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現在形とは 「~する」を意味する。 基本的な人称語尾は以下の通り 単数 複数 一人称 -n -mme 二人称 -t -tte 三人称 - -vat/vät
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#weblog ドイツ語の部屋! 天気について s Wetter 天気 s Klima,-s 気候 e Sonne 太陽 Die Sonne scheint. r Regen 雨 Es regnet. r Nebel 霧 Es ist neblig. r Schnee 雪 Es schneit r Wind,-e 風 s Gewitter,- 雷雨 e Wettervorhersage,-n 天気予報 heiss,warm,kuehl,kalt trocken,nass,feucht 名前 コメント お風呂で使う言葉★ s Shampoo シャンプー schamponieren シャンプーする s Haarspuelmittel リンス die Haare spuelen リンスする s Badezimmer 浴室 e Badewanne 浴槽 e Dusche シャワー duschen シャワーする r Duschraum シャワー室 e Seife 石鹸 mit einer Seife waschen 石鹸で洗う r Seifenbehaelter 石鹸入れ。 heiss 熱い kalt 冷たい 名前 コメント
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オーバーロックナット寸法 自転車のハブの、フォーク・フレームへの取り付け部分の幅。 OLDと略される。 このサイズが同じ場合でも軸の太さが異なる場合は取り付けできない。 ただし、部品の変更で複数の規格に対応できるようになっているものもある。 ロードレーサー フロント:100mm リア:130mm(旧規格は120mm、126mmなどもあった) MTB フロント100mm:ロードと同様の規格。9mmアクスル 110mm:15mmEスルーアクスル、20mmスルーアクスル リア135mm:9mm 142mm:12mmEスルーアクスル BMX フロント:100mm、アクスル径は3/8インチと14mmがある。 リア110mm トラック フロント:100mm リア 110mm:旧規格 120mm 関連項目
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memme /// / おまんこ、女の子のあそこ \ sid \ [ vetyolom ] \ 女性器を表わす最も婉曲な表現で、これ以上はない。言い換えればどんな貴婦人であろうと公的にfanhimaといわないかぎりはmemmeということができる。女性器を話題に出したことを除けば語彙レベル的には全く恥じらいを感じない表現である。恐らく日本人が「あそこ」というのと同じくらい婉曲な表現で、そのことを話題に出したこと以外は単語としては全く恥ずかしくないというのと同じであろう \
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時01分33秒 代数的整数論 004 (196-295) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/196-295 ログ元: http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/196-295 196 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 01 55 54 ] (a, b)/(c, d) は第一行が a, b で第2行が c, d である 2次の正方行列を表すことにする。 C を複素数体とし、GL_2(C) を C 上の2次の正則行列のなす群とする。 つまり C の元を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で ad - bc ≠ 0 となるもの全体のなす群である。 GL_2(C) は C ∪ {∞} に一次分数変換として作用する。 g = (a, b)/(c, d) で z ∈ C ∪ {∞} のとき g(z) = (az + b)/(cz + d) である。 ただし、c ≠ 0 のとき g(∞) = lim [z → ∞] (az + b)/(cz + d) = a/c とする。 c = 0 のとき g(∞) = lim [z → ∞] (az + b)/d = ∞ とする。 SL_2(R) を実数体の元を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で ad - bc = 1 となるもの全体のなす群とする。 同様に SL_2(Z) を有理整数を成分とする行列 (a, b)/(c, d) で ad - bc = 1 となるもの全体のなす群とする。 197 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/10(日) 02 00 58 ] モジュラー 198 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 02 07 27 ] 問題 SL_2(R) の元 g = (a, b)/(c, d) と z ∈ C に対して g(z) = (az + b)/(cz + d) とおく。 ただし、cz + d ≠ 0 とする。 このとき Im(g(z)) = Im(z)/|cz + d|^2 である。 199 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 02 40 49 ] H を複素上半平面とする。 即ち H = {z ∈ C ; Im(z) 0 } である。 198 より SL_2(R) は H に作用する。 問題 g ∈ SL_2(R) で g(z) = z となる z ∈ H が3個以上あれば、 g = ±1 である。 200 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 02 51 55 ] 199 より PSL_2(R) = SL_2(R)/{±1} は H に忠実に作用する。 SL_2(Z)/{±1} をモジュラー群と呼ぶ。 201 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/10(日) 08 37 25 ] ガイシュツかも知れんが… pが奇素数のとき 次の不等式を示せ. Σ[r=1,p-1] { (r^2)/p - [r^2/p] } = (p-1)/2, (p≡1 (mod 4)) Σ[r=1,p-1] { (r^2)/p - [r^2/p] } (p-1)/2, (p≡3 (mod 4)) ( [x] は Gaussの記号 ) http //messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN action=m board=1835554 tid=bdpbja1jiteybc0a1k sid=1835554 mid=603 出題(不等式) 202 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 11 48 ] 問題 SL_2(R) の任意の元の固有方程式は以下の3種類である。 1) (X - 1)^2 = X^2 -2x + 1 2) (X + 1)^2 = X^2 +2x + 1 3) (X - λ)(X - 1/λ) ここで λ ≠ ±1 203 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 24 46 ] 問題 202 の 3) のタイプの行列 g は、さらに二つのタイプに分けられる。 a) λ は実数 この場合 |Tr(g)| 2 である。 b) λ は実数でない この場合 |λ| = 1 であり、|Tr(g)| 2 である。 204 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 30 47 ] 定義 SL_2(R) の元 g は |Tr(g)| = 2 のとき放物型という。 |Tr(g)| < 2 のとき楕円型という。 |Tr(g)| > 2 のとき双曲型という。 205 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 39 49 ] ここで、線形代数の復習をしよう。 問題 K を代数的閉体とする。 K の元を成分とする n 次の正方行列 A は三角行列に相似である。 つまり、n 次の正則行列 P があり PAP^(-1) が三角行列になる。 206 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/10(日) 12 44 08 ] kummerさん もしかして保形関数(保形型式)の話しをやるのですか? 207 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 47 30 ] 問題 K を代数的閉体とする。 A を K の元を成分とする n 次の正方行列とする。 A の固有多項式を (X - λ_1)... (X - λ_n) とする。 ここで, λ_1, ... λ_n の中に同じものがあってもよい。 f(X) を K の元を係数とする次数1以上の多項式とする。 このとき f(A) の固有多項式は (X - f(λ_1))... (X - f(λ_n)) である。 208 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 12 51 44 ] 206 今はしないです。後でするかもしれないですが。 ここではモジュラー群の基本事項をやるだけです。 209 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 13 12 05 ] 問題 K を代数的閉体とする。 A を K の元を成分とする n 次の正方行列とする。 A がべき零、つまり A^m = 0 となる有理整数 m ≧ 1 があるためには A の固有値がすべて0であることが必要十分である。 さらに、このとき A^n = 0 となる。 210 名前:132人目の素数さん [2006/12/10(日) 14 40 15 ] 訂正 204 定義 SL_2(R) の元 g は |Tr(g)| = 2 のとき放物型という。 |Tr(g)| < 2 のとき楕円型という。 |Tr(g)| > 2 のとき双曲型という。 定義 SL_2(R) の元 g, g ≠ ±1 は |Tr(g)| = 2 のとき放物型という。 |Tr(g)| < 2 のとき楕円型という。 |Tr(g)| > 2 のとき双曲型という。 211 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 15 37 08 ] 問題 g ≠ ±1 を SL_2(R) の元とする。 g^m = 1 となる有理整数 m > 1 があるためには g の固有値 λ がすべて λ^m = 1 かつ λ ≠ ±1 を満たすことが 必要十分である。 212 名前:132人目の素数さん [2006/12/10(日) 15 40 57 ] 万一、命題の証明や問題が間違っていた場合は、それを指摘することも 演習とするw こちらも間違えることは当然ある。 213 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 16 11 ] 問題 198 より SL_2(R) は複素上半平面 H に作用するが、この作用は 推移的である。つまり、H の任意の2点 z, w に対して w = g(z) となる g ∈ SL_2(R) がある。 214 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 25 38 ] 問題 SL_2(R) の複素上半平面 H への作用( 198)において、虚数単位 i の 安定化部分群 { g ∈ SL_2(R) ; g(i) = i } は 特殊回転群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。 ここで g^t は g の転置行列である。 215 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 29 31 ] 問題 g ∈ SL_2(R) で g(z) = z となる z ∈ H が1個以上あれば、 g = ±1 か g は楕円型( 210)である。 216 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 35 55 ] 問題 SL_2(R) の位数有限の元は ±1 か楕円型( 210)である。 217 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 37 30 ] 問題 g を SL_2(Z) の元で楕円型( 210)とする。 g の特性多項式は X^2 + 1 X^2 + X + 1 X^2 - X + 1 のどれかである。 218 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 18 40 47 ] 問題 g を SL_2(Z) の元で楕円型( 210)とする。 g の位数は 3, 4, 6 のどれかである。 219 名前:132人目の素数さん [2006/12/10(日) 18 48 51 ] きゃは!おもしろい。 220 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 19 07 38 ] 定義 2次体 Q(√m) において、αを任意の整数、β を 0 でない任意の整数 とする。 このとき、α = βγ + δ、 |N(δ)| < |N(β)| となる整数 γ、δ が 常に存在するとき Q(√m) は、ノルム Euclid 的であるという。 221 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 19 11 26 ] 問題 2次体 Q(√(-1)) はノルム Euclid 的である。 222 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 19 28 38 ] 196 以降は志村の Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions を参考にしている。 223 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 19 38 09 ] 定義 複素上半平面 H の点 z に対して g(z) = z となる楕円型( 210)の元 g ∈ SL_2(Z) が存在するとき、z を楕円点という。 224 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 15 43 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数4の元とする。 Z[g] は2次の全行列環 M_2(Z) の部分環として 2次体 Q(√(-1)) の整数環 Z[√(-1)] に同型である。 225 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 19 09 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数4の元とする。 Z[g] の元を Z^2 に左から作用させて Z^2 を Z[g]-加群とみなす。 このとき Z^2 は階数1の Z[g]-自由加群である。 226 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 26 08 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数4の元とする。 g は (0, -1)/(1, 0) または (0, 1)/(-1, 0) に SL_2(Z) 内で 共役である。 なお、記法 (a, b)/(c, d) については 196 を参照。 227 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 38 31 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数3の元とする。 Z[g] は2次の全行列環 M_2(Z) の部分環として 2次体 Q(√(-3)) の整数環 Z[ρ] に同型である。 ここで、ρ = (-1 + √(-3))/2 = exp(2π√(-1)/3) である。 228 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 44 33 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数3の元とする。 Z[g] の元を Z^2 に左から作用させて Z^2 を Z[g]-加群とみなす。 このとき Z^2 は階数1の Z[g]-自由加群である。 ヒント: 2次体 Q(√(-3)) の整数環 Z[ρ] は前スレ3の233から ノルム Euclid 的( 220)である。 229 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 46 53 ] 225 228 Z^2 の元は列ベクトルとみなす。 230 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 49 42 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数3の元とする。 g は h = (0, -1)/(1, -1) または h^2 = (-1, 1)/(-1, 0) に SL_2(Z) 内で共役である。 なお、記法 (a, b)/(c, d) については 196 を参照。 231 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 21 59 55 ] 問題 g を SL_2(Z) の位数6の元とする。 g は -h = (0, 1)/(-1, 1) または -h^2 = (1, -1)/(1, 0) に SL_2(Z) 内で共役である。 ここで h = (0, -1)/(1, -1) である。 232 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/10(日) 22 07 22 ] 201 ・p≡1 (mod 4) のとき x^2 ≡ -1 (mod p) を満たすxがある。(-1 は平方剰余) よって、{k,p-k}の対は 共に平方剰余 または共に非剰余。 x^2 ≡k, y^2≡p-k (mod p) なる x,y をとると、 r=x,p-x ⇒ (r^2)/p - [(r^2)/p] = k/p, r=y,p-y ⇒ (r^2)/p - [(r^2)/p] = (p-k)/p, 辺々たせば =1. 平方剰余は (p-1)/2 個, すなわち (p-1)/4 対あるから、 これは与式左辺のp-1項を尽くしている。 233 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 22 14 02 ] 定義 複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群 { g ∈ SL_2(R) ; g(z) = z } は有限巡回群である( 218)。 この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を この楕円点の位数という。 234 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 22 24 58 ] 問題 複素上半平面 H の楕円点 z の位数( 233) は2または3である。 位数2の楕円点は √(-1) に SL_2(Z) の元の作用で移る。 位数3の楕円点は (-1 + √(-3))/2 = exp(2π√(-1)/3) に SL_2(Z) の元の作用で移る。 235 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 22 52 20 ] 定義 複素上半平面 H の部分集合 D が以下の条件を満たすとき SL_2(Z) の 基本領域と呼ぶ。 1) D は H の連結開部分集合である。 2) D の任意の異なる2点は SL_2(Z) の作用で同値ではない。 3) H の任意の点は D の閉包のある点とSL_2(Z) の作用で同値である。 236 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 23 01 33 ] D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 D が SL_2(Z) の基本領域であることを示すのが次の目標である。 237 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 23 24 23 ] SL_2(Z) の元 S, T を S = (1, 1)/(0, 1) T = (0, -1)/(1, 0) で定義する。 S(z) = z + 1 T(z) = -1/z である。 238 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 23 35 48 ] 問題 S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される SL_2(Z) の 部分群を G とする。 複素上半平面 H の任意の点 z に対して { Im(g(z)) ; g ∈ G } は 最大値をもつ。 239 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/10(日) 23 50 28 ] 補題 z を複素上半平面 H の点で |z| < 1 とする。 このとき |T(z)| > 1 である。 ここで、T = (0, -1)/(1, 0) である。 証明 自明である。 240 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 00 03 58 ] 問題 S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される SL_2(Z) の 部分群を G とする。 238 より 複素上半平面 H の任意の点 z に対してある g ∈ G があり Im(g(z)) が最大値となる。 w = S^n(g(z)) とおく。つまり w = g(z) + n である。 |Re(w)| ≦ 1/2 となるように整数 n をとる。 このとき |Im(w)| ≧ 1 である。 つまり、w は D~ = { z ∈ H ; |Re(z)| ≦ 1/2 かつ |z| ≧ 1 } の点である。 241 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 00 45 26 ] 訂正 239 を次の問題に置き換える。 問題 z を複素上半平面 H の点で |z| < 1 とする。 w = -1/z とおく。 このとき Im(w) > Im(z) である。 242 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 07 33 58 ] 205, 207, 209 は、ここでの話題とあまり関係ないかも しれない。 他にもそのような問題があるかもしれないので、問題を解くのは 必要性がはっきりした時点にしたほうがよいかも知れない。 もちろん、解くのはなんら問題ない。 243 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 10 25 47 ] 訂正 214 特殊回転群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。 特殊直行群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。 244 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 10 26 43 ] もといw 特殊直交群 SO(2) = { g ∈ SL_2(R) ; g(g^t) = 1 } である。 245 名前:132人目の素数さん [2006/12/11(月) 18 51 32 ] クンマー、ディリクレ 246 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 19 45 09 ] 問題 H を複素上半平面とする。 即ち H = {z ∈ C ; Im(z) 0 } である。 D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 z ∈ D なら Im(z) > (√3)/2 である。 247 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 20 16 43 ] 問題 z を |z| > 1 である任意の複素数とする。 |z + 1|^2 > 2(Re(z) + 1) である。 248 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 20 34 48 ] 問題 H を複素上半平面とする。 即ち H = {z ∈ C ; Im(z) 0 } である。 D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 z ∈ D なら |z + d| > 1 である。 ここで d は |d| ≧ 1 である任意の実数である。 249 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 21 13 22 ] 補題 H を複素上半平面とする。 即ち H = {z ∈ C ; Im(z) 0 } である。 D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 g を SL_2(Z) の元、z を D の点とし w = g(z) とおく。 g = (a, b)/(c, d) とする。 この記法 (a, b)/(c, d) については 196 を参照。 即ち w = (az + b)/(cz + d) である。 Im(w) ≧ Im(z) なら c = 0 または ±1 である。 証明 198 より Im(w) = Im(z)/|cz + d|^2 である。 Im(w) ≧ Im(z) より Im(z)/|cz + d|^2 ≧ Im(z) となる。 よって Im(z) ≧ Im(z)|cz + d|^2 となる。 Im(z) > 0 だから |cz + d| ≦ 1 となる。 y = Im(z) とおくと、cz + d の虚部は cy である。 よって |cz + d| ≦ 1 より |cy| ≦ 1 となる。 よって |c| ≦ 1/y となる。 一方、 246 より y > (√3)/2 である。 よって |c| ≦ 2/√3 < 2 である。 よって c = 0 または ±1 である。 証明終 250 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 21 16 16 ] 問題 H を複素上半平面とする。 即ち H = {z ∈ C ; Im(z) 0 } である。 D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 D の任意の異なる2点は SL_2(Z) の作用で同値ではない。 251 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 21 22 18 ] 240 と 250 より D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } は SL_2(Z) の基本領域( 235)である。 252 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/11(月) 22 29 32 ] 訂正 233 定義 複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群 { g ∈ SL_2(R) ; g(z) = z } は有限巡回群である( 218)。 この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を この楕円点の位数という。 定義 複素上半平面 H の楕円点 z の安定化部分群 { g ∈ SL_2(Z) ; g(z) = z } は有限巡回群である( 218)。 この部分群の標準射 SL_2(Z) → SL_2(Z)/{±1} による像の位数を この楕円点の位数という。 253 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 11 09 44 ] D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 D の閉包を [D] と書く。 [D] = { z ∈ H ; |Re(z)| ≦ 1/2 かつ |z| ≧ 1 } である。 E = { z ∈ [D] ; |z| = 1 } = { z ∈ H ; |Re(z)| ≦ 1/2 かつ |z| = 1 } L = { z ∈ [D] ; Re(z) = -1/2 } = { z ∈ H ; Re(z) = -1/2 かつ |z| ≧ 1 } R = { z ∈ [D] ; Re(z) = 1/2 } = { z ∈ H ; Re(z) = 1/2 かつ |z| ≧ 1 } とおく(それぞれの図を描かくとよい)。 [D] の境界は [D] - D であるが、 [D] - D = E ∪ L ∪ R である。 F = { z ∈ E ; Re(z) ≦ 0 } = { z ∈ H ; -1/2 ≦ Re(z) ≦ 0 かつ |z| = 1 } G = D ∪ L ∪ F とおく。 G = { z ∈ H ; -1/2 ≦ Re(z) < 1/2 かつ |z| ≧ 1 で |z| = 1 のときは -1/2 ≦ Re(z) ≦ 0 } である。 254 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 11 30 14 ] [D] の図は例えば ttp //en.wikipedia.org/wiki/Modular_group にある。 255 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 12 22 19 ] 簡単のために H の2点が SL_2(Z) の作用で同値なことを単に同値と いうことにする。 z = x + y√(-1) で |z| = 1 のとき -1/z = (-x + y√(-1))/|z|^2 = -x + y√(-1) よって変換 T(z) = -1/z は E = { z ∈ [D] ; |z| = 1 } の点を 虚軸に関して対称な点に写す。 よって、 E の点は F = { z ∈ E ; Re(z) ≦ 0 } の点と同値である。 変換 S^(-1)(z) = z - 1 は R = { z ∈ [D] ; Re(z) = 1/2 } の点を L = { z ∈ [D] ; Re(z) = -1/2 } の点に写す。 よって [D] の任意の点は G = D ∪ L ∪ F の点に同値である。 240 より H の任意の点は [D] の点に同値だから、 結局 G の点に同値となる。 256 名前:132人目の素数さん [2006/12/16(土) 12 43 11 ] 定理の証明は見ずに自分で証明すること。 遅くとも学部四年になるまでには、こういう読み方を身に付けないと いけない。 257 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 14 44 50 ] 補題 G を 253 の通りとする。 z ∈ G なら Im(z) ≧ (√3)/2 である。 証明 246 と同様である。 258 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 14 46 47 ] 補題 z を |z| ≧ 1 である任意の複素数とする。 d を実数とし、|z + d| ≦ 1 とする。 このとき d = 0 なら |z| = 1 d > 0 なら x ≦ -d/2 d < 0 なら x ≧ -d/2 証明 247 と同様の単純計算である。 259 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/16(土) 14 49 13 ] 補題 G を 253 の通りとする。 z ∈ G とし d を有理整数とする。 さらに |z + d| ≦ 1 とする。 このとき d = 0 または d = 1 である。 d = 0 なら |z| = 1 d = 1 なら z = (-1 + √(-3))/2 証明 258 より明らかである。 260 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 01 01 35 ] 補題 G を 253 の通りとする。 g = (a, b)/(c, d) を SL_2(Z) の元とする。 なお、記法 (a, b)/(c, d) については 196 を参照。 z, w ∈ G で w = g(z) = (az + b)/(cz + d) とする。 Im(w) ≧ Im(z) なら c = 0 または c = ±1 である。 証明 249 の証明とほとんど同じである。 246 の代わりに 257 を使う。 261 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 01 14 21 ] 260 において c = 0 なら g = ±1 であり、w = z である。 証明 ad - bc = 1 だから c = 0 より a = d = ±1 である。 よって w = z ± d となる。 z と w は G に属するから d = 0 である。 証明終 262 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 01 27 17 ] 260 において c = 1 なら d = 0 または d = 1 である。 d = 0 なら |z| = 1 d = 1 なら z = (-1 + √(-3))/2 である。 証明 Im(w) = Im(z)/|z + d|^2 ≧ Im(z) より、|z + d| ≦ 1 となる。 よって 259 より主張がでる。 263 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 02 12 19 ] 262 において d = 0 なら w = z = √(-1) で g = (0, -1)/(1, 0) または w = z = (-1 + √(-3))/2 で g = (-1, -1)/(1, 0) 証明 ad - bc = 1 で c = 1 だから d = 0 なら b = -1 である。 よって w = a - 1/z である。 |z| = 1 で z ∈ G だから z ∈ F である。 ここで F は 253 で定義された集合である。 |z| = 1 だから -1/z は虚軸に対して z と対称の位置にある。 w ∈ G だから a = 0 または a = -1 である。 a = 0 なら z = √(-1) で g = (0, -1)/(1, 0) よって w = -1/z = z a = -1 なら z = (-1 + √(-3))/2 で g = (-1, -1)/(1, 0) よって w = -1 - 1/z = (-z - 1)/z = z^2/z = z ここで z は 1 の原始3乗根だから z^2 + z + 1 = 0 となることを 使った。 証明終 264 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 02 42 15 ] 262 において d = 1 なら w = z = (-1 + √(-3))/2 で g = (0, -1)/(1, 1) 証明 ad - bc = 1 で c = 1 だから d = 1 なら a - b = 1 である。 よって a = b + 1 である。 w = ((b + 1)z + b)/(z + 1) = b + z/(z + 1) = b - z/z^2 = b - 1/z w ∈ G だから b = -1 である。 よって w = (-z - 1)/z - z^2/z = z 証明終 265 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 02 44 44 ] 訂正 264 w = (-z - 1)/z - z^2/z = z w = (-z - 1)/z = z^2/z = z 266 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 03 02 42 ] 260 において c = -1 のときは -g = (-a, -b)/(-c, -d) で w = -g(z) であるから c = 1 の場合の結果を適用できる。 つまり以下のようになる。 c = -1 なら d = 0 または d = -1 である。 d = 0 なら w = z = √(-1) で g = (0, 1)/(-1, 0) または w = z = (-1 + √(-3))/2 で g = (1, 1)/(-1, 0) d = 1 なら w = z = (-1 + √(-3))/2 で g = (0, 1)/(-1, -1) 267 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 03 53 47 ] 定理 G を 253 の通りとする。 (1) 任意の z ∈ H に対して g(z) ∈ G となる g ∈ SL_2(Z) が 存在する。 (2) G の異なる2元は SL_2(Z) に関して同値ではない。 (3) z ∈ G に対して I(z) = { g ∈ SL_2(Z) ; g(z) = z } を z の安定化部分群とする。 S = (1, 1)/(0, 1) T = (0, -1)/(1, 0) ρ = (-1 + √(-3))/2 = exp(2π√(-1)/3) とおく。 z が √(-1) でも ρ でもないとき I(z) = {±1} z = √(-1) のとき I(z) = {±1, ±g} ここで g = T z = (-1 + √(-3))/2 = exp(2πi/3) のとき I(z) = {±1, ±g, ±g^2} ここで g = TS = (0, -1)/(1, 1) 証明 (1) 255 で証明されている。 (2) と (3) 261 262 263 264 265 266 からわかる。 証明終 268 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 04 10 06 ] 267 から 234 の別証が得られたことになる。 269 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 04 32 25 ] 定理 SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 証明 S と T で生成される SL_2(Z) の部分群を K とおく。 D = { z ∈ H ; |Re(z)| < 1/2 かつ |z| > 1 } とおく。 D から任意の元 z を取る。 g を SL_2(Z) の任意の元とする。 240 と 255 より hg(z) ∈ G となる h ∈ K が存在する。 267 の (2) より hg(z) = z である。 267 の (3) より hg = ±1 である。 よって g ∈ K となる。 証明終 270 名前:132人目の素数さん [2006/12/17(日) 06 41 46 ] kummer さんの数式の書き方、きれいですね! TeX いらないのでは! 271 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 10 52 37 ] 270 有難うございます。 これだけ書いてるとさすがに上達しますw 272 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 12 11 49 ] 定義 2次体 Q(√m) において m > 0 のとき Q(√m) を実2次体と呼ぶ。 m < のとき Q(√m) を虚2次体と呼ぶ。 273 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 12 20 51 ] 定義 2次体 Q(√m) において m > 0 のとき Q(√m) を実2次体と呼ぶ。 m < のとき Q(√m) を虚2次体と呼ぶ。 Q(√m) が虚2次体のとき、√m = √(|m|) √(-1) と決めておく。 ここで √(|m|) は |m| の正の平方根である。 したがって、√m および ω ( 11) は複素上半平面にある。 274 名前:132人目の素数さん [2006/12/17(日) 12 42 07 ] 問題 z を複素数、a, b, c, d を実数とする。 ただし、cz + d ≠ 0 とする。 w = (az + b)/(cz + d) とおく。 このとき Im(w) = (ad - bc)Im(z)/|cz + d|^2 である。 275 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 12 49 19 ] 補題 虚2次体 Q(√m) の原始イデアル I = [a, b + ω] と J = [k, l + ω] が同じイデアル類に属すとする。 すなわち I = ρJ となる ρ ∈ Q(√m) があるとする。 このとき θ = (b + ω)/a、ψ = (l + ω)/k とおくと、 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。 証明 194 より θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 273 の規約より θ と ψ は複素上半平面にある。 よって 274 より ps - qr = 1 である。 証明終 276 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 15 35 27 ] 定義 代数的数(前スレ3の156) θ に対して Q(θ) が Q の n 次拡大で あるとき θ を n 次の代数的数という。 θ は有理数係数の多項式 f(X) = a_0X^n + a_1X^(n-1) ... + a_n の 根となる。ここで a_0, ..., a_n の最大公約数は 1 であり、 a_0 > 0 である。 f(X) は θ により一意に決まる。 f(X) の判別式を θ の判別式という。 ここで f(X) の判別式について復習しよう。 f(X) の根を θ_0, ..., θ_(n-1) とする。 f(X) の根の差積をΔとする。つまり Δ = Π(θ_i - θ_j) である。 ここで積は i < j となる対 (i, j) 全体を動く。 D = Δ^2 は θ_0, ..., θ_(n-1) の対称式だから f(X) の係数の 多項式で表せる。よって D は有理整数である。 D を f(X) の判別式という。 277 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 20 10 58 ] A を環とする。 x と y を A の元を成分とする n 次の列ベクトルとしたとき (x, y) は (x^t)y を表すとする。ここで x^t は x の転置であり、 x^t は行ベクトルになる。 S を A の元を成分とする n 次の対称行列とする。 2次形式 (x, Sx) = (x^t)Sx = (Sx, x) を考える。これを S[x] と書く。 P を A の元を成分とする n 次の可逆正方行列とする。 x = Py と変数変換すると、 S[x] = (Py, SPy) = (Py)^t(SPy) = y^t(P^t)SPy =(y, (P^t)SPy) = (P^t)SP[y] det((P^t)SP) = det(P)^2 det(S) である。 278 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 21 01 58 ] 276 ここで a_0, ..., a_n の最大公約数は 1 であり、 a_0 > 0 である。 a_0 > 0 の条件をつけない場合もある。 この場合 f(X) の係数は符号を除いて決まる。 さらに f(X) の判別式は根の差積 Δ の平方だから θ により一意に決まる。 279 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 22 12 29 ] 定義 有理整数係数の2元2次同次多項式 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を2元2次形式、略して、2次形式という。 gcd(a, b, c) = 1 のとき f を原始的という。 D = b^2 - 4ac を f の判別式という。 280 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 22 40 30 ] 2次形式 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 に一次変換 x = pu + qv y = ru + sv を施して f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2 とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 である。 281 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 23 09 27 ] 280 のつづき f(x, y) の判別式を D とする。 A を2次の正方行列 (a, b/2)/(b/2, c) とする。 行列の記法 (a, b)/(c, d) については 196 を参照。 B = (k, l/2)/(l/2, m) とおく。 P = (p, q)/(r, s) とおく。 P の転置行列 P^t は (p, r)/(q, s) である。 277 より B = (P^t)AP である。 よって det(B) = det(P)^2 det(A) である。 det(P) = ps - qr = ±1 だから det(B) = det(A) である。 よって km - l^2/4 = ac - b^2/4 よって l^2 - 4km = b^2 - 4ac = D 282 名前:132人目の素数さん [2006/12/17(日) 23 26 42 ] 命題 280 において gcd(a, b, c) = gcd(k, l, m) である。 証明 a, b, c で生成される有理整数環のイデアルを I とする。 k, l, m で生成される有理整数環のイデアルを J とする。 k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 より J ⊂ I である。 一次変換 x = pu + qv y = ru + sv は可逆だから 2次形式 g(u, v) = ku^2 + luv + mv^2 にこの逆一次変換を作用させて f(x, y) を得ることが出来て、 a, b, c を k, l, m の式で表せる。 よって I ⊂ J である。 証明終 283 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/17(日) 23 29 43 ] 282 に名前を入れるのを忘れた。 将来の検索の便宜のために注意しておく。 284 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19 44 58 ] 2次の代数的数( 276)のことを2次の無理数ともいう。 285 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19 46 12 ] GL_n(Z) で有理整数を成分とする n 次の正方行列で可逆なものの なす群を表す。 g ∈ GL_n(Z) であるためには det(g) = ±1 が必要十分である。 GL_2(Z) の元は C ∪ {∞} に一次分数変換として作用する( 196)。 286 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19 49 21 ] 命題 θ を2次の無理数( 284)とする。 τ = g(θ) とする。ここで g は GL_2(Z) ( 285) の元である。 このとき τ も2次の無理数であり、θ と同じ判別式( 276)をもつ。 証明 aθ^2 + bθ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 D = b^2 - 4ac は θ の判別式である。 θ は2次の無理数だから D は平方数ではない。 2次形式 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を考える。 g の逆行列を h = (p, q)/(r, s) とする。 θ = h(τ) = (pτ + q)/(rτ + s) である。 g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = kx^2 + lxy + my^2 とすると、 281 より D = l^2 - 4km である。 μ = pτ + q ν = rτ + s とおく。 θ = μ/ν だから a(μ/ν)^2 + b(μ/ν) + c = 0 aμ^2 + bμν + cν^2 = 0 よって f(μ, ν) = g(τ, 1) = 0 よって g(τ, 1) = lτ^2 + mτ + n = 0 D = l^2 - 4km は平方数ではないから τ は2次の無理数である。 証明終 287 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19 56 08 ] 2次体 Q(√m) の判別式を D とする。 θ を判別式 D の2次の無理数とする。 aθ^2 + bθ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 さらに a > 0 とする。 D = b^2 - 4ac である。 θ = (-b ± √D)/2a であるが θ = (-b + √D)/2a と仮定する。 a(aθ^2 + bθ + c) = a^2θ^2 + abθ + ac = 0 だから (aθ)^2 + b(aθ) + ac = 0 よって aθ は代数的整数である。 aθ = (-b + √D)/2 だから aθ ∈ Q(√m) である。 m ≡ 1 (mod 4) のとき (-b + √D)/2 = (-b - 1 + 1 + √m)/2 = (-b - 1)/2 + ω m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき (-b + √D)/2 = (-b + 2√m)/2 = -b/2 + ω いずれの場合でも aθ = r + ω の形である。 r = aθ - ω は有理数で代数的整数でもあるから、有理整数である (前スレ3の158より有理整数環は整閉である)。 (aθ)^2 + b(aθ) + ac = 0 だから N(aθ) = ac である。 よって [a, aθ] = [a, r + ω] は Q(√m) の原始イデアルである。 288 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 19 59 48 ] 285 A を環としたとき GL_n(A) も同様に定義される。 g ∈ GL_n(A) であるためには det(g) が A の可逆元であることが 必要十分である。 289 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 22 55 11 ] 補題 2次形式 f = a^x^2 + bxy + cy^2 の判別式が、ある2次体 Q(√m) の 判別式に等しいなら f は原始的( 279)である。 証明 2次体 Q(√m) の判別式を D とする。 仮定より、D = b^2 - 4ac である。 f が原始的でないとするとある有理整数 t > 1 があり、 a, b, c はそれぞれ t で割れる。よって D は t^2 で割れる。 D = (t^2)d とする。 m ≡ 1 (mod 4) のときは D = m であるから D は平方因子を含まない。 これは D = (t^2)d に反する。 よって m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) である。 この場合 D = 4m である。 m は平方因子を含まないから 2 で割れるとしても 4 では割れない。 よって t = 2 である。 b = 2e とする。 D = b^2 - 4ac = 4(e^2 - ac) よって e2 - ac = m である。 ac ≡ 0 (mod 4) だから m ≡ e^2 (mod 4) よって m ≡ 0 (mod 4) または m ≡ 1 (mod 4) である。これは矛盾である。 証明終 290 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 23 04 49 ] 289 m は平方因子を含まないから 2 で割れるとしても 4 では割れない。 m ≡ 0 (mod 4) でないことは m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) からもわかる。 291 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 23 17 34 ] 補題 有理整数係数の2次多項式 f(X) = aX^2 + bX + c の判別式が、 ある2次体 Q(√m) の判別式に等しいなら gcd(a, b, c) = 1 である。 証明 289 と同様である。 292 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/18(月) 23 26 20 ] 命題 I = [a, r + ω] を2次体 Q(√m) の原始イデアルの標準基底による 表示とする。 θ = (r + ω)/a とおく。 θ は2次無理数であり、その判別式は Q(√m) の判別式と一致する。 証明 Q(√m) の判別式を D とする。 θ が有理数なら ω = aθ - r が有理数になり矛盾である。 θ ∈ Q(√m) だから θ は2次無理数である。 β = r + ω とおく。仮定より N(r + ω) = ββ は a で割れる。 f(X) = a(X - θ)(X - θ ) とおく。 f(X) = a(X - β/a)(X - β /a) = aX^2 -(β + β )X + ββ /a b = -(β + β ) c = ββ /a とおくと b と c は有理整数」であり、f(X) = aX^2 + bX + c である。 f(X) の判別式は (β + β )^2 - 4ββ = (β - β )^2 = (ω - ω )^2 = D である。 290 より gcd(a, b, c) = 1 である。 よって θ の判別式は D である。 証明終 293 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/19(火) 22 18 56 ] 定義 2次形式( 279) f(x, y) = a^x^2 + bxy + cy^2 の判別式 D が 平方数でなく D < 0 とする。 a > 0 のとき f は正定値であるという。 a < 0 のとき f は負定値であるという。 D は平方数でないから a ≠ 0 であることに注意する。 294 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/19(火) 22 28 43 ] 293 a^x^2 + bxy + cy^2 ax^2 + bxy + cy^2 295 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/19(火) 22 42 50 ] 補題 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を正定値( 293)の2次形式とする。 (u, v) を 直積 Z × Z の元とすれば f(u, v) ≧ 0 であり、 f(u, v) = 0 となるのは (u, v) = (0, 0) のときに限る。 証明 f(x, y) の判別式を D とする。 f(x, y) は正定値だから D < 0 かつ a > 0 である( 293)。 af(x, y) = a^2x^2 + abxy + acy^2 = (ax + by/2)^2 + acy^2 - (b^2/4)y^2 = (ax + by/2)^2 + (4ac - b^2)y^2/4 = (ax + by/2)^2 + |D|y^2/4 これから補題の主張は直に出る。 証明終 タグ: コメント
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ACTE III Premier Tableau (Comme au premier Acte.) Scène Première (Rideau. Cendrillon paraît.) ▼CENDRILLON▲ (haletante et inquiète) Enfin, je suis ici… La maison est déserte… A revenir… j ai réussi… Sans être découverte; Mais que de peine, que de peine et de souci! (bien chanté) Fuyant dans la nuit solitaire, (avec vivacité) Par les terrasses du palais, en courant J ai perdu ma pantoufle de verre! (avec chaleur) Marraine! Marraine! Ah! voudrez-vous me pardonner jamais? (racontant avec émotion et animation) A l heure dite je fuyais… je fuyais… Je voyais parmi les noires avenues… Se dresser des statues… Quel effroi! quel effroi! Si grandes… si blanches, sous des rayons de lune! Leur yeux sans regards se fixaient sur moi… (vivement, avec effroi) Elles me montraient du doigt. Se riant de mon infortune. Ah! ah! (rire nerveux) ah! ah! ah! Ah! ah! ah! (son rire finit en sanglots) Ah! ah! ah! Ah! ah! ah! Quel effroi! quelle effroi! (changeant de ton et avec ardeur et conviction, comme en une prière très émue) Vous avez dû voir ma détresse, (suppliante) Marraine! Marraine! (avec sentiment et émotion) Pour tenir ma promesse, J ai fait tout ce que je pouvais! (reprenant son récit) Je courais… Dans les profondeurs du jardin… Je m égarais… Tout était sombre… (comme essoufflée) Et je courais toujours… toujours, toujours, toujours! (presqu avec un cri) puis… m arrêtais… soudain… J avais peur… j avais peur… (s empressant de supplier sa Marraine) Vous avez dû voir ma (avec ferveur) détresse! (suppliante) Marraine! Marraine! (avec sentiment et émotion) Pour tenir ma promesse, J ai fait tout ce que je pouvais! (reprenant son récit) Ah! j avais peur! peur de mon ombre… Et je courais toujours! Interrogeant les horizons, Craignant partout des trahisons, Je glisse, je glisse le long des maisons N osant pas traverser la place… (Carillon) Un grand bruit éclate et me glace De sinistres frissons… (changeant de ton et riant de bon coeur et aux éclats) Ah! ah! ah! ah! (très gai, en dehors) C était le carillon, le Carillon du Beffroi! (avec gaîté et entrain) Ah! (bien chanté) Réconfortant mon coeur, Il me disait en son langage, Ah! (bien chanté) Il me disait je veille! (tendrement) je veille, je veille. (avec ardeur) Reprends courage! courage! allons! courage! Va! (découragée, subitement) Mais c en est fait, hélas! (regardant tristement autour d elle) du bal et des splendeurs! Et je n entendrai plus les paroles si tendres Qui me berçaient d espoirs menteurs! (Machinalement elle se rapproche de la cheminee et montrant le foyer éteint) Mon bonheur s est éteint… il n en reste… que cendres! Résigne-toi, Petit grillon, résigne-toi. (comme sortant d un rêve, subitement, avec frayeur) Ah! j entends revenir mes parents! et mes soeurs! A tous il faut cacher mes pleurs… (Elle se sauve dans sa chambre) Scène Seconde (L entrée de Mme de la Haltière et de ses deux filles est tumultueuse. Une grosse discussion est déchaîné. Pandolfe essaie de se disculper, mais il est accablé par les trois femmes.) ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ C est vrai! C est vrai! C est vrai! ▼PANDOLFE▲ Non! Non! Non! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (à Pandolfe, furibonde) Vous êtes, je vous le déclare, Un sot, un faquin, un ignare, Un portefaix, (avec volubilité) Un grand dadais, Un pauvre Sire, J ose le dire… Vous avez le front de nier Que cette fille, Cette guenille, Cette guenon, Cette chiffon, (avec volubilité) Que vous dirai-je encore, Rien, Rien, en un mot, et moins que rien… et moins que rien… ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ (toutes deux avec admiration) Ah! maman! que vous parlez bien! Ah! maman! que vous parlez bien! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (reprenant ses injures) … moins que rien! moins que rien! ▼PANDOLFE▲ (protestant) Non! Non! Non! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ (à Pandolfe, en l accablant) C est vrai! C est vrai! C est vrai! ▼PANDOLFE▲ Pourquoi tant vous mettre en colère? ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (à Pandolfe) Espérez-vous que, pour vous plaire, (à tue-tête) Je vais me taire! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ Ah! la maudite aventurière! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ Aussi, le Prince a fort bien fait De la chasser, de la belle manière! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ (avec une joie ironique) Ah! ah! C était si mérité! C était si mérité! ▼PANDOLFE▲ (timidement, risquant son opinion) Elle avait l air très doux… c est une qualité… ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (le toisant avec mépris) Fi donc! monsieur. Je le conteste. ▼PANDOLFE▲ (voulant protester, parlé) Ah! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (les trois femme lui imposant silence) Oui! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (avec une haute importance, chaque syllabe très prononcée) Lors, qu on a plus de vingt quartiers, Ainsi que notre arbre l atteste, (légèrement) Lorsqu on a, sans compter le reste, Quatre Présidents (avec emphase) à mortiers, Un doge! parmi ses ancêtres, Et la douzaine d archiprêtres, Un Amiral, Un Cardinal, Six Abbesses et treize nonnes, (changeant de ton - légèrement et en badinant) Deux ou trois Maîtresses de Rois Qui, toutes deux ou toutes trois, Portèrent presque des couronnes; (vivement) Sans parler des menus fretins, tels que (légèrement) princes et capucins, (avec emphase) On doit s avancer dans la foule Comme un vaisseau fendant la houle Avec sa gloire pour soutien, Dédaigneux des bruits de (avec éclat) tempête! C est un devoir, entendez bien, Quand on s est haussé jusqu au faîte, De lever les yeux et la tête, (avec emportement) En laissant la douceur à tous vos gens (vivement) de rien! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ (avec admiration) Ah! maman! ah maman! que vous parlez bien! ▼PANDOLFE▲ (d un ton lamentable et résigné) J aimerais mieux l obscurité Si j avais la tranquillité! ▼CENDRILLON▲ (qui vient d entrer, vivement) Il est donc arrivé quelque chose, mon père? ▼PANDOLFE▲ (embarrassé) Non, rien vraiment, que de fort ordinaire… ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (à Pandolfe avec une nouvelle explosion) Ah! votre calme m exaspère… Que faut-il pour vous émouvoir? ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (à Cendrillon, avec empressement) Ecoute-nous, tu vas savoir. Une intrigante, une inconnue, Au bal de la cour est venue. ▼DOROTHÉE▲ Et cette rien, du tout, ▼NOÉMIE▲ Mise sans aucun goût, ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ Et cette rien du tout ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ Dans son effronterie… ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (se retournant brusquement du côté de Pandolfe, avec impatience) Laissez-nous dire, je vous prie! (reprenant hâtivement leurs racontars du côté de Cendrillon) Osa parler au fils du Roi! Chacun en fut saisi d effroi… D épouvante et d horreur, D épouvante et d horreur, D épouvante et d horreur, et d horreur (vivement et avec surprise) Ce fut un désarroi! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ Tout d abord, ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ …un digne silence… ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ …a condamné… ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ …cette impudence; ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ …cette impudence! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ Mais au bout d un instant, ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ On a murmuré tant, Que l intruse, bien vite, A dû prendre la fuite, Chassée, au beau milieu du bal, (avec ampleur) Par notre mépris (vivement) général! ▼PANDOLFE▲ (essayant de tout calmer - d un ton raisonnable) Ah! vous exagérez… et beaucoup ce me semble. ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (toutes les trois, à Pandolfe, avec humeur) Eh! laissez-nous donc en repos; On ne peut pas placer deux mots! ▼PANDOLFE▲ (commençant à s impatienter) Si vous criez toutes ensemble, Je m en vais… Je m en vais… ▼CENDRILLON▲ (aux trois femmes, timide et anxieuse) Ah! racontez-moi… Qu a dit alors le fils du Roi? ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (ironique) Que l on ne pouvait s y m éprendre… Que ses yeux un moment… abusés… voyaient clair… (sans respirer) Et que d ailleurs, rien qu à son air… Cette inconnue était drôlesse bonne à pendre! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE▲ (joyeusement) … bonne à pendre! ▼PANDOLFE▲ (s apercevant que Cendrillon chancelle et est prête à défaillir) Mais ma fille pâlit… (à Cendrillon, avec affection et inquiétude) qu as-tu, ma pauvre enfant? (aux trois femmes, avec autorité) Assez de vos caquets… ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ Qu un homme est énervant! ▼PANDOLFE▲ (tout à Cendrillon) Mon Dieu! la force l abandonne! (en larmes) Mon enfant! mon enfant! (aux trois femmes, avec force) Sortez! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (suffoquée, se retournant) Hein! quoi? ▼PANDOLFE▲ Je vous l ordonne! Sortez! Sortez! ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (à ses filles, hors d elle-même) Ah! mes filles! Venez! c en est trop! (à Pandolfe) Je ne vous connais plus! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (à Pandolfe, toutes les trois en fureur) Vous êtes un rustaud! un rustaud! un lourdeau! un rustaud! un lourdeau! ▼PANDOLFE▲ Vous, sortez au plus tôt! allez! allez! allez! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (les trois femme sont en même temps trois attaques de nerfs, cri aigu et prolongé) Ah! ▼PANDOLFE▲ Vous pouvez trépigner! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (de même, 2e crise plus violente) Ah! ▼PANDOLFE▲ Je vous jette à la porte. ▼MME DE LA HALTIÈRE▲ (violemment, à Pandolfe) Rétractez, insolent! ▼PANDOLFE▲ Le diable vous emporte! ▼NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE▲ (3me crise; cri aigu et prolongé des trois femmes qui sortent comme des furies) Ah! Scène Troisième ▼PANDOLFE▲ (à Cendrillon) Ma pauvre enfant chérie! Ah! tu souffres donc bien… (très expressif et bien chanté) Va! repose ton coeur douloureux sur le mien… Et laisse-toi bercer dans mes bras, ma petite! (attendri) Je t ai sacrifiée en venant à la Cour. Mais tu pardonneras, (plus vivement et avec un sourire mêlé de larmes) quand nous rirons un jour De mon ambition maudite. (avec attendrissement) Viens, nous quitterons cette ville Où j ai vu s envoler ta gaîté d autrefois, Et nous retournerons au fond de nos grands bois, Dans notre ferme si tranquille… Là là! nous serons heureux, Bien heureux! Tous les deux. Le matin nous irons comme deux amoureux Cueillir le blanc muguet… ▼CENDRILLON▲ (gentiment et naïvement) … et liserons bleus, Tous les deux! Dès que les cloches argentines S éveilleront… ▼PANDOLFE▲ (continuant la phrase de Cendrillon, avec le même sentiment, presque enfantin) … sonnant matines! ▼CENDRILLON▲ Matines! Le soir nous entendrons du Rossignol des nuits le chant si doux et frais… au profond des forêts… ▼PANDOLFE▲ Viens!… ▼CENDRILLON, PANDOLFE▲ Nous quitterons cette ville Où j ai vu s envoler… ta/ma gaîté d autrefois… (avec sentiment) Là! Nous serons heureux! Bien heureux! Tous les deux! là-bas! ▼CENDRILLON▲ (plus alerte) Maintenant, je suis mieux et je me sens renaître… Tu peux me laisser seule. ▼PANDOLFE▲ (affectueusement) Oui, si tu veux promettre De ne plus être triste (comme un tendre reproche) et de ne plus pleurer; (avec une résolution attendrissante) Pour nous sauver d ici je vais tout préparer! Oui… (en s éloignant doucement) nous quitterons cette ville… (Cendrillon se jetant dans les bras de son père) ▼PANDOLFE▲ (revenant avec élan vers Cendrillon) Là! là! nous serons heureux! Bien heureux! Tout les deux! Scène Quatrième (Cendrillon, seule, regardant encore par où son père est parti semble oppressée, troublée, indécise) ▼CENDRILLON▲ (avec une résolution subite) Seule, je partirai, mon père; Le poids de mon chagrin serait trop lourd pour toi. Je ne veux pas te voir souffrir de ma misère! Mais… je ne peux plus vivre… Il a douté de moi… Lui! mon doux Maître et mon seul Roi! Lui que j adore! il me renie… et me repousse! Pourtant, sa voix était bien douce… Pourtant, ses yeux étaient bien doux! (expressif et tendre) O mes rêves d amour, mes rêves d amour Hélas! (sans retarder) envolez-vous! (très attendrie et simplement) Adieu, mes souvenirs de joie… et de souffrance Qui, malgré tout, me parliez d espérance! (expressif) Témoins et compagnons de mon si court destin! Adieu! adieu, mes tourterelles Pour qui chaque matin, J allais, par les venelles, Cueillir le vert plantin… (simple et triste) je ne vous verrai plus! (allant à la cheminée) Ni toi, ma place familière… (détachant la petite branche pendue à la cheminée; simple et religieux) Que je t embrasse encor, tout séché, tout jauni… Relique d un beau jour, humble rameau béni. (avec un sentiment très profond) Ah! comme on aime ce que l on quitte! (simple et triste) Et toi, le grand fauteuil Où, quand j étais petite, Je courais me blottir bien vite… Frileusement… Sur les genoux de ma maman… (très attendrie) De maman… de maman… si bonne et si jolie! (très caressant) Qui fredonnait en me berçant «C est l Angélus, Dors, mon petit ange, Dors comme Jésus Dormait dans la grange.» (Le tonnerre gronde, l éclair brille, avec un subit désespoir; à volonté) Ah! puisque tout bonheur me fuit, Montant par les roches sacrées, (hardiment) Sans crainte j irai dans la nuit, Malgré les revenants et le follet qui luit… (avec décision) J irai mourir, mourir sous le chêne des fées! (Cendrillon s enfuit rapidement) Deuxième Tableau (Chez la Fée) Scène Première (Un grand chêne au milieu d une lande pleine de genêts en fleurs. Au fond la mer - nuit claire - lumière très bleutée.) ▼VOIX DES ESPRITS▲ (choeur invisible, bouche fermée, effet lointain, mystérieux, à obtenir de l ensemble des voix, selon la nuance qui sera choisie par le chef des choeurs.) ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Ah! ah! Fugitives chimères, O lueurs éphémères, Ames ou follets, ames ou follets, Glissez! sur les bruyères, Flottez sur les genêts! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos) Fugitives chimères, O lueurs passagères, (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Flottez, Glissez! Glissez! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Cher follets, brillez, Cher follets, glissez! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos) Ames ou follets, ames ou follets! (2e sopranos) Ames, Ames! (contraltos, tenors, basses) Follets, Follets! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Ah! Ah! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos) Glissez sur les bruyères, Flottez sur les genêts! (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Glissez, et flottez! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Ah! Ah! Ah! Glissez! glissez! Flottez sur les genêts! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos) Glissez sur les bruyères, Flottez! (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Glissez, et flottez! Danse Silencieuse des goutes de rosée ▼VOIX DES ESPRITS▲ (tenors, basses) Ah! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Flottez! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos, contraltos, en riant) Ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (tenors, basses) Ah! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Flottez! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (sopranos, contraltos, en riant) Ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah! ▼VOIX DES ESPRITS▲ (contraltos, tenors, basses) Ah! Ah! Flottez! Glissez! Glissez! Follets, follets glissez, Et flottez! Glissez! Flottez! Ah! (sopranos) Fugitives chimères, O lueurs passagères, Ames ou follets, ames ou follets glissez sur les bruyères, flottez! Glissez! Flottez! Ah! ▼LA VOIX DE LA FÉE▲ Ah! Ah! Ah! Ah! Ah! Ah! Flotez sur les genêts! Ah! ▼TROIS ESPRITS▲ (1er Groupe, qui ont accouru) Mais là-bas! au fond de la lande obscure, Par le chemin on voit venir, Sur le doux tapis de verdure, Une enfant qui semble gémir… (2d Groupe, qui accourent) Regardez! au fond de la lande obscure! ▼LA FÉE▲ (dans les branches du chêne) Et de l autre côté… Voyez-vous pas, mes soeurs, Ce pauvre garçon tout en pleurs? ▼LES 2 GROUPES REUNIS▲ Regardez! au fond de la lande obscure… ▼LA FÉE▲ Regardez! ▼LES 2 GROUPES REUNIS▲ (les six Esprits entre eux) Ce sont de jolis amoureux… Comme ils sont malheureux! D ombre voilées… Invisibles pour eux, Mes soeurs, écoutons bien leurs plaintes désolées. ▼LA FÉE▲ (étendant le bras avec autorité) Afin qu ils ne puissent se voir, O fleurs, obéissez au magique pouvoir! Entre le prince et son aimée, Fermez-vous, muraille embaumée! Ah! (La Fée se retire doucement dans les branches et revient invisible) Scène Seconde (Cendrillon et le Prince Charmant arrivent chacun de leur côté. Ils s agenouillent sans se voir. Ils sont séparés par une haie de fleurs. Et ils adressent leur prière à La Fée.) ▼CENDRILLON▲ (simple et fervent) A deux genoux, Bonne Marraine, à deux genoux, J implore mon pardon de vous, Si je vous ai fait moindre peine. A deux genoux, je vous implore à deux genoux, Si je vous ai fait moindre peine. Bonne Marraine! Je viens à vous! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ Je viens à vous, Puissante Reine, je viens à vous, Et vous demande à deux genoux De vouloir terminer ma peine. Je viens à vous, je vous implore à deux genoux, Voulez-vous terminer ma peine. Puissante Reine! Je viens à vous! (à La Fée, avec âme) Vous qui pouvez tout voir Et tout savoir, Vous n ignorez pas ma souffrance… Vous n ignorez pas comment, Pendant un trop court moment, Du plus divin bonheur j ai conçu l espérance! (avec chaleur et conviction; bien chanté, expressif) Ce bonheur, je l ai vu de mes yeux! Ce fut un éclair radieux Dont mon âme fut traversée… Dont mon regard fut ébloui. Hélas! En un instant, tout s est évanoui… Tout! hélas! Tout! ▼CENDRILLON▲ (qui a écouté palpitante) Une pauvre âme en grand émoi Est là qui prie et désespère… (très attendri et avec fièvre) Puisqu il n est plus pour moi Que tristesse et misère, (encore plus expressif) Que je souffre en rachat de ce coeur tant meurtri, (à La Fée, avec dévouement) Marraine, frappez-moi, mais que lui soit guéri! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (ayant entendu et tout palpitant) Pauvre femme inconnue, Doux ange de bonté Dont un enchantement me dérobe la vue, Je te bénis! Je te bénis! ▼CENDRILLON▲ (à La Fée, à part) Pitié! pitié pour lui! ▼CENDRILLON, PRINCE CHARMANT▲ (avec ardeur, à la Fée) Ayez pitié! Bonne marraine / Puissante Reineayez pitié! Je vous implore à deux genoux! à deux genoux! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (à Cendrillon, toujours invisible pour lui, avec effusion) Suis-je assez malheureux! (bien chanté, avec ardeur) Mais celle que j aime est si belle Que tu dirais, voyant ses yeux Pas une étoile n étincelle Plus pure (avec élan) au firmament des cieux! (avec bravoure) Asservissant la terre et l onde, Pour la revoir et la chérir, Pour la reconquérir, Je soumettrai le (fièrement) monde! le monde! ▼CENDRILLON▲ (palpitante et avec élan) Vous êtes le Prince Charmant! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (plus palpitant encore) Et toi? toi qui as eu pitié de ma détresse extrême, Qui donc es-tu, m interrogeant? ▼CENDRILLON▲ (toute émue) Je suis Lucette qui vous aime. ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (avec ivresse) Ineffable ravissement! ▼CENDRILLON▲ Vous êtes mon Prince Charmant! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (en adoration) Tu me l as dit, ce nom, ce nom que je voulais connaître, O Lucette, de ton doux secret (avec chaleur) Enfin me voilà maître, De tes lèvres mon âme a recueilli l aveu… ▼PRINCE CHARMANT, CENDRILLON▲ (très expressif) Et ta/sa voix me pénètre, d une extase suprême… oui, et ta/sa voix me pénètre d une extase suprême! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ Ta voix me pénètre d une extase suprême! Bonne fée… laissez-moi la revoir! ▼CENDRILLON▲ suprème! suprème! Ah! Bonne fée, laissez-moi le revoir! ▼CENDRILLON▲ Sa voix me pénètre! mais l entendre hélas, c est trop peu! ▼CENDRILLON, PRINCE CHARMANT▲ Laissez-moi le/la revoir! ah! par pitié! Bonne fée, laissez-moi le/la revoir! Laissez-moi le/la revoir! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (faisant un serment à haute voix) A la branche du chêne enchanté Bonne fée, Je suspendrai mon coeur… pur et sanglant trophée! ▼LA FÉE▲ (reparaissant dans les branches du chêne) J accepte ton serment. J exauce ton espoir. ▼CHOEUR INVISIBLE▲ (bouche fermée, le chant en dehors) ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (revoyant Cendrillon, avec un cri de joie) Ma Lucette! je t ai retrouvée! ▼CENDRILLON▲ (dans les bras du Prince Charmant) O mon Prince Charmant! ▼LE PRINCE CHARMANT▲ Ma Lucette! ▼CENDRILLON▲ (très émue) C est bien vous, mon Prince Charmant! (Les Esprits et les gouttes de Rosée reparaissent de tous côtés et s avancent silencieusement.) ▼LE PRINCE CHARMANT▲ (tendrement) Viens! je t aime! Toute ma vie je t aimerai fidèlement… fidèlement… toujours… ah! toujours! ▼LA FÉE▲ (dans les branches) Ah! Ah! aimez! Ah, aimez! aimez-vous; l heure est brève et croyez en un rêve! ▼CENDRILLON▲ (tendrement) Je consacre ma vie à vous aimer fidèlement… fidèlement… toujours… ah! toujours! (Un sommeil magique s empare de Cendrillon et du Prince Charmant et ils s endorment bercés par la voix des Esprits.) ▼LA FÉE, LES SIX ESPRITS▲ Dormez! Rêvez! Ah! ▼LES VOIX▲ (choeur invisible) Ah! ACTE III Premier Tableau (Comme au premier Acte.) Scène Première (Rideau. Cendrillon paraît.) CENDRILLON (haletante et inquiète) Enfin, je suis ici… La maison est déserte… A revenir… j ai réussi… Sans être découverte; Mais que de peine, que de peine et de souci! (bien chanté) Fuyant dans la nuit solitaire, (avec vivacité) Par les terrasses du palais, en courant J ai perdu ma pantoufle de verre! (avec chaleur) Marraine! Marraine! Ah! voudrez-vous me pardonner jamais? (racontant avec émotion et animation) A l heure dite je fuyais… je fuyais… Je voyais parmi les noires avenues… Se dresser des statues… Quel effroi! quel effroi! Si grandes… si blanches, sous des rayons de lune! Leur yeux sans regards se fixaient sur moi… (vivement, avec effroi) Elles me montraient du doigt. Se riant de mon infortune. Ah! ah! (rire nerveux) ah! ah! ah! Ah! ah! ah! (son rire finit en sanglots) Ah! ah! ah! Ah! ah! ah! Quel effroi! quelle effroi! (changeant de ton et avec ardeur et conviction, comme en une prière très émue) Vous avez dû voir ma détresse, (suppliante) Marraine! Marraine! (avec sentiment et émotion) Pour tenir ma promesse, J ai fait tout ce que je pouvais! (reprenant son récit) Je courais… Dans les profondeurs du jardin… Je m égarais… Tout était sombre… (comme essoufflée) Et je courais toujours… toujours, toujours, toujours! (presqu avec un cri) puis… m arrêtais… soudain… J avais peur… j avais peur… (s empressant de supplier sa Marraine) Vous avez dû voir ma (avec ferveur) détresse! (suppliante) Marraine! Marraine! (avec sentiment et émotion) Pour tenir ma promesse, J ai fait tout ce que je pouvais! (reprenant son récit) Ah! j avais peur! peur de mon ombre… Et je courais toujours! Interrogeant les horizons, Craignant partout des trahisons, Je glisse, je glisse le long des maisons N osant pas traverser la place… (Carillon) Un grand bruit éclate et me glace De sinistres frissons… (changeant de ton et riant de bon coeur et aux éclats) Ah! ah! ah! ah! (très gai, en dehors) C était le carillon, le Carillon du Beffroi! (avec gaîté et entrain) Ah! (bien chanté) Réconfortant mon coeur, Il me disait en son langage, Ah! (bien chanté) Il me disait je veille! (tendrement) je veille, je veille. (avec ardeur) Reprends courage! courage! allons! courage! Va! (découragée, subitement) Mais c en est fait, hélas! (regardant tristement autour d elle) du bal et des splendeurs! Et je n entendrai plus les paroles si tendres Qui me berçaient d espoirs menteurs! (Machinalement elle se rapproche de la cheminee et montrant le foyer éteint) Mon bonheur s est éteint… il n en reste… que cendres! Résigne-toi, Petit grillon, résigne-toi. (comme sortant d un rêve, subitement, avec frayeur) Ah! j entends revenir mes parents! et mes soeurs! A tous il faut cacher mes pleurs… (Elle se sauve dans sa chambre) Scène Seconde (L entrée de Mme de la Haltière et de ses deux filles est tumultueuse. Une grosse discussion est déchaîné. Pandolfe essaie de se disculper, mais il est accablé par les trois femmes.) NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE C est vrai! C est vrai! C est vrai! PANDOLFE Non! Non! Non! MME DE LA HALTIÈRE (à Pandolfe, furibonde) Vous êtes, je vous le déclare, Un sot, un faquin, un ignare, Un portefaix, (avec volubilité) Un grand dadais, Un pauvre Sire, J ose le dire… Vous avez le front de nier Que cette fille, Cette guenille, Cette guenon, Cette chiffon, (avec volubilité) Que vous dirai-je encore, Rien, Rien, en un mot, et moins que rien… et moins que rien… NOÉMIE, DOROTHÉE (toutes deux avec admiration) Ah! maman! que vous parlez bien! Ah! maman! que vous parlez bien! MME DE LA HALTIÈRE (reprenant ses injures) … moins que rien! moins que rien! PANDOLFE (protestant) Non! Non! Non! NOÉMIE, DOROTHÉE (à Pandolfe, en l accablant) C est vrai! C est vrai! C est vrai! PANDOLFE Pourquoi tant vous mettre en colère? MME DE LA HALTIÈRE (à Pandolfe) Espérez-vous que, pour vous plaire, (à tue-tête) Je vais me taire! NOÉMIE, DOROTHÉE Ah! la maudite aventurière! MME DE LA HALTIÈRE Aussi, le Prince a fort bien fait De la chasser, de la belle manière! NOÉMIE, DOROTHÉE (avec une joie ironique) Ah! ah! C était si mérité! C était si mérité! PANDOLFE (timidement, risquant son opinion) Elle avait l air très doux… c est une qualité… MME DE LA HALTIÈRE (le toisant avec mépris) Fi donc! monsieur. Je le conteste. PANDOLFE (voulant protester, parlé) Ah! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (les trois femme lui imposant silence) Oui! MME DE LA HALTIÈRE (avec une haute importance, chaque syllabe très prononcée) Lors, qu on a plus de vingt quartiers, Ainsi que notre arbre l atteste, (légèrement) Lorsqu on a, sans compter le reste, Quatre Présidents (avec emphase) à mortiers, Un doge! parmi ses ancêtres, Et la douzaine d archiprêtres, Un Amiral, Un Cardinal, Six Abbesses et treize nonnes, (changeant de ton - légèrement et en badinant) Deux ou trois Maîtresses de Rois Qui, toutes deux ou toutes trois, Portèrent presque des couronnes; (vivement) Sans parler des menus fretins, tels que (légèrement) princes et capucins, (avec emphase) On doit s avancer dans la foule Comme un vaisseau fendant la houle Avec sa gloire pour soutien, Dédaigneux des bruits de (avec éclat) tempête! C est un devoir, entendez bien, Quand on s est haussé jusqu au faîte, De lever les yeux et la tête, (avec emportement) En laissant la douceur à tous vos gens (vivement) de rien! NOÉMIE, DOROTHÉE (avec admiration) Ah! maman! ah maman! que vous parlez bien! PANDOLFE (d un ton lamentable et résigné) J aimerais mieux l obscurité Si j avais la tranquillité! CENDRILLON (qui vient d entrer, vivement) Il est donc arrivé quelque chose, mon père? PANDOLFE (embarrassé) Non, rien vraiment, que de fort ordinaire… MME DE LA HALTIÈRE (à Pandolfe avec une nouvelle explosion) Ah! votre calme m exaspère… Que faut-il pour vous émouvoir? NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (à Cendrillon, avec empressement) Ecoute-nous, tu vas savoir. Une intrigante, une inconnue, Au bal de la cour est venue. DOROTHÉE Et cette rien, du tout, NOÉMIE Mise sans aucun goût, MME DE LA HALTIÈRE Et cette rien du tout NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE Dans son effronterie… MME DE LA HALTIÈRE (se retournant brusquement du côté de Pandolfe, avec impatience) Laissez-nous dire, je vous prie! (reprenant hâtivement leurs racontars du côté de Cendrillon) Osa parler au fils du Roi! Chacun en fut saisi d effroi… D épouvante et d horreur, D épouvante et d horreur, D épouvante et d horreur, et d horreur (vivement et avec surprise) Ce fut un désarroi! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE Tout d abord, MME DE LA HALTIÈRE …un digne silence… NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE …a condamné… MME DE LA HALTIÈRE …cette impudence; NOÉMIE, DOROTHÉE …cette impudence! MME DE LA HALTIÈRE Mais au bout d un instant, NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE On a murmuré tant, Que l intruse, bien vite, A dû prendre la fuite, Chassée, au beau milieu du bal, (avec ampleur) Par notre mépris (vivement) général! PANDOLFE (essayant de tout calmer - d un ton raisonnable) Ah! vous exagérez… et beaucoup ce me semble. NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (toutes les trois, à Pandolfe, avec humeur) Eh! laissez-nous donc en repos; On ne peut pas placer deux mots! PANDOLFE (commençant à s impatienter) Si vous criez toutes ensemble, Je m en vais… Je m en vais… CENDRILLON (aux trois femmes, timide et anxieuse) Ah! racontez-moi… Qu a dit alors le fils du Roi? MME DE LA HALTIÈRE (ironique) Que l on ne pouvait s y m éprendre… Que ses yeux un moment… abusés… voyaient clair… (sans respirer) Et que d ailleurs, rien qu à son air… Cette inconnue était drôlesse bonne à pendre! NOÉMIE, DOROTHÉE (joyeusement) … bonne à pendre! PANDOLFE (s apercevant que Cendrillon chancelle et est prête à défaillir) Mais ma fille pâlit… (à Cendrillon, avec affection et inquiétude) qu as-tu, ma pauvre enfant? (aux trois femmes, avec autorité) Assez de vos caquets… MME DE LA HALTIÈRE Qu un homme est énervant! PANDOLFE (tout à Cendrillon) Mon Dieu! la force l abandonne! (en larmes) Mon enfant! mon enfant! (aux trois femmes, avec force) Sortez! MME DE LA HALTIÈRE (suffoquée, se retournant) Hein! quoi? PANDOLFE Je vous l ordonne! Sortez! Sortez! MME DE LA HALTIÈRE (à ses filles, hors d elle-même) Ah! mes filles! Venez! c en est trop! (à Pandolfe) Je ne vous connais plus! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (à Pandolfe, toutes les trois en fureur) Vous êtes un rustaud! un rustaud! un lourdeau! un rustaud! un lourdeau! PANDOLFE Vous, sortez au plus tôt! allez! allez! allez! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (les trois femme sont en même temps trois attaques de nerfs, cri aigu et prolongé) Ah! PANDOLFE Vous pouvez trépigner! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (de même, 2e crise plus violente) Ah! PANDOLFE Je vous jette à la porte. MME DE LA HALTIÈRE (violemment, à Pandolfe) Rétractez, insolent! PANDOLFE Le diable vous emporte! NOÉMIE, DOROTHÉE, MME DE LA HALTIÈRE (3me crise; cri aigu et prolongé des trois femmes qui sortent comme des furies) Ah! Scène Troisième PANDOLFE (à Cendrillon) Ma pauvre enfant chérie! Ah! tu souffres donc bien… (très expressif et bien chanté) Va! repose ton coeur douloureux sur le mien… Et laisse-toi bercer dans mes bras, ma petite! (attendri) Je t ai sacrifiée en venant à la Cour. Mais tu pardonneras, (plus vivement et avec un sourire mêlé de larmes) quand nous rirons un jour De mon ambition maudite. (avec attendrissement) Viens, nous quitterons cette ville Où j ai vu s envoler ta gaîté d autrefois, Et nous retournerons au fond de nos grands bois, Dans notre ferme si tranquille… Là là! nous serons heureux, Bien heureux! Tous les deux. Le matin nous irons comme deux amoureux Cueillir le blanc muguet… CENDRILLON (gentiment et naïvement) … et liserons bleus, Tous les deux! Dès que les cloches argentines S éveilleront… PANDOLFE (continuant la phrase de Cendrillon, avec le même sentiment, presque enfantin) … sonnant matines! CENDRILLON Matines! Le soir nous entendrons du Rossignol des nuits le chant si doux et frais… au profond des forêts… PANDOLFE Viens!… CENDRILLON, PANDOLFE Nous quitterons cette ville Où j ai vu s envoler… ta/ma gaîté d autrefois… (avec sentiment) Là! Nous serons heureux! Bien heureux! Tous les deux! là-bas! CENDRILLON (plus alerte) Maintenant, je suis mieux et je me sens renaître… Tu peux me laisser seule. PANDOLFE (affectueusement) Oui, si tu veux promettre De ne plus être triste (comme un tendre reproche) et de ne plus pleurer; (avec une résolution attendrissante) Pour nous sauver d ici je vais tout préparer! Oui… (en s éloignant doucement) nous quitterons cette ville… (Cendrillon se jetant dans les bras de son père) PANDOLFE (revenant avec élan vers Cendrillon) Là! là! nous serons heureux! Bien heureux! Tout les deux! Scène Quatrième (Cendrillon, seule, regardant encore par où son père est parti semble oppressée, troublée, indécise) CENDRILLON (avec une résolution subite) Seule, je partirai, mon père; Le poids de mon chagrin serait trop lourd pour toi. Je ne veux pas te voir souffrir de ma misère! Mais… je ne peux plus vivre… Il a douté de moi… Lui! mon doux Maître et mon seul Roi! Lui que j adore! il me renie… et me repousse! Pourtant, sa voix était bien douce… Pourtant, ses yeux étaient bien doux! (expressif et tendre) O mes rêves d amour, mes rêves d amour Hélas! (sans retarder) envolez-vous! (très attendrie et simplement) Adieu, mes souvenirs de joie… et de souffrance Qui, malgré tout, me parliez d espérance! (expressif) Témoins et compagnons de mon si court destin! Adieu! adieu, mes tourterelles Pour qui chaque matin, J allais, par les venelles, Cueillir le vert plantin… (simple et triste) je ne vous verrai plus! (allant à la cheminée) Ni toi, ma place familière… (détachant la petite branche pendue à la cheminée; simple et religieux) Que je t embrasse encor, tout séché, tout jauni… Relique d un beau jour, humble rameau béni. (avec un sentiment très profond) Ah! comme on aime ce que l on quitte! (simple et triste) Et toi, le grand fauteuil Où, quand j étais petite, Je courais me blottir bien vite… Frileusement… Sur les genoux de ma maman… (très attendrie) De maman… de maman… si bonne et si jolie! (très caressant) Qui fredonnait en me berçant «C est l Angélus, Dors, mon petit ange, Dors comme Jésus Dormait dans la grange.» (Le tonnerre gronde, l éclair brille, avec un subit désespoir; à volonté) Ah! puisque tout bonheur me fuit, Montant par les roches sacrées, (hardiment) Sans crainte j irai dans la nuit, Malgré les revenants et le follet qui luit… (avec décision) J irai mourir, mourir sous le chêne des fées! (Cendrillon s enfuit rapidement) Deuxième Tableau (Chez la Fée) Scène Première (Un grand chêne au milieu d une lande pleine de genêts en fleurs. Au fond la mer - nuit claire - lumière très bleutée.) VOIX DES ESPRITS (choeur invisible, bouche fermée, effet lointain, mystérieux, à obtenir de l ensemble des voix, selon la nuance qui sera choisie par le chef des choeurs.) LA VOIX DE LA FÉE Ah! ah! Fugitives chimères, O lueurs éphémères, Ames ou follets, ames ou follets, Glissez! sur les bruyères, Flottez sur les genêts! VOIX DES ESPRITS (sopranos) Fugitives chimères, O lueurs passagères, (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Flottez, Glissez! Glissez! LA VOIX DE LA FÉE Cher follets, brillez, Cher follets, glissez! VOIX DES ESPRITS (sopranos) Ames ou follets, ames ou follets! (2e sopranos) Ames, Ames! (contraltos, tenors, basses) Follets, Follets! LA VOIX DE LA FÉE Ah! Ah! VOIX DES ESPRITS (sopranos) Glissez sur les bruyères, Flottez sur les genêts! (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Glissez, et flottez! LA VOIX DE LA FÉE Ah! Ah! Ah! Glissez! glissez! Flottez sur les genêts! VOIX DES ESPRITS (sopranos) Glissez sur les bruyères, Flottez! (2e sopranos, contraltos, tenors, basses) Glissez, et flottez! Danse Silencieuse des goutes de rosée VOIX DES ESPRITS (tenors, basses) Ah! LA VOIX DE LA FÉE Flottez! VOIX DES ESPRITS (sopranos, contraltos, en riant) Ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah! VOIX DES ESPRITS (tenors, basses) Ah! LA VOIX DE LA FÉE Flottez! VOIX DES ESPRITS (sopranos, contraltos, en riant) Ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah! VOIX DES ESPRITS (contraltos, tenors, basses) Ah! Ah! Flottez! Glissez! Glissez! Follets, follets glissez, Et flottez! Glissez! Flottez! Ah! (sopranos) Fugitives chimères, O lueurs passagères, Ames ou follets, ames ou follets glissez sur les bruyères, flottez! Glissez! Flottez! Ah! LA VOIX DE LA FÉE Ah! Ah! Ah! Ah! Ah! Ah! Flotez sur les genêts! Ah! TROIS ESPRITS (1er Groupe, qui ont accouru) Mais là-bas! au fond de la lande obscure, Par le chemin on voit venir, Sur le doux tapis de verdure, Une enfant qui semble gémir… (2d Groupe, qui accourent) Regardez! au fond de la lande obscure! LA FÉE (dans les branches du chêne) Et de l autre côté… Voyez-vous pas, mes soeurs, Ce pauvre garçon tout en pleurs? LES 2 GROUPES REUNIS Regardez! au fond de la lande obscure… LA FÉE Regardez! LES 2 GROUPES REUNIS (les six Esprits entre eux) Ce sont de jolis amoureux… Comme ils sont malheureux! D ombre voilées… Invisibles pour eux, Mes soeurs, écoutons bien leurs plaintes désolées. LA FÉE (étendant le bras avec autorité) Afin qu ils ne puissent se voir, O fleurs, obéissez au magique pouvoir! Entre le prince et son aimée, Fermez-vous, muraille embaumée! Ah! (La Fée se retire doucement dans les branches et revient invisible) Scène Seconde (Cendrillon et le Prince Charmant arrivent chacun de leur côté. Ils s agenouillent sans se voir. Ils sont séparés par une haie de fleurs. Et ils adressent leur prière à La Fée.) CENDRILLON (simple et fervent) A deux genoux, Bonne Marraine, à deux genoux, J implore mon pardon de vous, Si je vous ai fait moindre peine. A deux genoux, je vous implore à deux genoux, Si je vous ai fait moindre peine. Bonne Marraine! Je viens à vous! LE PRINCE CHARMANT Je viens à vous, Puissante Reine, je viens à vous, Et vous demande à deux genoux De vouloir terminer ma peine. Je viens à vous, je vous implore à deux genoux, Voulez-vous terminer ma peine. Puissante Reine! Je viens à vous! (à La Fée, avec âme) Vous qui pouvez tout voir Et tout savoir, Vous n ignorez pas ma souffrance… Vous n ignorez pas comment, Pendant un trop court moment, Du plus divin bonheur j ai conçu l espérance! (avec chaleur et conviction; bien chanté, expressif) Ce bonheur, je l ai vu de mes yeux! Ce fut un éclair radieux Dont mon âme fut traversée… Dont mon regard fut ébloui. Hélas! En un instant, tout s est évanoui… Tout! hélas! Tout! CENDRILLON (qui a écouté palpitante) Une pauvre âme en grand émoi Est là qui prie et désespère… (très attendri et avec fièvre) Puisqu il n est plus pour moi Que tristesse et misère, (encore plus expressif) Que je souffre en rachat de ce coeur tant meurtri, (à La Fée, avec dévouement) Marraine, frappez-moi, mais que lui soit guéri! LE PRINCE CHARMANT (ayant entendu et tout palpitant) Pauvre femme inconnue, Doux ange de bonté Dont un enchantement me dérobe la vue, Je te bénis! Je te bénis! CENDRILLON (à La Fée, à part) Pitié! pitié pour lui! CENDRILLON, PRINCE CHARMANT (avec ardeur, à la Fée) Ayez pitié! Bonne marraine / Puissante Reineayez pitié! Je vous implore à deux genoux! à deux genoux! LE PRINCE CHARMANT (à Cendrillon, toujours invisible pour lui, avec effusion) Suis-je assez malheureux! (bien chanté, avec ardeur) Mais celle que j aime est si belle Que tu dirais, voyant ses yeux Pas une étoile n étincelle Plus pure (avec élan) au firmament des cieux! (avec bravoure) Asservissant la terre et l onde, Pour la revoir et la chérir, Pour la reconquérir, Je soumettrai le (fièrement) monde! le monde! CENDRILLON (palpitante et avec élan) Vous êtes le Prince Charmant! LE PRINCE CHARMANT (plus palpitant encore) Et toi? toi qui as eu pitié de ma détresse extrême, Qui donc es-tu, m interrogeant? CENDRILLON (toute émue) Je suis Lucette qui vous aime. LE PRINCE CHARMANT (avec ivresse) Ineffable ravissement! CENDRILLON Vous êtes mon Prince Charmant! LE PRINCE CHARMANT (en adoration) Tu me l as dit, ce nom, ce nom que je voulais connaître, O Lucette, de ton doux secret (avec chaleur) Enfin me voilà maître, De tes lèvres mon âme a recueilli l aveu… PRINCE CHARMANT, CENDRILLON (très expressif) Et ta/sa voix me pénètre, d une extase suprême… oui, et ta/sa voix me pénètre d une extase suprême! LE PRINCE CHARMANT Ta voix me pénètre d une extase suprême! Bonne fée… laissez-moi la revoir! CENDRILLON suprème! suprème! Ah! Bonne fée, laissez-moi le revoir! CENDRILLON Sa voix me pénètre! mais l entendre hélas, c est trop peu! CENDRILLON, PRINCE CHARMANT Laissez-moi le/la revoir! ah! par pitié! Bonne fée, laissez-moi le/la revoir! Laissez-moi le/la revoir! LE PRINCE CHARMANT (faisant un serment à haute voix) A la branche du chêne enchanté Bonne fée, Je suspendrai mon coeur… pur et sanglant trophée! LA FÉE (reparaissant dans les branches du chêne) J accepte ton serment. J exauce ton espoir. CHOEUR INVISIBLE (bouche fermée, le chant en dehors) LE PRINCE CHARMANT (revoyant Cendrillon, avec un cri de joie) Ma Lucette! je t ai retrouvée! CENDRILLON (dans les bras du Prince Charmant) O mon Prince Charmant! LE PRINCE CHARMANT Ma Lucette! CENDRILLON (très émue) C est bien vous, mon Prince Charmant! (Les Esprits et les gouttes de Rosée reparaissent de tous côtés et s avancent silencieusement.) LE PRINCE CHARMANT (tendrement) Viens! je t aime! Toute ma vie je t aimerai fidèlement… fidèlement… toujours… ah! toujours! LA FÉE (dans les branches) Ah! Ah! aimez! Ah, aimez! aimez-vous; l heure est brève et croyez en un rêve! CENDRILLON (tendrement) Je consacre ma vie à vous aimer fidèlement… fidèlement… toujours… ah! toujours! (Un sommeil magique s empare de Cendrillon et du Prince Charmant et ils s endorment bercés par la voix des Esprits.) LA FÉE, LES SIX ESPRITS Dormez! Rêvez! Ah! LES VOIX (choeur invisible) Ah! Massenet,Jules/Cendrillon/IV
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時51分58秒 代数的整数論 007 (1-70) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/-70 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/-70 1 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 06 25 18 Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく 質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。 過去スレ #001 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 #002 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310 #003 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ #004 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ #005 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/ #006 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50 2 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 07 30 02 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 K はこの絶対値による位相で完備とする。 E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間(過去スレ006の583)とする。 F を K 上の位相ベクトル空間とする。 過去スレ006の684 より、E から F への任意の線形写像は連続である。 E が K 上無限次元の場合は、このことは成り立たない。 Schwartz の解析学教程から例を挙げる。 R を実数体とし、E を実係数多項式全体とする。 u ∈ E のとき |u| = sup {|u(x)|; 0 ≦ x ≦ 1 } と定義する。 | | により E は R 上のノルム空間(過去スレ006の561)になる。 f E → R を f(u) = u(3) で定義する。 f は R-線形写像である。 E の点列 (u_n) を u_n(x) = (x/2)^n で定める。 |u_n| = (1/2)^n だから lim u_n = 0 である。 f(u_n) = (3/2)^n だから lim f(u_n) = +∞ である。 よって f は連続ではない。 3 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 08 21 05 Kummer ◆g2BU0D6YN2 の似顔絵を作ったよ! ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | クマ──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 4 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 09 29 16 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | おはようKummer ーーー!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | つ / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 5 :Kummer ◆qujuPhyHAI :2007/08/24(金) 12 13 40 6 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 12 44 37 解析には、-∞, +∞ の記号が頻繁に現れる。 これを合理化しよう。 7 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 12 48 47 定義 R~ を実数体 R に -∞, +∞ で表わさられる2点を追加した集合とする。 任意の a ∈ R に対して a < +∞, -∞ < a, -∞ < +∞ と定義 することにより、R~ は全順序集合になる。 R~ には、任意の a ∈ R, b ∈ R に対して (a, b), (a, +∞], [-∞, b) の形の区間で生成される位相を入れる。 このように定義された順序構造と位相をもった集合 R~ を 補完数直線と言う。 8 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 13 24 35 命題 R の任意の閉区間 I = [a, b] は連結である。 証明 I が連結でないとする。 R の開集合 U と V があり、 I ⊂ U ∪ V I ∩ U と I ∩ V は空集合でない。 I ∩ U ∩ V は空集合である。 x ∈ I ∩ U y ∈ I ∩ V をとる。 x < y と仮定してよい。 x_0 = sup (I ∩ U) ∩ (-∞, y) とおく。 I ∩ U = I - V だから I ∩ U は R の閉集合である。 よって x_0 ∈ I ∩ U である。 x_0 ≦ y であるが x_0 ≠ y だから x_0 < y である。 よって x_0 < z < y となる z ∈ I ∩ U がある。 しかし、x_0 = sup (I ∩ U) ∩ (-∞, y) だから z ≦ x_0 である。 これは矛盾である。 証明終 9 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 13 52 36 命題 R の空でない部分集合 A が区間であるためには、A の任意の2元 a, b, a < b に対して [a, b] ⊂ A となることが必要十分である。 証明 必要なことは明らか。 逆にこの条件が満たされたとする。 A が上にも下にも有界でないとする。 R の任意の元 x に対して a < x < b となる A の元 a, b がある。 仮定から [a, b] ⊂ A だから x ∈ A である。 よって R = A である。 A が上に有界で、下にも有界でないとする c = sup A とおく。 x < c のとき a < x < b ≦ c となる a, b ∈ A がある。 仮定から [a, b] ⊂ A だから x ∈ A である。 よって A = (-∞, c) または A = (-∞, c] である。 他の場合も同様である。 証明終 10 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 14 07 22 命題 R の任意の区間は連結である。 証明 I を R の区間で、一点のみではないとする。 x ∈ I とすると、x < y または y < x となる y ∈ I がある。 x < y と仮定する。 9 より [x, y] ⊂ I である。 8 より [x, y] は連結である。 即ち、I の任意の2点は I の連結部分集合に含まれる。 即ち、I はその任意の点の連結成分になる。 よって I は連結である。 証明終 11 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 14 10 01 >I を R の区間で、一点のみではないとする。 x ∈ I とすると、x < y または y < x となる y ∈ I がある。 このところのx, yははじめから任意にIの中からとっているという ことを書いておくべきでしょう。 12 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 14 19 02 11 有難うございます。 10 は以下のように修正します。 命題 R の任意の区間は連結である。 証明 I を R の区間で、一点のみではないとする。 x, y を I の任意の異なる2点とする。 x < y と仮定する。 9 より [x, y] ⊂ I である。 8 より [x, y] は連結である。 即ち、I の任意の2点は I の連結部分集合に含まれる。 即ち、I はその任意の点の連結成分になる。 よって I は連結である。 証明終 13 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 14 30 43 命題 R の部分集合 A が連結であるためには A が区間であることが 必要十分である。 証明 十分なことは 12 で証明されている。 逆に A が連結であるとする。 A が一点なら区間である。 A が一点でないなら、A の元 a, b で a < b となるものがある。 9 より [a, b] ⊂ A を示せばよい。 [a, b] ⊂ A でないとする。 a < x < b となる x で A に含まれないものがある。 A ⊂ R - {x} だから A = A ∩ (R - {x}) R - {x} = (-∞, x) ∪ (x, +∞) だから A = (A ∩ (-∞, x)) ∪ (A ∩ (x, +∞)) a ∈ A ∩ (-∞, x) b ∈ A ∩ (x, +∞) だから A は空でない A の開集合の直和となる。 よって、A は連結でない。 証明終 14 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 14 46 58 命題 R の空でない開集合は高々可算個の互いに交わらない開区間の合併である。 証明 U を R の空でない開集合とする。 I を U の連結成分とする。 x ∈ I なら、x ∈ U だから a < x < b で (a, b) ⊂ U となる a, b ∈ R がある。 12 より (a, b) は連結である。 よって、(a, b) ⊂ I である。 即ち、I は R の開集合である。 I は連結だから 13 より開区間である。 Φ を U の連結成分全体の集合とする。 I ∈ Φ のとき I はある有理数 r を含む f(I) = r として(厳密には選択公理を使って)、 写像 f Φ → Q を定義する。 f は単射だから Φ は高々可算である。 証明終 15 :γ◇Homotopy:2007/08/24(金) 14 54 18 14 I ∈ Φ のとき I はある有理数 r を含む f(I) = r として(厳密には選択公理を使って)、 とありますが、選択公理は必要ないのではないですか? なぜなら、有理数の全体 Q は、選択公理なしでも整列できるからです。 (N×N から Q の上への写像があるからです。) そこで、Q の整列順序 R を一つ固定して、 各 I ∈ Φ に対し、f(I) ∈ I を、順序 R に関する I の 最小元と置けばよいのです。 16 :γ◇Homotopy:2007/08/24(金) 14 58 21 15 訂正: × 順序 R に関する I の最小元 ○ 順序 R に関する I∩Q の最小元 17 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 14 59 54 15 なるほど、そうですね。 有難うございます。 18 :Kummer ◆yDkzOiyyOw :2007/08/24(金) 15 39 31 糞スレだと思って開いてしまった奴はどれが良いか答えろ A)マジレスすると戸田恵梨香にねっとりとディープキスされながら玉を揉まれつつ、 新垣結衣に優しく乳首を吸われながら激しく手コキされて射精したい。 B)マジレスするとマジックミラー越しに夏帆に見られながら、 リアディゾンに極太ディルドを突っ込みながらバックからアナルを犯して射精したい。 C)マジレスするとに相武紗季に前立腺マッサージをされてチンポが敏感になった状態で、 井上真央に言葉攻めされながら足コキされて射精したい。 D)マジレスすると額にバイブを取り付けられた状態で、榮倉奈々に眼前で バイブオナニーされながら酒井若菜にローションパイズリされて射精したい。 E)マジレスすると長澤まさみと沢尻エリカに「あたしの方が気持ちいいでしょ?」 と言われながら交互にフェラされてどっちがいいか決めかねたまま射精したい。 F)マジレスするとマナとカナと3人で舌を絡めながら仁王立ちした状態で 脱ぎたてパンティでチンポを包まれながらW手コキされて射精したい。 19 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 16 06 57 補題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型とする。 a, b, a < b を I の2点とする。 f(a) < f(b) なら a < x < b のとき f(a) < f(x) < f(b) である。 f(a) > f(b) なら a < x < b のとき f(a) > f(x) > f(b) である。 証明 a, b, a < b を I の2点とする。 f(a) < f(b) の場合のみ証明すればよい。 c を a < c < b となる任意の実数とする。 f(a) < f(c) < f(b) であることを示す。 f(a) < f(b) < f(c) とする。 12 より [a, c] は連結だから f([a, c]) も連結である。 13 より f([a, c]) は区間である。 よって f(b) ∈ f([a, c]) である。 即ち x ∈ [a, c] で f(x) = f(b) となるものがある。 x ≠ b だから、これは f が単射であることに矛盾する。 f(c) < f(a) < f(b) としても同様に矛盾となる。 証明終 20 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 16 17 34 補題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型とする。 a, b, a < b を I の2点とする。 f(a) < f(b) とする。 a < x < b なら f(a) < f(x) < f(b) b < x なら、f(b) < f(x) である。 x < a なら f(x) < f(a) である。 証明 a < x < b なら 19 より f(a) < f(x) < f(b) b < x なら、まず f(a) < f(x) である。 何故なら f(a) > f(x) なら 19 より f(a) > f(b) > f(x) となって矛盾だから。 よって 再び 19 から f(a) < f(b) < f(x) となる。 同様に x < a なら f(x) < f(a) である。 証明終 21 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 16 41 46 命題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型なら f は狭義単調である。 証明 a, b, a < b を I の2点とし、f(a) < f(b) とする。 x < y を I の2点とする。 1) a < x < b のとき。 a < x < y < b なら 19 より f(a) < f(x) < f(b) よって再び 19 より f(x) < f(y) < f(b) b < y なら、 20 より f(b) < f(y) よって f(x) < f(y) 2) b < x のとき。 b < y だから 20 より f(b) < f(y) よって 19 より f(b) < f(x) < f(y) 3) x < y < a のとき 20 より f(x) < f(a) よって 19 より f(x) < f(y) < f(a) 4) x < a < y < b のとき。 20 より f(x) < f(a), 19 より f(a) < f(y) よって f(x) < f(y) 5) x < a < b < y のとき。 20 より f(x) < f(a), f(b) < f(y) よって f(x) < f(y) 証明終 22 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 17 19 41 Kummer さま、こんにちは。 19, 20, 21 の証明を見ると、 f I → f(I) に関する条件は、「連続な単射」 で充分ですね? もちろん I が有界閉区間のときは、コンパクトになるから、 f は位相同型になってしまいますが。 おそらくは、 22 以降に書かれるかもしれません。 邪魔してしまってスミマセン m(_ _)m 23 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 17 30 48 22 f I → f(I) に関する条件は、「連続な単射」 で充分ですね? おっしゃる通りです。 24 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 17 31 44 連続な単射ですから、練炭と名づけましょう。 25 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 17 32 43 22 邪魔してしまってスミマセン m(_ _)m とんでもないです。 内容に関する質問、ご意見は歓迎です。 26 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 17 42 55 補題 f を R の閉区間 [a, b] から R への連続かつ狭義単調な写像とする。 f([a, b]) = [f(a), f(b)] である。 証明 a ≦ x ≦ b なら f(a) ≦ f(x) ≦ f(b) だから f([a, b]) ⊂ [f(a), f(b)] である。 8 より [a, b] は連結である。 f は連続だから f([a, b]) は連結である。 13 より f([a, b]) は区間である。 f(a) ∈ f([a, b]), f(b) ∈ f([a, b]) であり、 f(a) < f(b) だから 9 より [f(a), f(b)] ⊂ f([a, b]) である。 以上から、f([a, b]) = [f(a), f(b)] である。 証明終 27 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 17 55 09 補題 f を R の一点でない区間 I から R への連続で狭義単調な写像とする。 a < b を I の2点とする。 f((a, b)) = (f(a), f(b)) である。 証明 a < x < b なら f(a) < f(x) < f(b) だから f((a, b)) ⊂ (f(a), f(b)) である。 f(a) < s < f(b) とする。 f は a と b でそれぞれ連続だから a < x < y < b となる x, y で f(x) < s < f(y) となるものがある。 26 より f([x, y]) = [f(x), f(y)] だから s ∈ f([x, y]) ⊂ f((a, b)) である。 よって (f(a), f(b)) ⊂ f((a, b)) である。 証明終 28 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 18 18 43 命題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型であるためには f は連続で狭義単調であることが 必要十分である。 証明 必要性は 21 で証明されている。 f は連続で狭義単調であるとする。 27 より f は開写像である。 よって f は I から f(I) への位相同型である。 証明終 29 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 18 53 49 命題 R の空でない開区間は R と位相同型である。 証明 I を有界開区間 (a, b) とする。 f(x) = -(1/(x - a) + 1/(x - b)) とおく。 1/(x - a) と 1/(x - b) は I で狭義単調減少である。 よって、f(x) は I で狭義単調増加である。 x → a + 0 のとき 1/(x - a) → +∞, 1/(x - b) → 1/(a - b) x → b - 0 のとき 1/(x - b) → -∞, 1/(x - a) → 1/(b - a) よって x → a + 0 のとき f(x) → -∞ x → b - 0 のとき f(x) → +∞ よって f(I) = R である。 28 より f は位相同型である。 f の逆写像を g とする。 g R → I である。 R の区間非有界開区間 J に対して g(J) は I に含まれる開区間である。 g(J) は有界だから、上で示したことから R に位相同型である。 よって J も R に位相同型である。 証明終 30 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 19 18 23 26, 27, 28 では、f を狭義単調と仮定していますが、 19, 20, 21 を踏まえた上で、f は、実は連続な単射(1-1写像) であればよいわけですよね? 一方、 29 では、直接に狭義単調増加関数を定義しています。 29 のほかに、区間 I から R の中への、 1-1 であることのみわかっている連続写像 f に対して、 19 ~ 21 が、本質的に適用できて、 初めて f が狭義単調であることが判明するような例が、あるのでしょうか? 少々細かくて、恐縮ですが。 31 :Kummer ◆yDkzOiyyOw :2007/08/24(金) 19 40 13 )i☆i( ;O;+ ;o+ ;i|*|i、 ;;o;+、 ;;O+; | ゙゙+ ゙゙* ゙゙+ ゙゙゙ + ゙゙*゙゙ +゙゙| ゙!! ゙ ゙ ゙ ゙ ゙ 、!!゙ / \ / i | (●), 、(●) | ! `ー ,,ノ(、_, )ヽ、,,. ノ 丶_ `-=ニ=-. ノ f~~r 、 ‐- ~~"~ ""~~~,,,,{, _,,,,,,_ /,ィ〔/T‐ェ , ~~ ヽ ,. ~ ゙i ~~ t- 7 i ! ! ~ - ., -‐く i , t-l l / l l l ゙i - .,_ `i i゙ f l l l/ ;l ll l ;! ~ ‐-t- l_l l ! / l l l l ゝ ; ゙i / \ l. / 〔,,,l l,,,〕 ゙!~ ~ - 、 〈 .." t---f ゙! ! ./ i i r. ヽ; ヽ 〈 〉.l l. ,! l l ゙t ..、 ~ ‐-- i l---l ゙ ,.=く l l ;; -! ヽ, ヽ  ̄ r " ヽ; ;;l;;;;l. ァ / .r゙;..,,,.ノ ヽ, ゙ , ヾ ;;;;;;; ;; ‐ " i i‐ァ ,!r - ヽ., ,,. t ,,. - "__゙ ‐---‐‐ "__,」 l,,,!l; ヽ; ~ ~ ゙;, ゙ " ゙ ‐----‐ " ゙ ‐---‐ " ゙ ‐---‐ 童帝 [nosex king] (1972~2007) 32 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 20 20 34 27 は次のように修正します。 補題 f を R の一点でない区間 I から R への連続で狭義単調な写像とする。 a < b を I の2点とする。 f が単調増加なら f((a, b)) = (f(a), f(b)) である。 f が単調減少なら f((a, b)) = (f(b), f(a)) である。 証明 f が単調増加の場合のみ証明する。 f が単調減少の場合も同様である。 a < x < b なら f(a) < f(x) < f(b) だから f((a, b)) ⊂ (f(a), f(b)) である。 f(a) < s < f(b) とする。 f は a と b でそれぞれ連続だから a < x < y < b となる x, y で f(x) < s < f(y) となるものがある。 26 より f([x, y]) = [f(x), f(y)] だから s ∈ f([x, y]) ⊂ f((a, b)) である。 よって (f(a), f(b)) ⊂ f((a, b)) である。 証明終 33 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 20 25 27 30 例はあるんでしょうが、今は思いつきません。 34 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 20 28 44 33 ご回答ありがとうございました。 やはり、微妙なところなのですね。 35 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 20 39 18 33 Kummer さん、 前スレの a, b, c, ... とレスして行く奴は Kummer さんですか? 36 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 20 57 53 命題 R の一点でない閉区間 [a, b] は補完数直線 R~ ( 7) と 位相同型である。 証明 29 より位相同型 f (a, b) → R がある。 f は単調増加と仮定してよい。 f の拡張 f~ [a, b] → R~ を f~(a) = -∞, f~(b) = +∞ で 定義する。 任意の M > 0 に対して、f(x) = M となる x ∈ (a, b) がある。 x < y < b なら M < f(y) である。 即ち、x → b - 0 のとき f(x) → +∞ 同様に、x → a + 0 のとき f(x) → -∞ 従って f~ は連続である。 f は 32 より、(a, b) の開区間を R の開区間に写すから f~ は、[a, b] の開区間を R~ の開区間に写す。 従って、f~ は開写像である。 f~ は全単射だから位相同型である。 証明終 37 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 03 16 35 内容に関係ないんで、ノーコメントと言いたいところですが、 例外的にお答えしましょう。 違います。 彼は、容量オーバーを気遣ってるんでしょう。 容量オーバーすると DAT 落ちに失敗する場合があるらしいです。 38 :34:2007/08/24(金) 21 11 07 37 35 は私の質問でないのですが、ありがとうございます。 私も気にはなっていたのです。 これからもがんばってください。 39 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 14 43 38 どういたしまして。 有難うございます。 40 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 24 30 命題 R から R への写像 f を f(x) = -x で定義する。 f の補完数直線 R~ ( 7) への拡張 f~ R~ → R~ を f~(+∞) = -∞ f~(-∞) = +∞ で定義すると f~ は R~ の位相同型である。 証明 f は位相同型である。 x → +∞ のとき -x → -∞ x → -∞ のとき -x → +∞ であるから f~ は連続である。 明らかに f~ は全単射である。 (f~)^2 = 1 であるから f~ の逆写像は f~ である。 よって f~ は位相同型である。 証明終 41 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 28 19 40 の結果を踏まえて、-(+∞) = -∞, -(-∞) = +∞ とする。 42 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 48 06 命題 R×R から R への写像 f を f(x, y) = x + y で定義する。 A = (-∞, +∞] B = [-∞, +∞) とおく。 f の拡張 g A×A → A を x ∈ R のとき g(x, +∞) = +∞ g(+∞, x) = +∞ で定義する。 f の拡張 h B×B → B を x ∈ R のとき h(x, -∞) = -∞ h(-∞, x) = -∞ で定義する。 g と h はともに連続である。 証明 a ∈ R のとき (x, y) → (a, +∞) なら x + y → +∞ である。 よって g は (a, +∞) ∈ A×A において連続である。 同様に、g は (+∞, a) ∈ A×A において連続である。 よって g は連続である。 同様に h も連続である。 証明終 43 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 21 57 15 学生の頃の数学の成績はどの程度だったのでしょうか 44 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 58 10 42 を次のように修正する。 命題 R×R から R への写像 f を f(x, y) = x + y で定義する。 A = (-∞, +∞] B = [-∞, +∞) とおく。 f の拡張 g A×A → A を g(+∞, +∞) = +∞ x ∈ R のとき g(x, +∞) = +∞ g(+∞, x) = +∞ で定義する。 f の拡張 h B×B → B を h(-∞, -∞) = -∞ x ∈ R のとき h(x, -∞) = -∞ h(-∞, x) = -∞ で定義する。 g と h はともに連続である。 証明 (x, y) → (+∞, +∞) なら x + y → +∞ である。 a ∈ R のとき (x, y) → (a, +∞) なら x + y → +∞ である。 よって g は A×A において連続である。 同様に h も連続である。 証明終 45 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 21 59 50 44 の結果を踏まえて、 (+∞) + (+∞) = +∞ x ∈ R のとき x + (+∞) = +∞ (+∞) + x = +∞ (-∞) + (-∞) = -∞ x ∈ R のとき x + (-∞) = -∞ (-∞) + x = -∞ と定義する。 46 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 22 10 58 命題 補完数直線 R~ ( 7) に対して (R~)^* = R~ - {0} と書く。 関数 xy は公式 (+∞)(+∞) = +∞ (-∞)(-∞) = +∞ x ∈ R で x > 0 のとき x(+∞) = (+∞)x = +∞ x(-∞) = (-∞)x = -∞ x ∈ R で x < 0 のとき x(+∞) = (+∞)x = -∞ x(-∞) = (-∞)x = +∞ に従って (R~)^* × (R~)^* へ連続延長される。 証明 44 と同様なので省略する(読者に任す)。 47 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/24(金) 22 36 43 定義 X を集合とする。 X×X から [0, +∞] ⊂ R~ への写像 f で次の条件を満たすものを X 上の擬距離と言う。 1) 任意の x ∈ X に対して f(x, x) = 0 2) 任意の x, y ∈ X に対して f(x, y) = f(y, x) 3) 任意の x, y, z ∈ X に対して f(x, y) ≦ f(x, z) + f(z, y) 48 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 23 17 40 ここは Kummer ◆g2BU0D6YN2 の成長を見守るスレですか? 49 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 23 41 45 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | おやすみKummer ーーー!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | つ / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 50 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 23 49 24 ぼくはくま Kummer Kummer Kummer けんかはやだよ Kummer Kummer Kummer ∩___∩ ∩___∩ |ノ ヽ |ノ ヽ / (゚) (゚) | / (゚) (゚) | | ( _●_) ミ | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、` ̄ ̄ヽ /彡、 |∪| ミ / __ ヽノ Y ̄) | ( (/ ヽノ_ | (___) Y_ノ ヽ/ (___ノ \ | | / | /\ \ / /\ | | / ) ) ( ( ヽ | ∪ ( \ / ) ∪ \_) (_/ ∩___∩ (ヽ | ノ ヽ /) (((i ) / (゜) (゜) | ( i))) ライバルは /∠彡 ( _●_) |_ゝ \ ( ___、 |∪| ,__ ) | ヽノ /´ | / ,.、,、,..,、、.,、,、、..,_ /i ; `;、、 、. . 、 , ,. `゙ . ゙ ` , .´ -‐i 、; ... , . .、. ,. . _;.;;..; ..‐ 51 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 23 55 10 荒らすな!!ばか! 52 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 00 00 21 ぼくはくま Kummer Kummer Kummer けんかはやだよ Kummer Kummer Kummer ∩___∩ ∩___∩ |ノ ヽ |ノ ヽ / (゚) (゚) | / (゚) (゚) | | ( _●_) ミ | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、` ̄ ̄ヽ /彡、 |∪| ミ / __ ヽノ Y ̄) | ( (/ ヽノ_ | (___) Y_ノ ヽ/ (___ノ \ ⊂ | | つ / | /\ \ / /\ | | / ) ) ( ( ヽ | ∪ ( \ / ) ∪ \_) (_/ ∩___∩ (ヽ | ノ ヽ /) (((i ) / (゜) (゜) | ( i))) ライバルは /∠彡 ( _●_) |_ゝ \ ( ___、 |∪| ,__ ) | ヽノ /´ | / ∩ ,.、,、,..,、、.,、,、、..,_ /i ; `;、、 、. . 、 , ,. `゙ . ゙ ` , .´ -‐i 、; ... , . .、. ,. . _;.;;..; ..‐ 53 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 00 11 28 18 マジレスすると C 54 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 09 29 29 47 の不等式を三角不等式と言う。 この三角不等式こそ解析の基礎である。 55 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 09 33 58 擬距離の例 1) 距離空間の距離は擬距離である。 2) X を集合とする。 任意の x に対して f(x, x) = 0, x ≠ y なら f(x, y) = +∞ と定義すると、 f は X 上の擬距離である。 45 より 0 + (+∞) = +∞ (+∞) + (+∞) = +∞ だから f は三角不等式を満たす。 3) 集合 X 上で定義された任意の有限実数値関数 g に対して f(x, y) = |g(x) - g(y)| と定義すると、f は X 上の擬距離である。 56 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 09 38 12 54 解析は不等式、代数は等式を主に扱うと言ってもあながち間違い ではないだろう。 57 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 09 46 55 f を集合 X 上の擬距離とする。 実数 a > 0 に対して U_a = { (x, y) ∈ X×X ; f(x, y) < a} とおく。 U_a 全体は X 上の一様構造の基本近縁系になる。 過去スレ006の196の 1) V ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V 2) V, V ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V ∩ V となる W ∈ Φ_0 がある。 3) V ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Φ_0 がある。 4) V ∈ Φ_0 のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ_0 がある。 を確認すればよい。 例えば 4) は、 三角不等式より任意の実数 a > 0 に対して (U_a)(U_a) ≦ U_2a となることから分かる。 1), 2), 3) も容易である。 58 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 09 47 01 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | おはようKummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 59 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 09 52 25 定義 f を集合 X 上の擬距離とする。 実数 a > 0 に対して U_a = { (x, y) ∈ X×X ; f(x, y) < a} とおく。 57 より U_a 全体は X 上の一様構造の基本近縁系(過去スレ006の195) になる。 この一様構造を f により定義された一様構造と言う。 X 上の二つの距離が同じ一様構造を定義するとき、これ等の擬距離は 同値であると言う。 60 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 10 03 56 X 上に二つの擬距離 f, g があるとする。 Φ(f), Φ(g) をそれぞれ f, g により定義された一様構造とする。 Φ(f) ⊂ Φ(g) であるためには 任意の実数 a > 0 に対して、実数 b > 0 が存在して g(x, y) < b なら f(x, y) < a となることが必要十分である。 61 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 12 11 51 命題 区間 [0, +∞] から [0, +∞] への写像 ψ が次の条件を満たすとする。 1) ψ(0) = 0 2) ψ は単調増加である。 3) ψ は 0 の近傍で連続かつ狭義単調増加である。 4) 任意の x , y ∈ [0, +∞] に対して ψ(x + y) ≦ ψ(x) + ψ(y) このとき、集合 X 上の任意の擬距離 f に対して g = ψf は f と同値な擬距離である。 証明 g が擬距離であることは明らかである。 ψ は 0 で連続だから 任意の実数 a > 0 に対して、実数 b > 0 が存在して 0 ≦ x < b なら ψ(x) < a となる。 よって、任意の実数 a > 0 に対して、実数 b > 0 が存在して f(x, y) < b なら g(x, y) < a となる。 ψ は 0 の近傍で連続かつ狭義単調増加だから 28 より ψ は 0 の近傍で位相同型である。 よって、0 の近傍で ψ の逆関数 φ が存在し 連続かつ狭義単調増加である。 よって、g(x, y) が十分小さければ、f(x, y) = φg(x, y) よって、任意の実数 a > 0 に対して、実数 b > 0 が存在して g(x, y) < b なら f(x, y) < a となる。 60 より f と g は同値な擬距離である。 証明終 62 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 12 17 58 例えば、√x, log(1 + x), x/(1 + x), inf(x, 1) は 61 の条件を 満たしている。 x/(1 + x) と inf(x, 1) は [0, +∞] で有界だから 任意の擬距離と同値な有限かつ有界な擬距離が存在する。 63 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 12 38 19 定義 (f_λ), λ ∈ L を集合 X 上の擬距離の族とする。 各 f_λ で定義された一様構造( 59)の上限(過去スレ006の220)を 族 (f_λ) によって定義された一様構造と言う。 X 上の二つの擬距離の族が同じ一様構造を定義するとき、これ等の族は 同値であると言う。 64 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 12 57 45 命題 f を集合 X 上の擬距離とする。 f で定義された一様構造( 59)が分離的、すなわちその一様構造が定める 位相空間がハウスドルフ空間であるためには、 f(x, y) = 0 となるのが x = y の場合に限ることが必要十分である。 この条件は f が X 上の距離であるということと同じである。 証明 読者に任せる。 65 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 13 06 35 補題 f を集合 X 上の有限擬距離、即ち +∞ を取らない擬距離とする。 x, y, z を X の任意の3点とすると、 |f(x, z) - f(y, z)| ≦ f(x, y) 証明 f(x, z) ≦ f(x, y) + f(y, z) よって f(x, z) - f(y, z) ≦ f(x, y) f(y, z) ≦ f(y, x) + f(x, z) よって f(y, z) - f(x, z) ≦ f(x, y) よって |f(x, z) - f(y, z)| ≦ f(x, y) 証明終 66 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 13 14 39 命題 f を集合 X 上の有限擬距離とする。 X×X に X の f による一様構造の積一様構造(過去スレ006の230)を 入れる。 f X×X → [0, +∞) は一様連続である。 証明 65 より、 X の任意の4元 x, y, a, b に対して、 |f(x, y) - f(a, b)| ≦ |f(x, y) - f(a, y)| + |f(a, y) - f(a, b)| ≦ f(x, a) + f(y, b) 従って、任意の ε > 0 に対して、f(x, a) < ε, f(y, b) < ε なら |f(x, y) - f(a, b)| < 2ε となる。 証明終 67 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 13 51 09 命題 f を集合 X 上の距離とする。 f は擬距離だから X に一様構造を定義する。 f は距離だから 64 より X はこの一様構造で分離一様空間になる。 分離一様空間 X の完備化(過去スレ006の293)を X^ とする。 f は連続写像 f^ X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 f^ は X^ の距離であり、X^ の一様構造はこの距離により定義される 一様構造と一致する。 証明 66 より f は X×X で一様連続だから 一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より、 f は一様連続写像 f^ X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 不等式延長の原理(過去スレ006の473)より、f^ は X^ の擬距離になる。 X の完備化としての X^ の一様構造を Φとし、 f^ により定義される X^ の一様構造を Ψ とする。 f^ X^×X^ → [0, +∞) は Φ の積 Φ×Φ で一様連続だから 任意の ε > 0 に対して Φ の近縁 V があり、 (x, x ) ∈ V, (y, y ) ∈ V なら |f(x, y) - f(x , y )| < ε となる。 特に (x, y) ∈ V なら |f(x, y) - f(x, x)| < ε となる。 f(x, x) = 0 だから |f(x, y)| < ε となる。 これは Ψ ⊂ Φ を意味する。 他方、Φ と Ψ は X で同じ一様構造を導入する。 さらに、X は Φ で完備である。 過去スレ006の474より Φ = Ψ である。 X^ はハウスドルフ空間だから 64 より f~ は距離である。 証明終 68 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 14 01 17 命題 (f_λ), λ ∈ L を集合 X 上の有限擬距離の族とする。 族 (f_λ) によって定義された X の一様構造は分離的であるとする。 分離一様空間 X の完備化(過去スレ006の293)を X^ とする。 各 f_λ は連続写像 (f_λ)^ X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 (f_λ)^ は X^ の擬距離であり、X^ の一様構造は 族 ((f_λ)^) により定義される一様構造と一致する。 証明 67 の証明と同様である。 69 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 14 43 23 補題 X を一様空間とする。 X の近縁の列 (U_n), n ≧ 1 で任意の整数 n ≧ 1 に対して (U_(n+1))^3 ⊂ U_n となるものがあるとする。 写像 g X×X → [0, +∞) を次のように定義する。 すべての n に対して (x, y) ∈ U_n なら g(x, y) = 0 (x, y) ∈ U_n で (x, y) ∈ X×X - U_(n+1) なら g(x, y) = 1/2^n (x, y) ∈ X×X - U_1 なら g(x, y) = 1 x, y を X の任意の2点とする。 z_0 = x, z_p = y を満たすすべての有限列 z_0, . . . , z_p に対して、 Σg(z_i, z_(i+1)) ≧ (1/2)g(x, y) となる。 左辺の和は i = 0 から i = p - 1 に関するものである。 証明 p に関する帰納法による。 p = 1 のときは明らかである。 a = Σg(z_i, z_(i+1)) とおく。 和は i = 0 から i = p - 1 に関するものである。 g(x, y) ≦ 1 だから a ≧ 1/2 のときは Σg(z_i, z_(i+1)) ≧ (1/2)g(x, y) である。 よって a < 1/2 と仮定する。 g(z_0, z_1) + . . . + g(z_(q-1), q) ≦ a/2 となる q の最大値を h とする。 g(z_0, z_1) + . . . + g(z_h, z_(h + 1)) > a/2 となる。 従って g(z_(h + 1), z_(h + 2)) + . . . + g(z_(p-1), z_p) ≦ a/2 となる (続く) 70 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/25(土) 14 44 04 69 の続き。 帰納法の仮定より、 (1/2)g(x, z_h) ≦ g(z_0, z_1) + . . . + g(z_(h-1), h) ≦ a/2 よって g(x, z_h) ≦ a (1/2)g(z_(h + 1), y) ≦ g(z_(h + 1), z_(h + 2)) + . . . + g(z_(p-1), z_p) ≦ a/2 よって g(z_(h + 1), y) ≦ a g(z_h, z_(h + 1)) ≦ a 1/2^k ≦ a となる最小の整数 > 0 を k とすれば、 k ≧ 2 で、 (x, z_h) ∈ U_k (z_h, z_(h + 1)) ∈ U_k (z_(h + 1), y) ∈ U_k よって (x, y) ∈ (U_k)^3 ⊂ U_(k-1) よって g(x, y) ≦ 1/2^(k-1) ≦ 2a 証明終 タグ: コメント
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 20時57分40秒 代数的整数論 004 (96-195) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/96-195 ログ元: http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/96-195 96 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 15 18 28 ] 次の補題は周知だが後で必要になるので証明しておく。 97 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 15 20 25 ] 補題(多項式のTaylor展開) A を標数 0 の整域、つまり有理整数環 Z と同型な部分環をもつ 整域とする。 f(X) ∈ A[X] を次数 n ≧ 1 の A 係数の多項式とする。 a を A の任意の元とする。 このとき f(X + a) = f(a) + f (a)X + (f (a)/2)(X^2) + ... (f^(n)(a)/n!)(X^n) ここで f^(k)(a) は f(X) の k 次の導多項式 f^(k)(X) の X = a での値である。 各 f^(k)(a)/k! は A の元である。つまり f^(k)(a) は k! で割れる。 証明 f(X + a) = c_0 + c_1X + c_2(X^2) + ... c_n(X^n) とおく。ここで、c_0, ..., c_n は A の適当な元。 X = 0 を代入すると、 f(a) = c_0 となる。 f (X + a) = c_1 + 2c_2X + ... nc_n(X^(n-1)) である。 X = 0 を代入すると、 f (a) = c_1 となる。 f (X + a) = 2c_2 + ... n(n-1)c_n(X^(n-2)) である。 X = 0 を代入すると、 f (a) = 2c_2 となる。 A において 2 ≠ 0 で、A は整域だから c_2 は一意に決まり、 c_2 = f (a)/2 である。 このように順次 c_k を決めていけばよい(正式には帰納法による)。 証明終 98 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 20 39 27 ] 補題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 ある有理整数 n ≧ 1 に対して合同方程式 f(X) ≡ 0 (mod p^n) が根 a を持ち、f (a) が p で割れないなら、 f(X) ≡ 0 (mod p^(n+1)) は b ≡ a (mod p^n) となる根 b を持つ。このような b は mod p^(n+1) で一意に決まる。 証明 f(a) ≡ 0 (mod p^n) だから、f(a) は p^n で割れる。 よって f(a) = (p^n)t となる有理整数 t がある。 97 より x を任意の有理整数とすると、 f(a + (p^n)x) ≡ f(a) + f (a)(p^n)x (mod p^(n+1)) である。 よって f(a + (p^n)x) = f(a) + f (a)(p^n)x + (p^(n+1))r となる有理整数 r がある。 よって f(a + (p^n)x) = (p^n)(t + f (a)x + pr) 仮定より f (a) ≡ 0 (mod p) でないから x に関する一次合同方程式 t + f (a)x ≡ 0 (mod p) は解け、その解 x は mod p で一意に決まる。 b = a + (p^n)x とおけばよい。 証明終 99 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 20 45 39 ] 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 合同方程式 f(X) ≡ 0 (mod p) が根 a を持ち、f (a) が p で割れないなら、 任意の有理整数 n ≧ 1 に対して合同方程式 f(X) ≡ 0 (mod p^n) が b ≡ a (mod p) となる根 b を持つ。 このような b は mod p^n で一意に決まる。 証明 98 を n = 1 から初めて順次適用すればよい。 100 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 21 50 10 ] 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 n ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 m > 1 を有理整数で、m = (p_1)^(k_1)...(p_r)^(k_r) を m の素因数分解とする。 明らかに f(X) ≡ 0 (mod m) の解 c は 各 i で f(X) ≡ 0 (mod (p_i)^(k_i)) の解でもある。 f(X) ≡ 0 (mod m) の解で mod m で合同なものを同一した集合を S とする。よって |S| ≦ m である。 各 i に対し f(X) ≡ 0 (mod (p_i)^(k_i)) の 解で mod (p_i)^(k_i) で合同なものを同一した集合を T_i とする。 f(X) ≡ 0 (mod m) の解 c に f(X) ≡ 0 (mod (p_i)^(k_i)) の解 c を 対応させることにより、S から T_i への写像 φ_i が定まる。 よって S から T = ΠT_i への写像 φ が定まる。 ここで、φ は φ(x) = (φ_1(x), ..., φ_r(x)) で定義される 写像である。 このとき φ は全単射である。 証明 中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。 101 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 21 58 42 ] 訂正 98 補題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 補題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 f(X) の最高次の係数は p で割れないとする。 102 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 22 01 19 ] 訂正 99 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 m ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 f (X) をその導多項式とする。つまり f (X) = df(X)/dx である。 p を有理素数とする。 f(X) の最高次の係数は p で割れないとする。 103 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/28(火) 22 05 55 ] 訂正 100 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 n ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 m > 1 を有理整数で、m = (p_1)^(k_1)...(p_r)^(k_r) を m の素因数分解とする。 命題 f(X) ∈ Z[X] を次数 n ≧ 1 の有理整数係数の多項式とする。 m > 1 を有理整数で、m = (p_1)^(k_1)...(p_r)^(k_r) を m の素因数分解とする。 f(X) の最高次の係数は各 p_i で割れないとする。 この条件は、特に f(X) がモニックなら満たされることに注意しておく。 104 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/29(水) 20 48 31 ] 任意の有理素数 p が与えられたとき、それをノルムとするイデアルは 47 と 49 で与えられている。 では、任意の有理整数 a ≧ 1 が与えられたとき、それをノルムと するイデアルをすべて求めるにはどうしたらよいか? この問題を考えよう。 まずイデアル I に対してそのノルム N(I) は I に含まれることに 注意する。 これは 25 からもわかるし、Z[ω]/I が位数 N(I) の アーベル群であることから、任意の整数 α ∈ Z[ω] に対して N(I)α ∈ I となることからも分かる。 さらに、 71 からも分かる。 したがって、 有理整数 a ≧ 1 をノルムとするイデアル I は aZ[ω] を含むが Z[ω]/aZ[ω] は有限環だから、このような イデアルは有限個である。 a = 1 なら I = Z[ω] だから a > 1 と仮定する。 105 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/11/30(木) 12 33 15 ] 47 49 より 2次体 Q(√m) の判別式を D とする。 p を素数とする。 1) p が D の約数 のとき pZ[ω] = P^2 となる。 2) D が p と素の場合。 (a) D が mod p の平方剰余、 または p = 2 で m ≡ 1 (mod 8) のとき pZ[ω] = PP となる。 P ≠ P である。 (b) D が mod p の平方非剰余 または p = 2 で m ≡ 5 (mod 8) のとき pZ[ω] は素イデアルである。 106 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/01(金) 17 14 17 ] 105 において、 1) の場合、p は Q(√m) において分岐するという。 2) (a)の場合、p は Q(√m) において完全分解するという。 2) (b)の場合、p は Q(√m) において分解しないという。 高木は、初等整数論講義において、完全分解する素数を第1種、 分解しない素数を第2種、 分岐する素数を第3種と呼んでいる。 我々はこの用語を使わないことにする。 分岐という言葉はリーマン面を複素数球面の被覆と見たときの 分岐点から来ている。 なぜリーマン面かというと、代数体と代数関数体の間に強い類似が あるから。 107 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/01(金) 17 48 14 ] 1) p が完全分解する素数で、(p) = PP とする。 N(P) = N(P ) = p である。 p^n をノルムにもつイデアルは (P^i)(P ^j) の形である。 ここで i + j = n である。 よってこのようなイデアルは n + 1 個ある。 2) p が分解しない素数とする。すなわち (p) は素イデアルである。 N((p)) = p^2 だから p^n をノルムにもつイデアルは (p)^i の形である。 ここで 2i = n である。 よって n が偶数のとき、このようなイデアルはただ 1 個である。 n が奇数のとき、このようなイデアルは存在しない。 3) p が分岐する素数で、(p) = P^2 とする。 N(P) = p だから p^n をノルムにもつイデアルは P^n の形である。 よってこのようなイデアルはただ 1 個である。 (高木の初等整数論講義) 108 名前:132人目の素数さん [2006/12/01(金) 21 43 10 ] 106 105 において、 2) (b)の場合、p は Q(√m) において分解しないという。 単なる茶々かもしれないが、英語では"inert"と言った筈。 (とは言っても直訳して"惰性的"、というのもセンスがないか…) 109 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/01(金) 22 56 46 ] 108 inert というのは Cohen の A course in computational algebraic number thery という長い題名の本で初めて知った。 これは英語でもそれほど流通していないのではないかな。 因みにこの本はいいね。今まで類書がほとんどなかったので貴重。 このスレでも参考にするつもり。 ただアルゴリズムの説明がプログラム作成 を前提としているので分かりにくい。 Neukirch の日本語訳の代数的整数論では不分解という言葉を 使っている。 110 名前:132人目の素数さん [2006/12/01(金) 23 01 17 ] 横浜のヤクザ林一家林組は、経営しているカラオケ屋バンガーローハウス中華街店で、 カラオケをしている時に機械を使い脳に電波ではいり、人をもて遊んでいる だれにもばれないとおもってやりたい放題。そして気づかれないように思考盗聴、自殺、突然死、、マインドコントロール、誰かをずっと好きにさせるなど。 痛みやいやがらせや声を聞かせることもできる。 111 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 00 48 00 ] 今度は素数べき p^n をノルムにもつ原始イデアルを求めよう。 1) p が完全分解する素数で、(p) = PP とする。 PP = (p) は原始イデアルではないから、 (P^i)(P ^j) の形のイデアルで原始イデアルであるのは i = 0 または j = 0 の場合のみである。 よって、p^n、n ≧ 1 をノルムにもつイデアルは P^n か P ^n である。 よってこのようなイデアルは2個ある。 2) p が分解しない素数とする。 p^n、n ≧ 1 をノルムにもつイデアルは 2i = n として (p)^i であるが、 これは原始イデアルではない。 3) p が分岐する素数で、(p) = P^2 とする。 p^n をノルムにもつイデアルは P^n の形であるが、 n ≧ 2 のときは P^n ⊂ P^2 ⊂ (p) となり、 P^n は原始イデアルではない。 n = 1 の場合は原始イデアルである。 112 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 01 02 45 ] 有理整数 k ≧ 1 に対してそれをノルムとするイデアルの個数を Φ(k)と書こう。 有理整数 a > 1 を素因数分解して a = Πp^n とする。 ここで p は a の相異なる素因子 を動く。 このときΦ(a) = ΠΦ(p^n) となることは明らかだろう。 107 により各 Φ(p^n) は求まっているから、Φ(a) も求まる。 107 より p が分解しない素数の場合、 p の指数 n が奇数なら、Φ(p^n) = 0 である。 よって Φ(a) = 0 であことに注意しておく。 a をノルムとする各イデアルを素イデアルの積と表す方法も 明らかだろう。 113 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 02 25 45 ] 111 の 1) 即ち p が完全分解する素数で、(p) = PP のとき 任意の有理整数 n ≧ 1 に対して P^n が原始イデアルであることを 示そう。 P^n が原始イデアルでないとすると 、P^n ⊂ (q) となる素数 q がある。 よって N(P^n) = p^n は q で割れる。よって p = q である。 よって P^n ⊂ (p) = PP となり、P^n ⊂ P である。 P は素イデアルだから P ⊂ P したがって P = P となり、 P ≠ P に矛盾する。 114 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 09 42 57 ] 補題 2次体 Q(√m) において P と L が素イデアルで P^r と L^s が 原始イデアルとする。ここで r, s ≧ 1 である。 N(P) と N(L) が素なら (P^r)(L^s) も原始イデアルである。 証明 (P^r)(L^s) が原始イデアルでないとすると 、(P^r)(L^s) ⊂ (q) となる 素数 q がある。 N(P) と N(L) が素だから (q) の素イデアル分解を考えることにより P^r ⊂ (q) または L^s ⊂ (q) となることがわかる。 これは矛盾である。 証明終 115 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 10 05 42 ] 有理整数 k ≧ 1 に対してそれをノルムとする原始イデアルの個数を Ψ(k)と書こう。 有理整数 a > 1 を素因数分解して a = Πp^n とする。 ここで p は a の相異なる素因子 を動く。 このとき 111 と 114 より Ψ(a) = ΠΨ(p^n) となる。 111( 113 も参照) により各 Ψ(p^n) は求まっているから Ψ(a) も求まる。 a をノルムとする各原始イデアルを素イデアルの積と表す方法も 明らかだろう。 116 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 10 40 10 ] 112 により与えられた有理整数 a > 1 をノルムとする各イデアルを 素イデアルの積という形で求めることが出来た。 このイデアルの標準基底を求めることを考えよう。 任意のイデアルは有理整数と原始イデアルの積である( 18)。 a = N(I) として、 I = cJ とする。ここで c は有理整数 c ≧ 1 で J は原始イデアルである。 このとき a = (c^2)N(J) となる。 従って a をノルムとするイデアルの標準基底を求めるには、 a を任意の平方数 c^2 で割り、a = (c^2)k としたとき、 k をノルムとする原始イデアルの標準基底を求めればよい。 よって、問題は原始イデアルの場合に帰着する。 さらに、この問題は 111 と 114 より以下の二つの問題に帰着する。 1) I と J が原始イデアルで、N(I) と N(J) が素とする。 それぞれその標準基底から IJ の標準基底を求めよ。 2) p が完全分解する素数( 106)で p = PP とする。 n を任意の有理整数としたとき、P の標準基底から P^n の標準基底を求めよ。 117 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 11 03 16 ] 訂正 116 2) p が完全分解する素数( 106)で p = PP とする。 n を任意の有理整数としたとき、P の標準基底から P^n の標準基底を求めよ。 2) p が完全分解する素数( 106)で p = PP とする。 n ≧ 1 を任意の有理整数としたとき、P の標準基底から P^n の標準基底を求めよ。 118 名前:132人目の素数さん [2006/12/02(土) 12 04 29 ] 109 inert というのは(中略) 英語でもそれほど流通していないのではないかな。 そうでもない。例えば "Algebraic Number Theory" Frohlich、Taylor "Algebraic Numbers and Algebraic Functions" P. M. Cohn "An Introductions to Rings and Modules" Berrick, Keating ま、名前より内容の方が大事なんだけどね。 Cohen の A course in computational algebraic number thery (中略)はいいね。 確か、続編もあった筈。 似たような本としてPohst, Zassenhausというのがあったような。 119 名前:132人目の素数さん [2006/12/02(土) 12 36 02 ] 恐れ入りました 120 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 13 24 29 ] 118 確か、続編もあった筈。 似たような本としてPohst, Zassenhausというのがあったような。 続編も持ってる。 これは相対代数体を扱ってる。 類体の構成もやってるんで面白そう。 まだ読んでないが。 しかしCohenは円分体の類数計算を扱ってないのが不思議。 Pohst, ZassenhausはCohenの前に出たもの。 Cohenと重なる部分が多そうなんで持ってない。 121 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/02(土) 14 41 27 ] 命題(高木の初等整数論講義) I = [a, r + ω] と J = [b, s + ω] を原始イデアルの標準基底での 表示とする。 a と b が素なら IJ = [ab, t + ω] である。 ここで t は連立合同方程式 t ≡ r (mod a) t ≡ s (mod b) の解である。 証明 34 より I = [a, t + ω] J = [b, t + ω] N(t + ω) ∈ I だから N(t + ω) は a で割れる。 N(t + ω) ∈ J だから N(t + ω) は b で割れる。 a と b は素だから N(t + ω) は ab で割れる。 よって 19 より [ab, t + ω] はイデアルである。 81 より [ab, t + ω] = [a, t + ω][b, t + ω] である。 証明終 122 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/02(土) 14 44 01 ] 1 123 名前:132人目の素数さん [2006/12/02(土) 15 36 22 ] さすが高木というかこのあたりを書いた本は非常に少ないのでは ないかな。こちらもそんなに多く読んだわけではないので はっきりは分からないが。 一般的に、構成的な方法で代数的整数論を展開するのは現代では まれだよね。近現代ではと言ったほうがいいかな。 最近では構成的な方法はコンピュータや暗号との関係で見直されている。 歴史は繰り返すってやつだね。 昔の数学は構成的なのが多かった。 例えば、消去法なんてのもそうだし。 前に触れた不変式論もそう。 これ等は最近(といっても20、30年ほど前からだが) 見直されてきている。 124 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 10 40 03 ] 補題 2次体 Q(√m) において p が完全分解( 106)する奇素数で p = PP とする。 P = [p, b + ω] とする。 n ≧ 1 を任意の有理整数としたとき、 P^n = [p^n, r + ω] となる。 ここで r ≡ b (mod p) であり、さらに m ≡ 1 (mod 4) なら (2r + 1)^2 ≡ m (mod p^n) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら r^2 ≡ m (mod p^n) 証明 113 より P^n は原始イデアルである。 N(P^n) = p^n だから 適当な r により P^n = [p^n, r + ω] と書ける。 r + ω ∈ [p, b + ω] だから r - b = r + ω - (b + ω) ∈ [p, b + ω] となり、 r ≡ b (mod p) である。 残りは 37 の証明と同様である。 証明終 125 名前:132人目の素数さん [2006/12/03(日) 13 04 04 ] 補題 2次体 Q(√m) において 2 が完全分解( 106)し 2 = PP とする。 このとき m ≡ 1 (mod 8) である( 49)。 P = [2, b + ω] とする。ここで b = 0 または 1 である。 n ≧ 1 を任意の有理整数としたとき、 P^n = [2^n, r + ω] となる。 ここで r ≡ b (mod 2) であり、さらに (2r + 1)^2 ≡ m (mod 2^(n+2)) である。 証明 113 より P^n は原始イデアルである。 N(P^n) = 2^n だから 適当な r により P^n = [2^n, r + ω] と書ける。 r + ω ∈ [2, b + ω] だから r - b = r + ω - (b + ω) ∈ [2, b + ω] となり、 r ≡ b (mod 2) である。 m ≡ 1 (mod 8) だから N(r + ω) = N(r + (1 + √m))/2) = N((2r + 1 + √m)/2) = ((2r + 1)^2 - m)/4 よって ((2r + 1)^2 - m)/4 ≡ 0 (mod 2^n) よって (2r + 1)^2 ≡ m (mod 2^(n + 2) となる。 証明終 126 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 13 09 00 ] 124 の r は 98 を n = 1 から初めて順次適用すれば求まる。 127 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 13 33 44 ] 補題 a を有理整数で a ≡ 1 (mod 8) とする。 n ≧ 3 とし x^2 ≡ a (mod 2^n) の根の一つを b とする。 このとき b + 2^n または b + 2^(n-1) のどちらか一方は x^2 ≡ 1 (mod 2^(n+1) の根である。 証明 b^2 = a + (2^n)t とする。 (b + 2^n)^2 = b^2 + 2^(n+1)b + 2^(2n) = a + (2^n)t + 2^(n+1)b + 2^(2n) ≡ a + (2^n)t (mod 2^(n+1)) よって t が偶数なら b + 2^n が x^2 ≡ 1 (mod 2^(n+1)) の根である。 次に t が奇数の場合を考える。 n ≧ 3 だから 2n - 2 ≧ n + 1 である。 さらに b は奇数である。 よって (b + 2^(n-1))^2 = b^2 + (2^n)b + 2^(2n-2) ≡ a + (2^n)t + (2^n) (mod 2^(n+1)) ≡ a + (2^n)(t + 1) (mod 2^(n+1)) よって t が奇数なら b + 2^(n-1) が x^2 ≡ 1 (mod 2^(n+1)) の根である。 証明終 128 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 13 36 53 ] 125 の r は 127 を順次適用すれば求まる。 129 名前:132人目の素数さん [2006/12/03(日) 14 17 54 ] くんまー拡大! 130 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 14 25 51 ] 104 で提出した問題、 任意の有理整数 a ≧ 1 が与えられたとき、それをノルムと するイデアルをすべて求めるにはどうしたらよいか? は以上で解決したとみていいだろう。 131 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/03(日) 18 11 51 ] 問題 Q(√(-5)) において、ノルムが10以下のイデアルの標準基底と その素イデアル分解を求めよ。素イデアル分解に現れる素イデアルも 標準基底で表すこと。 答えだけでいい。 だれか? 例 ノルム4のイデアル [2, 2√(-5)] = [2, 1 + √(-5)]^2 132 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/04(月) 13 52 03 ] 131 へのヒントもこめて、以下に今までのまとめを述べる。 有理整数 a > 1 を素因数分解して a = Πp^n とする。 a をノルムとするイデアルを素イデアルの積と表す方法 は 107 と 112 による。 107 において 1) p が完全分解する素数で、(p) = PP とする。 p^n をノルムにもつイデアルは (P^i)(P ^j) の形である。 ここで i + j = n である。 この場合 P^i と (P )^j を標準基底で表す方法は 124, 126, 125, 127 による。 P^i と (P )^j はともに原始イデアルである。 2) p が分解しない素数とする。 p^n、n ≧ 1 をノルムにもつイデアルは n が偶数なら 2i = n として (p)^i である。 n が奇数なら p^n をノルムにもつイデアルはない。 3) p が分岐する素数で、(p) = P^2 とする。 p^n をノルムにもつイデアルは P^n の形である。 n = 2k + r とする。ここで r = 0 または 1 である。 P^n = (p^k)P^r となる。 r = 0 のときは P^n = P^(2k) = (p)^k である。 r = 1 のとき、P^n = (p^k)P であるが、P の標準基底 [p, b + ω] は 47 と 49 で求まっている。 (続く) 133 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/04(月) 17 25 36 ] 2 134 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/04(月) 17 26 37 ] 1 135 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/04(月) 20 03 40 ] 132 の 1) の補足 1) p が完全分解する素数で、(p) = PP とする。 p^n をノルムにもつイデアルは (P^i)(P )^j の形である。 ここで i + j = n である。 i ≦ j のとき (P^i)(P )^j = (P^i)(P )^i(P )^(j-i) = (p^i)(P )^(j-i) である。 同様に、 j ≦ i のとき (P^i)(P )^j = (P^j)(P )^j(P)^(i-j) = (p^j)(P)^(i-j) である。 いずれにしても (p^k) の形のイデアルと原始イデアルの積になる。 136 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/04(月) 20 20 49 ] 132 と 135 より a = Πp^n をノルムとするイデアル I は (n)ΠI_p の形になる。 ここで n はある有理整数であり、 I_p は原始イデアルで、 そのノルムは p のべきである。 121 より ΠI_p は原始イデアルあり、その標準基底も求まる。 ΠI_p = [s, r + ω] とすれば I = (n)[s, r + ω] = [ns, nr + nω] となる。 これが a をノルムとするイデアル I の標準基底による表示である。 137 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/04(月) 20 25 07 ] 136 ΠI_p は Π(I_p) と書いたほうが見やすかった。 138 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/04(月) 20 40 52 ] 132, 135, 136 より 131 の問題は機械的に解けるはず。 誰か? 139 名前:132人目の素数さん [2006/12/05(火) 12 26 44 ] 131 は難しいのかな? 140 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/05(火) 17 28 07 ] わかるところだけでいいけど 誰か? 141 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/05(火) 17 32 40 ] このスレで分からないところがあったらどんどん質問してください。 142 名前:聴講生 mailto sage [2006/12/05(火) 18 18 22 ] 今見ました。今からバイトなのでもうちょっと待って頂けると嬉しいかも。 143 名前:聴講生 mailto sage [2006/12/06(水) 01 00 11 ] 131 ノルムが1→[1, √(-5)] ノルムが2→P_2 = [2, 1 + √(-5)] ノルムが3→P_3 = [3, 1 + √(-5)],P _3 = [3, -1 + √(-5)] ノルムが4は例の通り ノルムが5→P_5 = [5, √(-5)] ノルムが6→[6, 1 + √(-5)] = (P_2)(P_3),[6, -1 + √(-5)] = (P_2)(P _3) ノルムが7→[7, 3 + √(-5)],[7, -3 + √(-5)] ノルムが8→[4, 2 + 2√(-5)] = (P_2)^3 ノルムが9→[9, -2 + √(-5)] = (P_3)^2,[9, 2 + √(-5)] = (P _3)^2, [3, 3√(-5)] = (P_3)(P _3) ノルムが10→「10, 5 + √(-5)] = (P_2)(P_5) 144 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/06(水) 12 04 59 ] 143 有難うございます。 正解です。 145 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/06(水) 12 50 26 ] 問題 Q(√(-5)) において、イデアル [2, 1 + √(-5)] は単項イデアル ないことを証明せよ。 146 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/06(水) 12 54 08 ] 訂正 145 Q(√(-5)) において、イデアル [2, 1 + √(-5)] は単項イデアルで ないことを証明せよ。 147 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/06(水) 17 37 59 ] 問題 Dedekind 整域が一意分解整域であれば単項イデアル整域である。 これを証明せよ。 148 名前:聴講生 mailto sage [2006/12/07(木) 00 21 38 ] 146 [2, 1 + √(-5)] のノルムは 2 なので、 これが a + b√(-5) ∈ Z[√(-5)] で生成される 単項イデアルであるとすると、 a^2 + 5b^2 = 2 しかし此れを充たす整数 a, b は存在しないので [2, 1 + √(-5)] は単項イデアルでない。 147 任意の素イデアルが単項イデアルであることを示せば充分。 ある素イデアルの生成元の一つを x とし、 x = (x_1)・・・(x_n), x_i は素元 を x の素元分解とすると、x_1~x_n の少なくとも一つは その素イデアルに含まれるので、素イデアルは素元で生成される。 素元の生成するイデアルは素イデアルであるので、 もとの素イデアルは単項イデアルとなる。 149 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/07(木) 09 18 50 ] 148 有難うございます。 正解です。 他の人のために補足します。 [2, 1 + √(-5)] のノルムは 2 なので、 これが a + b√(-5) ∈ Z[√(-5)] で生成される 単項イデアルであるとすると、 a^2 + 5b^2 = 2 これは N(a + b√(-5)) = a^2 + 5b^2 と 75 を使っています。 素元の生成するイデアルは素イデアルであるので、 もとの素イデアルは単項イデアルとなる。 ここでは、Dedekind 整域では 0 でない素イデアルは極大なので これ等の素イデアルの間には真の包含関係がないことを使っています。 さらに、Dedekind 整域では任意の 0 でないイデアルは素イデアルの 積となるので、単項イデアルの積としてやはり単項イデアルとなります。 150 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 11 18 40 ] 146 と 147 より Q(√(-5)) は一意分解整域でないことがわかる。 Q(√(-5)) は一意分解整域でない整域のもっとも身近な例として 有名であり、ほとんどの代数学の教科書に書いてある。 しかし、その証明はここに述べたものよりやや天下り的なものが多い。 151 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 12 04 56 ] 146 より Q(√(-5)) の素イデアルは必ずしも単項ではない。 では、どのような素イデアルが単項なのか? この問題は自然だし興味がもてるだろう。 素イデアル P のノルムは p または p^2 である。 ここで p は有理素数。 N(P) = p^2 のときは P = (p) であり、P は単項である。 よって N(P) = p となる場合のみ考えればよい。 この場合、P が単項であるためには 148 と同様にして p = a^2 + 5(b^2) となる有理整数 a, b が存在することが 必要十分であることがわかる。 まず p が分岐する素数、つまり p = 2 または p = 5 の場合を考える。 p = 2 のときは 148 より N(P) = 2 となる素イデアルは 存在しない。 p = 5 のときは、5 = a^2 + 5(b^2) を満たすのは a = 0, b = ±1 のとき だけである。よって N(P) = 5 となる素イデアルは (√(-5)) のみである。 残るのは p が完全分解する素数の場合だけである。 152 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 13 50 05 ] 問題 p = a^2 + 5(b^2) となる有理整数 a, b が存在するような素数 p で 100 以下のものを全て求めよ。 153 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/09(土) 14 11 35 ] 152 (a,b) p (0,1) 5, (2,3) 29, (1,6)41, (3,4) 61, (4,3) 89 ただ計算しました。 154 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 14 31 13 ] 153 正解です。 計算方法を書いておきます。 a^2 + 5(b^2) ≦ 100 より 5(b^2) ≦ 100 となり b^2 ≦ 20 よって b ≦ 4 となる。 b = 0 のとき a^2 は素数でないから b = 0 は除外する。 すると、a^2 + 5 ≦ 100 より a^2 ≦ 95 よって a ≦ 9 0 ≦ a ≦ 9 1 ≦ b ≦ 4 のとき (a, b) = a^2 + 5(b^2)の値を計算した結果を以下に書く。 数字の横に * が付いてるのはそれが素数であることを示している。 155 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 14 32 09 ] (0, 1) = 5* (0, 2) = 20 (0, 3) = 45 (0, 4) = 80 (1, 1) = 6 (1, 2) = 21 (1, 3) = 46 (1, 4) = 81 (2, 1) = 9 (2, 2) = 24 (2, 3) = 49 (2, 4) = 84 (3, 1) = 14 (3, 2) = 29* (3, 3) = 54 (3, 4) = 89* 続く 156 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 14 33 10 ] (4, 1) = 21 (4, 2) = 36 (4, 3) = 61* (4, 4) = 96 (5, 1) = 30 (5, 2) = 45 (5, 3) = 70 (5, 4) = 105 (6, 1) = 41* (6, 2) = 56 (6, 3) = 81 (6, 4) = 116 (7, 1) = 54 (7, 2) = 69 (7, 3) = 94 (7, 4) = 129 (8, 1) = 69 (8, 2) = 84 (8, 3) = 109* (9, 1) = 86 157 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 14 43 39 ] 153 今、いま気付いたけど、a と b が一部反対になっています。 158 名前:132人目の素数さん [2006/12/09(土) 14 59 44 ] p=(a+1)^2+5a^2,a^2+5(a+1)^2 159 名前:132人目の素数さん [2006/12/09(土) 15 00 44 ] p=5b^2 mod a =a^2 mod b 160 名前:132人目の素数さん mailto sage [2006/12/09(土) 15 11 24 ] 何か高校数学で出てきそうな問題ですね。 敢えて難しい定理を用いて解けという出題意図なのかと思った。 161 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 18 02 ] p を Q(√(-5)) で完全分解( 106)する素数とする。 p ≠ 5 である。 p = a^2 + 5(b^2) が有理整数解 (a, b) をもつための条件を求める。 まず a^2 ≡ p (mod 5) つまり Legendre の記号(前スレ3の746)を使えば (p/5) = 1 である。 1^2 ≡ 1 (mod 5) 2^2 ≡ 4 (mod 5) 3^2 ≡ 4 (mod 5) 4^2 ≡ 1 (mod 5) だから p ≡ 1 (mod 5) または p ≡ 4 (mod 5) である。 162 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 28 53 ] 一方 p は Q(√(-5)) で完全分解( 106)するから、 105 より (-5/p) = 1 である。 (-5/p) = (-1/p)(5/p) であり、 平方剰余の相互法則(前スレ3の751)より (5/p)(p/5) = 1 である。 161 より (p/5) = 1 だったから (5/p) = 1 よって (-1/p) = 1 である。 (-1/p) = (-1)^((p-1)/2) だから (p-1)/2 は偶数である。 よって p ≡ 1 (mod 4) となる。 161 の p ≡ 1 (mod 5) または p ≡ 4 (mod 5) と組み合わせて p ≡ 1 (mod 20) または p ≡ 9 (mod 20) である。 163 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 33 32 ] 162 (-1/p) = (-1)^((p-1)/2) だから これは平方剰余の第一補充法則と呼ばれている。 前スレ3の747の 4) (a/p) ≡ a^{(p - 1)/2} (mod p) から直ちにでる。 164 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 38 37 ] 160 簡単な計算ですが、こういう計算が初等整数論では重要な場合あります。 165 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 41 33 ] 161 p ≠ 5 である。 p ≠ 2 でもあることに注意しておく。 166 名前:132人目の素数さん [2006/12/09(土) 15 49 04 ] p=a^2+b^2 mod 4 =a^2-b^2 mod 6 167 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 15 50 48 ] 162 の結果 p ≡ 1 (mod 20) または p ≡ 9 (mod 20) を満たす 100 以下の素数を求めてみよう。 100以下の整数 ≧ 1 で 20k + 1 の形のものは 21, 41, 61, 81 20k + 9 の形のものは 29, 49, 69, 89 これ等のなかで素数なのは 29, 41, 61, 89 これは 153 と 5 を除いて一致する。 168 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 16 57 51 ] 167 から次の予想をするには支持データ数が足りないだろう。 しかし、この予想は正しいことを後で証明する。 予想 p を 5 以外の有理素数とする。 p = a^2 + 5(b^2) となる有理整数 a, b が存在するためには、 p ≡ 1 (mod 20) または p ≡ 9 (mod 20) が必要十分である。 169 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 02 14 ] 命題 A を Dedekind 整域、K をその商体とする。 I, J を A の分数イデアル(前スレ2の677) とし、 IJ = A とする。ここで IJ は集合 { xy; x ∈ I, y ∈ J } で生成される K の A-部分加群である。 このとき J = { x ∈ K; xI ⊂ A } である。 証明 L = { x ∈ K; xI ⊂ A } とおく。 IJ = A だから J ⊂ L である。 よって IJ ⊂ IL である。 L の定義より IL ⊂ A だから IJ ⊂ IL ⊂ A となる。 IJ = A より IL = A となる。 IL = A の両辺に J を掛けて JIL = J JIL = (IJ)L = L だから L = J 証明終 170 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 09 57 ] 証明からわかるように 169 の命題の仮定で A は Dedekind 整域で ある必要はなかった。 171 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 17 11 ] 問題 A を Dedekind 整域とする。 P ≠ 0 を A の素イデアルで a ≠ 0 を P の元とする。 このとき (a) = PI となるイデアル I がある。 172 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 24 57 ] 問題 A を Dedekind 整域、K をその商体とする。 P ≠ 0 を A の素イデアルとし、P^(-1) = { x ∈ K; xP ⊂ A } とおく。 P^(-1) は A の分数イデアルで PP^(-1) = A である。 173 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 26 53 ] 問題 A を Dedekind 整域、K をその商体とする。 I ≠ 0 を A のイデアルとし、I^(-1) = { x ∈ K; xP ⊂ A } とおく。 I^(-1) は A の分数イデアルで II^(-1) = A である。 174 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 31 31 ] 問題 173 において I は A の分数イデアルとしてもよい。 175 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 32 01 ] 問題 A を Dedekind 整域とする。 I ≠ 0 と J ≠ 0 を A のイデアルとし、I ⊂ J とする。 このとき I = JL となるイデアル L がある。 176 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 35 15 ] 命題 A を Dedekind 整域とする。 A の分数イデアル全体は乗法に関して群になる。 証明 174 より明らか。 177 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 40 01 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 A の分数イデアル全体は乗法に関して群になる( 176)。 この群を A のイデアル群と呼び I(A) と書く。 178 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 43 57 ] 定義 A を Dedekind 整域、K をその商体とする。 K の元 x ≠ 0 に対して xA は分数イデアルである。 この形の分数イデアルを単項分数イデアルまたは主分数イデアルと 呼ぶ。 179 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 46 12 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 A の主分数イデアル( 178)全体は乗法に関して群になる。 この群を A の主イデアル群と呼び P(A) と書く。 180 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 49 51 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 A のイデアル群 I(A) を主イデアル群 P(A) で割った剰余群 I(A)/P(A) をA のイデアル類群と呼び Cl(A) と書く。 181 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 21 57 13 ] A を Dedekind 整域とする。 前スレ2の 541 よりイデアル類群 Cl(A) は標準的に A の Picard 群 Pic(A) に同型であることを注意しておく。 182 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 27 17 ] 問題 A を Dedekind 整域とする。 A の任意の分数イデアルは I/J の形に書ける。ここで I, J は A のイデアルで I/J は I(J^(-1)) を表す。 183 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 32 29 ] 問題 A を Dedekind 整域とする。 A の分数イデアル M に対して M = I/J とする。 ここで I, J は A のイデアルである。 このとき N(I)/N(M) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。 184 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 35 12 ] 訂正 183 このとき N(I)/N(M) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。 このとき N(I)/N(J) は、M = I/J となる I, J の取り方によらない。 185 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 39 49 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 A の分数イデアル M に対して M = I/J とする。 ここで I, J は A のイデアルである。 182 よりこのようなイデアルは存在する。 183 より N(I)/N(J) は M = I/J となる I, J の取り方によらない。 N(I)/N(J) を M のノルムと呼び N(M) と書く。 明らかに、この定義は M がイデアルのときのノルムの拡張になっている。 186 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 48 05 ] A を Dedekind 整域とする。 A のイデアルのことを A の分数イデアルと区別して整イデアル ともいう。 しかし、このスレでは通常、単にイデアルと呼ぶことにする。 定義(前スレ2の677)からイデアルは、分数イデアルでもある。 187 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 22 52 57 ] 2次体 Q(√m) においては、誤解のない限り、Q(√m) の整数環 Z[ω] の 分数イデアルのことを Q(√m) の分数イデアルとも言う。 188 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 09 53 ] 問題 2次体 Q(√m) のイデアル I ≠ 0 に対して、I^(-1) = [r, s + tω] と 書ける。ここで r, s, t は適当な有理数である。 I を標準基底 [a, b + cω] で表したとき、r, s, t を a, b, c から 求めよ。 189 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 13 47 ] 問題 2次体 Q(√m) の任意の分数イデアル M は M = [r, s + tω] と 書ける。ここで r, s, t は適当な有理数である。 190 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 17 13 ] 問題 2次体 Q(√m) の分数イデアル M を M = [r, s + tω] と 表したとき、N(M) = rt であることを証明せよ。 ここで r, s, t は適当な有理数である。 191 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 20 17 ] 問題 2次体 Q(√m) の分数イデアル L, M に対して、 N(LM) = N(L)N(M) となることを証明せよ。 192 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 22 02 ] 訂正 186 定義(前スレ2の677)からイデアルは、分数イデアルでもある。 定義(前スレ2の677)から0でないイデアルは、分数イデアルでもある。 193 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 44 30 ] 定義 A を Dedekind 整域とする。 A のイデアル類群( 180) Cl(A) = I(A)/P(A) の各剰余類を A の イデアル類と呼ぶ。 A が2次体 Q(√m) の整数環のとき、誤解の恐れがない限り A のイデアル類を Q(√m) のイデアル類と呼ぶ。 194 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 51 58 ] 問題(高木の初等整数論) 2次体 Q(√m) の原始イデアル I = [a, b + ω] と J = [k, l + ω] が 同じイデアル類に属すとする。すなわち I = ρJ となる ρ ∈ Q(√m) があるとする。 このとき θ = (b + ω)/a、ψ = (l + ω)/k とおくと、 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 195 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/09(土) 23 58 11 ] 問題(高木の初等整数論) 以下のように 194 の逆が成り立つ。 2次体 Q(√m) の原始イデアル I = [a, b + ω] と J = [k, l + ω] に 対して、θ = (b + ω)/a、ψ = (l + ω)/k とおく。 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となるとする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 このとき ρ = rψ + s とおくと I = ρJ となる。 さらに N(ρ) = ±(a/k) である。 タグ: コメント