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アイデアル・オライオン SR 闇文明 (5) クリーチャー：ディープ・マリーン 5000 ■バックアップ：闇（このクリーチャーがバトルゾーンに出た時、自分の手札にある闇のカードを1枚、相手に見せてもよい。そうしたら、このクリーチャーと見せたカードのBU能力を使う） BU-自分の墓地からクリーチャーを1体召喚してもよい。 作者：wha IP-01 「アイデアパック01：サポート種族の戦い」 カードリスト：wha 評価 名前 コメント
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爆聖アイデアル・カイザー P 光/火文明 (6) クリーチャー：エンジェル・コマンド/フレイム・コマンド/レインボー・コマンド・ドラゴン 7000 ■マナゾーンに置く時、このカードはタップして置く。 ■スピードアタッカー ■W・ブレイカー ■このクリーチャーが破壊された時、相手の「ブロッカー」を持つクリーチャーをすべて破壊する。 作者：赤烏 突破力はGENJIとどっちが上だろう？ フレーバーテキスト DMWD-05 「ストロング・メタル・オリカ 紅蓮象牙」迅雷無限！ ――爆聖アイデアル・カイザー 収録 DMWD-05 「ストロング・メタル・オリカ 紅蓮象牙」14/15 評価 名前 コメント
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群以上，体以下 特に，整域は環以上体以下 環 Def. 環(ring) (R,＋,×)は割り算ができない。 R1. ＋に関して加法群 R2. ×に関して半群（結合律のみ）またはモノイド（単位・結合） R3. 分配律 さらに次が成り立つとき，可換環という。 R2 . ×の可換律 ※ 積の逆元が保障されていないので群ではない。 がんばっても積は可換モノイドとしか言いようがない。 ※ 積が群になったら，体に昇格↑ Ex. 可換環 1. 整数環とその拡張が代表的 2. 多項式環は項等多項式1を単位元として環 Ex. 非可換環 1. 正方行列の全体 Ex. 有限な環 1. トリビアルな例 2. 剰余類環はrを法とする演算で可換環 整域 約数とか因数分解を考える意味がある環（特にUFD） Def. 整域 domain 可換環Rが整域であるとは，零因子を持たないことをいう。 Ex. 整数環は整域 Prop. 体は整域 証明は，xy=0 かつ x,y≠0 と仮定して，逆元1/xyがとれるのでこれをかけて0=1を導く。 Prop. 体上の多項式環K[X]は整域 Th. 整数環のイデアルI Iが整数環Rのイデアルであるための必要十分条件は， Iの正の最小元をr 0として， が成り立つことである。 イデアル Def. イデアル R可換環；I⊂RがRのイデアルであるとは， 1. 2. i.e. 和とスカラー倍に対して閉じている。 注. 部分群との違い a∈S かつ b∈S → ab∈S a∈I または b∈I → ab∈I Ex. 偶数の全体は整数のイデアル Prop. RのイデアルI,Jに対し，以下は再びイデアル 1. 交わり 2. 積 3. 和 特に，以下が成り立つ。 Def. イデアルの基底 R⊃S = {f1,...,fm} に対し， 次で定義される集合はイデアルとなり，Sが生成するイデアルという。 これを単にで表し，Sをイデアルの基底という。 はSを含む最小のイデアルである。 １つの元から生成されるイデアルを単項イデアルという。 Def. 単項イデアル整域 PID 可換環Aにおいて，任意のイデアルが単項イデアルになるとき，単項イデアル環という。 さらにAが整域であるときは単項イデアル整域という。 Th. K[x]はPID i.e. 体K上の一変数多項式環K[x] 環の準同型 準同型なら，一方の性質が他方に伝染する。 準同型定理が重要。核とか。 イデアルによる剰余環を考えているとき，元に剰余類を対応させる写像を自然な準同型という。 同型と同相を参照 可換環 Def. 素イデアル Def. 準素イデアル Def. 極大イデアル Def. 一意分解整域 UFD Prop. PIDならばUFD Def. 最大公約数 GCD Th. R：PIDにおいて，m,n∈RのGCDをdとする。 以下を満たすλ,μ∈Rが存在する。 特に，m,nが互いに素であるための必要十分条件は，次を満たすλ,μがとれることである。 R加群 Def. 加群 Ex. イデアル Ex. ベクトル空間
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冪零元を持たない可換ネーター環は体の直積に同型である。 環Rの各元rにつき，rを含まないイデアルの族の極大元をJrとする。Qr=R/Jrの(0)以外のイデアルに対応するRのイデアルはJrより大きいから必ずrを含む。故にQrの(0)以外のイデアルはr+Jrを含み，Qrは以下の補題によって体である。 Rから各Qrへの自然な準同型写像をφrと書き，φを{φr|r∈R}の直積とする。φはRを体の直積{Qr|r∈R}に埋蔵させるが，一般に全射ではない。 Rに順序を持たせ，rより小さい元に対応する成分への写像の核の共通部分をkrと書く。krはRのイデアルであるから，その像もイデアルである。然し，体は非自明なイデアルを持たないからφr(kr)は0かQrかに一致する。それが0であれば直積空間から取り除かれる。 (補題) 零イデアルを除く全てのイデアルの共通部分が非冪零元を含む可換環は体である。実際，体は非自明なイデアルを持たない。 環Rの全てのイデアルに含まれる非冪零元aを任意に選ぶ。a2が生成するイデアルもaを含むからa=ca2となるcがあり，ca=c2a2=(ca)2は冪等である。Q={r−rca|r∈R}はRのイデアルであるが，仮りにQ≠(0)であるとすればa∈Qであるからa=r−rcaとなるr∈Rがあり，caを掛けてca2=0の矛盾を生む。故に全てのr∈Rについてr−rca=0でなければならない。これはcaが単位元であることを意味する。Rのイデアルは必ずaを含むからcaを含む。Rは真のイデアルを持たず，体である。
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における素数 の運命（ただし） なる が存在するための必要十分条件は を で割ったときの余りが または であること。 素数 余り 分解例（分解は一意である） 3 3 × 7 7 × 11 11 × 13 13 × 17 17 × 19 19 × 23 3 × 29 9 31 11 × 37 17 × 41 1 43 3 × 47 7 × 53 13 × 59 19 × 61 1 67 7 × 71 11 × 73 13 × 79 19 × 83 3 × 89 9 97 17 × 〔補足〕素イデアル分解 素数 を で割ったときの余りが または ならば，イデアル は素な「単項イデアル」2つに分解される。 素数 を で割ったときの余りが または ならば，イデアル は素な「単項でないイデアル」2つに分解される。 素数 を で割ったときの余りが または または または ならば，イデアル はそれ自身が素な「単項イデアル」である。 〔補足〕素イデアル分解の例 と2通りの分解ができてしまうが， これをイデアルで考えると，次のようになる。 とすると となり，すなわち である。 すなわち， と，素イデアル分解はただ一通り。 誤りを見つけたらコメントとして記入してください。 コメント コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16 25 45) 2次体に関する類体論に戻る ★ 以下は広告です ★
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背景 式を解いてから別の式に代入する → 数値誤差とか場合分け的なものが発生する。だるい。 → 式のまま使えたらうれしい。 ストーリー 連立方程式を「解きやすい」ものに変形する操作 ＝ イデアル → 根基イデアル 連立方程式の解 ＝ 零点集合 → 代数的集合 → 零点集合（代数的集合）とイデアル（根基イデアル）の相互関係 ザリスキ閉包，ヒルベルトの零点定理 ある多項式が単項式イデアルに入ったら，その多項式の項は全て含まれる。 「ある多項式があるイデアルに入るかどうか？」の判定法 「Gröbner基底で割った余りが０になるかどうか？」で分かる。 1. Gröbner基底の定義，Gröbner基底かどうかの判定法（Buchbergerほか），Gröbner基底の作り方，最小かつユニークなGröbner基底（被約性） 2. 割り算のアルゴリズム，そのための単項式順序（多項式の先頭を定める方法），余りの一意性 3？. 消去定理 代数的集合 K field An Affine Space Knに構造を入れたもの（ザリスキとか） A = K[X] = K[X1,...,Xn] polynomial ring Prop. 体上の多項式環は整域 Def. 零点 Pがfの零点であるとは，以下が成り立つことをいう。 Def. 零点集合 Tの零点集合Z(T)とは，Tの各元に共通する零点の集合である。 Def. 代数的集合 Zが代数的集合であるとは，Zがある多項式集合Tの零点集合になることをいう。 Zariski Topology Lem. 零点集合の性質 S,T ⊂ K[X] とする。 1. 2. Th. 代数的集合は閉集合の公理を満たす。 1. 2. 3. Def. Zariski位相 Affine Sp. An は代数的集合を閉集合とする位相空間である。 この位相をZariski位相という。 Ex. A1の閉集合 φか，A1から有限集合（φを含む）を引っこ抜いたもの。 Zのイデアル Def. Zのイデアル Z⊂An のイデアル I(Z) は次で定義される。 Lem. Zのイデアルの性質 Z,W ⊂ An とする。 1. 2. I(Z) は K[X] のイデアル Prop. 1. Z,W ⊂ An 2. I(φ)=K[X] 3. I(An)={0} (但しKの標数∞に限る) 4. Zariski閉包 Prop. 1. T⊂K[X] 2. Z⊂An Prop. Zariski closure Z⊂An Hilbertの零点定理 Def. 根基 radical R：可換環； I⊂R：イデアル Iの根基√Iを以下で定義する。 特に，I=√I となるとき，Iを根基イデアルという。 Lem. 根基の性質 1. √I は R のイデアル 2. I⊂J ⇒ √I⊂√J 3. √I=√√I Prop. Zのイデアルは根基イデアル Z⊂An ⇒ I(Z)は根基イデアル Th. Hilbertの零点定理 K=K-：代数的閉包（K係数多項式の根を全て含めた体のうち，最小のもの） I⊂K[X]：イデアル このとき，以下が成り立つ。 Cor. 代数的集合と根基イデアルの関係 K：代数的閉包のとき，次の全単射が存在する。 (代数的集合 Z⊂An) ⇔ (根基イデアル I⊂K[X]) 単項式順序 Def. 単項式順序 Z≧0nの順序関係 が単項式順序であるとは， 1. 全順序性 2. 加法性 3. 整列性 3 降鎖条件（狭義減少列の長さは有限） Ex. 辞書式順序 lexicographic order Def. 多項式の先頭項 多項式の並べ方（つまり何が先頭か）は，単項式順序のとり方に依る。 多重指数表記 多重次数 先頭項 先頭単項式 先頭係数 Ex. 次数付き辞書式順序 graded lexcographic order |α|=Σαi を全次数という。 Ex. 逆辞書式順序 reverse lexcographic order これは単項式順序でない！ Ex. 次数付き逆辞書式順序 graded reverse lexcographic order 多項式の割り算
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時17分15秒 代数的整数論 004 (441-530) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/441-530 ログ元： http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/441-530 441 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/13(土) 16 30 50 ] 命題 Rを２次体 Q(√m) の整環とし、P ≠ 0 を R の 素イデアルとする。 R_P が離散付値環(前スレ１の 645)であるためには R_P が整閉で あることが必要十分である。 証明 R_P が離散付値環なら、R_P は一意分解整域だから 前スレ３の 158 より R_P は整閉である。 逆に R_P が整閉なら 440 と前スレ２の 555 より R_P は離散付値環 である。 証明終 442 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/13(土) 16 39 29 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、P ≠ 0 を R の 素イデアルとする。 R_P が離散付値環であるためには P が f を含まない ことが必要十分である。 証明 Z[ω] は Z-加群 として有限生成だから R-加群としても 有限生成である。 したがって、 436 と 437 より R_P が整閉であるためには P が f を含まないことが必要十分である。 441 より、これは R_P が離散付値環であることと同値である。 証明終 443 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/13(土) 17 52 12 ] くんまー拡大！ 444 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/13(土) 19 31 51 ] ２次形式論卒論でやったからなつかしい。 445 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 31 37 ] 定義 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 R のイデアルを R-イデアルともいう。 446 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 35 05 ] 定義 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R-イデアルとする。 IZ[ω] が fZ[ω] と素のとき I を正則な R-イデアルという。 447 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 54 20 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 このとき Z[ω] の素イデアル P で P = R ∩ P となるものが 存在する。 証明 Z[ω] は R 上整だから Cohen-Seidenberg の定理 (前スレ１の520) より補題の主張がいえる。 証明終 448 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 01 23 58 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 P が正則 ( 446) であるためには P が f を含まないことが 必要十分である。 証明 P が正則でないとする。 fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから、fZ[ω] + PZ[ω] ⊂ P となる Z[ω] の素イデアル P が存在する。 439 より P は R の極大イデアルだから P = R ∩ P である。 一方、fZ[ω] ⊂ R だから fZ[ω] ⊂ P となる。 逆に fZ[ω] ⊂ P なら fZ[ω] ⊂ PZ[ω] だから P は正則でない。 証明終 449 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 01 46 24 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R-イデアルとする。 I が正則 ( 446) であるためには I ⊂ P となる任意の R-素イデアル P が正則であることが必要十分である。 証明 I が正則であるとする。 P を I ⊂ P となる R-素イデアルとする。 P が正則でないなら 448 より f ∈ P である。 447 より Z[ω] の素イデアル P で P = R ∩ P となるものが 存在する。 IZ[ω] ⊂ PZ[ω] ⊂ P で f ∈ P だから fZ[ω] + IZ[ω] ⊂ P となり I は正則でない。 これは仮定に反する。 よって P は正則である。 逆に、P を I ⊂ P となる R-素イデアルで正則でないとする。 fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから fZ[ω] + IZ[ω] ≠ Z[ω] となり I は正則でない。 証明終 450 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 02 00 28 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 P が正則であるためには R_P が離散付値環であることが 必要十分である。 証明 442 と 448 より明らかである。 451 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 02 19 25 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を正則な R-イデアル ( 446) とする。 IZ[ω] = JZ[ω] なら I = J である。 証明 P を R の素イデアルとする。 S = R - P とおく。S は R の積閉部分集合である。 Z[ω]_S を Z[ω]_P と書くことにする。 433 より Z[ω]_P は R_P の K における整閉包である。 P が正則なら、 450 より R_P は離散付値環だから整閉である。 よって Z[ω]_P = R_P である。 IZ[ω] = JZ[ω] より I(Z[ω]_P) = J(Z[ω]_P) であるから I(R_P) = J(R_P) である。 P が正則でないなら、 449 より I ⊂ P ではない。 よって I(R_P) = R_P である。 同様に J(R_P) = R_P である。 以上から R の任意の素イデアル P ≠ 0 に対して I(R_P) = J(R_P) である。 従って、前スレ３の 587 より I = J である。 証明終 452 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/14(日) 09 39 00 ] 2chって来週閉鎖らしいけどだいじょうぶですか スレ汚しすみません 453 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 10 42 03 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を Z[ω] のイデアルで fZ[ω] と素とする。 I_0 = R ∩ I とおく。 このとき、I_0 は正則な R-イデアルで (I_0)Z[ω] = I となる。 証明(Hilbert の Zahlbericht の定理 64 の証明を拝借) (I_0)Z[ω] = J とおく。 I は fZ[ω] と素だから I + fZ[ω] = Z[ω] である。 よって α + fβ = 1 となる α ∈ I と β ∈ Z[ω] がある。 α = 1 - fβ ∈ R だから α ∈ I_0 ⊂ J である。 よって J + fZ[ω] = Z[ω] である。 つまり、J は fZ[ω] と素である。 一方、(fZ[ω])I ⊂ R だから (fZ[ω])I ⊂ I_0 ⊂ J である。 従って、 175 より (fZ[ω])I = JL となる Z[ω] のイデアル L が 存在する。 J は fZ[ω] と素であるから、I ⊂ J である。 J ⊂ I であるから I = J となる。 証明終 454 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/14(日) 11 05 51 ] 452 2chって来週閉鎖らしいけどだいじょうぶですか お答えします。 閉鎖の場合 → このスレも閉鎖される。 閉鎖しない場合 → このスレも閉鎖されない。 っていうか当たり前だ っていうか第３者としてはどうしょうもない 455 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/14(日) 11 22 28 ] 454 お答えありがとうございます。 私としては、ログの保存を念頭においておりましたが、 言葉至らず失礼いたしました。 たとえ、私が保存しても熊さんに渡せそうにないので。 456 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 25 10 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 正則な R-イデアルの全体は R-イデアルの積により可換な モノイド(単位元をもつ半群)になる。 この可換モノイドを I+(R) とおく。 他方、Z[ω] のイデアルで fZ[ω] と素なもの全体もイデアルの積 により可換モノイドになる。 この可換モノイドを I+(f) とおく。 正則な R-イデアル I に IZ[ω] を対応させることにより、 写像 φ I+(R) → I+(f) が得られる。 この φ は明らかにモノイドとしての準同型である。 451 より φ は単射であり、 453 より φ は全射である。 よって φ は同型射である。 さらに φ はイデアルの包含関係を保存する。 つまり、 I ⊂ J なら φ(I) ⊂ φ(J) である。 457 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 31 11 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 正則な R-イデアルは正則な R-素イデアルのべき積として一意に 分解される。 証明 456 より明らかである。 458 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 35 08 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとする。 IZ[ω] が素イデアルであるためには I が素イデアルであることが 必要十分である。 証明 456 より明らかである。 459 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 00 42 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、I = R ∩ IZ[ω] である。 証明 I_0 = R ∩ IZ[ω] とおく。 453 より (I_0)Z[ω] = IZ[ω] となる。 よって 451 より I_0 = I である。 証明終 460 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 13 59 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、剰余環 R/I は Z[ω]/IZ[ω] に 標準的に同型である。 証明 I は正則だから IZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 fZ[ω] ⊂ R だから IZ[ω] + R = Z[ω] である。 従って R/(R ∩ IZ[ω]) は Z[ω]/IZ[ω] = (R + IZ[ω])/IZ[ω] に、 標準的に同型である。 459 より I = R ∩ IZ[ω] である。 証明終 461 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 16 12 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、N(I) = N(IZ[ω]) である。 ここで N(I) は I のノルム( 438) を表す。 証明 460 より明らか。 462 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 18 14 26 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を正則な R-イデアルとすると、N(IJ) = N(I)N(J) である。 証明 Z[ω] は Dedekind 整域で有限ノルム性( 68)を持つから 70 より N(IZ[ω]JZ[ω]) = N(IZ[ω])N(JZ[ω]) である。 よって 461 より N(IJ) = N(I)N(J) である。 証明終 463 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 01 04 ] 定義 A を整域、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I に対して A のある元 s ≠ 0 があり sI ⊂ A となるとき I を A の分数イデアルという。 464 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 07 04 ] 命題 A を整域 K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が有限生成なら I は分数イデアルである。 証明 明らかである。 465 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 09 03 ] 命題 A をネーター整域、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が分数イデアルであるためには I が A-加群として 有限生成であることが必要十分である。 証明 K の A-部分加群 I が分数イデアルとすると、A の元 s ≠ 0 があり I ⊂ (1/s)A となる。 A はネーター環だから I は (1/s)A の A-部分加群として 有限生成である。 逆は 464 である。 証明終 466 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 10 18 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 K の A-部分加群 I に対して K の A-部分加群 J で IJ = A となる ものがあるとき I を可逆分数イデアルという。 ここで IJ は集合 {xy; x ∈ I, y ∈ J} で生成される K の A-部分加群である。 467 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 24 11 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 A の可逆分数イデアル( 466)は A-加群として有限生成である。 証明 前スレ２の 504 で証明済みである。 468 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 28 58 ] 命題 A を整域とする。 A の可逆分数イデアル( 466)は A の分数イデアル( 463)である。 証明 467 と 464 より明らかである。 469 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 32 16 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 A の分数イデアル I に対して x ∈ K があり I = xA となるとき I を単項分数イデアルまたは主分数イデアルという。 470 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 39 25 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 A の０でない分数イデアル全体は乗法により群となる。 この群を A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く (前スレ２の521)。 471 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 41 28 ] 定義 A を整域とする。 A の０でない単項分数イデアル全体は乗法により群となる。 この群を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く (前スレ２の539)。 472 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 22 17 47 ] 命題 A を整域とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は、A の可逆分数イデアル群 I(A) の 部分群である。剰余類群 I(A)/P(A) は A の Picard 群 Pic(A) (前スレ２の360)と標準的に同型である。 証明 K を A の商体とする。K は局所環であるから前スレ２の361より Pic(K) = 0 である。 よって前スレ２の540より I(A)/P(A) は Pic(A) と同型になる。 証明終 473 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 22 23 06 ] 定義 A を整域とする。 472 より I(A)/P(A) は Pic(A) と同一視される。 よって I(A)/P(A) を A の Picard 群と呼び Pic(A) と書く。 474 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 01 31 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 Pic(R) と Pic(Z[ω]) の関係を調べたい。 議論の本質を浮き彫りにするため問題を次のように一般化する。 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 B が A-加群として有限生成のとき Pic(A) と Pic(B) の関係はどうなるか？ 475 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 09 49 ] 以下 474 の問題の解法に関しては Neukirch の「代数的整数論」を 参考にした。 476 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 36 21 ] 定義 A を環、I ≠ A を A のイデアルとする。 A/I のすべての零因子がベキ零のとき I を準素イデアルという。 前スレ１の 157 と 181 から、この定義は A がネーター環のときの 拡張になっている。 477 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 38 00 ] 補題 A を環、M を A-加群とする。 M-正則(前スレ１の 179)な A の元全体は A の乗法に関して閉じている。 証明 M-正則の定義(前スレ１の 179)から明らかである。 478 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 39 18 ] 命題 A を環、I を A の準素イデアルとする。 I の根基 rad(I) (前スレ１の 164) は素イデアルである。 証明 I は準素イデアルだから A/I を A-加群とみて (A/I)-正則な元の 集合は A - rad(I) である。 477 より A - rad(I) は乗法に関して閉じている. ゆえに rad(I) は素イデアルである。 証明終 479 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 40 11 ] 定義 A を環、I を A の準素イデアルとし、p = rad(I) とする。 p を I の素因子と呼び、I は p に属する準素イデアルという。 480 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 41 19 ] 命題 A を環、p を A の素イデアルとする。 J を A_p の準素イデアルで pA_p に属するとする。 I を J の標準射 A → A_p による逆像とする。 このとき I は p に属する準素イデアルである。 証明 φ A → A_p を標準射とする。 a ∈ A、x ∈ A - I で ax ∈ I とする。 φ(ax) ∈ J で φ(x) ∈ A_p - J だから φ(a^n) ∈ J となる n ＞ 0 がある。 a^n ∈ I だから I は準素イデアルである。 次に p = rad(I) を示す。 a ∈ rad(I) なら a^n ∈ I となる n ＞ 0 がある。 φ(a^n) ∈ J だから φ(a) ∈ pA_p である。 よって a ∈ p である。 逆に a ∈ p なら φ(a) ∈ pA_p だから φ(a^n) ∈ J となる n ＞ 0 がある。a^n ∈ I だから a ∈ rad(I) である。 証明終 481 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 08 45 15 ] 上の人 おはよう。 482 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 01 40 ] 補題 A を環、I を A のイデアルとする。 A の極大イデアル m があり、m ^n ⊂ I ⊂ m とする。 ここで n ＞ 0 である。 このとき I は m に属する準素イデアルである。 証明 I ⊂ p となる A の素イデアルがあるとする。 m^n ⊂ p だから p = m である。 よって A/I は局所環である。 よって a ∈ A - m なら a (mod I) は A/I の可逆元である。 従って、b を A の元で ab ∈ I とすれば、b ∈ I である。 m の元は mod I でべき零なことに注意すれば I は準素イデアルである。 証明終 483 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 13 45 ] 補題 A をネーター環、p を A の素イデアル、I を p に属する準素イデアル であるとする。 このとき p^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 証明 p = rad(I) で p は有限生成だから、これは明らかである。 484 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 20 40 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアルで V(I) = {m} とする。 ここで V(I) = { p ∈ Spec(A); I ⊂ p } である(前スレ１の 160)。 このとき I は極大イデアル m に属する準素イデアルである。 証明 前スレ１の163より m = rad(I) である。 483 より m^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 よって 482 より I は極大イデアル m に属する準素イデアルである。 証明終 485 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 24 27 ] 484 の別証 Supp(A/I) = V(I) であり、 Ass(A/I) ⊂ Supp(A/I) だから(前スレ１の99)、 Ass(A/I) = {m} である。 従って I は m に属する準素イデアルである。 証明終 486 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 26 18 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアルとする。 p を V(I) の極小元とする。 ここで V(I) = { p ∈ Spec(A); I ⊂ p } である(前スレ１の 160)。 I(p) を IA_p の標準射 A → A_p による逆像とする。 このとき I(p) は p に属する準素イデアルである。 証明 q を A の素イデアルで q ⊂ p とする。 さらに IA_p ⊂ qA_p とする。 I(p) ⊂ q となり I ⊂ I(p) だから I ⊂ q である。 p は V(I) の極小元だから q = p である。 以上から V(IA_p) = {pA_p} である。 484 よりIA_p は pA_p に属する準素イデアルである。 480 より I(p) は p に属する準素イデアルである。 証明終 487 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 41 22 ] 補題 A を環、I を A のイデアルとする。 p が A の素イデアルのとき I(p) = { a ∈ A; sa ∈ I となる s ∈ A - p が存在する } とおく。 容易にわかるように I(p) は IA_p の標準射 A → A_p による 逆像である。 このとき I = ∩I(m) となる。 ここで m は A のすべての極大イデアルを動く。 証明 I ⊂ ∩I(m) は明らかだから逆の包含関係を示せばよい。 a ∈ ∩I(m) とする。 (I a) = { x ∈ A; xa ∈ I } と書く。 (I a) を含む極大イデアル m があるとすると、 a ∈ I(m) だから、s ∈ A - m があって s ∈ (I a) ⊂ m となって 矛盾である。よって (I a) = A である。 これは a ∈ I を意味する。 したがって ∩I(m) ⊂ I である。 証明終 488 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 45 42 ] 487の I = ∩I(m) において、 I ⊂ m でないとき I(m) = A だから m は I ⊂ m となるすべての極大イデアルに制限してもよい。 489 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 01 54 ] 熊先生いつも乙です． 全然わかりませんがログ保存してます． 490 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 10 16 42 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアル、m を A の極大イデアルとし、 m は V(I) の極小元とする。 I(m) を IA_m の標準射 A → A_m による逆像とする。 このとき A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型である。 証明 486 より I(m) は m に属する準素イデアルである。 483 より m^n ⊂ I(m) となる n ＞ 0 がある。 よって V(I(m)) = {m} である。 よって A/I(m) は局所環である。 従って s ∈ A - m なら s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元である。 a ∈ A、 s ∈ A - m で a/s ∈ A_m とする。 s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元だから、a ≡ sb (mod I(m)) となる b ∈ A がある。 φ A → A_m を標準射とする。 a/s - φ(b) = a/s - b/1 = (a - sb)/s = φ(a - sb)/φ(s) ∈ IA_m よって φ A → A_m と標準射 A_m → A_m/IA_m の合成をψとすると ψは全射である。 ψの核は I(m) だから A/I(m) は A_m/IA_m に同型である。 証明終 491 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 18 20 ] わからなかったら質問してよ。 492 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 51 30 ] 命題 A をネーター環、I を A のイデアルで I を含む素イデアルはすべて 極大イデアルであるとする。このとき I を含む極大イデアルは有限個 であり、A/I は環の直積 ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。 ここで m は I ⊂ m となる極大イデアルを動く。 証明 仮定より I を含む極大イデアルは V(I) の極小元である。 前スレ１の224よりこれ等は有限個である。 m_1 と m_2 を V(I) の異なる２元とする。 486 より I(m_1) は m_1 に属する準素イデアルである。 よって I(m_1) を含む素イデアルは m_1 だけである。 同様に I(m_2) を含む素イデアルは m_2 だけである。 したがって I(m_1) と I(m_2) をともに含む素イデアルはない。 よって I(m_1) + I(m_2) = A である。 一方、 487 と 488 より I = ∩I(m) となる。 よって中国式剰余定理(前スレ１の341)より A/I は環の直積 ΠA/I(m) と標準的に同型である。 490 より A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型であるから A/I は ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。 証明終 493 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 11 01 11 ] 青木さやかも絶賛！！アンダーグラウンド ttp //jbbs.livedoor.jp/bbs/i.cgi/news/2092/ 494 名前：ｙｋｒ [2007/01/20(土) 12 56 56 ] G={(x,y)∈X;y≦g(x)}、H={(x,y)∈X;y≧h(x)}とおき、 G,Hがそれぞれ凸集合で、y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているとき、 G∩Hである部分は1つしか存在しないということを証明したいです。 495 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 15 21 40 ] 念のために言うと、わからなかったら質問してよという意味は、 このスレまたは過去スレで私が書いたこと(雑談等は除く)に関して 分からなかったら質問してという意味です。 496 名前：ykr氏へ mailto sage [2007/01/21(日) 16 03 53 ] 494 G,Hがそれぞれ凸集合で、y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているとき、 G∩Hである部分は1つしか存在しない Kummerさん： ノイズかも知れんが、回答しておきやす。 G,Hがそれぞれ凸ならG∩Hも凸(何故かは自分で考えてね）。 で一般に空でない凸集合は(弧状)連結である(何故かは自分で考えてね）。 y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているなら、G∩Hは空でなく従って(弧状)連結であるよ。 497 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/23(火) 22 04 28 ] 492 の証明において I = ∩I(m) となり、各 I(m) は m に属する 準素イデアルであることを示したが、これは以下のようにしても分かる。 A をネーター環、I を A のイデアルで I を含む素イデアルはすべて 極大イデアルであるとする。 I = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を I の最短準素分解(前スレ１の188) とする。 m_i = rad(Q_i)、i = 1, ..., n とおく。 仮定より各 m_i は極大イデアルである。 I(m_i) を IA_(m_i) の標準射 A → A_(m_i) による逆像とする。 前スレ１の198より Q_i = I(m_i) である。 よって I = ∩I(m_i) となり、各 I(m) は m に属する準素イデアル である。 498 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/23(火) 22 34 06 ] 475 Neukirch の「代数的整数論」(日本語訳)の命題(12.6) の証明(p. 79) がどうも分からない。 a ≡ c (mod p) かつ a ∈ c(a_q/a_p)O_q となる a ∈ O が取れるのは いいとして、これから ε = a/c が O_p の単数であることが何故言える のか分からない。c が p に含まれないならそうなるが、そうとは 限らないのではないか？ この命題(12.6)は 474 の問題の解法において重要であるので、 １週間ほど考えたあげく、今日ようやく証明することが出来た。 この証明は Neukirch の証明(?)よりわかりやすいと思う。 それをこれから述べる。 499 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 21 50 44 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の単項分数イデアル( 469) である。 証明 前スレ２の509より M_p は階数１の射影加群である。 A_p は局所環だから、前スレ２の191より M_p は階数１の自由加群 である。M_p は (A_p)-加群として K の部分加群とみなせるから A_p の単項分数イデアルである。 証明終 500 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 22 20 42 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の単項分数イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 証明 前スレ２の235より M は射影的である。 よって、前スレ２の511より M は可逆分数イデアルである。 証明終 501 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 13 49 ] 訂正 499 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の単項分数イデアル( 469) である。 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の 0 でない単項分数イデアル ( 469)である。 502 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 17 27 ] 訂正 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の単項分数イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 命題 A を整域、K をその商体とする。 M ≠ 0 を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の 0 でない単項分数 イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 503 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 19 07 ] 502 は 500 の訂正 504 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 32 10 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 M ≠ 0 を A の分数イデアルとする。 M_p ≠ A_p となる A の素イデアル p ≠ 0 は有限個しかない。 証明 分数イデアルの定義( 463)より A の元 a ≠ 0 があり aM ⊂ A となる。aM ＝ I は A の非零イデアルである。 A は１次元だから I ⊂ p となる素イデアル p は Supp(A/I) の 極小元である。よって前スレ１の224よりこれ等は有限個である。 IA_p ≠ A_p は I ⊂ p と同値だから IA_p ≠ A_p となる p は 有限個である。 同様に aA_p ≠ A_p となる p も有限個である。 一方、M = (1/a)I だから M_p = (1/a)IA_p となる。 (1/a)IA_p ≠ A_p なら (1/a)A_p ≠ A_p または IA_p ≠ A_p である。 よって M_p ≠ A_p となる A の素イデアル p ≠ 0 は有限個しかない。 証明終 505 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 12 20 56 ] A を１次元のネーター整域とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 M を A の可逆分数イデアルとしたとき、M_p は A_p の 可逆分数イデアルである。 よって、M に M_p を対応させることにより A の可逆分数イデアル群 I(A) から A_p の可逆分数イデアル群 I(A_p) への写像 Φ_p I(A) → I(A_p) が得られる。 Φ_p は明らかに群としての準同型である。 Σ I(A_p) を I(A_p) の直和とする。ここで p は A のすべての 0 でない素イデアルを動く。 504 より、アーベル群の射 Φ I(A) → Σ I(A_p) が得られる。 506 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 12 56 54 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 A = ∩ A_m である。 ここで m は A のすべての極大イデアルを動く。 A_m は K の部分環とみなしている。 証明 A ⊂ ∩ A_m は明らかである。 x ∈ ∩ A_m とする。 I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I は A のイデアルである。 I ≠ A と仮定する。 I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m だから s ∈ A - m があり sx ∈ A となる。 よって s ∈ I となるが、これは I ⊂ m に矛盾する。 よって I = A となり x ∈ A である。 証明終 507 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 13 02 52 ] 命題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) は単射である。 証明 M を A の可逆分数イデアルとし、Φ(M) = 0 とする。 これは、すべての p ≠ 0 で M_p = A_p を意味する。 よって M ⊂ ∩ A_p である。 A は１次元だから A の 0 でない素イデアルと A の極大イデアルは 同じものである。 よって 506 より ∩ A_p = A である。 よって M ⊂ A である。 M ≠ A とすると M ⊂ p となる極大イデアル p がある。 M_p ⊂ pA_p だから M_p ≠ A_p となって仮定に反する。 よって M = A である。 証明終 508 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 07 52 ] 補題 A を環、S を A の積閉部分集合とする。 I を A_S のイデアルとし、J を I の標準射 A → A_S による逆像と する。このとき I = JA_S である。 証明 a/s ∈ I とする。ここで a ∈ I, s ∈ S である。 a/1 = (s/1)(a/s) ∈ I だから a ∈ J である。 よって a/s ∈ JA_S である。 よって I ⊂ JA_S である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 509 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 10 45 ] 補題 A をネーター環、p と q を A の素イデアルで q は p に含まれない とする。 I を q に属する準素イデアルとすると IA_p = A_p である。 証明 483 より q^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 q は p に含まれないから qA_p = A_p である。 よって (q^n)A_p = A_p である。 よって IA_p = A_p である。 証明終 510 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 14 21 ] 補題 A をネーター環とし、m_1, ..., m_n を A の相異なる極大イデアル とする。 各 i に対して q_i を A_(m_i) の (m_i)A_(m_i) に属する準素イデアル とし、Q_i を q_i の標準射 A → A_(m_i) による逆像とする。 I = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n とおく。 各 i に対して IA_(m_i) = q_i である。 証明 前スレ３の585より IA_(m_i) = (Q_1)A_(m_i) ∩ ... ∩ (Q_1)A_(m_i) である。 480 より、各 Q_i は m_i に属する準素イデアルである。 509 より、i ≠ j なら (Q_j)A_(m_i) = A_(m_i) である。 よって IA_(m_i) = (Q_i)A_(m_i) である。 508 より、(Q_i)A_(m_i) = q_i である。 証明終 511 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 23 45 ] 命題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) は全射である。 証明 ξ = (ξ_p) を Σ I(A_p) の任意の元とする。 A_p は局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。 よって 472 より I(A_p) = P(A_p) である。 よって、各 ξ_p は (a_p/b_p)A_p と書ける。 ここで a_p と b_p は A の 0 でない元である。 (a_p/b_p)A_p ≠ A_p となる p は有限個である。 (a_p/b_p)A_p = A_p のときは a_p = b_p = 1 と仮定してよい。 各 p に対して I(p) = A ∩ a_pA_p とおく。 484 より a_pA_p ≠ A_p なら a_pA_p は pA_p に属する 準素イデアルである。 I = ∩ I(p) とおく。ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を 動く。I(p) は有限個を除いて A_p に等しい。 510 より、各 p に対して IA_p = a_pA_p となる。 同様に 各 p に対して J(p) = A ∩ b_pA_p とおき、 J = ∩ J(p) とおく。 M = I(J^(-1)) とおけば 各 p に対して M_p = (a_p/b_p)A_p である。 即ち Φ(M) = ξ である。 証明終 512 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 38 14 ] 511 の命題が 498 で書いた Neukirch の「代数的整数論」の 命題(12.6) である。 証明が出来てしまえば簡単だが Neukirch の証明に拘っていたので 証明に手間どった。 なお、あとで気付いたが EGA IV-4 の命題 (21.9.4) p. 285 が スキーム論での 511 (及び 507) に対応する命題である。 513 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 59 40 ] 511 の証明の補足説明。 I = ∩ I(p) が A の可逆分数イデアルであることは、 各 p に対して IA_p = a_pA_p であることから 500(と 502) より分かる。 J = ∩ J(p) も同様に A の可逆分数イデアルである。 514 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 16 23 48 ] 補題 A を環、M を A-加群、N をその部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m にたいして M_m = N_m なら M = N である。 証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 完全列 0 → N → M → M/N → 0 より 完全列 0 → N_m → M_m → (M/N)_m → 0 が得られる。 仮定より M_m = N_m だから (M/N)_m = 0 である。 前スレ２の224より M/N = 0 である。 即ち M = N である。 証明終 515 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 16 32 25 ] 511 の証明において M = ∩ (a_p/b_p)A_p である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 N = ∩ (a_p/b_p)A_p とおく。 各 p 対して M_p = (a_p/b_p)A_p だから M ⊂ (a_p/b_p)A_p である。 よって M ⊂ N である。 N ⊂ (a_p/b_p)A_p だから N_p ⊂ (a_p/b_p)A_p である。 M_p ⊂ N_p だから M_p = N_p = (a_p/b_p)A_p である。 よって 514 より M = N である。 証明終 516 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 08 11 ] 前スレ２の524の定義を再度書く。 定義 A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。 この群を U(A) または A^* と書く。 517 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 09 05 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は K^*/A^* と標準的に同型である。 証明 K^* の元 x に xA を対応させることにより アーベル群の射 f K^* → P(A) が得られる。 f は全射であり、その核は A^* である。 よって f は同型 K^*/A^* → P(A) を誘導する。 証明終 518 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 17 22 ] 命題 A を単項イデアル整域(前スレ１の644)とし、K をその商体とする。 K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 507 と 511 より I(A) は Σ I(A_p) と標準的に同型である。 A は単項イデアル整域だから I(A) = P(A) である。 A_pは局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。 よって 472 より I(A_p) = P(A_p) である (このことは A_p が離散付値環であることからも分かる)。 以上から P(A) は Σ P(A_p) と標準的に同型である。 一方、 517 より P(A) は K^*/A^* と標準的に同型であり、 P(A_p) は K^*/A^* と標準的に同型である。 よって K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。 証明終 519 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 11 08 ] 定義 G をアーベル群で同時に関係 ≧ により順序集合であるとする。 x ≧ y のとき x + z ≧ y + z が G の任意の元 z で成り立つとき G をアーベル順序群という。 520 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 12 13 ] 定義 G をアーベル順序群( 519)とする。 G+ = {x ∈ G; x ≧ 0} と書く。 521 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 13 08 ] 命題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (G_i) があるとする。 G = Σ G_i を (G_i) の直和アーベル群とする。 G の元 x = (x_i) と y = (y_i) に対して x_i ≧ y_i がすべての i ∈ I に対して成り立つとき x ≧ y と定義することにより G はアーベル順序群になる。 証明 自明である。 522 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 15 03 ] 補題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (G_i) があるとする。 各 i に対して G_i の任意の元 a は a = b - c, b ∈ (G_i)+, c ∈ (G_i)+ と書けるとする。 G = Σ G_i を (G_i) の直和アーベル群とする。 521 より G はアーベル順序群である。 G の任意の元 x は x = y - z, y ∈ G+, z ∈ G+ と書ける。 証明 G の任意の元 x = (x_i) に対して y = (y_i) ∈ G+ と z = (z_i) ∈ G+ を以下のように定義する。 x_i = 0 のときは y_i = z_i = 0 とする。 仮定より x_i ≠ 0 のときは x_i = b - c となる (G_i)+ の元 b と c がある。y_i = b, z_i = c とおく。 y = (y_i), z = (z_i) とおけばよい。 証明終 523 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/25(木) 21 16 50 ] オナニースレ？ 524 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 20 16 ] 補題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (H_i) があるとする。 各 i に対して H_i の任意の元 a は a = b - c, b ∈ (H_i)+, c ∈ (H_i)+ と書けるとする。 H = Σ H_i を (H_i) の直和アーベル群とする。 521 より H はアーベル順序群である。 G をアーベル群でアーベル群の射 Φ G → H があり、 任意の y ∈ H+ に対して Φ(x) = y となる x ∈ G があるとする。 このとき Φ は全射である。 証明 522 より H の任意の元 x は x = y - z, y ∈ H+, z ∈ H+ と書ける。 これより本命題の主張は明らかである。 証明終 525 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 22 59 ] 命題 A を整域とし、K をその商体とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は x ⊂ y のとき x ≧ y と 定義することによりアーベル順序群になる。 このとき P(A)+ は A の 0 でない単項イデアル全体と一致する。 証明 自明である。 526 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 50 17 ] 補題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) を考える。 H = Σ I(A_p) とおく。 I(A_p) = P(A_p) だから 525 より I(A_p) はアーベル順序群になる。 よって 521 より H もアーベル順序群である。 このとき、任意の y ∈ H+ に対して Φ(x) = y となる x ∈ I(A) がある。 証明 各 p に対して A_p は１次元の局所ネーター環である。 従って、y = (y_p) ∈ H+ に対して y_p ≠ A_p なら 484 より y_p は pA_p に属する準素イデアルである。 I = ∩ (A ∩ y_p) とおく。ここで p は y_p ≠ A_p となる p を 動く。 510 より y_p ≠ A_p のとき IA_p = y_p である。 容易にわかるように I を含む素イデアル p は y_p ≠ A_p となるもの に限る。 従って y_p = A_p なら I は p に含まれないから IA_p = A_p である。 以上から各 p に対して IA_p = A_p である。 500 より I は可逆分数イデアルである。 よって x = I とおけば x ∈ I(A) で Φ(x) = y である。 証明終 527 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 59 58 ] 524 と 526 より 511 の別証が得られることは明らかだろう。 別証といっても本質的にはあまり違わないが、こちらの方がすっきり しているだろう。 528 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 22 45 02 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 B が A-加群として有限生成のとき B は Dedekind 整域である。 証明 A はネーター環だから B のイデアルは有限生成 A-加群の部分加群 として有限個の生成元をもつ。 これらの生成元はイデアルとしての生成元でもあるから B はネーター環である。 B は A-加群として有限生成だから前スレ１の505から B は A 上整である。 よって前スレ１の637より B は１次元である。 以上から B は１次元のネーター整閉整域だから前スレ２の601の 定義より Dedekind 整域である。 証明終 529 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/26(金) 05 15 19 ] Kummer= kokorono itami..... 530 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 00 09 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとしたとき B_p は単項イデアル整域であり、 その極大イデアルは有限個である。 ここで B_p は積閉部分集合 S = A - p に関する B の局所化である。 証明 前スレ２の787より B_p は Dedekind 整域である。 A_p ⊂ B_p であり A_p は pA_p を極大イデアルとする局所環である。 前スレ１の514より B_p は A_p の上に整だから B_p の極大イデアルは pA_p の上にある(前スレ１の518)。 よって B_p の極大イデアルは pB_p を含む。 よってこれ等は有限個である。 前スレ２の767より B_p は単項イデアル整域である。 証明終 タグ： コメント
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【種別】 計画名 【初出】 アストラル・バディ第十五話 実情は二十七話 【解説】 「内部進化」が目指していた最終目的。 オリジナルのインディアンポーカーを使って悠里の「幽体連理」を記録し、 他の能力者に学習させることで意図した方向へと能力を変化させる。 そしてその変化した「自分だけの現実」をまた別の能力者へ学習させる...というプロセスを繰り返すことで能力を進化させ続け、 「理想の能力(アイデアル)」を創り上げるという計画。 内部進化が目指していた最上の力とは、「頭に描く何もかもを自在に起こし、創り出す事が出来る能力」。 北条曰く、「神サマ」を造ろうとしていたらしい。 かつて蠢動が主導した実験は能力の暴走によって多数の死者を出して失敗したが、悠里の身体を確保した蜜蟻が「インディアンポーカー」と「都市伝説」を使って再現を試みた。 再現実験で集められた「理想の能力」は悠里千夜と繋がっており、インプットとアウトプットの指向性を明確にすれば、ある程度千夜の自由に操作できる。 ただし集められた力は常に流し続けないと安定しないため、 北条は「理想の能力」から強化と再生を繰り返す能力である「天衣装着」を再現することで暴走を防いでいた。 食蜂派閥、風紀委員、削板、北条の尽力で臨界寸前だった分の力は散らされたが、 破裂寸前で暴走しかねない状況に変わりはなかったため、悠里の覚醒という奇跡を実現するために消費された。
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代数 環論 環の定義 イデアル 中国剰余定理 一意分解整域 ネーター環 Hilbertの基底定理 環の定義 集合Rに加法と乗法が定義され、 Rは加法群 乗法について結合法則を満たし単位元が存在する 分配法則を満たす ならばRは環である。 イデアル 環Rの部分集合であって、次を満たす空でない集合Iを(両側)イデアルという。 Iは加法群としてRの部分群をなす RでないRのイデアルであって、が成り立つときIを素イデアルという。 中国剰余定理 可換環Rのイデアルについてとする。このとき、 が成り立つ。 (証明) 証明は環における準同型定理による。 一意分解整域 整域Rが次の性質を満たすとき、Rを一意分解整域とよぶ。 0でも単元でもないRの元は既約分解をもつ(有限個の既約元の積で表せる) 上の分解が順序と単元の積を除いて一意的である 整域Rが「0でも単元でもない元が既約分解を持ち、既約元が素元である」をみたすとき、Rは一意分解整域である。 ネーター環 可換環の全てのイデアルが有限生成イデアルであるとき、ネーター環という。 Hilbertの基底定理 ネーター環上の多項式環はネーター環である 名前 コメント
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日時 原則：隔週月曜日20 00～21 30 次回：ただいま休止中... テキスト J. ノイキルヒ『代数的整数論』シュプリンガー・フェアラーク東京 セミナーの進め方 最初から読んでいく. 発表者に質問しよう. 参考文献 可換代数 Atiyah‐MacDonald 『可換代数入門』共立出版 整数論 高木貞治 『初等整数論講義』共立出版 リンク ホワイトボード作成. 1.Whiteboad Fox 2.IDroo 活動報告 ホワイトボード 0. 15/10/26 セミナーの進め方. 1. 15/11/09 §1.Gauss整数. Z[i]の素元. Z[i]とQ(i)/Qの関係. pp.1-5 命題1.5. 2. 15/11/17 §2.整. 整拡大の定義とその特徴づけ. pp.5-8 UFDは整閉である. 3. 15/12/01 §2.整. ノルム, トレース, 判別式. pp.8-12. 命題2.8. 4. 15/12/08 §2.整. 整基底, 判別式. pp.12-15. 命題2.12. 5. 15/12/15 §2-§3イデアル. 練習4. 既約元分解の一意性が成立しない例. p16. 例. 6. 15/12/22 §3.イデアル. 整数環O_Kの性質とDedekind環. pp.16-19. 補題3.4. 7. 16/01/07 §3.イデアル. Dedekind環の素イデアル分解. pp.19-21. 定理3.3証明. 8. 16/01/14 §3.イデアル. 中国式剰余定理. 分数イデアル. イデアル群J_K. pp.21-23. 系3.9. 9. 16/01/28 §4.格子. 格子の定義と位相群としての特徴づけ. Minkowskiの格子点定理. pp.24-28. 定理4.4. 10.16/02/04 整イデアルの素イデアル分解の例. 素イデアルの生成元の見つけ方. 命題8.3. 11.16/02/11 §5.Minkowski理論. 代数体の整イデアルはK_Rの完全格子になる. pp.29-34. 定理5.3. 12.16/02/18 §6.類数. Minkowski理論(乗法版). 素イデアル分解と絶対ノルムの両立性. pp.34-37. 命題6.1. 13.16/03/31 §6.類数. イデアル類群が有限群であることの証明. pp.37-40. 定理6.3. 14.16/04/07 §7.Dirichletの単数定理. 単数群O*_Kの完全系列. pp.41-42. 補題7.2. 15.16/04/14 §7.Dirichletの単数定理. 単数群は有限巡回群と自由Abel群の直積. pp.42-45. 定理7.4. 16.16/04/21 代数的整数論のスキーム論的な解釈. 17.16/04/21 §8.Dedekind環の拡大. 有限次分離拡大体L/Kの基本等式Σef=n. pp.47-48. 命題8.2. 18.16/05/23 §8.Dedekind環の拡大. 導手と分岐指数・惰性次数. pp.50-51. 命題8.3. 19.16/05/30 §8.Dedekind環の拡大. Gaussの相互法則pp.52-55. 定理8.6. 20.16/06/20 §9.Hilbertの分岐理論. pp.56-58. 21.16/07/04 §9.Hilbertの分岐理論. 分解体のイデアル, 剰余類体の拡大. pp.58-59. 22.16/07/18 §9.Hilbertの分岐理論. 拡大T/Zの様子. pp.60. 23.16/08/08 §10.円分体. 円分体の素イデアル分解. pp.61-63. 補題10.1 24.16/09/12 §10.円分体. 円分体の素イデアル分解. pp.63-67. 命題10.2,命題10.3 25.16/09/26 §11.局所化. Dedekind環の局所化はDedekind環. pp.67-71. 命題11.5 26.16/10/10 §11.局所化. 単数群とイデアル類群の完全系列. pp.73-74. 命題11.6 27.16/10/24 可換環セミナー. 積閉集合の充満. Atiyah-MacDonald第3章演習6,7. 28.16/10/31 可換環セミナー. 積閉集合の充満2. Atiyah-MacDonald第3章演習4,8. 29.16/12/02 §12.整環. 整環の定義と性質. 命題12.2. 30.16/12/19 §11.局所化. S単数,S類群. 可換環. 31.17/01/16 §12.整環. 中国式剰余定理. 可逆イデアルの特徴づけ. Picard群. 32.17/02/27 §12.整環. 命題12.6. 33.17/04/03 §12.整環. 命題12.8. 命題8.1. の一般化.