると仮定してよい(A, Bの知る限りではない)。 解答 +... 4と13 予想解説 17 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 13 53 08.68 ID Boluhyw10 それぞれ、p,qとする。 Aは、pqを知り。Bは、p+qを知っている。 Aが分かる条件は、pqが二素数積。 BがAが必ず分からないということが分かる条件は、 p+q=kと固定して、この時のpqが"全て"三素数以上の積であることが必要。 kが偶数だとpq=素数^2が、現れるためkは奇数 。これらをふまえてkの値の候補を定めると k=(11,17,23,27,29,33,37)…(つまりk-2が合成数) この条件からAが分かったということは、pqをあらわすp+qがkである組が一組しか存在しない。 つまりpq=2^n×奇素数で表される数である。(n≧2) これより、p+q=2^n+奇素数であり、(2^n,奇素数)またそれがひとつに定まる。 (p,q)の候補は、以下の通り (4,3)(4,5)(4,7)(4,11)(4,13)(4,17)(4,19) (8,3)(8,5)(8,7)(8,11)(8,13)(8,17)(8,19) (16,3)(16,5)(16,7)(16,11)(16,13)(16,17)(16,19) 和が被ってるのを消して (4,3)(4,5)(4,13)(8,5)(8,17)(16,13)(16,17)(16,19) k=(11,17,23,27,29,33,37)から (4,13)(16,13)(16,17)の三通り。 これらを確かめることによって、4,13に決定する。 NO.4-2 数当てゲーム2 ~難易度☆☆☆★★ +... 問題(不確定) 355 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/20(金) 00 33 09.26 ID /e42L999O では俺が考えたとっておきの問題を Aくん「私が今考えた3つの数字を当てなさい」 Bくん「無理です」 Aくん「仕方ない。ならヒントです それらの数をすべてかけると40になります」 Bくん「わかりません」 Aくん「それらをすべて足すと今の時刻(時)になります」 Bくん「……無理です」 Aくん「一番大きな数はニケタです」 Bくん「わかりました」 さて、それら3つの数はなんでしょう? 理由も付けて答えなさい 補足(予測) 3つの数字は整数で全て異なる,今の時刻というのは0時から12時まででカウントする。 予想解答 +... 1,-4,10 予想解説 3つの数をa,b,c(a<b<c)とします。 条件よりabc=40,0≦a+b+c≦12,c≧10 c≧10となる因数分解の方法は正負を含めないと以下の3通り abc=40=1*2*20,1*4*10,2*2*10 しかしいずれもa+b+c>12で不適 よってaとbは負でなくてはならない。 a+b+c=17,5,6でa+b+c≦12よりa+b+c=5,6。 しかし、a+b+c=6の時a=b=-2で一致するため不適。 これより、a+b+c=5の時に限られて(a,b,c)=(-1,-4,10) NO.5 モナーとギコとしぃ先生のトランプゲーム ~難易度☆☆★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 21 54 27.64 ID cedghjaS0 ギコ、モナーの2人の生徒としぃ先生の3人で次のようなゲームをした。しぃ先生がギコとモナーにそれぞれに わからないように何枚かのトランプを配り、ギコとモナーは自分のトランプの枚数を確認した後でしぃ先生から 質問を受けお互いの枚数を当てる。いま、3人が次のような会話をしたときの( )に当てはまるギコの発言 としてありうるのはどれか? しぃ「いま2人に配ったトランプの枚数の差は6枚。さてギコ君に質問。キミはモナー君の枚数がわかるかな?」 ギコ「わからねぇーぞゴルァ!」 しぃ「ふーん、では、ギコ君の枚数がわかるかな、モナー君」 モナー「いーや、漏れもワカラーン。」 しぃ「そう、じゃぁ、ギコ君もう一度聞くよ。モナー君の枚数はもうわかったかな?」 ギコ「わ、わかったぞゴルァ!( )。」 選択肢 1.モナーの枚数は25枚だゴルァ! 2.モナーの枚数は30枚だゴルァ! 3.モナーの枚数は俺より6枚少ないぞゴルァ! 4.けどよ、モナーの枚数は2通り考えられるぞゴルァ! 5.あと1枚ずつ多かったらわからなかったぞゴルァ! 補足 トランプの枚数の合計は52枚。 解答 +... 3 予想解説 ギコの枚数をn枚としてモナ-の枚数をn+-6枚とする。 ギコの枚数が2n-6≦52からn≦23となる。 また、モナーは、29枚以下となる。よって2番は×。 4の時、わかったぞっていってるのにわかってない。 1の時を考える。この時、ギコは19枚である。ギコが19だからモナーは、25か13と推測できる。 しかし、モナーが25の時はギコが19枚であるとばれるため不適。これよりモナー13枚となる。 つまり、n+12+n+6>52の時は不適。 n≧18の時は、上の場合となる。 この時に、3が成り立つ。 NO.6 ピザ分け問題 ~難易度☆☆☆☆☆ +... 問題 91 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 00 38 26.88 ID x4GL/tGm0 AとBでピザを以下のルールに従って取る。 1.Aはピザを切り分けることができる。 2.Bはピザを最初に取ることができる。 3.ピザは交互に取る。 4.最初を除きピザは前に取られた部分の両端からしか取れない。 このときAとBのどちらがどれだけ多く取れるか。 理由も答えよ。 解答 +... 基本的にB有利でAがどのように切り分けても1 1が限界のように思えるが 1,30,1,30,1,1,30,1,60,1,1,60,1,60,1 の切り分け方なら5 4でAが多く取れる NO.7 ボートの問題 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 83 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/27(月) 21 57 59.08 ID Y/lxqEdH0 みんなめんどくさがりだから別の問題だすよ。 左岸から右岸まで、ボートを運ぶ。 向こう岸に渡る時間がそれぞれ一分・二分・四分・八分の四隻のボートがある。 一度に二つまでしか運べない。 ただし、二つ運ぶ場合は遅いほうのボートの時間がかかる。 この時、右岸にすべてのボートを運ぶための最短時間は? 補足 ボートの運転手は、一人。 解答 +... 15分。 解説 次が15分のパターン。 一分と二分で行く → 一分で帰る → 四分、八分で行く → 二分で帰る → 一分と二分で行く 2+1+8+2+2=15分 NO.7-2 類題 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/19(水) 19 29 03.45 ID Z+O27wif0 架幽、黒豹、白鴎、悪夢の四人が目の前の橋を渡ろうとしている。 橋を渡るのに架幽は1分、黒豹は2分、白鴎は5分、悪夢は8分かかる。 橋を同時に渡れる人数は最大二人であり、同じ側から同時に渡り始めなければならない。 二人で渡る場合は遅いほうの歩速に合わせなければならない。 またこの橋を渡るには「NTGの通行許可証」が必要である。 四人はNTGの通行許可証を計一枚しか持っていない。 しかし一人がNTGの通行許可証を持っていれば、その人を含んだ二人で渡ることができる。 また、二人で渡る場合は終始同時に渡りきらなければならない。 さて、この四人は最短何分で渡ることができるだろうか? 解答 +... 15分。 解説 ただ単に4分が5分になってるだけで7-1と同じく考える。 一分と二分で行く → 一分で帰る → 五分、八分で行く → 二分で帰る → 一分と二分で行く NO.8 テトリス ~難易度☆★★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 21 42 25.55 ID GhxBljbZ0 テトリスをやってて思いついた問題 縦の長さがm,横の長さがnの長方形がある。 次の三つの図形を上手く組み合わせることでその長方形と 同じ形を作れるためのmとnの条件は何か? ただし、下の図形の□同士は、一辺1で隣接しているものは 繋がってるものとする。 また、回転させたり裏返したりして使ってもよい。 1 □ 2 □ 3 □ □ □□ □□□ □□ □ 補足 ①と②と③の数に制限はなく,何枚でも使っていい。 別に①と②と③の全て使う必要はない。 解答 +... m,nのいずれかが2の時、mnは8の倍数。 それ以外は、mnは8以上の4の倍数。 解説 最初に、1と2と3の図形はいずれもブロックが4つなのでmnは四の倍数である。・・① 1を図(1)のように組み合わせることで2×4の長方形ができる。・・・② また、1と2を図(2)のように組み合わせることで3×4ができる。・・・③ ②と③の図形を組み合わせることによってk×4(kはk≧2の整数)ができる。・・・④ ①と④より、残りは縦と横がともに4の倍数でない偶数の時だけを考えればいい。 次に図(3)のように組み合わせることによって6×6ができる。・・・⑤ ⑤と④より、6×(6+4s)(sはs≧0の整数)ができる。・・・⑥ ⑥について6+4sを固定することで、(6+4t)×(6+4s)ができる。(t≧0)・・・⑦ これより、mとnが6以上の四の倍数でない偶数の時については示せたのでm,nのいずれかが2の時を考える。 そのときは、2×4の長方形を繋ぐことしかできないのでmnは8の倍数となる。・・・⑧ ④と⑦と⑧より、 mn=4k(kはk≧2の整数) ただし、mまたはnが2の時はmn=8s(sはs≧1の整数) NO.9 正直者と嘘つき ~難易度☆★★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 17 20 42.05 ID IWXZPoNOO 1つは天国の扉。1つは地獄の扉。1度開けると後戻りは出来ません。 扉の前には3人の門番が立っていて 1人は正直者 1人は嘘つき 1人は適当に「はい」か「いいえ」を答える奴 3人ともどちらが天国 の扉でどちらが地獄の扉か知っています。 あなたは「はい」か「いいえ」で答えることが出来る質問を2回することが許されました。 1回目と2回目で質問する門番を変えることは出来ますが、同時に複数の門番に質問は出来ません。 なんと聞けば天国の扉へ行けるだろう? 解答 +... 一回目 ABC三人が居たとして、 Aに、「Bは適当な人ですかと聞くとはいと答えますか」ときく 二回目 「はい」なら、Cに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と聞く 「いいえ」なら、 Bに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と聞く 解説 7 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 17 34 27.72 ID nRLphuEqO ABC三人が居たとして、 Aに、「Bは適当な人ですかと聞くとはいと答えますか」ときく 「はい」なら、 A正直、B適当 A嘘つき、B適当 A適当、B正直or嘘つき だから、Cは適当でないことが確定するから、Cに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と 聞いて解決 「いいえ」なら、 A正直、B適当でない A嘘つき、B適当でない A適当、B正直or嘘つき だから、Bは適当でないことが確定するから、Bに「こっちが天国の扉ですかと聞くとはいと答えますか」と 聞いて解決 質問内容を考えるので、難しい問題だと思います。 NO.9-2 正直者と嘘つき2 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 1 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/07(日) 21 47 12.27 ID jqkLt06J0 ある島に正直村と嘘つき村がありました。 正直村の住人は皆正直です。 嘘つき村の住人は皆ウソをいいます。 あなたは今、この2つの村への分岐点の道にたっており どっちの村から来たかわからない人に正直村への道を尋ねます。 ではどんな質問をすればいい? 解答 +... 4 :愛のVIP戦士@ローカルルール7日・9日投票:2008/12/07(日) 21 48 54.12 ID /+BtcFgSO あなたの村はどっちですか 解説 相手が正直村→正直村を指す。 相手が嘘つき村→嘘つき村でない方、つまり正直村を指す。 NO.9-3 正直者と嘘つき3 ~難易度☆☆☆★★ +... 問題 128 :愛のVIP戦士@ローカルルール議論中:2008/12/04(木) 01 52 21.90 ID SsatgjJxO ここに5人の人がいます。 A「5人のうち、少なくとも2人は正直者です」 B「5人のうち、少なくとも3人は正直者です」 C「5人のうち、少なくとも2人は嘘つきです」 D「Bは嘘つきです」 E「我は神なり」 さて誰が正直者で誰が嘘つきか 解答 +... 正直者はAとBとC。嘘つきはDとE。 解説 もしBが正しいとすればAも正しい。 もう一人が正しい訳だがCが間違ってると仮定すると DEはともに本当でないとならないためCが正しい。 これよりDとEは嘘つきである。(以上で終了してもよいが一応十分性も示しておく) もし、Bが間違っているとする。これよりDは正しい。 Aが間違っているならCが正しくなるがこうなるとAが正しくなるため矛盾。 Aが正しいなら残りのCとEは間違ってることにしないとBの仮定に反するがこれはCに反するため矛盾。 この結果から正直者はAとBとC。嘘つきはDとEである。 NO.9-4 正直者と嘘つき4 ~難易度☆☆☆☆★? +... 問題(条件不足?) 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/08(日) 15 01 54.99 ID NFGoRG750 A「私が正直ものだ」 B「Aはうそつきです、私が本当の正直ものです」 C「Bこそうそつきです、本当の正直ものはわたしだ」 正直ものはだれでしゅ 解答 +... AとCまたはB 解説 (1)Aが正直ならばBが嘘つき、Cが正直。 (2)Aが嘘つきならばBが正直、Cが嘘つき。 と自動的に決まってしまう。 NO.10 虫食い算 ~難易度☆☆☆★★ +... 問題 230 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 21 57 25.38 ID o/d3KQL60 ABCDE × 4 ───── EDCBA A、B、C、D、Eにはそれぞれ異なる数字が当てはまる。 A、B、C、D、Eの数字を当てよ。 解答 +... A=2,B=1,C=9,D=7,E=8 解説 まず、五桁目に注目して、4×A=Eより、Aは1か2。 一の位に注目して4×E=1か2。4×Eが1になることはないのでA=2であり、これを満たすEは8か3。でも五桁目は4×A=8で、もし繰り上がりをすると6桁以上になるためE≧8。これより、E=8に決定する。 上の結果から四桁目の4×Bも繰り上がりしないのでB=1か2。A=2よりB=1。 二桁目に注目して、4×D+3の一桁目が1であるのでD=2か7。でもA=2よりD=7。 最後に三桁目。4×C+3の一桁目がCなのでC=9に定まる。 よって、A=2,B=1,C=9,D=7,E=8。 NO.11 リサイクル問題 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 241 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22 35 58.97 ID GthgB8kI0 あるスポーツドリンクは空きびん5本をもっていくと,新しい1本と交換してもらえる。 365本飲むには最低[ ] 本買えばよい。 知ってるやつは今日の夕飯でも書いてろ 予想解答 +... 293本 予想解説 最初を250本とでも、してみるとすると 250÷5=50 50÷5=10 10÷5=2 から312本もらえる。 300本とすると、 300÷5=60 60÷5=12 12÷5=2…2 376本。 これより、250以上300本未満。 300本の時12本多いので単純に288本とすると・・・ 288÷5=57…3 60÷5=12 12÷5=2…2 288+57+12+2=359本 291本あたりにしてみると・・・ 291÷5=58…1 59÷5=11…4 15÷5=3 291+58+11+3=363本 これは…もうすぐ、ジャストミート? 293本だと? 293÷5=58…3 61÷5=12…1 13÷5=2…3 で293+58+12+2=365より 365本!!! こんな解説ですみません><。 解説2 交換してもらうためにはまず5本買う必要がある。 そのあとは交換してもらった1本+新しく4本買うことで交換の繰り返しとなる。 飲むことができる本数は、 買った本数+最初に買う5本分で交換してもらった本数+5本以上買った分で交換してもらった本数 となる。 買う本数をn(n≧5)としたとき、 n+1+(n-5)/4 = 5×(n-1)/4+1 (小数点以下切り捨て) である。 365本飲むので、 5×(n-1)/4+1=365 5×(n-1)=(365-1)×4 n=(365-1)×4/5+1 n=292.2 よって最低293本買えばよい。 NO.12 切符の問題 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 251 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22 58 16.58 ID RKGjiHMW0 7 3 7 3 と +-*/() で 24 を作れ 解答 +... (3+3/7)*7 解説 解答の通りです。 でも、これを閃くのは難しいですね。。。 難しい切符問題には少し法則がありますが… なぜ、切符問題としたかと言えば切符に書いてある四文字の数を四則演算で10にするっていうやつね? NO.12-1 切符の問題2 ~難易度☆☆★★★ +... 251 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/02(日) 22 58 16.58 ID RKGjiHMW0 8 3 8 3 と +-*/() で 24 を作れ 解答 +... 8/(3-8/3) 解説 これも、難しい問題。これは、連分数になってるし。 NO.13 数字の個数 ~難易度☆☆☆★★ +... 問題(改題) 39 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/04(火) 00 59 23.18 ID S6crGwE+0 次の問題だと? 図に乗りやがって この文には 1が(a)個 2が(b)個 3が(c)個 4が(d)個 5が(e)個 6が(f)個 含まれている これを満たす整数a,b,c,d,e,fを全て決定せよ。 解答 +... 解なし 解説 fから考えると分かりやすい。 成立する。a,b,c,d,e,fの組があると仮定する。 f=2の時 b=6が決定するが、この時a=c=d=e=2になるため不適。 この時f≧3も不適なのでf=1に決定。 eとdの時も同じようにして、矛盾を導き出す。 e=2の時は、a=5かb=5となるが、いずれも確かめることで不適になり、e=1に決定。 d=2の時は、a=4かb=4かc=4となるが、これらも確かめることで不適だからd=1になる。 ここで、f=e=d=1よりa≧4となるが、これはd=e=f=1に矛盾。 これより、a,b,c,d,e,fの組が存在しないことが示された。 NO.13-2 数字の個数 ~難易度☆☆☆★★ +... 問題 113 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/13(月) 01 53 47.00 ID RubpvrCJ0 「この文の中には1が□個、2が○個、3が△個、4が◎個ある」 □、○、△、◎の中にアラビア数字を入れて「」の中の文を成立させよ 解答 +... □=2,○=3,△=,2◎=1 解説 今回はあえて書かない方向で。 NO.14 宝石の問題 ~難易度☆☆☆☆★ +... 問題 339 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/26(水) 22 32 20.48 ID 1J6PfaeU0 ある宝石店に2人の泥棒が入りました。 以下は、その2人の会話です。 M「今日もいっぱい盗れたな」 L「そうだね兄さん」 L「ところで兄さんの宝石を4個くれないだろうか。こうすれば同じ数になるよ」 M「何寝ぼけた事言ってんだ? お前の方こそ4個よこせ」 L「それだと兄さんの宝石が僕の倍になるじゃないか」 2人は合計幾つ盗んだのでしょうか 補足 Mの何寝ぼけた事言ってんだ?というのは、Lがうそをついているということではない。 解答 +... 48個 解説 Lの個数をl、Mの個数をmとして m-4=L+4 m+4=2(L-4) これをといて L=20,m=28。 よって20+28=48個。 NO.15 9個の数字の問題 難易度~☆★★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 23 52 41.72 ID 4viv/RLxO ?/??+?/??+?/??=1 ?には1,2,3,4,5,6,7,8,9が入ります。 ただし、1から9までの各数字を1つずつ入れて下さい。 1つも余らかさないで下さいね。 解答 +... 12 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/12/01(月) 00 07 54.86 ID wMbUawMW0 5/34+7/68+9/12=1 解説 どうやったらいいものか NO.16 虫食い算2 ~難易度★★★★★? +... 問題 5 :愛のVIP戦士@ローカルルール議論中:2008/12/03(水) 16 03 44.65 ID /DcWh7u9O 「ぜんぶで×ぜんぶの=からすなぜなくの」で1文字に1つの数字が対応していて 「の=0」のとき「ぜんぶで」はいくつか 解答 +... 7296×7290=53187840 解説 総当たりで解答だけ パズル的な解法あるのか? NO.17 二つの枡の問題 ~難易度☆☆☆★★? +... 問題 1 :SIX GANz ◆OYm0D4XDlk :2008/11/17(月) 22 53 44.89 ID Xe3WCTtF0 樽に16リットルの油が入っている。 この油を7リットルと9リットルの桶を使い8リットルずつに分けたい。 最小の回数で分けるには、何回の移し変え操作が必要か? ただし、油は樽に戻してもよく、樽と桶との間および桶と桶との間で油を移すごとに1回の操作と数えるものとする。 予想解答 +... 3回 予想解説 7Lの桶をA,9Lの桶をBとおくと Aの桶を斜めに傾けて3.5L入れる。 Bの桶を斜めに傾けて4.5L入れる。 BにAを3.5L入れて8L。よって、3回。 NO.18 感染症の検査の問題 ~難易度☆☆★★★ +... 問題 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/16(日) 23 30 48.06 ID 4C4FP4Xy0 ある致命的な感染症にかかる確率は1万分の1である。 あなたがこの感染症にかかっているかどうか検査を受けたところ結果は陽性であった。 この検査の信頼性は99%である。実際にこの感染症にかかっている確率はどの程度であろうか? 解答 +... 約1% 解説 感染症にかかってて陽性の確率/(感染症にかかってて陽性の確率+感染症にかかってなくて陽性の確率) =(1/10000×99/100)/(1/10000×99/100+9999/10000×1/100) =99/(99+9999)≒100/10100=1/101≒0.99% つまり、99%信頼出来ても意外と信用できないということです。たった、1%の違いで 99%も違ってくる面白い問題 類題 類題 382 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/07/06(月) 00 40 49.25 ID /besquYK0 1000人に40人の割合で感染してる病気がある 感染してる人を検査すると、80%の確率で陽性と出る。 しかし、感染して無い人を調べても、20%の確率で陽性と出てしまう ある人が検査を受けたら陽性と出た 実際に感染してる確率は何%位? NO.19 展開の工夫 難易度~☆☆☆★★ +... 問題(ザ掲示板 数学板 最強の問題より) [99]匿名 08/08/03 21 47 rAJLytfVh9 今までに出会った中の良問を1つ出すことにする 次の式の値を求め、そのことを数学的帰納法を用いずに証明せよ (2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1) 解答 +... 2^(2^(n+1))-1 ((2-1)を左から順にかけることによって、もとまる。) 解説 (2-1) ×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1) =(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1) =(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×……×(2^(2^n)+1) ・ ・ =(2^(2^n)-1)(2^(2^n)+1) =2^(2^(n+1))-1 1を2-1に変形して掛けるというトリッキーな発想に気づくかどうかの問題。 NO.20 誕生日のパラドックス ~難易度☆☆★★★ +... 問題(数学板 誕生日のパラドクスより)(改題) 1 :PARADOX ◆WreS2WPj/s :2009/01/28(水) 18 27 41 [問題] 40人のクラスで、少なくとも一組は誕生日が同じの人の組が出来る確率は50%より多いか少ないか? +... 解答 多い 解説 少なくとも一組誕生日が被る⇔全体-(全て異なる誕生日) ∴1-365P40/365^40 =1-365!/325!365^40 ここからの計算が半端なくだるい。 計算機を使うと約89%くらいになります。実は既に23人から50%以上になります。 これは、有名問題でwikipediaにもこの問題の解説がされています。 参考 誕生日のパラドクス NO.21 逆説を同時に成立させる問題 ~難易度☆★★★★ +... 問題 77 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/02(月) 09 51 40.19 ID Q8ct9Yxg0 ○は△である。 ○は△ではない。 この二文を論理的に満たす○と△をひとつ考えろ っていうのは本当に良い問題だと思う。面白い。 +... 解答例 ・この文章の句点を除く最後の文字は「る」である。 この文章の句点を除く最後の文字は「る」でない。 ・この文章は肯定文である。 この文章は肯定文でない。 解説 ○は△である。 ○は△ではない。 における異なる部分を見つけることが最大のポイントです。 NO.22 幼女問題2 ~難易度★★★★★ +... 問題 268 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/02(月) 13 58 34.83 ID k494c/z5O 幼女23人がとある洋館に閉じ込められた 幼女は広間に集められ今後について話し合うことができるが、話し合いがすんだら各自に振り分けられた部屋に入らなければならない 部屋に入ると鍵がかかる。その後23人の中からランダムに1人が選ばれる。 選ばれた幼女は別に用意された石像の部屋で以下の2つのうちのどちらかをしなければならない 1.部屋の中央の石像の向きを90度右か左に回転させる(石像は東西南北のいずれかを向いている) 2.部屋の中央の石像を破壊する 幼女が1を行った場合、幼女は部屋に戻され次にランダムに選ばれた幼女が同様の操作をする(以下繰り返し) 幼女が2を行った場合、それまでに石像の部屋で1を行った幼女が全員解放される このとき幼女が全員洋館から解放されるにはどうすればよいか ただし、一度部屋に入ったら幼女間の情報伝達は一切不可能。石像の最初の向きは不明とする また、どの幼女も十分な時間を待てば必ず選ばれるものとする 解答 +... 解説 右回転 NO.23 必勝法の存在するゲーム ~難易度? +... 問題 14 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 2009/04/01(水) 03 31 19 .66 ID GiCew4MV0 nを整数とする。二人の人が交互に1以上n以下の整数を言い合うゲームをする。 ただし一度言われた数を言ってはならない。言える数がなくなったときにゲームが終了し、 先手の言った数の和が3で割り切れるとき先手の勝ち、そうでないとき後手の勝ちとする。 先手に必勝法の存在するnを求めよ。 解答(未完成) +... n≡0,5,4(mod6) 解説 小さい数で実験してみる。 n=1→×,n=2→×,n=3→× n=4の時 2→(3or1か4)→1か4→残り とすれば必ず勝てる。 n=5の時 3→(1,4or2,5)→(Bが1なら4,4なら1,2なら5,5なら2)→(残りのどっちか)→(残り)とすれば勝てる。 n=6の時 1→4→2→(3,5,6)→(3or6)→残り 1→5→2→(3,4,6)→(3or6)→残り 1→6→3→(2,4,5)→(2or5)→残り とすれば勝てる。 NO.24 増殖する細菌~難易度☆☆☆★★ +... 問題 21 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/04(土) 21 49 40.62 ID rJxcqNAh0 ある細菌は1分間たつと、2個に分裂し、また1分間たつと4個になる こうして1個の最近が瓶にいっぱいになるのに1時間かかるとする 同じ細菌を最初2個から始めると、瓶がいっぱいになるまで 何分かかるか 解答 +... 59分 解説 よく考えれば 1個から初めて最初の1分たてば2個になって最初二個の場合に追いつくので 最初2個のスタートの時と比べて1分しか違わないことがわかると思います。 NO.25 どこでも割り切れる数字~難易度★★★★★ +... 問題 312 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 00 09 08.83 ID e4XLnClE0 構成する数字がすべて違っている10桁の数がある。 その数には「左端からn桁で切って出来た数は、すべてnで割り切れる」という性質がある。 ABCDFEGHIJという数であれば、 例えばABCは3で、ABCDEは5で、ABCDEFGHは8で割り切れる。 その数は何だろうか。 解答 +... 1472589630と3816547290 解説 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩とおく。 ⑩が0であることは簡単にわかるでしょう。…⑩ すると⑤は5か0だが0がもう入ってるから5。…⑤ また、左から偶数列目は偶数、奇数列目は奇数であることもわかる。 今までの情報をまとめると ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ △○△○5○△○△0 (△は奇数、○は偶数) (残り 1,3,7,9/2,4,6,8) また、使える条件を考えると①,②,⑨の条件はどんな場合でも成立する。 ∴③④⑥⑦⑧の条件をつかう。 ③と⑥より①②③は三の倍数,①②③④⑤⑥も三の倍数より④⑤⑥も三の倍数。…⑥ ④について①②③④が4の倍数より③④が4の倍数…④ ⑧について①②③④⑤⑥⑦⑧が8の倍数より⑥⑦⑧が8の倍数…⑧ ⑥ より④+5+⑥≡0(mod3)から④+⑥=1 これより考えられる(④,⑥)は(2,8)(4,6)(8,2)(6,4)。 (ⅰ)(④,⑥)=(4,6)の時 ④ より③④≡0(mod4)より③4≡0でこれを満たす③は存在しないから不適。 (ⅱ)(④,⑥)=(8,2)の時 ④ より③④≡0(mod4)より③8≡0でこれを満たす③は存在しないから不適。 (④,⑥)=(2,8)(6,4)の時、③はどんなものでも④ を満たす。 (ⅲ)(④,⑥)=(2,8)の時 (残り 1,3,7,9/4,6) 8⑦⑧について 8⑦⑧が8で割り切れる⇔⑦⑧が8で割り切れる しかし、この条件を満たすものは残りの組み合わせから⑦⑧=16,96のみ。 (α)(⑦,⑧)=(1,6)の時 (残り 3,7,9/4) ①②③について ①4③が3の倍数より①+③≡2(mod3)しかしこれをみたす①,③は存在しないため不適。 (β)(⑦,⑧)=(9,6)の時 (残り 1,3,7/4) ①②③について ①4③が3の倍数より①+③≡2(mod3)から①と③は1か7が入る。また⑨=3も決まる。 ここで、1472589と7412589について7で割った時 1472589≡2589≡0より成立。7412589≡412589≡2より不適。∴1472589630が成立。 (ⅳ)(④,⑥)=(6,4)の時 (残り 1,3,7,9/2,8)で 4⑦⑧が8で割り切れるので400+⑦⑧から⑦⑧が8で割り切れることに同値。 しかし、これを満たす⑦⑧は32,72に限る。 (α )(⑦,⑧)=(3,2)の時 (残り 1,7,9/8)で ①②③について ①8③が3の倍数より①+③≡1(mod3)より①,③は1と9のいずれか。また⑨=7も決まる。 ここで、1896543と9816543について7で割った時いずれも割り切れないため不適。 (β )(⑦,⑧)=(7,2)の時 (残り 1,3,9/8)で ①②③について ①8③が3の倍数より①+③≡0(mod3)より①,③は1と 3か9。 ここで、1896547,9816547,1836547,3816547を7で割ったあまりを考える。 (分けて計算すると手間が少し省ける) 6547を7で割ると2余るから他で5あまればよい。 1890000÷7→×,9810000÷7→×,1830000÷7→×,3810000÷7→○ よって、3816547290。 ∴1472589630と3816547290 NO.26 オセロ盤 ~難易度? +... 問題 127 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 23 33 39.80 ID DVDYK18o0 117 これは解かれた記憶ない 7×7のオセロの盤がある。 この盤上に、どの二つの石の間の距離も異なるように7つの石を並べよ。(1通り) ┏━━━━━━━━━━━━━━━┓ ┃┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘┃ ┗━━━━━━━━━━━━━━━┛ 158 :127:2009/04/07(火) 00 09 53.00 ID MgC4lUzx0 今日もやっぱり解かれないみたいだからもう一問 6×6石6つ 2通り 5×5石5つ たくさん 補足 128 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 23 35 38.58 ID DVDYK18o0 ●○●なら距離2 ●○○ ○○○ ○○●なら2√2 解答例募集中 +... 5×5 ┏━━━━━━━━━━━┓ ┃┌─┬─┬─┬─┬─┐┃ ┃│●│ │ │●│ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│●│ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │●│ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │●│┃ ┃└─┴─┴─┴─┴─┘┃ ┗━━━━━━━━━━━┛ 6×6 ┏━━━━━━━━━━━━━┓ ┃┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐┃ ┃│●│ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │●│●│┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │●│ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│●│ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│●│ │ │ │ │ │┃ ┃└─┴─┴─┴─┴─┴─┘┃ ┗━━━━━━━━━━━━━┛ ┏━━━━━━━━━━━━━┓ ┃┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐┃ ┃│ │ │●│ │ │●│┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │●│┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │●│ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│●│●│ │ │ │ │┃ ┃└─┴─┴─┴─┴─┴─┘┃ ┗━━━━━━━━━━━━━┛ 7×7 ┏━━━━━━━━━━━━━━━┓ ┃┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐┃ ┃│●│ │●│ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │●│ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │●│┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│●│ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │●│ │┃ ┃├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤┃ ┃│ │ │ │ │ │ │●│┃ ┃└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘┃ ┗━━━━━━━━━━━━━━━┛
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1+5 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 04 38 31 点・線分・三角形・四面体…など各次元において最も単純な図形を n次元単体と呼ぶ。m次元空間内のn次元単体は、互いに線型独立な n本のm次元ベクトルを列挙したm×n行列で表せる。 そこで、n次元単体の図形的性質(5心など)を導出する過程から、 m×n行列を用いた線型代数計算の意味について幾何学的に 理解できるのではないかと考えた。←いまココ しかし、既存研究を探したところ、あまり情報が見つからなかったので、 このような考えについて2ちゃんねるで情報を頂きたく思い、その後 下記のまとめ@ウィキに結果をまとめたいと思っております。 詳しい方いらっしゃいましたらどうかよろしくお願いいたします。 なお、ライセンスについては、2ちゃんねる書込規約などをふまえて、 クリエイティブコモンズ-by-ncライセンスということにしたいのですが、 著作権も詳しくないので、あわせてどなたかご教授頂けるとありがたいです。 m次元ユークリッド幾何学スレまとめ@ウィキ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/ 2 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 04 46 04 2ちゃんねる9周年おめでとー、という2get! 3+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/05/30(金) 05 26 27 糞スレ分類 A. 定義や基礎的な定理を疑うタイプ(1+1=2、負×負=正など) B. 問題自体はまともだが妙な事を言っている C. 単発質問 D. 数学の存在意義を疑うタイプ(数学なんて社会で役に立たねーよ、など) E. よくわからんが私怨系?(対象は個人だったり組織だったりコテハンだったり) F. 単調作業系(2進数で数える、など) G. 数学と関係ない C 単発質問 1 宿題がわかりません>< 2 僕は何が分からないんでしょうか ← 判定ココ 3 トリビアを僕の代わりに検索してください 4 アンケート・面白いこと言ってください 4+2 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 06 26 10 3 ある始点から線型独立なn本の方向ベクトルが出てるときに、 それによって作られるn次元単体(n+1点で囲まれる図形)の 重心・垂心・外心・内心・傍心への始点から方向ベクトルが美しい式で表せる気がしました。 そして、2次元単体(三角形)ではフェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質が あるので、それをn次元単体に拡張するといろいろ応用出来そうだし面白いと思ったんだ。 ということで、既存研究や行列演算でn次元幾何学やってらっしゃる先人の お知恵やそのURIなどを教えていただけるとありがたいです。← ココ 社会へ出てからしばらく経ってますが、幾何学をふまえた行列演算の美しい関係式を まとめたいと思ったので、どうかよろしくお願いします。 5 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 06 41 12 4 3行目:始点から方向ベクトル→始点からの方向ベクトル 3 あえていうならCの単発質問で3かなーゴメンナサイ。 n次元単体の垂心が存在する条件とか、傍心は何個あるかとか、 僕が検索したところずばり答えみたいのは見つかりませんでした。 外接超球・内接超球・傍接超球の半径の比とか、 分かる人にはトリビアすぎて取り上げるまでもない問題なのか、とか感じてます。 でも、とても応用できると思うんだけど全然見つからなくて。 6 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 08 01 46 4 フェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質が あるので、それをn次元単体に拡張する じゃあ、まず三次元単体 つまり立体でやってみせてくれ 7 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 11 22 32 3次元単体(四面体)の場合、正単体などじゃないと垂線が 1点で交わらなくなるみたいな?以後、n次元への拡張案ですが、 フェルマー心(等角中心・トリチェリ点)は、単体内部の点から 各辺を見込む角度が等しい(cos \theta = - 1/n)点と定義すれば、 あまりぺっしゃんこでない単体内部にはただ一つありそうな気がします。 シムソン線の拡張は、外接超球上の一点からn単体の各面に下ろした(n+1)個の 垂線の足を通る(n-1)次元超平面(1点は従属みたいな感じ?)とすれば、 一意に定まる気がします(いやむしろ定まるならすごい)。 考えてはいるのですが、式ではまだ解いてないのでごめんなさい。 8 :132人目の素数さん [↓] :2008/05/30(金) 15 25 50 3次元にすら拡張できないのに 以下略 9 :132人目の素数さん [] :2008/05/30(金) 16 47 25 いや、3次元単体以上の垂心だけ存在する条件があるということで… 7などの方法でフェルマー心(5心)に関しては間違いなくn次元に拡張できると思うのですが… たとえばn次元単体の各頂点をi点\bm{p}_i(i=0~n)とし、 i点に対面する(n-1)次元単体面をi対面とし、0点からi点への方向(列) ベクトルを\bm{l}_iとし、i=1~nまで\bm{l}_iを行方向に並べた行列を\bm{L}とすれば、 重心=\bm{L} \bm{1} /(n+1)、垂心=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{1}(ただし、 \bm{l}_i^T \bm{l}_j (i ≠ j)が全て同じ値(\bm{L}^T \bm{L}が等内積行列)の場合に限る) みたいな式になるみたいな。いや想像で書いてるのでたぶん違うんでしょうけど。 n次元単体には外接超球・内接超球・傍接超球があるらしいことは、 統計学のほうの多変量解析で調べてると出てくることがありますが、 n次元単体の5心・フェルマー心(三角形の場合でも存在する条件がある) などを行列演算でずばり解いてある文献が私は見けられなかったし、 日本でこれについてやってる人が見つけられなかったので、 ぜひ知っていらっしゃったら教えていただきたいです。 10 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/06(金) 00 42 22 数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例 ttp //members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/index.html 11 :132人目の素数さん [] :2008/06/06(金) 03 24 15 1 のアットウィキに重心の項目など追加しました。 要素が全部1のベクトルは$$ \mathbf{1} $$と書いたけど、 アルファベットと違って数字は太字にならないようでした。 12+1 :132人目の素数さん [] :2008/06/07(土) 01 59 36 がんばれ 13 :132人目の素数さん [] :2008/06/08(日) 18 41 17 12 ありがとうございます!ざっと計算してみたので、今atwikiに書いています。 どうもうまく書けないので、意見などいただけるとありがたいです。 ところで、m次元空間内でn次元単体を作るn本の方向ベクトルを列記した行列 Lとし、 同様にn次元単体を作る(n+1)点への位置ベクトルを列記した行列 Pとすると、 n×n行列 (L^T L)の行列式det[L^T L]と、(n+1)×(n+1)行列 (P^T P)の余因子行列の 全ての要素の和1^T C[P^T P] 1が等しくなると思いました。 これを仮に余因子総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか? ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html 14+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/08(日) 23 44 06 1 ↓おまえか http //pc11.2ch.net/test/read.cgi/internet/1212744583/569 569 名前:192.168.0.774[sage] 投稿日:2008/06/08(日) 21 56 52 ID kC905/vn0 糞記事を書いてきた。 [[三角形の中心]] http //ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83 action=history (最新版) (前の版) 2008年6月8日 (日) 12 54 60.45.13.173 (会話) (1,283 バイト) (なんとなく書いてみた) 15 :132人目の素数さん [] :2008/06/09(月) 02 05 58 14 私はWikipediaのアカウント持ってない(なくても書けるようですがIPはブロックされてました) ので別人なのですが、大変勉強になります!情報ありがとうございます!ジェルゴンヌ点・ ブロカール点・ド=ロンシャン点などは、atwikiに等角中心の項まで書いたら考えたいです。 私はよくWikipedia見たりするのですが、GFDLのライセンスということで引用するのに 編集してる何人かのアカウントを表示する必要があるらしいと聞き気を付けて見てます。 あと、ウィキペディアには個人的な研究の内容は書いてはいけないとかあった気がしました。 しかし、atwikiの数式環境ではsmallmatrixやcasesが使えないようなのでうらやましかったり。 ちょっと調べたら、「三角形」のページ↓のが五心については詳しかったりしました。 ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 16 :132人目の素数さん [] :2008/06/09(月) 02 27 44 ちなみに、n次元単体において i点(i=0~n)からi対面への垂線ベクトルをh_iとすると、 \sum_{i=0}^n (h_i / (h_i^T h_i)) = 0(m次元ゼロ列ベクトル)となることを発見しました。 これを仮に逆垂線総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか? ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/17.html 17 :132人目の素数さん [] :2008/06/09(月) 19 49 04 内心について解きました。解が垂心の形(調和平均のような)に酷似してる!美しい! ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html 18+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/09(月) 22 44 29 とりあえずおじさんに位置ベクトル p_i と方向ベクトル l_i の関係を教えてくれ l_i = p_i - p_0 でいいの?高校の時には位置ベクトルと方向ベクトルというのが別にあったなぁという記憶があるような無いような。 19 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/10(火) 01 49 15 18 そうです!ご指摘のとおりです!atwikiの「n次元単体を表す行列」↓の 項に図入りで詳しく書こうと思いつつ、まだ放置中でした…ごめんなさい。 私は文中で、m次元空間の原点を始点とするm次元列ベクトルを位置ベクトルと呼び、 n次元単体の頂点の一つ0点を始点とするm次元列ベクトルを方向ベクトルと呼んでいます。 そして、m次元空間内の(n+1)点あるn次元単体の頂点を順番にi点(i=0~n)と名付け、 m次元空間の原点からそのi点(i=0~n)への位置ベクトルを p_i として、 0点から他のi点(i=1~n)への方向ベクトルを l_i = p_i - p_0 としています。 n次元単体の五心などを計算するときに、辺に対応するn本の方向ベクトル l_i (i=1~n) の方で計算すると、線型独立ということを使ってうまく計算できる感じです。 一方、頂点に対応する(n+1)個の位置ベクトル p_i (i=0~n)の方で計算すると、 1次元過剰なので計算が大変ですが、0点を特別視しないので式が美しくなる感じです。 自分で調べて見つからなかったものなど、いろいろ私独自の用語を使ってしまっているので 他にもいろいろご指摘くださるとありがたいです。 atwiki「n次元単体を表す行列」(書き中…) ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/14.html 20+5 :おじさん [↓] :2008/06/10(火) 08 58 57 おじさんは昔秋山仁訳、Ron Graham 著の離散数学入門を読んで Heron の公式の高次元版(n次元単体の体積を辺の長さをつかってあらわす) が書いてあって衝撃を受けたよ。あんまり離散数学じゃないけど。 まだ知らなかったら考えてみたら?Wikipedia をみたら答えが載ってるので見ないようにしましょう。 21 :132人目の素数さん [] :2008/06/10(火) 15 12 33 20 マジっすか!?離散数学は集合とかグラフとかやった気がしますが、 その分野からは調べてませんでした。ありがとうございます! 秋山仁先生はNHKの高校数学か何かに出てらっしゃってお見受けしたことありますー 私的には、v^n = det[L^T L] = 1^T C[P^T P] 1 (C[X] は X の転置余因子行列)とすると、 (n次元単体の超体積) = \sqrt{ v^n } / (n !)となるとatwiki「n次元単体の体積と表面積」 の項 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html に書いてましたが、それは知りませんでした。 Heron の公式のn次元拡張ということで n(n-1)/2本の全ての辺の長さと媒介変数sを何個か 使うような気がしますが……思いつきません!安西先生、Wikipediaが見たいです!! あと、離散数学入門の本を調べて組合せ幾何というのに辿り着きました。そういえば、 この前たけしのコマ大数学科でやってたシュタイナー点はグラフ理論+幾何学っぽい 雰囲気ありました。俺は今までなぜ気付かなかったのかアッー 22 :132人目の素数さん [] :2008/06/10(火) 16 04 45 この問題は分野的には、ルネ・デカルトに始まるとされる解析幾何学の中で 超立体解析幾何学とかの分野に入ると思た。 23 :132人目の素数さん [] :2008/06/10(火) 19 14 07 20 Heron の公式のn次元拡張を考えました。i, j = 0~n とし、 i点からj点への辺の長さを x_ji (x_ii = x_jj = 0)として、 x_ji を j行i列の要素に持つ(n+1)×(n+1)行列を X (歪対称行列のような)とすると、 (n次元単体の超体積) = \sqrt{ 1^T C[ X ? X ] 1 } / ( 2^n ) ( ? は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す 二項演算子とする)となると考えました。ヘロンの公式っぽくなりませんでした。 ギブアップです。Wikipediaの答えを見てもうちょっと考えてみようと思います。 24 :132人目の素数さん [] :2008/06/10(火) 23 18 36 Heron's formula: ttp //en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula 正四面体の幾何学: ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_tetra.htm 上を参考に、Heronの公式のn次元拡張(3次元はEuler・Tartagliaの公式?)は下記だと思います。 n次元単体のi点からj点への辺の長さ x_ji を要素に持つ(n+1)×(n+1)行列 X について、 (n次元単体の超体積) = \sqrt{ 1^T C[ X odot; X ] 1 / ( (-2)^n ) } / (n !) ( odot; は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す 二項演算子、C{X}はXの転置余因子行列とする)となる。 (1・2・3次元単体ではだいたいあってそうですが、4次元以上の証明は難しそう…) 20 さんあってますか?ずばり答えみたいのが見つからなかったので、仮に超Heronの公式 と呼びますが、探しているうちに美しい公式がいろいろ見れました!ありがとうございます! ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html にも追記しておきました。 25 :おじさん [↓] :2008/06/10(火) 23 19 51 べつにヘロンの公式の拡張が離散数学だというわけじゃないです なぜか無関係に乗っていただけで。高校のときは秋山仁に流されて離散数学って 面白いのかなと思っていたけど結局やらなくなってしまった。 26 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/10(火) 23 23 55 ああ、それですそれです。 あんまり変な演算子は導入するのは止めて、単に X の i行j列 要素は x_{ij} ^2 だ、といったほうがいいんでは ... まあ頑張って証明してください。そこも面白いところだし、~心とか慣れた概念とは違う手法が証明に必要になるから勉強になると思います。 27+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/11(水) 02 27 38 X と 演算子 ⊙ の定義で分母のマイナスを吸収しようとしたり、 X だけで何かすごいことができるとか、そんなふうに考えていた時期が俺にもありました。 証明には、位置内積行列 P^T P から x_{ij}^2 = (p_j - p_i)^T (p_j -p_i) を 要素に持つ行列(仮にBとします)へ変形していくと……って難っ! 全ての辺の長さを使うことやグラフ理論からのアプローチは言われなければ気付かなかったです。 しかし、こんなすごい公式が既に世の中にあるなら五心の方もありそうですね。 もし、この公式の名前とかご存知でしたら教えてくださるとありがたいです。 28 :132人目の素数さん [] :2008/06/12(木) 03 50 53 n次元単体の外心できました。あまり美しい式にならなかった… 外心の計算から、辺の長さの自乗の半分が重要な値だと考え、0点から出る 辺についてこの値を列記したベクトルを b_0、原点とi点との辺について \tilde{b}_σ、 27 関係の全ての辺についてこの値を要素に持つ行列を \tilde{B}とすることにしました。 これより、-\tilde{B} = P^T P - 1 \tilde{b}_σ^T - \tilde{b}_σ 1^T と表せることから、 まだ証明できてない余因子総和の定理 1^T C[ X - a 1^T ] 1 = 1^T C[ X ] 1 より、 1^T C[ -\tilde{B} ] 1 = 1^T C[ P^T P ] 1 が示せて、n次元単体の超体積と同じ と言えるので証明というかツジツマは解決できた気が個人的にしてます。 詳しくは、下記にまとめたいと思います。 n次元単体の体積と表面積: ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html n次元単体の外心: ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html あとは、この \tilde{B} で外半径と内半径を表せれば……(無理っぽい) 29 :132人目の素数さん [] :2008/06/13(金) 01 07 56 n次元単体の(n+1)個ある頂点からの距離の比が一定値になる点を 仮に分点心と呼ぶことにします。1次元単体(線分)の場合をふまえて、 内分点・外分点に相当するものを内分点心・外分点心とします。 そして、アポロニウスの円に相当するものを仮に分点心補超球と 呼ぶことにします。ということを今日は書きました。↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html 30+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/13(金) 09 34 51 高次元ユークリッド幾何って、ベクトル使わずに 平面幾何/立体幾何みたいにほんとにユークリッドの公理みたいに出来ないの? 31 :132人目の素数さん [] :2008/06/13(金) 16 13 58 30 さんありがとうございます!私は厳密なことについては苦手なのでアレなんですが、 やってて特に高次元が2次元・3次元と違うということはあまりないので、できると思います! 今は私の線型代数好きが講じて、ユークリッドの公理・公準などをふまえた空間上で、 行列演算によって問題を解くという解析幾何学的なアプローチ(?)しかできてませんが、 30 さんの意見から新しい視点が見つかりそうなので、例えば的な問題をいただけるとありがたいです。 例えば、角度の拡張とか、バラバラな(n+1)点を通るn次元超球がある(第3公準拡張)みたいなですか? 32+2 :132人目の素数さん [] :2008/06/13(金) 19 37 58 外接超球の半径r_Oと、分点心補超球の半径的な値R_{T0}と、それらの 中心同士の距離的な値R_{TR}を、俺はまだ位置ベクトルで美しく表せないッ! ということで、Google schoolerとか ci.niiとかで調べてて、下記を発見しました。 四面体の全ての辺の長さで外半径を無理矢理ひねりだした感がすげぇ! これはあとで解読するとして、今日は等角中心(フェルマー点・トリチェリ点)を、 明日は超Simson対面(仮)をやろうと思た。 研究論文 四面体の外接球の半径について ttp //ci.nii.ac.jp/vol_issue/nels/AN0016383X/ISS0000046091_jp.html の一番上 33 :132人目の素数さん [] :2008/06/13(金) 19 48 16 32 R_{T0}とR_{TR}が逆だった…orz あと、下記を発見したが有料だった…五十嵐さんにお会いしたい! Simsonの定理の拡張に関する考察 「三角形幾何」と数式処理」 ttp //ci.nii.ac.jp/naid/110003727121/ 34+3 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/14(土) 11 04 52 多面体好きなら Coxeter の "Regular Polytopes" は持ってる?Dover で売ってるから是非買いましょう。高次元の正多面体を全部説明してあります。 とりあえずまずは三次元の正多面体の内接外接球の半径を一辺のながさであらわすとかやってみると面白いとおもいます 35+3 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/14(土) 11 11 17 あと、自分で新分野を開拓するのはいいことだけど、そのありあまる情熱でなんか高等数学を勉強したら良いんじゃないかなと思います。 高次元ユークリッド幾何がすきなら、Weyl 群とかルート系は気に入るんではないかとおもいます。 あとはもう大学生ならぜひ図書館で Conway-Sloane の Sphere packings をかりましょう。これはすごい。 以上おじさんのコメントでした。 36 :132人目の素数さん [] :2008/06/14(土) 12 28 19 34-35 ありがとうございます!面白そうです!ぜひやってみたいと思います! 群論や代数系については昔挫折した感があり、(4次元接吻数より少し上の年齢です) 正多面体群や球充填問題など聞くと黒歴史ヨミガエルみたいな気持ちありますが、 がんばります!インターネッツと大きい本屋と昔の大学の図書館で調べます! 37 :132人目の素数さん [] :2008/06/14(土) 17 28 06 34 とりあえず、1辺の長さを1としたときの 3次元正?面体の頂点の数(n'+1)と 内半径r_Iと外半径r_Oと中心から1辺を見込む角度の余弦 \cos \thetaを出しました! ?, (n'+1), r_I, r_O, \cos \theta 4, 4, √(6)/12, √(6)/4, -1/3 6, 8, 1/2, √(3)/2, 1/3 8, 6, √(6)/6, √(2)/2, 0 12, 20, √(250+110√(5))/20, √(18+6√(5))/4, √(5)/3 20, 12, √(42+18√(5))/12, √(10+2√(5))/4, √(5)/5 となりました。ざっとなので間違ってるかもしれませんが、美しい! Coxeter"Regular Polytopes"はAmazonで1630円でした!結構安かったので巷で見つけたらゲットします↓ ttp //www.amazon.co.jp/Regular-Polytopes-H-S-Coxeter/dp/0486614808 n'次元正単体を3次元に正射影したとき、正?面体となるような方向を求めると面白いと思ったけど、難しかった 38 :132人目の素数さん [] :2008/06/15(日) 00 46 45 ttp //www.nikonet.or.jp/spring/origami2/origami_6.htm ↑を見て、正12面体の外半径が√(18+6√(5))/4 = (√(15)+√(3))/4とできること、 中接球というのがあることを知りました。せっかくなので、atwikiにまとめたいと思います↓ 3次元正多面体について ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/24.html 中接球をn次元単体に拡張すると、全ての辺に接するn次元超球ですか… ありそうなので、これを仮に辺接超球と呼び、その中心を辺心と呼びたいと思います。 n次元単体の辺心 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/25.html 39 :132人目の素数さん [] :2008/06/18(水) 15 28 25 n次元単体の(k+1)個(k=0~n-1)の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい点を k次元面心と仮に呼びます。(k=0のとき外心、k=1のとき辺心、k=n-1のとき内心) ちなみに、n次元正単体の1辺の長さを1としたとき、n次元正単体のk次元面接超球の 半径は、r_{K_k} = √( (n - k) / (2 (n + 1) (k + 1)) ) と書けるらしいとこまで行きました。 辺心は今考えてますが、内心っぽい雰囲気で、式は外心に似てて、垂心のように存在する条件 がありそうという、今までの集大成的な感じがしてます。 n次元正単体について ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/26.html 40+2 :132人目の素数さん [] :2008/06/19(木) 21 30 13 30 さん的な感じのサイトをハケーンしますた。三次元 Euclid 空間論↓ ttp //phaos.hp.infoseek.co.jp/part3/linalg/stereo/euclid3.htm 私的には、ここで言われている「Vectors を基礎とする立場」なのであります!Vectorsカコイイ 41+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/20(金) 10 26 47 40 3次元だからできてあたりまえなんでは?Euclid の原論も3次元までカバーしてあったはず。頑張って4次元をやってください。 42 :132人目の素数さん [] :2008/06/20(金) 17 02 40 41 40の前の方はワイル(Weyl群の人)の公理だと思うのでWikipediaのアフィン空間のページ(定義の項)に説明ありました。 ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%A9%BA%E9%96%93 40 の後の方は、三垂線の定理だと思うのでn次元でも p_y~T (\sum l_i k_i) = 0 とかで言えると思います。 私がユークリッド空間の定義について書かないまま(Vectorsだから?)、標準基底やユークリッド内積などを前提に 計算してるのがいけませんが、非ユークリッド幾何学とかにも応用していきたので、定義もちゃんと書こうと思ってます。 m次元ユークリッド空間 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/13.html 43+3 :132人目の素数さん [] :2008/06/20(金) 19 07 38 35 さん的なことを調べていて、ttp //en.wikipedia.org/wiki/Root_system ttp //en.wikipedia.org/wiki/Weyl_group ttp //en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_group ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%84%E7%B3%BB より、「ルート系とはある集合の要素に対して鏡映という写像を行っても その集合のどれかの要素となるような(集合と演算(鏡映群)が定義された)代数系」と感じました。 ワイル群はユークリッド空間の鏡映群、コクセター群はCoxeterさん独自の拡張(鏡映⊂対合など)、ティッツ系は さらに一般化しコクセター群をユークリッド空間における鏡映として捉えれることを言ったという感じですか? この話から正多胞体について ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/251_cox.htm が詳しいと思いました。 例えば、私的に書書き換えると、n次元ユークリッド部分空間 L を張る n本のベクトル l_{x_i} = L x_i (i=1~n)について、 l_{x_i} の直交補空間に対する l_{x_j} の鏡映がちょうど l_{x_k} となるすれば、 l_{x_k} = l_{x_j} - 2 l_{x_i} l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i}) と書けるので、 全ての i, j, k = 1~nにおいて x_k = x_j - x_i c_{ij} (c_{ij} = l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i})) となるような互いに線型独立な n次元列ベクトル x_i の n個の組を求めれば、 ユークリッド空間内の鏡映によって不変な基底 l_{x_i} = L x_i が求まる みたいな?(長文スマソ) (ちなみに、c_{ij}を要素に持つ行列をカルタン行列と呼び、その行列に対応する平面グラフをディンキン図形と呼ぶらしい) そして、その解は特定の解しかないことがわかっていて、*_*型(E8型など)みたいに名前が付いている みたいな?す、すごすぎるぜッ!群論オソロシス!とりあえず、今はどの組織にも属してないので 個人的には見たことない美しい定理や公式の宝庫である n次元単体関係についてまったりとまとめてから、 そっち系の第一線的な研究や応用について考えたいと思ってます。しかし、最近は辺心あたりでもうダメポ状態です 44+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/21(土) 00 47 01 43 群論オソロシス! べつにルート系の分類には群論はたいして使わないよ。 ルート系の分類は 43 さんみたいにほぼ純粋にユークリッド幾何的にできます。 むしろルート系の分類が群論に応用されます 45 :132人目の素数さん [] :2008/06/22(日) 04 59 14 43 c_{ij} = 2 (l_{x_i}^T l_{x_j}) / (l_{x_i}^T l_{x_i})でしたし、 しかも、x_k = x_j - x_i c_{ij}の時点で線型従属だった… 鏡映の計算の定義がまちがってるのかな…鏡映を行っても回転と並進で元に戻る (合同)となる単体(仮にルート単体とする)と定義すればありそうなのですが… 44 さんお詳しそうなので、何か情報をいただけるとありがたいです。 46+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/22(日) 06 39 04 ルート系は線形独立性は課さなくていいんですけど。 単に、n 次元空間の中の、N 本のベクトル x_1 , ... x_N で、 かってな x_i と x_j にたいして、 x_j - x_i c_{ij} ただし c_{ij} = 2 (x_j , x_i) / (x_i, x_i) というベクトルがまた x_1, ... x_N のなかのどれかになっている、 というのがルート系の定義です。(a,b) はベクトル a と b の内積ね。 a^T b と書きたかったらそれでもいいけど。 E8 は8次元空間のなかに240本あります。 47+1 :132人目の素数さん [] :2008/06/23(月) 20 35 57 46 情報ありがとうございます!ベクトルの始点は固定とか考えてました… 例えば、A_n型ルート系と呼ばれるものは、n次元正単体の n(n-1)本の全ての辺について 0点から1~n点へ・1点から2~n点へ…と向き付けすることでようやく一つイメージできた気がします。 そして、この n(n-1)本の有向辺ベクトルを無理矢理1つの始点から出るように移動すれば、 この始点を中心とするn次元半超球上にベクトルの終点となる n(n-1)点が均等に 配置されることがイメージできて、正のルート系という用語も理解できそうです。 しかし、x_j - x_i c_{ij}を再帰的に満たすことから c_{ij} が整数となることや、 これより x_iと x_jの成す角が30・45・60・90・120・(135・150?)度になると言えても、 確実に分類することは私には皆目検討もつかない状態なので、 世の中にはすごい人いるんだなぁとつくづく思った今日この頃です。 そういえば、34氏的な正多胞体のリスト発見しました→ ttp //en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes 48+1 :132人目の素数さん [] :2008/06/23(月) 21 22 12 46 ま、まさか、8次元接吻数 240 は E8 からキテるんですか(((( ;゚Д゚))))ガクブル 49 :132人目の素数さん [] :2008/06/23(月) 23 42 27 47 n次元正単体の辺の数はn(n+1)/2だった…3回も間違っとる…orz 50+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/06/24(火) 10 25 03 48 そうですよ。E8 格子が最密のはず。 とにかく図書館が使えるなら、Conway-Sloane の Sphere packings を借りましょう。これはすごい。 51+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/05(土) 14 03 04 50 すごい!今後の日程として、7月中旬に県一大きい本屋に行って、 前学期が終わる7月31日頃に大学の図書館に行こうと思てます。 それまでに、LaTeXでPDF形式も作れたらうpしたいと思います。 52+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/05(土) 15 22 26 51 県一大きい本屋にも Conway-Sloane があるとは限らないきがする... 洋書の専門書って本屋の注文担当の人がランダムに決めてるとしか思えない、 東京大阪中心部の大型書店でも。 お金が余ってるなら Amazon で買うのをおすすめします http //www.amazon.co.jp/Packings-Lattices-Grundlehren-Mathematischen-Wissenschaften/dp/0387985859/ これは格子、球の充填に興味のある人は1万3千円出して絶対損はない本です 53 :132人目の素数さん [] :2008/07/05(土) 16 18 56 最近は、ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/ のatwikiをいじったりしていて、 JavaScriptなしで誰でも編集できるように「このページを編集 」リンクを付けたりしてました。 アクセス解析の機能はatwiki的には提供してないらしいので気軽にお願いします。 あと、ttp //en.wikipedia.org/wiki/Heron's_formula のGeneralizations項の ルートの中身の行列式に-1かけないと間違ってる気がしました。 私的に余因子総和を行列式にするなら、ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/28.html のように 1だけの列を-1だけの列に変えるといいと思いました。 54+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/05(土) 16 43 16 52 早速レスありがとうございます!12,595円高いけど何かめちゃくちゃ欲しいです。 この前秋葉原のヨドバシカメラ7階くらいで少し欲しかった岩波数学大辞典とかいうのが、 昔第3版くらいは5,000円くらいだったのに第4版くらいで文字が大きくなって CDかDVDがついたらしく15,000円になってたような感じを思い出しました。 懸念事項は、私が英語不得手なこと・10年前発売なこと・ネットショッピング怖いこと・金額面という感じですが、 来週からバイト始めようと思ってた矢先なので、ちょうど買い時という自分の流れが逆に怖いです。 55+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/06(日) 00 09 45 54 本が10年前でなぜだめなの?自分の知ってる内容が50年前ぐらいの状況だったら何の問題もないでしょう。 あとアマゾンはネットショッピング最大手なので大丈夫だと思うよ。 ただやっぱり高いので、図書館でちょっと読んでからというのをおすすめしますが。 56+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/06(日) 15 25 19 55 私の新物好きや、ネットで匿名活動は、IT系から来る特殊な性癖なのだぁ(謎) また、50年前どころか読んで理解する上での前提知識も自分は乏しい気もするので、 おすすめのように、大学の図書館に3日ぐらい引きこもってきてから、今後の応用の主軸をどこにおいて いくか決める方向でいきます。正多胞体・充填問題・英語論文を目指すなら間違いなく買いであります! 見てくるにあたって、格子や球充填の本丸の他に、全てのルート系の例えば的な全てのベクトルの値とか、 正多胞体を形作るベクトル l_i を再帰的に l_{i+1} = X l_iのように生成する変換行列 X (X^n = E) とか、 超立体角をうまく表すためのきっかけとか、n次元単体を絡めた応用のきっかけとか得たいと思てます。 また、自分なりに調べたりわかったり思うところなど書いていきたいと思ってまう。 あと、今日中に外心のページ・今週中にk次元面心のページなどを書けば、 一応n次元単体の五心ネタは出し切れる感じしてますが、 これから動くにあたってもっと情報が欲しい的なこともあり、 近々 線型代数スレかどこかでお力添えを頂けないか頼もうか考える今日このご(ry 57 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 00 05 11 n次元単体の(n+1)個の頂点からのベクトルの長さの自乗和 F_G が最小となる点は重心であり、 その自乗和の最小値をベクトルの数で割った値の平方根を重均半径 r_G = √(min[F_G]/(n+1)) とすると、 j点からi点への辺の長さの自乗の1/2をji成分に持つ行列(仮に辺乗行列と呼ぶ) \tilde{B} を用いて、 r_G = √(1^T \tilde{B} 1) / (n+1) と書けるような気がしてます。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/12.html 58+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/07(月) 00 10 54 56 IT 系は dog year だから、2年前に出た本を買う人は馬鹿だというのは納得しますが、数学の発展なんて遅々としてますから、10年前の本でも全然古くないですよ。 59+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 03 37 30 58 そういわれてみると、全くそのとおりな感じします。 数学系は著名な人や系統的にまとめられた名著は何年前のでも参照される感じします。 例えば、関孝和さんとかユークリッド原論とか思いつきました。 IT系は例えばC言語だと昔の創始者(?)のカーニハン&リッチーとか見る人もいるけど、 実務的にはANSI Cとか新しい規格や仕様に準拠してる方を見たい感じですし。 月刊誌的にもIT系は結構買いますが、数学系は数学セミナー4月号のみ…ってそれは私の趣味か 60+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/07(月) 04 21 14 59 カーニハン=リッチーはANSI対応版も出てると思うけど ... 61 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 04 55 16 n次元単体のi点(i=0~n)からi対面(i点以外のn頂点によって作られる(n-1)次元単体) への垂線(i垂線と呼ぶ) h_i の長さは、辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・ 余因子総和行列 \tilde{C}・((n+1)列)標準基底 e_i (i=0~n)を用いて、 √(h_i^T h_i) = √((1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / (e_i^T \tilde{C}[ -\tilde{B} ] e_i)) と書ける ような気がします。ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/17.html 62+2 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 05 16 23 60 僕的にカーニハン=リッチーといえば関数の引数を宣言と実装の間に列記する感じします。 UNIX系の昔のX Window systemの本とかで古そうなソースコードとか見たりして 生じた先入観かも。今はもっぱら流行ってないC89や難しいC++に興味ありますが、 何分私は仕事もしてない適当な人間なので。しかし今週からバイト始まるかもみたいな 63 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 05 19 02 62 3行目「流行ってないC89」→「流行ってないC99」 64 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 05 52 20 n次元単体の内接超球の半径は$$ r_I = 1/(Σ_[j=0,n] 1/√(h_i^T h_i)) $$となることから、 辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・余因子総和行列 \tilde{C}・行列 X の全ての成分 を平方根した行列 √(X)・行列の対角成分の総和(トレース) tr を用いて、 r_I = √(1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / tr[√( \tilde{C}[ -\tilde{B} ] )] と表せると思います。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html なお、n次元単体の傍心は 2^n 個(内心を含む)定義できるような気がしてます。 65+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/07(月) 06 08 45 62 C++0x いいよね。 function( [ ](){return 0} ) みたいなかんじ。 66 :132人目の素数さん [] :2008/07/07(月) 06 35 41 65 C++0x キターー(・∀・)ーー!! いつのまにこんなすごいものできてたんですか…全然知りませんでしたよ… やりてー 67 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/07(月) 06 35 59 65 function( [ ](){return 0} ) なにこれ? 68+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/07/07(月) 07 13 31 Closure というか λ 式というか、C++ 的には無名局所関数オブジェクトです。 http //www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2008/n2550.pdf 69 :132人目の素数さん [] :2008/07/08(火) 04 24 50 68 ざっと見てポカーンでした!クロージャやラムダ式は敬遠ッ敬遠です! 無名シリーズといい、やっぱり、C++って難しいスね。。 IT系は、gcc4とかHTML5とかしばらく見ないうちに超展開しててびっくり人間。 70 :132人目の素数さん [] :2008/07/08(火) 05 03 57 今日は角心、明日は外心、週末にk次元面心について書くことにした、うん。 そこで、ある点からn次元単体の1辺を見込む角度の余弦が等しく - 1 / n となる点を n次元単体の角心(等角中心・特に2次元ではフェルマー点とも呼ばれる)と仮に呼びます。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html のような計算により、n次元単体の0点から角心 への方向ベクトルを解くことは、n次元単体を作るn本の方向ベクトルのうち2本 l_i, l_j を使った n次元単体の0点から角心への自乗距離 R_F についての4次方程式を解くことに帰着できそうです。 特に、その2本のベクトルの長さが等しい場合は、式が2次(1次)^2=0の形に因数分解できるし、 また、n=2の三角形の場合には、R_Fについての3次方程式になりそうです。 n=2でその2本のベクトルの長さが等しい場合について、当たってそうなことを確認しました。 あと、もう1回ぐらいブレイクスルー起きればいい式に書ける気がしてます。 71+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/08(火) 06 10 04 一番上から読み返してましたが、超わかりづらい… でも、この分野はけっこう新規性があるものが眠ってる気が個人的にするんだ… 例えば、n次元単体の外接超球の半径 r_O は、 n次元単体のj点とi点(j,i=0~n)との距離の自乗値の 1/2 を ji成分に持つ行列(仮に辺乗行列と呼ぶ) \tilde{B} を用いて、 r_O = 1 / √(1^T \tilde{B}^{-1} 1) と書けると個人的に予想していて、 ちゃんと証明できたらすごいことだと個人的には思ってるんだ… 72+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/09(水) 05 58 37 外心について少し書きました ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html 32 の論文(?)にある地道な計算式からは、どうも 71 の予想に持っていけないので、 n次元単体の体積を 外心とi対面で作られる(n+1)個のn次元単体の体積の和差と 関連付けて成り立つ関係式(仮に外心分積定理と呼ぶ)でなんとかしようとしてます。 73 :132人目の素数さん [] :2008/07/09(水) 06 20 34 外心のページの外心分積定理の項で出てる、外心から i対面への垂線 h_i \alpha_i について \sum_{i=0}^n \alpha_i = 1 となるという関係式は、分面心座標 (2次元の場合、三線座標と呼ばれるもの)関係の何かの総和みたいなのが 常に 1となるとかを先に言って、それを用いればはしょれるしわかりやすいと思った。 74+1 :132人目の素数さん [] :2008/07/11(金) 06 27 37 72 の外心分積定理において p_i の係数についてだけ考えれば、 \alpha_i = (\tilde{c}_i^T \tilde{b}_\sigma) / (\tilde{c}_i^T \tilde{e}_i h_i^T h_i) と書けると思った。 75 :132人目の素数さん [] :2008/07/13(日) 10 51 44 k次元面心について少し書きました ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/25.html * n次元単体のk次元面心の定義 n次元単体の(k+1)個(k=0~n-1)の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい内部点をk次元面心と呼ぶ。 n次元単体においてk次元面心から(k+2)個の頂点で作られる(k+1)次元単体面への垂線の足は その(k+1)次元単体の内心となる。逆に言えば、n次元単体の内部にある(k+1)次元単体面についてその内心を通る (n-k-1)次元直交補空間の$$ {}_{n+1} C_{k+2} $$通り全てが一点で交わるとき、そこがk次元面心となる。 どんなn次元単体でもk次元面心が存在すれば唯一であり、 (n-1)次元面心は内心として常に求まり、0次元面心は後述の外心として常に求まるが、 k=1から k=n-2までの k次元面心が存在する n次元単体は特別な場合に限られる。 例えば、n次元正単体の場合はk=0から k=n-1までの k次元面心が全て同じ点として唯一求まる。 76 :132人目の素数さん [] :2008/07/14(月) 07 10 29 74 にあるように \alpha_i = (\tilde{e}_i \tilde{C}[P^T P] \tilde{b}_\sigma) / v^n としか考えられないけど、\sum_{i=0}^n \alpha_i = 0 \neq 1 だと思うので、うーん… 今日は分面心とi対面によってn次元単体の体積を(n+1)個に分けたときを考えたいと思います。 あとできるとしたら(n-2)次元面心と1次元面心の存在する条件と解を求めるくらいで、 ここら辺が今の俺の限界ラインなので、今週は図とPDFに力を入れたいけど、 バイト暇なし的な感じで萎えー線型代数スレも過疎ってるなぁー 77 :132人目の素数さん [] :2008/08/14(木) 17 37 41 リアルで真面目に働いてて放置プレイしてました。 そして、久々に大型連休キターと思ったら、図書館も休みだった… とりあえず、このスレやまとめサイトがGoogle検索では結構上に出てくるー しかし、過疎ってるー17日までにいろいろがんばろうっと… という保守。 78 :132人目の素数さん [] :2008/09/11(木) 15 04 21 元気? 79+2 :132人目の素数さん [] :2008/09/14(日) 15 35 42 元気じゃないよー最近はmixiを試したりしてた(謎) 早くレポート的なものを作って大学や図書館に行きたいぉ あと、i点・○心を通る直線とi対面の交点(i○足)が作る単体(仮に○足単体と呼ぶ)や、 (n+1)通りあるi対面の○心で作られる対面○心単体(仮)の諸性質を考えると、 あと2倍は楽しめると思ったけど、難しいし時間がないしなぁー まず、もっとちゃんとまとめるべきか、拡張させるか、新しい方向に行くか、迷ってる。 とりあえず、今は垂足単体の内心が元の単体の外心になるような気がして、気になってる。 80 :132人目の素数さん [] :2008/09/14(日) 17 51 04 例えば、重足単体は対面重心単体であり、元の単体がひっくり返って相似比n:1 となるような単体となり、位置行列Pで表すとP (1 1^T - E) / n となる図形であるとか。 また、垂心がある単体(等内積単体)の垂足単体は等内積単体となるのか? など、アイディアや考え方によって興味あるネタ満載な気がするのですが、 誰かやってくれないですか?私もおいおいやっていきますので… 81 :132人目の素数さん [] :2008/09/14(日) 18 28 42 79 の○足単体の定義では、垂心が定義できない単体では 垂足単体が定義できなくなる気がしるなぁ。 i垂線とi対面の交点をi垂足としたいので、重線・内線・傍線・外線を定義するとか… 傍線とか○心が単体の外側にある場合、まだ想像できないなぁー ●心から i○線方向に行って i対面と交わる点を i●○足とすれば、 ●○足単体が定義できそうな気もするけど、今はまだ考えちゃダメな気がする。うん。 82+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/15(水) 23 04 59 えーもう1ヶ月かーはやいなぁー(汗) シムソン超平面については正四面体で考えてたら ならなさそうなことがわかりました。けど、何かあるとしたら 外接超球上の点の関係だよなぁーと思ってますぅ… バイトとかやってる暇じゃねー、レス付くのが早いか、辞めるのが速いか(謎) という保守。 83 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/16(木) 09 14 38 すごい 84 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/16(木) 22 28 15 やべぇ、83さんレス速すぎッ(汗 僕はバイト辞めるんだ、ゼッタイ辞めるんだ… 85+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/17(金) 19 13 56 82 について、n次元単体にその外接超球上の1点を加えて作られる複体を考えると、 トレミーの定理関係の拡張とかで、超球内接複体定理みたいなのができる気がする。。 n次元単体 P の外心 p_O と 外半径 r_O および外球点 p_X について成り立つ (p_X - p_O)^T (p_X - p_O) = r_O^2 という式をトレミーっぽく変形していくと… つまり、辺乗行列 B の式で表すように持ってけばいいのか…むずい… やりてー! 86+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/18(土) 00 14 21 i=0~n, j=0~n, b_{ij}=(p_i - p_j)^T (p_i - p_j), b_{(n+1)(n+1)} = 0, b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (p_X - p_i)^T (p_X - p_i) としたとき、 b_{ij}(i=0~(n+1), j=0~(n+1))をi行j列の成分に持つ (n+2)×(n+2)行列を拡大辺乗行列 \tilde{ \tilde{B} } と呼ぶ。 これをふまえて、 85 の感じで考えると、n次元単体と その外接超球上の1点で作られる拡大辺乗行列について、 \det[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 みたいになると予想できる。 っていう、我ながら激しく怖ろしい発想をしてしまった… 符号さえあわせれば、トレミーの定理にはなる気がする。 3次元以上はまだ想像すらできないけど… っていうか何かあるならすげぇ 87+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/19(日) 02 04 11 ¥det ¥sqrt って ¥sqrt ¥det と等価だとおもうんだけど。 ふつうの数学の定義では。 ¥sqrt A = B なら A = B.B 、行列のかけ算として、なので。 成分毎に ¥sqrt するということ? 88+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/19(日) 20 19 33 87 さん、レスありがとうございます! 行列のルートは、私的に成分毎のルートと言う意味で定義なしに使ってしまいました。 構想段階だったのと、↓の内接・傍接超球の半径のページで使っていたので、 配慮無くすいません。http //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html 使った理由としては、行列にルートかけた式を個人的に見たことなかったし、 行列式やトレースかける前に成分毎にルートかける需要が私的にあったので、 ここでは行列にルートかけると成分毎のルートするということにしたいのですが いかがでしょうか?個人的に他にいい書き方が思いつかなかった… 89 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/19(日) 20 43 49 しかも、 86 なんかは、二乗して\tilde{ \tilde{B} }の成分になればいいという意味で 配慮無く\sqrtを使い、+か-か成分ごとの符号は後でコジツケようとしていましたが、 いろいろ符号変えてトレミーの定理の式にしようとしたけど出来ませんでした。 ここは視点を変えて、 85 の式が (l_X - l_O)^T (l_X - l_O) = r_O^2 = l_O^2 とも書けて l_X^T l_X = 2 l_X^T l_O であることから、b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (l_X - l_i)^T (l_X - l_i) で この式を b について書き換えることで、きれいな B の式に持って行きたいと思っています。 手がかりは、0点から外接超球上の一点(外球点と呼びたい)へのベクトル l_X と、 0点から n+1個あるn次元単体の i番目の点(i点)へのベクトル l_i を交換しても、 同じ式になる(個人的にはサイクリックになるとか呼んでる)ことなので、使いたいです。 90 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/19(日) 21 35 24 あと、行列のトレースは今 \tr で書いていますが、正方行列 X の対角成分以外を0にした 対角行列を \Sigma[ X ] で表すとすれば、成分が 1 のみのベクトル \bm{1} に対し、 \tr[ X ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \bm{1} とよくある形で書きたいと考えています。 これは、内接・傍接超球の半径などで対角成分に符号を付けてからトレースする需要 があるのですが、上記を用いると、成分が +1 か -1 の符号ベクトル \delta に対し、 \tr[ X \Sigma[ \delta ] ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \delta とうまく書けるからです。 (ここで、\Sigma[ \delta ] は、\deltaの成分を対角成分に持つ対角行列とする) あと、 87-88 についてですが、正方行列 A, B に対して A A = A^2 = B となるときは A = B^{1/2} で表そうとしてました。 私的な知識不足もあり、標準の記号からいろいろ紆余曲折あって記号を 変えてしまったりしてしまっていますが、逆にわかりづらくてすいません。 91 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 12 37 37 今思いついた感じでは、行列式 \det のi行j列の各項ごとに付く符号 \delta_{ij} = (-1)^{i+j} を変えて、歪対称行列のように対角成分をはさんで 上三角部分が+で下三角部分が-となる符号が付く変形行列式を 仮に \sdet とでもすれば、\sdet[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 が成り立つと思た。 しかし、仮に1次元でトレミーの定理ッぽいものを考えるとすれば、 一直線上に3点あるときの式と思うので、でそれそれの辺の長さをa, b, cとすると、 一般式が1次元の場合において(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=0 という式になる とも考えられます。1次元の場合は球じゃないから除外でいいのかなぁー あれっ、今更だけど普通トレミーの定理ってどうやって出すんだっけ…? この土日で 89の方法とかで3次元以上もちゃんと詳しく理論付けしたいです。 92+3 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 13 17 07 n次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。 10点 n次元円錐の体積を求めなさい。 5点 n次元空間でオイラー数の式を作りなさい。 3点 93 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 13 41 56 1→シュタイナー木の問題?(n次元単体サイコロなら角心関係) 2→n次元超球とその外の1点で作られる図形(n次元超球錘と呼びたい)として ∫_0^(超球の中心とその点の距離 x) (n次元超球の体積(半径は適に)) dx みたいな? 3→超球体と同相なn次元複体なら(n次元単体の数)-((n-1)次元単体面の数)+…(頂点の数)=2?忘れたー 今から仕事行って来るから、後で詳しくやるわーっていう逃げ 94+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 18 06 10 92 まず、「n次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。」についてですが、 正n次元単体の(n-1)次元対面や2次元面(正三角形)を展開した図が私的に思い浮かびませんが、 「n次元単体の表面において0点から出発して0対面の重心を通りまた0点に戻ってくる最短距離を求めよ」 とか「n次元単体をその0点と0対面の重心を通る超平面で切った切り口の超体積について最小最大値を求めよ」 とかなら少し興味あるかも。。 希望的観測で題意を意訳して、「n次元単体を作る(n+1)点を結ぶ最短経路を求めよ」という問題だとすると、 そのn次元単体のi点(i=0~n)からそのn次元単体の角心へ引いた(n+1)本の線分がその答えと思う。 まだ証明できんし角心も4次方程式を解く所まで ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html しか出してないっス。その時の合計の最短距離は↑をふまえると、全ての角が cos \theta -1/n となるとき \sqrt{R_F} (1 + Σ_{i=1}^n t_i) でいいと思うが、角が cos \theta ≧ -1/n となるものが ある場合どうなるかわかりません。先は長いなぁー 95 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/25(土) 18 08 26 94 cos \theta ≧ -1/n の所の不等号逆でした。 96 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 18 53 42 92 次に、「n次元円錐の体積を求めなさい。」についてですが、 半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間ではない 方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元超球錘の体積 V_{rd} は、 V_{rd} = ∫_0^d (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) (x r/d)^n dx = (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) r^n d/(n+1) であり、元の n次元超球の d/(n+1) 倍となる(一瞬で気付けなかった俺って…)。 半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間のどこかの 方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元アイスクリーム型の体積も求めたいな。 後々、n次元単体角みたいな超立体角を定義するとき必要となりそうだなぁー 97+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 19 48 21 92 最後に、「n次元空間でオイラー数の式を作りなさい。」についてですが、 Wikipediaの「多胞体」のページがヨカッタのでリンク張ります。 ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%83%9E%E4%BD%93 超球と同相なn次元複体のオイラー標数χ について、そのn次元複体を単体分割して 得られるそれぞれの i次元単体(i=0~(n-1))の数を a_i とすれば、シュレーフリの n次元公式より χ=Σ_{i=0}^(n-1) (-1)^i a_i = 2(nが奇数) or 0(nが偶数) だと思います。 超球と同相なというと4次元での exoticな多様体とか少し気になりましたが、関係ないよね。 92 さんありがとうございます!とても興味深い問題です。 今の私的には上記な感じですが、解答・ご意見・レスお待ちしております。。 98+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/25(土) 19 56 30 n次元超球の表面積および体積については、 ttp //www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/highsphere/highsphere.html が詳しかったです。 もうすぐ、100ですね。 99 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 20 45 31 4次元立方体のとき 面(3次元立方体)=4軸x2面=8 角(3次元辺)=4軸x2面x8(3次元)辺=64 辺(3次元面)=4軸x2面x6(3次元)面=48 K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 として χ(K) = V - E + F 角ー辺+面=64ー48+8=24? 100 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 20 57 08 4次元三角錐のき 面(3次元三角錐)=4軸x2面=8 角(3次元辺)=4軸x2面x6(3次元)辺=48 辺(3次元面)=4軸x2面x4(3次元)面=16 点(3次元角)=4軸x2面x4(3次元)角=16 K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ,点 C=q3として χ(K) = V - E + F-C 角ー辺+面-立体=48ー16+8ー16=14? 4次元立方体のとき 面(3次元立方体)=4軸x2面=8 角(3次元辺)=4軸x2面x12(次元)辺=96 辺(3次元面)=4軸x2面x6(3次元)面=48 点(3次元角)=4軸x2面x8(3次元)角=64 K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ,点 C=q3として χ(K) = V - E + FーC 角ー辺+面=96ー48+8ー64=ー8? 101 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 21 00 52 一般に、n次元の図形(単体的複体)のm次元の辺の数を am とするとき交代和 Σ{m=0ー>n-1} (-1)^m a_m = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + 。。。 をその図形のオイラー標数と呼び、この公式をシュレーフリのn次元公式という。 奇数次元の多胞体の場合はオイラー数は 2 で、偶数次元の多胞体の場合はオイラー数は 0 である。 102+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 21 02 36 4次元トーラスのオイラー数は? 5点 4次元クラインの壷のオイラー数は? 10点 4次元クラインの壷の展開図を作りなさい 5点 103 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 21 21 52 4次元立方体のとき 0次元の辺=4C0x2=2 1次元の辺=4C1x2=4 2次元の辺=4C2x2=12 3次元の辺=4C3x2=8 2ー4+12ー8=2 104+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/25(土) 23 03 08 4次元トーラスのオイラー数は、トーラスって球よりも2個下がった記憶あるから、-2じゃないかな? クラインの壷もトーラスが向き付け不可能になったぐらいの違いだからオイラー標数は同じじゃないかな? いやまって、トーラスもクラインの壷も2次元閉曲面かそれに囲まれた(?)3次元体のことだったっけ? え!?n次元のやつは直積するの!?やだーおいおい調べますわー。この分野って位相幾何学? 4次元立方体は偶数次元多胞体で4次元超球と同相(位相同相?)だと思うので、 オイラー標数 χ(4次元立方体)=0だと思いますー単体分割めんどそうー ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93 ttp //www.google.co.jp/search?q=%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93+%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%A8%99%E6%95%B0 5次元以上の正多胞体は 3種類ってのは、このスレでこの前教わったけど、 この一件で、それらを正単体(α体・regular simplex)・正軸体(β体・cross-polytope)・ 正測体(超立方体・γ体・hypercube)と呼ぶことを改めてちゃんと覚えました。 4次元立方体は英語でtesseractっていうですか?めっちゃかっこいい! とりあえず、100ゲットおめでとう! 105+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 23 35 04 http //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/423_s16.htm 106+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/25(土) 23 55 14 http //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/618_ag2.htm 107+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 00 03 05 Square Cube Tesseract Vertices 4 8 16 Edges 4 12 32 Squares 1 6 24 Cubes – 1 8 X 4-4=0 8-12+6=2 16-32+24-8=0 108 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 00 31 50 105-107 ありがとうございます!すごい人いた! β体は双対立方体とも呼ばれるようですね。 ポアンソって見た時、一瞬誤植かネタか頭をよぎりました。。 エキゾチックなミルナーの定理とか(怪)…代数幾何学…ムズイ 109+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 00 59 59 http //www.daviddarling.info/encyclopedia/T/tesseract.html Σ=ΣCni T1ー>T2- T3- T4・・・ Cn+1,i=2Cn,i+Cn-1,i 110+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 01 09 20 4,4,1 8,12,6,1 16,32,24,8,1 32,80,80,40,10,1 ... 111+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 01 12 21 4,4,1 4-4=0 8,12,6,1 8-12+6=2 16,32,24,8,1 16-32+24-8=0 32,80,80,40,10,1 32-80+80-40+10=2 ... 112+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 01 19 26 T1= 8,12,4 8-12=-4 16,32,20,4 16-32+20=4 32,80,72,28,4 32-80+72-28=-4 113+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 06 54 16 n次元ユークリッド空間において,1つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは,接吻数(kissing number)あるいは接触数(contact number)と呼ばれています. 114+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 06 55 14 4次元の場合はどうなるでしょうか? 24個の面心立方格子状配置の接触点 1/√2(±1,±1,0,0) 1/√2(±1,0,±1,0) 1/√2(±1,0,0,±1) 1/√2(0,±1,±1,0) 1/√2(0,±1,0,±1) 1/√2(0,0,±1,±1) で重ならないように置けるので,τ4≧24は明らかです.また,τ4≦25は示されていますが,現在でもτ4が24であるか25であるかは未解決です. 115+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 06 58 49 http //www7.atwiki.jp/neetubot/ 116+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 01 39 http //ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%8D%98%E4%BD%93 117+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 10 42 4次元三角形のピタゴラスの定理を作りなさい 3点 4次元円でオイラーの公式をつくりなさい 5点 4次元での結晶構造をすべて分類しなさい 50点 118+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 14 44 その疑問に対して、ある化学者はひとつの考え方を持っている。つまり自然界には高次元図形のさまざ まな投影があふれているかも知れないが、もしそうだとしても、特殊な分かりやすいもの以外は複雑す ぎて3次元人には理解できず、もし理解できても今のところ何の役にも立たない、というのである。 その後、この問題に関わらないようにしていたところ、鉱物の結晶、放散虫の骨片、花粉、雪の結晶な ど、自然界のいろいろな微小な構造体の中に、4次元図を見せるかたちを見つけた。簡単にいえば、1点 (あるいは多くて4点)から発散しながら幾何級数的に成長したり膨張したりする立体的な造形は、4 次元透視図を具現化しているといえる。 4次元投影GPSを作りなさい 20点 119+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 16 27 自然界の4次元 (単行本) 高次元科学会 (編集) まだカスタマーレビューはありません。 今すぐどうぞ。 価格: ¥ 5,250 (税込) この商品は1500円以上国内配送料無料を利用して配送されます。 詳細 120+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 17 55 4次元フラクタル次元を計算しなさい 25点 121+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 27 03 結晶学からみた4次元体の3次元体への投影 4次元空間の3次元空間ヘの線形変換的考察 Transformation of Four Dimensional Body to Three Dimensional One from View-point of Crystallography Linear Algebraic Consideration of Four Dimensional Space to Three Dimensional One 満塩 大洸 1 新関 章三 2 MITUSIO Taikou 1 NIIZEKI Shozo 2 1高知大学理学部自然環境科学教室 2高知大学理学部数理情報科学教室 122+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 27 48 4次元結晶構造解析に基づく酵素・基質複合体の反応過程の追跡. データベース. 登録. 2006・7. 氏名他. 神谷 信夫、理学研究科・物質分子系専攻、教授. <概要>. 我々は SPring-8 に代表される高輝度放射光施設を利用して,蛋白質の結晶に適用可能な4 ... 123+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 31 35 上の論法を高次元に敷衍していくと,SO(4)の合同変換群は, (1)巡回群とその裏返し (2)正多面体群とその裏返し (3)正多胞体群(4次元の場合は正24胞体があるので,4系列) SO(5)の合同変換群は (1)巡回群 (2)正多面体群とその裏返し (3)4次元正多胞体群とその裏返し (4)5次元正多胞体群(正12面体,正20面体に相当するものはなくなるので,2系列) になると予想されるのだが,私の直観が正しいとはまず考えられない.落とし穴にはまっているだけかもしれないのである. 124+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 35 16 4次元のフェドロフ結晶群は4783種類(4895種類)存在 125+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 07 41 50 C. J. Bradley and A. P. Cracknell, The Mathematical Theory of Symmetry in Solids. Clarendon Press, OXFORD ( 1972 ) 126+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 08 09 00 http //www.astro.uu.nl/~snik/html/NTS.htm 127+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 08 17 46 http //en.wikipedia.org/wiki/Image Calabi-Yau.png 128+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 08 21 16 4次元メビウス変換をつくりなさい 8点 129 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 09 44 34 109-128 寝て起きたら超展開ありがとうございます!一読した雑感としては、 このスレよりも 位相幾何学スレの方が詳しく答えてもらえる気がします。 たぶん、この前 代数幾何学スレはdat落ちしたようです。 位相幾何学/トポロジー/topology 2 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132648631/ 僕もおいおいやりますー。今日はトレミーやってますー 130 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 09 53 24 120 と言われてパッと思いついたのは カントール集合です。 log(2)/log(3)次元らしいから、4次元にしたら4倍で約2.5次元みたいな? しかしこれ、フラクタルじゃないか… ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 131+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 11 34 05 114 τ_4=24はすでに示されてる。 132 :132人目の素数さん [] :2008/10/26(日) 13 37 43 128 メビウス変換は複素数zに対し T(z)=(az+b)/(cz+d) (ad-bc=1) となる変換らしいので、 n次元メビウス変換は 1次元過剰な (n+1)×(n+1)行列 A (さらに m次元空間上でやるなら 対象とするn次元部分空間の正規直交基底をPとすれば P A P^T)で対象のベクトルを かけてから同次系ベクトルのように過剰な成分で全部の成分を割る感じみたいな? 射影幾何学やってたとき合同式≡か相似っぽい~でつないでた気がする。 そして定義域は複素数体みたいな?いや、適当です。ゴメンナサイ 133 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 13 44 53 131 あ、本とだ。。Wikipediaですが…↓ ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E5%90%BB%E6%95%B0%E5%95%8F%E9%A1%8C 日進月歩なんですね。。俺もよく見る人↓の記事とか ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/283_ball.htm 134+2 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 19 57 46 102 について、ちょっと考えたんだけど、立方体の縦横奥行き方向に4本ずつある辺を それぞれ同一視した(くっつけた)場合、4次元トーラスになりますか?クラインの壷は どこを逆に付けるんだ…展開図が立方体って俺には単体分割も想像もしたくないけど… 135 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/26(日) 20 41 31 98 や前述あたりに基づいてトレミーの定理の拡張について考えているんですが、 四角形の4点の位置が固定であるからトレミーのあの式になるのであって、私的には ベクトルや辺の長さのみで点の位置は固定せず関係式を導出したいと思ってます。 今回、あるn次元単体が存在するn次元部分空間内にある1点(以下、x点)について そのn次元単体の外接超球の内部か球上か外部のいずれにあるのかいい式で出せる 気がしてます。 このn次元(n+2)点複体の外接超球があるときの式を「複体外接超球の定理」と仮に 呼びますが、既にこのような定理があることを知ってる方は情報いただけると ありがたいです。まだ世の中に無いときは皆で名前とか付けたいです。 以下に、今日できたところまで書きますー 136+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/27(月) 01 12 37 0点から出るn本の互いに線型独立なm次元列ベクトル \bm{l}_i (i=1~n)と それらn本のベクトルの線型結合で表される x点 \bm{l}_x を考え、 n本のベクトルが作る n次元単体の外接超球とx点との距離Fを求める。 n本のベクトル \bm{l}_i が作る n次元単体をm×n行列 \bm{L} = [\bm{l}_1, …, \bm{l}_n]で表すと、 0点からこのn次元単体の外接超球の中心(外心)へのベクトルは l_O=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0 (ただし、\bm{b}_0 = [(\bm{l}_1^T \bm{l}_1)/2, …, (\bm{l}_n^T \bm{l}_n)/2]^T)と書ける。 これより、外接超球とx点との距離を F= (l_x-l_O)^T (l_x-l_O) - l_O^T l_O= l_x^T l_x - 2 l_x^T l_O とする。 ここで、iとjは0~nまたはxとなるとし、i点と j点の距離の二乗を b_{ij} = (\bm{l}_i - \bm{l}_j)^T (\bm{l}_i - \bm{l}_j) とおき、\bm{b}_x = [(b_{x0} - b_[x1})/2, …, (b_{x0} - b_[xn})/2]^T)として、このFの式を書き換えると F= \bm{b}_x^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_x - \bm{b}_0^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0 となる。 (これを整理すると \det()-\det() の式になる。) 上記を用いて、x点についてこのFの値が負となる場合は x点は n次元単体の外接超球の内部にあり、 F=0でx点が外接超球上、F 0となるならx点は外接超球の外部にあることが言える。 これを仮に「複体外接超球の定理」と呼ぶ。 例えば、1次元のみで考えると、F=(b_{x0} - b{x1} - b_{01}) (b_{x0} - b{x1} + b_{01}) / b_{01} となり、x点は0点と1点の間にある場合 F 0 で、0点1点上にあればF=0、それ以外でF 0となる。 2次元の場合を計算すると、F= (b_{01} (b_{2x} - b_{0x}) (b_{2x} - b_{1x}) ) + (b_{12} (b_{0x} - b_{1x}) (b_{0x} - b_{2x}) ) + (b_{20} (b_{1x} - b_{2x}) (b_{1x} - b_{0x}) ) - b_{01} b_{12} b_{20} というどこかで見た式になる。幾何学的に本当かどうかとトレミーの定理との関係はまだ謎。 今後は、x点が外接超球上にあるときはサイクリックとなることを利用してつめていきたいです。 という感じの今日(もう昨日か)でした。まだめちゃくちゃでゴメンナサイ。眠い… 137+5 :132人目の素数さん [] :2008/10/28(火) 01 36 55 136 について解けた気がするので、↓にまとめました。 といっても、紙に手書きで書いてスキャンしたもの貼り付けただけですが… ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html 結局、n次元(n+2)点複体が外接超球を持つためには、全ての辺の長さに関する (n+2)×(n+2)行列 [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] の余因子総和が 0になるということになりそうです。 サイクリックを考えると符号が怪しいですが… 138+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/30(木) 23 04 20 134 について、普通のトーラス(やクラインの壷)の展開図では、 正方形の対辺を同一視するので、じゃあ、立方体の3つの対面をそれぞれ 同一視したらいいかなと思って、思って、頭が、頭がアッー! トーラスの表面を覆う厚みの内側と外側をくっつけたような3次元体が 4次元トーラスか!?って何を言ってるんだ俺は… 139+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 04 39 The flat torus is constructed by a very simple formula, namely [u,v] - [cos(u + v), sin(u + v), cos(u - v), sin(u - v)]/sqrt(2) where u and v both run from zero to 2 pi. The sum of the squares of these four coordinates is 1 so the object is completely contained in the hypersphere of radius 1 centered at the origin in four-space. http //www.geom.uiuc.edu/~banchoff/script/b3d/hypertorus.html 140+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 10 02 http //en.wikipedia.org/wiki/Torus x,y,z,w = Rcos u, Rsin u, Pcos v, Psin v where R and P are constants determinging the aspect ratio. x,y,z = (R + Psin v)cos u, (R + Psin v)sin u, Pcos v 141+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 24 14 http //www.foundalis.com/phy/4Dsphere.htm http //cgg-journal.com/2001-2/01/FOM-ART.html 4次元空間での3次元重力曲面を書きなさい (バリエーショナル) 142+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 36 09 http //images.google.co.jp/imgres?imgurl=http //www.math.brown.edu/TFBCON2003/mathematics /JPG/torus.jpg imgrefurl=http //www.math.brown.edu/TFBCON2003/mathematics/welcome.html h= 100 w=125 sz=8 hl=ja start=72 um=1 usg=__jQ2xnZkOLDfsS58T9N5Tx-Cv39M= tbnid=SbKQW1ZQIF6u5M tbnh=72 tbnw=90 prev=/images%3Fq%3D4%2Bdimensional%2Bflat%2Btorus%26start%3D60%26ndsp%3D20% 26um%3D1%26hl%3Dja%26lr%3D%26sa%3DN 143+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 43 16 http //www.research.ibm.com/journal/rd/471/martens.html 144+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 46 32 http //www.uwec.edu/physics/thomas/Physics315/index.1.jpg 見えているものは高次元からの埋め込み 145+3 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 51 21 http //www.essentia.com/discovery/images/000AF072-4891-1F0A-97AE80A84189EEDF_p64.jpg 146+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 53 25 http //www.enm.bris.ac.uk/staff/hinke/vectorfields/lorenz/lor_zoom.html 147+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 55 04 http //www.tony5m17h.net/SegalConf.html 148+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 01 58 59 http //webuser.hs-furtwangen.de/~webers/membthe1.htm 149+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 02 00 57 http //www.valdostamuseum.org/hamsmith/cosm.html 150+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 02 08 36 http //www.valdostamuseum.org/hamsmith/Sidharth.html 151+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 02 18 36 http //www2.le.ac.uk/departments/mathematics/extranet/staff-material/staff-profiles/kl96/visualization 152+2 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 07 18 31 139-151 ありがとうございます!いつもお世話になっております! 今から、仕事行ってくるので帰ったらがんばります!という(以下同文) この土日は、複体外接超球の定理をトレミーの定理にこじつけたり、 方向ベクトル L と 位置ベクトル P できれいに書いたりしたく思てます。 153 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/31(金) 20 08 11 家帰って来ましたー 139-140 あたりのリンク先などを読んで、 Three Sphere→ 3つの球→ サンキュー!とかいって、 一人で小声で凍えてました。今日は寒いっすねー。 154+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 20 45 04 高次元の射影が低次元の複雑さに関係があるって、マルデンブロートってそうかもしれない。 155+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 21 16 57 AC.BD=AD.BC+AB.DC BD=BC+CD AC=AD+DC AC.BD=AD.BC+AD.CD+DC.BC+DC.CD=AD.BC+AD.CD+DC.BC-DC.DC AD=AC+CD AD.CD=AC.CD+CD.CD AD.BC+AC.CD+CD.CD+DC.BC-DC.DC=AD.BC+AC.CD+DC.BC=AD.BC+AC.CD+CB.CD =AD.BC+AB.CD 156 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/31(金) 22 03 03 155 トレミーっぽい!ありがとうございます! さっき、長風呂から出ました! 144 さん同感です!日常の生活もいろいろな要素に関係してて高次元ですが、 見えるのは一瞬一瞬の時間で切り取られた現実の3次元空間を網膜に透視投影した2次元だけ、みたいな? 154 さんマルデンブロートでググったけどわかりませんでした。図形の一種? 正射影なら何次元でも落とせるけど、透視投影は光学中心に向かって1次元しか 落とせない気がする。そこで、弱透視投影の出番ですよ、みたいな? そんな感じの第一感(適当) 157 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/31(金) 22 19 57 141 さん、重力曲面っていう言葉が私的に初耳だったので、 Google先生で調べたところ、一件、2次超曲面っぽいこと書いてありました。気がします。 重力というと万有引力やクーロン力のように距離の逆二乗に比例する力のように思いますが、 ベクトル解析でスカラー場 φ(\bm{x}) に関して \grad φ のような気もします。 またしても個人的な希望的観測で、m次元ユークリッド空間内におけるn元2次超曲面の話 (例えば、2次超曲面上のある点 \bm{p}_x の 接線方向 \bm{d}_i における 曲率半径など) についてかと予想しますが、今回の複体外接超球の定理に絡んで面白そうな感じしてるので、 再来週あたりまとめたいです。 158 :132人目の素数さん [↓] :2008/10/31(金) 22 31 04 145 5次元と聞くと、ランドール博士を思い出しますw なんか最近、超弦理論とかM理論とか11次元とかすごすぎ! 僕的には、現実に則さないといけない物理学より、 頭の中だけで後は応用し放題の数学のがいいと思てる、とか言ってみたり 159 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 22 55 21 トレミーはn次元でも円なら成立するよ。 4次元なら距離は普通のベクトルの内積。 ミンコフスキーならテンソル積 160+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 22 58 36 重心は位置ベクトルを体積積分して体積で割る。n次元でもおなじ。 161+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 01 08 曲率を体積積分するとオイラー数になってしまう。 これ証明は未解決? 162+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 10 44 http //en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem 163+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 15 59 http //planetmath.org/encyclopedia/Pfafian.html 164 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 37 03 http //en.wikipedia.org/wiki/Chern-Weil_homomorphism http //en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology 165 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 39 01 曲率を面積分することは構造と群に関係してる。ラプラシアンは交換子。 166+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 45 44 3次元の体積積分を4次元で記述すると? スムースな多様体の曲率の面積積分は反対側の側面とキャンセルしあうので、結局、ひものトポロジーと 同相になってしまう。 3次元のトーラスを2次元に埋め込むと2つ穴の平面になる? 167+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 48 58 4次元の中の3次元のトーラスは内側と外側がつながっている。 3次元に4次元の中の3次元トーラスを展開すると、メビウスみたいに裏と表がつながったトーラスになる? 168+1 :132人目の素数さん [] :2008/10/31(金) 23 58 55 4次元で3次元のトーラスを見るとメビウスにみえる。 4次元で3次元の球を見ると、4軸上に移動することで球の内と外に移動できる。 4次元のなかで3次元球を見ると円にみえる。 4次元で3次元のトーラスを見ると2つの円にかこまれた形にみえる。 4次元でクラインのツボを見るとメビウスにみえる。 4次元トーラスは3次元で見ると時間とともに円に閉じてしまうクラゲ? 4次元クラインのツボは3次元で見ると、おなじように時間とともに円に閉じてしまうクラインのツボ? 169 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/01(土) 00 08 02 160 体積内で密度が違うところある場合、その方法すごく有用だと思います!ありがとうございます! 俺は気付かなかったので、天下り的に重心ベクトル=(各頂点へのベクトルの合成)÷(頂点の数)とやりました。 161 閉曲面での話!? 2次超曲面なら…うーん…接線方向によって曲率って変わりそう… 曲率って曲率半径の逆数でいいんだっけ?ガウス曲率とかいう名前だっけ?なんかすごそう。 162 が解?ポアンカレ予想とペレルマンさんの件かもしれないけど私よく知らない… 英語…もよくわからない!勉強します!私は日本語もうまく書けませんが…(欝) 170 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 07 23 32 寝て起きた! 163 Pfaffianキター!!!こういうのが欲しかったんやー! 余因子総和の式とどういう関係か急激に調べ中!めちゃくちゃありがとう! 171+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/01(土) 13 12 54 パフィアン調べてたら二度寝してた。そして起きた! 166 私的には2次元への像と考えて、アニュラスか円板になると想像してます。 167 4次元内で3次元トーラスを考える場合などの向き付け可能性は、 3次元の体に沿っていったら辻褄が合わなくなるというか 体の内部から外部に出ちゃうというか だと今想像したので、3次元トーラスは普通に射影したらメビウスに見えることはない気がしてます。 168 のことに関連して、これから私見で2つの想像図↓、 分点心補超球(仮)を用いた m次元ユークリッド空間内におけるn次元超球の概念図、および、 3次元トーラスと3次元クラインの壷 の展開図(立方体)、を書いてみたいと思います。 私は、位相幾何学とか代数幾何学とか今は全く無知なので悪しからずでお願いします。 172 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 15 01 25 位相幾何学について、わかりやすいPDF発見した!イイ! ttp //www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topview/apltop06.pdf n次元複体のオイラー標数はn次元単体も数えるんか… 97 間違ってた! n次元トーラスのオイラー標数は 0らしい。 104 で完全に間違えてました。 今、3次元トーラスの展開図?としての立方体を単体分割してオイラー標数だしたら 0になった感じ 173+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 18 45 http //www.youtube.com/watch?v=BYEG60e7S54 feature=related ビッグバングはブラックホールにむかう? トロイダルウニバース 174 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 22 33 まず、 134 138 についての、3次元トーラスと3次元クラインの壷の 概念図・立方体への展開図・オイラー標数について書きました↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/56.html 3次元クラインの壷は、3次元トーラスの展開図である立方体において くっつける3つの面の全てを逆向き(上下か左右反転)にくっつければ よいと思いましたが、考えづらいので、一つの面だけ反転させて付ければ 後の面は同相な変換によって逆向きに付けたものと同相になると信じてます。。 175+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 24 15 http //www.youtube.com/watch?v=sdnzcEO-FcY 4d torus cross section 176+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 27 24 http //www.dr-mikes-maths.com/4d-torus.html 177 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 30 53 コンフォーマルマッピングは4次元トーラスではどうなるの? 178 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/01(土) 21 37 51 やばい、3次元クラインの壷の展開図としたものでは、 3次元トーラスの展開図で使った単体分割ではおかしい! でも、おなじだよね。。そう信じることにした。 3次元の立方体の単体分割を探してるときに、多面体の「表面(2次元)の」 オイラー標数は「球面(2次元)と」同相なので同じく 2という記述はよく見かけたけど、 3次元体のオイラー標数については見つけられなかった。あと、単体分割は めんどくさいので胞体分割という手法があるらしい。初耳ー 173 さんありがとうございます!ようつべ見れないのでアレですが、 それはどこまで本気でどこまでネタなんでしょうか?みたいな 179 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 37 55 クリフォードトーラスを2次元に埋め込むと、パイナップル 4次元からクリフォードトーラスを見るとやっぱりパイナップル それか、円にむすんだテープ 球は円盤、クラインのツボはメビウス 4次元トーラスは4次元球面の2点を同一視すること。 4次元クラインのツボは4次元球の裏面と表面をつなぐこと。5次元のメビウス。 180 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 21 42 36 http //www.arthuryoung.com/ 181 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 22 58 49 10. PS] CONFORMAL MAPPING OF RIEMANN SURFACES AND THE CLASSICAL THEORY OF ... File Format Adobe PostScript - View as HTML is naturally and closely connected with the theory of conformal mapping (cf. ...... to study the change of modulus of the torus under the conformal sewing. ... www.emis.de/journals/PIMB/089/n089p217.ps.gz - Similar pages by M Shiba - Related articles - All 3 versions 182 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 23 13 01 http //books.google.com/books?id=XmsbvP1uUeIC pg=RA1-PA535 lpg=RA1-PA535 dq=torus+conformal+mapping source=web ots=cWYYmuaRnx sig=QUnvtxLeMYPDbnO8vxoeBuixqLU hl=en sa=X oi=book_result resnum=10 ct=result#PPA79,M1 トーラスはラプラシアンが使えるからにんきもの: 183 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 23 19 11 Conformal Mapping on Riemann Surfaces By Harvey Cohn 184 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 23 22 23 Conformal Representation By Constantin Caratheodory 185 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 23 25 13 Quadratic Differentials By Kurt Strebel 186+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/01(土) 23 31 36 http //everything2.com/e2node/Weierstrass%2520Elliptic%2520Function 187+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/01(土) 23 52 27 171 で言ってた分点心補超球(と外接超球)の私的な概念図書きました↓ 最初は、↓のページの内容全部をノートに書き直そうかと思ってたけど、 そんな時間は無かったので概念図だけ書いて↓の末尾に追加しました。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html ↑のようなことも考えているため、個人的には超球を三日月が2つくっついた形で書きたいこともあります。 しかし、この図を客観的?に見たら、俺そうとう頭いかれてるなぁーと思った(自画自賛) 188 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/02(日) 01 13 30 175 からたくさんありがとうございます! 位相幾何学・物理学・微分幾何学あたりの話ですか? 私の頭では難しくてほとんど理解できませんですた。 パフィアンもまだよくわかってません。 ということで、今日は起きてから 152 やりますー。 189 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/02(日) 11 35 35 187 言い忘れましたが、分点心補超球とは、2次元内の1次元で2点間の 内分点と外分点を通るアポロニウスの円と呼ばれてるものを一般化し、 m次元内のn次元で(n+1)点からの距離が一定の比にある点 (そのn次元内にある点は私的に内分点心・外分点心と呼んでる) の軌跡のことについて仮に俺が勝手に呼んでる名前です。 まとめ: 分点心補超球とは アポロニウスの円を m次元に拡張したときの仮の名前として使ってます。 187 の図では内分点心がn次元単体の0対面上にあるように見えますが、 本来、内分点心はn次元単体の内部、外分点心は外部にあり、内分点心と 外分点心が一致する場合はn次元単体のどこかの対面上になると思ってます。 計算式からまだそこまで証明とかできてませんが… 190+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/02(日) 20 52 49 穴の数って・・・表面上の群に影響するから面積分に現れる。 幾何化予想になるのかな。 n次元の幾何化予想ってあるのかな? 191+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/02(日) 20 53 48 お万個は穴になるのか? 192+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/02(日) 21 13 01 z=c+z^2 x=+-(+-(+-(z-c)^.5-c)^.5-c)^.5.... 193+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/02(日) 21 19 24 とりあえず三次元でやってみては これじゃ相手にされんよ 194+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 00 02 20 http //www.elesoft.com/elentor.htm 195+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 13 53 08 Möbius Transformations in Dimension Emphasis Type="Italic" n ... The general n-dimension MObius transformation is conjugate ..... The table indicates the conjugacy classes of Yn for n -- 1, 2, 3, 4. The ... www.akademiai.com/index/7V3877P846521032.pdf - Similar pages by JB Wilker - 1983 - Cited by 1 - Related articles 196+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 13 59 54 http //www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/penrose.html 197+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 19 00 56 pa pb=n m (p-a)*(p-a)m^2=(p-b)*(p-b)n^2 p*pm^2-2a*pm^2+a*am^2=p*pn^2-2b*pn^2+b*bn^2 p*p(m^2-n^2)-2(m^2a-n^2b)*p+a*am^2-b*bn^2=0 (p-(m^2a-n^2b)/(m^2-n^2))^2-(m^2a-n^2b)^2/(m^2-n^2)^2+(a*am^2-b*bn^2)/(m^2-n^2)=0 198+3 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 21 18 19 (p-a)*(p-a)=(p-b)*(p-b)c^2 c=n^2/m^2 p^2-2(a-bc^2)p/(1-c^2)+(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)=0 (p-(a-bc^2)/(1-c^2))^2=-(a^2-b^2c^2)/(1-c^2) 199+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/03(月) 22 34 46 http //klein.math.okstate.edu/IndrasPearls/cover-art/ 200 :132人目の素数さん [] :2008/11/04(火) 00 25 36 自分で200ゲトッ戦記ー 152 についてやってたけど、うまくできんなぁー 全ての辺の長さを使って書くと 137 のようにいい式になるのになぁー そして、3連休が終わってもーた… 190-199 ありがとうございます! 193 なるほど、僕は相手にされてなかったわけか…(笑) m次元ユークリッド空間内での n次元単体の五心を 行列演算を駆使して出してみました。どうですか?では、 ネタ的に足りないのかと思って、分点心補超球の案とかを 私的に出してみたりしてました。恥ずかしいー n=1,2 次元の平面幾何とかでいろいろ成り立つことまでは確認してる気がしますが、 n=3 代入すればいい 3次元の立体幾何とか以上の資料が あまり見つからないので答え合わせも出来ないことから、 mとnを一般化して計算した結果だけでも同じかなと思って油断してた! 時間をとって、3次元(や2次元や1次元)で例示しながら、わかりやすくまとめたいと思ってます。 その前に、この分野の先人の知恵(わかりやすい 著書やURLや書き方)などをもし教えて頂けるか 自分で見つけたなら引用して、自分は其処の所を手抜きしようとしてました。ゴメンナサイ。 じゃあ、俺、この分野、新規性はあると見た!ということで、ガンバリマス。 まぁーこのスレ見る限り、俺の言葉や書き方では、まとめたとしても伝わらない気がしますが… 197 アポロニウスの円っぽい! 198 2次元? 重ね重ねありがとうございます! 201+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/04(火) 20 31 46 198 ベクトルだからね、n次元でもつかえるよ。 202+3 :132人目の素数さん [] :2008/11/08(土) 16 46 38 197 198 201 などをふまえて、m次元空間内での 内分点・外分点・アポロニウスの円の導出を、例によって紙に書いてうpしますた↓ なお、同じ手法で m次元空間内の n次元単体の各頂点との 距離の比が一定になる軌跡(分点心補超球)についてもやりました↓ どちらも、m次元空間内で i点(i=0~n)との距離の比 t_i が一定となる点 (分点心) l_T の軌跡について (l_T -l_{TO})^T (l_T - l_{TO}) = R_T^2 となる (m-n+1)次元超球の(分点心)中心 l_{TO} と(分点心)半径 R_T を導出した感じです↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html ↑について、式がダメとか、字汚いとか、図が意味不明とか、いろいろ おかしいことあると思うので、相手にしていただけるとありがたいです( ̄ー ̄)ニヤリッ この土日はどうしようか今考えてます。とりあえず、昨日の夜から↑やってて疲れた。 やってる間にも、複体外接超球の定理は(m-n)次元直交補空間の方向も考えると、 n次元単体にとりあえず外接するm次元超球上の点で成り立ってしまうという罠、 とか少し考えてた(謎) 203 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/08(土) 17 04 46 202 の文の最後の段落で「n次元単体にとりあえず外接するm次元超球」って 言ったけど違った!「n次元単体の外接超球(n次元)の中心と半径が同じm次元超球」 じゃないと成り立たないス。前提条件で F_X = (l_x - l_O)^T (l_x - l_O) - l_O^T l_O = 0 だから、 m次元超球を n次元部分空間で切った小円(以後、小超球)としての n次元超球がその n次元単体に外接してる場合、 202 じゃおかしいもんね。という間違いだらけの人生。 204 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/08(土) 17 30 48 202 の計算結果を見るに、0点からの距離と1点からの距離の比が t_0 t_1 となる点の軌跡であるアポロニウスの円の中心は、 距離の比が t_0^2 t_1^2 となる 0点と1点の外分点となるっすか? すごくね? 205+4 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 03 18 アポロニウスの円(座標編) 「定点A,Bがあり、 点Pが、AP BP=m nを満たすように動く時の 点Pの軌跡を求めよ。(ただし、mとnは異なる複素数とする)」 206+3 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 06 07 1 アポロニウスの円の面積を求めなさい。 2 タイトル 写真から撮影位置を予測する(2) アポロニウスの円の発見とその利用 (数学科授業研究会記録(2)) (数学科) 207+3 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 09 12 アルキメデスのアルベロス(靴屋のナイフ)円列 ポンスレーの定理 フースの定理 208+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 12 06 パップス・ギュルダンの定理 デザルグの定理 パップスの中点定理 パスカルの共線定理 ニュートンの定理 パスカルの定理 ブリアンションの定理 209+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 13 52 球面定理とは、「適当な条件を満たすRiemann多様体は球面と(微分) 同相である」 210+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 14 28 有限性定理 211+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 15 10 # セブンアンドワイ ヤフー店 現代幾何学の流れ [本] - Yahoo!ショッピング チャーン/チャーン特性類トム/コボルディズム理論、カタストロフィー理論小林昭七/ 小林双曲的多様体の理論ヒルツェブルッフ/リーマン‐ロッホの定理の解決スメール/双曲型力学系ミルナー/微分位相幾何学、異種球面の発見クリンゲンバーグ/ ... store.shopping.yahoo.co.jp/7andy/31970257.html - 38k - キャッシュ - 関連ページ # 212+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 15 49 書籍案内:ピタゴラスの定理でわかる相対性理論 ―時空の謎を解く双曲 ... ピタゴラスの定理がわかれば,球面幾何学の意味がすっきりし,双曲幾何学が手に取るようにわかります。さらに ピタゴラスの定理見方を変えて再度吟味してみると,球面 幾何学の意味がすっきりし,双曲幾何学が手に取るようにわかります。 ... gihyo.jp/book/2006/4-7741-2903-8 - 70k - キャッシュ - 関連ページ 213+4 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 20 16 46 トレミーの定理の球面バージョン 214+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/11(火) 23 29 44 会社から帰って…_… キター(◎∀◎)ー!! 205-213 を書いてくれた聡明な御方、すごく重要で貴重な情報 超ありがとうございます! 俺の頭の中でいろいろ超展開しそうな予感であります!明日休みてームリorzzz しかし、 205-213 に答えが載ってそうで、直視できない自分がいるwww 137 の式に n=2 次元単体(三角形)を代入して因数分解したら、 トレミーの式が零因子として出てくると俺は信じたいんだッ。 213 トレミー自体が \bm{1}_1, \bm{l}_2で作られる三角形の外接円上の \bm{l}_x に対して \bm{l}_x = a_1 \bm{l}_1 + a_2 \bm{l}_2 (a_1, a_2 0)のような制約の下での式だと思いますので、 3次元の球面上の5点に拡張しようとするとその5点の位置によってそれぞれ結ぶ 辺の長さ(10本)の性質(どこが対角線となるかなど)が変わってきて難しいと思います。 しかし、点がどこにあるか固定しないでベクトルを用いて 137 の式に n=3 を代入した式が トレミーの定理の3次元バージョンのような気が、今は僕はそう思てる。 先日、別に円に内接してなくても、四角形(2次元4点複体)の辺と対角線のそれぞれの長さ(6本)の間には、 何かしら制約式(チェバメネラウスの定理みたいな?)があるような気がしまして、それを拡張すれば n次元(n+2)点複体のそれぞれの全ての辺の長さに対して何かしらの制約式となる気がしまして、 それを用いれば 137 の式を因数分解できると今は考えておりますので、この件はしばしお待ちください。 それでは、一旦CM…もとい、寝まーす 215 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/12(水) 23 35 49 214 の後半で言及した何かしら制約式の計算は 金曜の夜からやるとして、 205-206 あたりを今日から明日の夜にかけてやることにした! 207 について、アルベロスの定理とサリノンの定理を見ました!↓ ttp //thaler.blog.so-net.ne.jp/2007-10-21 すげぇ!ってアルベロス違いか…円列やボンスレーやフースは ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/508_ct.htm ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/587_g2.htm でちらっと見ましたが、大円小円基線という用語に途惑いよくわかりませんでした。しかし、 「『ポンスレーの閉形問題』(ポンスレーの定理)ー2つの定円に内外接する三角形の問題ー」 という所で図とか見て→ ttp //horibe.jp/Poncelet.HTM うわぁ、めっちゃ「あるn次元部分空間内で2つのn次元超球に内外接するn次元単体の問題」 へのm次元拡張を考えたくなってきた。。外接超球の半径 R_O、内接超球の半径 R_I、 外接超球と内接超球の中心(n次元単体の内心と外心)間の距離 d_{IO}に対して、 「d_{IO}^2 = R_O^2 - 2 R_O R_I となるとき(に限り?)、この外接超球に内接し、かつ、 この内接超球に外接するような n次元単体が無数に存在する」とかが成り立っちゃうのかなぁ? いや、まさか、そんなことは、うそだろ、えっ、でも、どう導出や証明すればいいのか全くわからないッ! さて、複素数でアポロニウスの円を考えつつ… 寝まーす 216+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/14(金) 23 51 25 205 について昨日から考えてましたが、 202 の全ての要素について複素数体上に拡張して考えれば答えは同じ 様に書ける(?)と思ってますが、m次元ユークリッド空間内の各点との距離の比だけ複素数比となるとするなら、 実数比の場合でも3点以上であると思われる分点心半径の自乗がマイナスになってしまう場合と同じように、 複素数比に分ける点の軌跡は虚数の方向にある双曲線のような形の(m-n+1)元2次超曲面(下図参照)となると思います。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html の上から3つ目の画像↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%B0%8E%E5%87%BA%2F%E5%88%86%E7%82%B9%E5%BF%83 file=irt.JPG これは、まだちゃんと計算してないのでたぶん間違ってます。でもあえて「虚分点心補超球」の問題と呼びたいです。 そして、この問題は置いといて、これから複体の全ての辺の長さについて、何かしら制約式があるか考えますー。 217+2 :132人目の素数さん [] :2008/11/15(土) 03 55 27 216 単純に(n+2)点がn次元におさまってる複体では(n+1)次元超体積が0になるということで、 \det( [\bm{L}, \bm{l}_x]^T [\bm{L}, \bm{l}_x] ) = \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [-\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0 なら x点がn次元単体と同じn次元部分空間内にある、というのが前述の何かしら制約式の正体だった感じです。 さらに、 214 より、 137 の式 \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [ \tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0 は x点がn次元単体の外接超球の中心から外接超球の半径と等しい距離にあるときに成り立つという感じです。 つまり、上の2式とも成り立つとき、x点がn次元単体の外接超球上にある(x点とn次元単体が作る複体に外接超球が存在する) ことになる感じです。特にn=2とすると、四角形に外接円が存在する場合の式となり、上の2式からトレミーの定理が導出でき、 特にn=3を代入すれば、四面体ともう1点で作られる3次元5点複体に外接球が存在する 213 の場合に満たすべき2式が求まる、 ということに帰着できたと思うので、寝て起きてから、1と2次元で確認して、複体外接超球の定理としてまとめますー 218 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/16(日) 15 37 40 ダメだ!トレミー出てこない!↓を見て余因子総和はdetの2乗になる予感…パフィアン? ttp //www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/kika.htm 佐藤郁郎さんすごすぎ!メールで何か聞いてみようかな… 219+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/17(月) 03 15 56 今気付いたトレミー!四角形に円が外接しているということで、円周角が同じ事を使って、 4点の位置を固定した上で、その円周角における余弦の式を用いて 137を式変形すれば、 トレミーの定理の式が出てきそうです。4点の位置を固定しない場合やn次元では、一応 きれいな式になる 217 の方法の計算式で止めといていいと思った。しかし、2次元のトレミーと 213 の3次元の場合(5点あって10辺の関係式になると思う)は確認します。 あと、 207 208 210 211 は応用的過ぎてまだ手が出せませんが、 205と 206の1は虚分点心補超球(と2次超曲面)に絡めてやってみたいと思ってます。 さらに 206 の2は、「n次元単体とその重心(またはn次元超球とその中心)という物体を、直交補空間を含む方向にある ある光学中心に向かってある像面に射影(撮影)してできるn次元像と1点の情報(遠方短縮の写真)を用いて、 その物体から光学中心へのm次元方向ベクトル(相対的な撮影位置)を求める」という問題に置き換えてやってみたいです。 具体例としては、「n次元単体とその重心」ではなく「長方形」を用いて m=3, n=2の時について例示したいです。 ところで、デザルグの定理は個人的に消失線のことを言ってるような気がしますが、n次元透視投影でも、 n次元単体の重心と各頂点 i点(i=0~n)を結ぶ直線方向の無限遠点(n+1個)を撮影してできる(m-1)次元 像面内の(n+1)点が(n-1)次元部分空間内におさまる(1点過剰みたいな)感じだと思いますので、後々… 220+1 :132人目の素数さん [] :2008/11/22(土) 22 30 30 219 のように円周角の定理を代入してはダメで、与式だけから円周角の定理(および トレミーの定理)などを導出しなければいけないことは木曜あたりに気付きました。 そこで、四角形(2次元4点複体)に外接円が存在する場合は、 217 の n=2 のときの2式を足した 式を整理したもの、およびその点の位置を入れ換えたとき(サイクリックで)成り立つ式を用いて、 円周角の定理およびトレミーの定理(のようなもの)が導出できることを確認しました↓ まとめると、私案の n次元(n+2)点複体に外接超球が存在する場合に満たすべき式 「複体外接超球の定理」と、n=1, n=2, n=3 の次元の場合における例示(トレミーの定理も含む) を例によって紙に書いてまとめてみました、ということです↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から2番目の画像 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83 file=vfx.JPG 1次元(直線上3点)でも2次元(四角形)でもうまくいく事が↑で確認できたと思うし、 213 の人も言及していた3次元(3次元5点複体)の場合でもこの等式以上にするのは 難しいと思うので、3次元以上もこの複体外接超球の定理で間違いないと思うんですが、 どうですか? 個人的にはこの問題はこれで解決したと思うので、ちょうどこれらを始めて半年になる11月30日 までにPDFのレポート的な総括的な何かを公開したいと思って、今がんばってますー 221 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/22(土) 22 56 15 220 の画像中で「前ページをふまえて」という言葉を使ってしまいましたが、 その前ページというのは「n次元単体の外接超球の中心からその外接超球の 半径と等しい距離に点があるときの式」をがんばって導出した↓のページのことです。 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から1番目の画像 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83 file=fx.JPG これ出したのって 137 だから、もう1ヶ月前になるんだなぁーはやいなぁー 222 :132人目の素数さん [] :2008/11/23(日) 16 07 50 先週から Google ウェブマスター ツール使い始めましたので、1週間分を引用します(いいのか?) といっても、@wikiの方のページに関する誰かの検索クエリしかわかりませんが… ●ここから引用 表示回数 サイトの検索に使用された上位 20 の検索キーワードと、上位 20 の検索キーワードが各検索で使用された割合です。 上位の検索クエリ 順位 % クエリ 広告掲載位置 1 12% "超 平面" wiki 7 2 9% neetubot 5 3 9% "幾何 学" "傍 心" 8 4 9% "外 心" ベクトル 17 5 5% 内心 ベクトル 14 6 5% "行列 の 内積" 35 7 5% 楕円 体積 公式 38 8 5% "正 多 胞体" 48 9 3% 単体 "外 心" "位置 ベクトル" 1 10 3% 正 複 1 11 3% n 単体 体積 6 ●ここまで引用 9位の検索クエリ「単体 "外 心" "位置 ベクトル"」がガチですなぁー 垂心が存在する等内積単体のときに外心と重心の間にあるか(オイラー線だっけ?)もやらなきゃなぁー まぁーといっても、これ全部俺の検索クエリかもしれませんがwworz 223 :222ゲト [↓] :2008/11/23(日) 16 38 27 \ / \ / \ / \ / \ / \∧∧∧∧/ < 俺 > < 予 し > < か > ─────────< 感 い >────────── < な > < !!! い > /∨∨∨∨\ / ∧_∧ !? \ / ( ´_ゝ`) \ / / \ \ / / / ̄ ̄ ̄ ̄/ \ / __(__ニつ/ FMV /_ \ \/____/ 224 :132人目の素数さん [] :2008/11/24(月) 12 27 56 n次元単体でも、垂心が存在する等内積単体となる場合には、垂心・重心・外心は一直線上にありました↓ ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pages/57.html 等内積単体でない一般的なn次元単体でも外心と重心は常に存在することから、 私的にn次元単体の外心と重心を通る直線を広義オイラー線と仮に呼び、 その外心と重心を(n+1):2に外分する広義オイラー線上の点を「n次元単体の広義垂心」と仮に呼ぶことにする。 広義垂心はどんなn次元単体にも存在し、特にn次元単体が等内積単体となる場合、広義垂心は そのn次元単体の頂点から対面への垂線((n+1)本)の交点である通常のn次元単体の垂心になる。 という感じに、垂心だけ存在するための条件があって気持ち悪かったので、オイラー線あったしこの際 垂心の自然な拡張として、どんなn次元単体にもある広義垂心を考えようと、また俺一人で暴走してるわけですが… ↓を見ると、いろいろ応用が思いつきますなー1次傍心n次元単体とか広義ドロンシャン点とか… Wikipedia オイラー線 ttp //ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B7%9A 225 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/26(水) 19 06 45 うるさい。 226 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/26(水) 19 19 02 ん?誤爆?(笑) 227 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/29(土) 21 34 02 79 で勘違いしてて、言うとしたら、あるn次元単体の(n+1)点の垂線の足が作る 垂足単体の内心が元のn次元単体の垂心となるような気がすると言うべきだった。 三角形(2次元単体)の場合なら、鋭角三角形の場合のみ成り立つらしいし、 こっちを広義垂心と呼ぶべきか考えてるけど、今はオイラー線上の広義垂心と 一致してくれることを祈るのみです。 228 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/30(日) 02 01 12 あるn次元単体において、i対面(i=0~n)上に中心を持ち それ以外のn個あるj対面(j=0~n、j≠i)に接する n次元超球(対象のn次元単体の内部と外部に半超球ずつ)が常に存在し、そのn次元超球の中心は 対象のn次元単体のi点から内心へ向かう直線とi対面との交点(i内足と呼ぶ)にあることを発見しました。 あと、↓とかで「角心」って言葉が出てきて、ちょっとうれしかった。「角心」激しく同意。。 ttp //web2.incl.ne.jp/yaoki/a6sin.htm 229 :132人目の素数さん [] :2008/11/30(日) 22 57 15 速いもので もう公開して半年になるので、PDF的なレポート的な形式を作ってみました。 といっても、まだ章立てを書いただけですが…2週間で中身入れて1.0作りてぇ。。 132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-0.0.pdf 230+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/11/30(日) 23 07 31 実はおれ、ここ数年で、多次元ユークリッドで、全く新しい定理発見してるけど、未発表だ。 童貞だからしゃーない。 231 :132人目の素数さん [↓] :2008/12/01(月) 01 18 30 230 一緒にやらないかっ?むしろ何か手伝わしてくださいーヒント教えてー あと、未発表で新しいってわかるってすごいっす。。俺は新しいかわからなかったから2ちゃんで発表した(笑) 童貞関係なくね??かくいう私も童貞でね…(合田一人風) 232 :132人目の素数さん [] :2008/12/26(金) 23 52 55 速いもので 0.0から1ヶ月になるので、中身の文章も少し入れてみました。 といっても、まだ全然途中ですが…次は元旦あたりに1.1の予定… 【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【1.0】 ttp //www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-1.0.pdf 233+1 :132人目の素数さん [↓] :2008/12/31(水) 23 42 27 線形代数/線型代数 5 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/ の160が私ですが、「行列方程式の解法」について、私的に以下のように行き着いたのでこっちに書いときます。 Mをm次正方実行列、Eをm次単位行列、Oをm次正方零行列として、 |λ_1| ≧ … ≧ |λ_i| ≧ … ≧ |λ_n| ≧ 0 (m ≧ n)とするとき、 (Σ_{j=0}^m α_j M^j =) Π_{i=1}^n (M - λ_i * E) = O を満たすような M の解は、 λ_i を大きい順に飛びと重複を許し対角成分に配置したn次対角行列 Λ'、もしくは、 その行列の中に重解が k_i 個ある λ_i が対角に k'_i 個あるブロックがあれば k_i 次以下の k'_i×k'_i冪零行列をそのブロックに付加し組み合わせた行列 Λ' (特に、j=1~nのいずれでも Π_{i≠j} (M - λ_i * E) ≠ O となるという制約があるなら、Λ' は対角成分にλ_1~λ_nを持つジョルダン標準形となる) と任意のm×n正規直交行列 Θ を用いて、M = ΘΛ' Θ^{-1} と書ける気がする。。 スレに動きが…最小多項式か、むずかしいなぁー 234 :132人目の素数さん [↓] :2009/01/06(火) 03 07 00 233 をふまえて、言葉や変数の定義とかいろいろ考えてました↓ 例えば、m×m正方行列をm次行列と呼ぶとか、k_i乗すると零行列になるn'_i次k_i乗冪零行列を\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{O}_{k_i}}とか、 n'_i次k_i乗ジョルダンλ_iブロックを\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{\Lambda}_{O k_i}} = \bm{\Sigma}[\bm{1} \lambda_i] + \bm{O}_{k_i}とか、 そのブロックの対角の組合せであるm次ジョルダン行列を \bm{\Lambda}' […, \bm{\Lambda}_{O k_i}, …] または単に \bm{\Lambda}' とか。 この行列多項方程式や指数行列や図も含めて、PDF形式1.1は1月30日あたりにします…。
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Coreutils UNIXのファイル、シェル、テキスト操作系基本ツール。Linuxカーネルと組み合わせて使います。コマンドラインやスクリプトから使用可能。 Coreutils [#g1b1ff0f] 構成内容 [#oe91d939] basename [#uca66bee] cat [#vcd81111] chgrp [#u9c14dc3] chmod [#i42deac3] chown [#da65d442] chroot [#r4e5e791] cksum [#s4a90116] comm [#tfafc643] cp [#l05d41d5] csplit [#sfbf8ea3] cut [#u17b7c01] date [#da706808] dd [#f9b59f71] df [#c7e81910] dircolors [#z28ee84f] dirname [#t21c238e] du [#m46d71ea] echo [#w5959c7e] env [#yab01d57] expand [#uef5e9ad] expr [#m72d5b3f] factor [#i3113c4b] false,true [#x72c575b] fmt [#n5de5ca7] fold [#j430656b] groups [#o2ba53e6] head [#l753a76f] hostid [#b32aed60] hostname [#xb05809f] id [#g1802afa] install [#rbb16fed] join [#q8b4391d] kill [#i490221c] link [#y2e78eb7] ln [#s0c0377b] logname [#l6927544] ls,dir,vdir [#nd1290fb] md5sum [#r270a75f] mkdir [#q1d94062] mkfifo [#wc2dc9d3] mknod [#q2327c15] mv [#n9a6fa2a] nice [#y568d688] nl [#t94db2e4] nohup [#mf2b96e2] od [#cfc766b0] paste [#z043dad4] pathchk [#qb162600] pinky [#c02f5571] pr [#af98808e] printenv [#j26bfa02] printf [#s6bd2ea3] ptx [#r6150f8e] pwd [#w774347e] readlink [#cb824930] rm [#q056e7c8] rmdir [#u1629455] seq [#i6b61daa] setuidgid [#hd526433] shred [#y3400bcc] sleep [#z49dbcee] sort [#s0ac4efe] split [#t9f2fb46] stat [#t71c44fb] stty [#ue8b2ffa] su [#i86dd8d5] sum [#bb7e07fb] sync [#s71c0f46] tac [#sb64d2ca] tail [#tbff67e3] tee [#g578b842] test [#m7adf390] touch [#v31fecdf] tr [#f6e406b8] tsort [#f203dd31] tty [#va6eaf1f] uname [#he22bb7d] unexpand [#la79a06b] uniq [#n1304ef7] unlink [#t45ec315] uptime [#q8f09bfa] users [#cf2e1328] wc [#o05170ce] who [#w217a4bc] whoami [#s0d8aafe] yes [#o930e403] 開発プロジェクト [#gcd73ee5] マニュアル [#yb044d54] ソースファイル [#g31e8dc9] メーリングリスト・他 [#pca30619] その他 [#t51bced8] 構成内容 basename ファイル名からディレクトリ名(と拡張子)を削除。 プロセス実行例 $ basename /usr/share/applications/gedit.desktop .desktopgedit Manページ (JM) basename.1 cat ファイルを表示(連結)。 プロセス実行例 $ cat /etc/hostnamedebian Manページ cat.1 chgrp ファイルの所属グループを変更。 プロセス実行例 $ chgrp hage /usr/local/share/hage Manページ chgrp.1 chmod ファイルのパーミッションを変更。 プロセス実行例 $ chmod g+rwx /usr/local/share/hage Manページ chmod.1 chown ファイルの所属ユーザーを変更。 プロセス実行例 $ chown root /usr/local/share/hage Manページ chown.1 chroot ルートディレクトリを一時的に変更。 プロセス実行例 Manページ chroot.1 cksum ファイルのチェックサム (CRC) とバイト数を表示。 プロセス実行例 Manページ cksum.1 comm ソートされたファイル2つの行と行を比較。 プロセス実行例 Manページ comm.1 cp ファイルをコピー。 プロセス実行例 $ cp ~/textfile /usr/local/share/hage Manページ cp.1 csplit ファイルをセクションごとに分割。 プロセス実行例 Manページ csplit.1 cut ファイルの各行からセクションを取り除く。 プロセス実行例 Manページ cut.1 date システムの日付と時刻を表示/設定。 プロセス実行例 $ date2005年 11月 25日 金曜日 15 11 13 JST Manページ date.1 dd ファイル等を変換&コピー。 プロセス実行例 Manページ dd.1 df ファイルシステムのディスク空きスペースを表示。 プロセス実行例 $ df -hFilesystem Size Used Avail Use% Mounted on/dev/hda1 56G 6.0G 48G 12% /tmpfs 94M 0 94M 0% /dev/shm Manページ df.1 dircolors lsの出力表示色を設定/表示。 プロセス実行例 Manページ dircolors.1 dirname ファイルパスから最後のラベル、またはファイル名を削除。 プロセス実行例 $ dirname /usr/bin/gdm/usr/bin Manページ dirname.1 du ファイルシステムのディスク使用量を表示。 プロセス実行例 $ du -h /var/lib/dpkg/24M /var/lib/dpkg/info236K /var/lib/dpkg/alternatives4.0K /var/lib/dpkg/parts4.0K /var/lib/dpkg/updates4.0K /var/lib/dpkg/methods/mnt4.0K /var/lib/dpkg/methods/disk4.0K /var/lib/dpkg/methods/floppy16K /var/lib/dpkg/methods27M /var/lib/dpkg/ Manページ du.1 echo テキストを一行表示。 プロセス実行例 $ echo $SHELL is $SHELL, $PATH is $PATH$SHELL is /bin/bash, $PATH is /usr/local/bin /usr/bin /bin /usr/bin/X11 /usr/games Manページ echo.1 env 環境を表示/更新。 プロセス実行例 Manページ env.1 expand タブをスペースに変換。 プロセス実行例 Manページ expand.1 expr 式を評価(計算)。 プロセス実行例 $ expr 7 \* 5003500 Manページ expr.1 factor 素因数分解。 プロセス実行例 $ factor 400400 2 2 2 2 5 5 Manページ factor.1 false,true 異常/正常結果を返して終了。 プロセス実行例 Manページ false.1 true.1 fmt テキストを整形して指定幅に揃える。 プロセス実行例 Manページ fmt.1 fold 行を指定幅に折り畳む。 プロセス実行例 Manページ fold.1 groups ユーザーのグループを表示。 プロセス実行例 $ groupshoge dialout cdrom floppy audio video plugdev Manページ groups.1 head ファイルの最初の方を表示。 プロセス実行例 Manページ head.1 hostid 現在のホスト識別番号を表示。 プロセス実行例 Manページ hostid.1 hostname マシンの名前を表示/設定 プロセス実行例 $ hostnamedebian Manページ hostname.1 id ユーザーとグループのIDを表示 プロセス実行例 Manページ id.1 install ファイルをコピー&コピーしたファイルにパーミッションを設定。 プロセス実行例 $ install -m 755 ~/hoge /usr/local/bin Manページ install.1 join プロセス実行例 Manページ join.1 kill プロセス実行例 Manページ kill.1 link ファイルのハードリンクを作成。 プロセス実行例 Manページ link.1 ln ファイルのリンクを作成。 プロセス実行例 $ ln -s /usr/local/share/hage ~/hage Manページ ln.1 logname 現在のログイン名を表示 プロセス実行例 $ lognamehoge Manページ logname.1 ls,dir,vdir ディレクトリに含まれるファイルの一覧を表示。 プロセス実行例 $ ls /bin cdrom etc initrd lib media opt root srv tmp varboot dev home initrd.img lost+found mnt proc sbin sys usr vmlinuz Manページ ls.1 md5sum MD5 ハッシュを計算&確認 プロセス実行例 Manページ md5sum mkdir ディレクトリを作成。 プロセス実行例 $ mkdir ~/hage/myfile Manページ mkdir.1 mkfifo FIFO (名前つきパイプ) を作成。 プロセス実行例 Manページ mkfifo.1 mknod デバイスなどの特殊ファイル(スペシャルファイル)を作成。 プロセス実行例 Manページ mknod.1 mv ファイルを移動。 プロセス実行例 $ mv ~/hage/textfile ~/hage/myfile Manページ mv.1 nice スケジューラの優先度を変更してコマンドを実行 プロセス実行例 Manページ nice.1 nl ファイルの行に番号を付けて表示 プロセス実行例 Manページ nl.1 nohup ハングアップシグナルを無視してコマンドを実行 プロセス実行例 Manページ nohup.1 od ファイルを8進数、または他の形式でダンプして表示 プロセス実行例 Manページ od.1 paste プロセス実行例 Manページ paste.1 pathchk ファイルパスの可搬性をチェック プロセス実行例 Manページ pathchk.1 pinky 軽量版 finger。 プロセス実行例 Manページ pinky.1 pr テキストファイルを印刷用に変換。 プロセス実行例 Manページ pr.1 printenv 環境変数を表示。 プロセス実行例 $ printenv LANGja_JP.EUC-JP Manページ printenv.1 printf データをフォーマットして表示。 プロセス実行例 $ printf "LANG $LANG\nLC_MESSAGES $LC_MESSAGES\n"LANG ja_JP.EUC-JPLC_MESSAGES C Manページ printf.1 ptx プロセス実行例 Manページ ptx.1 pwd 現在の作業ディレクトリを表示。 プロセス実行例 $ pwd/home/hoge Manページ pwd.1 readlink シンボリックリンクの値を表示。 プロセス実行例 Manページ readlink.2 rm ファイルを削除。 プロセス実行例 $ rm ~/hage/myfile/textfile Manページ rm.1 rmdir 空のディレクトリを削除。 プロセス実行例 Manページ rmdir.1 seq 数列を表示。 プロセス実行例 $ seq -s 0 2 100 2 4 6 8 10 Manページ seq.1 setuidgid プロセス実行例 Manページ setuidgid shred ファイルのデータを完全消去。 プロセス実行例 Manページ shred.1 sleep 指定した時間だけ停止。 プロセス実行例 $ sleep 3s Manページ sleep.1 sort テキストファイルの行をソート。 プロセス実行例 Manページ sort.1 split プロセス実行例 Manページ split.1 stat プロセス実行例 Manページ stat.2 stty ターミナルの設定を表示/変更。 プロセス実行例 su 別のユーザーかスーパーユーザーになってシェルを実行。 プロセス実行例 $ suPassword sum 16bitチェックサムとブロック数を表示。 プロセス実行例 sync ファイルシステムバッファとディスクを同期。 プロセス実行例 tac ファイルをさかさまにして表示。 プロセス実行例 tail ファイルの最後の方を表示。 プロセス実行例 tee 出力をファイルに記録。 プロセス実行例 $ make #124; tee make.log test ファイルや値のチェック。 プロセス実行例 touch ファイルのタイムスタンプを変更(新規作成)。 プロセス実行例 $ touch emptyfile tr tsort tty ターミナル名を表示。 プロセス実行例 $ tty/dev/pts/1 uname システム情報を表示。 プロセス実行例 $ unameLinux unexpand スペースをタブに変換。 プロセス実行例 Manページ unexpand.1 uniq ソートされたファイルから重複行を削除 プロセス実行例 unlink uptime users 現在のユーザーの名前一覧を表示。 プロセス実行例 wc ファイルのバイト数、文字数、行数を表示。 プロセス実行例 who ログインしている全ユーザー一覧を表示。 プロセス実行例 whoami 現在のユーザーを表示。 プロセス実行例 yes 文字を連続表示。 プロセス実行例 $ yesyyyyy (続く) ※ このコマンドはプロセスを殺さないと永久に止まりません。十分注意してください。 開発プロジェクト Coreutils の開発プロジェクトと一次ソース入手先へのリンク。 マニュアル マニュアル http //www.gnu.org/software/coreutils/manual/coreutils.html 日本語訳 http //www.bookshelf.jp/texi/coreutils/coreutils-ja.html FAQ http //www.gnu.org/software/coreutils/faq/coreutils-faq.html ソースファイル Web http //www.gnu.org/software/coreutils/ FTP ftp //ftp.gnu.org/pub/gnu/coreutils/ test version ftp //alpha.gnu.org/gnu/coreutils/ ViewCVS http //cvs.savannah.gnu.org/viewcvs/coreutils/coreutils/ Savannah http //savannah.gnu.org/projects/coreutils/ メーリングリスト・他 ML bug-coreutils http //lists.gnu.org/archive/html/bug-coreutils/ バグ/パッチ管理 http //savannah.gnu.org/patch/?group=coreutils http //savannah.gnu.org/bugs/?group=coreutils その他 POSIX Shell Utilities(標準規格) UNIX V7 の /bin ソースコード
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数論10-9 481 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/27(木) 23 07 31 n≧2の時 M_n=4^n-1 とする。 この時k個の素数の積となる M_n=(p_1)^(l_1)*(p_2)^(l_2)…(p_k)^(l_k) l_1、l_2、…l_kは適当な自然数である。 4^(n-1)≧k^2 を証明せよ 解答 482 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/28(金) 06 13 59 481 M_kの相異なる素因数の個数の評価だとしたら、それは粗いんじゃないか? M_n は必ず3で割り切れて、それ以外の素因数(あるとすれば)は5以上だから、M_n≧3*5^(k-1)。 一方、M_n≦3*5^(n-1) が成立することは帰納法で容易に示せる。よって k≦n。 ここから k≦2^(n-1) であることはすぐに出る。