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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 23時42分18秒 代数的整数論 008 (1-60) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/-60 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1189335756/-60 1 ：１３２人目の素数さん：2007/09/09(日) 20 02 36 Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく 質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良、クマーのAAなど。 過去スレ ＃001 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 ＃002 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310 ＃003 http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ ＃004 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ ＃005 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/ ＃006 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50 #007 http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50 2 ：数学科生 ◆TH7FFIY7jg ：2007/09/09(日) 20 13 25 Kummerさん、こんにちは。いつも、Kummerさんのスレを見て感心しております。当方、数学科の2年生です。今は勉強不足ですが、出来れば、一緒に学びたいと思っております。これからよろしくお願いします。 また、これからも頑張ってください。 3 ：Kummer ◆zkraGArAss ：2007/09/09(日) 20 19 43 2 お前も頑張れよ。 4 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 20 55 07 1 有難うございます。 クマーのAAは余計ですがｗ 5 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 20 56 11 2 有難うございます。 一緒に勉強していきましょう。 6 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 21 19 15 過去スレ007の449の積分 ∫[X] f dμ の定義において、 S(f) の測度が σ-有限でないときは ∫[X] f dμ は定義しない ことになっていた。 これは現代数学概説 II(岩波書店)の定義と同じである。 しかし、これは通常の定義とやや異なるため、他の書物を参照する場合に 不便である。 よって、次のように定義を変更する。 7 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 21 21 24 6 過去スレ007の449の積分 ∫[X] f dμ の定義において、 過去スレ007の452の積分 ∫[X] f dμ の定義において、 8 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 21 23 41 過去スレ007の452の積分の定義を少し変えることにする。 定義 (X, Φ, μ) を 測度空間とする。 Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。 E(Ψ) を、R = (-∞, +∞) に値をとる Ψ 上の単関数全体とする。 f X → [0, +∞] を可測関数とする。 S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限のとき、 ∫[X] f dμ = sup {∫[X] s dμ | 0 ≦ s ≦ f, s ∈ E(Ψ) } S(f) の測度が σ-有限でないときは ∫[X] f dμ = +∞ とする。 ∫[X] f dμ を f の X における(μ に関する)積分と言う。 ∫[X] f dμ ＜ +∞ のとき f を積分可能または可積分と言う。 9 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 21 30 28 過去スレ007の602 より 8 の定義は通常の定義 (例えば伊藤清三のルベーグ積分入門)と (我々の場合、全空間が必ずしも可測でないことを除いて) 同じである。 10 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 21 46 08 8 の新しい定義により過去スレ007の結果を書き換える必要はあまり ないだろう。 何故なら、S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限でないときは ∫[X] f dμ = +∞ なので、この場合は大抵の命題、 例えば、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007445)、はトリビアルだから である。 したがって、過去スレ007の結果を引用する場合、 それを暗黙に新しい定義により解釈することにして、 いちいち断らない。 もし、この解釈がトリビアルでない場合はそのつど説明を 入れることにする。 いづれにしても ∫[X] f dμ ＜ +∞ の場合は、古い定義も新しい定義 も同じである。 11 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 04 29 8 の定義は表面的にはともかく、実質的には Halmos の定義と 同じである。 因みに Halmos の積分の定義はやや複雑である。 即ち、次のようである。 積分可能な単関数の列 (s_n) で L^1 Cauchy 列(過去スレ007の629)と なっているものが f (f ≧ 0 とは仮定しない)に測度収束 (これについては後で述べる)する場合に f を積分可能と言い、 lim ∫[X] s_n dμ を ∫[X] f dμ と定義している。 f ≧ 0 が積分可能でない場合、∫[X] f dμ = +∞ とする。 何故、こんなわかりにくい定義にしたのか理解に苦しむ。 12 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 26 29 Riesz の表現定理(過去スレ007の931)では正則な狭義の Borel 測度を 使っていた。これも Halmos の方法である。 しかし、実はこれも少数派である。 次の書物では、正則な (広義の) Borel 測度を使っている。 Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II Bourbaki の積分論 Rudin の Real and complex analysis 壬生の位相群論概説(岩波書店) --- この積分論は Hewitt-Roth と ほとんど同じである。 従って、我々も (広義の) Borel 測度を扱うことにする。 13 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 35 12 X を局所コンパクト空間とする。 X の容量(過去スレ007の723) λ を一つ選び、固定する。 X の任意の開集合 U に対して λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } と書く。 U がコンパクトな開集合であれば、明らかに λ(U) = λ(K) であるから この定義は矛盾しない。 14 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 42 31 命題 13 の下で、 U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は開集合とする。 (1) 0 ≦ μ(U) ≦ +∞ (2) U が有界なら μ(U) ＜ +∞ (3) U_1 ⊂ U_2 なら μ(U_1) ⊂ μ(U_2) (4) μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n) (5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら μ(∪U_n) = Σμ(U_n) 証明 過去スレ007の726とまったく同じである。 15 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 48 03 14 を次のように修正する。 命題 13 の下で、 U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は開集合とする。 (1) 0 ≦ λ(U) ≦ +∞ (2) U が有界なら λ(U) ＜ +∞ (3) U_1 ⊂ U_2 なら λ(U_1) ⊂ λ(U_2) (4) λ(∪U_n) ≦ Σλ(U_n) (5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら λ(∪U_n) = Σλ(U_n) 証明 過去スレ007の726とまったく同じである。 16 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 22 53 12 命題 13 の下で、 X の任意の部分集合 A に対して μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合} と定義する。 A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は X の部分集合とする。 (1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞ (2) μ^*(φ) = 0 (3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B) (4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n) 証明 過去スレ007の761と同様である。 17 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 23 00 57 定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の部分集合全体 を P(X) と書く。 明らかに P(X) は遺伝的 (過去スレ007の767) なσ-集合代数 (過去スレ007の198)である。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 開集合 U に対して λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } と書き、 A ∈ P(X) に対して μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合} と書く。 16 より μ^* は P(X) で定義された外測度(過去スレ007の766)である。 μ^* を容量 λ から誘導された外測度と言う。 18 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 23 03 37 定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の Borel 集合(過去スレ007の212)全体で定義される測度 μ は コンパクトな K に対して常に μ(K) ＜ +∞ であるとき Borel 測度と言う。 19 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 23 21 11 定義 X を局所コンパクト空間とする。 Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。 μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。 E ∈ Ψ は μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U } となるとき、(μ に関して)外正則(outer regular)という。 μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } となるとき、(μ に関して)内正則(inner regular)という。 E は外正則かつ内正則なとき正則(regular)であると言う。 全ての E ∈ Ψ が外正則なとき μ を外正則と言う。 全ての E ∈ Ψ が内正則なとき μ を内正則と言う。 全ての E ∈ Ψ が正則なとき μ を正則と言う。 20 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 23 25 32 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 任意の開集合 U に対して μ^*(U) = λ(U) である。 証明 定義 μ^*(U) = inf {λ(V) | U ⊂ V, V は開集合} より明らかである。 21 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 23 30 55 12 次の書物では、正則な (広義の) Borel 測度を使っている。 この「正則」は 19 の「正則」とは少し違う。 22 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 00 40 49 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 X の部分集合 E が (μ^*)-可測(過去スレ007の768)であるためには 任意の開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) となることが必要十分である。 証明 過去スレ007の847と同様である。 23 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 01 06 17 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 X の部分集合 E が (μ^*)-可測(過去スレ007の768)であるためには 任意の開集合 μ^*(U) ＜ +∞ に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) となることが必要十分である。 証明 必要性は明らかである。 A を X の任意の部分集合とする。 μ^*(A) = +∞ なら μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) である。 μ^*(A) ＜ +∞ なら A ⊂ U で μ^*(U) ＜ +∞ となる任意の開集合 U に対して、 μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) 20 より μ^*(U) = λ(U) だから λ(U) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) μ^*(A) = inf λ(U) だから μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) 証明終 24 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 01 46 35 命題 X を局所コンパクト空間とし、λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 任意の開集合 U に対して μ^*(U) = sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U } ここで、V~ は V の閉包である。 証明 20 から μ^*(U) = λ(U) である。 V は開集合で V~ はコンパクトなら過去スレ007の849より λ(V) ≦ λ(V~) である。 よって、 μ^*(U) ≧ sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U } 定義から λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } である。 λ(U) = ＋∞ なら、任意の M ＞ 0 に対して λ(K) ＞ M となるコンパクトな K ⊂ U がある。 過去スレ007の704より K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが 存在する。 λ(V) ≧ λ(K) ＞ M で M ＞ 0 は任意だから、 sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U } = +∞ よって、この場合は命題が成り立つ。 λ(U) ＜ ＋∞ なら、任意の ε ＞ 0 に対して λ(U) - ε ＜ λ(K) となるコンパクトな K ⊂ U がある。 過去スレ007の704より K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが 存在する。 λ(U) - ε ＜ λ(K) ≦ λ(V) だから、この場合も命題が成り立つ。 証明終 25 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 09 28 18 命題 X を局所コンパクト空間とし、 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 X の任意の開集合は (μ^*)-可測(過去スレ007の768)である。 証明(Hewitt-Roth) V を開集合とし、U を開集合で μ^*(U) ＜ +∞ とする。 μ^*(U ∩ V^c) の定義から、 任意の ε ＞ 0 に対して、U ∩ V^c ⊂ H となる開集合があり、 μ^*(H) ＜ μ^*(U ∩ V^c) + ε 24 から W~ ⊂ U ∩ V となる開集合があり、 μ^*(W) ＞ μ^*(U ∩ V) - ε W_0 = U ∩ H ∩ (W~)^c とおく。 U ∩ V^c ⊂ W_0 ⊂ H より |μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε |μ^*(W) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε であるから |μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ 2ε よって μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c) ＞ -2ε W ∩ W_0 = φ だから 15 の (5) より μ^*(U) ≧ μ^*(W ∪ W_0) = μ^*(W) + μ^*(W_0) ≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c) - 2ε ε は任意だから μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c) 23 より V は (μ^*)-可測である。 証明終 26 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 09 35 49 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 U を開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトなものとする。 このとき、 μ^*(U) ≦ λ(U~) 証明 K ⊂ U となる任意のコンパクト集合 K をとる。 λ(K) ≦ λ(U~) である。 λ(K) の sup をとると、 μ^*(U) ≦ λ(U~) 証明終 27 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 09 37 19 命題 X を局所コンパクト空間とし、 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 任意のコンパクト集合 K に対して、 μ^*(K) ＜ +∞ である。 証明 過去スレ007の704 より、 K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトな ものがある。 26 より λ(K) ≦ μ^*(U) ≦ λ(U~) ＜ +∞ 証明終 28 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 09 43 46 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 過去スレ007の778 より、 (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、 μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度である。 25 より Φ は Borel 集合(過去スレ007の212)全体を含む。 27 より、μ^* を Borel 集合(過去スレ007の212)全体に制限したものは Borel 測度( 18)である。 29 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 10 27 51 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) ≦ μ^*(K) 証明 μ^*(K) = inf {λ(U) | K ⊂ U, U は開集合} である。 K ⊂ U となる開集合 U に対して λ(K) ≦ λ(U) λ(U) の inf をとって λ(K) ≦ μ^*(K) 証明終 30 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 11 13 31 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合で μ^*(E) ＜ +∞ とする。 E は内正則( 19)である。 即ち、μ^*(E) = sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } 証明 任意の ε ＞ 0 に対して、E ⊂ U となる開集合 U で μ^*(U) ＜ μ^*(E) + ε となるものがある。 F ⊂ U となるコンパクト集合 F で λ(F) ＞ μ^*(U) - ε となるものがある。 29 より μ^*(F) ≧ λ(F) よって μ^*(F) ＞ μ^*(U) - ε μ^*(U - E) ＜ ε だから U ⊃ V ⊃ U - E となる開集合 V で μ^*(V) ＜ ε となるものがある。 K = F ∩ V^c とおく。 K はコンパクトで K ⊂ E μ^*(E) - μ^*(K) = μ^*(E - K) = μ^*((E ∩ F^c) ∪ (E ∩ V)) ≦ μ^*(U ∩ F^c) + μ^*(V) ＜ 2ε よって、μ^*(K) ＞ μ^*(E) - 2ε 証明終 31 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 12 05 38 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合で σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。 このとき E は内正則( 19)である。 即ち、μ^*(E) = sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } 証明 E ⊂ ∪A_n となり、各 μ^*(A_n) ＜ +∞ となる (μ^*)-可測な A_n がある。 E_1 = E ∩ A_1 n ≧ 2 のとき E_n = E ∩ (A_n - (A_1 ∪ . . . A_(n-1))) とおけば E = ∪E_n で、i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ となり 各 μ^*(E_n) ＜ +∞ である。 30 より各 E_n は内正則であるから、 任意の ε ＞ 0 に対して K_n ⊂ E_n μ^*(E_n) ＜ μ^*(K_n) + ε/2^n となるコンパクトな K_n がある。 よって μ^*(E) = Σμ^*(E_n) ≦ Σμ^*(K_n) + ε である。 μ^*(E) = +∞ なら Σμ^*(K_n) = +∞ だから E は内正則である。 μ^*(E) ＜ +∞ なら Σμ^*(K_n) ＜ +∞ である。 Σμ^*(K_n) - μ^*(K_1 ∪. . . ∪ K_m) ＜ ε となる m がある。 このとき、μ^*(E) ＜ μ^*(K_1 ∪. . . ∪ K_m) + 2ε 証明終 32 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 12 44 01 命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の Borel 測度( 18)とする。 X の任意のコンパクト集合が μ に関して外正則( 19)とする。 任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) = inf {μ(L) | K ⊂ int(L) ⊂ L, L はコンパクト} である。 ここで int(L) は L の内部を表す。 証明 K は外正則だから、 μ(K) = inf {μ(U) | K ⊂ U, U 開集合 U } よって、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ U μ(U) ＜ μ(K) + ε となる開集合 U がある。 過去スレ007の703 より、 K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが 存在する。 μ(V~) ≦ μ(U) ＜ μ(K) + ε 証明終 33 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 00 36 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ^*(K) であるためには、 λ が正則(過去スレ007の915)なことが必要十分である。 証明 28 より、μ^* を Borel 集合全体に制限したものは Borel 測度である。 よって、条件が必要なことは 32 で証明されている。 λ が正則であるとする。 任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U で U~ がコンパクトとなるものがあり、 λ(U~) ＜ λ(K) + ε となる。 28 より μ^*(U) ≦ λ(U~) ＜ λ(K) + ε μ^*(K) ≦ μ^*(U) だから μ^*(K) ＜ λ(K) + ε ε ＞ 0 は任意だから μ^*(K) ≦ λ(K) 逆向きの不等式は 29 で証明されている。 証明終 34 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 09 51 定義 X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。 λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 μ^* を L から誘導された外測度と言う。 28 より、μ^* を Borel 集合全体に制限したものは Borel 測度である。 これを、L から誘導された Borel 測度と言う。 35 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 16 51 命題 X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) ( 715) の任意の元とする。 λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 U を有界(過去スレ007の724)な開集合とし、f を K+(X) (過去スレ007の713) の元で χ_U ≦ f とする。 このとき、 μ^*(U) ≦ L(f) である。 証明 K を K ⊂ U となるコンパクト集合とする。 χ_K ≦ f だから λ(K) ≦ L(f) である。 λ(K) の sup をとると μ^*(U) ≦ L(f) である。 証明終 36 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 26 04 定義 X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。 λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 μ^* を L から誘導された外測度と言う。 (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(L) と書く。 25 より、Φ(L) は Borel 集合全体を含む。 μ^* を Φ(L) に制限したものを、L から誘導された測度と言う。 37 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 44 23 定義 X を局所コンパクト空間とする。 Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。 μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。 X の任意の開集合が内正則( 19)で、X の任意の集合が外正則( 19)と なるとき μ を準正則と言う。 38 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 13 47 30 37 の準正則という言葉は私が勝手に名付けたもので、 一般に使われてるわけではない。 Hewitt-Roth は準正則のことを正則と言っている。 39 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 14 20 02 命題 X を局所コンパクト空間とする。 Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。 μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。 さらに、X の任意のコンパクト集合 K は外正則( 19)であり、 μ(K) ＜ +∞ とする。 このとき、X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) = inf { ∫[X] f dμ | f ≧ χ_K, f ∈ K+(X) } である。 ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。 証明 X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) ＜ +∞ だから 任意の ε ＞ 0 に対して、K ⊂ U となる開集合 U で μ(U) ＜ μ(K) + ε となるものがある。 過去スレ007の706 より、 f ∈ K+(X) で 0 ≦ f ≦ 1 かつ K の上で 1、X - U で 0 となるものが 存在する。 χ_K ≦ f ≦ χ_U だから ∫[X] f dμ ≦ ∫[X] χ_U dμ = μ(U) ＜ μ(K) + ε 証明終 40 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 14 36 54 37 を次のように修正する。 定義 X を局所コンパクト空間とする。 Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。 μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。 X の任意の開集合が内正則( 19)で、Ψ の任意の集合が外正則( 19)と なるとき μ を準正則と言う。 41 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 14 55 42 命題 X を局所コンパクト空間とする。 Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。 μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。 E ∈ Ψ を μ(E) ＜ +∞ かつ内正則( 19)な集合とする。 このとき、E に含まれるコンパクト集合の列 K_n があり F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。 証明 任意の整数 n ＞ 0 に対して、 K_n ⊂ E μ(E) ＜ μ(K_n) + 1/2^n となるコンパクト集合 K_n がある。 F = ∪K_n とおく。 任意の n に対して、 E - F ⊂ E - K_n であるから、 μ(E - F) ≦ μ(E) - μ(K_n) ＜ 1/2^n よって μ(E - F) = 0 証明終 42 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 15 55 43 命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ と ν をそれぞれ X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ) と Ψ(ν) で定義された準正則( 40)な測度とする。 さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) ＜ +∞ ν(K) ＜ +∞ とする。 任意の f ∈ K+(X) ( 713) に対して ∫[X] f dμ = ∫[X] f dν となるなら Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) において μ = ν である。 証明 K を X の任意のコンパクト集合とする。 39 より μ(K) = ν(K) である。 U を X の任意の開集合とする。 U は μ と ν の両方で内正則( 19)だから、 μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } ν(U) = sup {ν(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } よって μ(U) = ν(U) E ∈ Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) に対して E は μ と ν の両方で外正則( 19)だから、 μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U } ν(E) = inf {ν(U) | E ⊂ U, 開集合 U } よって μ(E) = ν(E) 証明終 43 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 17 18 23 定義 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。 λ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 (λ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(λ) と書く。 44 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 17 29 46 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 λ が正則(過去スレ007の915)なら、μ^* は Φ(λ) ( 43) において 準正則( 40)である。 証明 33 より 任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ^*(K) である。 17 より 開集合 U に対して λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } 20 より μ^*(U) = λ(U) である。 よって μ^*(U) = sup {μ^*(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } すなわち、U は内正則( 19)である。 A ∈ Φ(λ) に対して μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合} である。 μ^*(U) = λ(U) だから A は外正則( 19)である。 以上から μ^* は Φ(λ) において準正則である。 証明終 45 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 17 51 12 42 の前に次の命題を置けばよかった。 命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ と ν をそれぞれ X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ) と Ψ(ν) で定義された準正則( 40)な測度とする。 任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) = ν(K) なら Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) において μ = ν である。 証明 U を X の任意の開集合とする。 U は μ と ν の両方で内正則( 19)だから、 μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } ν(U) = sup {ν(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } よって μ(U) = ν(U) E ∈ Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) に対して E は μ と ν の両方で外正則( 19)だから、 μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U } ν(E) = inf {ν(U) | E ⊂ U, 開集合 U } よって μ(E) = ν(E) 証明終 46 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 18 06 17 命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ) で定義された準正則な測度とする。 さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) ＜ +∞ とする。 f ∈ K+(X) に対して L(f) = ∫[X] f dμ とおけば、 L ∈ M+(X) (過去スレ007の715) である。 ν^* を L から誘導された外測度とし、 (ν^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(L) と書く Ψ(μ) ∩ Φ(L) において μ = ν^* である。 証明 L から誘導された容量を λ とする。 36 より ν^* は λ から誘導された外測度である。 過去スレ007の921より λ は正則(過去スレ007の915)である。 44 より ν^* は Φ(L) = Φ(λ) ( 43) において 準正則( 40)である。 39 より、X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) = inf { ∫[X] f dμ | f ≧ χ_K, f ∈ K+(X) } である。 よって μ(K) = λ(K) である。 33 より λ(K) = ν^*(K) である。 よって μ(K) = ν^*(K) である。 45 より Ψ(μ) ∩ Φ(L) において μ = ν^* である。 証明終 47 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 18 18 57 補題 X を局所コンパクト空間とし、 L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。 ν を L から誘導された測度( 36)ととする。 f を K+(X) (過去スレ007の713) の元で 0 ≦ f ＜ 1 とする。 L(f) ≧ ∫[X] f dν である。 証明 過去スレ007の927とまったく同じである。 48 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 18 21 47 補題 X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。 ν を L から誘導された測度( 36)とする。 f を K+(X) (過去スレ007の713) の任意の元とする。 L(f) ≧ ∫[X] f dν である。 証明 過去スレ007の928とまったく同じである。 49 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 18 24 35 補題 X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) ( 715) の任意の元とする。 ν を L から誘導された測度( 36)とする。 K を X のコンパクト集合とする。 任意の ε ＞ 0 に対して f ∈ K+(X) (過去スレ007の713) かつ 0 ≦ f ≦ 1 で χ_K ≦ f となり L(f) ＜ ∫[X] f dν + ε となるものがある。 証明 過去スレ007の929とまったく同じである。 50 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 18 28 58 定理(Riesz の表現定理) X を局所コンパクト空間とする。 L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。 μ を L から誘導された測度( 36)とする。 任意の f ∈ K(X) (過去スレ007の708) に対して L(f) = ∫[X] f dμ となる。 証明 f を K(X) の元とし、K = Supp(f) (過去スレ007の671) とする。 49 より、任意の ε ＞ 0 に対して g ∈ K+(X) (過去スレ007の713) かつ 0 ≦ g ≦ 1 で χ_K ≦ g となり L(g) ＜ ∫[X] g dμ + ε となるものがある。 M = sup{ f(x) | x ∈ X } とする。 f + M ≧ 0 だから (f + M)g ∈ K+(X) である。 48 より fg = f に注意して L(f) + ML(g) = L((f + M)g) ≧ ∫[X] (f + M)g dμ = ∫[X] fg dμ + ∫[X] Mg dμ = ∫[X] f dμ + M∫[X] g dμ よって、 L(f) ≧ ∫[X] f dμ + M(∫[X] g dμ - L(g)) ≧ ∫[X] f dμ - Mε ε は任意だから L(f) ≧ ∫[X] f dμ f を -f に置き換えると -L(f) ≧ -∫[X] f dμ よって L(f) ≦ ∫[X] f dμ よって L(f) = ∫[X] f dμ 証明終 51 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 20 23 26 定義 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ を λ から誘導された外測度( 17)とする。 μ-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(λ) と書いた( 43)。 25 より、Φ(λ) は Borel 集合全体を含む。 μ を Φ(λ) に制限したものを、λ から誘導された測度と言う。 52 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 20 31 35 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 A を X の部分集合で μ^*(E) = 0 とする。 E は (μ^*)-可測である。 証明 22 より 任意の開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) を示せばよい。 μ^*(U ∩ E) = 0 であるから、これは明らかである。 証明終 53 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 20 32 34 52 を次のように修正する。 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の部分集合で μ^*(E) = 0 とする。 E は (μ^*)-可測である。 証明 22 より 任意の開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) を示せばよい。 μ^*(U ∩ E) = 0 であるから、これは明らかである。 証明終 54 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 20 41 42 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の部分集合とする。 μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して E ∩ U が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。 証明 22 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) を示せばよい。 U ∩ E^c = U - (U ∩ E) であるから (μ^*)-可測である。 よって μ^*(U) = μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) 証明終 55 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 20 43 38 54 を次のように修正する。 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の部分集合とする。 μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して E ∩ U が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。 証明 23 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) を示せばよい。 U ∩ E^c = U - (U ∩ E) であるから (μ^*)-可測である。 よって μ^*(U) = μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) 証明終 56 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 21 14 05 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ を λ から誘導された測度( 51)とする。 μ は準正則( 37)である。 証明 μ が外正則( 19)であることは λ から誘導された外測度の定義( 17) から明らかである。 よって、 任意の開集合 U に対して μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } を示せばよい。 定義( 17)から μ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } である。 29 から任意のコンパクト集合 K ⊂ U に対して λ(K) ≦ μ(K) ≦ μ(U) である。 よって μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } 証明終 57 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 21 24 52 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の部分集合とする。 任意のコンパクト集合 K に対して E ∩ K が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。 証明 55 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して E ∩ U が (μ^*)-可測であることを示せばよい。 56 より U は内正則であるから、 41 より U に含まれるコンパクト集合の列 K_n があり F = ∪K_n とおくと μ(U - F) = 0 となる。 U - F = N とおく。 U = (∪K_n) ∪ N である。 U ∩ E = (∪(E ∩ K_n)) ∪ (E ∩ N) 仮定より ∪(E ∩ K_n) は可測である。 μ(N) = 0 だから 53 より E ∩ N も可測である。 証明終 58 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 21 29 08 定義 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の部分集合とする。 μ^*(E) = 0 のとき E を (μ^*)-零集合または略して零集合と言う。 任意のコンパクト集合 K に対して E ∩ K が (μ^*)-零集合になるとき E を (μ^*)-局所零集合または略して局所零集合と言う。 59 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 21 33 38 命題 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 (μ^*)-局所零集合( 58)は (μ^*)-可測である。 証明 E を 局所零集合とする。 任意のコンパクト集合 K に対して E ∩ K は零集合である。 52 より E ∩ K は可測だから 57 より E は可測である。 証明終 60 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/10(月) 22 12 33 定義 X を局所コンパクト空間とする。 λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。 μ^* を λ から誘導された外測度( 17)とする。 E を X の任意の部分集合とする。 sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } を E の内測度と言う。 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時43分29秒 代数的整数論 005 (86-160) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/86-160 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/86-160 86 ：１３２人目の素数さん：2007/04/02(月) 12 04 00 -1 87 ：１３２人目の素数さん：2007/04/02(月) 12 05 00 -2 88 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/02(月) 21 43 43 √2 の連分数展開を求めてみる(展開の方法は 41 参照)。 √2 = 1 + (√2 - 1) 1/(√2 - 1) = √2 + 1 = 2 + (√2 - 1) よって √2 = [1, 2, 2, . . . ] 同様に √3 = 1 + (√3 - 1) 1/(√3 - 1) = (√3 + 1)/2 = 1 + (√3 - 1)/2 2/(√3 - 1) = √3 + 1 = 2 + (√3 - 1) よって √3 = [1, 1, 2, 1, 2, . . . ] √5 = 2 + (√5 - 2) 1/(√5 - 2) = √5 + 2 = 4 + (√5 - 2) √5 = [2, 4, 4, 4. . . ] √7 = 2 + (√7 - 2) 1/(√7 - 2) = (√7 + 2)/3 = 1 + (√7 - 1)/3 3/(√7 - 1) = (√7 + 1)/2 = 1 + (√7 - 1)/2 2/(√7 - 1) = (√7 + 1)/3 = 1 + (√7 - 2)/3 3/(√7 - 2) = √7 + 2 = 4 + (√7 - 2) √7 = [2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, . . . ] 89 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/02(月) 22 37 17 命題 k ≧ 1 と c ≧ 1 を有理整数で c は 2k の約数とする。 このとき、 √(k^2 + c) = [k, 2k/c, 2k, 2k/c, 2k, . . ,] 証明 0 ＜ c ＜ 2k + 1 だから k ＜ √(k^2 + c) ＜ k + 1 よって √(k^2 + c) = k + (√(k^2 + c) - k) k ＜ √(k^2 + c) ＜ k + 1 より 2k ＜ √(k^2 + c) + k ＜ 2k + 1 よって 1/(√(k^2 + c) - k) = (√(k^2 + c) + k)/c = 2k/c + (√(k^2 + c) - k)/c c/(√(k^2 + c) - k) = √(k^2 + c) + k = 2k + (√(k^2 + c) - k) 以上から √(k^2 + c) = [k, 2k/c, 2k, 2k/c, 2k, . . ,] 証明終 90 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/02(月) 22 47 44 89 の簡単な応用例を挙げる。 k = 1, c = 1 √2 = [1, 2, 2, . . .] k = 2, c = 1 √5 = [2, 4, 4, , . . .] k = 2, c = 2 √6 = [2, 2, 4, 2, 4, . . .] k = 3, c = 2 √11 = [3, 3, 6, 3, 6, . . .] 91 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/03(火) 20 46 13 88 の例はすべて循環連分数である。 √3 = [1, 1, 2, 1, 2, . . . ] は 1, 2 が繰り替えされている。 1, 2 を循環節といい、その長さは２である。 √7 = [2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, . . . ] の循環節は 1, 1, 1, 4 であり、その長さは４である。 以上から循環連分数の定義は明らかだろうが正式には次のように定義する。 無限単純連分数 [k_0, k_1, . . . ] において n ≧ 0 と r ≧ 1 があり、i ≧ n のとき常に k_(i + r) = k_i となるとき これを循環連分数と呼ぶ。 k_n, . . . , k_(n + r -1) を循環節といい、r をその長さという。 n = 0 のとき純循環であるという。 92 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/03(火) 21 06 34 α = [k_0, k_1, . . . ] が循環連分数で k_n, . . . , k_(n + r -1) を 循環節に持つとする。 ここで、n ≧ 1 とし、 [k_0, k_1, . . . ] = [k_0, . . . , k_(n-1), β] とする。 ここで β = [k_n, k_(n+1), . . . ] である( 77)。 このとき α = (p_(n-1)β + p_(n-2))/(q_(n-1)β + q_(n-2)) である( 43, 56)。 さらに β は純循環である。 よって循環連分数を調べるには純循環の場合が基本的である。 93 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/03(火) 22 20 25 α = [k_0, k_0, . . . ] が長さ１の純循環とする。 k_0 ≧ 1 に注意する。 α = [k_0, α] である。 つまり、α = k_0 + 1/α である。 よって α^2 - k_0α - 1 = 0 よって α は２次の無理数である。 さらに α ＞ k_0 ≧ 1 である。 f(x) = x^2 - k_0x - 1 とおくと、 f(0) = -1 f(-1) = 1 + k_0 - 1 = k_0 ≧ 1 よって f(x) の α 意外の根 β は -1 ＜ β ＜ 0 となる。 94 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/05(木) 17 29 03 r ≧ 2 とし、 α = [k_0, . . . , k_(r-1), . . . ] が長さ r の純循環( 92)とする。 したがって, k_0 ≧ 1 である。 93 より α = (p_(r-1)α + p_(r-2))/(q_(r-1)α + q_(r-2)) ここで、q_0 = 1 とする。 α(q_(r-1)α + q_(r-2) = p_(r-1)α + p_(r-2) q_(r-1)α^2 + (q_(r-2) - p_(r-1))α - p_(r-2) = 0 よって α は２次の無理数である。 f(x) = q_(r-1)x^2 + (q_(r-2) - p_(r-1))x - p_(r-2) とおく。 f(0) = -p_(r-2) ＜ 0 f(-1) = q_(r-1) - q_(r-2) + p_(r-1) - p_(r-2) 44 より r ≧ 3 のとき q_(r-1) = q_(r-2)k_(r-1) + q_(r-3) q_(r-1) - q_(r-2) = (k_(r-1) - 1)q_(r-2) + q_(r-3) ≧ q_(r-3) ＞ 0 r = 2 なら q_(r-1) - q_(r-2) = q_1 - q_0 = k_1 - 1 ≧ 0 r ≧ 3 のとき p_(r-1) = p_(r-2)k_(r-1) + p_(r-3) p_(r-1) - p_(r-2) = (k_(r-1) - 1)p_(r-2) + p_(r-3) ≧ p_(r-3) ＞ 0 r = 2 なら p_(r-1) - p_(r-2) = p_1 - p_0 = k_0k_1 + 1 - k_0 ≧ (k_1 - 1)k_0 + 1 ＞ 0 以上から f(-1) = q_(r-1) - q_(r-2) + p_(r-1) - p_(r-2) ＞ 0 よって α の共役 β は -1 ＜ β ＜ 0 である。 95 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/05(木) 17 48 29 ２次の実無理数 α とその共役 β に対して α ＞ 1, -1 ＜ β ＜ 0 となるとき α を簡約された２次無理数という。 96 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/05(木) 18 02 19 93 と 94 より次の命題が得られる。 命題 純循環連分数は簡約された２次無理数である。 97 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/05(木) 22 33 04 補題 α を簡約された２次無理数とし、k = [α] で k ≧ 1 とする。 ω = 1/(α - k) とおく。 つまり α = k + 1/ω である。 このとき ω も簡約された２次無理数である。 証明 過去スレ４の286より ω も２次無理数である。 よって α を α の共役とすると ω = 1/(α - k) は ω の共役である。 0 ＜ α - k ＜ 1 だから ω ＞ 1 である。 -1 ＜ α ＜ 0 だから -1 - k ＜ α - k k - α ＞ 1 + k よって 1/(k - α ) ＜ 1/(1 + k) ＜ 1 よって -1 ＜ 1/(α - k) ＜ 0 ω = 1/(α - k) だから ω は簡約された２次無理数である。 証明終 98 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/05(木) 22 47 36 97 α を簡約された２次無理数とし、k = [α] で k ≧ 1 とする。 α ＞ 1 だから k ≧ 1 は自動的に満たされるので、この条件は不要であった。 99 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 13 40 14 α を簡約された２次無理数とする。 α を連分数に展開して、 α = [k_0, k_1, . . . ] とする。 n ≧ 0 に対して α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。 77 より α = [k_0, . . . , k_(n-1), α_n] である。 同じく 77 より α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] = [k_n, α_(n+1)] だから α_n = k_n + 1/α_(n+1) である。 よって 97 と n に関する帰納法により各 α_n は 簡約された２次無理数である。 α = (p_(n-1)α_n + p_(n-2))/(q_(n-1)α_n + q_(n-2)) で p_(n-1)q_(n-2) - q_(n-1)p_(n-2) = (-1)^n である( 43, 44, 57)。 過去スレ４の286 より α と α_n は同じ判別式(過去スレ４の276) をもつ。 これに関連して次の命題が成り立つ。 100 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 14 37 53 命題 同じ判別式 D を持つ簡略された２次無理数の個数は有限である。 証明 α を判別式 D の簡約された２次無理数とする。 α は ax^2 + bx + c の根とする。 ここで a, b, c は有理整数で a ＞ 0, gcd(a, b, c) = 1 D = b^2 - 4ac である。 β を α の共役とする。 α は簡約された２次無理数だから 95 より α ＞ 1, -1 ＜ β ＜ 0 である。 よって α + β ＞ 0 αβ ＜ 0 である。 ax^2 + bx + c = a(x - α)(x - β) だから b = -a(α + β) c = aαβ である。 よって b ＜ 0, c ＜ 0 となる。 よって D = b^2 + 4|ac| よって b^2 ＜ D だから b の取りうる値は有限個である。 4|ac| = D - b^2 だから a, c の取りうる値も有限個である。 証明終 101 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 15 05 11 命題 簡略された２次無理数は純循環連分数に展開される。 証明 α を判別式 D の簡約された２次無理数とする。 α を連分数に展開して、 α = [k_0, k_1, . . . ] とする。 n ≧ 0 に対して α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。 99 より各 α_n は判別式 D の簡約された２次無理数である。 100 より相異なる α_n の個数は有限である。 よって α_n = α_m となる n ＜ m がある。 n ＞ 0 なら α_(n-1) = k_(n-1) + 1/α_n α_(m-1) = k_(m-1) + 1/α_m よって α_(n-1) - α_(m-1) = k_(n-1) - k_(m-1) よって α _(n-1) - α _(m-1) = k_(n-1) - k_(m-1) ここで α _(n-1), α _(m-1) はそれぞれ α_(n-1) と α_(m-1) の 共役である。 各 α_n は簡約された２次無理数だから -1 ＜ α _(n-1) ＜ 0 -1 ＜ α _(m-1) ＜ 0 よって |α _(n-1) - α _(m-1)| = |k_(n-1) - k_(m-1)| ＜ 1 k_(n-1) - k_(m-1) は有理整数だから 0 である。 よって α _(n-1) = α _(m-1) となる。 よって α_(n-1) = α_(m-1) である。 以上を繰り返せば α_0 = α_(m-n) となる。 よって α は純循環連分数に展開される。 証明終 102 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 17 52 04 補題 α を２次無理数とする。 p, q, r, s を有理数で、ps - qr ≠ 0 とする。 α = (pβ + r)/(qβ + s) とする。 つまり、β = (sα - r)/(-qα + p) とおく。 このとき β も２次無理数であり、 α = (pβ + r)/(qβ + s) である。 ここで α と β はそれぞれ α と β の共役である。 証明 Q(α) は２次体である。σ ≠ 1 を Q(α) の自己同型とする。 σ(α) = α である。 β ∈ Q(α) で β は有理数でないから β は２次無理数である。 α = (pβ + r)/(qβ + s) より σ(α) = (pσ(β) + r)/(qσ(β) + s) σ(β) = β だから α = (pβ + r)/(qβ + s) である。 証明終 103 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 18 05 37 命題 α を２次の実無理数とする。 α を連分数に展開して、 α = [k_0, k_1, . . . ] とする。 n ≧ 0 に対して α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。 このとき、ある n_0 ≧ 0 があり n ≧ n_0 なら常に α_n は簡約された ２次無理数である。 証明 99 と同様にして、 α = (p_(n-1)α_n + p_(n-2))/(q_(n-1)α_n + q_(n-2)) である。 よって 102 より β = (p_(n-1)β_n + p_(n-2))/(q_(n-1)β_n + q_(n-2)) となる。 ここで、β と β_n は α と α_n のそれぞれ共役である。 β_n = (q_(n-2)β - p_(n-2))/(-q_(n-1)β + p_(n-1)) 右辺の分子と分母をそれぞれ変形すると q_(n-2)β - p_(n-2) = q_(n-2)(β - p_(n-2)/q_(n-2)) -q_(n-1)β + p_(n-1) = -q_(n-1)(β - p_(n-1)/q_(n-1)) となる。 よって β_n = -(q_(n-2)/q_(n-1))(β - p_(n-2)/q_(n-2))/(β - p_(n-1)/q_(n-1)) (続く) 104 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 18 21 43 103 の続き。 80 より n → ∞ のとき p_(n-2)/q_(n-2) → α p_(n-1)/q_(n-1) → α よって (β - p_(n-2)/q_(n-2))/(β - p_(n-1)/q_(n-1)) → (β - α)/(β - α) = 1 (q_(n-2)/q_(n-1)) ＞ 0 だから 十分大きい n に対して β_n ＜ 0 α_n = k_n + 1/α_(n+1) よって 102 より β_n = k_n + 1/β_(n+1) よって β_(n+1) = 1/(β_n - k_n) |β_n - k_n| ＞ 1 だから -1 ＜ β_(n+1) ＜ 0 α_(n+1) ＞ 1 だから α_(n+1) は簡約された２次無理数である。 97 より m ≧ n + 1 なら α_m も簡約された２次無理数である。 証明終 105 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 18 26 27 定理(Lagrange) ２次の実無理数は循環連分数に展開される。 証明 101 と 103 より明らかである。 106 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/07(土) 19 16 18 97 ω = 1/(α - k) は ω の共役である。 これは 102 から出る。 従って、 102 は 97 の前に出したほうが良かった。 107 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 01 21 03 補題 t ≠ 0 を有理数とする。 t を有限単純連分数( 69)に展開して t = [k_0, . . . , k_(n-1)] とするとき、項数 n を偶数または奇数の どちらにも出来る。 証明 t = [k_0, . . . , k_(n-1)] において n = 1 のとき 即ち t = [k_0] のときは t = [k_0 - 1, 1] でもある。 よって n ≧ 2 と仮定してよい。 k_(n-1) = 1 なら [k_0, . . . , k_(n-1)] = [k_0, . . . , k_(n-2) + 1] k_(n-1) ＞ 1 なら [k_0, . . . , k_(n-1)] = [k_0, . . . , k_(n-1) - 1, 1] いずれの場合も、項数を偶数または奇数のどちらにも出来る。 証明終 108 ：１３２人目の素数さん：2007/04/08(日) 02 00 48 虚二次体と類数について教えて下さい 109 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 02 14 37 108 過去スレ４ に書いてあります。 過去スレ４は 54 のリンク先で見れます。 そこはいつまで見れるかわからないのでパソコンに保存しておいたほうがよいです。 虚二次体とその類数についてさらに詳しいことはこの後にやる予定。 110 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 10 33 01 補題 β ＞ 1 を実無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = ±1 であり、 c ＞ d ＞ 0 である。 このときある n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 a/c を単純連分数( 69)に展開して a/c = [k_0, . . . , k_(n-1)] とする。 107 より ad - bc = (-)^n と仮定してよい。 61 より [k_0, k_1, . . . , k_(n-1)] = p_(n-1)/q_(n-1) である。 ここで p_(n-1) = P(k_0, k_1, ... , k_(n-1)) q_(n-1) = P(k_1, ... , k_(n-1)) とおいた。 (続く) 111 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 10 36 21 110 の続き。 ad - bc = (-)^n だから gcd(a, c) = 1 57 より p_(n-1)q_(n-2) - q_(n-1)p_(n-2) = (-1)^n よって gcd(p_(n-1), q_(n-1)) = 1 a/c = p_(n-1)/q_(n-1) で c ＞ 0, q_(n-1) ＞ 0 だから a = p_(n-1) c = q_(n-1) よって aq_(n-2) - cp_(n-2) = ad - bc a(d - q_(n-2)) = c(b - p_(n-2)) gcd(a, c) = 1 だから d ≡ q_(n-2) (mod c) c ＞ d ＞ 0 c = q_(n-1) ≧ q_(n-2) ＞ 0 よって |d - q_(n-2)| ＜ c d ≡ q_(n-2) (mod c) より d = q_(n-2) よって b = p_(n-2) α = (aβ + b)/(cβ + d) = (p_(n-1)β + p_(n-2))/(q_(n-1)β + q_(n-2)) = [k_0, . . . ,k_(n-1), β] 証明終 112 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 16 33 36 命題 β を実無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = ±1 である。 このとき、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、 各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。 即ち、α と β を無限連分数に展開したとき、それぞれのある項から 先の展開は一致する。 証明 cβ + d ＜ 0 なら -cβ - d ＞ 0 で α = (-aβ - b)/(-cβ - d) だから cβ + d ＞ 0 と仮定してよい。 β を 無限連分数に展開して β = [h_0, h_1, . . . ] とする。 m ≧ 1 に対して ω_m = [h_m, h_(m+1), . . . ] とおく。 77 より β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω_m] である。 99 と同様にして、 β = (p_(m-1)ω_m + p_(m-2))/(q_(m-1)ω_m + q_(m-2)) (続く) 113 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 16 36 26 112 の続き。 α = (aβ + b)/(cβ + d) より、 α = (Aω_m + B)/(Cω_m + d) ここで A = ap_(m-1) + bq_(m-1) B = ap_(m-2) + bq_(m-2) C = cp_(m-1) + dq_(m-1) D = cp_(m-2) + dq_(m-2) である。 C = cp_(m-1) + dq_(m-1) = q_(m-1)(cp_(m-1)/q_(m-1) + d) m → ∞ のとき p_(m-1)/q_(m-1) → β だから cβ + d ＞ 0 より十分大きい m に対して C ＞ 0 である。 C = cp_(m-1) + dq_(m-1) = h_(m-1)(cp_(m-2) + dq_(m-2)) + cp_(m-3) + dq_(m-3) 上で述べたことより十分大きい m に対して cp_(m-3) + dq_(m-3) ＞ 0 である。 このとき C = cp_(m-1) + dq_(m-1) ＞ D = cp_(m-2) + dq_(m-2) よって 110 より このときある n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), ω_m] となる。 証明終 114 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 16 38 59 105 と 112 の証明は高木の初等整数論講義を参考にした。 115 ：１３２人目の素数さん：2007/04/08(日) 17 05 50 名無しで自分の隔離病棟スレを立てているんだねｗ 116 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 17 37 25 112 の逆が成り立つことは明らかだろうが、一応証明する。 命題 α と β を実無理数とする。 ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] となるとする。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、 各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。 このとき、α = (aβ + b)/(cβ + d) となる。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = ±1 である。 証明 α = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] より α = (pω + r)/(qω + s) となる。 ここで p, r, q, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 よって A = (p, r)/(q, s) とおけば、A ∈ GL_2(Z) であり、 α = Aω となる。 同様に β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] より β = (p ω + r )/(q ω + s ) となる。 ここで p , r , q , s は有理整数で p s - q r = ±1 である。 B = (p , r )/(q , s ) とおけば、B ∈ GL_2(Z) であり、 β = Bω となる。 従って、α = Aω = AB^(-1)ω となり AB^(-1) ∈ GL_2(Z) である。 証明終 117 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 17 59 59 116 従って、α = Aω = AB^(-1)ω となり 従って、α = Aω = AB^(-1)β となり 118 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2007/04/08(日) 18 09 04 呼んだか･･？ 119 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/08(日) 19 46 47 112 このとき、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 このとき、ある実無理数 ω ＞ 1 と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 120 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/09(月) 22 34 11 補題 θ を簡約された２次無理数とし、 θ = (pθ + q)/(rθ + s) とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 このとき (rθ + s)(rθ + s) = ε である。 ここで θ は θ の共役で ε = ps - qr = ±1 である。 証明 θ = (pθ + q)/(rθ + s) より、 θ(rθ + s) = pθ + q rθ^2 + (s - p)θ - q = 0 よって θ は rx^2 + (s - p)x - q の根である。 よって rx^2 + (s - p)x - q = r(x - θ)(x - θ ) 従って r(θ + θ ) = p - s rθθ = -q (rθ + s)(rθ + s) = r^2θθ + rs(θ + θ ) + s^2 = -qr + s(p - s) + s^2 = ps - qr = ε 証明終 121 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/11(水) 12 51 05 120 証明からわかるように、θ は単に２次無理数であればよく、 簡約された２次無理数である必用はなかった。 122 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/11(水) 15 16 24 命題(高木の初等整数論講義) θ を簡約された２次無理数とし、 θ = (pθ + q)/(rθ + s) とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 さらに、rθ + s ＞ 1 とする。 このときある n ≧ 1 があり、 θ = [k_0, . . . , k_(n-1), θ] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 E = rθ + s, E = rθ + s とおく。 120 より EE = ps - qr = ±1 である。 |EE | = 1 で E ＞ 1 だから |E | ＜ 1 したがって、E - E ＞ 0 即ち r(θ - θ ) ＞ 0 θ は簡約された２次無理数だから、θ ＞ 1, -1 ＜ θ ＜ 0 である( 95)。 よって、θ - θ ＞ 0 だから r ＞ 0 である。 よって、rθ + s ＞ -r + s EE = 1 のとき E ＞ 1 より 1 ＞ E ＞ 0 よって r + 1 ＞ r + E 一方、上より E ＞ -r + s だから r + E ＞ s よって r + 1 ＞ s よって r ≧ s EE = -1 のときは E ＞ 1 より 0 ＞ E ＞ -1 よって r ＞ r + E 一方 r + E ＞ s だから r ＞ s (続く) 123 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/11(水) 16 26 18 122 の続き。 EE = 1 のとき E ＞ 0 すなわち rθ + s ＞ 0 だから s ＞ -rθ ＞ 0 この場合 r ≧ s だったから r ＞ s なら 110 より本命題は従う。 EE = -1 のとき 0 ＞ E ＞ -1 一方 r ＞ 0 で θ ＜ 0 だから s ＞ rθ + s よって s ＞ - 1 即ち s ≧ 0 である。 r ＞ s だったから s ＞ 0 ならやはり 110 より本命題は従う。 残るのは EE = 1 で r = s ＞ 0 の場合と EE = -1 で r ＞ s = 0 の場合である。 EE = 1 で r = s ＞ 0 なら、 pr - qr = 1 (p - q)r = 1 r ＞ 0 だから r = 1 よって q = p - 1 θ = (pθ + p - 1)/(θ + 1) = (p(θ + 1) - 1)/(θ + 1) = p - 1/(θ + 1) = p - 1 + 1 - 1/(θ + 1) = p - 1 + θ/(θ + 1) = p - 1 + 1/(1 + 1/θ) よって θ = [p - 1, 1, θ] となり、この場合も本命題は従う。 EE = -1 で r ＞ s = 0 なら、 ps - qr = -qr = -1 よって qr = 1 r ＞ 0 だから r = q = 1 θ = (pθ + 1)/θ = p + 1/θ = [p, θ] よって、この場合も本命題は従う。 証明終 124 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/11(水) 20 28 21 123 よって q = p - 1 θ = (pθ + p - 1)/(θ + 1) = (p(θ + 1) - 1)/(θ + 1) = p - 1/(θ + 1) = p - 1 + 1 - 1/(θ + 1) = p - 1 + よって θ = [p - 1, 1, θ] となり、この場合も本命題は従う。 ここは高木のように以下のようにしたほうが良かった。 よって p = q + 1 θ = ((q + 1)θ + q)/(θ + 1) = q + θ/(θ + 1) = q + 1/(1 + 1/θ) よって θ = [q, 1, θ] となり、この場合も本命題は従う。 125 ：１３２人目の素数さん：2007/04/12(木) 06 33 11 Thomas Pietraho. 126 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/12(木) 12 41 15 θ を実２次無理数とする。 θ は２次多項式 ax^2 + bx + c の根である。 ここで a, b, c は有理整数で a ＞ 0, gcd(a, b, c) = 1 である。 a, b, c は θ により一意に決まる。 ２次方程式の根の公式よりθ = (-b ± √D)/2a である。 話を固定するため θ = (-b + √D)/2a と仮定する。 ここで D = b^2 - 4ac である。 D は θ の判別式である(過去スレ４の276)。 θ は実数と仮定したから D ＞ 0 である。 D = b^2 - 4ac だから D ≡ b^2 (mod 4) である。 0^2 ≡ 0 (mod 4) 1^2 ≡ 1 (mod 4) 2^2 ≡ 0 (mod 4) 3^2 ≡ 1 (mod 4) よって D ≡ 0 (mod 4) または D ≡ 1 (mod 4) である。 θ は無理数だから D は平方数でない。 従って、過去スレ４の586より D はある２次体 Q(√m) の整環 R = [1, fω] の判別式になる。 D = (f^2)d である。 ここで f は有理整数 f ＞ 0 であり d は Q(√m) の判別式である。 過去スレ４の587より I = [a, (-b + √D)/2] = [a, aθ] は R のイデアルである。 過去スレ４の592より I は可逆イデアルである。 127 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/12(木) 20 56 36 θ を実２次無理数とする。 θ は２次多項式 ax^2 + bx + c の根である。 ここで a, b, c は有理整数で a ＞ 0, gcd(a, b, c) = 1 である。 a, b, c は θ により一意に決まる。 ２次方程式の根の公式よりθ = (-b ± √D)/2a である。 話を固定するため θ = (-b + √D)/2a と仮定する。 ここで D = b^2 - 4ac である。 D は θ の判別式である(過去スレ４の276)。 θ は実数と仮定したから D ＞ 0 である。 D = b^2 - 4ac だから D ≡ b^2 (mod 4) である。 0^2 ≡ 0 (mod 4) 1^2 ≡ 1 (mod 4) 2^2 ≡ 0 (mod 4) 3^2 ≡ 1 (mod 4) よって D ≡ 0 (mod 4) または D ≡ 1 (mod 4) である。 θ は無理数だから D は平方数でない。 従って、過去スレ４の586より D はある２次体 Q(√m) の整環 R = [1, fω] の判別式になる。 D = (f^2)d である。 ここで f は有理整数 f ＞ 0 であり d は Q(√m) の判別式である。 過去スレ４の587より I = [a, (-b + √D)/2] = [a, aθ] は R のイデアルである。 過去スレ４の592より I は可逆イデアルである。 128 ：１３２人目の素数さん：2007/04/12(木) 21 04 02 Googleがking仕様になったぞ 早く見てみろ 129 ：１３２人目の素数さん：2007/04/12(木) 21 07 46 ax^2 + bx + c＝０ の解はa,b,cの関数で、逆函数がある。 ２つの２次曲線の交点が解だと、逆函数は存在しない。 でも２次曲線のｘ切片が２個決まれば、その２点を通る２次曲線は 無限にある。 130 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 12 06 28 127 の続き。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき ω = (1 + √m)/2 であり、d = m である(過去スレ３の768)。 D = (f^2)m より (-b + √D)/2 = (-b + f√m)/2 = (-b - f + f(1 + √m))/2 = -(b + f)/2 + fω D ≡ f^2 (mod 4) だから b^2 ≡ f^2 (mod 4) よって b^2 ≡ f^2 (mod 2) よって b ≡ f (mod 2) よって b + f ≡ 0 (mod 2) 即ち -(b + f)/2 は有理整数である。 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき ω = √m であり、d = 4m である(過去スレ３の768)。 D = 4(f^2)m より (-b + √D)/2 = (-b + 2f√m)/2 = -b/2 + fω D ≡ 0 (mod 4) だから b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b ≡ 0 (mod 2) 即ち -b/2 は有理整数である。 131 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 16 58 24 130 の続き。 I = [a, (-b + √D)/2] = [a, aθ] = [a, c + fω] である。 ここで、 m ≡ 1 (mod 4) のとき c = -(b + f)/2 m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき c = -b/2 I = αI となる α ∈ Q(√m) があるとする。 過去スレ４の593より θ = (pθ + q)/(rθ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。 逆に、ps - qr = ±1 となる有理整数 p, q, r, s があり、 θ = (pθ + q)/(rθ + s) とすると、過去スレ４の593より I = αI となる。 ここで、α = rθ + s である。 I は可逆イデアルだから I = αI なら II^(-1) = αII^(-1) II^(-1) = R だから R = αR である。ここで R = [1, fω]。 よって αβ = 1 となる β ∈ R がある。 即ち α は R の単数である。 逆に α が R の単数なら αR = R だから I = RI = αRI = αI 132 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 17 02 38 過去スレ４の590より R = {(x + y√D)/2 ; x ∈ Z, y ∈ Z, x ≡ yD (mod 2) } である。 従って、 D ≡ 0 (mod 4) のとき R = {(u + v√D)/2 ; u ∈ Z, v ∈ Z, u ≡ 0 (mod 2) } である。 D ≡ 1 (mod 4) のとき R = {(u + v√D)/2 ; u ∈ Z, v ∈ Z, u ≡ v (mod 2) } である。 α = (u + v√D)/2 が R の単数なら、 αα = (u + v√D)/2 (u - v√D)/2 = (u^2 - Dv^2)/4 = ±1 逆に (u, v) が u^2 - Dv^2 = ±4 の有理整数解なら u^2 ≡ Dv^2 (mod 4) D ≡ 0 (mod 4) のとき u^2 ≡ 0 (mod 4) u ≡ 0 (mod 2) D ≡ 1 (mod 4) のとき u^2 ≡ v^2 (mod 4) u ≡ v (mod 2) よって、いずれの場合にも α = (u + v√D)/2 は R の元であり 従って R の単数である。 133 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 17 06 01 (u, v) が u^2 - Dv^2 = ±4 の有理整数解なら (u, -v), (-u, v), (-u, -v) も同様である。 これ等には、それぞれ α , -α , -α が対応する。 u ＞ 0, v ＞ 0 なら D ≧ 2 だから α = (u + v√D)/2 ≧ (1 + √2)/2 ＞ 1 以上から、次のことが分かった。 α を R の単数とすると、α, α , -α , -α のどれか一つは 1 より大きい。 134 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 17 27 10 133 を以下のように訂正する。 (u, v) が u^2 - Dv^2 = ±4 の有理整数解なら (u, -v), (-u, v), (-u, -v) も同様である。 これ等には、それぞれ α , -α , -α が対応する。 u = 0 なら -Dv^2 = ±4 より v^2 = 1 または v^2 = 4 となり D = 4 または D = 1 となって矛盾。 v = 0 なら u^2 = 4 より u = ±2 となり α = ±1 である。 u ＞ 0, v ＞ 0 なら D ≧ 2 だから α = (u + v√D)/2 ≧ (1 + √2)/2 ＞ 1 以上から、次のことが分かった。 α ≠ ±1 を R の単数とすると、α, α , -α , -α のどれか一つは 1 より大きい。 135 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 21 52 44 131 より θ = (pθ + q)/(rθ + s) なら rθ + s は R の単数である。 よって 132 より rθ + s = (u + v√D)/2 となる。 ここで (u, v) は u^2 - Dv^2 = ±4 の有理整数解である。 p, q, r, s を u, v で表してみよう。 (u + v√D)/2 = rθ + s = r(-b + √D)/2a + s よって v = r/a よって r = av u/2 = -rb/2a + s だから u/2 = -vb/2 + s s = (u + vb)/2 θ = (pθ + q)/(rθ + s) だから θ(rθ + s) = pθ + q これに θ = (-b + √D)/2a を代入して (u + v√D)/2 (-b + √D)/2a = p(-b + √D)/2a + q (-ub + (u - vb)√D + vD)/4a = 2p(-b + √D)/4a + q よって (-ub + vD)/4a = (4aq - 2pb)/4a -ub + vD = 4aq - 2pb (u - vb)/4a = 2p/4a p = (u - bv)/2 -ub + vD = 4aq - 2pb = 4aq - (u - bv)b -b^2v + vD = 4aq q = v(-b^2 + D)/4a = -4acv/4a = -cv 以上から (p, q/(r, s) = ((u - bv)/2, -cv)/(av, (u + bv)/2) 136 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 22 08 52 122 このときある n ≧ 1 があり、 θ = [k_0, . . . , k_(n-1), θ] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 θ ＞ 1 だから k_0 ≧ 1 でもある。 137 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/13(金) 22 44 28 命題 θ, R は 126 同じとする。 A = (p_0, q_0)/(r_0, s_0) ∈ GL_2(Z) B = (p_1, q_1)/(r_1, s_1) ∈ GL_2(Z) で θ = Aθ θ = Bθ とする。 E_0 = r_0θ + s_0 E_1 = r_1θ + s_1 とおけば、 131 より E_0, E_1 は R の単数である。 AB = C とすれば θ = Cθ である。 C = (p_2, q_2)/(r_2, s_2) ∈ GL_2(Z) E_2 = r_2θ + s_2 とおく。 このとき、E_0E_1 = E_2 である。 証明 E_0E_1 = (r_0θ + s_0)(r_1θ + s_1) = r_0θ(r_1θ + s_1) + s_0(r_1θ + s_1) = r_0(p_1θ + q_1) + s_0(r_1θ + s_1) = (r_0p_1 + s_0r_1)θ + (r_0q_1 + s_0s_1) = r_2θ + s_2 証明終 138 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/14(土) 00 52 14 R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 θ を判別式 D の簡約された２次無理数とする。 127 において θ が簡約された２次無理数の場合を考える。 101 より θ は純循環連分数に展開される。 θ = [k_0, . . . , k_(n-1), θ] で、k_0, . . . , k_(n-1) が 最短の純循節とする。 θ = (p_(n-1)θ + p_(n-2))/(q_(n-1)θ + q_(n-2)) で p_(n-1)q_(n-2) - q_(n-1)p_(n-2) = (-1)^n である( 43, 44, 57)。 θ ＞ 1 で q_(n-1) ＞ 0, q_(n-2) ≧ 0 だから E = q_(n-1)θ + q_(n-2) ＞ 1 である。 131 より E は R の単数である。 α を R の単数で α ＞ 1 とする。 α も R の単数であるから 131 より I = α I である。 よって θ = (pθ + q)/(rθ + s) となる 有理整数 p, q, r, s で ps - qr = ±1 となるものがあり、 α = rθ + s である。 よって α = rθ + s である。 α ＞ 1 だから 122 より rθ + s はθの連分数展開から得られる。 よって 137 より α = E^m となる m ≧ 1 がある。 139 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/14(土) 01 07 04 α を R の単数で α ＞ 1 とする。 α も R の単数であるから 131 より I = α I である。 よって θ = (pθ + q)/(rθ + s) となる 有理整数 p, q, r, s で ps - qr = ±1 となるものがあり、 α = rθ + s である。 よって α = rθ + s である。 α ＞ 1 だから 122 より rθ + s はθの連分数展開から得られる。 よって 137 より α = E^m となる m ≧ 1 がある。 α を R の単数で 0 ＜ α ＜ 1 とすると、1/α ＞ 1 だから 138 より 1/α = E^m となる m ≧ 1 がある。 よって α = E^(-m) である。 α ＜ 0 なら -α ＞ 0 だから α ≠ -1 なら上でのべたことから -α = E^m となる m ≠ 0 がある。 以上から R の任意の単数は ±E^m, m ∈ Z と書ける。 E を R の基本単数と呼ぶ。 140 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/14(土) 01 12 10 138 R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 θ を判別式 D の簡約された２次無理数とする。 この部分は不要なので削除する。 141 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 10 00 16 142 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 11 00 17 143 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 12 00 16 144 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 13 00 15 145 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 14 02 14 146 ：１３２人目の素数さん：2007/04/14(土) 04 15 00 13 147 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 10 13 27 連分数の理論を(２元)２次形式論と実２次体に応用するためには、 ２次の無理数と２次形式と２次体のイデアルの３者の関係をはっきり させておいたほうが良い。 この関係は過去スレ４でもある程度扱ったが、ここではより詳しく 述べる。 ここで述べる定式化は Henri Cohen の A course in computational algebraic number thery から拝借した。 148 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 10 43 56 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 過去スレ４の586より D はある２次体 Q(√m) の整環 R の 判別式である。 I を R の分数イデアル(過去スレ２の677)とする。 即ち、Q(√m) の R-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を R の 分数イデアルと呼ぶ。 1) I ≠ 0 2) Q(√m) の元 x ≠ 0 で xI ⊂ R となるものがある。 定義より、I = (1/α)J と書ける。 ここで J は R のイデアルで α は R の元である。 I のノルム N(I) を N(I) = N(J)/|N(α)| で定義する。 これが J と α の取り方によらないことは証明を要する。 149 ：１３２人目の素数さん：2007/04/21(土) 10 57 54 糞 150 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 11 17 07 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。 I = [α, β] を I のある基底による表示とする。 I ⊂ R だから α = pμ + qν β = rμ + sν と書ける。ここで p, q, r, s は有理整数である。 このとき N(I) = |ps - qr| である。 証明 I = [a, b + cfω] を I の標準基底 (過去スレ４の429) による 表示とする。 N(I) = ac である(過去スレ４の438)。 [μ, ν] の [1, fω] による変換行列を A とする。 つまり、(μ, ν) = A(1, fω) である。 ここで、(μ, ν) , (1, fω) はそれぞれ列ベクトルを表す。 同様に [a, b + cfω] の [1, fω] による変換行列を B とする。 つまり、(a, b + cfω) = B(1, fω) である。 ここで、B = (a, 0)/(b, c) である。 同様に [α, β] の [a, b + cfω] による変換行列を C とする。 (α, β) = C(a, b + cfω) = CB(1, fω) = CBA^(-1) (μ, ν) 従って、P = (p, q)/(r, s) とおけば P = CBA^(-1) である。 det(A) = ±1, det(C) = ±1 だから |det(P)| = |det(B)| = ac = N(I) det(P) = ps - qr だから N(I) = |ps - qr| である。 証明終 151 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 11 30 20 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。 I = [α, β] を I のある基底による表示とする。 I ⊂ R だから α = pμ + qν β = rμ + sν と書ける。ここで p, q, r, s は有理整数である。 このとき αβ - α β = (ps - qr)(μν - μ ν) 証明 (α, α )/(β, β ) = (p, q)/(r, s) (μ, μ )/(ν, ν ) である。 両辺の行列式をとればよい。 証明終 152 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 11 47 49 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表示とする。 (αβ - α β)^2 は有理整数 ＞ 0 であり、基底 α, β の 取り方によらない。 証明 I = [γ, δ] を I の別の基底による表示とする。 [α, β] の [γ, δ] による変換行列を P とすれば 151 と同様にして αβ - α β = (ps - qr)(γδ - γ δ) 両辺を２乗して (αβ - α β)^2 = (ps - qr)^2 (γδ - γ δ)^2 det(P) = ±1 だから (αβ - α β)^2 = (γδ - γ δ)^2 証明終 153 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 11 54 18 定義 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表示とする。 d(I) = (αβ - α β)^2 と書き、これを I の判別式という。 152 より、これは基底 α, β の取り方によらない。 d(I) を d(α, β) とも書く。 容易にわかるように d(R) は R の判別式に一致する。 さらに d(1, ω) は２次体 Q(√m) の判別式である。 154 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 11 59 03 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 d(I) = (N(I)^2)d(R)である。 証明 定義( 152) と 150, 151 より明らかである。 155 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 12 05 04 定義 α, β を２次体 Q(√m) の元とする。 Δ(α, β) = αβ - α β と書く。 156 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/04/21(土) 12 19 47 補題 α, β, γ を２次体 Q(√m) の元とする。 Δ(γα, γβ) = N(γ)Δ(α, β) である。 証明 Δ(γα, γβ) = γαγ β - γ α γβ = γγ (αβ - α β) = N(γ)Δ(α, β) 証明終 157 ：１３２人目の素数さん：2007/04/22(日) 04 10 00 12 158 ：１３２人目の素数さん：2007/04/22(日) 04 11 00 11 159 ：１３２人目の素数さん：2007/04/22(日) 04 12 00 10 160 ：１３２人目の素数さん：2007/04/22(日) 04 13 00 9 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 20時56分28秒 代数的整数論 006 (191-270) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/191-270 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/191-270 191 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 16 56 13 ここまで来たら一様空間について述べたほうがいいだろう。 一様空間が数学科の学部学生の常識になっていないことが 残念である。 言うまでもないかもしれないが、この辺りは全て Bourbaki の受売り である。 192 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 17 14 49 定義 X を集合とする。 V と W を X×X の部分集合としたとき、 V^(-1) = {(x, y) ∈ X×X ; (y, x) ∈ V } VW = {(x, y) ∈ X×X ; (x, z) ∈ W, (z, y) ∈ V となる z がある} x ∈ X のとき V(x) = {y ∈ X ; (x, y) ∈ V} A ⊂ X のとき V(A) = ∪{V(x) ; x ∈ A} とする。 193 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 17 18 36 192 において V^2 = VV V^3 = (V^2)V と書く。 同様に n ≧ 1 に対して V^n が定義される。 194 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 19 53 00 定義 X を集合とする。 Δ = {(x, x) ; x ∈ X } と書く。 Δ を X×X の対角線集合と言う。 X×X の部分集合の集合 Φ で以下の条件を満たすものが与えられたとき Φ を X の一様構造と言う。 1) V ∈ Φ なら Δ ⊂ V 2) V ∈ Φ を含む X×X の部分集合は Φ に属す。 3) V ∈ Φ, W ∈ Φ のとき V ∩ W ∈ Φ 4) V ∈ Φ のとき V^(-1) ∈ Φ 5) V ∈ Φ のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 Φ の元を X の近縁と言う。 V ∈ Φ で (x, y) ∈ V のとき x と y は V 程度に近いと言う。 一様構造の与えられた集合を一様空間と言う。 195 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 02 33 定義 X を集合とする。 Φ を X の一様構造とする。 Φ の部分集合 Φ_0 で Φ の任意の元 V に対して W ⊂ V となる W ∈ Φ_0 があるとき Φ_0 を一様構造 Φ の基本近縁系と言う。 196 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 10 19 X を集合とする。 X×X の部分集合の集合 Φ_0 が X の一様構造の基本近縁系で あるためには Φ_0 が以下の条件を満たすことが必要十分である。 1) V ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V 2) V, V ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V ∩ V となる W ∈ Φ_0 がある。 3) V ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Φ_0 がある。 4) V ∈ Φ_0 のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ_0 がある。 197 ：king氏ね：2007/08/04(土) 20 15 32 196 元気か？ 198 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 22 39 命題 X を一様構造 Φ をもつ一様空間とする。 x ∈ X のとき、V ∈ Φ に対する V(x) ( 192) 全体を x の近傍系と する X の位相構造が一意に存在する。 証明 任意の V ∈ Φ に対して W^2 ⊂ V となる W ∈ Φ をとる。 y ∈ W(x) のとき即ち (x, y) ∈ W のとき (y, z) ∈ W なら (x, z) ∈ W^2 ⊂ V だから W(y) ⊂ V(x) である。 すなわち V(x) は y の近傍である。 残りは容易なので読者にまかす。 証明終 199 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 27 56 距離空間 (X, d) は一様空間である。 実数 ε ＞ 0 に対して V(ε) = { (x, y) ∈ X×X ; d(x, y) ∈ ε} とおく。 V(ε) 全体は基本近縁系となる。 200 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 37 53 G を位相群とする。 V を G の単位元の任意の近傍としたとき V_r = {(x, y) ∈ X×X ; yx^(-1) ∈ V } とおく。 V_r 全体は基本近縁系となる。 V_r(x) = Vx であるから、この一様構造は G の位相を引き起こす。 この一様構造を G の右一様構造と言う。 同様に V_l = {(x, y) ∈ X×X ; x^(-1)y ∈ V } とおくと、V_l 全体は基本近縁系となる。 この一様構造を G の左一様構造と言う。 V_l(x) = xV だから、この一様構造も G の位相を引き起こす。 G が位相アーベル群の場合、右一様構造と左一様構造は一致する。 201 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 20 52 39 X を集合、R を X の同値関係とする。 C を R のグラフ、即ち C = {(x, y) ∈ X×X ; xRy } とする。 Δ ⊂ C, C^2 = C^(-1) = C である。 したがって、C だけで X の一様構造の基本近縁系となる。 R として等値関係、即ち C = Δ をとると、この一様構造の近縁とは Δ を含む X×X の任意の部分集合である。 この一様構造を X の離散一様構造という。 この一様構造を持った空間を離散一様空間と言う。 202 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 21 16 21 X を一様空間、V を X の近縁で V = V^(-1) となるものとする。 このとき V を対称近縁と言う。 V を X の任意の近縁としたとき V ∩ V^(-1) は対称近縁である。 従って、対称近縁全体は X の基本近縁系になる。 203 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 21 47 59 命題 X を一様空間、A を X の部分集合、V を X の対称近縁とする。 V(A) ( 192) は A の近傍である。即ち V(A) の内部は A を含む。 cls(A) = ∩{V(A); V は X の対称近縁全体} となる。 ここで cls(A) は A の閉包を表す。 証明 V(A) が A の近傍であることは明らかである。 B = ∩{V(A); V は X の対称近縁全体} とおく。 x ∈ cls(A) とする。 これは、任意の対称近縁 V に対して V(x) ∩ A が空でないことと同値である。 V は対称だから、y ∈ V(x) と x ∈ V(y) は同値である。 従って、上は x ∈ V(A) と同値である。 即ち x ∈ B と同値である。 証明終 204 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 22 36 44 命題 X を一様空間、M を X×X の部分集合、V を X の対称近縁とする。 VMV は M の X×X における近傍である。 cls(M) = ∩{VMV; V は X の対称近縁全体} となる。 ここで cls(M) は M の閉包を表す。 証明 (x, y) ∈ VMV とは (p, q) ∈ M があり、(x, p) ∈ V, (q, y) ∈ V 即ち V が対称だから (x, y) ∈ V(p)×V(q) V(p)×V(q) は (p, q) の近傍だから VMV は M の X×X における 近傍である。 (x, y) ∈ cls(M) とは任意の対称近縁 V に対して V(x)×V(y) と M が交わることと同値である。 これは (p, q) ∈ M があり (x, y) ∈ V(p)×V(q) と同値である。 これは上で見たように (x, y) ∈ VMV と同値である。 従って cls(M) = ∩{VMV; V は X の対称近縁全体} となる。 証明終 205 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 22 57 37 命題 X を一様空間とする。 X の近縁の内部全体は基本近縁系になる。 X の近縁の閉包全体も基本近縁系になる。 証明 V を X の任意の近縁とする。 W^3 ⊂ V となる対称近縁がある。 204 より W^3 は W の近傍だから V の内部は W を含み X の 近縁である。 よって X の近縁の内部全体は基本近縁系になる。 204 より W ⊂ cls(W) ⊂ W^3 ⊂ V 従って cls(W) は X の近縁であり、V に含まれる。 よって X の近縁の閉包全体は基本近縁系になる。 証明終 206 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 23 48 10 命題 X と Y を位相空間とする。 V が X×Y の閉集合なら、任意の x ∈ X に対して V(x) = {y ∈ Y; (x, y) ∈ V } は Y の閉集合である。 証明 y ∈ Y に (x, y) を対応させる写像 f Y → {x}×Y は 位相同型である。 V ∩ {x}×Y は {x}×Y の閉集合で、その f による逆像が V(x) である。 よって V(x) は閉集合である。 証明終 207 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/04(土) 23 50 25 命題 X を一様空間とする。 X の任意の点 x の閉近傍全体は基本近傍系である。 証明 V を X の任意の近縁とする。 205 より X の閉近縁 W で W ⊂ V となるものがある。 206 より W(x) は x の閉近傍で V(x) に含まれる。 証明終 208 ：king氏ね：2007/08/05(日) 00 42 36 207 元気か？ 209 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2007/08/05(日) 03 23 19 Reply 208 お前に何が分かるというのか？ 210 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 08 46 09 定義 ハウスドルフ位相空間 X が次の性質をもつとき正則であるという。 X の任意の点の閉近傍全体はこの点の基本近傍系になる。 211 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 19 00 命題 位相空間 X において次の条件は同値である。 1) X の任意の点の閉近傍全体はこの点の基本近傍系になる。 2) X の任意の閉集合 A と A に含まれない任意の点 x に対して x の近傍と A の近傍で交わらないものがある。 証明 1) ⇒ 2) A が閉集合で x が A に含まれないなら x ∈ V ⊂ X - A となる x の閉近傍がある。 V と X - V はそれぞれ x と A の近傍で交わらない。 2) ⇒ 1) U を x の開近傍とする。 x の近傍 V と X - U の近傍 W で交わらないものがある。 cls(V) ⊂ U 証明終 212 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 24 29 命題 X を一様空間とする。 X の任意の点 x に対して {x} が閉集合となるなら X は正則( 210)である。 証明 207 より X の任意の点 x の閉近傍全体はこの点の基本近傍系になるから X がハウスドルフであることを言えばよい。 これは、 211 より明らかである。 証明終 213 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 25 43 ハウスドルフ一様空間は分離一様空間とも言う。 214 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 41 07 命題 X を一様空間とする。 X がハウスドルフ空間であるための条件は、X の近縁全部の共通集合が X×X の対角集合 Δ であること。 証明 205 より X の閉近縁全体は基本近縁系である。 従って、X の近縁全部の共通集合が X×X の対角集合 Δ なら Δ は閉集合である。 84 より X はハウスドルフ空間である。 逆に X がハウスドルフ空間であるとする。 X×X の点 (x, y) が Δ に含まれないなら x ≠ y だから y が V(x) に含まれないような近縁 V がある。 このとき (x, y) は V に含まれないから X の近縁全部の共通集合は Δ である。 証明終 215 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 56 02 定義 一様空間 X から一様空間 Y への写像 f に関して、 Y の任意の近縁 V に対して X の近縁 W が存在して (x, y) ∈ W なら (f(x), f(y)) ∈ V となるとき f を一様連続であると言う。 これは g = f×f としたとき Y の任意の近縁 V に対して g^(-1)(V) が X の近縁になることと同値である。 216 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 09 58 05 命題 一様連続写像は連続である。 証明 定義( 215)から明らかである。 217 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 10 00 40 命題 f X → Y g Y → Z が一様連続のとき gf X → Z も一様連続である。 証明 定義( 215)から明らかである。 218 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 10 05 33 f X → Y g Y → X が一様連続で、 gf = 1 fg = 1 となるとき X と Y は(一様空間として)同型であると言う。 このとき f と g は同型写像または同型射または単に同型と言う。 219 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 10 17 14 X を集合とする。 X の一様構造( 194)全体は包含関係で順序集合になる。 X の一様構造 α と β に対して α ⊂ β のとき α ≦ β と書く。 このとき α は β より荒いと言い、β は α より細かいと言う。 α ≦ β で α ≠ β のとき α ＜ β と書く。 このとき α は β より真に荒いと言い、β は α より真に細かい と言う。 220 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 10 46 43 X を集合とする。 X の一様構造の族 (α_i), i ∈ I があるとする。 ここで I は任意濃度の集合である。 I の任意の有限部分集合 K をとる。 各 k ∈ K に対して V_k を α_k の任意の近縁として ∩V_k の全体を α(K) ととする。 K を変化させたときの α(K) の全体を β_0 とする。 このとき β_0 は基本近縁系になる。 これは次の事実に注意すれば明らかである。 V と W が X×X の部分集合のとき (V ∩ W)^(-1) = V^(-1) ∩ W^(-1) (V ∩ W)^2 ⊂ V^2 ∩ W^2 β_0 が生成する一様構造を β とすれば β = sup(α_i) 即ち β は (α_i), i ∈ I の上限である。 221 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 11 10 53 X を集合とする。 X の一様構造全体には最も細かいものがある。 それは X の離散一様構造( 201)である。 X の一様構造全体には最も荒いものがある。 それは X×X だけを近縁に持つ一様構造である。 222 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 11 19 14 X を集合とする。 X の一様構造 α と β に対して α ∩ β は一様構造とは限らない。 これは α ∩ β において 194 の 5) が成り立つとは限らないから である。 しかし inf(α, β) は存在する。 それは γ ≦ α, γ ≦ β となる一様構造 γ 全体の上限である。 X×X だけを近縁に持つ一様構造は α, β より荒いから このような γ は存在する。 従って、sup(γ) 即ち inf(α, β) も存在する。 同様に X の一様構造の任意の族 (α_i), i ∈ I に対して その下限 inf(α_i) が存在する。 それはすべての i ∈ I に対して γ ≦ α_i となる一様構造 γ 全体の 上限である。 223 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 03 26 X を集合とする。 X の分割 X = (A_λ), λ ∈ L 全体と X の同値関係全体は１対１に対応する。 X の分割 X = (A_λ), λ ∈ L に対応する同値関係が 定める一様構造( 201) を分割 (A_λ) が定める一様構造という。 X の有限分割 X = A_1 ∪. . . ∪A_n が定める一様構造全体の 上限を X の有限分割の一様構造と言う。 X の有限分割 π = (A_i) に対して V_π = ∪(A_i)×(A_i) とおく。 V_π 全体が X の有限分割の一様構造の基本近縁系となる。 実際、X の有限分割 π = (B_j) に対して A_i と B_j が交わるような C_ij = A_i ∩ B_j 全体は X の有限分割 π となり V_π ⊂ V_π ∩ V_π となる。 224 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 20 17 X を集合、Y を一様空間とし、 f X → Y を写像とする。 V を Y の近縁とし W = g^(-1)(V) とする。 W^(-1) = g^(-1)(V^(-1)) W^2 = g^(-1)(V^2) よって、Y の近縁の g = f×f による逆像全体は基本近縁系となる。 これが定める X の一様構造を Y の一様構造の f による逆像と言う。 この一様構造は f を一様連続にする X の一様構造の中で最も荒いもの である。 即ち f を一様連続にする X の一様構造全体の下限である。 225 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 25 17 命題 X を集合、Y を一様空間とし、 f X → Y を写像とする。 X に f による Y の一様構造の逆像( 224)である一様構造を与える。 Z を一様空間とし、g Z → X を写像とする。 g が一様連続であるためには fg が一様連続であることが 必要十分である。 証明 一様連続の定義( 215) と一様構造の逆像の定義( 224)から 明らかである。 226 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 36 46 定義 X を一様空間とし、A を X の部分集合とする。 X の一様構造の標準単射 A → X による逆像( 224)を X の一様構造を A に導入した一様構造と言う。 A に導入した一様構造により A を一様空間と見たとき A を X の部分一様空間と言う。 227 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 54 53 命題 X を集合、(Y_i), i ∈ I を一様空間族とし、 各 i ∈ I に対して f_i X → Y_i を写像とする。 このとき X の一様構造で各 f_i を一様連続にする最も荒い一様構造が 存在する。 各 i に対して、g_i = (f_i)×(f_i) とし、V_i を X の近縁として (g_i)^(-1)(V_i) の形の集合の有限個の共通部分全体が、この一様構造の 基本近縁系である。 証明 Y_i の一様構造の f_i による逆像( 224) を α_i とする。 族 (α_i), i ∈ I の上限が求めるものである。 後半は一様構造の逆像の定義( 224)と 220 より明らかである。 証明終 228 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 12 57 27 定義 X を集合、(Y_i), i ∈ I を一様空間族とし、 各 i ∈ I に対して f_i X → Y_i を写像とする。 このとき X の一様構造で各 f_i を一様連続にする最も荒い一様構造が 存在する( 227)。 この一様構造を写像族 (f_i) から X に導入された一様構造と言う。 229 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 13 06 13 命題 X を集合、(Y_i), i ∈ I を一様空間族とし、 各 i ∈ I に対して f_i X → Y_i を写像とする。 写像族 (f_i) から X に導入された一様構造( 228)により X を一様空間とみなす。 Z を一様空間で g Z → X を写像とする。 g が一様連続であるためには各 (f_i)g が一様連続になることが 必要十分である。 証明 写像族 (f_i) から X に導入された一様構造の定義( 228)から明らか である。 230 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 13 31 35 定義 (X_i), i ∈ I を一様空間族とし、X を 積集合 = ΠX_i とする。 各 i ∈ I に対して p_i X → X_i を射影とする。 写像族 (p_i) から X に導入された一様構造( 228)により X を一様空間とみなす。 このとき X を一様空間族 (X_i) の積と言う。 231 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 13 34 10 一様空間族 (X_i) の積( 130)から定まる位相は 各 X_i の位相の積である。 232 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 10 46 命題 X を一様空間族 (X_i), i ∈ I の積( 230)とし、 p_i X → X_i を射影とする。 Y を一様空間とし、f Y → X を写像とする。 f が一様連続であるためには各 (p_i)f が一様連続であることが 必要十分である。 証明 一様空間族 (X_i), i ∈ I の積の定義( 230) と 229 より明らかである。 233 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 20 44 命題 X を一様空間族 (X_i), i ∈ I の積( 230)とし、 p_i X → X_i を射影とする。 Y を一様空間とし、 各 i に対して f_i Y → X_i を一様連続写像とする。 このとき一様連続写像 f Y → X で f_i = (p_i)f となるものが一意に存在する。 証明 y ∈ Y のとき f(y) = (f_i(y)) により写像 f Y → X を定義する。 f_i = (p_i)f だから 232 より f は一様連続である。 一様連続写像 g Y → X で f_i = (p_i)g とする。 y ∈ Y のとき p_i(g(y)) = f_i(y) だから f(y) = g(y) 即ち f = g である。 証明終 234 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 23 02 233 は一様空間族 (X_i) の積 X が一様空間の圏における (X_i) の積であることを示している。 235 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 29 52 定義( 98の一般化) X を一様空間、V を X の近縁、 A を X の部分集合とする。 A×A ⊂ V のとき A を V 程度に小さい集合という。 236 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 32 55 定義( 130の一般化) Φ を一様空間 X のフィルター( 76)とする。 X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235) Φ の元があるとき Φ を X の Cauchy フィルターと言う。 237 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 36 41 定義( 88の一般化) 一様空間 X の点列 (x_n), n ∈ Z+ に対して A_n = {x_n, x_(n+1), . . . } とおく。 (A_n) が Cauchy フィルター( 236)の基底となるとき (x_n) を Cauchy 点列と言う。 238 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 46 49 補題 x を一様空間 X の点とする。 対称近縁( 202) V に対して V(x) は V^2 程度に小さい。 証明 y と z を V(x) に含まれる点とする。 (y, x) ∈ V (x, z) ∈ V だから (y, z) ∈ V^2 である。 証明終 239 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 14 58 13 命題( 178の一般化) 一様空間 X の収束フィルターは Cauchy フィルター( 236)である。 証明 V を X の任意の近縁とする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 フィルター Φ が x に収束すれば Φ は W(x) を含む。 238 より W(x) は W^2 程度に小さく、従って V 程度にも小さい。 証明終 240 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 15 43 25 命題 f X → Y を一様連続とする。 X の Cauchy フィルターの基底 Φ_0 の f による像は Y の Cauchy フィルターの基底である。 証明 V を Y の任意の近縁とする。 x の近縁 W があり (x, y) ∈ W なら (f(x), f(y)) ∈ V となる。 Φ_0 は Cauchy フィルターの基底だから、W 程度に小さい Φ_0 の 元 M がある。f(M) は f(Φ_0) の元で V 程度に小さい。 よって f(Φ_0) は Cauchy フィルターの基底である。 証明終 241 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 15 46 45 定義( 133の一般化) Φ を一様空間 X の Cauchy フィルター( 236)とする。 Ψ ⊂ Φ となる X の Cauchy フィルター Ψ は Φ に限るとき Φ を X の極小 Cauchy フィルターと言う。 242 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 15 57 39 補題( 135の一般化) X を一様空間とする。 M を X の部分集合とする。 X の対称近縁( 202) V に対して M が V 程度に小さければ( 235) V(M) は V^3 程度に小さい。 証明 x と y を V(M) の元とする。 M の元 p, q で (x, p) ∈ V (q, y) ∈ V となるものがある。 (p, q) ∈ V だから (x, y) ∈ V^3 である。 証明終 243 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 05 45 命題( 136の一般化) X を一様空間とする。 Φ を X の Cauchy フィルター( 236)とする。 Φ_0 を Φ のフィルター基底とする。 V を X の対称近縁全体を動かし、 M を Φ_0 の元全体を動かしたときの V(M) ∩ X 全体を Ψ_0 とする。 Ψ_0 は X の Cauchy フィルターの基底であり、 Ψ_0 が生成する X のフィルター Ψ は Φ に含まれる 唯一の極小 Cauchy フィルター( 241)である。 証明 M, N を Φ_0 の元とし、 V, W を 対称近縁とする。 L ⊂ M ∩ N となる L ∈ Φ_0 と U ⊂ V ∩ W となる対称近縁 U がある。 U(L) ⊂ V(M) ∩ W(N) である。 よって Ψ_0 は X のフィルター基底である。 (続く) 244 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 06 55 242 より M が V 程度に小さければ V(M) は V^3 程度に小さい。 よって Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底である。 M ⊂ V(M) だから Ψ_0 ⊂ Φ である。 Γ を Cauchy フィルターで Γ ⊂ Φ とする。 任意の 対称近縁 V に対して V 程度に小さい N ∈ Γ がある。 任意の M ∈ Φ_0 に対して Γ ⊂ Φ だから N と M は交わる。 よって N ⊂ V(M) となり、V(M) ∈ Γ となる。 よって Ψ_0 ⊂ Γ となる。 これは Ψ_0 が Φ に含まれる唯一の極小 Cauchy フィルター であることを意味する。 証明終 245 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 09 56 命題( 138の一般化) X を一様空間とする。 Φ を X の Cauchy フィルター( 236)とする。 Φ_0 を Φ のフィルター基底とする。 Φ が X の 極小 Cauchy フィルター( 241)であるためには 任意の N ∈ Φ に対して M ∈ Φ_0 と 対称近縁 V があり、V(M) ⊂ N となることが必要十分である。 証明 243 より明らかである。 246 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 19 49 命題( 139 の一般化) X を一様空間とする。 x を X の点とする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) の全体 Φ は X の 極小 Cauchy フィルターである。 証明 Φ がフィルターであることは明らかである。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 y ∈ W(W(x)) なら z ∈ W(x) があり (y, z) ∈ W 従って、y ∈ (W^2)(x) ⊂ V(x) 即ち W(W(x)) ⊂ V(x) よって 245 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 証明終 247 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 25 23 246 は次のように証明したほうが良い。 Ψ を x を含む X の部分集合全体とする。 Ψ は Cauchy フィルターである。 {{x}} は Ψ の基底である。 243 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 248 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 33 39 命題( 140 の一般化) X を一様空間とする。 X の Cauchy フィルターの基底の接触点( 132)は極限点である。 証明 Φ_0 を X の Cauchy フィルターの基底で x をその接触点とする。 任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 Φ_0 は Cauchy フィルターの基底だから W 程度に小さい M ∈ Φ_0 がある。 M は W(x) と交わるから y ∈ M のとき (y, x) ∈ W^2 ⊂ V よって M ⊂ V(x) よって x は Φ_0 の極限点である。 証明終 249 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 16 38 54 定義( 145 の一般化) 任意の Cauchy フィルターが収束する一様空間を完備空間という。 250 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 17 23 07 命題 完備空間( 249)の閉部分空間は完備である。 証明 X を完備空間、A をその閉部分空間とする。 Φ を A の Cauchy フィルターとする。 240 より Φ は X のCauchy フィルターの基底である。 X は完備だから Φ は X の点 x に収束する。 A は閉集合だから x は A の点である。 従って Φ は A において x に収束する。 証明終 251 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 17 52 41 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 252 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 21 02 34 命題 X をハウスドルフ空間とする。 X のフィルターが収束すればその極限点は一意に決まる。 証明 X のフィルター Φ が x と y に収束し x ≠ y とする。 X はハウスドルフ空間だから x と y のそれぞれの近傍 V, W で 交わらないものがある。 一方、x と y は Φ の極限点だから V と W は Φ に含まれる。 従って V と W は交わる。 これは矛盾である。 証明終 253 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 21 04 52 命題 分離一様空間の完備部分空間は閉部分空間である。 証明 X を分離一様空間、A をその完備部分空間とする。 A が閉部分空間でないする。 x ∈ cls(A) - A をとる。 x の近傍全体のなすフィルター Φ を A に制限したもの Φ|A は A の Cauchy フィルターの基底である。 A は完備だから Φ|A は A の点 y に収束する。 一方、Φ|A は X におけるフィルターの基底でもあり x に収束する。 X はハウスドルフだから 252 より x = y である。 これは矛盾である。 証明終 254 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 21 26 20 命題 X を位相空間族 (X_i), i ∈ I の積とし、 p_i X → X_i を射影とする。 Φ を X のフィルターとする。 x を X の点とし、全ての i でフィルター基底 p_i(Φ) が p_i(x) に 収束するなら Φ は x に収束する。 証明 V を x の近傍とする。 I の有限部分集合 K があり 各 k ∈ K に対して p_i(x) の近傍 V_k があり ∩(p_i)^(-1)(V_k) ⊂ V となる。 各 k ∈ K に対して p_k(Φ) が p_k(x) に収束するから (p_i)^(-1)(V_k) ∈ Φ である。 従って、∩(p_i)^(-1)(V_k) ∈ Φ である。 よって V ∈ Φ である。 証明終 255 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 21 35 30 命題 任意の完備一様空間族 (X_i), i ∈ I の積( 230) X は完備である。 証明 p_i X → X_i を射影とする。 Φ を X の Cauchy フィルターとする。 240 より各 i ∈ I で p_i(Φ) は X_i の Cauchy フィルターの 基底である。 X_i は完備だから p_i(Φ) は X_i の点 x_i に収束する。 x = (x_i) とすれば 254 より Φ は x に収束する。 証明終 256 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 21 59 05 命題 X を一様空間とし A をその部分一様空間( 226)とする。 x を A の閉包の点とする。 x の近傍全体のなすフィルター Φ を A に制限したもの Φ|A は A の極小 Cauchy フィルター( 241)の基底である。 証明 M ∈ Φ|A とする。 X の近縁 V があり M = V(x) ∩ A となる。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 N = W(x) ∩ A とする。 y ∈ W(N) なら (z, y) ∈ W となる z ∈ N がある。 (x, z) ∈ W だから (x, y) ∈ W^2 ⊂ V 従って y ∈ V(x) 即ち W(N) ⊂ V(x) よって W(N) ⊂ M である。 245 より Φ|A は A の極小 Cauchy フィルターの基底である。 証明終 257 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 22 16 03 命題 X を分離かつ完備な一様空間とし Y をその部分一様空間( 226)で X = cls(Y) とする。 Y の極小 Cauchy フィルター( 241)全体をΩとする。 X は完備だから Y の極小 Cauchy フィルター( 241)は X において 極限点を持つ。 X は分離だから 252 よりこの極限点は一意にきまる。 従って Ω の元にその極限点を対応させることにより 写像 f Ω → X が得られる。 この f は全単射である。 証明 256 より X の点 x に対して x の近傍全体のなすフィルター Φ を Y に 制限したもの Φ|Y は Y の極小 Cauchy フィルターの基底である。 x に Φ|Y が生成する Y の極小 Cauchy フィルターを対応させる ことにより 写像 g X → Ω が得られる。 明らかに f と g は互いに逆写像である。 証明終 258 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 22 19 28 私見によれば Bourbaki の一様空間論で最もわかりにくいところは 極小 Cauchy フィルターに関する部分である。 しかし、 257 によれば極小 Cauchy フィルターの意義がはっきりする。 259 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 23 19 24 命題 X を一様空間とし Φ と Ψ をフィルターとする。 Φ と Ψ が同じ極限点を持てば X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい部分集合( 235)を共有する。 証明 Φ と Ψ の共通の極限点を x とする。 X の任意の近縁 V に対して W を W^2 ⊂ V となる対称近縁とする。 M ∈ Φ と N ∈ Ψ をそれぞれ W(x) に含まれる部分集合とする。 238 より W(x) は W^2 程度に小さい。 M ∪ N ⊂ W(x) だから M ∪ N も W^2 程度に小さい。 従って M ∪ N は V 程度に小さい。 しかも M ∪ N は Φ にも Ψ にも含まれる。 証明終 260 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/05(日) 23 43 40 命題 X を一様空間とし Φ と Ψ を Cauchy フィルターとする。 Φ と Ψ が X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235)部分集合を共有するなら Φ と Ψ は同一の極小 Cauchy フィルターを含む。 証明 Φ に含まれる極小 Cauchy フィルターを ξ とする。 V を X の任意の近縁とし、M を Φ の任意の元とする。 Φ と Ψ は V 程度に小さい部分集合 N を共有する。 N と M は交わるから x ∈ N ∩ M とする。 N は V 程度に小さいから y ∈ N なら (x, y) ∈ V である。 従って y ∈ V(x) ⊂ V(M) 即ち N ⊂ V(M) 従って V(M) は Ψ に含まれる。 243 より ξ ⊂ Ψ である。 証明終 261 ：king氏ね：2007/08/05(日) 23 53 26 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 262 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 07 40 44 命題 X を一様空間とし、Φ を X の極小 Cauchy フィルターとする。 Φ の任意の元 M の内部は空でない。 証明 243 より X の近縁 V と N ∈ Φ があり V(N) ⊂ M となる。 V(N) は V(x), x ∈ N の合併集合だからその内部は空でない。 証明終 263 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 07 55 03 命題 X を一様空間とし、Y をその密な部分空間とする。 Y の任意の Cauchy フィルターが X で収束するなら X は完備である。 証明 X の任意の極小 Cauchy フィルター Φ が収束することを言えばよい。 262 より Φ の任意の元 M の内部は空でない。 従って、Φ の元と Y の交わり全体 Φ|Y は Y における Cauchy フィルターの基底となる。 仮定より Φ|Y は X の点 x に収束する。 Φ|Y が X で生成するフィルターは Φ より細かく x を極限点に持つ。 141 より Φ は x を接触点に持つ。 248 より Φ は x に収束する。 証明終 264 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 08 29 23 命題 f と g を 位相空間 X からハウスドルフ空間 Y への連続写像とする。 f(x) = g(x) となる x の全体 Z は X の閉集合である。 証明 h(x) = (f(x), g(x)) により写像 h X → Y×Y を定める。 h は連続である。 Δ を Y×Y の対角線集合とすると、 84 より Δ は Y×Y の 閉集合である。 Z = h^(-1)(Δ) であるから Z は閉集合である。 証明終 265 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 08 31 41 命題(等式延長の原理) f と g を 位相空間 X からハウスドルフ空間 Y への連続写像とする。 f(x) = g(x) となる x の全体 Z が X で密なら f = g である。 証明 264 より明らかである。 266 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 09 07 36 定理(連続延長の原理) X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を正則空間( 210)とする。 h を写像 Y → Z とする。 h が連続写像 f X → Z に拡張できるためには h が次の条件 (E) を満たすことが必要十分である。 (E) X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体のなす フィルタ－基底を Φ としたとき h(Φ) は Z で収束する。 このとき f は一意に決まる。 証明 f の一意性は等式延長の原理( 265)から出る。 (E) が必要なことは 174 から直ちに出る。 (E) が十分なことを証明する。 X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体のなす フィルタ－基底を Φ とする。 (E) より h(Φ) は Z で収束するが、 Z はハウスドルフだから 149 より h(Φ) の極限点は一意に決まる。 これを f(x) とする。 f が連続であることを示せば良い。 (続く) 267 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 09 08 23 V を f(x) の Z における閉近傍とする。 h(Φ) は f(x) に収束するから x の X での開近傍 W で h(W ∩ A) ⊂ V となるものがある。 z ∈ W のとき W は z の近傍だから f(z) ∈ cls(h(W ∩ A)) ⊂ V となる。 ここで cls(h(W ∩ A)) は h(W ∩ A) の閉包を表す。 従って f(W) ⊂ V である。 Z は正則( 210)だから X の任意の点の閉近傍全体はこの点の 基本近傍系になる。 従って f は連続である。 証明終 268 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 10 05 21 命題 X を位相空間とし、A をその密な部分集合とする。 U を X の空でない開集合、V = U ∩ A とする。 このとき、cls(V) = cls(U) である。 ここで cls(V), cls(U) はそれぞれ U, V の X における閉包である。 証明 V ⊂ U だから cls(V) ⊂ cls(U) である。 x ∈ cls(U) とする。 x の任意の開近傍 W に対して W ∩ U は空でない。 A は密だから W ∩ U ∩ A = W ∩ V も空でない。 これは x ∈ cls(V) を意味する。 従って cls(U) ⊂ cls(V) である。 証明終 269 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 10 21 18 命題 X を一様空間とし、A をその密な部分集合とする。 A の近縁の X×X における閉包全体は X の基本近縁系である。 証明 V を X の任意の近縁とする。 205 より T ⊂ V となる X の閉近縁 T がある。 205 より U ⊂ T となる X の開近縁 U がある。 W = U ∩ A×A は A の開近縁である。 A×A は X×X で密だから 268 より cls(W) = cls(U) である。 T は閉集合だから cls(U) ⊂ T である。 従って cls(W) ⊂ V である。 証明終 270 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 10 27 11 命題 X と Y を位相空間とし、f X → Y を連続写像とする。 X の任意の部分集合 A に対して f(cls(A)) ⊂ cls(f(A)) となる。 証明 明らかである。 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 22時49分30秒 代数的整数論 007 (711-810) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/711-810 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/711-810 711 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 12 38 26 命題 X を局所コンパクト空間とする。 K(X) ( 708) の各元 f は有界である。 さらに、f は X のある点で最大値をもつ。 同様に、f は X のある点で最小値をもつ。 証明 A = Supp(f) とおく。 f(X) = f(A) ∪ {0} または f(X) = f(A) である。 A はコンパクトであるから f(A) もコンパクトである。 よって、f(X) もコンパクトであり有界である。 f(X) は閉集合だから sup f(x) ∈ f(X), inf f(x) ∈ f(X) となる。 よって f は X のある点で最大値をもち、X のある点で最小値をもつ。 証明終 712 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 12 41 55 定義 X を局所コンパクト空間とする。 K(X) ( 708) の元 f に対して |f|_b = sup{|f(x)| | x ∈ X } と書く。 711 より |f|_b は有限である。 明らかに |f|_b は線形空間 K(X) のノルム(過去スレ006の561)である。 713 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 03 17 定義 X を局所コンパクト空間とする。 K+(X) = {f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } と書く。 714 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 08 25 定義 X を局所コンパクト空間とする。 K(X, R) 8 708) から R への(必ずしも連続とは限らない)線形写像 L で f ≧ 0 なら L(f) ≧ 0 となるもの全体を M+(X) と書く。 715 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 09 28 714 を次のように修正する。 定義 X を局所コンパクト空間とする。 K(X, R) ( 708) から R への (必ずしも連続とは限らない) 線形写像 L で f ≧ 0 なら L(f) ≧ 0 となるもの全体を M+(X) と書く。 716 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 22 44 補題 L を M+(X) ( 715) の元とする。 K(X, R) ( 708) の任意の元 f に対して |L(f)| ≦ L(|f|) である。 証明 -|f| ≦ f ≦ |f| より、 L の線形性と正値性を使って、 -L(|f|) ≦ L(f) ≦ L(|f|) となる。 即ち、 |L(f)| ≦ L(|f|) である。 証明終 717 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 38 46 命題 L を M+(X) ( 715) の元とする。 K を X の任意のコンパクト部分集合とする。 K のみによって決まる定数 M(K) ≧ 0 が存在し、 Supp(f) ⊂ K なら |L(f)| ≦ M(K)|f|_b ここで、|f|_b は f のノルムである( 712)。 証明 706 より、連続関数 h X → [0, 1] で コンパクトな台を持ち、K の上で 1 となるものが存在する。 h ∈ K+(X) である。 Supp(f) ⊂ K だから、 |f| ≦ (|f|_b)h よって、 L(|f|) ≦ (|f|_b)L(h) 716 より |L(f)| ≦ L(|f|) よって |L(f)| ≦ (|f|_b)L(h) M(K) = L(h) とすればよい。 証明終 718 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13 42 12 命題 X をコンパクト空間とする。 M+(X) ( 715) の任意の元 L は K(X) のノルム | |_b に関して 連続である。 証明 717 より明らかである。 719 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 14 03 02 X を局所コンパクト空間とする。 M+(X) ( 715) の任意の元 L を固定する。 K を X の任意のコンパクト部分集合とする。 706 より、連続関数 h X → [0, 1] で コンパクトな台を持ち、K の上で 1 となるものが存在する。 h ∈ K+(X) である。 従って、集合 {f ∈ K+(X) | f ≧ χ_K} は空ではない。 ここで、χ_K は K の特性関数である。 μ(K) = inf { L(f) | f ≧ χ_K} と書く。 720 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 14 16 16 命題 719 において、 (1) 0 ≦ μ(K) ＜ +∞ (2) K_1 ⊂ K_2 なら μ(K_1) ⊂ μ(K_2) (3) μ(K_1 ∪ K_2) ≦ μ(K_1) + μ(K_2) (4) K_1 ∩ K_2 = φ なら μ(K_1 ∪ K_2) = μ(K_1) + μ(K_2) 証明 (1) と (2) は自明である。 (3) と (4) は別々に証明する。 721 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 01 55 720 の (3) の証明 任意の ε ＞ 0 に対して f_1 ≧ χ_(K_1) L(f_1) ＜ μ(K_1) + ε f_2 ≧ χ_(K_1) L(f_2) ＜ μ(K_2) + ε となる K+(X) の元 f_1 と f_2 がある。 f_1 + f_2 ≧ χ_(K_1 ∪ K_2) であるから μ(K_1 ∪ K_2) ≦ L(f_1 + f_2) ＜ μ(K_1) + μ(K_2) + 2ε よって、 μ(K_1 ∪ K_2) ≦ μ(K_1) + μ(K_2) 証明終 722 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 13 37 720 の (4) の証明 任意の ε ＞ 0 に対して f ≧ χ_(K_1 ∪ K_2) L(f) ＜ μ(K_1 ∪ K_2) + ε となる f ∈ K+(X) がある。 706 より、連続関数 h X → [0, 1] で コンパクトな台を持ち、K_1 の上で 1 となり、 K_2 の上で 0 となるものが存在する。 f_1 = fh とおく。 f_1 ∈ K+(X) で f_1 ≧ χ_(K_1) である。 f_2 = f - f_1 とおく。 f_2 ∈ K+(X) で f_2 ≧ χ_(K_2) である。 f = f_1 + f_2 であるから μ(K_1) + μ(K_2) ≦ L(f_1) + L(f_2) = L(f) ＜ μ(K_1 ∪ K_2) + ε よって μ(K_1) + μ(K_2) ≦ μ(K_1 ∪ K_2) 720 の (3) と合わせて μ(K_1 ∪ K_2) = μ(K_1) + μ(K_2) 証明終 723 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 20 45 定義 X を局所コンパクト空間とする。 X のコンパクトな部分集合全体を Γ(X) と書く。 Γ(X) から R への写像 μ で 720 の (1) ～ (4) を満たすものを 容量(content)と言う。 724 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 28 47 定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の部分集合 A は X のコンパクトな部分集合 K が存在して A ⊂ K となるとき有界と言う。 コンパクトな部分集合の可算列 (K_n), n ≧ 0 が存在して A ⊂ ∪K_n となるとき A は σ-有界と言う。 725 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 37 09 X を局所コンパクト空間とする。 X の容量( 723) μ を一つ選び、固定する。 σ-有界( 724)な開集合 U に対して μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } と書く。 U がコンパクトな開集合であれば、明らかに μ(U) = μ(K) であるから この定義は矛盾しない。 726 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16 49 51 命題 725 の条件を仮定する。 U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は σ-有界( 724)な開集合とする。 (1) 0 ≦ μ(U) ≦ +∞ (2) U が有界なら μ(U) ＜ +∞ (3) U_1 ⊂ U_2 なら μ(U_1) ⊂ μ(U_2) (4) μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n) (5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら μ(∪U_n) = Σμ(U_n) 証明 (1) は明らかである。 (2) U が有界なら U ⊂ K となるコンパクト集合 K がある。 K_1 がコンパクトで K_1 ⊂ U なら K_1 ⊂ K だから μ(K_1) ≦ μ(K_2) ＜ +∞ よって、 μ(U) ≦ μ(K_2) ＜ +∞ (3) は明らかである。 (4) と (5) は別々に証明する。 727 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17 22 31 補題 X を局所コンパクト空間とする。 K を X のコンパクトな部分集合とする。 K ⊂ U_1 ∪ U_2 となる X の開集合 U_1, U_2 があるとする。 K = K_1 ∪ K_2 K_1 ⊂ U_1 K_2 ⊂ U_2 となるコンパクトな K_1, K_2 が存在する。 証明 A = K - U_1 と B = K - U_2 は交わらず、それぞれコンパクトである。 A ⊂ X - B だから 704 より A ⊂ U_3 ⊂ (U_3)~ ⊂ X - B となる 開集合 U_3 がある。 U_4 = X - (U_3)~ とすれば B ⊂ U_4 で U_3 ∩ U_4 = φ である。 K_1 = K - U_3 K_2 = K - U_4 とすれば K = K_1 ∪ K_2 となり(何故なら U_3 ∩ U_4 = φ)、 K_1 ⊂ U_1 となり(何故なら K - U_1 = A ⊂ U_3)、 K_2 ⊂ U_2 となる(何故なら K - U_2 = B ⊂ U_4)。 証明終 728 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17 38 03 726 の (4) の証明 まず μ(U_1 ∪ U_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2) を証明する。 K ⊂ U_1 ∪ U_2 となる任意のコンパクトな K に対して、 727 より K = K_1 ∪ K_2 K_1 ⊂ U_1 K_2 ⊂ U_2 となるコンパクトな K_1, K_2 が存在する。 μ(K) ≦ μ(K_1) + μ(K_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2) よって、μ(K) の sup をとって、 μ(U_1 ∪ U_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2) これから、任意の有限列 U_1, . . . , U_n に対して μ(U_1 ∪ . . . ∪ U_n) ≦ μ(U_1) + . . . + μ(U_n) 無限列 (U_n) に対しては、ある m が存在して K ⊂ ∪U_n となる任意のコンパクトな K に対して、 K ⊂ U_1 ∪ . . . ∪ U_m となる。 μ(K) ≦ μ(U_1 ∪ . . . ∪ U_m) ≦ μ(U_1) + . . . + μ(U_m) ≦ Σμ(U_n) よって、μ(K) の sup をとって、 μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n) 証明終 729 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17 49 42 728 n が 1 から始まっているが、番号を付け替えれば同じことだろう。 730 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 07 40 726 の (5) の証明 ある m に対して μ(U_m) = +∞ なら U_m ⊂ ∪U_n だから μ(∪U_n) = +∞ となる。 Σμ(U_n) = +∞ だから μ(∪U_n) = Σμ(U_n) よって、各 n に対して μ(U_n) ＜ +∞ としてよい。 任意の ε ＞ 0 と各 n に対して μ(U_n) ＜ μ(K_n) + ε/2^n となるコンパクトな K_n がある。 Σ1/2^n = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 1/(1 - 1/2) = 2 よって Σε/2^n = 2ε i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ だから 720 の (4) より、 μ(U_0) + . . . + μ(U_m) ＜ μ(K_0) + . . . + μ(K_m) + 2ε = μ(K_0 ∪ . . . ∪ K_m) + 2ε ≦ μ(∪U_n) + 2ε m → ∞ として Σμ(U_n) ≦ μ(∪U_n) + 2ε ε ＞ 0 は任意だから Σμ(U_n) ≦ μ(∪U_n) 逆向きの不等号は 728 で証明済みだから μ(∪U_n) = Σμ(U_n) 証明終 731 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 15 26 このあたり現代数学概説 II ( 岩波書店) を参考にしている。 しかし Halmos とだぶっている箇所もある。 局所コンパクト空間における Riesz の表現定理に関しては 現代数学概説 II と Halmos は方法がほとんど同じである。 しかし、現代数学概説 II のほうがややわかりやすいと思う。 732 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 24 46 命題 X を局所コンパクト空間とする。 X のσ-有界( 724)な部分集合全体 Ψ は σ-集合環( 197)である。 証明 明らかだろう。 733 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 31 44 命題 X を局所コンパクト空間とする。 A を X の任意のσ-有界( 724)な部分集合とする。 A ⊂ U となる σ-有界な開集合 U が存在する。 証明 K を X の任意のコンパクト集合とする。 A はσ-有界だから、コンパクトな部分集合の可算列 (K_n), n ≧ 0 が 存在して A ⊂ ∪K_n となる。 703 より、各 n に対して、 K_n ⊂ U_n ⊂ (U_n)~ となる開集合 U_n で (U_n)~ がコンパクトと なるものが存在する。 U = ∪U_n が求めるものである。 証明終 734 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 37 07 725 の条件を仮定する。 732 より、X のσ-有界( 724)な部分集合全体 Ψ は σ-集合環( 197)である。 A ∈ Ψ に対して μ^*(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合} と定義する。 733 より {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合} は空でない。 735 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18 46 56 残念なことに 734 の μ^* は測度( 316)とは限らない。 この μ^* の定義域を狭めて測度を構成するのが Caratheodory の 方法(の一種)である。 736 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 19 39 33 736 737 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 25 04 a 738 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 25 34 b 739 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 26 04 c 740 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 26 35 d 741 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 27 06 e 742 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 27 36 f 743 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 28 06 g 744 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 29 07 h 745 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 29 38 i 746 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 30 08 j 747 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 30 38 k 748 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 31 08 l 749 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 31 38 m 750 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 32 08 n 751 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 32 46 o 752 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 33 16 p 753 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 33 46 q 754 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 34 16 r 755 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 34 46 s 756 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 35 17 t 757 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 35 48 u 758 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 36 19 v 759 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 36 49 w 760 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 37 19 x 761 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 20 37 23 命題 734 の条件を仮定する。 A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は σ-有界( 724)な部分集合とする。 (1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞ (2) μ^*(φ) = 0 (3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B) (4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n) 証明 (1) は明らかである。 (2) 720 の (4) より μ(φ) = μ(φ) + μ(φ) 720 の (1) より μ(φ) ＜ +∞ であるから μ(φ) = 0 である。 よって μ^*(φ) = 0 である。 (3) B ⊂ U, U はσ-有界な開集合とする。 A ⊂ U だから μ^*(A) ≦ μ(U) である。 右辺の inf をとって μ^*(A) ≦ μ^*(B) (4) の証明は別にする。 762 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 38 34 y 763 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20 39 06 z 764 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 20 51 45 761 の (4) の証明 ある m に対して μ^*(A_m) = +∞ なら A_m ⊂ ∪A_n だから 761 の (3) より μ^*(∪A_n) = +∞ となる。 Σμ^*(A_n) = +∞ だから μ^*(∪A_n) = Σμ^*(A_n) よって、各 n に対して μ^*(A_n) ＜ +∞ としてよい。 任意の ε ＞ 0 と各 n に対して μ(U_n) ＜ μ^*(A_n) + ε/2^n A_n ⊂ U_n となるσ-有界な開集合 U_n がある。 Σ1/2^n = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 1/(1 - 1/2) = 2 よって Σε/2^n = 2ε ∪A_n ⊂ ∪U_n だから 726 の (4) より μ^*(∪A_n) ≦ μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n) ≦ Σμ^*(A_n) + 2ε ε ＞ 0 は任意だから μ^*(∪A_n) ≦ Σμ(A_n) 証明終 765 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 21 00 18 a 766 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 21 03 11 定義 集合 X の上の σ-集合環( 197) Ψ が、条件 A ∈ Ψ, B ⊂ A なら B ∈ Ψ を満たすとする。 Ψ から補完数直線 R~ ( 7) への写像 μ^* が次の条件を満たすとき μ^* を外測度と言う。 A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は Ψ に属す集合とする。 (1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞ (2) μ^*(φ) = 0 (3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B) (4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n) (劣加法性) 767 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22 15 43 定義 集合 X の部分集合からなる集合 Ψ が、条件 A ∈ Ψ, B ⊂ A なら B ∈ Ψ を満たすとする。 このとき、Ψ を遺伝的であると言う。 768 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22 25 01 定義 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度( 766)とする。 E ∈ Ψ が任意の A ∈ Ψ に対して μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) となるとき、E を (μ^*)-可測と言う。 ここで、E^c は E の補集合 X - A を表す。 769 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22 35 21 測度論の初期の段階において、 768 のこの定義が一番わかりにくいと 思う。 高木の解析概論では、R^n における Lebesgue 積分の場合にある程度 納得のいく説明をしている。 しかし、積分を使う立場からは、この定義を鵜呑みにして先に進むのが 得策だろう。 770 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22 59 43 命題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度( 766)とする。 E と F が (μ^*)-可測( 768)なら E ∪ F も (μ^*)-可測である。 証明(Halmos) 任意の A ∈ Ψ に対して (1) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) (2) μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) (3) μ^*(A ∩ E^c) = μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) である。 (1) の右辺に (2) と (3) を代入して、 (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) (4) の A を A ∩ (E ∪ F) で置き換えると、右辺の最後の項が消えて、 (5) μ^*(A ∩ (E ∪ F)) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) (4) の右辺に (5) を代入して、 (6) μ^*(A) = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ (E ∪ F)^c) よって E ∪ F は (μ^*)-可測である。 証明終 771 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23 17 59 770 の別証(高木) 任意の A ∈ Ψ に対して (1) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) (2) μ^*(A ∩ E^c) = μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) よって、 (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) (1) の A を A ∩ (E ∪ F) に置き換えて、 μ^*(A ∩ (E ∪ F)) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) (3) から μ^*(A) = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) 証明終 772 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23 19 27 771 高木の証明のほうがわかり易いようだ。 773 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23 33 29 命題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度( 766)とする。 E と F が (μ^*)-可測( 768)なら E - F も (μ^*)-可測である。 証明 任意の A ∈ Ψ に対して 770 の (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) が成り立つ。 A を A ∩ (E - F)^c = A ∩ (E^c ∪ F) に置き換えると、 μ^*(A ∩ (E - F)^c) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) これを (4) に代入して、 μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ (E - F)^c) よって、E - F は (μ^*)-可測である。 証明終 774 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23 48 36 773 の別証(高木の 771を応用) 任意の A ∈ Ψ に対して、 771 の (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) が成り立つ。 A を A ∩ (E - F)^c = A ∩ (E^c ∪ F) に置き換えると、 μ^*(A ∩ (E - F)^c) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) だから (3) より μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ (E - F)^c) 証明終 775 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23 54 01 770 の (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) と 771 の (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c) は、ほとんど同じことに気づいた。 何故なら、 μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c) 776 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 00 28 07 補題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度( 766)とする。 E_1, . ., E_n が (μ^*)-可測( 768)で i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ とする。 S_n = E_1 ∪ . . . ∪ E_n とおく。 任意の A ∈ Ψ に対して μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c) 証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 のときは μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + μ^*(A ∩ (E_1)^c) だからよい。 μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c) が成り立つとする。 μ^*(A ∩ (S_n)^c) = μ^*(A ∩ (S_n)^c ∩ E_(n+1)) + μ^*(A ∩ (S_n)^c ∩ E_(n+1)^c) = μ^*(A ∩ E_(n+1)) + μ^*(A ∩ (S_(n+1))^c) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_(n+1)) + μ^*(A ∩ (S_(n+1))^c) 証明終 777 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 00 49 00 命題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度( 766)とする。 (E_n), n = 1, 2, ... を (μ^*)-可測( 768)な集合列で、 i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ とする。 E = ∪E_n とおく。 E は (μ^*)-可測であり、 μ^*(E) = Σμ^*(E_n) となる。 さらに、任意の A ∈ Ψ に対して μ^*(A ∩ E) = Σμ^*(A ∩ E_n) となる。 証明 任意の A ∈ Ψ に対して、 776 より μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c) ≧ μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c) n は任意だから μ^* の劣加法性( 766 の (4))より、 μ^*(A) ≧ Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) 逆向きの不等式は μ^* の劣加法性より成り立つから μ^*(A) = Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c) = Σμ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) よって E は (μ^*)-可測である。 μ^*(A) = Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c) の A を A ∩ E で置き換えれば μ^*(A ∩ E) = Σμ^*(A ∩ E_n) この A を E で置き換えれば μ^*(E) = Σμ^*(E_n) 証明終 778 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01 09 02 命題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度とする。 (μ^*)-可測( 768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、 μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度( 316)である。 証明 E が空集合なら、任意の A ∈ Ψ に対して μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) よって、空集合は (μ^*)-可測である。 よって、 770 と 773 より Φ は集合環( 189)である。 (A_n), n = 1, 2, ... を (μ^*)-可測な集合列とする。 E_1 = A_1 E_2 = A_2 - A_1 一般に、 E_n = A_n - (A_1 ∪ . . . ∪ A_(n-1)) とおく。 各 E_n は (μ^*)-可測であり、 ∪E_n = ∪A_nで、 n ≠ m のとき E_n と E_m は交わらない。 よって、 777 より ∪A_n は (μ^*)-可測である。 よって、Φ は σ-集合環である。 776 の (2) より μ^*(φ) = 0 であるから、 777 より μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度である。 証明終 779 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01 16 26 定義 測度空間 (X, Φ, μ) が完備とは、任意の零集合のすべての部分集合が 零集合となることを言う。 780 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01 18 58 定義 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度とする。 778 より、 (μ^*)-可測( 768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、 μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度( 316)である。 この測度を外測度 μ^* により誘導された測度と言う。 781 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01 31 35 命題 Ψ を集合 X 上の遺伝的( 767)なσ-集合環( 197)とする。 μ^* を Ψ で定義された外測度とする。 外測度 μ^* により誘導された測度( 780)は完備( 779)である。 証明 E ∈ Ψ で、μ^*(E) = 0 とする。 任意の A ∈ Ψ に対して、μ^*(A ∩ E) = 0 であるから μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) よって、E は (μ^*)-可測である。 F ∈ Ψ で F ⊂ E なら μ^*(F) = 0 である。 よって F は (μ^*)-可測である。 証明終 782 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 02 49 34 訂正 781 F ∈ Ψ で F ⊂ E なら μ^*(F) = 0 である。 Ψ は遺伝的( 767)だから F ⊂ E なら F ∈ Ψ で μ^*(F) = 0 である。 Ψ が遺伝的であることを使っているのは今のところ ここだけである。 783 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 34 19 a 784 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 34 49 b 785 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 35 19 c 786 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 35 49 d 787 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 36 21 e 788 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 36 51 f 789 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 37 22 g 790 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 37 57 h 791 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 38 27 i 792 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 38 57 j 793 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 39 27 k 794 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 39 58 l 795 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 40 28 m 796 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 40 58 n 797 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 42 01 o 798 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 42 32 p 799 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 43 02 q 800 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 43 33 r 801 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 44 03 s 802 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 44 34 t 803 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 45 04 u 804 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 45 34 v 805 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 46 12 w 806 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 46 43 x 807 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 47 43 y 808 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03 48 13 z 809 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 07 41 37 定義 X を局所コンパクト空間とする。 732 より、X のσ-有界( 724)な部分集合全体 Ψ は σ-集合環( 197)である。 明らかに Ψ は遺伝的( 767)である。 μ を X の容量( 723) とする。 開集合 U ∈ Ψ に対して μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } と書き、 A ∈ Ψ に対して μ^*(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合} と書く。 761 より μ^* は Ψ で定義された外測度( 766)である。 μ^* を容量 μ から誘導された外測度と言う。 810 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09 41 18 a タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時58分54秒 代数的整数論 007 (141-210) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/141-210 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/141-210 141 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08 28 18 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E, F, G を K 上のノルム空間とする。 f ∈ L(E; F), g ∈ L(F; G) に対して, gf ∈ L(E; G) で |gf| ≦ |g||f| 証明 gf ∈ L(E; G) は明らかである。 任意の x ∈ E に対して、 |gf(x)| ≦ |g||f(x)| ≦ |g||f||x| よって、 |gf| ≦ |g||f| 証明終 142 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08 36 08 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E を K 上のノルム空間とする。 1 を E の恒等写像とする。 |1| = 1 は明らかである。 139 と 141 より L(E; E) は K 上のノルム環(過去スレ006の694)に なる。 143 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08 46 45 訂正 136, 137, 138, 139, 141 の K は可換体とする。 何故なら、K が非可換体のとき、L((E_i); F) は K 上の線形空間に ならない! 144 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11 50 40 命題 K を可換体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E, F を K 上のノルム空間とする。 F が完備なら L(E; F) も完備である。 証明 (f_n), n ≧ 0 を L(E; F) の Cauchy 列とする。 任意の x ∈ E と任意の整数 n, m ≧ 0に対して |f_m(x) - f_n(x)| ≦ |f_m - f_n||x| 従って、任意の x ∈ E に対して (f_n(x)), n ≧ 0 は F の Cauchy 列 である。 F は完備だから (f_n(x)) は収束する。それを f(x) と書く。 f が線形写像であることは容易にわかる。 (続く) 145 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11 52 56 144 の続き。 任意の実数 ε ＞ 0 に対して整数 p ≧ 0 があり、 n, m ≧ p に対して ||f_m - f_n| ＜ ε だから |f_m(x) - f_n(x)| ≦ ε|x| |f_m - f_n| ＜ ε だから |f_m| ≦ |f_n| + ε よって、任意の x ∈ E に対して |f_m(x)| ≦ (|f_n| + ε)|x| p, n, x を固定して、m → ∞ とすると、 |f(x)| ≦ (|f_n| + ε)|x| よって 134 より、f は連続である。 |f_m(x) - f_n(x)| ≦ ε|x| において p, n, x を固定して、m → ∞ とすると、 |f(x) - f_n(x)| ≦ ε|x| よって |f - f_n| ≦ ε よって f_n → f となる。 証明終 146 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11 56 17 命題 K を可換体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 F が完備なら L((E_i); F) ( 136) も完備である。 証明 144 と同様である。 147 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 12 12 00 関数列および関数からなるフィルタ－の一様収束について 基本的なことを述べる。 148 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 13 09 12 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 V が Y の近縁のとき、集合 {(f, g) ∈ F(X, Y)×F(X, Y); 任意の x に対して (f(x), g(y)) ∈ V} を W(V) と書く。 V, V が Y の近縁のとき、次の 1), 2), 3) が成り立つことは容易にわかる。 1) W(V) ⊂ W(V ) 2) W(V)^(-1) = W(V^(-1)) 3) W(V)^2 = W(V^2) 従って、V が Y の近縁全体を動くとき、W(V) 全体は F(X, Y) の一様構造の基本近縁系(過去スレ006の195)となる。 149 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 13 27 20 定義 148 の F(X, Y) の一様構造を一様収束の構造という。 この一様構造で定義される位相を、一様収束の位相と言う。 F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は f に一様収束すると言う。 F(X, Y) の点列 (f_n), n ≧ 0 がこの位相で f に収束するとき、 (f_n) は f に一様収束すると言う。 150 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 14 23 04 定義 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 A ∈ Σ のとき、写像 φ_A F(X, Y) → F(A, Y) を φ_A(f) = f|A で定義する。ここで、f|A は f の A への制限である。 各 A ∈ Σ に対して、F(A, Y) に一様収束の構造( 149)をいれたとき、 各 φ_A を一様連続にするような F(X, Y) の最も荒い一様構造を、 Σ 上での一様収束の一様構造、または、Σ-収束の一様構造と言う。 これは、F(A, Y) の一様収束の構造の φ_A による逆像(過去スレ006の224)を α_A としたとき、 sup {α_A; A ∈ Σ} (過去スレ006の220)である。 F(X, Y) に Σ-収束の一様構造を与えた空間を F_Σ(X, Y) と 書く場合がある。 F(X, Y) に一様収束の構造( 149)を入れた空間を F_u(X, Y) とも 書く。 Σ-収束の一様構造から定まる位相をΣ-収束の位相または Σでの一様収束の位相と言う。 F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は Σ 上で f に 一様収束すると言う。 151 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 14 25 43 Kummerおはようー びろろ～ん べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿) 152 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 14 35 29 例 X をハウスドルフ位相空間とし、K を実数体または複素数体とする。 Σ を X のコンパクト部分集合全体とする。 F(X, K) の点列 (f_n), n ≧ 0 が Σ 上で f に一様収束する( 150) とは、X 上で (f_n) が f にコンパクト一様収束または広義一様収束((杉浦の解析入門) することと同じである。 153 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16 02 07 定義 X と Y を集合とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 H ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して、H(x) = { f(x) ; f ∈ H } と 書く。 Φ が F(X, Y) 上のフィルター基底のとき、{H(x) ; H ∈ Φ} を Φ(x) と書く。Φ(x) は Y 上のフィルター基底である。 A ⊂ X のとき H|A = { f|A ; f ∈ H } と書く。 f|A は f の A への制限である。 H|A ⊂ F(A, Y) である。 154 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16 03 49 定義 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の各点よりなる集合の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造( 150)を X での単純収束の 一様構造という。 F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は X 上で f に単純収束すると言う。 これは、X の各点 x で Φ(x) ( 153) が f(x) に収束すること と同値である。 155 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16 13 15 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 Γ_0 を Y の基本近縁系とする。 A ∈ Σ と V ∈ Γ_0 に対して W(A, V) = {(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y);任意の x ∈ A に対して (f(x), g(y)) ∈ V} と書く。 150 の sup {α_A; A ∈ Σ} より、 A が Σ の元を動き、V が Γ_0 を動いたとき W(A, V) の有限個の 共通部分全体が Σ 上での一様収束の一様構造の基本近縁系となる。 156 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16 30 40 155 の記号を使う。 Σ 上での一様収束の一様構造( 150)において、 Σ を Σ の元の有限個の合併に含まれる集合の全体とする。 A, B ∈ Σ と V ∈ Γ_0 に対して A ⊂ A なら W(A, V) ⊂ W(A , V) W(A ∪ B) = W(A, V) ∩ W(B, V) だから Σ 上での一様収束の一様構造と Σ 上での一様収束の一様構造は 同じである。 よって Σ ははじめから次の性質をもつと仮定してよい。 1) A ∈ Σ で A ⊂ A なら A ∈ Σ 2) A, B ∈ Σ なら A ∪ B ∈ Σ このとき、A が Σ の元を動き、V が Γ_0 を動いたとき W(A, V) の 全体が Σ 上での一様収束の一様構造の基本近縁系となる。 157 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 18 44 14 X を集合、 Y を位相アーベル群とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 F(X, Y) は自明な仕方でアーベル群になる。 Σ を X の部分集合の集合とする。 (f_i), i ∈ I を F(X, Y) の元の族とする。 I の有限部分集合全体を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して Σf_i, i ∈ J を S(J) とおく。 Ψ(J) = { S(H) ∈ Φ(I) ; J ⊂ H } とおく。 J を動かしたとき Ψ(J) 全体は F(X, Y) のフィルター基底である。 これを Ψ_0 とする。 Ψ_0 が Σでの一様収束の位相( 150)で極限をもつとき、 族 (f_i) は Σ 上で一様に総和可能と言う。 (u_n), n ≧ 0 が F(X, Y) の元の列のとき、 部分和 Σu_i (0 ≦ i ≦ n) を S_n とおく。 列 (S_n) が Σ 上で一様収束するとき、 級数 Σu_i は Σ 上で一様に収束すると言う。 158 ：3：2007/08/28(火) 00 50 47 すまん、俺が 3で貼ったばかりに… 159 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 04 53 21 命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 Y が分離的で Σ が X の被覆なら F(X, Y) の Σ-収束の一様構造 ( 150)は分離的である。 証明 任意の A ∈ Σ と Y の任意の近縁 V に対して (f, g) ∈ W(A, V) とする。 ここで、W(A, V) は 155 で定義したもの。 Y は分離的だから過去スレ006の214より A 上で f = g である。 Σ は X の被覆だから X 上で f = g である。 過去スレ006の214より F(X, Y) は分離的である。 証明終 160 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 05 25 00 補題 α, β を集合 X 上の一様構造で、β ⊂ α とする。 α の基本近縁系で β の位相で閉な近縁からなるものがあるとする。 X のフィルター Φ が α で収束するためには Φ が α の Cauchy フィルターで β で収束することが 必要十分である。 証明 必要性は明らかである。 Φ が α の Cauchy フィルターで β の位相で x に収束するとする。 V を β の位相で閉な α の対称近縁とする。 M ∈ Φ で V 程度に小さい(過去スレ006の235)ものがある。 y ∈ M なら M ⊂ V(y) である。 V(y) は β の位相で閉だから β の位相 での M の閉包 cls(M) は V(y) に含まれる。x ∈ cls(M) だから x ∈ V(y) である。 V は対称近縁だから y ∈ V(x) よって M ⊂ V(x) である。 即ち Φ は α の位相で x に収束する。 証明終 161 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 05 51 26 定義( 154 の一般化) X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 A を X の部分集合、Σ を A の各点よりなる集合の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造( 150)を A での単純収束の 一様構造という。 F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は A 上で f に単純収束すると言う。 これは、A の各点 x で Φ(x) ( 153) が f(x) に収束すること と同値である。 162 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 06 01 58 命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 F(X, Y) のフィルター Φ が Σ-収束の位相( 150)で f に収束するためには、Φ が Σ-収束の一様構造( 150)で Cauchy フィルターであり、B = ∪{A ∈ Σ} で f に 単純収束( 161)することが必要十分である。 証明 B での単純収束の一様構造( 161) は Σ-収束の一様構造より荒い。 160 より、任意の A ∈ Σ と Y の任意の閉近縁 V に対して W(A, V) が B での単純収束の位相で閉であることを言えばよい。 x ∈ A のとき、u ∈ F(X, Y) に u(x) を対応させる写像は B での単純収束の位相で一様連続である。 よって (u, v) ∈ F(X, Y)×F(X, Y) に (u(x), v(x)) を 対応させる写像 ψ_x も連続である。 W(A, V) = ∩{(ψ_x)^(-1)(V); x ∈ A} であり、V は閉だから W(A, V) は単純収束の位相で閉である。 証明終 163 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 06 33 27 定理 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 Y が完備なら F(X, Y) の Σ-収束の一様構造( 150)も完備である。 証明 Φ を Σ-収束の一様構造での F(X, Y) の Cauchy フィルターとする。 B = ∪{A ∈ Σ} とおく。 x ∈ B のとき、u ∈ F(X, Y) に u(x) を対応させる写像は Σ-収束の一様構造で一様連続である。 よって、Φ(x) ( 153) は Y 上の Cauchy フィルター基底である (過去スレ006の240)。 Y が完備なら Φ(x) は Y で収束する。 その極限点の一つを f(x) とおく。 x が B に含まれないとき、f(x) は Y の任意の点にする。 このとき、Φ は B 上で f に単純収束する。 162 より Φ は Σ-収束の位相で f に収束する。 証明終 164 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09 23 11 命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Φ を X 上のフィルター(過去スレ006の75)とする。 H = {f ∈ F(X, Y); f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底} とおくと、H は F(X, Y) の一様収束の位相( 149)で閉である。 証明 g が H の一様収束の位相での閉包に含まれるとする。 Y の任意の対称近縁 V と任意の x ∈ X に対して (g(x), f(x)) ∈ V となる f ∈ H がある。 f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底だから、M ∈ Φ があり、 任意の x, y ∈ M に対して (f(x), f(y)) ∈ V となる。 (g(x), f(x)) ∈ V, (g(y), f(y)) ∈ V だから (g(x), g(x)) ∈ V^3 である。 即ち、g ∈ H である。 証明終 165 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09 39 40 命題 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 x ∈ X に対して、 E(x) = {f ∈ F(X, Y); f は x で連続} とおく。 E(x) は F(X, Y) の一様収束の位相( 149)で閉である。 証明 Φ を x の近傍全体とする。 f ∈ E(x) なら f(Φ) は f(x) に収束する。 従って、f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底である。 逆に、f ∈ F(X, Y) で、 f(Φ) が Y の Cauchy フィルターの基底であるとする。 任意の U ∈ Φ に対して x ∈ U だから f(x) ∈ f(U) である。 即ち、f(x) は f(Φ) の接触点(過去スレ006の132)である。 従って、過去スレ006の248より、f(Φ) は f(x) に収束する。 よって、f は x で連続、即ち f ∈ E(x) である。 以上から E(x) は 164 の H と一致する。 従って、 164 より E(x) は一様収束の位相で閉である。 証明終 166 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09 52 50 定理(Weierstrass) X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 C(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相( 149)で閉である。 証明 x ∈ X に対して、 E(x) = {f ∈ F(X, Y); f は x で連続} とおく。 C(X, Y) = ∩{E(x); x ∈ X} である。 165 より、任意の x に対して、E(x) は一様収束の位相で 閉であるから C(X, Y) も閉である。 証明終 167 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10 11 23 命題 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 F(X, Y) は一様収束の一様構造( 149)で一様空間と考える。 C(X, Y) は F(X, Y) の部分空間として一様空間である。 Y が完備なら C(X, Y) もこの一様構造で完備である。 証明 163 より F(X, Y) は一様収束の一様構造( 149)で完備である。 166 より、C(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相( 149)で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として C(X, Y) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終 168 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10 20 46 定義 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X のコンパクト部分集合全体とする。 F(X, Y) の Σ-収束の一様構造( 150)をコンパクト収束の一様構造と 言い、これで定まる位相をコンパクト収束の位相という。 169 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10 30 31 命題 X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 C(X, Y) は F(X, Y) のコンパクト収束の位相( 168)で閉である。 証明 f ∈ F(X, Y) をコンパクト収束の位相での C(X, Y) の接触点とする。 X の任意のコンパクト集合 K と Y の任意の近縁、任意の x ∈ K に 対して (f(x), g(x)) ∈ V となる g ∈ C(X, Y) がある。 166 より、C(K, Y) は F(K, Y) の一様収束の位相( 149)で閉である。 よって f|K ∈ C(K, Y) である。 X は局所コンパクトだから f ∈ C(X, Y) である。 即ち、C(X, Y) はコンパクト収束の位相で閉である。 証明終 170 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10 33 52 命題 X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 Y が完備なら C(X, Y) はコンパクト収束の一様構造( 168)で 完備である。 証明 163 より F(X, Y) はコンパクト収束の一様構造で完備である。 169 より、C(X, Y) は F(X, Y) のコンパクト収束の位相で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として C(X, Y) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終 171 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 11 03 39 命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 F(X, Y) の一様収束の構造( 149)は距離付け可能( 98)である。 証明 d を Y の距離とする。 δ(f, g) = sup {d(f(x), g(x)); x ∈ X} は F(X, Y) の擬距離( 47) である。 δ が定義する一様構造( 59)は明らかに F(X, Y) の一様収束の構造と 一致する。 62 より δ と同値な有限な擬距離 δ が存在する。 159 より、F(X, Y) の一様収束の構造は分離だから 64 より、δ は距離である。 証明終 172 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 13 49 57 定義 X を集合、 Y を距離空間とする。 f を X から Y への写像とする。 f(X) が Y の有界集合であるとき、f を有界写像と言う。 173 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 13 57 52 命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 B(X, Y) を X から Y への有界写像( 172)全体とする。 B(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相( 149)で開かつ閉である。 証明 f ∈ B(X, Y) とする。 f は有界だから、任意の x, y ∈ X に対して、 d(f(x), f(y)) ≦ M となる実数 M ≧ 0 がある。 任意の x, y ∈ X に対して、d(f(x), g(x)) ≦ 1 なら d(g(x), g(y)) ≦ d(g(x), f(x)) + d(f(x), f(y)) + d(f(y), g(y)) ≦ M + 2 従って、g ∈ B(X, Y) である。 即ち、B(X, Y) は開集合である。 逆に f ∈ F(X, Y) で f が一様収束の位相で B(X, Y) の接触点なら 任意の x ∈ X に対して、d(f(x), g(x)) ≦ 1 となる g ∈ B(X, Y) が 存在する。上と同様に、f ∈ B(X, Y) である。 従って、B(X, Y) は閉集合である。 証明終 174 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14 05 53 命題 X を位相空間、 Y を距離空間とする。 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 C^b(X, Y) を X から Y への有界連続写像全体とする。 C^b(X, Y) は C(X, Y) の一様収束の位相( 149)で開かつ閉である。 さらに Y が完備なら C^b(X, Y) も完備である。 証明 C^b(X, Y) = B(X, Y) ∩ C(X, Y) だから 173 より C^b(X, Y) は C(X, Y) の一様収束の位相で開かつ閉である。 Y が完備なら 167 より C(X, Y) は完備である。 従って、完備一様空間の閉集合として C^b(X, Y) も完備である (過去スレ006の250)。 証明終 175 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14 20 43 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム空間とする。 B(X, Y) を X から Y への有界写像( 172)全体とする。 B(X, Y) は K 上の線形空間である。 f ∈ B(X, Y) に対して、|f| = sup {|f(x)|; x ∈ X} とおく。 B(X, Y) は | | により K 上のノルム空間になる。 このノルムによる一様構造は一様収束の構造( 149)である。 176 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14 38 59 命題 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム環(過去スレ006の694)とする。 B(X, Y) を X から Y への有界写像( 172)全体とする。 B(X, Y) は 175 のノルム | | により K 上のノルム環になる。 証明 B(X, Y) が単位元 1 をもつ K 上の結合的な代数になることは 明らかである。 175 より B(X, Y) は K 上のノルム空間である。 f, g ∈ B(X, Y) に対して |fg| = sup {|f(x)g(x)|; x ∈ X} ≦ sup {|f(x)||g(x)|; x ∈ X} ≦ sup{|f(x)|; x ∈ X}sup{|g(x)|; x ∈ X} = |f||g| 1 ∈ B(X, Y) にたいして、|1| = sup {|1|; x ∈ X} = 1 証明終 177 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14 46 33 定義 X を距離空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の有界集合全体の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造( 150)を X での有界収束の 一様構造という。 F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は X 上で f に有界収束すると言う。 178 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 15 08 58 命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 (B_Σ)(X, Y) を Σ の元を Y の有界集合に写すような X から Y への写像全体とする。 (B_Σ)(X, Y) は F(X, Y) の Σ-収束の位相( 150)に関して閉である。 証明 F(X, Y) から Π{F(A, Y); A ∈ Σ} への写像 ψ を、 ψ(f) = (f|A), A ∈ Σ で定義する。 ψ は F(X, Y) に Σ-収束の位相を与え、各 F(A, Y) に一様収束の 位相を与えたとき連続である。 (B_Σ)(X, Y) = ψ^(-1)(ΠB(A, Y)) である。 ここで B(A, Y) は A から Y への有界写像( 172)全体とする。 173 より B(A, Y) は F(A, Y) の閉集合である。 従って、ΠB(A, Y) は ΠF(A, Y) の閉集合である。 よって、(B_Σ)(X, Y) は F(X, Y) の閉集合である。 証明終 179 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 07 12 52 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) で表した( 136)。 E = ΠE_i (1 ≦ i ≦ n) とする。 F(E, F) を E から F への写像全体とする。 L((E_i); F) は F(E, F) の単純収束の位相( 161)で閉である。 証明 L((E_i); F) は F(E, F) の元 f の中で 1) f(x_1, ... , x_i + y_i, ... , x_n) = f(x_1, ... , x_i, ... , x_n) + f(x_1, ... , y_i, ... , x_n) 2) f(x_1, ... , λx_i, ... , x_n) = λf(x_1, ... , x_i, ... , x_n) という関係をもつもの全体である。 x_1, ... , x_i, y_i, ... , x_n を固定したとき、 1) の両辺は f の関数として、F(E, Y) の単純収束の位相で連続である。 同様に、x_1, ... , λ, x_i, ... , x_n を固定したとき、 2) の両辺は f の関数として、F(E, Y) の単純収束の位相で連続である。 Y はハウスドルフだから(過去スレ006の264)より L((E_i); F) は F(E, F) の単純収束の位相で閉である。 証明終 180 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 07 38 44 補題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ と Σ を X の部分集合の集合とする。 Σ ⊂ Σ なら、F(X, Y) 上の Σ-収束の一様構造( 150)は Σ -収束の一様構造より粗い。 証明 X 上の Σ-収束の一様構造を σ とし、 Σ -収束の一様構造を σ とする。 155 より、A が Σ の元を動き、V が Y に近縁全体 を動いたとき W(A, V) の有限個の共通部分全体が σ の基本近縁系となる。 W(A, V) ∈ σ でもあるから σ ⊂ σ である。 証明終 181 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10 03 34 179 を次のように修正する。 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 E = ΠE_i から F への(連続とは限らない) K-多重線形写像の全体は、 F(E, F) の単純収束の位相( 161)で閉である。 証明 E から F への K-多重線形写像の全体は、F(E, F) の元 f の中で 1) f(x_1, ... , x_i + y_i, ... , x_n) = f(x_1, ... , x_i, ... , x_n) + f(x_1, ... , y_i, ... , x_n) 2) f(x_1, ... , λx_i, ... , x_n) = λf(x_1, ... , x_i, ... , x_n) という関係をもつもの全体である。 x_1, ... , x_i, y_i, ... , x_n を固定したとき、 1) の両辺は f の関数として、F(E, F) の単純収束の位相で連続である。 同様に、x_1, ... , λ, x_i, ... , x_n を固定したとき、 2) の両辺は f の関数として、F(E, F) の単純収束の位相で連続である。 F はハウスドルフだから、過去スレ006の264より 本命題の主張が得られる。 証明終 182 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10 07 19 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) で表した( 136)。 E = ΠE_i (1 ≦ i ≦ n) とする。 F(E, F) を E から F への写像全体とする。 L((E_i); F) は有界収束( 177)の位相で F(E, F) の閉集合である。 証明 E から F への連続とは限らない K-多重線形写像の全体を M(E, F) とする。 180 より、単純収束の位相は有界収束の位相より粗い。 よって 181 より M(E, F) は有界収束( 177)の位相で F(E, F) の閉集合である。 Σ を E の有界集合全体とする。 (B_Σ)(E, F) を Σ の元を F の有界集合に写すような E から F への写像全体とする。 134 より、 L((E_i); F) = M(E, F) ∩ (B_Σ)(E, F) 178 より、(B_Σ)(E, F) は有界収束の位相でF(E, F) の閉集合である。 よって L((E_i); F) も有界収束の位相でF(E, F) の閉集合である。 証明終 183 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10 13 52 命題 182 の条件のもとで F が完備なら L((E_i); F) は有界収束の一様構造で完備である。 証明 163 より F(E, F) は有界収束の一様構造で完備である。 182 より、L((E_i); F) は F(E, F) の有界収束の位相で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として L((E_i); F) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終 184 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 11 05 命題 K を実数体または複素数体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 139 より L((E_i); F) は | | によりノルム空間となる。 このノルムによる一様構造は有界収束の一様構造( 177)と一致する。 証明 E = ΠE_i とおく。 A ⊂ E が有界であるとは、 実数 M ＞ 0 があり、任意の x ∈ A に対して |x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n) となることである。 任意の M ＞ 0 と ε ＞ 0 に対して W(M, ε) を |x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n)となる任意の x = (x_i) ∈ E に対して |f(x) - g(x)| ＜ ε となる (f, g) ∈ L((E_i); F)×L((E_i); F) 全体の集合とする。 W(M, ε) 全体は L((E_i); F) の有界収束の一様構造の 基本近縁系である。 任意の M ＞ 0 と ε ＞ 0 に対して、 137 より、|x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n) なら |f(x) - g(x)| ≦ |f - g|M^n よって、|f - g| ＜ ε/M^n なら (f, g) ∈ W(M, ε) 逆に、任意の ε ＞ 0 に対して、(f, g) ∈ W(1, ε) なら |x_i| ≦ 1 (1 ≦ i ≦ n) のとき |f(x) - g(x)| ＜ ε よって過去スレ006の 690 と 692 より |f - g| ≦ ε 証明終 185 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 15 43 184 を K が自明でない絶対値をもつ任意の可換体の場合に証明しようと したが出来なかった。 Bourbaki には出来るように書いてあるが良くわからない。 186 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 25 12 訂正 136 において K が可換でないとき L((E_i); F) は K 上の線形空間に ならない。 何故なら、λ, μ ∈ K, f ∈ L((E_i); F) のとき λf(μx) = λμf(x) は μ(λf(x)) と等しいとは限らないから。 K が可換なら L((E_i); F) は K 上の線形空間である。 187 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 49 17 命題(Weierstrass) K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム空間とする。 B(X, Y) を X から Y への有界写像( 172)全体とする。 175 より B(X, Y) は K 上のノルム空間になる。 Y が完備で (f_n), n ≧ 0 を B(X, Y) の点列とする。 Σ|f_n| ＜ +∞ なら Σf_n は B(X, Y) で一様収束する。 証明 163 より F(X, Y) の 一様収束の一様構造は完備である。 173 より B(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相で閉である。 よって B(X, Y) は完備である(過去スレ006の250)。 よって、過去スレ006の735より、Σf_n は B(X, Y) において 総和可能である。 よって、Σf_n は X で一様収束する。 証明終 188 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 55 47 代数的整数論では Haar 測度が効果的に使われる。 準備として、これについて述べようと思う。 Haar 測度についてはその重要性にもかかわらず良書が少ない。 このスレが Haar 測度を理解しようと思っている読者の一助になれば 幸いである。 測度論についてはその基本事項は知っているのが望ましいが、 ここで使用する範囲の事項は述べる。 従って、測度論を知らない読者でもここで述べる範囲の事柄は 理解できると思う。 Haar 測度については次の書物を参考にする予定である。 Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II Bourbaki の積分論 Weil の L integration dans les groupes topologiques et ses applications 壬生の位相群論概説(岩波書店) Rudin の Real and complex analysis Halmos の Measure theory 189 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 58 29 定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが次の条件を満たすとき、 Φ を集合環(ring of sets)と言う。 1) A, B ∈ Φ なら A ∪ B ∈ Φ 2) A, B ∈ Φ なら A - B ∈ Φ 190 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 59 06 命題 Φ を集合環とすると次が成り立つ。 1) 空集合は Φ に属す。 2) A, B ∈ Φ なら A ∩ B ∈ Φ 3) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ 証明 1) Φ は空でないから A ∈ Φ がある。 A - A は空集合で、Φ に属す。 2) A, B ∈ Φ なら A ∩ B = A - (A - B) ∈ Φ 3) は明らかである。 証明終 191 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12 59 47 190 の A△B = (A - B) ∪ (B - A) を A と B の対称差と言う。 192 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 13 00 46 185 K を自明でない絶対値を持つ可換体とする。 t ∈ K を、0＜|t|＜1 なるようにとって固定する。 E_i の単位球を B_i, B=Π B_i とする。(積は、i = 1,・・・,n に関してとる) u,v ∈ L((E_i); F) とする。 |u - v| ≦ ε ならば、任意の 整数 m, 任意の z ∈ |t|^m B に対して、 |u(z) - v(z)| ≦ |t|^{mn} ε したがって、ノルム | | から定まる L((E_i); F) の一様構造は、 有界収束の一様構造より細かい。 逆に、任意の z ∈ B に対して、|u(z) - v(z)| ≦ a とする。 x_i ∈ E_i, x_i ≠ 0 をとる（ 1 ≦ i ≦ n ）。 整数m(i) を、|t| ≦ |t|^m(i) |x_i| ≦ 1 なるようにとる。 しからば、z = (x_1,・・・, x_n), および z =(t^m(1) x_1,・・・, t^m(n) x_n) に対して、 |u(z) - v(z)| / Π|x_i| = |u(z ) - v(z )| / Π |t|^m(i) |x_i| ≦ |u(z ) - v(z )| / Π |t|^n ≦ a / Π |t|^n すなわち、|u - v| ≦ a / Π |t|^n . （） したがって、有界収束の一様構造は、ノルム || で定まる一様構造より細かい Q.E.D 193 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 01 12 命題 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが集合環であるためには 次の条件を満たすことが必要十分である。 1) A, B ∈ Φ なら A ∩ B ∈ Φ 2) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ 証明 必要性は 190 で証明済みである。 1) と 2) が成り立つとする。 まず、A と B が交わらなければ A ∪ B = A△B であることに注意する。 A, B ∈ Φ なら A - B = A△B ∩ A ∈ Φ A ∪ B = A△B ∪ (A ∩ B) だから、上の注意より A ∪ B = (A△B)△(A ∩ B) ∈ Φ 証明終 194 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 16 59 192 有難うございます。 195 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 19 28 命題 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが集合環であるためには 次の条件を満たすことが必要十分である。 1) A, B ∈ Φ なら A ∪ B ∈ Φ 2) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ 証明 必要性は明らかである。 1) と 2) が成り立つとする。 まず A ⊃ B なら A△B = A - B に注意する。 A, B ∈ Φ なら A ∩ B = (A ∪ B) - A△B = (A ∪ B)△(A△B) ∈ Φ 193 より Φ は集合環である。 証明終 196 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 21 38 定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ が集合環( 189)で X ∈ Φ のとき Φ を集合代数(algebra of sets)と言う。 197 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 22 29 定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが次の条件を満たすとき、 Φ をσ-集合環と言う。 1) A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... なら ∪A_n ∈ Φ 2) A, B ∈ Φ なら A - B ∈ Φ 198 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13 23 15 定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ が σ-集合環( 197)で X ∈ Φ のとき Φ を σ-集合代数と言う。 199 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 20 27 命題 Φ を σ-集合環( 197) とする。 A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... なら ∩A_n ∈ Φ 証明 A = ∪A_n とおく。 A ∈ Φ であり、各 n ＞ 0 に対して A - A_n ∈ Φ である。 よって ∩A_n = A - ∪(A - A_n) ∈ Φ 証明終 200 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 25 00 命題 σ-集合環( 197) は集合環(189)である。 証明 Φ は空でないから A ∈ Φ がある。 A - A は空集合で Φ に属す。 A_1, A_2 ∈ Φ とし、A_n (n ≧ 3)を空集合とする。 A_1 ∪ A_2 = ∪A_n ∈ Φ 証明終 201 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 39 38 補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の集合環 Φ_i の族とする。 Φ = ∩Φ_i は集合環である。 証明 任意の i ∈ に対して空集合は Φ_i に属すから ∩Φ_i にも属す。 従って、∩Φ_i は空ではない。 Φ が 189 の 1) と 2) を満たすことは自明である。 証明終 202 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 40 59 補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の集合代数(196) Φ_i の族とする。 Φ = ∩Φ_i は集合代数である。 証明 201 と同様である。 203 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 42 41 補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の σ-集合環( 197) Φ_i の族とする。 Φ = ∩Φ_i はσ-集合環である。 証明 201 と同様である。 204 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 43 22 補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の σ-集合代数( 198) Φ_i の族とする。 Φ = ∩Φ_i はσ-集合代数である。 証明 201 と同様である。 205 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 49 22 命題 X を集合とする。 Ψ を X の部分集合の集合とする。 Ψ を含む最小の集合環が存在する。 集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。 証明 Ψ を含む集合環の全体を (Φ_i), i ∈ I とする。 201 より Φ = ∩Φ_i は集合環である。 Φ が求めるものである。 集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。 証明終 206 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14 51 45 205 の補足。 X の部分集合全体は、集合環だから Ψ を含む集合環は必ず存在する。 集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。 207 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 14 57 43 俺は未だに、（有限/完全）加法族、（""/σ/δ）集合（環/代数/体）の 区別が付かない。というか、それぞれの定義に要請される要件が 対称差の代わりに和だったり、文脈で微妙に違うらしいので 混乱する。内容的にはいくつかの条件が定義の要件から出てきて 結果として多くの部分が重なるので、それほど気にしなくても いいのかもしれないが、いつも何かが引っかかる。 208 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 15 05 26 あっそう 209 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 15 08 12 207 それぞれの定義に要請される要件が対称差の代わりに和だったり、 文脈で微妙に違うらしいので 意味が良くわからないんですが。 定義が異なれば、要請される要件も当然違います。 集合環と代数学における環のことを言ってるのでしたら両者はまったく 別ものです。 210 ：1stVirtue ◇.NHnubyYck：2007/08/29(水) 15 23 45 思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうが良い。 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時14分28秒 代数的整数論 006 (331-390) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/331-390 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/331-390 331 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05 07 15 定義 G を位相群、X を位相空間とし、 G は X に連続作用しているとする。 x, y ∈ X に対して sx = y となる s ∈ G があるとき x と y は同値と定義とすることにより X の同値関係が得られる。 この各同値類を X の軌道とよぶ。 x ∈ X に対して、x を含む軌道を x の軌道という。 x の軌道は { sx ; s ∈ G } である。 X の軌道全体の集合を X/G と書く。 X/G に商位相を入れた位相空間を X の G による軌道空間という。 332 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05 20 55 命題 G を位相群が位相空間 X に連続作用しているとする。 G の任意の元 s に対して φ_s(x) = sx により 写像 φ_s X → X を定義する。 φ_s は X の位相同型である。 証明 φ_s の逆写像は t を s の逆元としたとき φ_t である。 φ_s も φ_t も連続だから φ_s は X の位相同型である。 証明終 333 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05 25 11 命題 G を位相群が位相空間 X に連続作用しているとする。 標準写像 p X → X/G は開写像である。 証明 332 より V が X の開集合のとき G の任意の元 s に対して sV は開集合である。 従って、V が X の開集合のとき p^(-1)(p(V)) = GV = ∪{sV ; s ∈ G} は開集合である。 従って、p(V) は開集合である。 証明終 334 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05 46 48 定義 G を位相群、H をその部分群とする。 x ∈ G, s ∈ H のとき xs ∈ G だから H は G に右から連続作用する。 この軌道空間 G/H は H の左剰余類 xH 全体からなる。 G/H に商位相を入れた位相空間を G の H による等質空間と言う。 335 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06 11 28 命題 X, Y, Z を位相空間として写像 f X → Y と g Y → Z があるとする。 f は全射で開写像とする。 h = gf が連続なら g も連続である。 証明 U を Z の開集合とする。 V = g^(-1)(U) とおく。 W = h^(-1)(U) = f^(-1)(V) は X の開集合である。 f は全射だから f(W) = V となる。 f は開写像だから V は開集合である。 証明終 336 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06 14 43 命題 s ∈ G, tH ∈ G/H のとき stH ∈ H を対応させる写像 G × G/H → G/H は連続である。 証明 333 より 標準写像 G → G/H は開写像である。 従って、G × G → G × G/H は開写像である。 G × G → G × G/H と G × G/H → G/H を合成して f G × G → G/H が得られる。 f は連続写像 G × G → G と G → G/H の合成だから 連続である。 335 より G × G/H → G/H は連続である。 証明終 337 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06 41 55 命題 G を位相群、H をその正規部分群とする。 G/H は商位相で位相群になる。 証明 写像 ψ G/H × G/H → G/H を ([x], [y]) = [xy^(-1)] で定義する。 333 より φ G × G → G/H × G/H は開写像である。 ψφ G × G → G/H は連続写像 f G × G → G, f(x, y) = xy^(-1) と G → G/H の合成だから連続である。 335 より ψ は連続である。 証明終 338 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 06 55 48 紙切れ提出で、２９０万円以上ゲット！ こんな楽チンな話はなかった。 一回限りなのが残念ですが、 １００％出来るのでやってみて！ その続きはここ ⇒⇒ http //surl.se/cpcc 339 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06 57 07 命題 G を位相群、H をその部分群とする。 H の G における閉包 cls(H) は G の部分群である。 証明 G×G において cls(H×H) = cls(H)×cls(H) である。 写像 f G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。 f は連続だから f(cls(H×H)) ⊂ cls(f(H×H)) となる。 f(H×H) ⊂ H だから f(cls(H)×cls(H) ) ⊂ cls(H) である。 よって cls(H) は G の部分群である。 証明終 340 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 07 01 49 命題 G を位相群、H をその正規部分群とする。 H の G における閉包 cls(H) は G の正規部分群である。 証明 a ∈ G のとき f(x) = axa^(-1) により写像 f G → G を定義する。 f(H) = H だから f(cls(H)) ⊂ cls(f(H)) = cls(H) よって cls(H) は G の正規部分群である。 証明終 341 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09 16 19 定義 R を集合 X の同値関係とし φ X → X/R を標準写像とする。 X の部分集合 A は A = φ^(-1)(φ(A)) のとき充満していると言う。 X の任意の部分集合 B に対して φ^(-1)(φ(B)) を B の充満化と言う。 342 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09 34 00 命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。 X の部分集合 A が充満( 341)していれば、A の内部および A の閉包も 充満している。 証明 A の内部と閉包をそれぞれ int(A), cls(A) とする。 int(A) の充満化を B とする。 A は充満しているから int(A) ⊂ B ⊂ A となる。 一方、B = φ^(-1)(φ(int(A))) であり、 φ は開写像だから B は開集合である。 従って int(A) = B である。 X - cls(A) = int(X - A) であり、X - A は充満しているから 上で証明したことより int(X - A) も充満している。 従って cls(A) も充満している。 証明終 343 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09 45 40 命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。 X の部分集合 A が充満していれば、cls(φ(A)) = φ(cls(A)) である。 証明 A ⊂ cls(A) だから φ(A) ⊂ φ(cls(A)) 342 より cls(A) は充満しているから φ(cls(A)) は閉集合である。 よって cls(φ(A)) ⊂ φ(cls(A)) 一方 φ は連続だから φ(cls(A)) ⊂ cls(φ(A)) よって cls(φ(A)) = φ(cls(A)) 証明終 344 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10 02 30 命題 (X_i)、i ∈ I と (Y_i)、i ∈ I を位相空間の族とし、 f_i X_i → Y_i を開写像とする。 有限個の i を除いて f_i は全射とする。 f = Πf_i とする、即ち f((x_i)) = (f_i(x_i)) このとき f X → Y は開写像である。 証明 積位相空間の位相の定義より明らかである。 345 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10 19 22 命題 (X_i)、i ∈ I を位相空間の族とし、 R_i を各 X_i の同値関係で標準写像 f_i X_i → X_i/R_i は 開写像とする。 X = ΠX_i とし、 f X → ΠX_i/R_i を積写像 Πf_i とする。 X の同値関係 R を x = (x_i), y = (y_i) を X の２元としたとき f(x) = f(y) 即ち すべての i で x_i ≡ y_i (mod R_i) となるとき x ≡ y (mod R) と定義する。 標準写像 X → X/R は開写像で f は位相同型 X/R → ΠX_i/R_i を 引き起こす。 証明 344 より f は開写像である。 f は連続写像の積だから連続である。 従って f は位相同型 X/R → ΠX_i/R_i を引き起こす。 f は開写像だから標準写像 X → X/R も開写像である。 証明終 346 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 10 21 44 328 ★天使＝ＡＶ女優 ★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使（中級天使）＝ 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使（上級天使） 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 （四大天使長） 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞：ネ申 小林ひとみ 347 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10 34 21 命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。 C を R のグラフ即ち C = {(x, y) ∈ X×X ; x ≡ y (mod R) } とする。 C が X×X の閉集合なら X/R はハウスドルフ空間である。 証明 345 より (X×X)/(R×R) は (X/R)×(X/R) と同一視できる。 (X/R)×(X/R) の対角線集合を Δ とする。 Δ は C の標準写像 X×X → (X×X)/(R×R) による像である。 C は充満した閉集合だから Δ も閉集合である。 従って 84 より X/R はハウスドルフ空間である。 証明終 348 ：132人目の素数さん：2007/08/09(木) 10 43 10 http //jbbs.livedoor.jp/game/39525/ 掲示板来て下さいお願いします！！ 349 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10 43 55 命題 G を位相群、H をその閉部分群とする。 等質空間( 334) G/H はハウスドルフ空間である。 証明 G/H は G における関係 x^(-1)y ∈ H による商空間である。 この関係のグラフは (x, y) に x^(-1)y を対応させる連続写像 G×G → G による H の逆像であるから閉集合である。 標準写像 G → G/H は 333 より開写像である。 従って 347 より G/H はハウスドルフ空間である。 証明終 350 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10 48 54 G を位相群、G の単位元を e とする。 N を {e} の G における閉包とする。 340 より N は G の閉正規部分群である。 349 より G/N は分離群である。 G/N を G に伴う分離群という。 351 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 11 06 41 命題 G と G を位相群とする。 連続準同型 f G → G は G と G の右一様構造で一様連続である。 左一様構造に関しても同様である。 証明 f は連続だから V を G の単位元の任意の近傍としたとき G の単位元の任意の近傍 W があり f(W) ⊂ V となる yx^(-1) ∈ W なら f(yx^(-1)) = f(y)f(x)^(-1) ∈ V である。 即ち f は G と G の右一様構造で一様連続である。 証明は左一様構造に関しても同様である。 証明終 352 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 11 25 17 G を分離位相アーベル群とする。 200 より G は分離一様空間である。 G の分離完備化( 288)を Ω とし、φ G → Ω を標準写像とする。 G は分離的だから φ により G と φ(G) は同一視出来る( 293)。 写像 x + y は連続準同型 f G×G → G である。 351 より f は一様連続である。 一様連続写像の延長定理( 272)により f は α Ω×Ω → Ω に 一意に拡張出来る。 即ち Ω の元 x, y に対して α(x, y) を x + y と書く。 Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に (x + y) + z を対応させる 写像とする。 Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に x + (y + z) を対応させる 写像とする。 この二つの写像は G×G×G で一致する。 等式延長の原理( 265)よりこの二つの写像一致する。 即ち Ω の元 x, y, z に対して (x + y) + z = x + (y + z) となる。 同様に x + y = y + x が出る。 同様に x + 0 = x である。 写像 -x は連続準同型 g G → G である。 351 より g は一様連続である。 一様連続写像の延長定理( 272)により g は β Ω → Ω に 一意に拡張出来る。 即ち Ω の元 x に対して β(x) を -x と書く。 x + (-x) = 0 が上と同様に出る。 以上から Ω は位相アーベル群になる。 353 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 12 04 47 352 の Ω は二つの一様構造を持っている。 一つは一様空間 G の分離完備化としての一様構造である。 これを Φ と書く。 もう一つは位相アーベル群としての一様構造である。 これを Ψ と書く。 Φ = Ψ であることを証明する。 まず Φ と Ψ は Ω において同一の位相を定める。 Φ と Ψ は G において同一の一様構造を引き起こす。 従って Ψ の G における Cauchy フィルターは Φ の G における Cauchy フィルターでもあるから Ω において 収束する。 従って 263 より Ψ は完備である。 φ G → Ω を標準写像とする。 φ を G から一様空間 (Ω, Ψ) への写像と見ると、 351 より φ は 一様連続である。 一様連続写像の延長定理( 272)より φ は (Ω, Φ) から (Ω, Ψ) へ の一様連続写像 ψ に一意に拡張される。 Ω の恒等写像は G ⊂ Ω において φ を引き起こすから 等式延長の原理( 265) より ψ と一致する。 即ち恒等写像 (Ω, Φ) → (Ω, Ψ) は一様連続である。 同様に恒等写像 (Ω, Ψ) → (Ω, Φ) は一様連続である。 従って Φ = Ψ である。 354 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 12 25 34 定理(分離位相アーベル群の完備化) G を分離位相アーベル群とする。 分離かつ完備な位相アーベル群 Ω と G から Ω への連続準同型 φ で 次の性質をもつものが存在する。 1) φ は G から φ(G) への位相群としての同型を引き起こす。 2) G から分離かつ完備な位相アーベル群 G への連続準同型 f G → G に対し、連続準同型 g Ω → G で f = gφ となるものが一意に存在する。 証明 Ω として 352 の Ω を取る。 1) は明らかである。 φ により G と φ(G) を同一視する。 f を G から分離かつ完備な位相アーベル群 G への連続準同型とする。 351 より f は一様連続だから一様連続写像の延長定理( 272)により f は一様連続写像 g Ω → G に一意に拡張出来る。 等式延長の原理により g(x + y) = g(x) + g(y) となる。 従って g は連続準同型である。 これで 2) が証明された。 証明終 355 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 17 32 31 298 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 356 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 17 33 19 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 357 ：Kummer ◆SP1RWrm9VI ：2007/08/09(木) 22 55 31 （ 1の続き） 妹が風邪をひいて家で寝ていて様子を見に行ったら、 「座薬を入れてよ！熱が下がんないから！」と言ってきた。 親に言えや！と返したら母親は今いない。親父には見られたくない。 という事らしい。 妹は後ろ向きに四つん這いになってその下は見るな！と 半分ケツをペロリとだした。 ロケット型の白い座薬を妹の＊にゆっくりと入れる。 が、直ぐケツの力で這い出してしまう。 奥まで入れろ！と言われ、汚ねぇから触れねぇーよ！と 切り返したら、引出しからコンドームを１つ渡し「これで！」と。 指に不自然にそれをハメると妹は何度も絶対に変な事するなよ！ 絶対に変な事するなよ！と言いながらもう一度四つん這いに。 オレは無心でゆっくりと奥まで一気に入れる。 妹はアッ！と少しだけ悶える。すまん！と意味も無く謝る兄のオレ。 ところがそのまま指が穴から抜けなくなる。 抜けない！とオレが 焦って動かすとウッ！動かさないで！と妹はマジ悶える。 力入れるなよ！と叫ぶオレ。じゃあ関節曲げんなよ！エロ！と妹も負けじと叫ぶ。 分かった。落ち着こうよ。な！力抜いて。ほら。よし!抜けた。 そしてヌポッ！という音ともに 358 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/09(木) 23 20 21 11 河村隆一「Love」（97/11/22） 1.I Love You 言わずと知れたソロデビュー駄曲。サビの「～探してたー、うっふっふ」ってとこがキモい駄曲。 2.好き Say A Litlle Prayerに提供した駄曲をセルフカバー。引き続きキモいです！ 3.涙色 酒井のり子（のりP）に提供した曲。ここまで来るとアイドルヲタのカラオケみたいです！ 4.Birthday 誕生日にこんな曲をRYUICHIに隣りで歌われたらその日は眠れないかも、キモくて、っていうおぞましい駄曲です 5.Love Song アコースティックな優しい響きに乗せたメッセージが絶望的にサムイです。 6.BEAT 「波乗りに行ったときに出来た曲。波の音が、別れた彼女の声に聞こえて･･･」との事ですが、 何言ってんだおまえ、って感じです！！ 7.蝶々 これも酒井法子への提供曲。「女言葉を僕が歌ったら、面白いかなって思って」との事ですが、 ちっとも面白くなく不快な仕上りになってます。 8.Love ｱﾙﾌｨーの高見沢作曲。繰り返し歌われるRYUICHIの恋愛観に辟易させられる駄曲です。 9.Evolution アルバム中盤で、ちょっとしたアクセントになっている駄曲。 10.小さな星 セイアへの提供曲。RYUICHIが歌う事によって鳥肌が立つほどの駄曲になってます。 11.Glass ソロ2ndシングル曲。テレビでもよく歌っていたせいか、サビでは高音を張り上げるRYUICHIの顔が浮かんできて怖いです！ 12.でも淋しい夜は･･･ まだ続くのかよこのアルバム、って駄曲です。 13.SE,TSU,NA このアルバムでは珍しくアップテンポのアレンジに乗せて歌われるメッセージが圧倒的にウンコです。 14.Love is… 「僕の、究極の理想の愛を歌ってます」との事ですが、そんなのどうでもいいと思える駄曲です。 15.Christmas RYUICHIと一緒にクリスマスを過ごすくらいなら居眠りして終わらせたほうがましだと突っ込みたくなる駄曲。 16.Hope 長かったね、この駄アルバムもこの駄曲でやっと終わりという、開放感ある駄曲でした。 総評 全16駄曲という圧倒的なボリュームのソロデビュー作。主婦は狂気し、 LUNA SEAファンはいろいろな意味で腰を抜かした250万枚のヒット作です。 中古屋では50円で売ってました。50円出すのも勿体無いです！ 359 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03 42 31 命題 A を位相環とし、B をその部分環とする。 A における B の閉包 cls(B) は A の部分環である。 証明 339 より cls(B) は A の部分アーベル群である。 写像 f A×A → A を f(x, y) = xy で定義する。 f は連続だから f(cls(B×B)) = f(cls(B)×cls(B)) ⊂ cls(f(B×B)) となる。 f(B×B) ⊂ B だから f(cls(B)×cls(B)) ⊂ cls(B) である。 よって cls(B) は A の部分環である。 証明終 360 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03 43 02 命題 A を位相環とし、I をその左イデアルとする。 I における B の閉包 cls(I) は A の左イデアルである。 証明 339 より cls(I) は A の部分アーベル群である。 写像 f A×A → A を f(x, y) = xy で定義する。 f は連続だから f(cls(A×I)) = f(A×cls(I)) ⊂ cls(f(A×I)) となる。 f(A×I) ⊂ I だから f(A×cls(I)) ⊂ cls(I) である。 よって cls(I) は A の左イデアルである。 証明終 361 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03 48 40 命題 A を位相環とし、I をその右イデアル、 J をその両側イデアルとする。 A における I の閉包 cls(I) は A の右イデアルであり、 A における J の閉包 cls(J) は A の両側イデアルである。 証明 cls(I) が A の右イデアルであることの証明は 360 と同じである。 cls(J) が A の両側イデアルであることは cls(J) が 左イデアルでもあり、右イデアルでもあることから分かる。 証明終 362 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03 56 34 命題 A を位相環とし、I をその両側イデアルとする。 A/I は商位相で位相環になる。 証明 337 と同様である。 363 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 04 01 10 A を位相環とし、N を {0} の A における閉包とする。 361 より N は A の閉両側イデアルである。 349 より A/N は分離的である。 A/N を A に伴う分離環と言う。 364 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/10(金) 04 13 12 361 の続き 河村隆一「Love」（97/11/22） 1.I Love You 言わずと知れたソロデビュー駄曲。サビの「～探してたー、うっふっふ」ってとこがキモい駄曲。 2.好き Say A Litlle Prayerに提供した駄曲をセルフカバー。引き続きキモいです！ 3.涙色 酒井のり子（のりP）に提供した曲。ここまで来るとアイドルヲタのカラオケみたいです！ 4.Birthday 誕生日にこんな曲をRYUICHIに隣りで歌われたらその日は眠れないかも、キモくて、っていうおぞましい駄曲です 5.Love Song アコースティックな優しい響きに乗せたメッセージが絶望的にサムイです。 6.BEAT 「波乗りに行ったときに出来た曲。波の音が、別れた彼女の声に聞こえて･･･」との事ですが、 何言ってんだおまえ、って感じです！！ 7.蝶々 これも酒井法子への提供曲。「女言葉を僕が歌ったら、面白いかなって思って」との事ですが、 ちっとも面白くなく不快な仕上りになってます。 8.Love ｱﾙﾌｨーの高見沢作曲。繰り返し歌われるRYUICHIの恋愛観に辟易させられる駄曲です。 9.Evolution アルバム中盤で、ちょっとしたアクセントになっている駄曲。 10.小さな星 セイアへの提供曲。RYUICHIが歌う事によって鳥肌が立つほどの駄曲になってます。 11.Glass ソロ2ndシングル曲。テレビでもよく歌っていたせいか、サビでは高音を張り上げるRYUICHIの顔が浮かんできて怖いです！ 12.でも淋しい夜は･･･ まだ続くのかよこのアルバム、って駄曲です。 13.SE,TSU,NA このアルバムでは珍しくアップテンポのアレンジに乗せて歌われるメッセージが圧倒的にウンコです。 14.Love is… 「僕の、究極の理想の愛を歌ってます」との事ですが、そんなのどうでもいいと思える駄曲です。 15.Christmas RYUICHIと一緒にクリスマスを過ごすくらいなら居眠りして終わらせたほうがましだと突っ込みたくなる駄曲。 16.Hope 長かったね、この駄アルバムもこの駄曲でやっと終わりという、開放感ある駄曲でした。 総評 全16駄曲という圧倒的なボリュームのソロデビュー作。主婦は狂気し、 LUNA SEAファンはいろいろな意味で腰を抜かした250万枚のヒット作です。 中古屋では50円で売ってました。50円出すのも勿体無いです！ 365 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/10(金) 04 20 05 お前ら、フルーチェオナホ造った事ある？ カタクリＸ並らしいんだけど・・ 366 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 05 12 58 命題 A を位相環とする。 (x_n), n ∈ Z+ と (y_n), n ∈ Z+ をそれぞれ A の Cauchy 点列 とすると、(x_ny_n) も Cauchy 点列である。 証明 写像 (x, y) → xy は連続だから A の 0 の任意の近傍 W に対して U^2 ⊂ W となる 0 の近傍 U がある。 n0 ∈ Z+ があり n, m ≧ n0 なら x_n - x_m ∈ U, y_n - y_m ∈ U となる。 写像 x → x(y_n0) と写像 y → (x_n0)y は連続だから V ⊂ U があり x_n - x_m ∈ V なら (x_n - x_m)y_n0 ∈ W y_n - y_m ∈ V なら x_n0(y_n - y_m) ∈ W となる。 n1 ≧ n0 があり n, m ≧ n1 なら x_n - x_m ∈ V y_n - y_m ∈ V となる。 従って n, m ≧ n1 なら x_n y_n - x_m y_m = (x_n - x_m)y_n0 + x_n0(y_n - y_m) + (x_n - x_m)(y_n - y_n0) + (x_m - x_n0)(y_n - y_m) ∈ W + W + W + W 従って (x_ny_n) は Cauchy 点列である。 証明終 367 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 08 45 52 命題 A を位相環とする。 Φ と Ψ をそれぞれ A の Cauchy フィルターの基底とする。 f A×A → A を f(x, y) = xy により定義する。 f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。 証明 写像 f(x, y) は連続だから A の 0 の任意の近傍 W に対して U^2 ⊂ W となる 0 の近傍 U がある。 M ∈ Φ と N ∈ Ψ を U 程度に小さい集合とする。 x_1 ∈ M y_1 ∈ N を任意に取る。 写像 x → xy_1 と写像 y → x_1y は連続だから V ⊂ U があり x - x ∈ V なら (x - x)y_1 ∈ W y - y ∈ V なら x_1(y - y) ∈ W となる。 M を V 程度に小さい集合で M ⊂ M かつ M ∈ Φ とする。 N を V 程度に小さい集合で N ⊂ N かつ N ∈ Ψ とする。 x, x ∈ M y, y ∈ N のとき x y - xy = (x - x)y_1 + x_1(y - y) + (x - x)(y - y_1) + (x - x_1)(y - y) ∈ W + W + W + W 即ち M N は 4W 程度に小さい。 従って f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。 証明終 368 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09 14 10 A を分離位相環とする。 Ω を A のアーベル群としての完備化とする。 写像 f A×A → A を f(x, y) = xy により定義する。 271 より f は連続写像 g Ω×Ω → Ω に一意に拡張できる。 g(x, y) = xy と書くことにする。 等式延長の原理( 265)より (xy)z = x(yz) となる。 1 を A の乗法の単位元 とするとやはり等式延長の原理より x1 = 1x = x となる。 従って Ω は位相環になる。 369 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09 15 32 定理(分離位相環の完備化) A を分離位相環とする。 分離かつ完備な位相環 Ω と A から Ω への連続準同型 φ で 次の性質をもつものが存在する。 1) φ は A から φ(A) への位相環としての同型を引き起こす。 2) A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型 f A → B に対し、連続準同型 g Ω → B で f = gφ となるものが一意に存在する。 証明 Ω として 368 の Ω を取る。 1) は明らかである。 φ により A と φ(A) を同一視する。 f を A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型とする。 354 より位相アーベル群としての連続準同型 g Ω → B で f = gφ となるものが一意に存在する。 等式延長の原理により g(xy) = g(x)g(y) となる。 従って g は位相環としての連続準同型である。 これで 2) が証明された。 証明終 370 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09 19 14 369 の Ω を分離位相環 A の完備化と言う。 Ω は通常 A^ で表す。 371 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09 41 45 定理(位相環の分離完備化) A を位相環とする。 分離かつ完備な位相環 Ω と A から Ω への連続準同型 ψ で 次の性質をもつものが存在する。 A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型 f A → B に対し、連続準同型 g Ω → B で f = gψ となるものが一意に存在する。 証明 N を {0} の A における閉包とする。 361 より N は A の閉両側イデアルである。 349 より A/N は分離的である。 p A → A/N を標準写像とする。 A/N の完備化を Ω とし、φ A/N → Ω を標準写像とする。 ψ A → Ω を標準写像 p A → A/N と φ A/N → Ω の 合成とする。即ち ψ = φp である。 f を A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型とする。 f^(-1)(0) は A の閉両側イデアルだから N ⊂ f^(-1)(0) 従って、環としての準同型 h A/N → B があり、f = hp となる。 B の開集合 U に対して f^(-1)(U) = p^(-1)(h^(-1)(U)) は 開集合だから h^(-1)(U) は開集合である。 従って h は連続である。 369 より連続準同型 g Ω → B で h = gφ となるものが一意に存在する。 f = hp = gφp = gψ ψ(A) は Ω で密だから g は一意に決まる。 証明終 372 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 01 34 52 定義 A を位相環( 189)とし、E を左 A-加群とする。 E が以下の条件を満たすとき E を 左 A-位相加群と言う。 1) E にはその加法と両立する位相が入る。 即ち位相アーベル群である。 2) (a, x) に ax を対応させる写像 A×E → E は連続である。 373 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 01 48 20 命題 E を A-位相加群、M をその A-部分加群とする。 E/M は商位相により A-位相加群となる。 証明 写像 ψ A × E/M → E/M を (a, [x]) = [ax] で定義する。 ψ が連続であることを示せばよい。 333 より φ A × E → A × E/M は開写像である。 ψφ A × E → E/M は連続写像 A × E → E と標準写像 E → E/M の合成だから連続である。 335 より ψ は連続である。 証明終 374 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02 06 29 次の命題の証明は 367 と同様だが一応証明する。 375 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02 07 28 命題 E, F, G を位相アーベル群とし、 f E×F → G を連続な双線形写像とする。 Φ と Ψ をそれぞれ E と F の Cauchy フィルターの基底とする。 f(Φ, Ψ) は G の Cauchy フィルターの基底である。 証明 写像 f(x, y) は連続だから G の 0 の任意の近傍 W に対して f(U, V) ⊂ W となる 0 の近傍 U と V がある。 M ∈ Φ と N ∈ Ψ をそれぞれ U, V 程度に小さい集合とする。 x_1 ∈ M y_1 ∈ N を任意に取る。 写像 x → f(x, y_1) と写像 y → f(x_1, y) は連続だから 0 の近傍 U ⊂ U があり x - x ∈ U なら f(x - x, y_1) ∈ W 0 の近傍 V ⊂ V があり y - y ∈ V なら f(x_1, y - y) ∈ W となる。 M を U 程度に小さい集合で M ⊂ M かつ M ∈ Φ とする。 N を V 程度に小さい集合で N ⊂ N かつ N ∈ Ψ とする。 x, x ∈ M y, y ∈ N のとき f(x , y ) - f(x, y) = f(x - x, y_1) + f(x_1, y - y) + f(x - x, y - y_1) + f(x - x_1, y - y) ∈ W + W + W + W 即ち M N は 4W 程度に小さい。 従って f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。 証明終 376 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02 24 35 A を分離位相環、E を A-分離位相加群とする。 A^ と E^ をそれぞれ A と E の完備化とする。 271 と 375 より (a, x) に ax を対応させる写像 A×E → E は A^×E^ → E^ に連続延長される。 等式延長の原理( 265) より a, b ∈ A^, x ∈ E^ のとき a(bx) = (ab)x となる。 従って E^ は A^-位相加群となる。 E^ を A-位相加群 E の完備化と言う。 377 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 03 26 30 A を位相環、N を A における {0} の閉包とする。 349 より A/N は分離位相環である。 A/N の完備化( 370) を A の分離完備化と言い、A^ で表す。 378 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 03 27 32 A を位相環、E を A-位相加群とする。 N を A における {0} の閉包とし、 F を E における {0} の閉包とする。 349 より A/N は分離位相環であり、 E/F は分離位相アーベル群である。 a ∈ A, x ∈ F なら ax ∈ F だから、 写像 f A/N × E/F → E/F を ([a], [x]) → [ax] により 定義出来る。 A × E → A/N × E/F は開写像であり、 (a, x) ∈ A × E のとき [ax] ∈ E/F を対応させる写像 A × E → E/F は連続だから 335 より f も連続である。 従って E/F は A/N-位相加群である。 376 より E/F の完備化 (E/F)^ は A の分離完備化環 A^ 上の 位相加群であり、これを E の分離完備化と言い、E^ と書く。 379 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 09 08 52 命題 A を位相環、E を A-位相加群とし、 A^ と E^ をそれぞれ A と E の分離完備化( 371 と 378)とする。 φ E → E^ を標準写像とする。 G を分離かつ完備な A^-位相加群とし、 f E → G を A-位相加群としての連続準同型とする。 このとき A^-位相加群としての連続準同型 g E^ → G が一意に存在し f = gφ となる。 証明 F を E における {0} の閉包とする。 p E → E/F を標準写像とする。 f^(-1)(0) は E の閉部分加群だから F ⊂ f^(-1)(0) 従って、A-加群としての準同型 h E/F → G があり、f = hp となる。 G の開集合 U に対して f^(-1)(U) = p^(-1)(h^(-1)(U)) は 開集合だから h^(-1)(U) は開集合である。 従って h は連続である。 ψ E/F → (E/F)^ を標準写像とする。 E^ = (E/F)^ である。 354 より連続準同型 g (E/F)^ → G で h = gψ となるものが一意に存在する。 f = hp = gψp = gφ φ(A) は Ω で密だから g は一意に決まる。 g は等式延長の原理( 265)より A^-位相加群としての連続準同型で ある。 証明終 380 ：Kummer ◆U3fGsUclmg ：2007/08/11(土) 09 21 27 ★天使＝ＡＶ女優 ★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使（中級天使）＝ 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使（上級天使） 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 （四大天使長） 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞：ネ申 小林ひとみ 381 ：１３２人目のKummerさん：2007/08/11(土) 09 53 20 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 382 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 10 21 31 命題 分離位相体( 190) K の完備化環 K^ が位相体であるためには K^* に含まれ、0 に収束しない (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底の写像 x → x^(-1) による像が (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが 必要十分である。 証明 K が離散的でないなら K^* = K - {0} は K^ - {0} において密である。 K が離散的な場合は K^ = K であるからやはり K^* = K - {0} は K^ - {0} において密である。 f K^* → K^* を f(x) = x^(-1) で定義する。 K^ が位相体であるためには写像 f が写像 g K^ - {0} → K^ - {0} に連続延長出来ることが必要十分である。 必要なことは明らかである。 十分なことは、x ∈ K^ - {0} のとき g(x)x = 1 と xg(x) = 1 が 等式延長の原理( 265)より出ることから分かる。 従って、 271 より直ちに命題の主張が出る。 証明終 383 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10 31 29 382 AV 好きなのか？ 384 ：１３２人目のKummerさん：2007/08/11(土) 10 34 12 ∩＿＿＿∩ /) | ノ ヽ ( i ))) / ● ● | / / | ( _●_) |ﾉ / 彡､ |∪| ，/ ／ ヽノ /´ 代数的整数論では円分体が大事だクマ 385 ：Kummer ◆6l0Hq6/z.w ：2007/08/11(土) 10 38 24 383 ああ。 386 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10 49 51 384 円分体好きなのか？ 387 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10 58 01 386 ああ。 388 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 11 07 32 命題 K を分離的な可換位相体とする。 Φ を K^* を位相群とみたときの K^* における Cauchy フィルターの基底とする。 Φ は K を位相アーベル群とみたときの Cauchy フィルターの基底 であり、0 には収束しない。 証明 U を K における 0 の任意の近傍として V を 0 の閉近傍で V ⊂ U, V^2 ⊂ U で -1 は V に含まれない とする。 A ∈ Φ で任意の x, y ∈ A に対して y/x ∈ 1 + V となるものがある。 a ∈ A のとき A ⊂ a + aV である。 W を 0 の近傍で aW ⊂ V とする。 B ∈ Φ, B ⊂ A で任意の x, y ∈ B に対して y/x ∈ 1 + W となるものがある。 y - x ∈ xW ⊂ AW ⊂ aW + aVW K は可換だから aVW = aWV ⊂ V^2 ⊂ U 従って y - x ∈ U + U 即ち Φ は K を位相アーベル群とみたときの Cauchy フィルターの基底 である。 A ⊂ a + aV であり、 a + aV は 0 を含まない閉集合であるから Φ は 0 に収束しない。 証明終 389 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 11 10 18 命題 K を分離かつ完備な可換位相体とする。 K^* は位相群とみたとき完備である。 証明 388 より明らかである。 390 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 11 10 27 ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 代数的整数論、いつも熱心に書いてあるな。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ ん？最近荒らしが多いな。 ＼/ / ○＿○ ( ･(ェ)･ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 何で「クマー」が Kummer って叫んでるんだろう？ ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 「クンマー」だからか。くだらねえ。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ﾟ(ェ)ﾟ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ こっちみんな ＼/ / ￣￣￣ タグ： コメント
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20mmアクスル 自転車のフォークとフロントハブの固定方法の規格のひとつ。 ハブを直径20mmの軸が貫通する。 エンド幅は110mm。 アクスルの固定方法は、フォークによって異なり、形状も異なるため、それぞれのフォークに付属する。 ボルト止め QR20（マルゾッキ 2000年） チュリオ（ロックショックス 2001年～2003年） マクスル（ロックショックス 2004年～） 関連項目 自転車用語 +... あ行▼ アーガイル アーネット アーレンキー Aaron Gwin Aaron Chase アイウェア ISIS iドライブ Iビーム アウターチューブ 東商会 Adam Craig Adam Hauck 安達靖 アトムラブ Anita Molcik Anneke Beerten アヘッドステム アメリカンバルブ アメリカンBB アルチュラ アルミニップル アレックス アンカー アンサー アンターンダウン Andrew Neethling Andreu Lacondeguy Andrew Shandro アイアンホース アイステクノロジー アイスペック アイドゥン アキコーポレーション アクソ アケボノ アゾニック アップスウィープ アディダス アブバカ アリソン・サイダー アリビオ アルパインスター アルピナ アルマイト アルミニウム アルミニウム合金 アンソン・ウェリントン アン・キャロリーヌ・ショソン E13 イーストン イーヴィル イエティ ITA規格ノーマルサイズ 井手川直樹 Irina Kalentieva インスタントリリース インターテック インチ インディアンエアー インテグラルヘッド インデックスシフト インナーチューブ インフレーター インターナショナルスタンダード インターマックス インダストリーナイン インテンス インテンスタイヤシステム インパルス インフィニ インヴァート ウィーザピープル ウィッパーマン ウィリー ウィンドストッパー ウェーブローター ウェス ウェルゴ Wade Bootes ウェイン・ゴス ウォールライド ウッズバルブ ウルトラツアー ウェイド・シモンズ エアサスペンション エアスプリング エアターン エアロスポーク エクスターナルBB SRサンツアー SDG SPD-R Emmeline Ragot エラストマー Eric Carter エレベーテッドチェーンステイ エンデューロワールドシリーズ/2013年 エンデューロワールドシリーズ エンド金具 エンド幅 エンヴェ エイアンドエフ エクスペド エッジ エリック・ポーター エリート エルスワース オイルダンパー オーキッド オークリー オーストリッチ オーディナリー型 オーバーサイズ オーバーロックナット寸法 オールトラベル オールマウンテン（マルゾッキ） オールマウンテン 小笠原崇裕 オクタリンク オクタンワン オデッセイ オニール 鬼こぎ 小野寺健 折り畳み自転車 オルトリーブ オルベア オレンジ オリンピック か行▼ カーカス カーター・ホランド カート・ヴォレイス カートリッジBB カーリン・ダン Kyle Strait カシマコート カセットスプロケット カップアンドコーンBB カトリナ・ミラー Kamil Tatarkovic 完組ホイール カンチブレーキ カンチブレーキ台座 ガイドプーリー ガセット カイル・エベト カヤバ カルロ・ディエクマン カワシマサイクルサプライ カンパニョーロ ガン・リタ・ダール キックバック Guido Tschugg Kathy Pruitt キャットアイ キャリアダボ キャリパーブレーキ キャリパーブレーキ台座 キャットウォーク Cameron Zink Cameron McCaul キャリア キャンピング Qバイクス 逆ねじ キアラ・ビサロ キャットライク キャノンデール キャノンデール・ザカット（2006） ギャレス・デイヤー グッドリッジ クラウン クラック クランカー クランク クランク軸 クリート Chris Akrigg Chris Kovarik Christoph Sauser クリフハンガー クリンチャータイヤ Claire Buchar Xアップ クロスカントリーオリンピック クロスカントリーバイク クロスカントリーマラソン Xバート クロスバイク クロムモリブデン鋼 グーフィースタンス グラインド グラブ グリップ Greg Minnaar クライン クラインプレシジョンBB クラブモデル クランクフリップ クリスキング クリス・ハットン クリフジャンプ クロスカントリー クロスマックス グラビティー グリス グリップシフト グレッグ・ワッツ 軽車両 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最終更新日時 2011年03月06日 (日) 22時43分08秒 代数的整数論 006 (56-125) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/56-125 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/56-125 56 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 13 38 31 次の命題は 52 と対称的であり、証明も同様である。 命題 R- を x ≦ 0 となる実数 x 全体の集合とする。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R- の元の族とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 集合 { S(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界なら 族 (x_i) は総和可能( 25)であり、 Σx_i = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } である。 証明 S = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とおく。 任意の ε＞ 0 に対して S ≦ S(J_0) ＜ S + ε となる J_0 ∈ Φ(I) がある。 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S ≦ S(J) ≦ S(J_0) ＜ S + ε である。 よって |S - S(J)| ＜ ε となる よって、族 (x_i) は総和可能であり、その和は S である。 証明終 57 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 13 45 13 命題 R- を x ≦ 0 となる実数 x 全体の集合とする。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R- の元の族とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して A(J) = Σ|x_i| とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは A(J) = 0 とする。 集合 { A(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界なら 族 (x_i) は総和可能であり、 A = sup{ A(J) ; J ∈ Φ(I) } とすると、 Σx_i = -A である。 証明 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 S = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とおく。 S = -A である。 56 から族 (x_i) は総和可能であり、 Σx_i = -A である。 証明終 58 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 16 44 命題 F を実数体 R または複素数体 C とする。 G を F 上の r 次元数ベクトル空間 F^r とする(r ≧ 1)。 (x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。 (I_λ), λ ∈ L を I の有限な分割とする。 即ち、L は有限集合で、I = ∪I_λ で λ ≠ μ なら I_λ ∩ I_μ は空集合である。 I_λ を添字集合とする部分族 (x_i), i ∈ I_λ は総和可能とする。 この和を S_λ とする。 このとき (x_i), i ∈ I は総和可能で S = Σx_i をその和とすると、S = ΣS_λ である。 証明 L = {1, 2} の場合に証明すれば十分である。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 I_1 の有限部分集合全体の集合を Φ(I_1) とする。 H_1 ∈ Φ(I_1) に対して S_1(H_1) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は H_1 の元全体を動く。 同様に H_2 ∈ Φ(I_1) に対して S_2(H_2) を定義する。 (続く) 59 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 18 25 任意の ε＞ 0 に対して J_1 ∈ Φ(I_1) があり、 J_1 ⊂ H_1 となる任意の H_1 ∈ Φ(I_1) に対して |S_1 - S_1(H_1)| ＜ ε となる。 同様に J_2 ∈ Φ(I_2) があり、 J_2 ⊂ H_2 となる任意の H_2 ∈ Φ(I_2) に対して |S_2 - S_2(H_2)| ＜ ε となる。 J_1 ∪ J_2 ⊂ H とする。 H_1 = H ∩ I_1 H_2 = H ∩ I_2 H = H_1 ∪ H_2 J_1 ⊂ H_1 J_2 ⊂ H_1 S(H) = S_1(H_1) + S_2(H_2) である。 S = S_1 + S_2 とする。 |S - S(H))| ≦ |S_1 - S_1(H_1)| + |S_2 - S_2(H_2)| ＜ 2ε 証明終 60 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 19 49 訂正 59 J_2 ⊂ H_1 J_2 ⊂ H_2 61 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 38 44 命題 R を実数全体の集合とする。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R の元の族とする。 (x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは 同値である。 証明 x_i ≧ 0 となる i ∈ I の集合を I_1 とする。 x_i ＜ 0 となる i ∈ I の集合を I_2 とする。 (x_i), i ∈ I が総和可能とする。 42 より部分族 (x_i), i ∈ I_1 と部分族 (x_i), i ∈ I_2 も 総和可能である。 このとき (|x_i|), i ∈ I_2 も総和可能である。 よって 58 より (|x_i|), i ∈ I は総和可能である。 逆に (|x_i|), i ∈ I が総和可能とする。 42 より部分族 (|x_i|), i ∈ I_2 も総和可能である。 このとき 57 より (x_i), i ∈ I_2 も総和可能である。 よって 58 より (x_i), i ∈ I は総和可能である。 証明終 62 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 56 51 命題 R を実数全体の集合とする。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R の元の族とする。 (x_i) が総和可能であることと、(x_i) の有限部分和の全体が有界な ことは同値である。 証明 (x_i), i ∈ I が総和可能であるとする。 x_i ≧ 0 となる i ∈ I の集合を I_1 とする。 x_i ＜ 0 となる i ∈ I の集合を I_2 とする。 42 より部分族 (x_i), i ∈ I_1 と部分族 (x_i), i ∈ I_2 も 総和可能である。 よって I_1 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合と I_2 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合は それぞれ有界である。 よって I の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の全体は 有界である。 (続く) 63 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 14 57 51 逆に (x_i) の有限部分和の全体が有界とする。 I_1 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合と I_2 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合は それぞれ有界である。 52 より (x_i), i ∈ I の部分族 (x_i), i ∈ I_1 は 総和可能である。 56 より (x_i), i ∈ I の部分族 (x_i), i ∈ I_2 は 総和可能である。 58 より (x_i), i ∈ I は総和可能である。 証明終 64 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 15 29 04 命題 R を実数全体の集合とする。 R^n を R 上の n 次元数ベクトル空間とする(n ≧ 1)。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R^n の元の族とする。 (x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは 同値である。 証明 i ∈ I に対して x_i = (x_(i,1), x_(i,2), . . . , x_(i,n)) とする。 50 より (x_i) が総和可能であることと、各 λ, 1 ≦ λ ≦ n に 対して族 (x_(i,λ)), i ∈ I が総和可能であることは同値である。 一方、 61 より、族 (x_(i,λ)), i ∈ I が総和可能であることと 族 (|x_(i,λ)|), i ∈ I が総和可能であることは同値である。 不等式 |x_(i,λ)| ≦ |x_i| ≦ |x_(i,1)| + |x_(i,2)| + . . . + |x_(i,n)| と 55 より (|x_i|) が総和可能であることと、 各 λ, 1 ≦ λ ≦ n に対して族 (|x_(i,λ)|), i ∈ I が 総和可能であることは同値である。 証明終 65 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 15 36 20 命題 C を複素数全体の集合とする。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする C の元の族とする。 (x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは 同値である。 証明 R を実数全体の集合とする。 C はアーベル群として R^2 と同一視できる。 x ∈ C のとき x の絶対値 |x| は x ∈ R^2 とみたときのノルム |x| と 一致する。 よって本命題は 64 の n = 2 の場合とみなすことが出来る。 証明終 66 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 15 41 41 命題 C を複素数全体の集合とする。 C^n を C 上の n 次元数ベクトル空間とする(n ≧ 1)。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする C^n の元の族とする。 (x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは 同値である。 証明 R を実数全体の集合とする。 C^n はアーベル群として R^(2n) と同一視できる。 x ∈ C^n のとき x のノルム |x| は x ∈ R^(2n) とみたときの ノルム |x| と一致する。 よって本命題は 64 の n が偶数の場合とみなすことが出来る。 証明終 67 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 16 10 56 命題 F を実数体 R または複素数体 C とする。 G を F 上の r 次元数ベクトル空間 F^r とする(r ≧ 1)。 I を高々可算な集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (F_n), n ∈ Z+ を I の F-近似列( 31) とする。 族 (x_i) が総和可能で、その和を S とする。 このとき S = lim S(F_n) である。 証明 G のある元 S が存在して、 任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して |S - S(J)| ＜ ε となる。 J_0 ⊂ F_(n_0) となる n_0 ∈ Z+ がある。 n ≧ n_0 のとき F_(n_0) ⊂ F_n だから |S - S(F_n)| ＜ ε となる。 よって S = lim S(F_n) である。 証明終 68 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 18 19 38 命題 C を複素数全体の集合とする。 L と M を高々可算な集合とする。 (x_λ), λ ∈ L (y_μ), μ ∈ M をそれぞれ総和可能な C の元の族とする。 このとき (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M も総和可能で Σx_λy_μ = (Σx_λ)(Σy_μ) となる。 証明 H ⊂ L と K ⊂ M をそれぞれ L と M の有限部分集合とする。 (|x_λ|) の H における部分和を X(H) (|y_μ|) の K における部分和を Y(K) (|x_λy_μ|) の H×K における部分和を Z(H×K) とする。 Z(H×K) = X(H)Y(K) である。 65 より (|x_λ|), λ ∈ L は総和可能である。 よって集合 { X(H) ; H ∈ Φ(L) } は有界である。 同様に集合 { Y(K) ; K ∈ Φ(M) } は有界である。 よって集合 { Z(H×K) ; H ∈ Φ(L), K ∈ Φ(M) } は有界である。 L×M の任意の有限部分集合は H×K の形の有限部分集合に含まれる。 よって 65 より (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M は総和可能である。 (続く) 69 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 18 21 34 (続く) (F_n), n ∈ Z+ を L の F-近似列( 31) とする。 (G_n), n ∈ Z+ を M の F-近似列 とする。 33 よりこのような近似列は存在する。 (x_λ) の F_n における部分和を S_n (y_μ) の G_n における部分和を T_n とする。 (x_λy_μ) の F_n×G_n における部分和を U_n とする。 U_n = (S_n)(T_n) である。 67 より Σx_λ = lim S_n Σy_μ = lim T_n Σx_λy_μ = lim U_n lim U_n = lim (S_n)(T_n) = (lim S_n)(lim T_n) 証明終 70 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/31(火) 18 38 36 注意 69 において (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M が総和可能であることが わかれば、 Σx_λy_μ = (Σx_λ)(Σy_μ) は以下のようにしても証明できる。 λ∈ L に対して L×M の部分集合 {λ}×M を考える。 L×M は ({λ}×M), λ∈ L により分割される。 43 より、 Σx_λy_μ = Σ(Σx_λy_μ, μ ∈ M), λ∈ L となる。 この右辺は Σ(x_λΣy_μ) = (Σx_λ)Σy_μ) に等しい。 71 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 01 23 今まで述べた R^r または C^r における総和可能な族の理論は 分離かつ完備な位相アーベル群に値をもつ族の場合にほとんど そのまま拡張できる。 これを述べよう。 72 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 05 17 定義 G を群であり同時に位相空間とする。 μ G×G → G を μ(x, y) = xy により定義される写像とする。 ν G → G を ν(x) = x^(-1) により定義される写像とする。 μ と ν が連続なとき G を位相群と言う。 73 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 07 55 定義 G を位相群( 72)とする。 G の単位元を e とする。 {e} が閉集合のとき G を分離的な位相群という。 74 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 19 56 G を位相群とし、a を G の元とする。 写像 L_a G → G を L_a(x) = ax で定義する。 b = a^(-1) とおくと、 L_aL_b = L_bL_a = 1 である。 L_a も L_b も連続だから L_a は位相同型である。 写像 R_a G → G を R_a(x) = xa で定義する。 b = a^(-1) とおくと、 R_aR_b = R_bR_a = 1 である。 R_a も R_b も連続だから R_a は位相同型である。 x と y を G の元とする。 a = yx^(-1) とすれば L_a(x) = y である。 即ち G の任意の２点は G の位相同型写像により移る。 75 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 30 37 定義 X を集合とする。 X の部分集合からなる集合 Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ を X のフィルターと言う。 1) Ψ には空集合は含まれない。 2) A ∈ Ψ で A ⊂ B ⊂ X なら B ∈ Ψ 3) A ∈ Ψ, B ∈ Ψ なら A ∩ B ∈ Ψ 76 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 40 55 75 を以下のように修正する。 定義 X を集合とする。 X の部分集合からなる集合 Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ を X のフィルターと言う。 1) Ψ は空ではない。 2) Ψ には空集合は含まれない。 3) A ∈ Ψ で A ⊂ B ⊂ X なら B ∈ Ψ 4) A ∈ Ψ, B ∈ Ψ なら A ∩ B ∈ Ψ 77 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 42 57 定義 X を集合とする。 X の部分集合からなる集合 Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ を X のフィルター基底と言う。 1) Ψ は空ではない。 2) Ψ には空集合は含まれない。 3) A ∈ Ψ, B ∈ Ψ なら C ⊂ A ∩ B となる C ∈ Ψ がある。 78 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 46 14 Ψ_0 を X のフィルター基底とする。 Ψ_0 の元を含むような X の部分集合全体は X のフィルター Ψ である。 このとき Ψ を Ψ_0 から生成されたフィルターと言う。 Ψ_0 は Ψ のフィルター基底と言う。 79 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 51 21 X の空でない部分集合の列 A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . . があるとき 集合 {A_0, A_1, . . . } はフィルター基底である。 このようなフィルター基底は数学の各分野でよく現れる。 80 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 12 58 19 定義 X を位相空間とする。 x ∈ X のとき x の開近傍 U とは X の開集合で x ∈ U となるものを言う。 x の近傍 V とは X の部分集合で x のある開近傍 U を含むものを言う。 81 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 13 02 40 X を位相空間とする。 x ∈ X のとき x の近傍全体は X のフィルターである。 このフィルターの基底( 78)を x の基本近傍系と言う。 82 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 13 25 57 命題 G を位相群とし、a を G の元とする。 V が G の単位元 e の基本近傍系( 81)全体を動くとき、 aV と Va はそれぞれ a の基本近傍系全体を動く。 証明 写像 L_a G → G を L_a(x) = ax で定義する。 写像 R_a G → G を R_a(x) = xa で定義する。 74 より L_a と R_a は位相同型である。 L_a(e) = a R_a(e) = a これから、命題の主張は明らかである。 証明終 83 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 13 41 07 定義 X を位相空間とする。 X の任意の相異なる２点 x, y に対して、 x と y のそれぞれの近傍 V, W で交わらないものがあるとする。 このとき X をハウスドルフ空間と言う。 84 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 13 54 54 命題 Y を位相空間とする。 Y がハウスドルフ空間( 83)であるためには Y×Y の 対角集合 Δ = {(x, x) ; x ∈ Y } が閉集合であることが 必要十分である。 証明 Y がハウスドルフ空間とする。 (x, y) ∈ Y - Δ なら x と y のそれぞれの近傍 V, W で 交わらないものがある。 このとき V×W と Δ は交わらない。 V×W は Y×Y における (x, y) の近傍である。 よって Y - Δ は開集合である。 即ち Δ は閉集合である。 逆も同様である。 証明終 85 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 00 40 命題 G を分離的( 73)な位相群とする。 G はハウスドルフ空間である。 即ち G の任意の相異なる２点 x, y に対して、 x と y のそれぞれの近傍 V, W で交わらないものがある。 証明 84 より対角集合 Δ = {(x, x) ; x ∈ G } が閉集合であることを 示せばよい。 写像 f G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) により定義する。 f は連続である。 G の単位元を e とする。 xy^(-1) = e なら x = y だから Δ = f^(-1)({e}) である。 {e} は閉集合で f は連続だから Δ は閉集合である。 証明終 86 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 08 13 定義 X を位相空間とする。 X の各点が高々可算な基本近傍系( 81)を持つとき、 X は第一可算公理を満たすと言う。 87 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 14 03 G を位相アーベル群とする。 このとき、特に断らない限り G の算法は加法とする。 即ち G の元 x と y の算法は x + y で表す。 88 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 17 00 定義 G を位相アーベル群とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (x_n) を Z+ を添字集合とする G の点列とする。 G の単位元 e の任意の近傍 V に対して n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n, m ≧ n_0 に対して x_n - x_m ∈ V とする。 このとき (x_n) を Cauchy 点列と呼ぶ。 89 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 24 24 定義 X を位相空間とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (x_n) を Z+ を添字集合とする X の点列とする。 X の元 x があり、xの近傍 V に対して n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n ≧ n_0 に対して x_n ∈ V とする。 このとき (x_n) は x に収束すると言い、 x = lim x_n と書く。 90 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 30 46 命題 X をハウスドルフ位相空間( 83)とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (x_n) を Z+ を添字集合とする X の点列とする。 (x_n) が x に収束する( 89)なら x は点列(x_n)により一意に決まる。 即ち x = lim x_n y = lim x_n なら x = y である。 証明 X はハウスドルフだから x ≠ y なら x と y のそれぞれの近傍 V, W で交わらないものがある。 n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n ≧ n_0 に対して x_n ∈ V かつ x_n ∈ W となる。 これは V, W は交わらないという仮定にはんする。 証明終 91 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 14 42 59 G を位相アーベル群とする。 G の算法が加法のとき G の単位元は 0 で表す。 92 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/01(水) 15 01 37 定義 G を位相群とする。 G の単位元 e の近傍 V が V = V^(-1) となるとき V を 対称な近傍と言う。 93 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 08 08 03 訂正 89 X の元 x があり、xの近傍 V に対して X の元 x があり、xの任意の近傍 V に対して 94 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 08 21 08 命題 G を位相群とする。 G の単位元 e の基本近傍系で対称な近傍( 92)のみからなるものが 存在する。 証明 V を e の任意の近傍とする。 V ∩ V^(-1) は e の対称な近傍である。 よってこのような形の近傍全体が求めるものである。 証明終。 95 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 08 40 22 命題 G を位相アーベル群とする。 Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。 (x_n) を Z+ を添字集合とする G の点列とする。 (x_n) が G のある点 x に収束する( 89)なら、 (x_n) は Cauchy 点列( 88)である。 証明 (x, y) に x + y を対応させる写像 G×G → G は連続だから 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の近傍 W がる。 94 より W は対称としてよい。 x = lim x_n だから n_0 ∈ Z+ があり、 任意の n, m ≧ n_0 に対して x_n ∈ x + W, x_m ∈ x + W となる。 このとき x_n - x_m ∈ W - W = W + W ⊂ V である。 従って、(x_n) は Cauchy 点列である。 証明終 96 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 08 44 32 定義 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 G の任意の Cauchy 点列( 88)が収束するとき G を完備な位相アーベル群と言う。 97 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 08 50 23 点列の代わりにフィルターをとることにより第一可算公理を満たさない 位相アーベル群に対しても完備性が定義できる。 しかし我々は当面、完備な位相アーベル群を考える場合常に 第一可算公理を仮定することにする。 98 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 12 26 定義 G を位相アーベル群とする。 G の部分集合 A と単位元 0 の近傍 V に対して A - A ⊂ V となるとき A を V の程度に小さい集合と言う。 99 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 17 44 定義 G を位相アーベル群とする。 G の部分集合 A が単位元 0 の任意の近傍 V に対して V の程度に小さい集合からなる有限被覆をもつとき、 A を全有界と言う。 即ち 0 の任意の近傍 V に対して G の部分集合 A_1, . . ., A_n があり A ⊂ A_1∪ . . . ∪A_n で各 A_i は A_i - A_i ⊂ V となる。 100 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 22 21 定義 G を位相アーベル群とする。 G の部分集合 A に含まれる Cauchy 点列( 88)が常に A の点に 収束するとき A を完備という。 101 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 25 03 訂正 100 G を位相アーベル群とする。 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 102 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 41 56 命題 G を位相アーベル群とする。 G のコンパクトな部分集合は全有界( 99)である。 証明 K を G のコンパクトな部分集合とする。 V を 0 の任意の近傍とする。 W - W ⊂ V となる 0 の任意の近傍 W をとる。 x を K の点全体を動かすと x + W の全体は K の被覆になる。 K はコンパクトだから K の有限個の点 x_1, . . . , x_n があり x_1 + W , . . , x_n + W が K の被覆になる。 各 x_i + W は x_i + W - (x_i + W) = W - W ⊂ V だから V の程度に小さい( 98)。 よって K は全有界である。 証明終 103 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 45 29 訂正 102 G のコンパクトな部分集合は全有界( 99)である。 G の準コンパクトな部分集合は全有界( 99)である。 104 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 09 49 31 位相空間 X の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき、 X を準コンパクトと言う。 準コンパクトなハウスドルフ空間をコンパクトな空間と言う。 105 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 10 06 10 命題 X を第一可算公理( 86)を満たす位相空間とする。 X の任意の点 x は W_0 ⊃ W_1 ⊃ . . . となる基本近傍系( 81) (W_n) を持つ。 証明 (V_n) を x の高々可算な基本近傍系とする。 W_0 = V_0 W_1 = V_0 ∩ V_1 W_2 = V_0 ∩ V_1 ∩ V_2 . . . とおけばよい。 証明終 106 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 10 36 34 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 G の全有界( 99)な部分集合に含まれる任意の点列は Cauchy 点列を部分列に持つ。 証明 A をG の全有界)な部分集合とし、 α = (a_n) を A に含まれる点列とする。 105 より G の単位元のとなる基本近傍系 (V_n) で V_0 ⊃ V1 ⊃ . . . となるものがある。 各 V_i に対して A_(i,1), . . . A_(i,n_i) を V_i の程度に小さい集合からなる A の 被覆とする。 ある k_0 にたいして a_n ∈ A_(0,k_0) となる n は無限個ある。 従って α = (a_n) の部分点列 α_0 = (a_(n, 0)) で A_(0,k_0) に 含まれるものがある。 同様に α_0 の部分点列 α_1 = (a_(n, 1)) で A_(1,k_1) に 含まれるものがある。 帰納的に任意の m ∈ Z+ に対して α_m = (a_(n, m)) が定義される。 (続く) 107 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 10 38 12 β = (a_(n, n)) が Cauchy 点列であることを示せばよい。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して V_k ⊂ V となる k ∈ Z+ がある。 α_k = (a_(n, k)) は V_k 程度に小さい集合( 98)に含まれる。 従って、任意の n, m ≧ k に対して a_(n, n) - a_(m, m) ∈ V_k ⊂ V である。 証明終 108 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 11 37 45 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 A を G の部分集合で次の性質を持つとする。 A に含まれる任意の点列は G のある点に収束する部分点列を持つ。 このとき A は全有界( 99)である。 証明 A が全有界でないとする。 単位元 0 のある近傍 V があり、A は V の程度に小さい集合からなる 有限被覆を持たない。 W - W ⊂ V となる 0 の任意の近傍 W をとる。 A の任意の元を a_0 とする。 a_0 + W は V の程度に小さい。 よって a_1 ∈ A - (a_0 + W) となる a_1 がある。 a_1 + W も V の程度に小さいから、 a_2 ∈ A - ((a_0 + W) ∪ (a_1 + W)) となる a_2 がある。 以下同様にして点列 (a_n) が定まる。 点列 (a_n) の作り方から n ＞ m のとき a_n - a_m は W に含まれない。 従って、点列 (a_n) は Cauchy 点列を部分点列として持たない。 よって 95 より点列 (a_n) は収束する部分点列を持たない。 これは仮定に反する。 証明終 109 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 11 40 47 証明をからわかるように、 108 において G は第一可算公理( 86)を満たす必要はなかった。 110 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 11 50 14 定義 X を位相空間とする。 X の高々可算で稠密な部分集合があるとき、X は可分であるという。 111 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 12 08 55 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 G の全有界( 99)な部分集合は、部分位相空間として 可分( 110)である。 証明 A を G の全有界な部分集合とする。 (V_n), n ∈ Z+ を G の単位元の基本近傍系とする。 各 V_i に対して A_(i,1), . . . A_(i,n_i) を V_i の程度に小さい集合からなる A の 被覆とする。 x_(i,1) ∈ A_(i,1) x_(i,2) ∈ A_(i,2) . . . x_(i,n_i) ∈ A_(i,n_i) を任意にとる。 B_i = {x_(i,1), . . . , x_(i,n_i)} とおく。 A の任意の元 x に対して x ∈ A_(i,k) となる A_(i,k) がある。 このとき x ∈ x_(i,k) + V_i である。 B_i 全部の和集合を B とする。 B は高々可算である。 G の単位元の任意の近傍 V に対して V_n ⊂ V となる V_n を取る。 A の任意の元 x に対して x ∈ b + V_n となる b ∈ B_n がある。 これは B が A で稠密(dense)なことを意味する。 証明終 112 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 12 31 35 定義 X を位相空間とする。 X の開集合の高々可算個の集合 Φ があり、 X の任意の開集合 が Φ に属す開集合の和集合として表されるとき X は第ニ可算公理を満たすと言う。 113 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 14 21 26 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 X を G の部分集合で、G の部分位相空間として可分( 110)とする。 X は G の部分位相空間として第ニ可算公理( 112)を満たす。 証明 105 より G の単位元の基本近傍系 (V_n) で V_0 ⊃ V1 ⊃ . . . となるものがある。 さらに各 V_n は対称としてよい。 X は高々可算で稠密な部分集合 Y を持つ。 x ∈ X のとき U_n(x) = (x + V_n) ∩ X とおく。 Φ = { U_n(y) ; n ∈ Z+ , y ∈ Y } とする。 Φ は高々可算な集合である。 (続く) 114 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 14 22 03 U を X の任意の開集合とする。 x を U の任意の元とする。 x ∈ U_n(x) ⊂ U となる n ∈ Z+ がある。 V_m + V_m ⊂ V_n となる m ∈ Z+ がある。 m はいくらでも大きく出来るから m ≧ n としてよい。 Y は X において稠密だから y ∈ U_m(x) となる y ∈ Y がある。 これは y - x ∈ V_m と同値である。 V_m は対称だから x - y ∈ V_m である。 即ち x ∈ U_m(y) である。 z ∈ U_m(y) なら z - y ∈ V_m 従って z - x = z - y + y - x ∈ V_m + V_m ⊂ V_n 即ち z ∈ U_n(x) よって U_m(y) ⊂ U_n(x) よって x ∈ U_m(y) ⊂ U_n(x) ⊂ U 即ち U は U_m(y) の形の集合の和集合である。 証明終 115 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 14 38 59 命題 G を位相アーベル群とする。 A を G の部分集合で次の性質を持つとする。 A に含まれる任意の点列は Cauchy 点列を部分列に持つ。 このとき A は全有界( 99)である。 証明 108 の証明から明らかである。 116 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 14 41 49 命題 G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 A を G の部分集合とする。 A が全有界( 99)であることと、 A に含まれる任意の点列は Cauchy 点列を部分列に持つことは 同値である。 証明 106 と 115 より明らかである。 117 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 15 30 22 命題 X を位相空間とする。 X のな任意の可算開被覆が有限部分被覆を常にもつとする。 このとき X の任意の点列 (x_n), n ∈ Z+ は収束する部分点列を持つ。 証明 X の任意の可算開被覆 (U_n), n ∈ Z+ をとる。 (U_n) が有限部分被覆を持たないとする。 各 n ∈ Z+ に対して x_n ∈ X - (U_0 ∪ U_2 . . . U_n) となる x_n がある。 点列 (x_n), n ∈ Z+ が収束する部分点列 (x_kn), n ∈ Z+ を持つと する。 x = lim x_kn とする。 x ∈ U_m となる m ∈ Z+ がある。 x = lim x_kn だからいくらでも大きな kn があり x_kn ∈ U_m となる。 これは kn ≧ m のとき x_kn が U_m に含まれないことに矛盾する。 証明終 118 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 15 33 52 117 は以下のように修正する。 命題 X を位相空間とする。 X の任意の点列 (x_n), n ∈ Z+ は収束する部分点列を持つとする。 このとき X の任意の可算開被覆は有限部分被覆をもつ。 証明 X の任意の可算開被覆 (U_n), n ∈ Z+ をとる。 (U_n) が有限部分被覆を持たないとする。 各 n ∈ Z+ に対して x_n ∈ X - (U_0 ∪ U_2 . . . U_n) となる x_n がある。 点列 (x_n), n ∈ Z+ が収束する部分点列 (x_kn), n ∈ Z+ を持つと する。 x = lim x_kn とする。 x ∈ U_m となる m ∈ Z+ がある。 x = lim x_kn だからいくらでも大きな kn があり x_kn ∈ U_m となる。 これは kn ≧ m のとき x_kn が U_m に含まれないことに矛盾する。 証明終 119 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 15 56 02 命題 X を第ニ可算公理( 112)を満たす位相空間とする。 このとき X の任意の開被覆は高々可算な部分被覆をもつ。 証明 Φ を X の開集合の高々可算な基底とする。 (V_λ), λ ∈ Λ を X の開被覆とする。 U ∈ Φ のとき U ⊂ V_λ となる λ ∈ Λ があるような U の集合を Φ’と書く。 x を X の任意の点とする。 x ∈ V_λ となる λ ∈ Λ がある. このとき x ∈ U ⊂ V_λ となる U ∈ Φ’がある。 従って、Φ’は X の被覆である。 U ∈ Φ’のとき U ⊂ V_λ となる λ があるから、その一つを 選んでそれを λ(U) と書く。 U ⊂ V_λ(U) だから (V_λ(U)), U ∈ Φ’も X の被覆である。 これが求める部分被覆である。 証明終 120 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 16 10 04 命題(Heine-Borel) G を第一可算公理を満たす位相アーベル群とする。 X を G の部分集合とする。 X の任意の点列 (x_n), n ∈ Z+ は X の点に収束する部分点列を 持つとする。 このとき X の任意の開被覆は有限部分被覆をもつ。 即ち X は準コンパクトである。 証明 108 より X は全有界である。 111 より X は可分( 110)である。 113 より X は G の部分位相空間として第ニ可算公理( 112)を 満たす。 119 より X の任意の開被覆は高々可算な部分被覆をもつ。 118 より X の任意の可算開被覆は有限部分被覆をもつ。 証明終 121 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 16 33 35 命題 X を第一可算公理を満たす位相空間で、 X の任意の可算開被覆は有限部分被覆をもつとする。 A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . . を X の可算なフィルター基底( 79)とする。 このとき X の点 x で x ∈ ∩cls(A_n), n ∈ Z+ となるものがある。 ここで cls(A_n) は A_n の閉包である。 証明 ∩cls(A_n) が空集合とする。 V_n = X - cls(A_n) とおく。 X = ∪V_n である。 仮定から X = V_n1 ∪. . . ∪ V_nr となる。 即ち cls(A_n1)∩. . . ∩cls(A_nr) は空集合である。 従って A_n1 ∩. . . ∩ A_nr も空集合である。 A_n1 ∩. . . ∩ A_nr は A_n1, . . ., A_nr のどれか一つと 一致するから空集合ではない。 これは矛盾である。 証明終 122 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 16 35 27 121 の証明からわかるように X は第一可算公理を満たす必要は なかった。 123 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 16 45 43 命題 X を第一可算公理を満たす位相空間で、 X の任意の可算開被覆は有限部分被覆をもつとする。 このとき X の任意の点列 (x_n), n ∈ Z+ は X の点に収束する 部分点列を持つ。 証明 A_n = {x_n, x_(n+1), . . . } とおく。 A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . . を X の可算なフィルター基底( 79)である。 121 より X の点 x で x ∈ ∩cls(A_n), n ∈ Z+ となるものがある。 x の基本近傍系を (V_n) とする。 x ∈ cls(A_0) だから x_k(0) ∈ V_0 となる x_k(0) ∈ A_0 がある。 x ∈ cls(A_k(0)) だから x_k(1) ∈ V_1 となる x_k(1) ∈ A_k(0) がある。 同様にして x_k(n) ∈ V_n となる x_k(n) ∈ A_k(n) がある。 k(0) ≦ k(1) ≦ . . . ≦ k(n) ≦ k(n+1) ≦ . . . である。 従って x = lim x_k(n) である。 証明終 124 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 17 06 44 命題 G を位相アーベル群とする。 (x_n), n ∈ Z+ を Cauchy 列とする。 (x_n), n ∈ Z+ が収束する部分点列 (x_k(n)) を持つなら (x_n) も収束する。 証明 x = lim x_k(n) とする。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の近傍 W がある。 n_0 ∈ Z+ があり、 n ≧ n_0 なら x_k(n) - x ∈ W n, m ≧ n_0 なら x_n - x_m ∈ W n ≧ n_0 だから k(n) ≧ k(n_0) で k(n_0) ≧ n_0 だから k(n) ≧ n_0 である。 よって x_n - x_k(n) ∈ W よって x_n - x = x_n - x_k(n) + x_k(n) - x ∈ W + W ⊂ V 即ち x = lim x_n である。 証明終 125 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/02(木) 17 16 15 命題 G を位相アーベル群とする。 G の準コンパクトな部分集合は全有界である。 証明 K を G の準コンパクトな部分集合とする。 G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W - W ⊂ V となる 0 の近傍 W がある。 族 (x + W), x ∈ K は K の開被覆である。 K は準コンパクトだから K の有限個の点 x_1, . . . , x_n があり、 x_1 + W, . . . , x_n + W は K の被覆である。 各 x_i + W は V の程度に小さい( 98)。 従って K は全有界である。 証明終 タグ： コメント
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ＯＣＧの戦闘の処理はややこしいのでここにまとめておく 協力：お空 戦闘の流れと代表的なカードの発動タイミング 攻撃宣言（ミラフォ等） ↓ バトルステップ（攻撃宣言型の処理が終わった後のチェーンブロック、月書等） ↓ ダメージステップ 1．ダメージステップ開始時（モグラ、カタストル） 2．攻撃対象が裏だった場合表にする 3．ダメージステップ（収縮、突進） 4．ダメージ計算時（オネスト） 5．戦闘ダメージ発生（トラゴ、ゴーズ） 6．リバース効果処理 7．ダメージステップ終了時（モンスター墓地送り） こんなんを小学生にもとめるＫ○ＮＡＭＩは何を（ ＦＡＱ 伊吹「ダメージステップ終了時ってもう負けた方のモンスターって墓地？」 蒼「まだ場じゃない？ リバース処理があるし」 ～お空の説明を聞いて～ 蒼「ということは死んでるな」 伊吹「おい蒼おい」 蟹「（ｒｙ」 伊吹「ミラフォと幽閉が伏せられてて、攻撃宣言時にミラフォ撃って賄賂で無効にされたら、幽閉発動できるっけ？」 お空「できません 攻撃宣言時＝バトルステップの最初のチェーンブロック」 伊吹「タイミングは1回しかない、と」 お空「そういうことですね」 Ｑ.蟹は食べられますか？ Ａ.味は保障しません 関連項目
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時17分30秒 代数的整数論 006 (391-455) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/391-455 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/391-455 391 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 12 53 25 ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 代数的整数論、いつも熱心に書いてあるな。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ ん？最近荒らしが多いな。 ＼/ / ○＿○ ( ･(ェ)･ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 何で「クマー」が Kummer って叫んでるんだろう？ ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 「クンマー」だからか。くだらねえ。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ﾟ(ェ)ﾟ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ king氏ね ＼/ / 392 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 13 18 15 390 このスレは熱心というよりは基地外じみている 有る意味キングと同じ 393 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14 25 49 補題 実数体 R において写像 f(x) = 1/x は 任意の δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ において一様連続である。 証明 δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ |y| ≧ δ とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、|y - x| ＜ (δ^2)ε なら |1/y - 1/x| = |y - x|/|xy| ＜ ε 従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 証明終 394 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14 30 03 命題 実数体 R は位相体である。 証明 a, b を任意の実数とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε/2, |y - b| ＜ ε/2 のとき |x + y - (a + b)| ≦ |x - a| + |y - b| ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は連続である。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε のとき |-x - (-a)| = |x - a| ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は連続である。 任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + |a| + |b|)) とする。 δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + |a| + |b|) |x - a| ＜ δ, |y - b| ＜ δ のとき |xy - ab| = |(x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b)| ≦ |(x - a)(y - b)| + |(x - a)b| + |a(y - b)| ≦ δ^2 + δ|b| + |a|δ ＜ δ(1 + |a| + |b|) ＜ ε 従って写像 h(x, y) = xy は連続である。 393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 φ(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 よって φ(x) は R^* で連続である。 証明終 395 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14 32 49 命題 複素数 C は位相体である。 証明 394 と同様である。 396 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14 43 48 命題 実数体と複素数体はそれぞれ分離かつ完備な位相体である。 証明 394 と 395 より実数体と複素数体はそれぞれ位相体である。 両者が分離的であることは明らかである。 K を実数体または複素数体とする。 n ≧ 1 を有理整数としたとき V(1/n) = {(x, y) ∈ K^2; |y - x| ＜ 1/n} の全体は K の一様構造の基本近縁系である。 即ち K は可算な基本近縁系をもつ。 実数体及び複素数体において Cauchy 点列は収束するから 325 より両者は完備である。 証明終 397 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14 46 58 命題 K を実数体または複素数体とする。 K^* は位相群として完備である。 証明 396 と 389 より明らかである。 398 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2007/08/11(土) 17 13 50 Reply 391-392 お前に何が分かるというのか？ 399 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/11(土) 18 42 33 昨日、西麻布の某グラブバーで、 君がいるだけで飛べる女優さんのS・Eさんを見ました。 服装は、ベージュっぽい色(ゴールド？)のフリルのトップスに、 上にピンクのベロアっぽい光沢のある生地のパーカを羽織ってました。 ボトムはたしかインディゴっぽい色のデニムミニでした。 なんか、最初入ってきたときにずっと年上の男の人二人連れてて、 三人で入ってきたんですが、Sさんがすごく顔が小さくて目立ってました。 私以外にも彼女に気付いていた人いると思うのに、 彼女は見せびらかすみたいに片方の男の人の腰に手をまわして顔寄せあって話してて （店の中はうるさかったから、顔を近づけないと話せないのはわかるんですが） そのまま抱き合うみたいにして、奥のVIPルームに入っていきました。 もう一人の人も、歩きながらSさんの肩に手をやったりしてて、かなり仲のいい感じでした。 男の人は、抱き合ってた方の人はモスグリーンのジャケットに黒いパンツで、色黒で髭を生やしていて、 Ｓさんより背の低い人でした。 もう一人の人は、服装はあまり覚えていないんですが、太っていて、 サングラスしててアゴのところだけ髭があったのは覚えてます。 そのあと、3人はVIPルームに入っていったので、中の様子はよくわからないんですが、 トイレに行くとき前を通ったときに、カーテンから覗いたときには、 （そのお店のVIPルームは、バーカウンターからトイレへ向かうときにちょうどVIPの前を通れるんです） 彼女はやっぱり背が低いほうの男の人の前にひざまづいて、 男の人の股間に顔をうずめてました。 性的なイメージとかなかったので、かなりびっくりしました。 あの様子だったら、精子も飲んでたと思うんですけど、 彼女ってもう成人してるんでしょうか？ この間までドラマで高校生の役やってたし、未成年のイメージがあったからかなり驚きました。 こういうレポ（？）って初めてするので、わかりにくかったらすみません。 あまりにびっくりしたので、どうしても誰かに言いたくなって、 ここに書き込んでしまいました。 400 ：Kummer ◆uval53l3ZI ：2007/08/11(土) 19 11 34 ロイヤルミルクティー 作詞：反町隆史／作曲：都志見隆／編曲：都志見隆 フレームの世界で生きている自分のことを 人はみなすごい奴よばわりするが 作り笑顔でいれば失って行くものが必ずある 俺はそんなに強い男じゃない みんなと同じように不安を感じ怖さを感じる 近くに愛があったとしても その愛が突然壊れてしまうのではないかと おびえる夜が何度もある 彼女はロイヤルミルクティーが好きだった 俺にとって何の興味がなかったそれを 俺は好きになった 彼女の安らぎがそこにあり 俺の安らぎも今はそこにある 彼女はロイヤルミルクティーが好きだった 好きだった 401 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 19 23 31 400 とても良い歌詞ですね。調べてみたら、 「反町さんはもっと評価されていい。ロイヤルミルクティーの歌詞は、俺にも書けない」 と、かの押尾先生が絶賛した歌詞らしいですYO！ 402 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 20 22 47 上､ ／⌒ヽ, ,／⌒丶､ ,エ `,ヾ ／ ,;;iiiiiiiiiii;､ ＼ _ノｿ´ iｷ ／ ,;;´ ;lllllllllllllii､ ＼ ｉＦ iｷ ,;´ ,;;llllllllllllllllllllii､ ﾅｆ !ｷ､._ ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!! ＿_ｆｻﾍ. / `ヾ=;三ミミミミヾ仄彡彡ミﾐヾ=`´ i､ i ,.＿Ξミミミミミヾ巛彡////iii＿ | | ;ｉｆ≡|ヾヾヾミミミミヾヾ､//巛iiﾘ≡ｷi | | iｆ! |l lヾヾｼヾミミミ川|iｉ//三iﾘ `ｷi | | ,iｆ ,ｆ=|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘ=ｔ､ｷi | | ;iﾅ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｷi ｷi | | iﾅ ;ｻ |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ｷi ｷi | | iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｷi ｷi | | iｻ ;ｻ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ ,ｷi ｷ、 | ,i厂 ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ ,ｷi `ヘ､ ,√ ;ｻ, |彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐミﾘ ,ｷi `ヾ ´ ;ｻ, |彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ ,ｷi ;ｻ, |彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ ,ｷi ,;#, |彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ ,ｷi ;ﾒ ´ !彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ `ﾍ､ ;ﾒ ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ `ﾍ､ ;ﾒ ｀`十≡=十´ `ﾍ､ 403 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 05 48 27 お願いします ttp //pics.dmm.co.jp/digital/video/fbi00002/fbi00002pl.jpg 404 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 07 25 49 ↑「勇気が無くて見られない画像解説スレ3＠数学板」と間違えて誤爆しますた 405 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 10 09 57 ロイヤルミルクティーって和製英語でそんなレシピはない。 酒を入れるカフェロワイヤル ミルクテイーはロイヤルはつけない ビックルが好きな・・・といってるのとおなじ ヤクルトかバヤリースにしておけば・・・ 406 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 15 41 命題 コンパクト空間 Xは正則( 210)である。 証明 211 より X の任意の閉集合 A と A に含まれない任意の点 x に対して x の近傍 U と A の近傍 V で交わらないものがあることを 証明すればよい。 X はハウスドルフだから A の各点 y に対して y の開近傍 V_y と x の開近傍 U_y で交わらないものがある。 A はコンパクトだから A は有限個の V_y で被覆される。 これ等を V_(y_1), . . . , V_(y_n) とする。 これ等の合併集合を V とし、 U_(y_1), . . . , U_(y_n) の共通集合を U とすればよい。 証明終 407 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 27 42 命題 ハウスドルフ空間のコンパクトな部分集合は閉集合である。 証明 A を ハウスドルフ空間 X のコンパクトな部分集合とする。 x を A に含まれない任意の点 x とする。 X はハウスドルフだから A の各点 y に対して y の開近傍 V_y と x の開近傍 U_y で交わらないものがある。 A はコンパクトだから A は有限個の V_y で被覆される。 これ等を V_(y_1), . . . , V_(y_n) とする。 これ等の合併集合を V とし、 U_(y_1), . . . , U_(y_n) の共通集合を U とする。 U と V は交わらないから U は A と交わらない。 U は x の近傍で x は X - A の任意の点だから X - A は X の 開集合である。 即ち、A は閉集合である。 証明終 408 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 35 47 命題 局所コンパクト空間( 128) X は正則( 210)である。 証明 X の点 x とそれを含む開集合を U とする。 x はコンパクトな近傍 V を持つ。 406 より V は正則だから x の V における閉近傍 W で W ⊂ V ∩ U となるものがある。 407 より V は X の閉集合だから W も X の閉集合である。 V は x の近傍だから W も X における x の近傍である。 W ⊂ U だから 211 より X は正則である。 証明 409 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 49 47 命題 局所コンパクト空間( 128) の任意の点はコンパクトな 基本近傍系をもつ。 証明 x を局所コンパクト空間の任意の点とし U をその近傍とする。 408 より x の閉近傍 V で U に含まれるものがある。 x のコンパクト近傍を W とする。 V ∩ W は W の閉集合であるからコンパクトである。 よって V ∩ W は x のコンパクトな近傍である。 証明終 410 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 52 55 命題 局所コンパクト空間( 128) の開集合は局所コンパクトである。 証明 409 より明らかである。 411 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10 57 16 命題 局所コンパクト空間( 128) の閉集合は局所コンパクトである。 証明 A を局所コンパクト空間 X の閉集合とする。 A の任意の点 x は X におけるコンパクト近傍 V を持つ。 V ∩ A は A における x の近傍であるが、 V の閉集合だからコンパクトである。 証明終 412 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11 22 35 命題 局所コンパクト群は右一様構造( 200)および左一様構造( 200)に 関して完備である。 証明 G を局所コンパクト群とする。 Φ を G の右一様構造に関する Cauchy フィルターとする。 V を G の単位元のコンパクト近傍とする。 V 程度に小さい M ∈ Φ がある。 即ち x, y ∈ M なら yx^(-1) ∈ V となる。 従って M ⊂ Vx である。 Φ_0 = { M ∩ N ; N ∈ Φ } とおく。 Φ_0 は Φ の基底である。 Vx はコンパクトだから 315 より完備である。 Φ_0 は Vx に含まれるから収束する。 従って Φ も収束する。 Φ を G の左一様構造に関する Cauchy フィルターとしても同様である。 証明終 413 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11 27 30 397 の別証 命題 K を実数体または複素数体とする。 K^* は位相群として完備である。 証明 K は局所コンパクトである。 K^* = K - {0} は K の開集合だから 410 より局所コンパクトである。 従って 412 より K^* は位相群として完備である。 証明終 414 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11 56 29 定義 実数体を R とする。 R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。 K を可換とは限らない体とする。 K から R+ への写像 x → |x| が以下の条件を満たすとき、この写像を K の絶対値と言う。 1) |x| = 0 と x = 0 は同値である。 2) |xy| = |x||y| 3) |x + y| ≦ |x| + |y| 415 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11 59 31 定義 K を可換とは限らない体とする。 K とその上の絶対値( 414) |*| が与えられたとき K を付値体と言う。 416 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 10 44 命題 K を付値体( 415)とする。 K の元 x の絶対値を |x| とする。 n ≧ 1 を有理整数とし K の元 x が x^n = 1 を満たすとする。 このとき |x| = 1 である。 証明 |x^n| = |x|^n = 1 従って |x| = 1 である。 証明終 417 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 12 10 416 から |1| = 1, |-1| = 1 が出る。 従って K の任意の元 x に対して |-x| = |x| 418 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12 16 48 403 名前 １３２人目の素数さん Mail 投稿日 2007/08/12(日) 05 48 27 お願いします ttp //pics.dmm.co.jp/digital/video/fbi00002/fbi00002pl.jpg 404 名前 １３２人目の素数さん Mail 投稿日 2007/08/12(日) 07 25 49 ↑「勇気が無くて見られない画像解説スレ3＠数学板」と間違えて誤爆しますた 419 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 19 23 付値体 K において d(x, y) = |y - x| とおくと d は K の距離になる。 従って、K はこの距離により距離空間になる。 特に断らなければ K の位相はこの距離空間から引き起こされた ものとする。 420 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 24 41 補題 付値体 K において写像 f(x) = 1/x は 任意の δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ において一様連続である。 証明 δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ |y| ≧ δ とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、|y - x| ＜ (δ^2)ε なら |1/y - 1/x| = |(1/y)(x - y)(1/x)| = |y - x|/|x||y| ＜ ε 従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 証明終 421 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 27 23 命題 付値体( 415) K は位相体である。 証明 K の元 x の絶対値を |x| とする。 a, b を K の任意の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε/2, |y - b| ＜ ε/2 のとき |x + y - (a + b)| ≦ |x - a| + |y - b| ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は連続である。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε のとき |-x - (-a)| = |-(x - a)| = |x - a| ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は連続である。 任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + |a| + |b|)) とする。 δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + |a| + |b|) |x - a| ＜ δ, |y - b| ＜ δ のとき |xy - ab| = |(x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b)| ≦ |(x - a)(y - b)| + |(x - a)b| + |a(y - b)| ≦ δ^2 + δ|b| + |a|δ ＜ δ(1 + |a| + |b|) ＜ ε 従って写像 h(x, y) = xy は連続である。 393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 φ(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 よって φ(x) は K^* で連続である。 証明終 422 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 32 38 体 K において x ≠ 0 のとき |x| = 1 x = 0 のとき |x| = 0 と定義すれば |x| は K の絶対値になる。 これを自明な絶対値と言う。 423 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12 33 21 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 424 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12 35 05 Kummer----------!!! --ミ､、_ ｀ " ―┼――――l. . . . . . l | ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;i; ; ; ; ; ; ; ; ; ;| ミ三三ﾐ ー‐-- ､、＿ | j -―――‐t―――----┴-{ _; _;_ _; _; _; _; _; _; i; _; _; _; _; _; | ﾐミ三三、 .u ､ｰ=､` ┴―――fミ ,ﾆ三三三三 r―､ rﾐ､_;_ _; _; _; _; _; _; ;i; _; _; _; _; _; ;| ﾐミミ三ｼ . . .u `― l ii l (ヲ lミil三三三三彡 j ｀￣ ヾ i. , 一, ､ｰ､ ヾﾐl ﾐミミf " _,,.,,_ . . . .. _j_ . . . . j lﾐﾘﾆ三三シ´ _,. - 、 __ l､,. .. `""´ `" ,iﾐl ﾐミミ ,ｨでiﾝﾐ、 . .､__, -,ｨも=､ ,l l三三三ミ . . . . ｨ "でi、. . ,rtｯ . j , -‐‐- . . ｰ- ､.ヾl ミミ J. ´￣｀ﾞ`ラ . . 三 f"´￣｀ lj ＼三三ﾐ . . . . .｀`＝ﾞ^ . iｰ{ ,ｨ で入 . . ,ｨ で) ､ ∥ ミﾐ ｀二ﾆノ ,、 jl ,` ― " ,l!人 ヾ三ミ u , ﾞ , ｀ﾞﾞﾞ"´ﾉ. ,｀ﾞﾞﾞ"´ .| ;ミ ,ィ " ﾄ、 ,!rぅ ,三ｼ ,r __ ） !. u , , . | ミ; u ／ `^ヽ,＿ノi , ヽ二ノ l三 ﾞ U ,. `´ ｰｲ , ... /ゝ =､_,,r｀､.u l ﾐ ／ _,,...,＿,,..,、l u ./ヾﾐ. ,三 , , ´ ／ _,,__,、/ .. , i . l N ／ ,ィiTTTTTト, ,} ,/ l三 ` " / / ／_,∠二,ｰｱﾉ/ u . _,ｨｪｪｪｭ､ l i ;ヽ U { ,/⌒ ｰ ‐ ‐ ‐ ,ﾘ l / ,l^` . . . . l , ,. h､ . ﾞ . .lf´, / , . i 〈-‐‐rー, i l . / 、 ヽ l {,ゝ､‐r‐ ﾝ-i/ ,/ ,ｲ/7 . , . . . . ; ; , ヾゞｚｪｿ ;/ヽヽ l ヽｚｪｪｪｭﾘ ! / ヽヽ丶 丶 ヾ Zェｪｪｼ ﾉ ,i ∧ , , ,. - 、 丶 ､_｀ 一 /,､.| ヽ .. ヽ ヽﾆ二ﾉ / ヽヽ 丶、 ｀ ｀ ‐ -- ‐ "/ノ ヽヽ、 . . . . 丶、 ﾞﾞﾞﾞ /l |ﾉ ヽ . / 425 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12 51 29 命題 K を付値体, |x| をその絶対値とする。 K の位相が離散であるためには |x| が自明であることが必要十分である。 証明 絶対値が自明なら K の位相は離散である。 逆に K の位相が離散とする。 従って、ある δ ＞ 0 があり |x| ＜ δ となる x は 0 以外に無い。 絶対値が自明でないなら |x| ≠ 1 となる x ≠ 0 がある。 |x| ＜ 1 とすると点列 (x^n) は 0 に収束する。 即ち任意の ε ＞ 0 で |x^n| ＜ ε となる n がある。 x^n ≠ 0 だから、K の位相は離散でない。 |x| ＞ 1 とすると点列 ((1/x)^n) は 0 に収束するから 上と同様に K の位相は離散でない。 証明終 426 ：Kummer ◆s7caXp/asc ：2007/08/13(月) 15 21 44 アタシね、最近教師になったんですねぇ。 私立の吉祥寺学園ってところに赴任しましてねぇ仮にこの高校をKとしましょうかアタシ1番の問題児がいるクラスの担任になっちゃんたんだ。どうしよー怖いよ怖いよーってもんでついに新学期が始まったんですねぇ。アタシナメられないように黒板に稲川淳二☆って書いて 「今日からおまえらの担任になった稲川だ！なんか文句あるか！」 ってかましたんですねぇその瞬間生徒の視線がアタシからスゥーっと外されていったんですねぇまるでアタシを幽霊みたいに見ちゃいけない！見てなるものか！って意地になってスルーされたんですねぇ。その日はなんとか乗り切れたんですがねぇ 次の日登校すると生徒の様子がなーんかおかしい… ふと黒板を見るとワタシが三角木馬に乗ってる写真が貼られてたんだ！ ありえないんだそんな事！ アタシにそんな趣味なんかあるわけないあっちゃいけない！ ってなもんでアタフタしてたら同僚の冬月先生にビンタされてアタシ取り乱して証拠にみんなの前でお尻の傷見せたんだ！ その瞬間アタシ意識がスゥーと消えて気付いたらアタシ警察の前にいたんですねぇ。 そんなお話です。 427 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/13(月) 20 52 09 ＿＿＿_ ／ ＼ ／ _ノ ヽ､_ ＼ ／ oﾟ⌒ ⌒ﾟo ＼ またあしたも代数的整数論板に書き込む仕事が始まるお… | （__人__） | ＼ ｀ ⌒´ ／ 428 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 22 15 15 なんでカス板に書き子つづけるの？ＡＭＳの板にでも書いたら？ 429 ：Kummer ◆avWMvQagd6 ：2007/08/14(火) 00 26 58 私の前の上司（課長）は無口、無表情。雑談には加わらず、お酒も飲まず、人付き合いをしない堅物でした。 誠実公平、どんな時でも冷静なので頼もしい上司なのですが、堅過ぎて近寄りにくい雰囲気がありました。 そんな課長の机の上には奥さん、子供四人と写った写真が飾られてて、 「あの朴念仁でも家族は愛してるんだな」と微笑ましく思ったものです。 何年経っても同じ写真が飾ってあったので、理由を聞いてみたら、 「一番かわいかった頃の写真だからね」と照れ笑いを浮かべながら答えてくださいました。 それが私の見た唯一の課長の笑顔でした。 そんな真面目一徹、入社以来無遅刻無欠勤の課長が三日続けて無断欠勤。 家に電話しても誰も出ず、親族の連絡先も分からなかったので、 部長が直接課長のマンションを訪ね、管理人さんにお願いしてドアを開けていただきました。 課長は玄関で倒れていて、既に冷たくなっていました。急性心不全だったそうです。 部長が管理人さんに課長の家族がいつ戻ってくるか聞くと、「○○さんには家族はいないですよ」という返事。 あわてて人事部の資料をほじくり返すと、確かに課長には家族がいません。 課長は１０年前に中途入社した人なので、それ以前に家族に逃げられていて、 写真を見て幸せだった時代を懐かしんでいたんだと思い、少し悲しくなりました。 結局、課長の葬儀にも家族も親族も顔を出さず、血縁の人たちの冷たさにもっと悲しくなりました。 後日墓参りに行くと、立派なお墓が立っていました。死んでやっと家族と和解できて、 立派なお墓を立ててもらえたのかと安心して墓石を見てみると、愕然としました。 お墓は古びていて、課長と同じ名字の名前が墓誌にいくつも彫ってありました。 課長以外は全員十数年前の同じ日に亡くなっていました。 家族を一度に亡くしてからの十数年の歳月を、彼はどんな気持ちで過ごしていたんでしょうか？ 二度と会えない家族の写真をどんな思いで毎日眺めていたんでしょうか？ 人を遠ざけ、自分のことを決して語らなかった課長の姿を思い出し、涙が止まりませんでした。 430 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04 34 17 補題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψをそれぞれ K の絶対値( 414)とする。 φ は自明ではないとする。 φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となれば、 ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で 成り立つ。 証明 φ は自明( 422)でないから φ(a) ≠ 1 となる a ≠ 0 がある。 φ(a) ＜ 1 なら φ(1/a) = 1/φ(a) ＞ 1 だから φ(a) ＞ 1 と仮定 してよい。 任意の K の元 x をとり、φ(x) = φ(a)^γ とする。 即ち γ = log(φ(x))/log(φ(a)) である。 ここで log の底は任意の正数 ＞ 1 でよいが考えを固定するため 自然対数の底 e とする。 (続く) 431 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 04 37 11 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 432 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04 37 33 n と m を有理整数として m ＞ 0 とし、γ ＞ n/m とする。 φ(x) ＞ φ(a)^(n/m) となる。 よって φ(x)^m ＞ φ(a)^n となる。 よって 1 ＞ φ(a^n)/φ(x^m) = φ(a^n/x^m) 仮定から 1 ＞ ψ(a^n/x^m) よって ψ(x)^m ＞ ψ(a)^n となる。 よって ψ(x) ＞ ψ(a)^(n/m) となる。 有理数 n/m を γ の左から γ に近づけて、この等式の両辺の極限を 取れば、ψ(x) ≧ ψ(a)^γ となる。 同様に γ ＜ n/m なら ψ(x) ＜ ψ(a)^(n/m) となる。 有理数 n/m を γ の右から γ に近づけて、この等式の両辺の極限を 取れば、ψ(x) ≦ ψ(a)^γ となる。 従って ψ(x) = ψ(a)^γ となる。 即ち γ = log(ψ(x))/log(ψ(a)) である。 よって log(φ(x))/log(φ(a)) = log(ψ(x))/log(ψ(a)) となる。 即ち log(φ(x))/log(ψ(x)) = log(φ(a))/log(ψ(a)) α = log(φ(a))/log(ψ(a)) とすれば log(φ(x)) = αlog(ψ(x)) よって φ(x) = ψ(x)^α となる。 ψ(a) ＞ 1 だから α ＞ 0 である。 x ≠ 0 と仮定したが x = 0 のときもこの等式は成り立つ。 証明終 433 ：Kummer ◆K8xLCj98/Y ：2007/08/14(火) 04 38 06 補題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψをそれぞれ K の絶対値( 414)とする。 φ は自明ではないとする。 φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となれば、 ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で 成り立つ。 証明 φ は自明( 422)でないから φ(a) ≠ 1 となる a ≠ 0 がある。 φ(a) ＜ 1 なら φ(1/a) = 1/φ(a) ＞ 1 だから φ(a) ＞ 1 と仮定 してよい。 任意の K の元 x をとり、φ(x) = φ(a)^γ とする。 即ち γ = log(φ(x))/log(φ(a)) である。 ここで log の底は任意の正数 ＞ 1 でよいが考えを固定するため 自然対数の底 e とする。 (続く) 434 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04 57 24 定義 可換とは限らない体 K 上の二つの絶対値( 414)は K 上に同じ位相を 引起す( 419)とき同値と言う。 435 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05 12 18 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψ をそれぞれ K の絶対値( 414)とする。 φ は自明ではないとする。 φ と ψ が同値( 434)であるためには φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となることが 必要十分である。 このとき、ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で成り立つ。 証明 φ と ψ が同値であるとする。 φ(x) ＜ 1 と位相体 (K, φ) において n → ∞ のとき lim x^n = 0 は同値である。 φ と ψ は同値だから 位相体 (K, ψ) においても n → ∞ のとき lim x^n = 0 である。 従って ψ(x) ＜ 1 である。 これで本命題の条件が必要なことが分かった。 逆に本命題の条件が成り立つとする。 430 よりある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。 このとき φ と ψ が K 上に同じ位相を引起すことは明らかである。 証明終 436 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05 14 28 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 437 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05 29 35 補題 λ, c, d を実数で 0 ＜ c 0 ＜ d 1 = c + d 0 ＜ λ ≦ 1 のとき 1 ≦ c^λ + d^λ である。 証明 c ＜ 1 だから 1/c ＞ 1 λ ≦ 1 だから 1/c^λ ≦ 1/c よって c ≦ c^λ 同様に d ≦ d^λ よって 1 = c + d ≦ c^λ + d^λ 証明終 438 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05 32 28 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 439 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05 32 33 補題 λ, a, b を実数で 0 ＜ λ ≦ 1 a ＞ 0 b ＞ 0 とする。 このとき (a + b)^λ ≦ a^λ + b^λ 証明 c = a/(a + b) d = b/(a + b) とおけば (a + b)^λ ≦ a^λ + b^λ は 1 ≦ c^λ + d^λ と同値である。 1 ≦ c^λ + d^λ は 437 で証明されている。 証明終 440 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05 35 02 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおはよう！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 441 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05 49 20 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値( 414)とする。 λ を実数で 0 ＜ λ ≦ 1 とする。 |x|^λ も (|x| と同値な) 絶対値である。 証明 |x + y| ≦ |x| + |y| だから |x + y|^λ ≦ (|x| + |y|)^λ 439 より (|x| + |y|)^λ ≦ |x|^λ + |y|^λ よって|x + y|^λ ≦ |x|^λ + |y|^λ 証明終 442 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05 55 15 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値( 414)とする。 r と s を実数で 0 ＜ s ＜ r とする。 |x|^r が絶対値なら |x|^s も絶対値である。 証明 0 ＜ s/r ＜ 1 だから 441 より |x|^s = (|x|^r)^(s/r) は 絶対値である。 証明終 443 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 06 07 33 441 童貞なん？ 444 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06 13 41 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値( 414)とする。 |x|^r が絶対値となる r ＞ 0 の全体は有限区間 (0, c] または 無限区間 (0, ∞) である。 証明 442 より |x|^r が絶対値となる r ＞ 0 の全体は ある実数 c ＞ 0 に対して区間 (0, c) または (0, c] となるか 無限区間 (0, ∞) である。 ある実数 c ＞ 0 に対して 0 ＜ r ＜ c となる任意の r に対して |x|^r が絶対値であるとする。 |x + y|^r ≦ |x|^r + |y|^r の両辺の r → c の極限を取れば |x + y|^c ≦ |x|^c + |y|^c となって |x|^c も絶対値である。 証明終 445 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06 23 18 補題 a, b を実数で a ≧ 0, b ≧ 0 とする。 r ＞ 0 を実数とする。 r → ∞ のとき lim (a^r + b^r)^(1/r) = sup(a, b) となる。 証明 b ≦ a と仮定してよい。 a^r ≦ (a^r + b^r) ≦ 2a^r よって a ≦ (a^r + b^r)^(1/r) ≦ 2^(1/r)a よって r → ∞ のとき lim (a^r + b^r)^(1/r) = a 証明終 446 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06 29 09 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値( 414)とする。 任意の r ＞ 0 に対して |x|^r が絶対値となるなら K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。 証明 仮定より任意の r ＞ 0 に対して |x + y|^r ≦ |x|^r + |y|^r となる。 よって |x + y| ≦ (|x|^r + |y|^r)^(1/r) となる。 445 より r → ∞ のとき lim (|x|^r + |y|^r)^(1/r) = sup(|x|, |y|) となる。 よって |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。 証明終 447 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 07 59 14 445 ご飯食べた？ 448 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 08 11 03 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 集合 {φ(n・1) ; n は有理整数 n ＞ 0 全体} が有界でないとき φ をアルキメデス的と言う。 このとき付値体 K もアルキメデス的と言う。 φ がアルキメデス的でないとき φ を非アルキメデス的と言う。 このとき付値体 K も非アルキメデス的と言う。 435 より φ がアルキメデス的か否かは φ の同値類のみにより 決まる。 449 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 08 55 45 補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の非アルキメデス的( 448)な絶対値とする。 |x| ≦ 1 となる K の全ての元 x に対して |1 + x| ≦ 1 となる。 証明 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して |n・1| ≦ M とする。 x を K の元で |x| ≦ 1 とする。 1 と x は K の乗法で可換だから二項定理より (1 + x)^n = 1 + nx + . . . + x^n よって |1 + x|^n ≦ (n + 1)M よって |1 + x| ≦ ((n + 1)M)^(1/n) n → ∞ のとき ((n + 1)M)^(1/n) → 1 だから |1 + x| ≦ 1 証明終 450 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/14(火) 09 00 21 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 451 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 09 03 24 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の非アルキメデス的( 448)な絶対値とする。 K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。 証明 |y| ≦ |x| と仮定して良い。 x = 0 なら y = 0 だから |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) は自明である。 よって x ≠ 0 と仮定する。 |y(1/x)| ≦ 1 だから 449 より |1 + y(1/x)| ≦ 1 である。 よって |x + y| = |1 + y(1/x)||x| ≦ |x| である。 証明終 452 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 09 21 25 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値( 414)とする。 以下の条件は同値である。 1) |x| は非アルキメデス的( 448)である。 2) K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。 3) 任意の実数 r ＞ 0 に対して |x|^r は絶対値となる。 証明 1) ⇒ 2) は 451 で証明されている。 2) ⇒ 1) は |1 + . . . + 1| ≦ 1 より出る。 2) ⇒ 3) r ＞ 0 を任意の実数とする。 |x|^r ≦ 1 のとき |x| ≦ 1 だから |1 + x| ≦ 1 である。 よって |1 + x|^r ≦ 1 となる。 これから 451 と同様にして K の任意の２元 x, y に対して |x + y|^r ≦ sup(|x|^r, |y|^r) となる。 よって |x|^r は絶対値である。 3) ⇒ 2) は 446 で証明されている。 証明終 453 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 10 39 50 定義 実数体を R とする。 R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。 K を可換とは限らない体とする。 写像 φ K → R+ が以下の条件を満たすとき、φ を K の一般絶対値(この名前は一般に通用してるわけではない)と言う。 1) φ(x) = 0 と x = 0 は同値である。 2) K の任意の２元 x, y に対して φ(xy) = φ(x)φ(y) 3) A ＞ 0 があり K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y)) 454 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 11 03 23 注意 453 の 3) において x = 1, y = 0 とすれば φ(1) ≦ A sup(φ(1), φ(0)) よって 1 ≦ A である。 455 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 11 04 22 命題 K を可換とは限らない体とする。 453 の 1) と 2) を満たす写像 φ K → R+ が一般絶対値で あるためには、 A ＞ 0 があり φ(x) ≦ 1 となる全ての x に対して φ(1 + x) ≦ A となることが必要十分である。 証明 φ が一般絶対値なら 453 の 3) において y = 1 とおけば、 φ(1 + x) ≦ A sup(φ(x), 1) 従って、φ(x) ≦ 1 なら φ(1 + x) ≦ A となる。 従って、この条件は必要である。 逆に φ がこの条件を満たしているとする。 φ(y) ≦ φ(x) と仮定して良い。 x = 0 なら φ(x) = 0 だから φ(y) = 0 で y = 0 である。 この場合、φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y)) は自明である。 よって x ≠ 0 とする。 φ(y) ≦ φ(x) だから φ(y(1/x)) ≦ 1 である。 よって φ(1 + y(1/x)) ≦ A である。 よって φ(x + y) = φ(1 + y(1/x))φ(x) ≦ Aφ(x) である。 証明終 タグ： コメント