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微分方程式 学年 2年 時期 前期 時間 月曜3限 教員 亀井聡 教科書情報 解析学概論〔新版〕 教科書番号 88 教科書販売価格 \2520 備考 必要性 選択肢 投票 5 (0) 4 (0) 3 (0) 2 (0) 1 (0) コメント 名前 コメント 分類 2年前期 月曜3限
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一般に、次の二階偏微分方程式のことを波動方程式という。 この式を解くためには、 という同時式に直し、導かれる2式が定数となる(この定数は というようにおくことが多い)ということから解を求める。上式は1次元においての式(例えば弦の振動を表す)であるが、2次元(例えば膜の振動)に拡張すると以下の式で表される。 同様に、3次元(例えば空気の振動)では次の式となる。 この2次元波動方程式と3次元波動方程式は、それぞれ系の形が長方形や直方体の場合に有用である。もし系の形が円や円筒の場合は円筒座標系を用い、系の形が円や球の場合は極座標系を用いると演算が容易になる。 この場合、波動方程式の形が座標系に応じてそれぞれ変わってくるが、演算子(ナブラ)を用いて、 のように表示することが可能である。ただし、座標系に応じて の演算の種類が変更されることに注意しなければならない。
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講義情報 1,入学年度 2007年度 2,講義配当年次 2年春学期 3,科目名 微分方程式Ⅱ 4,良講度 3 5,楽勝度 4 6,テスト持ち込み なし 7,レポート提出 たまにあり 8,出席調査 なし 9,アドバイス この先生は微分方程式Ⅰでもそうだったように板書の量が半端なく多い,内容は微分Ⅰよりも難しくなったと思う.ただ,最後の講義の時に出す場所を言ってくれるから,そこだけ勉強すればテストは乗り切れると思う. 情報提供:匿名希望
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シュレーディンガー方程式 \index 概要 シュレーディンガー方程式とは1929年にエルヴィン・シュレーディンガーが波動力学の基礎方程式として提唱した偏微分方程式 式 一般には アインシュタインの縮約記法を用いると 多粒子系のシュレーディンガー方程式 多粒子に対しての方程式は粒子の数に応じて.... ここで ハミルトン演算子 ディラック定数 波動関数 ポテンシャルエネルギー 対象の粒子の質量 運動量演算子 エネルギー ラプラス演算子 又、この方程式は古典力学の運動エネルギーの公式 が基礎なので近似的理論である為相対論による を基礎方程式として量子化した方程式がクライン・ゴルドン方程式やディラック方程式である。 又、シュレーディンガー方程式の波動関数は次の性質を持つ (確率保存則) 導出 シュレーディンガー方程式の導出方法は幾つかある ハミルトンの正準方程式を量子化する 依って 波動方程式にドブロイの理論を代入する 波動方程式
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一階線型常微分方程式 を解く。 をまず考えると、変数分離で より なので となる。 A を x の関数 A(x) とみなせば、(*)は より よって 定数係数二階線型常微分方程式(斉次) を解く。 2階微分、1階微分、0回微分を足し合わせて0になる → y = ae^{bx} の形? 実際にこれを代入すると となる。これが常に成り立つので、a = 0 または b^{2} + pb + q = 0 である。 このときの方程式 x^{2} + px + q = 0 を特性方程式という。 特性方程式の解をα、βとすると、この微分方程式の解は で与えられる。 これはN階の微分方程式でも同様である。 特性方程式の解が 異なる実数解なら 重解なら 虚数解なら、実部を r、虚部をθとして で、微分方程式の解を得る。 定数係数二階線型常微分方程式(非斉次) を解く。 とし、y_1を特殊解、y_2を右辺=0のときの解として考えればよい。 例: を考える。まず特殊解y_1について考える。 yとy とy を足し合わせて 4x^2 + 4x - 2 になるので、 y_1 = ax^2 + bx + c なる形であると予想できる。 これを実際方程式に代入して係数比較すれば a = 1, b = 3, c = 2 を得るので、y_1 = x^2 + 3x + 2 次に、y_2については を満たす解なので、特性方程式 t^2 - 4t + 4 = 0 より t = 2(重解) なので y_2 = (px + q)e^{2x} とかける(p,q は定数)。 以上より元の方程式の一般解は
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メモ 1階常微分方程式 講義名 藤間 山口 渡辺 森重 変数分離系 ○ ○ ○ 同次系 ○ ○ ○ 一階線形微分方程式 ○ ○ ○ ○ ベルヌーイの微分方程式 ○ 全微分方程式-完全微分系 ○ 全微分方程式-積分因子 ○ クレローの微分方程式 ラグランジュの微分方程式 高階常微分方程式 講義名 藤間 山口 渡辺 森重 微分演算子 逆微分演算子 2階線形微分方程式(1) 2階線形微分方程式(2) n階線形微分方程式(1) n階線形微分方程式(2)
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神戸大学理学部数学科 神戸大学大学院理学研究科数学専攻 解析数理講座 准教授 関数方程式教育研究分野 研究分野:偏微分方程式 研究内容:Navier-Stokes方程式、渦度方程式、自由境界問題など流体力学に現れる偏微分方程式を数学的に研究している 若い!にもかかわらず、ある教授いわくかなり有名らしい。 2010年度担当授業 解析学序論Ⅱ この教員の評価 選択肢 投票 ★★★★★ (41) ★★★★☆ (0) ★★★☆☆ (1) ★★☆☆☆ (0) ★☆☆☆☆ (22) コメント 大学時代、準硬式野球部で最多勝と防御率のタイトルとったみたいです。 (2012-11-24 04 30 02) KAMISAMA (2012-02-06 00 48 25)
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代数方程式 パラメータ推定 常微分方程式の初期値問題 常微分方程式の境界値問題 偏微分方程式
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学部の紹介・学部にかける熱い想いでも書いてください。 1年次1Q初年次セミナー 機械工学基礎 機械基礎数学Ⅰ 機械製図Ⅰ 機械工学実習Ⅰ 2Q機械基礎数学Ⅱ 基礎力学Ⅰ 物理学概論Ⅰ 機械製図Ⅱ 機械工学実習Ⅱ 3Qベクトル解析 基礎力学Ⅱ 機械製図Ⅰ 機械工学実習Ⅰ 4Q材料力学Ⅰ 機械製図Ⅱ 機械工学実習Ⅱ 2年次1Q常微分方程式論 電気工学概論 熱力学Ⅰ 流体工学 材料力学Ⅱ 機構学 2Q機械工学概論 英語特別演習 3Q複素関数論 熱力学Ⅱ 機械力学Ⅰ 製造プロセス工学Ⅰ 4Qフーリエ解析 流体力学Ⅰ 材料科学 制御工学 3年次1Q偏微分方程式 流体力学Ⅱ 熱移動論 機械材料学 弾性力学 機械力学Ⅱ 設計工学Ⅰ プログラミング演習Ⅰ 2Q知的財産入門 計測工学 物理学概論Ⅱ エネルギー変換工学 材料強度学 制御工学Ⅱ 製造プロセス工学Ⅱ プログラミング演習Ⅱ 機械設計製作演習Ⅰ 3Q安全工学・工学倫理Ⅰ 流体機械 塑性力学 機械工学実験 機械設計製作演習Ⅱ プログラミング演習Ⅲ 機械創造設計プロジェクトⅠ 4Q安全工学・工学倫理Ⅱ 先端機械工学概論 設計工学Ⅱ 生産システム工学 機械工学実験 プログラミング演習Ⅲ 機械創造設計プロジェクトⅡ 4年次1Q 2Q 3Q 4Q 1年次 1Q 初年次セミナー 機械工学基礎 機械基礎数学Ⅰ 機械製図Ⅰ 機械工学実習Ⅰ 2Q 機械基礎数学Ⅱ 基礎力学Ⅰ 物理学概論Ⅰ 機械製図Ⅱ 機械工学実習Ⅱ 3Q ベクトル解析 基礎力学Ⅱ 機械製図Ⅰ 機械工学実習Ⅰ 4Q 材料力学Ⅰ 機械製図Ⅱ 機械工学実習Ⅱ 2年次 1Q 常微分方程式論 電気工学概論 熱力学Ⅰ 流体工学 材料力学Ⅱ 機構学 2Q 機械工学概論 英語特別演習 3Q 複素関数論 熱力学Ⅱ 機械力学Ⅰ 製造プロセス工学Ⅰ 4Q フーリエ解析 流体力学Ⅰ 材料科学 制御工学 3年次 1Q 偏微分方程式 流体力学Ⅱ 熱移動論 機械材料学 弾性力学 機械力学Ⅱ 設計工学Ⅰ プログラミング演習Ⅰ 2Q 知的財産入門 計測工学 物理学概論Ⅱ エネルギー変換工学 材料強度学 制御工学Ⅱ 製造プロセス工学Ⅱ プログラミング演習Ⅱ 機械設計製作演習Ⅰ 3Q 安全工学・工学倫理Ⅰ 流体機械 塑性力学 機械工学実験 機械設計製作演習Ⅱ プログラミング演習Ⅲ 機械創造設計プロジェクトⅠ 4Q 安全工学・工学倫理Ⅱ 先端機械工学概論 設計工学Ⅱ 生産システム工学 機械工学実験 プログラミング演習Ⅲ 機械創造設計プロジェクトⅡ 4年次 1Q 2Q 3Q 4Q
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DESOLVE IC1 ODE ODE2 DESOLVE DESOLVE ([eq1,...,eqn],[var1,...,varn]) ここでeqは微分方程式であり、その従属変数はvar1,...,varnである。関数の関連性は明示的に式と変数の両方に指定しなければならない。 例えば (C1) DIFF(F,X,2)=SIN(X)+ DIFF(G,X); (C2) DIFF(F,X)+X^2-F=2* DIFF(G,X,2); は正確な書式では無い。正しい書式は (C3) DIFF(F(X),X,2)=SIN(X)+ DIFF(G(X),X); (C4) DIFF(F(X),X)+X^2-F(X)=2* DIFF(G(X),X,2); である。 そして、DESOLVE([D3,D4],[F(X),G(X)]);を実行する。0での初期条件が既知であれば、DESOLVEを呼ぶ前にATVALUEを用いて、それを与えなければならない。 (C11) DIFF(F(X),X)= DIFF(G(X),X)+SIN(X); (D11) d/dx F(X) = d/dx G(X) + SIN(X) (C12) DIFF(G(X),X,2)= DIFF(F(X),X)-COS(X); (D12) d^2/dx^2 G(X) = d/dx F(X) - COS(X) (C13) ATVALUE( DIFF(G(X),X),X=0,A); (D13) A (C14) ATVALUE(F(X),X=0,1); (D14) 1 (C15) DESOLVE([D11,D12],[F(X),G(X)]); (D16) [F(X)=A %E^X - A+1, G(X) = COS(X) + A %E^X - A + G(0) - 1] /* 検証 */ (C17) [D11,D12],D16,DIFF; (D17) [A %E^X = A %E^X , A %E^X - COS(X) = A %E^X - COS(X)] DESOLVEが解を得られなければ"FALSE"を返す。 IC1 IC1 (exp,var,var) 初期値問題(IVP)と境界値問題(BVP)を解く為、ODE2パッケージのIC1ルーチンで、一階の微分方程式に対してIC2とBC2ルーチンが各々二階のIVPとBVPに対して利用可能である。これらを用いる為にはLOAD(ODE2);を実行せよ。これらは次の例題で用いられている: (C3) IC1(D2,X=%PI,Y=0); COS(X) + 1 (D3) Y = - ---------- 3 X (C4) DIFF(Y,X,2) + Y* DIFF(Y,X)^3 = 0; 2 d Y dY 3 (D4) --- + Y (--) = 0 2 dX dX (C5) ODE2(%,Y,X); 3 Y - 6 %K1 Y - 6 X (D7) ------------------ = %K2 3 (C8) RATSIMP(IC2(D7,X=0,Y=0, DIFF(Y,X)=2)); 3 2 Y - 3 Y + 6 X (D9) - ---------------- = 0 3 (C10) BC2(D7,X=0,Y=1,X=1,Y=3); 3 Y - 10 Y - 6 X (D11) --------------- = - 3 3 ODE ODE (equation,y,x) ごちゃまぜの常微分方程式ソルバーで、各々の手法で失敗するに従いより難しい手法を試みる様になっている。例えば、最初の試行はODE2を用いるので、ODEを使う利用者は当初からODE2の全ての機能に通じていると仮定してもよく、ODE2をプログラムで使っていれば、それをODE(返却値や呼び方の手続きも同一である)で置き換えてもプログラムはそのまま動作する。 加えて、ODEは様々な機能を持ち、それは基本系で方程式が解けない場合に実行中の ODEソルバーを補助する事が可能なものである。方程式はODE2(参照せよ)が要求するものと同じ形式であり、ODE2の様にyとxが従属変数と独立変数である。より詳細は PRINTFILE(ODE,USAGE,SHARE);を実行せよ。 ODE2 ODE2 (exp,dvar,ivar) 3個の引数を取る 一階又は二階のODE(右手側が0ならば、左手側のみが必要)、従属変数、独立変数である。成功すれば、その従属変数に対して明示的な解か暗示的な解の何れかを返す。%Cは一階の方程式の定数、%K1と%K2は二階の方程式の定数を表わす為に用いられる。ODE2が何らかの理由で解が得られなかった場合、エラーメッセージの表示等の後にFALSEを返す。一階の微分方程式向けに実装され、検証されている解法は 線型、分離法、厳密 - 積分因子が多分要求される -、同次、 Bernoulli方程式、そして一般化同次法である。二次に対しては 定数係数、厳密、定数係数に変換可能な非定数係数を持つ線型同次方程式、Euler又は同次元方程式、仮想変位法、そして分離して解ける二つの独立な一階の線型な方程式に縮約可能となる様な方程式を含まないものがある。ODEを解く手順では、幾つかの変数は純粋に情報的な目的 METHODが記述する解法の集合である。例えば、LINEAR,INTFACTORが記述する積分因子を用い、ODEINDEXはBernoulli法や一般化同次法の添字を記述し、 YPは仮想変位による特殊な解法を記述している。 Maxima