約 1,049,839 件
https://w.atwiki.jp/sms20120113/pages/52.html
日時 原則：隔週月曜日20 00～21 30 次回：ただいま休止中... テキスト J. ノイキルヒ『代数的整数論』シュプリンガー・フェアラーク東京 セミナーの進め方 最初から読んでいく. 発表者に質問しよう. 参考文献 可換代数 Atiyah‐MacDonald 『可換代数入門』共立出版 整数論 高木貞治 『初等整数論講義』共立出版 リンク ホワイトボード作成. 1.Whiteboad Fox 2.IDroo 活動報告 ホワイトボード 0. 15/10/26 セミナーの進め方. 1. 15/11/09 §1.Gauss整数. Z[i]の素元. Z[i]とQ(i)/Qの関係. pp.1-5 命題1.5. 2. 15/11/17 §2.整. 整拡大の定義とその特徴づけ. pp.5-8 UFDは整閉である. 3. 15/12/01 §2.整. ノルム, トレース, 判別式. pp.8-12. 命題2.8. 4. 15/12/08 §2.整. 整基底, 判別式. pp.12-15. 命題2.12. 5. 15/12/15 §2-§3イデアル. 練習4. 既約元分解の一意性が成立しない例. p16. 例. 6. 15/12/22 §3.イデアル. 整数環O_Kの性質とDedekind環. pp.16-19. 補題3.4. 7. 16/01/07 §3.イデアル. Dedekind環の素イデアル分解. pp.19-21. 定理3.3証明. 8. 16/01/14 §3.イデアル. 中国式剰余定理. 分数イデアル. イデアル群J_K. pp.21-23. 系3.9. 9. 16/01/28 §4.格子. 格子の定義と位相群としての特徴づけ. Minkowskiの格子点定理. pp.24-28. 定理4.4. 10.16/02/04 整イデアルの素イデアル分解の例. 素イデアルの生成元の見つけ方. 命題8.3. 11.16/02/11 §5.Minkowski理論. 代数体の整イデアルはK_Rの完全格子になる. pp.29-34. 定理5.3. 12.16/02/18 §6.類数. Minkowski理論(乗法版). 素イデアル分解と絶対ノルムの両立性. pp.34-37. 命題6.1. 13.16/03/31 §6.類数. イデアル類群が有限群であることの証明. pp.37-40. 定理6.3. 14.16/04/07 §7.Dirichletの単数定理. 単数群O*_Kの完全系列. pp.41-42. 補題7.2. 15.16/04/14 §7.Dirichletの単数定理. 単数群は有限巡回群と自由Abel群の直積. pp.42-45. 定理7.4. 16.16/04/21 代数的整数論のスキーム論的な解釈. 17.16/04/21 §8.Dedekind環の拡大. 有限次分離拡大体L/Kの基本等式Σef=n. pp.47-48. 命題8.2. 18.16/05/23 §8.Dedekind環の拡大. 導手と分岐指数・惰性次数. pp.50-51. 命題8.3. 19.16/05/30 §8.Dedekind環の拡大. Gaussの相互法則pp.52-55. 定理8.6. 20.16/06/20 §9.Hilbertの分岐理論. pp.56-58. 21.16/07/04 §9.Hilbertの分岐理論. 分解体のイデアル, 剰余類体の拡大. pp.58-59. 22.16/07/18 §9.Hilbertの分岐理論. 拡大T/Zの様子. pp.60. 23.16/08/08 §10.円分体. 円分体の素イデアル分解. pp.61-63. 補題10.1 24.16/09/12 §10.円分体. 円分体の素イデアル分解. pp.63-67. 命題10.2,命題10.3 25.16/09/26 §11.局所化. Dedekind環の局所化はDedekind環. pp.67-71. 命題11.5 26.16/10/10 §11.局所化. 単数群とイデアル類群の完全系列. pp.73-74. 命題11.6 27.16/10/24 可換環セミナー. 積閉集合の充満. Atiyah-MacDonald第3章演習6,7. 28.16/10/31 可換環セミナー. 積閉集合の充満2. Atiyah-MacDonald第3章演習4,8. 29.16/12/02 §12.整環. 整環の定義と性質. 命題12.2. 30.16/12/19 §11.局所化. S単数,S類群. 可換環. 31.17/01/16 §12.整環. 中国式剰余定理. 可逆イデアルの特徴づけ. Picard群. 32.17/02/27 §12.整環. 命題12.6. 33.17/04/03 §12.整環. 命題12.8. 命題8.1. の一般化.
https://w.atwiki.jp/sms20120113/pages/70.html
日時 次回：2017/5/20(土) テキスト 『Atiyah-MacDonald 可換代数入門』 備考 活動報告 第1回 2017/3/31 pp.1-5 定理5まで (環と環準同型写像,イデアル,剰余環,零因子,ベキ零元,単元) 第2回 2017/4/8 pp.6-8 命題1.7まで (素イデアルと極大イデアル,ベキ零元根基) 第3回 2017/4/15 pp.9-11 命題1.10まで(イデアルの演算) 第4回 2017/5/6 pp.26-29 命題2.1まで（加群,剰余加群,部分加群の演算,準同型定理) 第5回 2017/5/13 pp.10-13 （イデアルの演算再考)
https://w.atwiki.jp/kummer/pages/37.html
最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時29分20秒 代数的整数論 II(701-800) 元スレ： http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/701-800 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/701-800 701 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18 06 08 699 ×：kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 〇：king殿はずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 702 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18 07 22 700 ふむ。良きに計らえ。 703 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 18 52 04 698 kingとスレ主比べてるんでしょ？ 9208 ◆lJJjsLsZzw さん、お邪魔しました。 704 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19 49 22 talk 701 I m the King of kings. 705 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 19 53 12 704 知らない間にボキャが増えたね。 706 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19 59 27 talk 705 何だよ？ 707 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09 30 11 677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には 以下のようになる。 定義 A を環とし、B をその全商環( 362)とする。 B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) M は非退化( 431)である。 2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 708 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09 54 42 命題 A を環とし、B をその全商環( 362)とする。 M を B の A-部分加群とする。 M が A の分数イデアル( 707)であるためには次の条件が 必要十分である。 A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。 証明 M が A の分数イデアルであるとする。 M は非退化だから 434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。 よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。 条件が十分なことは明らか。 証明終 709 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 10 41 02 676の別証 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。 証明 A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。 A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は 極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、 Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。 Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。 585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i 0 がある。 J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。 容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。 極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、 IA_p = A_p = JA_p である。 よって、 692 より I = J である。 証明終 710 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 11 38 04 A をDedekind整域( 601)とする。 p を A の極大イデアルとする。 585より A_p は離散付値環である。 よって pA_p は単項イデアルである。 この生成元を t とする。t ∈ A_p だから t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。 s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。 よって、t ∈ p と仮定してよい。 x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる 整数 n が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。 明らかに ν(x) は t の選び方によらない。 711 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12 28 33 710 の ν_p(x) は x = 0 のときに ν_p(x) = ∞ と定義する。 こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。 712 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12 31 07 711 こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。 離散付値 713 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12 34 06 付値論については後でやる予定。 ここでは単に用語の定義だけ。 714 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12 50 42 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。 585より A_p は離散付値環である。 よって p で定まる離散付置ν_pが 710 とまったく同様に定義出来る。 715 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12 59 21 補題 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。 ν_p を p で定まる離散付置( 714)とすると、任意の整数 n ≧ 0 に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。 ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。 証明 (p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。 よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。 証明終 716 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 13 03 43 補題 A をDedekind整域( 601)とし、p を A の極大イデアルとする。 ν_p を p で定まる離散付置( 711)とすると、任意の整数 n ≧ 0 に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。 証明 715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。 証明終 717 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 16 03 41 716 p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。 これは 615 からわかる。 718 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17 27 38 命題 A をネーター整閉整域ととする。 I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で 各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。 このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。 証明 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 よって 715 より本命題の主張が得られる。 証明終 719 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17 30 40 ×離散付置 ○離散付値 720 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 19 34 16 このすれに現れたゆんゆんなるもの、実は男らしい。ウゲェー。 721 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 06 28 36 ×離散付値 ○離散賦値 722 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/18(水) 07 59 33 おはよーございます、9208 ◆lJJjsLsZzw さん。 ちょっと失礼・・・ 720聞き捨てならねーな。 723 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 09 07 16 722 ネカマだろ？ 724 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10 14 14 Dedekind整域のもう１つの特徴付けを述べるのを忘れていた。 以下、それを述べる。 補題 A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。 ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の 体 A/m 上のベクトル空間として の次元である。 証明 569より m は単項イデアルである。 よって 568より A は離散付値環である。 証明終 725 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10 28 19 補題 A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら A は Dedekind整域である。 証明 m を A の極大イデアルとする。 A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。 これから dim(A) = 1 である。 612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。 以上から A は １次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。 証明終 726 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10 30 47 命題(園による) A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル がないとする。このとき、A はDedekind整域である。 証明 m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。 a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。 よって 724 より A_m は離散付値環である。 よって 725 より A はDedekind整域である。 証明終 727 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10 43 33 726 m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、 中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって 728 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10 57 17 レス番号が800になる前に「代数的整数論３」のスレを誰か作って くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。 そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。 729 ：king 氏：2006/01/18(水) 11 25 37 728 は？誰の厄にもたたんよ。 730 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11 34 45 代数幾何の初歩を知っている人向けの解説を行う。 k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。 つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。 さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉 であるとする。 簡単のため X がアフィンの場合を考える。 A = Γ(X) を X の座標環とする。 仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。 612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 よって A は整閉である。 よって 584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、 A_S も整閉である。 W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。 W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。 A_p は上で述べたことより整閉であるから 555より離散付値環である。 よって 714により離散付値ν_pが定義される。 K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。 f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、 f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。 ν_p(f) 0 のときは零点の位数をあらわし、 ν_p(f) 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。 731 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11 38 03 728 (非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。 スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下 資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。 現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。 http //makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html で過去ログは見れるんだし。 トップはhttp //makimo.to/2ch/ 732 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11 43 35 731 アホの相手するなよ。 好きなだけ写経させてやってくれ。 733 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11 47 12 過去ログがすぐ見れるなら 728は撤回するけど、どうなの？ 734 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11 50 07 733 確かスレが1000まで行ってから二日か三日くらいで http //makimo.to/2ch/で見られるようになるはず。 735 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11 56 20 734 Thanks。なら撤回する。 736 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 12 49 13 補題 A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。 A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0} となる。 証明 605より明らか。 737 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13 14 27 定義 A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。 Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。 738 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13 41 41 命題 A をネーター整閉整域とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。 (n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、 各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、 有限個の p を除いて n_p = 0 とする。 I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、 I は因子的イデアル( 737)である。 逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。 証明 n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、 q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗 p^(n_p) である(前スレの348)。 前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p} である。 よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、 I = q_p_1∩...∩q_p_r となる( 736を考慮する) 。 これから、I が因子的なことがわかる。 逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、 718 と 736 より明らか。 証明終 739 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 13 46 53 731 うん、うん。もっと言ってやって。 740 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14 00 12 荒しには何も言わないで何言ってやがる。 このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。 各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。 それに丁寧に証明を付けている。 741 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14 45 06 740 荒らし共は、本論が停滞したとき幕間繋ぎに湧き出て来るんだから、相手にするな。 その他は通り掛かりの気紛れだから、適当にあしらい気にするな。 742 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 14 59 55 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 証明 各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。 ν_p_i(t_i) = 1 である。 中国式剰余定理(前スレの341)より、 x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような x ∈ A がある。 各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。 x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、 (t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。 よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。 よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。 以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。 証明終 743 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15 03 37 740 荒らされたくなければ sage ろ。 話はそれからだ。 744 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15 03 46 208の存在自体があらし 745 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15 23 42 命題 A をDedekind整域( 601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする (同じ値があっても良い)。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 証明 742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。 同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。 x/y が求めるものである。 証明終 746 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15 31 12 745は 730の例において、X の次元が１のとき即ち X が 代数曲線のとき、X の有限個の閉点とそこにおける 零点または極の位数を与えて関数を求める問題の答を与えている。 747 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15 32 54 746 だから sage ろよ。 748 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15 34 29 sage方教えてくれｗ 749 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16 10 41 名前欄にfusianasan E-mail欄にtesttest 本文１行目にtesttest 750 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 16 15 35 726 m と m^2 の間に真のイデアルがないとする。 m と m^2 の間に真の中間イデアルがないとする。 751 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16 28 42 testtest 749 あ、本当だ。簡単なんだね。ありがとう！ 752 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16 29 51 ひどい自演を見た 753 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16 33 22 749に書いてある通りにするとどうなるの？ 754 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16 46 45 683 浅野の代数学１(岩波) 正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。 この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章 の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。 そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。 こういうの有り？ これを知った上で前書きを読むと面白い。 755 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17 22 54 754 前書きにはどんなことが書いてあるのですか？ その本、手元にないもので。。。 756 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17 29 16 著者独自の工夫を凝らしたが、それがどこまで成功したかは 読者の判断にまかせるというような。 記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。 本当のところは本物を読んでもらうしかない。 757 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 18 18 46 756 なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。 758 ：１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 09 07 34 754 そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。 Weilの名前は出ていた。 759 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10 07 53 745 同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。 同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。 760 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10 12 10 745の命題は次のように改良出来る。 命題 A をDedekind整域( 601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 証明 742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる ものが存在する。 n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。 742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。 z = z/y が求めるものである。 証明終 761 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 11 24 34 補題 A をDedekind整域( 601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を A の元の列、 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。 A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが 存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置( 711)。 証明 中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。 762 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 12 02 23 命題(Dedekind整域における近似定理) A をDedekind整域( 601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を K の元の列、 n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。 K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置( 711)。 証明 各 n_i は正と仮定してよい。 各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。 ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と 異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。 761より、 A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と なるものが存在する。 各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i 各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0 p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、 ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0 よって、x = b/s が求めるものである。 証明終 763 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13 37 36 710, 711 の前に次の定義を述べたほうが良かった。 定義 A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。 m を A の極大イデアルとする。 x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる 整数 n が一意に定まる。n = ν(x) と書く。 ν(0) = ∞ と定義する。 ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、 有理整数との演算は定義しない。 ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。 1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。 2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。 つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y)) ν を A で定まる離散付置とよぶ。 764 ：king 氏：2006/01/19(木) 13 57 12 飽田。 765 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13 58 27 次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、 763 の 2), 3) だけからも出る。 命題 A を離散付値環とし、K をその商体とする。 ν を A で定まる離散付置とする( 763) 。 K の元 x, y に対して ν(x) ν(y) なら ν(x + y) = ν(y) である。 証明 x ≠ 0 と仮定してよい。 763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0 よって ν(-1) = 0 よって ν(-x) = ν(x) である。 763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。 ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。 よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。 よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。 証明終 766 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14 14 45 762から 760が簡単にでる。 760の命題の別証(本質は同じだが) 記号の意味は 760と同じとする。 各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。 762から K の元 x で ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。 証明終 767 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14 33 21 命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域( 601) とする。A は単項イデアル整域である。 証明 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。 I を A の非零イデアルとする。 各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、 692 より I = xA である ( 692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による 分解を考えれば明らか)。 証明終 768 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 15 27 51 命題 A をDedekind整域( 601)とし、I をその非零イデアルとする。 x ≠ 0 を I の任意の元とする。 I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。 証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する (J = (xA)I^(-1) とすればよい). J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。 742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。 yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。 証明終 769 ：king 氏：2006/01/19(木) 22 21 44 Dedeking 環 770 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/19(木) 22 26 07 talk 769 私を呼んだか？ 771 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 10 51 31 代数体(つまり有理数体の有限次拡大体)の整数論の基礎を学ぶのが このシリ－ズの目的である。 代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、 これをいきなり直接調べるのは得策ではない。 DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、 我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、 位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。 飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を 調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的 としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。 まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、 生物一般の性質を調べるのが先だろう。 同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、 我々はまずDedekind整域を調べることにした。 Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、 ネーター整閉整域の一般論も有効である。 さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 つまり類人猿の研究も有効である。 代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 どっちがより深いとも言えないが。 772 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11 05 09 クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！ 773 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 11 47 45 730は代数多様体について離散付値の役割を述べたが、 これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま 成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。 このような見方は代数体の整数論でも有効である。 この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、 A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、 A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。 p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における 零点または極の位数を表すと考えられる。 774 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11 50 58 772 (@_@) ↑king召還の魔法 775 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 12 19 46 talk 772 お前に何が分かるというのか？ talk 774 私を呼んだか？ 776 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05 00 19 クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！ 777 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05 54 34 てゆーか、高校で芭蕉やウェルギリウスを教えてる現状は問題ありかと。 そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、 有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。 778 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/21(土) 09 19 46 talk 776 何故[ 625]には注意しないのか？ 779 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 09 53 25 777 芭蕉はわかるが、ウェルギリウスは何をやってるの？ ラテン文学は結構好きだよ。 780 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21 23 51 ブルバキスレ http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/ に書いたが、レスがないのでこちらへ。 ブルバキ可換代数第７章に 通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに determinantal ideal としか書いてないのは何故？ 781 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21 41 13 780 スレ違い。 糞スレ貼るな、蛆虫が！ 誰のスレだと思って嫌がる？ あん？言ってみろ！ 782 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21 50 43 781 無知な奴は消えろ 783 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 22 09 19 782 776 クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！ 784 ：１３２人目の素数さん：2006/01/22(日) 01 00 30 無知蒙昧で、役立たずな 208 と 9208 は早急に出て行け 785 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11 02 41 次の命題も 768と同じ方法で証明される。 命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。 証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。 742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。 yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 証明終 786 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11 40 02 補題 A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は A の商体 K と一致する。 証明 x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。 ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。 仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。 よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。 証明終 787 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11 42 46 命題 A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と 一致しないとする。 このとき、A_S はDedekind整域である。 証明 584 より A_S は整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。 前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} と同一視される。よって、A_S の 非零素イデアルは極大である。 つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。 786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって dim(A_S) = 1 である。 証明終 788 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12 25 50 785 から 768 が容易に出る。 789 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12 26 41 命題 A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる 高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。 このとき、A_S は単項イデアル整域である。 証明 前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、 T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。 前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、 p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。 よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。 よって dim(A_S) = 1 である。 584 より 整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。 よって、A_S はDedekind整域である。 767 より A は単項イデアル整域である。 証明終 790 ：１３２人目の素数さん：2006/01/23(月) 15 17 20 あ～あ 791 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16 13 52 代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 興味ない人は無視しても問題ないだろう。 定義 A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域 であるとき A を正規環と呼ぶ。 792 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16 16 20 命題 A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が 整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。 証明 前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。 前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、 p_i ⊂ m となるi がある (前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。 p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。 よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。 I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と なる。よって I = A であり、x = 0 となる。 よって、p_1∩...∩p_r = 0。 i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。 p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、 上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。 よって p_i + p_j = A である。 よって中国式剰余定理(前スレの341)より A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 証明終 793 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 09 59 37 768の命題は、次のようにやや拡張して述べたほうが良かった。 命題 A をDedekind整域( 601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。 証明は 768 と同様なので省略する。 794 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10 09 26 785は、 793 からも出る。 命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。 証明(Van der Waredenの教科書より) 793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。 yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。 I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L) よって J + L = A である。 証明終 795 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10 19 32 逆に 793 は 785 から出る。 命題 A をDedekind整域( 601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。 証明 J = IL となる非零イデアル L がある。 785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。 よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。 証明終 796 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10 20 51 794 と 795 より、 785 と 793 は同値である。 797 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10 25 57 793 は明らかに次の命題と同値である。 命題 A をDedekind整域( 601)とし、I をその非零イデアルとする。 A/I の任意のイデアルは単項である。 798 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11 06 10 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。 証明 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 792の証明より、 A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。 仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。 よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。 A_m は整閉だから 612 より A/p_i も整閉である。 A/p_i がネーターなのは明らか。 証明終 799 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11 21 51 命題 A を１次元ネーター正規環( 791)とする。 A は有限個(０個も含む)の体と少なくとも一個の有限個のDedekind整域 の直積と同型である。 証明 798 より明らかだろう。 800 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11 52 10 771 さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 つまり類人猿の研究も有効である。 代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 どっちがより深いとも言えないが。 有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は ５０年以上前にWeilにより解決されている。 よく知られているように代数体の場合は未解決。 この点で、代数体の方が深いと言える。 タグ： Dedekind整域 中国式剰余定理 中山の補題 分離的スキーム 最短準素分解 積閉部分集合 離散付値環 コメント
https://w.atwiki.jp/pal9999/pages/4.html
女の子がストーカーに追い詰められていく話? 囚人のジレンマ? web? web2.0 主人公の変遷 共通化による死 村上ヘルシング 格差社会と強者と弱者と平等 絶対的悪が存在する世界と相対的悪しか存在しない世界での創作? 財務諸表の読み方? 恋愛バリュー投資入門 金貸しに商品の事はわからない。だが生産者も同じくらい商品のことはわからない。?
https://w.atwiki.jp/mcstory/pages/55.html
イデアとは、プラトンが提唱した「物事の本質」。もしくは理想。 このイデアという本質が実在するだけで、人が見ている物事はそれを投影したものに過ぎない。イスや馬といったような目に見える物体は本物ではなく、本物であるイデアはイデア界にあるという。また三角や正しさなどの概念にもイデアは存在するらしい。 人間にもイデアが存在し、イデア界ではなく可視世界に存在する人間は不完全だが、その不完全な人間がなぜイデアを理解できるかというと、かつて人間の魂はイデアを正しく見ていたから」という魂の前世を肯定するものだった。 このイデアを多く理解できる者が真実を求める者で、それは哲学者がそうであり、また芸術家もそうである。 また恋愛は美のイデアを思い出し、それに焦がれるため、狂気（マニアー）に陥るという。 このように狂気を肯定してはいるが、病気としての狂気は認めていなかったらしい。 物事の本質・理想としてイデアを打ち立てたプラトンだが、悪や汚物のイデアについては言及していないとのこと。 カントの提唱した「物自体」と重なる部分が大きい。 参考： イデア - Yahoo!百科事典 イデア - Wikipedia 「理念学術体系」序説
https://w.atwiki.jp/kummer/pages/38.html
最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時29分46秒 代数的整数論 II(801-900) 元スレ： http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/801-900 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/801-900 801 ：１３２人目の素数さん：2006/01/24(火) 11 56 53 よく知られているように、 一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。 この点で、可換環の方が深いと言えるww 802 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/24(火) 13 55 49 こんにちは、9208 ◆lJJjsLsZzw くん。 803 ：king 氏 ね：2006/01/24(火) 21 12 46 802 私を呼んだか？ 804 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/24(火) 21 35 21 talk 803 お前に何が分かるというのか？ 805 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09 23 18 補題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ A と B の非零因子であることが必要十分である。 証明 明らか。 806 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09 28 35 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) は それぞれ C, A, B の全商環を表す。 証明 805 より明らか。 807 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09 44 24 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。 Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506) であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが 必要十分である。 証明 簡単なので読者にまかす。 808 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09 47 35 命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B) において整閉であることが必要十分である。 証明 807 より明らか。 809 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09 53 05 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 A はその全商環において整閉である。 証明 798 と 808 よりでる。 810 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 10 33 02 次の命題は 555 をやや一般にしたものであり、その証明も 同様である。 命題 A を１次元のネーター局所環とし、 m をその極大イデアルとする。 m の元がすべて A の零因子ではないとする。 A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。 証明 a を m の非零因子とする。 p を A の素イデアルで a ∈ p とする。 p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。 仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。 よって Supp(A/aA) = {m} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、 Ass(A/aA) = {m} となる。 よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA), mb ⊂ aA となるものがある。 よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。 b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。 m(b/a) = m と仮定する。 551 の証明と同様にして b/a が A 上整となって矛盾。よって 553 の証明と同様に m(A m) = A である。 361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 m は非零因子を含むから 568 よりA は離散付値環である。 証明終 811 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11 17 20 補題 A を環とする。 I, J を A の分数イデアル( 707)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。 証明 684 と同様なので読者にまかす。 812 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 11 23 51 802 無視されてやんのｗ 813 ：9208 ◇lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11 57 52 812 荒らすな、クズが！ このスレに書いたことを一つでも理解できるか？ オチこぼれ！ 814 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12 02 06 次の命題は 616 をやや一般にしたもの。 命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 I を A の非退化( 431)なイデアルとする。 つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。 このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。 よって、ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる (この記法に関しては前スレの543を参照)。 810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i 0 がある。 よって、 615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 815 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12 05 50 810 m の元がすべて A の零因子ではないとする。 m が A の少なくとも一個の非零因子を含むとする。 816 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12 17 57 810 361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 m(A m) = A だから m は可逆( 430)である。 よって 509 より m は A-加群として階数１( 253)の射影加群である。 361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 817 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 05 51 814の証明に不備があったので、それを修正するため いくつかの補題を用意する。 補題 A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。 m が可逆( 430)なら A は離散付値環である。 証明 今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために 証明する。 509 より m は A-加群として階数１( 253)の射影加群である。 361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから m の生成元はべき零では有り得ない。 よって 568 より A は離散付値環である。 証明終 818 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 06 31 補題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化( 431)な極大イデアルは可逆( 430)である。 証明 810と同様である。 819 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 10 28 命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 m を A の非退化( 431)な極大イデアルとする。 A_m は離散付値環である。 証明 818 より m は可逆である。 よって mA_m も可逆である。 よって 817 より A_m は離散付値環である。 証明終 820 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 11 53 訂正： 814 810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 819 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 821 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 21 10 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化( 431)なイデアルは可逆( 430)である。 証明 I を A の非退化なイデアルとする。 814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。 818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。 よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。 証明終 822 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 39 27 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル( 707)は可逆( 430)である。 証明 M を A の分数イデアルとする。 定義( 707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 M は非退化だから 434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。 よって 821 より sM は可逆である。 M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。 証明終 823 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 49 30 命題 A を環とし、その全商環( 362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆( 430)なら M は A の分数イデアル( 707)である。 証明 501 より M は非退化( 431)である。 504 より M は有限生成である。 よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 よって M は分数イデアルである。 証明終 824 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16 53 20 命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環( 362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル( 707)と B の A-加群としての可逆( 430)部分加群 は同じものである。 証明 822 と 823 より。 825 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17 04 01 791 代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 興味ない人は無視しても問題ないだろう。 代数的整数論に関係ないこともないな。 有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、 代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。 826 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17 19 58 定義 A をネーター環とする。 A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群 を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。 その元を因子(divisor)と呼ぶ。 827 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 18 55 44 813 無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。 828 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 20 22 31 荒らされたくなければ sage ようや 829 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21 15 07 talk 828 お前に何が分かるというのか？ 830 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 21 39 03 829 荒らすんじゃない。 いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。 831 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21 41 44 talk 830 お前に何が分かるというのか？ 832 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 21 54 22 831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。 833 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 22 25 25 kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた JaneStyleは最初sageになっている つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ 834 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22 32 11 talk 832 お前に何が分かるというのか？ 835 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 22 45 36 834 とりあえず sage ろ。 糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？ 9208 も sage ようや。 836 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22 51 09 talk 835 お前に何が分かるというのか？ 837 ：9208 ◇lJJjsLsZzw：2006/01/25(水) 22 52 30 835 仕切るな、オチこぼれ！ 838 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 22 52 51 836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。 839 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22 59 54 talk 838 お前に何が分かるというのか？ 840 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 23 02 35 839 お前は sage を覚えろ 841 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 23 46 32 俺は誰だ！ 842 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/25(水) 23 48 57 変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。 843 ：1：2006/01/26(木) 00 31 53 キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？ 病気の所為か？ それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？ 844 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/26(木) 07 35 15 talk 840 お前に何が分かるというのか？ talk 843 私を呼んだか？ 845 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09 05 23 835 sage方を教えてくれ。 846 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09 06 06 845メール欄に半角で sage と入れる。 847 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09 10 18 sage test 848 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 09 30 19 以下の個所を補足説明する。 819 818 より m は可逆である。 よって mA_m も可逆である。 509より m は A 上の射影加群である。 よって 207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。 m は可逆だから非退化であり、 434 より A の非零因子を含む。 A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、 mA_m も非退化である。よって 511 より mA_m は可逆である。 849 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 10 56 54 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 a ∈ m が A の非零因子とする。 A/aA は A-加群として長さ有限である。 証明 aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。 ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。 よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。 Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。 証明終 850 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11 14 59 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。 証明 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は 明らかに長さ有限である。 よって I ⊂ p とする。 509 より I は A-加群として階数１( 253)の射影加群である。 355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である よって、 340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。 a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。 ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。 明らかに a/s は A_p の非零因子である。 IA_p = (a/s)A_p だから 849 より A_p/IA_p は A_p-加群として 長さ有限である。 証明終 851 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11 31 31 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0 である。 I ⊂ p とする。 I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。 ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、 849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。 これは I が可逆でありしたがって非退化であるから( 501) 有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。 前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。 証明終 852 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11 48 25 A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 A の因子群 Div(A)( 826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 853 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12 04 16 852 の定義は EGA IV-4 による。 EGAとは記号が異なるが。 EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群 すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。 854 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12 24 41 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。 このとき、次の式が成立つ。 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) 証明 849 から上の式の各項は有限である。 A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを 示せばよい。 A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。 これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。 これは明らかに全射である。 これが単射なことは以下のことからわかる。 s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。 ここで a と b は A の元である。 証明終 855 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13 30 05 854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。 何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、 sA = A となり、stA = tA となるから、 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) の両辺とも、leng(A/tA) となる。 856 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13 37 19 命題 A をネーター環とする。 I, J を A のイデアルで可逆( 430)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 div(I) の定義( 852)と、 850 の証明、及び 854 と 855 から 明らか。 857 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13 50 04 補題 A をネーター環とする。 I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆( 430)とする。 I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、 div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。 ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の 逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。 証明 I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。 よって、 856 より上記の式が出る。 証明終 858 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13 56 41 定義 A をネーター環とする。 548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) と定義する。 これは、 857 により I, J の取り方によらない。 859 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 14 35 38 A をネーター環とする。 858 により A の可逆分数イデアル群 I(A) から 因子群 Div(A) ( 826) の準同型 div I(A) → Div(A) が得られる。 860 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 14 57 49 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 861 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16 01 20 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p} となる。 証明 p ∈ Ass(A/I) とする。 前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。 A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル だから( 850の証明参照)、 589(及びそれの 590, 602 による修正) より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。 逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら 851 の証明より、 p ∈ Ass(A/I) 証明終 862 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16 35 49 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆( 430)とする。 IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、 I = J である。 証明 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 861より ht(p_i) = 1 である。 よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である( 851 の証明からも分かる)。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる (この記法に関しては前スレの543を参照)。 I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル p に対する IA_p で一意に決まる。 J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。 証明終 863 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17 11 40 補題 A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n ≧ 0 にたいして leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての A/m^n の長さ。 証明 A-部分加群の列 A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n を考える。 任意の整数 i ≧ 0 にたいして leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 m の生成元を t とする。 A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、 A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。 これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、 A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。 これは明らかに全射である。 この核が tA 即ち m であることも明らか。 よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。 証明終 864 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17 14 18 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆( 430)とする。 div(I) = div(J) なら I = J である。 証明 I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 555 より A_p は離散付値環である。 よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。 863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で IA_p = JA_p である。 よって 862 より I = J である。 証明終 865 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17 17 35 864 I を A のイデアルで可逆( 430)とする。 この行は余計だった。 866 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17 24 12 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 859の射 div I(A) → Div(A) は単射である。 証明 M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。 M = A を示せばよい。 548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) だから、 div(I) = div(J) となる。 よって、 864 より、I = J である。 よって、 M = A である。 証明終 867 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17 27 30 訂正 863 leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 であることを示せばよい。 868 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18 13 44 こりないね 869 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18 35 39 868 だまれ！このうすらが！ 870 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/26(木) 18 41 16 うすら？ 871 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 19 10 14 868 あげるな 872 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 09 52 08 本論とはあまり関係ないが 792と関連して次の命題を証明しておく。 この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年) にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解 を考えれば簡単とあるだけで省略されている。 興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。 命題 A をネーター環とする。 A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合 である。 873 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10 07 38 872 の証明 Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。 p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。 前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。 よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。 一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。 よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。 i = 1 と仮定して一般性を失わない。 q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p で sq_1 = 0 となるものがある。 q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。 f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。 f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。 よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f) = {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f} である。 さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。 よって、q_1A_f = 0 である。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 証明終 874 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10 15 42 訂正 873 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 875 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10 17 40 873 の A_f の定義については前スレの162を参照。 876 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 13 48 49 あとは転落の一途だな 877 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15 12 40 定義 A をネーター環とし、その全商環( 362)を B とする。 U(B) を B の可逆元のなす乗法群( 524) とする。 f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。 div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。 A の単項因子全体は Div(A) ( 826) の部分群をなす。 これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。 Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。 878 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15 21 51 A をネーター環とし、その全商環( 362)を B とする。 859 の div I(A) → Div(A) は、 I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。 ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である( 539)。 Cl(A) は A の因子類群( 877) である。 879 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15 26 51 A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる( 541) から、 878 より div I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を 誘導することになる。 880 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 15 56 07 876 あげるな 881 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 16 00 49 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) ( 826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。 q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。 ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。 D_q は A_q の因子と見なせる。 D_q が A_q の単項因子( 877) のとき D は q において単項という。 D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき D を局所的に単項な因子と呼ぶ。 882 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 13 49 31 命題 A をネーター環とする。 I を A の非退化( 431)なイデアルとする。 p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。 p は Supp(A/I) の極小元である。 よって leng(A_p/IA_p) は有限である。 さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 851と同様。 883 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 14 40 08 A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化( 431)とする。 A の因子群 Div(A)( 826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 884 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 14 41 39 880 名前：１３２人目の素数さん ：2006/01/27(金) 15 56 07 876 あげるな おれの勝手だボケ 885 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 15 01 27 884 崩れは消えろ 886 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 15 05 28 命題 A をネーター正規環( 791)とする。 I, J を A のイデアルで非退化( 431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 555 より A_p は離散付値環である。 I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 が定まる。 863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 J についても同様であるから本命題の主張は明らか。 証明終 887 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19 04 09 akechi mitsuhide 888 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19 06 13 shimura goro このgoroはゴロつきのゴロ 889 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10 25 14 定義 A をネーター環とする。 k ≧ 0 を 整数とする。 p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は 正則局所環( 571) のとき A は 余次元 k 以下で正則 または性質 (R_k) を満たすという。 890 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10 31 53 定義 A をネーター環とする。 A の任意の素イデアルで A_p が正則局所環( 571) のとき A を正則環と呼ぶ。 891 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10 39 53 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則( 889)とする。 I, J を A のイデアルで非退化( 431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 572 より A_p は離散付値環である。 よって後は 886 と同様。 証明終 892 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11 34 36 定義 A をネーター環で余次元１以下で正則( 889)とする。 M を A の分数イデアル( 707)とする。 定義( 707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 sM = I とおけば、M = I(1/s) である。 I は非退化イデアルだから、 883 により div(I) が定義される。 どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。 div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。 この定義が s の取り方によらないことは、 891 よりわかる。 893 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11 48 16 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則( 889)とする。 M, N を A の分数イデアル( 707)とする。 MN も分数イデアルであり、 div(MN) = div(M) + div(N) となる。 証明 MN が分数イデアルであることは定義( 707)から明らか。 div(MN) = div(M) + div(N) も 定義( 892) と 891 より明らか。 894 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 12 05 39 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) ( 826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合 となる。 895 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 12 49 25 あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ 896 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18 01 53 885は 895の言うような自明なことがわからない 極め付きのバカ 897 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18 03 44 うすらが 898 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18 05 22 あとは転落の一途だ 899 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18 06 55 208みたいのを崩れっていうんじゃない 900 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 02 19 15 900 タグ： ネーター正規環 可逆分数イデアル群 因子群 最短準素分解 準同型 コメント
https://w.atwiki.jp/kummer/pages/59.html
最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時21分28秒 代数的整数論 004 (531-595) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/531-595 ログ元： http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/531-595 531 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 02 14 ] 補題 A を環、S を A の積閉部分集合とする。 B = A_S とおく。 p を S と交わらない A の素イデアルとする。 pB は B の素イデアルだから局所化 B_pB が意味をもつが B_pB は A_p と標準的に同型である。 証明 U = A - p とおくと S ⊂ U である。 B_pB の元は (a/s)/(u/t) の形をしている。 ここで a ∈ A, s ∈ S, u ∈ A - p, t ∈ S である。 u ∈ A - p に対して (u/1)/(1/1) は B_pB の可逆元だから a ∈ A のとき a/u に (a/1)/(u/1) を対応させて 射 φ A_p → B_pB が定まる。 a ∈ A, s ∈ S, u ∈ A - p, t ∈ S のとき、 B_pB において (a/s)/(1/1) = (a/1)/(s/1) (u/t)/(1/1) = (u/1)/(t/1) だから (a/s)/(u/t) = (at/1)/(su/1) である。 よって φ(at/su) = (a/s)/(u/t) となって φ は全射である。 a ∈ A, u ∈ A - p のとき、φ(a/u) = 0 とする。 φ(a/u) = (a/1)/(u/1) だから v ∈ A - p, s ∈ S があって B において (v/s)(a/1) = va/s = 0 となる。 よって t ∈ S があって tva = 0 となる。 tv ∈ A - p だから A_p において a/u = 0 である。 よって φ は単射である。 証明終 532 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 04 15 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 このとき K^*/(B_p)^* は Σ K^*/(B_P)^* に標準的に同型である。 ここで P は B の 0 でない素イデアルで p = A ∩ P となるもの 全体を動く。 B_p は積閉部分集合 S = A - p に関する B の局所化である。 証明 C = B_p とおく。 530 より C は単項イデアル整域である。 よって 518 より K^*/C^* は Σ K^*/(C_M)^* に標準的に 同型である。ここで M は C の極大イデアル全体を動く。 C の極大イデアル M は 530 の証明で述べたように pA_p の上にある。 よって M = PC の形である。 ここで P は B の 0 でない素イデアルで p = A ∩ P となるもの である。 よって 531 より C_M は B_P に標準的に同型である。 証明終 533 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 35 50 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 このとき B の可逆分数イデアル群 I(B) は Σ K^*/(B_p)^* に標準的に 同型である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 528 より B は Dedekind 整域だから当然１次元のネーター整域で ある。よって 507 と 511 より I(B) は Σ I(B_P) と標準的に 同型である。ここで P は B の 0 でない素イデアル全体を動く。 各 B_P は局所環だから前スレ２の361より Pic(B_P) = 0 である。 よって 472 より I(B_P) = P(B_P) である。 517 より P(B_P) は K^*/(B_P)^* と標準的に同型である。 以上から I(B) は Σ K^*/(B_P)^* に標準的に同型である。 ここで P は B の 0 でない素イデアル全体を動く。 532 より Σ K^*/(B_P)^* は Σ K^*/(B_p)^* に標準的に同型である。 証明終 534 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 48 50 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 このとき次のアーベル群の完全列が存在する。 0 → K^*/A^ → Σ K^*/(A_p)^* → Pic(A) → 0 ここで Σ K^*/(A_p)^* の p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 507 と 511 より I(A) は Σ I(A_p) と標準的に 同型である。ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 各 A_p は局所環だから前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。 よって 472 より I(A_p) = P(A_p) である。 517 より P(A_p) は K^*/(A_p)^* と標準的に同型である。 以上から I(A) は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。 472 より P(A) は K^*/A^* と標準的に同型である。 後は 473 に注意すればよい。 証明終 535 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 51 40 ] 訂正 534 0 → K^*/A^ → Σ K^*/(A_p)^* → Pic(A) → 0 0 → K^*/A^* → Σ K^*/(A_p)^* → Pic(A) → 0 536 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 13 01 28 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 このとき次のアーベル群の完全列が存在する。 0 → K^*/B^* → Σ K^*/(B_p)^* → Pic(B) → 0 ここで Σ K^*/(B_p)^* の p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 533 より明らかである。 537 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 13 06 37 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 このとき次のアーベル群の可換図式が存在する。 0 → K^*/A^* → Σ K^*/(A_p)^* → Pic(A) → 0 ｜ ｜ ｜ ｖ ｖ ｖ 0 → K^*/B^* → Σ K^*/(B_p)^* → Pic(B) → 0 上と下の水平の列はそれぞれ完全である。 ここで Σ K^*/(A_p)^* と Σ K^*/(B_p)^* の p は A の 0 でない 素イデアル全体を動く。 証明 534 と 536 および各標準射の定義から明らかである。 538 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 13 09 55 ] 537 可換図式の垂直の矢印がおかしいが意味は分かるだろう。 539 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 13 20 55 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 このとき次のアーベル群の完全列が存在する。 0 → B^*/A^* → Σ (B_p)^*/(A_p)^* → Pic(A) → Pic(B) → 0 ここで Σ (B_p)^*/(A_p)^* の p は A の 0 でない素イデアル全体を 動く。 証明 537 に蛇の補題(snake lemma)を適用すればよい。 540 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 15 44 59 ] 定義 A を整域とし、K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 434 で定義した (A B) = {a ∈ A; aB ⊂ A} を A の導手という。 541 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 15 46 42 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 I = (A B) を A の導手( 540)とする。 B が A-加群として有限生成なら I ≠ 0 である。 証明 x_1, ..., x_n を B の A-加群としての生成元とする。 各 x_i は K の元だから、A の元 a ≠ 0 で各 i に対して a(x_i) ∈ A となるものがある。 aB ⊂ A だから a ∈ I である。 証明終 542 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 15 49 03 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I ≠ 0 を A のイデアルとする。 p を A の素イデアルで I ⊂ p とする。 このとき B_p/IB_p は環として Π B_P/IB_P に標準的に同型である。 ここで Π B_P/IB_P の P は B の素イデアルで p = A ∩ P となる もの全体を動く。 証明 A_p ⊂ B_p で B_p は A_p 上整だから B_p の極大イデアルは pA_p の上にある。よって、これ等は PB_p の形である。 ここで P は B の素イデアルで p = A ∩ P となる。 I ⊂ p だから I ⊂ P である。よって IB_p ⊂ PB_p である。 C = B_p おくと C は１次元のネーター整域だから 492 より C/IC = Π C_m/IC_m である。 ここで m = PB_p は C の極大イデアル全体を動く。 531 より C_m は B_P に標準的に同型である。 証明終 543 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 15 59 34 ] 補題 A を１次元のネーター整域とする。 I ≠ 0 を A のイデアルとする。 (A/I)^* はアーベル群として Σ (A_p/IA_p)^* に標準的に 同型である。 ここで p は A の素イデアルで I ⊂ p となるもの全体を動く。 証明 I ≠ 0 だから I ⊂ p となる A の素イデアル p は極大イデアルであり 従って有限個である。 よって 492 より A/I は環として Π A_p/IA_p に標準的に同型 である。 ここで p は A の素イデアルで I ⊂ p となるもの全体を動く。 よって (A/I)^* はアーベル群として Σ (A_p/IA_p)^* に標準的に 同型である。 証明終 544 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 16 11 12 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 (B/I)^* はアーベル群として Σ (B_p/IB_p)^* に標準的に同型である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 541 より I ≠ 0 である。 よって 543 より (B/I)^* はアーベル群として Σ (B_P/IB_P)^* に 標準的に同型である。 ここで P は B の素イデアルで I ⊂ P となるもの全体を動く。 433 より A_p の K における整閉包は B_p である。 I ⊂ p でないなら 436 より B_p = A_p である。 IA_p = A_p だから、B_p/IB_p = A_p/IA_p = 0 である。 よって Σ (B_p/IB_p)^* は I ⊂ p となる p のみの有限和である。 I ⊂ p のとき、 542 より B_p/IB_p は環として Π B_P/IB_P に標準的に同型である。 ここで P は B の素イデアルで p = A ∩ P となるもの全体を動く。 よって (B_p/IB_p)^* はアーベル群として Σ (B_P/IB_P)^* に 標準的に同型である。 以上から Σ (B_p/IB_p)^* は Σ (B_P/IB_P)^* に標準的に 同型である。 ここで P は B の素イデアルで I ⊂ P となるもの全体を動く。 証明終 545 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17 08 56 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 p を I ⊂ p となる A の素イデアルとする。 φ B_p → B_p/IB_p を標準射とする。 B_p の可逆元 x に対して φ(x) は B_p/IB_p の可逆元だから φ はアーベル群の射 ψ (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* を誘導する。 このとき ψ は全射である。 証明 B_p の極大イデアルは 530 の証明で述べたように pA_p の上にある。 よって PB_p の形である。 ここで P は B の 0 でない素イデアルで p = A ∩ P となるもの である。I ⊂ p だから IB_p ⊂ PB_p である。 よって B_p/IB_p の極大イデアルと B_p の極大イデアルは１対１に 対応する。 B_p の元 y に対して φ(y) が B_p/IB_p の可逆元だとする。 φ(y) は B_p/IB_p のどの極大イデアルにも含まれない。 即ち y は B_p の可逆元である。 よって ψ (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* は全射である。 証明終 546 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17 12 04 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 p を I ⊂ p となる A の素イデアルとする。 I は A に含まれる B のイデアルだから IB_p = IA_p である。 よって (A_p/IA_p)^* ⊂ (B_p/IB_p)^* である。 このとき (B_p)^*/(A_p)^* はアーベル群として (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* に標準的に同型である。 証明 545 より ψ (B_p)^* → (B_p/IB_p)^* は全射である。 ψと標準射 (B_p/IB_p)^* → (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* の合成射を Ψ (B_p)^* → (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* とする。 B_p の可逆元 x に対して Ψ(x) = 0 とする。 これは ψ(x) ∈ (A_p/IA_p)^* を意味する。 よって x ≡ y (mod IB_p) となる y ∈ A_p がある。 IB_p = IA_p だから x ∈ A_p である。 x は B_p の可逆元だから x ∈ A_p である。 ψ(x) ∈ (A_p/IA_p)^* だから x ∈ (A_p)^* である。 よって Ψ の核は (A_p)^* である。 証明終 547 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 17 30 04 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 このとき次のアーベル群の完全列が存在する。 0 → B^*/A^* → (B/I)^*/(A/I)^* → Pic(A) → Pic(B) → 0 証明 以下、簡単のためにアーベル群の標準同型を等号 = で表す。 539 より次のアーベル群の完全列が存在する。 0 → B^*/A^* → Σ (B_p)^*/(A_p)^* → Pic(A) → Pic(B) → 0 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動くが、 I ⊂ p でないときは 436 より B_p = A_p である。 よって Σ (B_p)^*/(A_p)^* は I ⊂ p となる p のみの有限和である。 (B/I)^*/(A/I)^* = Σ (B_p)^*/(A_p)^* を言えばよい。 543 より (A/I)^* = Σ (A_p/IA_p)^* である。 544 より (B/I)^* = Σ (B_p/IB_p)^* である。 よって (B/I)^*/(A/I)^* = Σ (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* である。 546 より (B_p)^*/(A_p)^* = (B_p/IB_p)^*/(A_p/IA_p)^* である 証明終 548 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/27(土) 10 28 23 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 さらに B が有限ノルム性( 68)を持ち Pic(B) が有限群であるとする。 I = (A B) を A の導手とする。 このとき、 |Pic(A)| = |Pic(B)|[(B/I)^* (A/I)^*]/[B^* A^*] である。 証明 547 より Pic(A) → Pic(B) の核の位数は [(B/I)^* (A/I)^*]/[B^* A^*] である。 これより明らかである。 証明終 549 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/27(土) 10 34 48 ] 548 を代数体に適用すると Hilbert の Zahlbericht の定理 66 となる。Hilbert はこれを解析的に証明している。 550 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 42 14 ] 定義 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 J ≠ 0 を A の イデアルとする。 JB が I と素のとき J を正則なイデアルという。 551 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 45 22 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 p が正則 ( 550) であるためには p が I を含まないことが 必要十分である。 証明 448 と同様である。 552 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 46 37 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 I ≠ 0 を A のイデアルとする。 I が正則 ( 550) であるためには I ⊂ p となる A の任意の 素イデアル p が正則であることが必要十分である。 証明 449 と同様である。 553 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 47 30 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし、p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 A_p が離散付値環(前スレ１の 645)であるためには A_p が整閉で あることが必要十分である。 証明 A_P が離散付値環なら、A_p は一意分解整域だから 前スレ３の 158 より A_P は整閉である。 逆に A_p が整閉なら前スレ２の 555 より A_p は離散付値環である。 証明終 554 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 51 34 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 p が正則であるためには A_p が離散付値環であることが 必要十分である。 証明 436 と 551 より p が正則であるためには A_p が整閉であることが 必要十分である。 554 より、これは A_p が離散付値環であることと同値である。 証明終 555 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 53 02 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 p が正則であるためには p が可逆分数イデアル( 466)であることが 必要十分である。 証明 p が正則なら 554 より A_p は離散付値環である。従って pA_p は 単項イデアルである。 q ≠ 0 を p と異なる A の素イデアルとすると、q は p に含まれない から pA_q = A_q となり、これも 0 でない単項イデアルである。 よって 500 (及び 502) より p は可逆分数イデアルである。 逆に p が可逆分数イデアルなら 499 より pA_p は単項イデアル である。よって前スレ３の534より A_p は離散付値環である。 よって 554 より p は正則である。 証明終 556 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 54 06 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I と J を A の正則なイデアルとする。 IB = JB なら I = J である。 証明 451 と同様である。 557 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 55 32 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 J ≠ 0 を B のイデアルで I と素とする。 J_0 = A ∩ J とおく。 このとき、J_0 は正則なイデアルで (J_0)B = J となる。 証明 453 と同様である。 558 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 56 22 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 A の正則なイデアルは正則な素イデアルのべき積として一意に 分解される。 証明 457 と同様である。 559 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 12 58 41 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 A の正則なイデアルは可逆分数イデアルである。 証明 555 と 558 より明らかである。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/29(月) 13 18 00 ] 9 561 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 17 24 48 ] 訂正 552 を以下のように修正する。 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 J ≠ 0 を A のイデアルとする。 J が正則 ( 550) であるためには J ⊂ p となる A の任意の 素イデアル p が正則であることが必要十分である。 証明 449 と同様である。 562 名前："""""" mailto """""" [2007/01/29(月) 17 25 19 ] ● 若い桃尻お尻厳選?＋秋山奈々??? ● http //eco.no.land.to/idol/forumdisplay.php?fid=1 filter=0 orderby=views page=1 563 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 17 26 41 ] A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルで正則でないとする。 a を p の 0 でない元とすると aA は可逆であるが 561 より 正則ではない。 従って 559 の逆は成立たない。 564 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 20 17 58 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 M ≠ 0 と N ≠ 0 を A の分数イデアル(前スレ２の677) とする。 M の素イデアル分解に現れる素イデアルの集合と N の素イデアル分解に現れる素イデアルの集合の共通集合が空のとき M と N は互いに素であるという。 565 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 20 19 29 ] 定義 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 M ≠ 0 を A の分数イデアルとする。 MB が I と互いに素( 564)のとき M を正則な分数イデアルという。 566 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/29(月) 22 39 00 ] 565 の訂正 定義 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 M ≠ 0 を A の分数イデアルとする。 I と J を正則なイデアルとして M = I/J と書けるとき M を正則な分数イデアルという。 ここで I/J は I (J^(-1)) を意味する。 J は可逆( 559)であるので J^(-1) は存在する。 567 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 22 51 59 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 M と N を正則な分数イデアル( 566)とする。 MB = NB なら M = N である。 証明 定義( 566)より M = I_1/J_1, N = I_2/J_2 とする。 ここで I_1, J_1, I_2, J_2 はそれぞれ正則なイデアルである。 MB = NB より (I_1)B/(J_1)B = (I_2)B/(J_2)B となる。 よって (I_1)(J_2)B = (I_2)(J_1)B である。 556 より (I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) となる。 よって M = N となる。 証明終 568 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/29(月) 23 06 46 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 M を B の分数イデアルで I と互いに素( 564)であるとする。 このとき A の正則な分数イデアル M_0 で (M_0)B = M となるものが 一意に存在する。 証明 M は I と互いに素だから、M の素イデアル分解考えれば、M = J/L と書ける。 ここで J と L はそれぞれ I と互いに素な B のイデアルである。 J_0 = A ∩ J, L_0 = A ∩ L とおくと 557 より J_0, L_0 は それぞれ A の正則なイデアルで (J_0)B = J, (L_0)B = L となる。 M_0 = (J_0)/(L_0) とおけば、(M_0)B = M となる。 567 より M_0 は一意に定まる。 証明終 569 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 17 56 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 M を A の可逆分数イデアルとする。 M が A の正則な分数イデアルであるためには M_p ≠ A_p となる A の素イデアル p ≠ 0 がすべて正則であることが必用十分である。 証明 M が A の正則な分数イデアルとする。 M = J/L と書ける。ここで J と L は正則なイデアルである。 p が正則でなければ J は p に含まれないから J_p = A_p である。 同様に L_p = A_p である。よって M_p = J_p/L_p = A_p である。 逆に M_p ≠ A_p となる p ≠ 0 がすべて正則であるとする。 511 の証明より、正則なイデアル J, L が存在しして M = J/L と書けることが分かる。 証明終 570 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 18 30 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 J と L を A の正則なイデアルとすると、JL も正則なイデアルである。 証明 p ≠ 0 を A の素イデアルで JL ⊂ p とすると、J ⊂ p または L ⊂ p となる。いずれの場合でも p は正則である。 証明終 571 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 19 14 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 M と N を A の正則な分数イデアルとすると、MN も正則な分数イデアル である。 証明 570 より明らかである。 572 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 20 20 ] 定義 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 559 と 571 より A の正則な分数イデアル全体は A の 可逆分数イデアル群( 470) I(A) の部分群になる。 これを RI(A) と書く。 A の正則な単項分数イデアルのなす群を RP(A) と書く。 RP(A) = RI(A) ∩ P(A) である。 573 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 21 15 ] 命題 A をDedekind整域とし、I ≠ 0 をそのイデアルとする。 A のイデアル類群( 180) の各類は I と素なイデアルを 含む。 証明 C を A のイデアル類群の任意の類とする。 C^(-1) に属するイデアル J をとる。 前スレ２の785より α ∈ J で (α) = JL, I + L = A となる α とイデアル L ≠ 0 が存在する。 L ∈ C が求めるものである。 証明終 574 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 15 46 14 ] 補題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 547 の標準射 Pic(A) → Pic(B) の核の各類は A ∩ βB の形の 正則なイデアルを含む。ここで β ≠ 0 は I と素、 つまり βB + I = B となる B の元である。 証明 547 とそこにおける射 (B/I)^*/(A/I)^* → Pic(A) の定義から 分かる。 575 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 16 37 04 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 572 の RI(A) は I(A) の部分群であり RP(A) = RI(A) ∩ P(A) であるから標準射 RI(A)/RP(A) → I(A)/P(A) が存在するが、 これは同型である。 証明 RI(A)/RP(A) → I(A)/P(A) は単射であるから、これが全射であることを 示せばよい。 J を A のイデアルで可逆としたとき C(J) で J が属す I(A)/P(A) の 類を表す。 JB は B の非零イデアルだから 573 より I と素な B のイデアル L_1 で JB と同じイデアル類に属すものがある。 L = A ∩ L_1 とおくと 557 より L は A の正則なイデアルであり LB = L_1 である。 C(J) と C(L) の標準射 Pic(A) → Pic(B) による像はともに JB の属す イデアル類だから一致する。 よって 574 より C(J) = C(L) C(A ∩ βB) となる。 ここで β ≠ 0 は I と素な B の元である。 よって J と L(A ∩ βB) は I(A)/P(A) の同じ類に属す。 L と A ∩ βB はともに正則だから 570 よりそれらの積 L(A ∩ βB) も正則である。 これは標準射 RI(A)/RP(A) → I(A)/P(A) が全射であることを 示している。 証明終 576 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/30(火) 20 38 17 ] ２次体 Q(√m) の整環の話に戻る。 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする( 421, 423)。 a ＞ 0 と b を有理整数として、N(b + fω) が a で割れれば a, b + fω は R のあるイデアルの標準基底( 429)である。 証明 a と b + fω が Z 上一次独立なのは明らか。 よって [a, b + fω] が R のイデアルであることを示せばよい。 つまり、afω ∈ [a, b + fω] と (b + fω)fω ∈ [a, b + fω] を示せばよい。 afω = -ab + a(b + fω) ∈ [a, b + fω] である。 N(b + fω) = ak とする。 つまり (b + fω)(b + fω ) = ak である。 Tr(ω) = ω + ω = s とおく。 s は有理整数である(実際、0 または 1)。 ω = s - ω より (b + fω)(b + fs - fω) = ak よって (b + fω)(b + fs) - (b + fω)fω = ak よって (b + fω)fω = -ak + (b + fω)(b + fs) ∈ [a, b + fω] 証明終 577 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/31(水) 16 51 00 ] 14 578 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 10 40 22 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、α ≠ 0 を R の元とする。 イデアル αR のノルム( 438)は |N(α)| に等しい。 証明 80 の証明と同様である。 579 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 11 02 36 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 と J ≠ 0 を R のイデアルで J ⊂ I とする。 このとき N(J) は N(I) で割れる。 証明 J ⊂ I ⊂ R をアーベル群の昇列とみて |R/J| = |R/I||I/J| となる。 これとノルムの定義( 438)より N(J) = N(I)|I/J| である。 証明終 580 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 11 06 42 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 α ≠ 0 が I の元のとき、N(α) は N(I) で割れる。 証明 578 と 579 より明らかである。 581 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 11 24 42 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 このとき (αβ - βα )^2 = (N(I)^2)D である。 ここで D は R の判別式( 424)である。 証明 α = a + bfω β = c + dfω とする。 ここで a, b, c, d は有理整数である。 行列 A = (α, β)/(α , β ) と B = (a, b)/(c, d) と C = (1, fω)/(1, fω ) を考える (この記法に関しては 196 を参照)。 A = BC より det(A) = det(B)det(C) となる。 det(B) = |N(I)|, det(C)^2 = D だから det(A)^2 = (N(I)^2)D となる。 証明終 582 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 11 41 00 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 このとき αβ + βα は N(I) で割れる。 証明 N(α + β) = (α + β)(α + β ) = αα + (αβ + βα ) + ββ よって (αβ + βα )/N(I) = N(α + β)/N(I) - αα /N(I) - ββ /N(I) 580 よりこの右辺は有理整数である。 証明終 583 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/03(土) 11 42 10 ] 正の整数mを10進法で表したときの各桁の数の2乗の和をf(m)とする。 (1)mの桁数が4以上なら、f(m)の桁数はmの桁数より小さいことを示せ。 (2)数列a(n)をa(1)=m,a(n+1)=f(a(n))と定める。数列a(n)はある項以降は同じ数の並びの繰り返しとなることを示せ。 584 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 11 53 23 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 x と y を有理整数とする。 580 より N(xα + yβ) は N(I) で割れる。 よって f(x, y) = N(xα + yβ)/N(I) は有理整数である。 N(xα + yβ) = (xα + yβ)(xα + yβ ) = (αα )x^2 + (αβ + βα )xy + (ββ )y^2 よって a = (αα )/N(I) b = (αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。 580 と 582 より a, b, c は有理整数である。 よって f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。 (αβ + βα )^2 - 4αα ββ = (αβ - βα )^2 だから f(x, y) の判別式は (αβ - βα )^2/N(I)^2 である。 581 よりこれは R の判別式に等しい。 585 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 13 43 51 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 D をその判別式( 424)とする。 R = [1, (D + √D)/2] である。 証明 ２次体 Q(√m) の判別式を d とする。 D = (f^2)d である( 425)。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき ω = (1 + √m)/2 であり、d = m である。 D = (f^2)m より (D + √D)/2 = (D + f√m)/2 = (D - f)/2 + f(1 + √m)/2 = (D - f)/2 + fω m ≡ 1 (mod 4) だから D = (f^2)m ≡ f^2 ≡ f (mod 2) よって (D - f)/2 は有理整数である。 よって [1, fω] = [1, (D + √D)/2] である。 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき ω = √m であり、d = 4m である。 D = 4(f^2)m より (D + √D)/2 = (4(f^2)m + 2f√m)/2 = 2(f^2)m + f√m = 2(f^2)m + fω よって [1, fω] = [1, (D + √D)/2] である。 証明終 586 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 14 44 50 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 D はある２次体 Q(√m) の整環 R の判別式になる。 このとき２次体 Q(√m) と R は D により一意に決まる。 証明 418 より D = (f^2)d と書ける。 ここで f は有理整数 f ＞ 0 であり d はある２次体 Q(√m) の 判別式である。 R = [1, fω] は Q(√m) の整環で、その判別式は D である( 425)。 次に一意性を証明する。 Q(√D) = Q(√m) だから２次体 Q(√m) は D により一意に決まる。 よって D = (f^2)d となる f も一意に決まる。 よって R も一意に決まる。 証明終 587 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 15 40 18 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 586 より D はある２次体 Q(√m) の整環 R の判別式である。 ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とすると、 I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。 証明 D = b^2 - 4ac だから a ≠ 0 である。 585 より R = [1, (D + √D)/2] だから a(D + √D)/2 ∈ [1, (-b + √D)/2] と (-b + √D)(D + √D)/4 ∈ [1, (-b + √D)/2] を示せばよい。 a(D + √D)/2 = (aD + a√D)/2 = (aD + ab + a(-b + √D))/2 = a(D + b)/2 + a(-b + √D))/2 D ≡ b^2 (mod 2) だから D + b ≡ b^2 + b ≡ b(b + 1) ≡ 0 (mod 2) よって (D + b)/2 は有理整数である。 よって a(D + √D)/2 ∈ [1, (-b + √D)/2] である。 次に、 (-b + √D)(D + √D) = -bD - b√D + D√D + D = -bD + D + (D - b)√D = -bD + D + (D - b)b + (D - b)(-b + √D) = -bD + D + Db - b^2 + (D - b)(-b + √D) = D - b^2 + (D - b)(-b + √D) よって (-b + √D)(D + √D)/4 = (D - b^2)/4 + (D - b)(-b + √D)/4 D ≡ b^2 (mod 4) D ≡ b^2 ≡ b (mod 2) だから (D - b^2)/4 と (D - b)/2 は有理整数である。 よって (-b + √D)(D + √D)/4 ∈ [1, (-b + √D)/2] である。 証明終 588 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 17 35 57 ] 584 を少し修正する( 584 も後で使うかもしれない)。 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 x と y を有理整数とする。 580 より N(xα - yβ) は N(I) で割れる。 よって f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) は有理整数である。 N(xα - yβ) = (xα - yβ)(xα - yβ ) = (αα )x^2 - (αβ + βα )xy + (ββ )y^2 よって a = (αα )/N(I) b = -(αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。 580 と 582 より a, b, c は有理整数である。 よって f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。 (αβ + βα )^2 - 4αα ββ = (αβ - βα )^2 だから f(x, y) の判別式は (αβ - βα )^2/N(I)^2 である。 581 よりこれは R の判別式に等しい。 589 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 17 55 59 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 I = [a, r + fω] を R の原始イデアルの標準基底による 表示とする( 430)。 このとき判別式 D の２次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、 r + fω = (-b + √D)/2 となる。 証明 α = a β = r + fω とおく。 438 より N(I) = a だから a = (αα )/N(I) である。 588 より b = -(αβ + βα )/N(I) = -(β + β) c = (ββ )/N(I) = (ββ )/a とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 の判別式は D である。 一方、a(X - β/a)(X - β /a) = aX^2 + bX^2 + c となる。 よって β/a は aX^2 + bX^2 + c の根である。 よって β/a = (-b ± √D)/2a であるが、 √m の規約( 273)より β/a = (-b + √D)/2a となる。 よって r + fω = (-b + √D)/2 となる。 証明終 590 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 18 56 30 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 R = {(x + y√D)/2 ; x ∈ Z, y ∈ Z, x ≡ yD (mod 2) } である。 証明 585 より R の元 α は u と y を任意の有理整数として、 α = u + y(D + √D)/2 と書ける。 α = (2u + yD + y√D)/2 である。 よって x = 2u + yD とおけばよい。 証明終 591 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/03(土) 19 40 59 ] 命題(Cohen A course in computational algebraic number theory) R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とすると、 587 より I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。 このとき、(R I) = [1, (b + √D)/2a] である。 ここで (R I) = { z ∈ Q(√m) ; zI ⊂ R } である(前スレ２の441)。 証明 z ∈ (R I) とする。 za ∈ R と 590 より z = (x + y√D)/2a となる。 ここで x と y は有理整数で x ≡ yD (mod 2) である。 z(-b + √D)/2 ∈ R より (x + y√D)(-b + √D)/4a = (-bx + x√D - by√D + yD)/4a = (-bx + yD + (x - by)√D)/4a ∈ R である。 よって 590 より以下の３個の関係式が成り立つ。 (1) bx ≡ yD (mod 2a) (2) x ≡ by (mod 2a) (3) (-bx + yD)/2a ≡ (x - by)D/2a (mod 2) (2) より x = by + 2at と書ける。 z = (x + y√D)/2a = (2at + y(b + √D))/2a = t + y(b + √D)/2a よって z ∈ [1, (b + √D)/2a] である。 よって (R I) ⊂ [1, (b + √D)/2a] である。 逆の包含関係は γ = (b + √D)/2a とおいたとき、 γ ∈ (R I) が言えればよい。 γa = (b + √D)/2 において D ≡ b^2 ≡ b (mod 2) だから 590 より γa ∈ R である。 γ(-b + √D)/2 = (b + √D)(-b + √D)/4a = (D - b^2)/4a = c ∈ R である。 よって γI ⊂ R となるから γ ∈ (R I) である。 証明終 592 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 04 16 41 ] 命題(Cohen A course in computational algebraic number theory) R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とすると、 587 より I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。 このとき、I が可逆であるためには f(x, y) が原始的( 279)で あることが必要十分である。 証明 前スレ２の503より I が可逆であるためには I(R I) = R が 必要十分である。 591 より (R I) = [1, (b + √D)/2a] である。 I(R I) = a, (b + √D)/2, (-b + √D)/2, (D - b^2)/4a = a, (b + √D)/2, (-b + √D)/2, c = a, (b + √D)/2 - (-b + √D)/2, (-b + √D)/2, c = a, b, c, (-b + √D)/2 = [gcd(a, b, c), (-b + √D)/2] 注１：上の記号 ... については 9 を参照。 よって I(R I) = R なら gcd(a, b, c) = 1 である。 逆に gcd(a, b, c) = 1 なら I(R I) = [gcd(a, b, c), (-b + √D)/2] = [1, (-b + √D)/2] = [1, (-b - D)/2 + (D + √D)/2] = [1, (D + √D)/2] = R 注２： D ≡ b^2 ≡ -b (mod 2) だから (-b - D)/2 は有理整数 である。 証明終 593 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 05 59 41 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I = [a, b + fω] と J = [k, l + fω] を R の原始イデアルの 標準基底による表示とする。 I = αJ となる α ∈ Q(√m) があるとする。 このとき θ = (b + fω)/a、ψ = (l + fω)/k とおくと、 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 証明 I = ρJ より [a, b + fω] = α[k, l + fω] = [αk, αl + αfω] よって b + fω = p(αl + αfω) + qαk = α(p(l + fω) + qk) a = r(αl + αfω) + sαk = α(r(l + fω) + sk) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 よって θ = (p(l + fω) + qk)/(r(l + fω) + sk) = (pψ + q)/(rψ + s) 証明終 594 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 06 51 33 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I = [a, b + fω] と J = [k, l + fω] を R の原始イデアルの 標準基底による表示とする。 θ = (b + fω)/a、ψ = (l + fω)/k とおく。 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となるとする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 このとき α = rψ + s とおくと I = αJ となる。 さらに N(α) = ±(a/k) である。 証明 α = a/k(rψ + s)とおく。 a = αk(rψ + s) aθ = αk(pψ + q) である。よって [a, aθ] = α[k, kψ] となって I = αJ となる。 P = (p, q)/(r, s) とおく(この記法に関しては 196を参照)。 (aθ, a)^t = P(αkψ, αk)^t ここで ^t は行ベクトルの転置(transpose)を表す。 A = (aθ, aθ )/(a, a) B = (αkψ, α kψ )/(αk, α k) とおく。 A = PB である。 det(A) = det(P)det(B) det(A) = a^2(θ - θ ) = af(ω - ω ) det(B) = αα k^2(ψ - ψ ) = αα kf(ω - ω ) af(ω - ω ) = ±αα kf(ω - ω ) より αα = ±a/k a = αk(rψ + s) だったから α = rψ + s よって α = rψ + s 証明終 595 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 07 22 04 ] 593と 594はそれぞれ 194と 195の解答にもなっている。 タグ： コメント
https://w.atwiki.jp/mahouka/pages/220.html
イデア（情報体次元）は、現代魔法学においてエイドスが記録されるプラットフォームのこと(*1)。古代ギリシャ哲学の用語を流用される形で利用されている(*2)。 あらゆる存在物の情報体を包含する巨大情報体(*3)。巨大な情報プラットホーム(*4)。 イデアに存在する個々のエイドスを意識して見分けることの出来る者は少ない(*5) 登場巻数 2巻、3巻 コメント このイデアにあるエイドスを重力子を束ねたもので攻撃できりゃ楽なんだうね - 2015-02-18 17 40 08 ちょと何言ってるかわかんない。エイドスを重力子で束ねるって何？ エイドスは現実世界の情報をまとめたもので物質でもなんでもないぞ？ - 2015-02-18 17 55 26 重力子を束ねれば、中性子星の重力なみの破壊力を発揮するから、それでイデアを攻撃するって意味よ - 2015-02-19 08 48 20 そもそも、イデアに対して重力で干渉できるとも出てないから、なんともいえないかと。サイオン自体物質じゃないだろうし。 - 2015-02-19 09 09 01 イデアに物理法則は存在しないから重力市を束ねるも何もないんですが・・・あと仮に「重力子を束ねてイデアを攻撃」したとして、それがいったいどうなるの？ - 2015-02-19 10 27 59 そういえばイデアに物理法則が存在しない事は誰がどうやって調べたんだっけ？ - 2015-02-20 14 29 19 一生答え出ねぇよwww. - 2015-05-13 01 04 30 これってようわアカシックレコードてこと？ - 2015-06-08 22 42 46 アカシックレコードって媒体によって書かれている意味変わるからねぇ。全ての事象が明記されているものって１つだけのようなものもあれば、人類一人ひとりの事象としてそれぞれにアカシックレコードがあるみたいな書いてるのもあるし。後者だとイデアってこれに当たるのかなぁ。ただ、アカシックレコードは未来の事柄も書かれているだから、イデアは今までの記録だから、微妙に違うかな？ - 2015-06-09 14 23 33 劣等生が決定論か宿命論で動いているならあるいわ？ - 2015-06-14 20 41 05 そういえば、今の達也が過去しか見れないってだけで、いずれ未来も読み取れるって話だとアカシックレコードかな？ - 2015-06-15 14 51 00 あれってブラックジャックのカウンティングと同じように、情報を集めまくって統合すれば今後の展開が見えるって事でしょ？ で、イデアには人間の意思（精神）までは含まれないハズだからイデアから完璧な未来は読み取れないと思う。 - 2015-06-15 16 42 21 それって廿楽先生のポリヒドラ・ハンドルのほうじゃなかな？達也のは作者がインタビューかなんかで言及したんじゃなかった？ - 2015-06-16 08 54 56 2人で1人の探偵の検索担当(右側)がアクセスできる「地球(ほし)の本棚」にも似てる気がする。そんな達也と彼がお互い出会ったら興味持ちそう(いくつかキーワード集めて検索すればプライバシーも何もないから嫌がるか？) - 2016-10-03 00 59 33 用語 魔法
https://w.atwiki.jp/kummer/pages/36.html
最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時28分48秒 代数的整数論 II(601-700) 元スレ： http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/601-700 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/601-700 601 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10 47 11 定義 １次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。 602 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10 59 10 589 a を A の元とする。 a ≠ 0 を A の元とする。 603 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 11 00 59 命題 A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。 p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。 証明 前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。 589 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。 証明終 604 ：9208 ◆4etoz7nPdA ：2005/12/27(火) 13 12 43 602 良く考えて投稿したらどうか？ 605 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 13 51 35 命題 A をネーター整閉整域とする。 A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の 素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。 I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA) がある(前スレの90)。 603 より ht(p) = 1 である。 仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。 証明終 606 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 16 10 32 ／￣￣￣￣＼ ２７歳で日本数学会は下らないと悟った。 （ 人＿＿＿＿） ３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。 |ミ/ ー◎-◎-） ３３歳で下らない建部賞を贈られた。 （６ (_ _) ） ３６歳でアカポスを諦めた。 ＿_| ∴ ノ ３ ﾉ ３９歳で自分自身を諦めた。 （＿_/＼＿＿＿＿_ノ だから愚痴はかみ殺してた。 / （ )) ))） 「アカポスはコネ」が口癖。 []＿__.| ｜ラブひな命 ヽ 自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。 ｜[] .|＿|＿＿ 1＿＿＿） 言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、 ＼_（＿_）三三三[□]三） ずっとかみ殺してた。 ／（＿）＼ | でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。 ｜Sofmap｜ / / 「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」 （＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/ （＿＿＿[）＿[） 本当に心の底から笑えた…。 607 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 18 14 03 命題 一意分解整域は整閉である。 証明 A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。 a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。 a, b は互いに素と仮定してよい。 a/b は A 上整だから、整数 n 0 があり、 (a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0 となる。ここで、各 a_i ∈ A。 この等式の両辺に b^n を掛けて、 a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0 左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。 b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、 a, b は互いに素という仮定に反する。 よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。 証明終 608 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 19 14 01 606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で 最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ 609 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 13 48 56 命題 A をネーター整域とする。 A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。 1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。 2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 A はネーター整閉整域とする。 585 より 1) が成立つ。 605 より 2) が成立つ。 逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。 1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は 一意分解整域だから、 607 より A_p は整閉である。 よって、2) より A も整閉である 証明終 610 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 13 54 17 138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11 44 27 多元数理研の由来は多元環からきてるの？ だとすると代数系に重点を置いてるのかな 139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13 24 44 138 そんなわけないだろ。 それは吉田正章が言った冗談。 本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」 611 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 14 58 27 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 A の非零イデアル I は可逆( 430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、 585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。 A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。 よって、 235 より I は射影的である。 I ≠ 0 だから I は非退化( 431)である。 よって、 511 より I は可逆である。 証明終 612 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16 07 07 補題 A を整域とする。 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 証明 x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、 s ∈ I に矛盾。 証明終 613 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16 13 20 命題 A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆( 430)なら、 A はDedekind整域( 601)である。 証明 504 より可逆イデアルは有限生成である。 よって、A はネーターである。 p を A の非零素イデアルとする。 p は可逆だから、 509 より p は階数１( 253)の射影加群である。 よって、 191 より pA_p は階数１の自由加群である。 つまり、pA_p は、単項イデアルである。 よって、 567 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。 よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。 612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、 607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。 以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で あることがわかった。 証明 614 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 16 16 04 まだ写経してるのか。 615 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17 22 31 補題 A をネーター整域とする。 m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明 Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。 よって、m^n は準素イデアルである。 よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明終 616 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17 31 23 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i 0 がある。 よって、 615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 617 ：１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04 40 51 381 618 ：１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 10 30 47 早く崩れろ 619 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17 02 11 ここは208の独断場ではない 620 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17 33 38 619 ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。 趣旨を尊重してもらおう。 数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。 621 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17 52 07 620 お前の独壇場でもない。 622 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 13 23 36 命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかではない。 623 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 17 32 41 Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？ 624 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18 22 58 talk 622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。 625 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18 27 38 624 お前何もできないじゃん。 626 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18 32 23 talk 625 お前に何が分かるというのか？ 627 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18 41 07 626 kingがあほなこと。 628 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18 45 59 talk 627 お前に何が分かるというのか？ 629 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 20 15 39 628 talk 627 お前に何が分かるというのか？ あんた、他の言い方知らないの？ 630 ：GiantLeaves：2006/01/10(火) 23 33 31 talk 629 お前に何が分かるというのか？ 631 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 23 37 09 talk 630 お前に何が分かるというのか？ 632 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 07 40 43 talk 629 お前に何が分かるというのか？ 633 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 08 47 24 talk 632 お前に何が分かるというのか？ 634 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/11(水) 09 47 27 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。 このとき、I と J は可逆( 430)である。 証明 aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。 よって、I と J は可逆である。 証明終 635 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 10 56 52 talk 634 お前に何が分かるというのか？ 636 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 11 51 07 talk 633 お前に何が分かるというのか？ 637 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 12 28 55 talk 636 お前に何が分かるというのか？ 638 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 12 35 48 talk 637 お前に何が分かるというのか？ 639 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13 20 51 talk 638 お前に何が分かるというのか？ 640 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13 30 59 talk 639 お前に何が分かるというのか？ 641 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 14 50 02 talk 639 お前に何が分かるというのか？ 642 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15 02 19 talk 641 お前に何が分かるというのか？ 643 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15 06 55 talk 641 お前に何が分かるというのか？ 644 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 16 57 39 talk 1-643 おまいらに何が分かるというのか？ 645 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18 02 01 talk 642 お前に何が分かるというのか？ 646 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18 02 36 talk 643 お前に何が分かるというのか？ 647 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18 08 43 talk 645 お前に何が分かるというのか？ 648 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18 12 01 talk 645 お前に何が分かるというのか？ 649 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18 16 33 talk 647-648 お前に何が分かるというのか？ 650 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18 46 06 talk 649 お前に何が分かるというのか？ 651 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18 51 50 635-650 お前らに何が分かるというのか？ 652 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 19 00 46 talk 651 お前に何が分かるというのか？ 653 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 20 10 44 talk 650 お前に何が分かるというのか？ 654 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20 20 58 talk 653 お前に何が分かるというのか？ 655 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20 24 25 talk 653 お前に何が分かるというのか？ 656 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20 34 00 652-655 お前らに何が分かるというのか？ 657 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22 10 19 king よ！ ここを去れ！ゴミに反応するな。 658 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22 22 11 1-657 お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！ 659 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22 48 46 658 あんた誰？ 660 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 07 05 45 talk 654-655 お前に何が分かるというのか？ talk 657 私を呼んだか？ 661 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 10 28 57 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。 (Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。 必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。 (P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。 P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。 よって、P_1 = Q_1 となる。 634より、P_1 は可逆である。 (P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1) を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。 これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。 証明終 662 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 10 49 17 talk 660 お前に何が分かるというのか？ 663 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 11 44 02 talk 662 お前に何が分かるというのか？ 664 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 12 20 04 talk 663 お前に何が分かるというのか？ 665 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 13 00 06 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。 I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。 証明 I^2 = (P_1)...(P_r), P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 φ A → A/P を標準射とする。 φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、 φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。 他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、 φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。 よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。 各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。 よって P ⊂ P_i である。 各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。 よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。 661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。 よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、 I^2 = P + (a^2)A となる。 証明終 666 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 14 19 35 talk 664 お前に何が分かるというのか？ 667 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 14 23 46 666 あらすなよ！ 668 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 15 04 49 talk 666 お前に何が分かるというのか？ 669 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 17 47 41 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる イデアルとする。このとき P = PI となる。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。 x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。 ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。 これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 670 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 18 23 22 命題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するなら、A はDedekind整域( 601)である。 証明 P を A の零でない素イデアルとする。 a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。 ここで各 P_i は素イデアルである。 I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。 669より、P_i = (P_i)I である。 634 より P_i は可逆だから I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。 (P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。 よって P = P_i となり、P は可逆である。 A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、 これも可逆である。 613より A はDedekind整域である。 証明終 671 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 22 14 58 talk 667 おまえもな。 talk 668 お前に何が分かるというのか？ 672 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 22 17 35 マジで荒らすなよ。 673 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 23 59 39 talk 671 お前に何が分かるというのか？ 674 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09 29 05 661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。 補題 A を環とする。 (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 661と同様。 675 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09 45 55 670 A を整域とする。 A を体でない整域とする。 676 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09 47 57 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。 証明 分解の可能なことは、 616 で証明されている。 一意性は 611と 674から出る。 証明終 677 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12 19 37 定義 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) I ≠ 0 2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 678 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12 27 38 命題 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I ≠ 0 が有限生成なら分数イデアル( 677)である。 A がネーター整域なら逆も成立つ。 証明 明らかだろう。 679 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 13 50 44 命題 A をDedekind整域( 601)とし、K をその商体とする。 A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群( 430) は同じものである。 証明 I を A の分数イデアルとする。 K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから 611 より 可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。 逆に、K の A-可逆部分加群は、 504 より A-加群として有限生成 であるから 678 より分数イデアルである。 証明終 680 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 09 46 37 676 一意性は 611と 674から出る。 616の証明からも一意性は明らか。 681 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10 01 19 634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。 補題 A を環とし、B を A の全商環( 362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 MN が可逆( 430)なら、M と N も可逆である。 証明 MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。 よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。 証明終 682 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10 07 04 669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。 よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。 ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。 これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 683 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10 17 44 670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、 秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。 ただし、この本の証明はやや分かりにくい (本質的には我々のと同じだが)。 この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。 ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは 分からない。 684 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12 02 32 補題 A を整域とする。 I, J を A の分数イデアル( 677)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。 証明 K を A の商体とする。 K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。 x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、 x, y は A の元と仮定してよい。 xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。 分数イデアルの定義( 677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。 A は整域だから、IJ ≠ 0 である。 I + J ≠ 0 は明らか。 xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。 証明終 685 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12 48 22 681 しつこいけど、この補題は単位半群、即ちモノイドにおける 命題として定式化出来るね。 686 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13 02 58 定義 A を環とし、B をその全商環( 362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。 これを、(M N) と書く。 687 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13 03 38 補題 A を環とし、B をその全商環( 362)とする。 M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。 (M N_1 + N_2) = (M N_1) ∩ (M N_2) である。 証明 明らか。 688 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13 04 55 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群とする。 x ≠ 0 を K の元とすると、(M xA) = M(1/x) である。 証明 明らか。 689 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13 07 49 補題 A を整域とする。 M, N を A の分数イデアル( 677)とする。 N が A-加群として有限生成なら、(M N) も分数イデアルである。 証明 684, 687, 688 よりでる。 証明終 690 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13 52 12 命題 A を環、B を平坦な A-代数( 221)とする。 L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、 それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。 証明 完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和) より、完全列 0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和) が得られる。 B の平坦性により、 (L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B), (L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 証明終 691 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14 04 44 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の A-部分加群とする。 S を A の積閉集合とする。 N が A-加群として有限生成なら、 (M N)_S = (M_S N_S) である。 証明 N が１個の元で生成されるときは、 688 より明らか。 一般のときは、 687 と 690 より出る。 証明終 692 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14 34 32 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m = NA_m なら M = N である。 証明 A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら N ⊂ M であることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。 N の生成元を x_1, ..., x_n とする。 NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。 s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。 よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。 m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。 よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。 証明終 693 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16 00 23 次の命題は 235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。 命題 A をネータ整域とし、K をその商体とする。 M を A の分数イデアル( 677)とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m が K の A_m -部分加群として可逆( 430)なら、 M は A-部分加群として可逆( 430)である。 証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 MA_m = M_m は可逆だから 503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m である。 一方、A はネーターだから、 678 より M は有限生成である。 よって、 691 より M(A M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。 よって、M(A M)A_m = A_m である。 689 より (A M) は分数イデアルである。 A はネーターだから、 678 より (A M) は有限生成である。 よって、M(A M) も有限生成である。 よって、 692 より M(A M) = A となる。 証明終 694 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16 11 49 611 の命題の別証明 命題 A をDedekind整域( 601)とする。 A の非零イデアル I は可逆( 430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、 585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。 693 より I は可逆である。 証明終 695 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 16 21 25 いつも何してるんですか。 思い切って聞いてみました。 696 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17 36 36 ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。 697 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17 41 44 ゆんゆんて誰？ kingみたいな人？ 698 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17 44 40 kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 699 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 17 48 12 talk 698 なんだと？ 700 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18 03 59 698 ははー、失礼いたしますた。 kingより偉いことはわかったでつ。もう少し、く・わ・し・く！ タグ： Dedekind整域 Dedekind環 Zariski-Samuel ネーター整閉整域 モノイド 一意分解整域 正則局所環 離散付値環 コメント
https://w.atwiki.jp/magata/
ここは、あなたの知らない世界・・・。 あなたの認識する世界の被膜の外の世界。 そう、認識しないだけ・・・。 認識すれば、きっと見つかる。 だって、この世界は存在しているのだから。 さあ、世界に触れて、 そうすれば、あなたはこの世界を知ることになるでしょう。