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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時19分02秒 代数的整数論 006 (456-540) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/456-540 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/456-540 456 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 15 38 33 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 従って、φ は K の一般絶対値( 453)である。 457 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 16 02 54 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の一般絶対値( 453)とする。 φ が K の絶対値であるためには、C ＞ 0 があり 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して φ(n・1) ≦ Cn となることが 必要十分である。 証明 φ が K 上の絶対値なら、φ(n・1) ≦ n である。 逆に任意の有理整数 n ＞ 0 に対して φ(n・1) ≦ Cn とする。 r に関する帰納法により、任意の有理整数 r ＞ 0 に対して m = 2^r 個の K の元の列 x_1, . . . , x_m に対して φ(x_1 + . . . + x_m) ≦ A^r sup(x_i), 1 ≦ i ≦ m である。 この関係式は 1 ≦ m ＜ 2^r でも成り立つことは明らかである。 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して 2^(r-1) ＜ n + 1 ≦ 2^r となる 有理整数 r ＞ 0 が存在する。 x ∈ K のとき、1 と x は K の乗法で可換だから二項定理より (1 + x)^n = 1 + nx + . . . + x^n よって [n, i] を ２項係数とすれば、 φ(1 + x)^n ≦ A^r sup(φ([n. i]x^i)) ≦ (A^r)C sup([n. i]φ(x)^i) ≦ (A^r)C(1 + φ(x))^n よって φ(1 + x) ≦ (A^(r/n))C^(1/n)(1 + φ(x)) n → ∞ のとき (A^(r/n))C^(1/n) → 1 だから φ(1 + x) ≦ 1 + φ(x) y ≠ 0 を K の元として x を x(1/y) で置き換えれば φ(1 + x(1/y)) ≦ 1 + φ(x(1/y)) より φ(1 + x(1/y))φ(y) ≦ φ(y) + φ(x) よって φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) 証明終 458 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 16 16 38 命題 K を可換とは限らない体とする。 写像 φ K → R+ が絶対値( 414)であるためには φ が以下の条件を満たすことが必要十分である。 1) φ(x) = 0 と x = 0 は同値である。 2) K の任意の２元 x, y に対して φ(xy) = φ(x)φ(y) 3) K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 証明 φ が絶対値なら K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 逆に φ が 1), 2), 3) を満たすとする。 r に関する帰納法により、任意の有理整数 r ＞ 0 に対して m = 2^r 個の K の元の列 x_1, . . . , x_m に対して φ(x_1 + . . . + x_m) ≦ 2^r sup(x_i), 1 ≦ i ≦ m である。 この関係式は 1 ≦ m ＜ 2^r でも成り立つことは明らかである。 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して 2^(r-1) ＜ n ≦ 2^r となる 有理整数 r ＞ 0 が存在する。 上で述べたことから φ(n・1) ≦ 2^r ＜ 2n よって 457 より φ は K の絶対値である。 証明終 459 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 16 46 16 命題 K を可換とは限らない体とする。 写像 φ K → R+ が一般絶対値( 453)であるためには K の絶対値 ψ と実数 s ＞ 0 があり、 φ = ψ^s となることが必要十分である。 証明 K の絶対値 ψ と実数 s ＞ 0 に対して φ = ψ^s とする。 458 より ψ(x + y) ≦ 2 sup(ψ(x), ψ(y)) となるから ψ(x + y)^s ≦ 2^s sup(ψ^s(x), ψ^s(y)) である。 よって φ は一般絶対値である。 逆に φ が一般絶対値とする。 A ＞ 0 があり K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y)) となる。 任意の実数 t ＞ 0 に対して φ(x + y)^t ≦ A^t sup(φ^t(x), φ^t(y)) となる。 従って φ^t も一般絶対値である。 A ≦ 2 なら φ(x + y) ≦ 2 sup(φ(x), φ(y)) となるから 458 より φ は絶対値である。 従って A ＞ 2 とする。 t = (log 2)/(log A) とすれば、t ＞ 0 で 2 = A^t である。 上記から φ(x + y)^t ≦ 2 sup(φ^t(x), φ^t(y)) となり、 458 より ψ = φ^t は絶対値である。 s = 1/t とおけば φ = ψ^s である。 証明終 460 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 16 54 54 暑いな 461 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 17 33 00 補題 φ を有理数体の任意の絶対値( 414)とする。 任意の有理整数 m ＞ 1 と n ＞ 1 に対して φ(m) ≦ (sup(1, φ(n)))^(log m/log n) 証明 m を n 進展開して、 m = a_0 + (a_1)n + . . . + (a_r)n^r 0 ≦ a_i ＜ n a_r ≠ 0 とする。 n^r ≦ m だから r log n ≦ log m よって r ≦ (log m)/(log n) φ(a_i) ＜ n より φ(m) ≦ n(1 + (log m)/(log n))(sup(1, φ(n)))^(log m/log n) s ≧ 1 を有理整数として m を m^s に置きかえれば、 φ(m)^s ≦ n(1 + s(log m)/(log n))(sup(1, φ(n)))^s(log m/log n) よって φ(m) ≦ n^(1/s)(1 + s(log m)/(log n))^(1/s)(sup(1, φ(n)))^(log m/log n) s → ∞ とすれば、φ(m) ≦ (sup(1, φ(n)))^(log m/log n) 証明終 462 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 17 53 47 命題 φ を有理数体の任意の絶対値( 414)とする。 任意の有理整数 n ＞ 1 に対して φ(n) ＞ 1 なら ある実数 0 ＜ s ≦ 1 があり、任意の有理数 x に対して φ(x) = |x|^s となる。 ここで、|x| は通常の絶対値である。 証明 461 より、任意の有理整数 m ＞ 1 と n ＞ 1 に対して φ(m) ≦ (φ(n))^(log m/log n) 対称的に φ(n) ≦ (φ(m))^(log n/log m) よって φ(m)^(1/log m) = φ(n)^(1/log n) log (φ(n)^(1/log n)) = s とおけば、 log φ(n) = s(log n) = log n^s よって φ(n) = n^s よって、任意の有理数 x に対して φ(x) = |x|^s となる。 1 ＜ φ(n) ≦ n だから 0 ＜ s ≦ 1 である。 証明終 463 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 18 52 17 命題 p を有理素数とする。 0 ＜ c ＜ 1 となる任意の実数を取る。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r とし、φ_p(0) = 0 とする。 φ_p は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 証明 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、ν(x) = r と定義する。 以下の 1) と 2) は容易に分かる。 1) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) となる。 2) x ≠ 0, y ≠ 0, x + y ≠ 0 なら ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y) である。 これから明らかに φ は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 証明終 464 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 18 55 42 463 これから明らかに 明らかではないな 465 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 19 02 28 命題 p と q を有理素数とする。 0 ＜ c ＜ 1 となる任意の実数を取る。 463 の φ_p と同様に φ_q を定義する。 φ_p は有理数体の絶対値として自明でない。 さらに、φ_p と φ_q は有理数体の絶対値として同値でない。 証明 φ_p(p) = c であるので φ_p(p) ＜ 1 である。 従って φ_p は自明でない。 φ_q(p) = 1 であるので 435 より φ_p と φ_q は同値でない。 証明終 466 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 19 07 38 464 463 が明らかでないなら演習問題にします。 467 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 19 36 26 命題 φ を有理数体の自明でない絶対値( 414)とする。 ある有理整数 n ＞ 1 に対して φ(n) ≦ 1 なら 有理素数 p と 0 ＜ c ＜ 1 となる実数があり、 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ(x) = c^r となる。 即ち φ は 463 の φ_p と一致する。 証明 461 より任意の有理整数 m ＞ 1 に対して φ(m) ≦ 1 となる。 従って φ は非アルキメデス的( 448)である。 有理整数環 Z の部分集合 I を I = { m ∈ Z ; φ(m) ＜ 1 } で定義する。 x, y を I の元とすると φ(x - y) ≦ sup(φ(x), φ(y)) ＜ 1 よって x - y ∈ I 任意の a ∈ Z に対して φ(ax) = φ(a)φ(x) ＜ 1 よって ax ∈ I よって I は Z のイデアルである。 φ は自明でないから I ≠ 0 である。 1 は I に含まれないから I ≠ Z である。 (続く) 468 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 19 37 20 従って、ある有理整数 p ＞ 0 があり I = Zp となる。 a ＞ 1, b ＞ 1 を有理整数として p = ab とする φ(p) = φ(a)φ(b) ＜ 1 だから φ(a) ＜ 1 または φ(b) ＜ 1 即ち a ∈ I または b ∈ I となる。 a ∈ I なら a は p で割れるから矛盾である。 同様に b ∈ I なら b は p で割れるから矛盾である。 従って p は素数である。 有理整数 s が p で割れないときは s は I の元でないから φ(s) = 1 である。 従って、φ(p) = c とすると、0 ＜ c ＜ 1 であり、 任意の有理整数 n ≠ 0 に対して n = (p^r)s, s は p と素な有理整数 としたとき、φ(n) = c^r となる。 よって φ は 463 の φ_p と一致する。 証明終 469 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 19 43 57 命題 有理数体の自明でない絶対値( 414)は以下のどれかと同値である。 1) 有理数体の通常の絶対値。 2) p を任意の有理素数としたとき 463 の φ_p 証明 462 と 467 より明らかである。 470 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 20 32 46 単に言葉の趣味の問題かもしれないが、「絶対値」よりは「付値」の方が通りがよいね。 非アルキメデス的な体に関する考察が続いているということは、この後 p-進数に進むんだろうな。 471 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 20 50 36 補題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 φ は K から R+ への写像として一様連続である。 証明 x と y を K の任意の元とする。 φ(x) ≦ φ(x - y) + φ(y) より φ(x) - φ(y) ≦ φ(x - y) φ(y) ≦ φ(y - x) + φ(x) より φ(y) - φ(x) ≦ φ(x - y) よって |φ(x) - φ(y)| ≦ φ(x - y) これから直ちに φ の一様連続性が出る。 証明終 472 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 21 10 19 470 「付値」は英語の valuation に対応するが、これは通常、 体から実数の加法群または全順序アーベル群へのある種の写像として 定義されるものを意味する。 例えば離散付値(discrete valuation)は体から有理整数環の加法群への ある種の写像である。 従って、我々の「絶対値」(absolute value)を「付値」と呼ぶのは 混乱の原因となる。 「絶対値」(absolute value) という用語は Bourbaki に従った。 Frohlich-Taylor の Algebraic number theory もこの用語を使っている。 因みに Bourbaki は用語の選択には細心の注意を払っているが、 よほどのことがない限り慣用に従うと書いている。 今の場合はその「よほどのこと」に当たるのだろう。 473 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 21 44 01 命題(不等式延長の原理) X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 f と g を X から実数体への連続写像とする。 Y の全ての点 y で f(y) ≦ g(y) となるなら X の全ての点 x で f(x) ≦ g(x) となる。 証明 f(x) ＞ g(x) となる x ∈ X があるとする。 f と g は連続だから、x の近傍 V があり、 V の任意の点 z で f(z) ＞ g(z) となる。 Y は X で密だから V と Y は交わる。 y ∈ V ∩ Y とすれば f(y) ＞ g(y) となり、仮定に反する。 証明終 474 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 22 32 40 命題 X を分離かつ完備な一様空間、α をその一様構造、 Y を X の密な部分空間とする。 β を X の一様構造で β ⊂ α であり、 Y において α と同じ一様構造を引き起こすなら α = β である。 証明 α と β は Y において同一の一様構造を引き起こす。 従って、β の Y における Cauchy フィルターは α の Y における Cauchy フィルターでもあるから X において 収束する。 従って 263 より β は完備である。 φ Y → X を標準単射とする。 φ を Y から一様空間 (X, α) への写像と見ると、φ は 一様連続である。 一様連続写像の延長定理( 272)より φ は (X, β) から (X, α) へ の一様連続写像 ψ に一意に拡張される。 X の恒等写像は Y ⊂ X において φ を引き起こすから 等式延長の原理( 265) より ψ と一致する。 即ち恒等写像 (X, β) → (X, α) は一様連続である。 即ち α ⊂ β である。 β ⊂ α であったから、α = β である。 証明終 475 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 22 46 16 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 421 より付値体( 415) K は位相体である。 勿論、K は分離的である。 369 より K の完備化環 K^ が存在する。 このとき K^ は体になる。 φ を K^ に連続延長したものは K^ の絶対値になり、 それは K^ の位相を定義する。 証明 382 より分離位相体 K の完備化環 K^ が位相体であるためには K^* に含まれ、0 に収束しない (K の加法群に関する) Cauchy フィルター Φ の基底 Φ_0 の写像 f(x) = 1/x による像が (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが 必要十分である。 Φ_0 は 0 に収束しないから δ ＞ 0 と A ∈ Φ があり x ∈ A なら |x| ≧ δ となる。 393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 Φ_1 = { B ∈ Φ_0 ; B ⊂ A } は Φ の基底である。 240 より φ(Φ_1) は Cauchy フィルターの基底である。 従って φ(Φ_0) も Cauchy フィルターの基底である。 これで K^ が位相体であることが証明された。 (続く) 476 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 22 47 01 471 より φ は一様連続であるから一様連続写像の延長定理( 272) より K^ に連続延長される。 これを φ^ とする。 x, y を K^ の任意の２元とする。 等式延長の原理( 265)より φ^(xy) = φ^(x)φ^(y) 不等式延長の原理( 473)より φ^(x + y) ≦ φ^(x) + φ^(y) よって φ^ は K^ の絶対値である。 K^ の K の完備化としての一様構造を α とし、 φ^ で定義される一様構造を β とする。 φ^ は α で連続だから、任意の ε ＞ 0 に対して、 K^ における 0 の近傍 V があり x ∈ V なら |φ^(x)| ＜ ε となる。 よって y - x ∈ V なら φ^(x - y) ＜ ε よって β ⊂ α である。 α と β は K で一致するから 474 より α = β である。 証明終 477 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 22 52 00 475 の訂正 393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 420 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 478 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 00 40 06 命題 ハウスドルフ位相群 G の離散部分群 H は G の閉集合である。 証明 G の単位元 e の近傍 V, W を (V^(-1))V ⊂ W かつ W ∩ H = {e} となるようにとる。 x が H の閉包の元なら xV ∩ H は１個の元からなる。 何故なら、v , w を V の元として、xv ∈ xV ∩ H, xw ∈ xV ∩ H なら ((xv)^(-1))xw = (v^(-1))w ∈ W ∩ H = {e} だから xv = xw となる。 G はハウスドルフだから１個の元からなる集合は閉集合である。 従って xV ∩ H は xV で閉である。 x は xV において xV ∩ H の接触点だから {x} = xV ∩ H である。 即ち x ∈ H である。 よって H は閉である。 証明終 479 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 01 06 40 命題 実数体 R の加法群の離散部分群 H で単位群 {0} と異なるものは H = Za の形である。ここで a ＞ 0 である。 証明 478 より H は閉集合である。 仮定より H ≠ {0} だから H の元 h で 0 と異なるものがある。 -h ∈ H だから h ＞ 0 と仮定してよい。 閉区間 [0, h] はコンパクトであり、H は閉集合だから [0, h] ∩ H もコンパクトである。 [0, h] ∩ H は離散でもあるから [0, h] ∩ H は有限集合である。 h ∈ (0, h] ∩ H だから (0, h] ∩ H は空でない。 従って (0, h] ∩ H の最小元 a がある。 x ∈ H に対して ma ≦ x ＜ (m+1)a となる m ∈ Z がある。 0 ≦ x - ma ＜ a で x - ma ∈ H だから x = ma である。 証明終 480 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 01 23 27 命題 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x ＞ 0 } と書く。 R^* = R - {0} は乗法に関して位相群である。 (R^*)+ は R^* の部分群だからやはり位相群である。 指数関数 exp R → (R^*)+ は位相群の同型である。 証明 x と y を R の任意の２元としたとき exp(x + y) = exp(x)exp(y) である。 従って exp R → (R^*)+ は連続準同型である。 log (R^*)+ → R も連続準同型である。 exp と log は互いに逆写像であるから exp は位相群の同型である。 証明終 481 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 01 29 02 命題 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x ＞ 0 } と書く。 480 で見たように (R^*)+ は乗法に関して位相群である。 (R^*)+ の離散部分群 H で単位群 {1} と異なるものは ある a ＞ 0 で生成される無限巡回群である。 即ち、H = {a^n ; n ∈ Z} である。 証明 479 と 480 より明らかである。 482 ：１３２人目の素数さん：2007/08/15(水) 01 36 32 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおやすみ──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 483 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 01 55 06 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を自明でない K の非アルキメデス的( 448)絶対値( 414)とする。 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x ＞ 0 } と書く。 φ(K^*) が (R^*)+ の離散部分群であるとき φ を離散的と言う。 このとき 481 より φ(K^*) は無限巡回群である。 484 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 01 58 34 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 s ＞ 0 を任意の正の実数とすると 452 より φ^s も絶対値である。 φ(K^*) = {a^n ; n ∈ Z} とする。 x ∈ K^* として φ(x) = a^n とする。 φ^s(x) = (a^n)^s = a^(ns) = (a^s)^n よって φ^s(K^*) = {(a^s)^n ; n ∈ Z} となる。 即ち φ^s も離散的である。 従って φ が離散的か否かは φ の属する同値類で決まる。 485 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 08 43 29 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値( 414)とする。 K の２元 x , y に対して、φ(x) ≠ φ(y) なら φ(x + y) = sup(φ(x), φ(y)) である。 証明 φ(y) ＜ φ(x) としてよい。 φ(x + y) ≦ φ(x) である。 φ(x + y) ＜ φ(x) と仮定すると、 φ(x) = φ(x + y - y) ≦ sup(φ(x + y), φ(y)) ＜ φ(x) 即ち φ(x) ＜ φ(x) となって矛盾である。 従って φ(x + y) = φ(x) でなければならない。 証明終 486 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 08 54 46 命題( 485 の拡張) K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 K の元の列 x_1, . . . x_n φ(x_1 + . . . + x_n) ≦ sup(φ(x_i)), i = 1. . . . n である。 さらに、もし唯一の k があって x_k = sup(φ(x_i)) なら φ(x_1 + . . . + x_n) = sup(φ(x_i)), i = 1. . . . n である。 証明 φ(x_1 + . . . + x_n) ≦ sup(φ(x_i)) は n に関する帰納法から 出る。 唯一の k があって x_k = sup(φ(x_i)) とする。 k = 1 と仮定してよい。 y = x_2 + ,. . . + x_n z = x_1 + . . . + x_n とおく。 φ(y) ＜ φ(x_1) φ(z) ≦ φ(x_1) である。 φ(z) ＜ φ(x_1) と仮定すると φ(x_1) = φ(z - y) ≦ sup(φ(z), φ(y)) ＜ φ(x_1) となって矛盾。 よって φ(z) = φ(x_1) である。 証明終 487 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 09 49 36 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 1) φ(x) ≦ 1 となる K の元 x 全体 A は K の部分環である。 2) 任意の実数 0 ＜ a ≦ 1 に対して I_a = { x ∈ K ; φ(x) ＜ a } J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a } とおく。 I_a と J_a は A の両側イデアルである。 3) A の任意の左または右イデアル J ≠ 0 は、ある J_a を含む。 4) m(A) = { x ∈ K ; φ(x) ＜ 1 } は A と異なる 最大のイデアルである。 5) U(A) = A - m(A) は A の可逆元全体である。 6) A/m(A) は可換とは限らない体である。 7) 任意の x ∈ K - A に対して 1/x ∈ m(A) である。 488 ：１３２人目の素数さん：2007/08/15(水) 09 52 32 Kummer さん、当座の目標を教えて下さい。 489 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 09 56 09 487 の証明 1), 2) は自明である。 3) の証明。 x ≠ 0 を左イデアル J の元とする。 φ(y) ≦ φ(x) なら φ(y(1/x)) ≦ 1 即ち y(1/x) ∈ A よって y ∈ Ax よって J_φ(x) ⊂ Ax ⊂ J である。 J が右イデアルの場合も同様である。 5) の証明。 x ∈ U(A) なら φ(x) = 1 よって φ(1/x) = 1/φ(x) = 1 よって 1/x ∈ U(A) 逆に y を A の可逆元とすると、φ(y)φ(1/y) = 1 φ(y) ≦ 1, φ(1/y) ≦ 1 だから φ(y) = 1 である。 よって y ∈ U(A) である。 4), 6) は 5) から直ちに出る。 7) は自明である。 490 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 10 20 05 488 初めの計画では Dirichlet の類数公式の証明です。 そのために級数論の基礎を述べたんですが、ついでに数論で使われる 位相の基礎もやろうということに考えを変えました。 類数公式にはいずれ戻るので、位相の基礎にあまり興味がなかったら それまで待ってください。 このシリーズは予備知識を少なくしようとしているため 必要な基礎知識をなるべくここで述べるようにしています。 そのため、数論本体の流れが途切れる場合もありますが それはご容赦願います。 なお、基礎部分は後で必要になった時点で参照するということで いいと思います。 491 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 10 43 31 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 φ(K^*) は無限巡回群である。 u ∈ K^* で φ(u) が φ(K^*) の生成元になっているとき u を φ の一意化元(uniformizer) または素元と言う。 492 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 11 06 17 491 は間違いなので削除する。 493 ：１３２人目の素数さん：2007/08/15(水) 11 19 09 492 できるものならやってみろ 494 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 11 29 52 p を有理素数とする。 463 の φ_p を取り上げる。 0 ＜ c ＜ 1 となる任意の実数 c を固定する。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r である。 a = 1/c とおくと a ＞ 1 で φ_p(x) = a^(-r) である。 log を a を底とする対数とすると、 log φ_p(x) = -r 即ち r = -log φ_p(x) よって ν(x) = -log φ_p(x) とおくと、 ν は有理数体の離散付値(過去スレ３の546)である。 495 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 11 47 30 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 494 に示唆を受けて ν(x) = -log φ(x) とする。 ここで log は任意固定の実数 ＞ 1 を底とする対数である。 ν(x) は体 K から R ∪ {∞} への写像 ν で以下の条件を満たす。 1) ν(x) = ∞ となるのは x = 0 のときだけである。 2) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) ν(x + y) ≧ inf(ν(x), ν(y)) 496 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 12 17 19 定義 K を可換とは限らない体とする。 体 K から R ∪ {∞} への写像 ν で以下の条件を満たすものを K の実付置または誤解の恐れがなければ単に付値と言う。 1) ν(x) = ∞ となるのは x = 0 のときだけである。 2) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) ν(x + y) ≧ inf(ν(x), ν(y)) 497 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 12 45 30 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の実付値( 496)とする。 ν(K^*) は R の部分群である。 これを ν の値群と言う。 ν(K^*) が 0 でない離散群のとき ν を離散付値と言う。 ν(K^*) = {0} のとき ν を自明な実付値と言う。 α ＞ 0 を任意の正の実数としたとき μ(x) = αν(x) とおけば μ も実付値である。 二つの実付値 ν, μ がこのような関係にあるとき ν, μ は 同値であると言い、ν ～ μ と書く。 498 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 12 46 10 命題 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の実付値( 496)とする。 1) ν(x) ≧ 0 となる K の元 x 全体 A は K の部分環である。 2) 任意の実数 a ≧ 0 に対して I_a = { x ∈ K ; ν(x) ＞ a } J_a = { x ∈ K ; ν(x) ≧ a } とおく。 I_a と J_a は A の両側イデアルである。 3) A の任意の左または右イデアル J ≠ 0 は、ある J_a を含む。 4) m(A) = { x ∈ K ; ν(x) ＞ 0 } は A と異なる 最大のイデアルである。 5) U(A) = A - m(A) は A の可逆元全体である。 6) A/m(A) は可換とは限らない体である。 7) 任意の x ∈ K - A に対して 1/x ∈ m(A) である。 証明は 487 と本質的に同じである。 499 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 13 10 56 498 の A, m(A), A/m(A) をそれぞれ ν の付値環、極大イデアル、 剰余体と言う。 U(A) を ν の単数群と言う。 500 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 13 50 02 命題 K を可換とは限らない体とする。 ν と μ を K の実付値( 496)とする。 ν と μ が同値( 497)であるためにはそれぞれの付値環が 一致することが必要十分である。 証明 必要性は明らかである。 ν と μ のそれぞれの付値環が一致するとする。 それを A とする。 A の極大イデアル m(A) は 498 より { x ∈ K ; ν(x) ＞ 0 } = { x ∈ K ; μ(x) ＞ 0 } である。 ν が自明なら A = K であり m(A) = 0 である。 従って、U(A) = K - {0} である。 即ち x ∈ K - {0} のとき μ(x) = 0 である。 よって μ も自明である。 よって ν = μ である。 ν は自明でないとする。 φ(x) = exp(-ν(x)) と書くと、φ は K の絶対値である。 φ は自明でない。 同様に ψ(x) = exp(-μ(x)) も K の絶対値である。 A の極大イデアル m(A) は { x ∈ K ; φ(x) ＜ 1 } = { x ∈ K ; ψ(x) ＜ 1 } だから 430 よりある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。 従って、ν(x) = -log φ(x) = -αlog ψ(x) = αμ(x) 証明終 501 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 14 14 39 定義 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の離散付値( 497)とする。 479 より ν(K^*) は無限巡回群である。 ν(K^*) = Z のとき ν は正規付値と言う。 明らかに任意の離散付値は正規付値と同値である。 ν が離散付値のとき ν(K^*) には最小の正数 a がある。 従って、ν(π) = a となる π ∈ K がある。 このような π を ν の一意化元または素元と言う。 502 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/15(水) 15 17 44 命題 K を可換とは限らない体とし、ν を K の離散付値( 497)とする。 π を ν の素元( 501)とし、A を ν の付値環( 499) とする。 A の 0 でないイデアルは両側イデアルで A(π^n), n ≧ 0 の形である。 証明 ν は正規付値( 501)と仮定してよい。 K^* の任意の元 x に対して ν(x) = n となる n ∈ Z が 定まる。ν(x(1/π^n)) = 0 だから z = x(1/π^n) は A の可逆元である。 x = z(π^n) である。 同様に x = (π^n)y となる A の可逆元 y がある。 I ≠ 0 を A の(例えば)左イデアルとする。 x ≠ 0 が I の元なら ν(x) ≧ 0 である。 x ≠ 0 を I の元全体に動かしたときの ν(x) の最小値を n とする。 b を I の元で ν(b) = n とする。 b = u(π^n) と書ける。ここで u ∈ U(A) である。 x ≠ 0 を I の元とし、ν(x) = m とする。 x = v(π^m), v ∈ U(A) と書ける。 x = v(π^(m-n))(π^n) = v(π^(m-n))(1/u)u(π^n) ∈ Ab 従って I = Ab である。 y を A の任意の元とする。 y = w(π^k), w ∈ U(A) と書ける。 上で見たように、(π^n)w = w (π^n) となる w ∈ U(A) がある。 by = u(π^n)w(π^k) = uw (π^n)(π^k) = uw (π^k)(π^n) = uw (π^k)(1/u)u(π^n) ∈ Ab よって I = Aa は両側イデアルである。 証明終 503 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/16(木) 08 23 40 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer おはよう──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 504 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 08 45 58 命題 G を無限巡回群とし、g をその生成元とする。 G の生成元となり得る元は g と g^(-1) だけである。 証明 h を G の生成元とする。 g = h^n h = g^m となる有理整数 n, m がある。 g = h^n = (g^m)^n = g^(nm) よって nm = 1 よって m = ±1 即ち h = g^(±1) 証明終 505 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 08 50 29 491 を以下のように訂正する。 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 φ(K^*) は無限巡回群である。 504 より φ(K^*) の生成元 a で a ＜ 1 となるものが 唯一つ存在する。 u ∈ K^* で φ(u) = a となっているとき u を φ の一意化元(uniformizer) または素元と言う。 506 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 09 09 15 K を可換とは限らない体とする。 a ＞ 1 を任意の実数とする。 K の非アルキメデス( 448)絶対値 φ と K の実付値( 496) ν は ν(x) = -log φ(x), log の底は a φ(x) = a^(-ν(x)) により１対１に対応する。 s ＞ 0 のとき sν(x) = -log φ^s(x) だから同値な非アルキメデス絶対値には同値な実付値が対応する。 従って、非アルキメデス絶対値と実付値は本質的には同じものの 別表現と考えることが出来る。 507 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 14 46 51 H をハミルトンの４元数体とする。 即ち、H は実数体上の多元環で 1, i, j, k を基底に持つ。 これ等の元は以下の関係を持つ。 1^2 = 1, 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k= k1= k i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j 実数体 R は R1 と同一視され、 複素数体 C は R1 + Ri と同一視される。 q = a + bi + cj + dk のとき z = a + bi w = c + di とおくと、 q = z + wj である。 wj = jw~ である。ここで w~ は w の共役を表す。 q = a + bi + cj + dk のとき q~ = a - bi - cj - dk と書き、 q の共役と言う。 N(q) = qq~ を q のノルムと言う。 q~ = z~ - wj だから N(q) = (z + wj)(z~ - wj) = |z|^2 - zwj + wjz~ - wjwj = |z|^2 - zwj + wzj - ww~jj = |z|^2 +|w|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 508 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 15 24 34 507 の続き。 q~q = (z~ - wj)(z + wj) = |z|^2 - z~wj - wz~j - ww~jj = |z|^2 +|w|^2 = N(q) よって q と q~ は可換である。 従って、q ≠ 0 のとき q = q~/N(q) とおくと qq = q q = 1 即ち q は q の逆元である。 よって H は体である。 ij ≠ ji だから H は非可換体である。 |q| = √(N(q)) と書き、q の絶対値と言う。 509 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 15 33 44 命題 H をハミルトンの４元数体とする。 x, y を H の２元としたとき (xy)~ = y~x~ 証明 507 より z, w, u, v を適当な複素数として x = z + wj y = u + vj と書ける。 xy = (z + wj)(u + vj) = zu + zvj + wu~j - wv~ = zu - wv~ + (zv + wu~)j よって (xy)~ = z~u~ - w~v - (zv + wu~)j 一方 x~ = z~ - wj y~ = u~ - vj だから y~x~ = (u~ - vj)(z~ - wj) = u~z~ - u~wj - vzj - vw~ = (xy)~ 証明終 510 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 15 37 18 命題 H をハミルトンの４元数体とする。 H の元 x の絶対値( 508)は H の 414 の意味の絶対値である。 証明 x, y を H の２元としたとき |xy| = |x||y| となることのみ証明すればよい。 これは N(xy) = N(x)N(y) と同値である。 509 より (xy)~ = y~x~ だから N(xy) = (xy)(xy)~ = (xy)(y~x~) = xN(y)x~ = xx~N(y) = N(x)N(y) 証明終 511 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 16 07 15 p を有理素数とする。 0 ＜ c ＜ 1 となる任意の実数を取る。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r とし、φ_p(0) = 0 とする。 463 より φ_p は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 c として 1/p を取る場合が多い。 この場合、以下のようにHasse の積公式が成り立つ。 x ≠ 0 を有理数とし、x = ±Πp^r を素因数分解とする。 |x| = Π(1/φ_p(x)) よって |x|Πφ_p(x) = 1 ここで右辺の積は全ての素数に渡る。 有限個を除いた全ての素数 p に対して φ_p(n) = 1 だから この積は意味がある。 512 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/16(木) 16 12 26 定義 p を有理素数とする。 463 の c として 1/p を選んだときの φ_p を p-進絶対値という。 513 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 12 09 a 514 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 12 40 b 515 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 13 11 c 516 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 13 42 d 517 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 14 14 e 518 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 14 45 f 519 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 15 16 g 520 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 16 05 h 521 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/17(金) 07 16 17 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer おはよう──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 522 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 16 36 i 523 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 17 07 j 524 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 17 38 k 525 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 18 09 l 526 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 18 40 m 527 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 19 11 n 528 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 20 09 o 529 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 20 41 p 530 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 21 11 q 531 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 21 42 r 532 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 22 13 s 533 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 22 44 t 534 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 23 15 u 535 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 24 09 v 536 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 24 40 w 537 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 25 11 x 538 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 25 42 y 539 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 26 13 z 540 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 07 43 01 539 気が済んだかね？ タグ： コメント
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20mmアクスル 自転車のフォークとフロントハブの固定方法の規格のひとつ。 ハブを直径20mmの軸が貫通する。 エンド幅は110mm。 アクスルの固定方法は、フォークによって異なり、形状も異なるため、それぞれのフォークに付属する。 ボルト止め QR20（マルゾッキ 2000年） チュリオ（ロックショックス 2001年～2003年） マクスル（ロックショックス 2004年～） 関連項目 自転車用語 +... あ行▼ アーガイル アーネット アーレンキー Aaron Gwin Aaron Chase アイウェア ISIS iドライブ Iビーム アウターチューブ 東商会 Adam Craig Adam Hauck 安達靖 アトムラブ Anita Molcik Anneke Beerten アヘッドステム アメリカンバルブ アメリカンBB アルチュラ アルミニップル アレックス アンカー アンサー アンターンダウン Andrew Neethling Andreu Lacondeguy Andrew Shandro アイアンホース アイステクノロジー アイスペック アイドゥン アキコーポレーション アクソ アケボノ アゾニック アップスウィープ アディダス アブバカ アリソン・サイダー アリビオ アルパインスター アルピナ アルマイト アルミニウム アルミニウム合金 アンソン・ウェリントン アン・キャロリーヌ・ショソン E13 イーストン イーヴィル イエティ ITA規格ノーマルサイズ 井手川直樹 Irina Kalentieva インスタントリリース インターテック インチ インディアンエアー インテグラルヘッド インデックスシフト インナーチューブ インフレーター インターナショナルスタンダード インターマックス インダストリーナイン インテンス インテンスタイヤシステム インパルス インフィニ インヴァート ウィーザピープル ウィッパーマン ウィリー ウィンドストッパー ウェーブローター ウェス ウェルゴ Wade Bootes ウェイン・ゴス ウォールライド ウッズバルブ ウルトラツアー ウェイド・シモンズ エアサスペンション エアスプリング エアターン エアロスポーク エクスターナルBB SRサンツアー SDG SPD-R Emmeline Ragot エラストマー 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ナイキ ナックナック ナッシング ニールス・ウィンドフェルト Nick Beer ニップル ニップル回し 日本マウンテンバイク協会 ニクソン ニコライ ニコラ・ヴィヨス ニナ・ゲール ヌークプルーフ Nathan Rennie ねじ 熱処理 ノースウェーブ ノースショア ノーハンド ノーフット ノーフットキャンキャン ノキアン ノルコ は行▼ パークツール バースト バースピン ハードテイル ハーフキャブ バームスライダー パールイズミ パイク 廃道 ハイドロフォーミング パイロット 発光ダイオード パナソニック パナレーサー バニーホップ180 バニーホップテイルウィップ バニーホップ360 ハブブレーキ パラレルプッシュリンク パレ那須 バレルロール パンク ハンドルバー バーテープ バッシュガード バテッドスポーク バネ下重量 ヴァネッサ・クイン ハイパードライブ ハドレー ハブ ハブスパナ ハブダイナモ ハロー ハンドプラント バックサイド バックスウィープ バックフリップ バテッド バニーホップ バニーホップロックウォーク バンズ ピーク ヒールクリッカー ピボタル ビーチクルーザー ビード BB下がり BBハイト ビンディングペダル ヒルクライム ビアンキ ファティー Fabien Barel ファットバイク Fionn Griffiths フィジーク Vブレーキ Filip Polc プーリー プーリーケージ フォーク 4X（マルゾッキ） フォークロスバイク フォーミュラ フォーアーム フォークロス 4Xプロツアー ふじてんリゾート 普通自転車 フックドエッジ フットプラント Brian Lopes ブラスニップル フラットバー フラットペダル ブラックスパイア プラペダル フリーコースターハブ フリーハブ フリーホイール フリーライドバイク フルボトム フレア ブレーキローター フレーム プレスフィットBB86 プレスフィットBB92 プレスフィット30 振れ取り 振れ取り台 Brendan Fairclough フレンチバルブ プロ フロート プロテック プロファイルレーシング Floriane Pugin Florian Vogel プロロゴ フロントキャリア フロントセンター フロントディレイラー フロントバッグ Bryn Atkinson ブレーキ ブレーキシュー ブレーキ台座 ブレーキパッド ブレーキホース ブレーキレバー ブレード ファイブテン ファン ファンファンシー フェイキー フェイキーマニュアル フェルト フォックスレーシングショックス フォーバーリンケージ フファニュ フリーライド フルサスペンション フルダイナミクス フレドリック・ケシアコフ フロントスプロケット フロントハブ フロントフリップ ブラック ブリコ ブルックリンマシンワークス ブレーキフルード ブロックタイヤ ペース 北京オリンピック ペグスパナ ペダル ペダルレンチ ヘッドショック ヘッドライト ヘッドアングル ヘッドチューブ ヘッドパーツ Benny Phillips ヘルメット Helen Gaskell ヘイズ ベル ベンダー ベンド ベン・ボイコ ホイール ホーザン ホープ Paul Basagoitia ホーン ポゴ ポゴ180 Jose Antonio Hermida 歩道 ポリプロピレン ボトルケージ ボトルケージ台座 ボビング ホシ ホッピング ホローグライド ホローテック ホローテックⅡ ボクサー ボクサーマウント ボトムブラケット ボトムブラケットシェル ボムシェル ボントレガー ま行▼ Marc Beaumont マーズ Martin Soderstrom マーベリック マーリン Mike Hopkins マウンテンバイク マクスル マグラ台座 マスターシリンダー Matti Lehikoinen マニュアル Manuel Fumic マヴィック Mary McConneloug マルチリリース マウンテンバイクチーム一覧 マウンテンバイク競技 マウンテンバイク選手一覧 マキシス マキシスMSC（2006） マグラ マッドタイヤ マニトウ マムアンドポップス マリン マリー・ヘレナ・プレモン マルクス・クラウスマン マルコウフ・ベルシトウド マルゾッキ マングース Mickael Deldycke Mickael Pascal Michal Marosi ミショー型 ミッドBB ミノウラ ミシュラン ミズタニ自転車 ムーツ メカニカルディスクブレーキ Melissa Buhl メット メリダ モノリンク モンスタークロス モアウッド モトクロスインターナショナル モラティ モンスターエナジー・スペシャライズド（2012） モンドレイカー モンベル や行▼ 焼きなまし 柳原康弘 Jana Horakova Yannick Granieri 山口孝徳 山本幸平 油圧式ブレーキ 油圧リムブレーキ UCIマウンテンバイクワールドカップ ユートピア Uブレーキ Julien Muller Jurg Meijer ユッチンソン ユリス 溶体化処理 Joost Wichman らわ行▼ ライザーバー Ryder Kasprick ライトスピード ラジアル組み ラス Rafael Alvarez De Lara Lucas ランドナーバー ライアン・リーチ ライズ ライトウェイ ライバル ラピッドファイヤープラス ランス・マクダーモット ランドナー リアエンド リアキャリア リアサスペンション リア三角 リアセンター リアディレイラー リアホイール Liam Killeen リーコン リーチ リーバ リクセンカウル リジッドバイク リバースアーチ リム リムテープ リムブレーキ リンク式サスペンションフォーク 輪行 輪行袋 リンスキー リアハブ リカンベント リジッドフォーク リッチ・ハウズマン リッチー リッチー・シュレイ リパック リベレーション リムセメント リリック ルークス ルディープロジェクト ルイガノ ルック ルックダウン ルックバック ルック車 Rachel Atherton レーザー レースフェイス レザイン レッドブルランページ レッドブルランページ/2013 レバー比 レフティー レフトドライブ レボシフト レンサル レアナ・ジェラード レイク レイノルズ レギュラースタンス レッド レッドブル レモン Roel Paulissen ローテック ロードバイク ローノーマル ローラーブレーキ Laurence Leboucher ロールアウト ロールバック ローロフ ロケット Roger Rinderknecht 路側帯 ロックウォーク ロックオン ロトワイルド ロイヤルレーシング ロッキーマウンテン ロッキーマウンテン・ビジネスオブジェクツ（2006） ロックアウト ロックショックス ロックタイト ロビー・ボードン ワールドカップ ワイドリンクデザイン ワイヤーカッター ワイヤードオン 180 ワンポイントファイブ ワンハンド 数字▼ 105 10速 15mmアクスル 180 1996年世界選手権大会 2005年ワールドカップ ダウンヒル 女子 2005年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2005年ワールドカップ フォークロス 男子 2005年世界選手権大会 2006年NMBS クロスカントリー 2006年NMBS ダウンヒル 2006年アディダススロープスタイル 2006年クランクワークス 2006年ザ・ギャザリング 2006年ブラウン26トリックス 2006年リスボンダウンタウン 2006年レッドブルディストリクトライド 2006年ワールドカップ クロスカントリー 女子 2006年ワールドカップ クロスカントリー 男子 2006年ワールドカップ ダウンヒル 女子 2006年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2006年ワールドカップ フォークロス 女子 2007年世界選手権大会 2008年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2009年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2011年レッドブルホーリーライド 2012年ワールドカップ ダウンヒル 男子 20mmアクスル 20インチ 24インチ 26インチ 27.5インチ 29+ 29er 29インチ 360 3Al-2.5Vチタン 4Xプロツアー 4X（マルゾッキ） 6000番系アルミニウム合金 650A 650B 650C 661 6Al-4Vチタン 700C 720 888 9速 アルファベット▼ Aaron Chase Aaron Gwin Adam Craig Adam Hauck Andreu Lacondeguy Andrew Neethling Andrew Shandro Anita Molcik Anneke Beerten ATA ATi AXライトネス BB30 BB386EVO BB90 BB95 BBハイト BBライト BB下がり Ben Travis Benny Phillips BL-M950 BR-M739 BR-M750 Brendan Fairclough Bryn Atkinson Cameron McCaul Cameron Zink Celine Gros CFRP Chris Akrigg Chris Kovarik Christoph Sauser Claire Buchar CS-M770 CS-M771-10 Dan Atherton Danny Hart DCシューズ dkg DMR DNF DNS Dominik Raab DOT DT E13 EBC Emmeline Ragot Eric Carter ET ETA ETRTO Fabien Barel FC-M601-2 Ferdi Fasel FH-M950 Filip Polc Fionn Griffiths Florian Vogel Floriane Pugin FSA Gee Atherton Geoff Kabush Goran Jurica Greg Minnaar GT GTファクトリーレーシング（2012） Guido Tschugg Helen Gaskell HG HGチェーン HS33 IG IRC Irina Kalentieva ISCG ISIS ITA規格ノーマルサイズ Iビーム James Patterson Jana Horakova Jared Graves JD Swanguen Jeremy Horgan-Kobelski Jill Kintner JIS規格BB JIS規格ノーマルサイズ Johannes Fischbach Joost Wichman Jose Antonio Hermida Julien Absalon Julien Muller Jurg Meijer Justin Havukainen Jシリーズ K2 Kamil Tatarkovic Kathy Pruitt Kelly McGarry KHS Kyle Strait Laurence Leboucher LED Liam Killeen Manuel Fumic Marc Beaumont Martin Soderstrom Mary McConneloug Matti Lehikoinen MBUKサンタクルズ（2006） Melissa Buhl Michal Marosi Mickael Deldycke Mickael Pascal Mike Hopkins MRP MSC MSイーヴィルレーシング（2011） Nathan Rennie Nick Beer OCLV ODI OGK OLD PCD Qファクター R7 Rachel Atherton Rafael Alvarez De Lara Lucas RBデザイン RD-M772SGS Roel Paulissen Roger Rinderknecht Romain Saladini Ryder Kasprick Sabrina Jonnier Sam Blenkinsop Sam Hill Sam Pilgrim SDG Sean Watson SID SIS SL-M800 SLR SLX SLX/M660系 SLX/M670系 SPD SPD-SL SPV SRサンツアー ST-M775 Steve Peat STI TAK21 the Todd Wells Tomas Slavik TPC Tracey Hannah Tracy Moseley Troy Brosnan TSG TST5 Tyler McCaul UCI UCIマウンテンバイクワールドカップ UCIマウンテンバイクワールドカップ/2013年/ダウンヒル男子 URT UST Uターン Uブレーキ VPP Vブレーキ Wade Bootes WTB X.O XC（マルゾッキ） XTR XTR/M950系 XTR/M960系 XTR/M970系 XTR/M980系 Xアップ Xバート Xフュージョン Yannick Granieri YTインダストリーズ Z1 Z2 ZR9000 セイント セイント/M810系 デオーレXT マクスル タグ ハブ フォーク 数字 自転車用語
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 20時59分07秒 代数的整数論 006 (271-330) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/271-330 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/271-330 271 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 10 36 46 命題 X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を写像 Y → Z とする。 h が連続写像 f X → Z に拡張できるためには h が次の条件 (E ) を満たすことが必要十分である。 (E ) X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体のなす フィルタ－基底を Φ としたとき h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。 このとき f は一意に決まる。 証明 212 より Z は正則である。 従って、本命題は 266 より明らかである。 272 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11 05 53 定理(一様連続写像の延長) X を一様空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を一様連続写像 Y → Z とする。 このとき h は一様連続写像 f X → Z に一意に拡張できる。 証明 X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体 Φ は Y における Cauchy フィルターの基底である。 240 より h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。 従って 271 より h は連続写像 f X → Z に一意に拡張できる。 f が一様連続であることを示せばよい。 V を Z の任意の閉近縁とする。 T を X の近縁で (f×f)(A×A ∩ T) ⊂ V とする。 269 より T は A の近縁 W の X×X における閉包としてよい。 270 より (f×f)(T) ⊂ cls((f×f)(W)) W ⊂ A×A ∩ T だから (f×f)(W) ⊂ V 従って cls((f×f)(W)) ⊂ V 従って (f×f)(T) ⊂ V である。 205 より Z の閉近縁全体は基本近縁系である。 従って f は一様連続である。 証明終 273 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11 07 39 272 の証明における A は Y の間違いである。 274 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11 55 24 X を一様空間とする。 257 を参考にして X の極小 Cauchy フィルター全体 Ω に 一様構造を入れることを試みる。 X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235)集合を 共有する極小 Cauchy フィルターの対 (α, β) ∈ Ω×Ω の全体を V~ とする。 V~ の全体を Φ_0 とする。 Ω×Ω の対角線集合を Δ とする。 196 より以下を示せば Φ_0 は Ω の一様構造の基本近縁系である。 1) V~ ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V~ 2) V~, V ~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ V~ ∩ V ~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。 3) V~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ (V~)^(-1) となる W~ ∈ Φ_0 がある。 4) V~ ∈ Φ_0 のとき (W~)^2 ⊂ V~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。 (続く) 275 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11 56 14 1) の証明。 Ω の任意の元 α は Cauchy フィルターだから X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235)集合を持つ。 従って (α, α) ∈ V~ である。 即ち Δ ⊂ V 2) の証明。 V と V を X の任意の近縁とする。 W ⊂ V ∩ V となる対称近縁 W がある。 明らかに W~ ⊂ V~ ∩ V ~ である。 3) の証明。 (α, β) ∈ V~ なら (β, α) ∈ V~ 従って V~ = (V~)^(-1) 4) の証明。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (α, β) ∈ (W~)^2 とする。 (α, γ) ∈ W~ (γ, β) ∈ W~ となる γ がある。 α, γ の共通元 M で W 程度に小さいものがある。 γ, β の共通元 N で W 程度に小さいものがある。 M と N は γ に属すから M ∩ N は空ではない。 従って M ∪ N は W^2 程度に小さい。 従って V 程度に小さい. M ∪ N は α と β に属すから (α, β) ∈ V~ 従って (W~)^2 ⊂ V~ 276 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12 28 21 247 の Ω は分離的であることを証明する。 X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ とする。 このとき α = β が言えれば 214 より Ω は分離的である。 γ_0 = {M ∪ N ; M ∈ α, N ∈ β} とおく。 M, M ∈ α, N, N ∈ β のとき (M ∩ M ) ∪ (N ∩ N ) ⊂ (M ∪ N) ∩ (M ∪ N ) である。 従って γ_0 は X のフィルターの基底である。 X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ だから α と β は V 程度に小さい集合 M を共有する。 M ∈ γ_0 だから γ_0 は Cauchy フィルターの基底である。 γ_0 が生成する Cauchy フィルターを γとすると γ ⊂ α γ ⊂ β α と β は極小 Cauchy フィルターだから γ = α γ = β 即ち α = β 証明終 277 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12 39 15 訂正 276 247 の Ω は分離的であることを証明する。 274 の Ω は分離的であることを証明する。 278 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12 53 01 X を一様空間とする。 246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。 φ(x) = φ_x により 274 の Ω に対して写像 φ X → Ω を 定義する。 Ω の一様構造の φ による逆像( 224)が X の一様構造であることを 証明する。 g = φ×φ とおく。 X の任意の対称近縁 V に対して g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3) が言えればよい。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V (x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。 従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3) 279 ：king氏ね：2007/08/06(月) 13 25 20 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 280 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 13 41 41 X を一様空間とする。 274 の Ω と 278 の写像 φ X → Ω を調べる。 まず X の任意の対称近縁 V に対して α ∈ Ω とその近傍 V~(α) をとり V~(α) ∩ φ(X) を調べる。 φ(x) ∈ V~(α) とは x の近傍で V 程度に小さいものが α に属す ということである。 α は極小 Cauchy フィルターだから V 程度に小さい集合 N の 内部を含む( 245)。 従って V~(α) ∩ φ(X) は空でない。 即ち φ(X) は Ω で密である。 α に属す集合で V 程度に小さいものの内部すべての合併を M とする。 V~(α) ∩ φ(X) = φ(M) である。 M ∈ α だから V~(α) ∩ φ(X) ∈ φ(α) V は X の任意の対称近縁だったから φ(α) は α に収束する。 281 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 14 15 17 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 282 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 14 39 46 280 の続き。 ξ を φ(X) における Cauchy フィルターとする。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像だから φ^(-1)(ξ) は X における Cauchy フィルター η の基底である。 α を α ⊂ η となる極小 Cauchy フィルター とする。 φ(α) ⊂ φ(η) である。 280 より φ(α) は収束するから φ(η) も収束する。 φ(φ^(-1)(ξ)) = ξ だから φ^(-1)(ξ) ⊂ η より ξ ⊂ φ(η) 従って ξ は φ(η) の極限点を接触点にもつ。 ξ は Cauchy フィルターだから 248 より ξ は収束する。 280 より φ(X) は Ω で密である。 従って、 263 より Ω は完備である。 283 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 15 07 48 281 の続き。 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 284 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10 22 22 命題 X を一様空間とする。 Ω を 274 と 275 で定義した一様空間 φ X → Ω を 278 で定義した一様連続写像とする。 Ω と φ は次の性質 (P) を持つ。 (P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f X → Y に対し、一様連続写像 g Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。 証明 まず写像 g_0 φ(X) → Y を次のように定義する。 278 より x ∈ X のとき φ(x) は x の近傍全体のなす 極小 Cauchy フィルターである。 240 より f(φ(x)) は Cauchy フィルターの基底だから Y において極限点を持つ。 Y は分離だから 252 よりこの極限点は一意に決まる。 この極限点を g_0(φ(x)) と定義する。 一方、 f は連続で x は φ(x) に収束するから f(φ(x)) は f(x) に収束する。 よって f(x) = g_0(φ(x)) である。 (続く) 285 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10 23 10 U を Y の任意の近縁とする。 f X → Y は一様連続だから X の近縁 V で (x, y) ∈ V なら (f(x), f(y)) ∈ U となるもの がある。 V~ を 274 で定義した Ω の近縁とする。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ なら V 程度に小さい集合 M で x と y を 含むものがある。よって (x, y) ∈ V よって (f(x), f(y)) ∈ U 即ち (g_0(φ(x)), g_0(φ(y))) ∈ U よって g_0 は一様連続である。 280 より φ(X) は密である。 従って一様連続写像の延長定理( 272) より g_0 φ(X) → Y は 一様連続写像 g Ω → Y に一意に拡張できる x ∈ X のとき g(φ(x)) = g_0(φ(x)) = f(x) である。 従って f = gφ である。 このような g は等式延長の原理( 265))より一意に決まる。 証明終 286 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 10 41 49 283 の続き。 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 287 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10 49 52 定理(一様空間の完備化) X を一様空間とする。 分離かつ完備な一様空間 Ω と一様連続写像 φ X → Ω で 次の性質 (P) を持つものが存在する。 (P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f X → Y に対し、一様連続写像 g Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。 Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たせば、一様同型 ψ Ω → Ω_1 が存在して φ_1 = ψφ となる。 証明 Ω と φ の存在が存在して性質 (P) を持つことは既に証明されている。 Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たすとする。 一様連続写像 ψ Ω → Ω_1 で φ_1 = ψφ となるものが一意に 存在する。ψ が一様同型であることを示せばよい。 同様に、一様連続写像 ψ_1 Ω_1 → Ω で φ = ψ_1φ_1 となるもの が一意に存在する。 x ∈ X のとき ψ_1ψ(φ(x)) = ψ_1φ_1(x) = φ(x) だから h = ψ_1ψ とすると h Ω → Ω で hφ = φ である。 Ω の恒等写像 1 Ω → Ω も 1φ = φ を満たすから 性質 (P) より h = 1 である。 同様に ψψ_1 = 1 となる。 従って ψ は一様同型である。 証明終 288 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10 57 00 定義 287 の Ω を一様空間 X の分離完備化と言い、 φ X → Ω を X から分離完備化への標準写像と言う。 289 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 11 38 27 補題 X を一様空間とする。 x と y を X の点とする。 x の近傍全体と y の近傍全体が一致するためには X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となることが必要十分である。 証明 x の近傍全体と y の近傍全体が一致するとする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) は x の近傍だから 仮定より y の近傍でもある。よって y ∈ V(x) である。 これは (x, y) ∈ V を意味する。 逆に、X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となるとする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (W^2)(x) ⊂ V(x) である。 z ∈ W(y) なら (z, y) ∈ W である。 仮定より (x, y) ∈ W だから (z, x) ∈ W^2 である。 即ち W(y) ⊂ (W^2)(x) である。 従って W(y) ⊂ V(x) である。 これは V(x) が y の近傍であることを意味する。 対称的に V(y) は x の近傍である。 よって x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 証明終 290 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 12 03 25 命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ(X) の任意の近縁は X のある近縁の φ×φ による像になっている。 証明 φ(X) の任意の近縁は W = V ∩ φ(X)×φ(X) の形である。 ここで V は Ω の近縁である。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 従って、h = φ×φ とおけば、 h^(-1)(V) = h^(-1)(W) は X の近縁である。 φ X → φ(X) は全射だから h(h^(-1)(W)) = W 証明終 291 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 12 06 12 命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系に なっている。 証明 280 より φ(X) は Ω で密である。 269 より φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系である。 証明終 292 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 13 04 47 命題 X を分離一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ は X から φ(X) への一様同型である。 証明 φ(x) = φ(y) なら x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 従って 289 より X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となる。 214 より x = y である。 従って φ は X から φ(X) への全単射である。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 よって φ は X から φ(X) への一様同型である。 証明終 293 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 13 08 22 X が分離一様空間のとき、X の分離完備化( 288)を X の完備化と言う。 このとき X とその標準写像による像は 292 より一様同型であるから、 この両者を同一視するのが普通である。 294 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 14 26 49 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 一様空間 X の分離完備化を X^ とし、 φ X → X^ を X から分離完備化への標準写像とする。 Y を分離一様空間として f X → Y を一様連続写像とすると、 一様連続写像 h φ(X) → Y で f = hφ となるものが一意に存在する。 証明 Y^ を Y の完備化として ψ Y → Y^ を標準写像とする。 287 より一様連続写像 g X^ → Y^ で ψf = gφ となるものが ある。 ψf(X) = gφ(X) だから g は g_0 φ(X) → ψ(Y) を引き起こす。 292 より ψ は Y から ψ(Y) への一様同型である。 この逆写像を μ とすると μg_0 φ(X) → Y は一様連続写像である。 h = μg_0 とおくと hφ = μg_0φ 従って ψ(hφ) = ψ(μg_0φ) = gφ 一方、ψf = gφ だったから ψf = ψ(hφ) よって f = hφ h の一意性は明らかである。 証明 295 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 14 37 47 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 証明 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 証明 296 ：Kummer ◆nzEQlu8i3E ：2007/08/07(火) 19 25 07 X を一様空間とする。 246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。 φ(x) = φ_x により 274 の Ω に対して写像 φ X → Ω を 定義する。 Ω の一様構造の φ による逆像( 224)が X の一様構造であることを 証明する。 g = φ×φ とおく。 X の任意の対称近縁 V に対して g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3) が言えればよい。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V (x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。 従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3) 297 ：Kummer ◆AeTRuuI8SA ：2007/08/07(火) 19 26 06 命題( 139 の一般化) X を一様空間とする。 x を X の点とする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) の全体 Φ は X の 極小 Cauchy フィルターである。 証明 Φ がフィルターであることは明らかである。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 y ∈ W(W(x)) なら z ∈ W(x) があり (y, z) ∈ W 従って、y ∈ (W^2)(x) ⊂ V(x) 即ち W(W(x)) ⊂ V(x) よって 245 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 証明終 298 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 19 27 10 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 証明 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 証明 299 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 19 33 34 http //up.nm78.com/obj/29789 300 ：Kummer ◆pJ9/G9wrbQ ：2007/08/07(火) 22 25 44 ゲイの出会い系で知り合った10歳以上年上のオジサンの家へ。 そしたら「これ着て責めて欲しい」と言われて、レンコン掘りというか、 魚河岸の人が着てるような胸まであるゴム長を着させられ、捻りハチマキをさせられた。 向こうは全裸。 まあこんなのもたまにはいいか、と愛撫してたら、オジサンが喘ぎ声の中、喋りだした。 「お、おにいちゃん…お、おかえりなさい…た、大漁だった？ねえ大漁だった？？」 …オレは突然の、しかも想定の範囲を超えたセリフにポカーンとしてしまった。 オジサンは素に戻って、「…返事して欲しい」と恥ずかしそうにオレに言った。 プレー再開。 耳とかをなめつつ体中をさわさわと触る 「お、おにいちゃん、大漁だった？」 「ああ、大漁だったよ」 「あぁぁぁあぁすごいいいぃいぃ！、、な、なにが、、ハァハァなにが捕れたの？」 乳首を舌でやさしく舐めながらオレは答えた 「…鯛とか、、、ヒラメがいっぱい捕れたよ」 セリフを聞き、オジサンはびくんびくんと身体をひきつらせた 「はっ！はぁぁぁあんっ！イ、イサキは？イサキは、と、取れたの？？」 チンコをしごく 「ああ。でかいイサキが取れたよ。今年一番の大漁だ。」 「大漁っ！！イサキぃぃ！！おにいちゃんかっこいいいいぃぃぃい ぃくううううう！」 実話です。。きっと漁師の人との幼い頃の体験というか、淡い恋心とかが あったんだろうなあ、といろんなことを考えさせられた一夜でした。 301 ：Kummer ◆bIhAlQTTPM ：2007/08/08(水) 03 05 22 最近俺のエロ本がいつの間にか数冊無くなっている。 そういえば妹も中学生になったし、まぁいろいろあるのだろう。 まだまだ若い兄としてはイタズラ心も湧くと言うものだ。 そこで俺の部屋の床に無造作に置いたエロ本の中に 「オナニーは結構だがもうちょっと声を抑えろ。聞こえてるぞ。」 とメモを挟んでおいた。 そして風呂から出ると、そのエロ本は見事になくなっていた。 翌日の朝食時、なぜか親父がチラチラとこちらを見てきた。 何で顔が赤いんだ、クソ親父。つーかてめぇか。クソ。 302 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 08 56 37 定義 X を一様空間とする。 X がその任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合( 235)からなる 有限被覆をもつとき、X を全有界と言う。 303 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 24 23 補題 X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。 A を X の部分集合で Φ に含まれないとする。 このとき Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで Φ ⊂ Ψ である。 証明 Ψ が 75 の条件を満たせばよい。 1) A は Φ に含まれないから A ∪ M ∈ Φ なら M は空でない。 2) A ∪ M ∈ Φ で M ⊂ L なら A ∪ M ⊂ A ∪ L であるから A ∪ L ∈ Φ 3) A ∪ M ∈ Φ, A ∪ N ∈ Φ のとき (A ∪ M) ∩ (A ∪ N) = A ∪ (M ∩ N) ∈ Φ 証明終 304 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 25 42 訂正 303 X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。 X を集合とし、Φ をそのフィルターする。 305 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 27 57 定義 X を集合とし、Φ をそのフィルターする。 Φ ⊂ Ψ となる X のフィルターで Φ ≠ Ψ となるものが 存在しないとき Φ を X の極大フィルターという。 306 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 34 51 命題 X を集合とし、Φ をフィルターとする。 Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター( 305) Ψ が存在する。 証明 Zorn の補題を使えば明らかである。 307 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 35 38 命題 X を集合とし、Φ をその極大フィルター( 305)とする。 A と B を X の部分集合で A ∪ B ∈ Φ なら A ∈ Φ または B ∈ Φ となる。 証明 A も B も Φ に含まれないとする。 303 より Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで Φ ⊂ Ψ である。 B は Ψ に属し、 Φ に属さないから Φ ≠ Ψ である。 これは矛盾である。 証明終 308 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09 43 55 命題 X を全有界( 302)な一様空間とする。 X の極大フィルター( 305) は Cauchy フィルター( 236)である。 証明 Φ をX の極大フィルターとする。 X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合( 235)からなる X の有限被覆がある。 X = M_1 ∪ . . . ∪ M_n で各 M_i は V 程度に小さいとする。 X ∈ Φ だから 307 を繰り返し使って M_i ∈ Φ となる i がある。 従って Φ は Cauchy フィルターである。 証明終 309 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10 35 49 命題 位相空間が準コンパクトであるためには、その任意のフィルターが 接触点( 132)を持つことである。 証明 X を準コンパクトな位相空間とし、Φ をそのフィルターとする。 Φ が接触点を持たないとする。 ∩{cls(A) ; A ∈ Φ} は空集合であるから {X - cls(A) ; A ∈ Φ} は X の被覆である。 X は準コンパクトだから Φ の元 A_1 . . . , A_n があり、 X = ∪(X - cls(A_i)) よって ∩cls(A_i) は空である。 cls(A_i) は Φ の元だからこれは矛盾である。 逆に X の任意のフィルターが接触点を持つとする。 (U_λ), λ ∈ L を X の開被覆とする。 A_λ = X - U_λ とする。 ∩A_λ は空である。 任意の有限部分集合 J ⊂ L に対して ∩(A_λ, λ ∈ J) が空でない とする。 Φ_0 = {∩(A_λ, λ ∈ J) ; J は L の有限部分集合} は フィルター基底である。 仮定より Φ_0 は接触点を持つ。 従って ∩A_λ は空でない。 これは矛盾である。 従って (U_λ), λ ∈ L は有限部分被覆を持つ。 証明終 310 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10 36 46 命題 全有界( 302)かつ完備な一様空間は準コンパクトである。 証明 X を全有界かつ完備な一様空間とする。 Φ を X の任意のフィルターとする。 306 より Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター( 305) Ψ が存在する。 308 より Ψ は Cauchy フィルターである。 X は完備だから Ψ は収束する。 従って Φ は接触点をもつ。 309 より X は準コンパクトである。 証明終 311 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10 40 08 310 の証明は極大フィルターの存在を使っているので Zorn の補題を 使っていることになる。 312 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10 42 50 命題 X を全有界( 302)な一様空間とする。 X の分離完備化( 288) Ω はコンパクトである。 証明 φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 U を Ω の任意の閉近縁とする。 V を U の φ×φ による逆像とする。 X の V 程度に小さい集合からなる有限被覆 (A_i) がある。 B_i = φ(A_i) は U 程度に小さく、(B_i) は φ(X) の被覆である。 C_i を B_i の Ω における閉包とすると、φ(X) は Ω で密だから (C_i) は Ω の被覆である。 U は Ω の閉集合だから (C_i)×(C_i) ⊂ U である。 即ち、各 C_i は U 程度に小さい。 従って Ω は全有界である。 310 より Ω はコンパクトである。 証明終 313 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10 57 22 命題 準コンパクトな一様空間 X は全有界である。 証明 X の任意の対称開近縁 V に対して (V(x)), x ∈ X は X の開被覆である。 X は準コンパクトだから (V(x)) の有限部分被覆が取れる。 V(x) は V^2 程度に小さいから X は全有界である。 証明終 314 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11 01 40 命題 一様空間 X の分離完備化( 288) Ω がコンパクトなら X は全有界( 302)である。 証明 φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 313 より Ω は全有界である。 従って φ(X) も全有界である。 X の一様構造は φ(X) の一様構造の φ による逆像だから X も全有界である。 証明終 315 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11 21 38 命題 準コンパクトな一様空間 X は完備である。 証明 309 より X の任意の Cauchy フィルターは接触点を持つから 248 より収束する。 証明終 316 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11 25 47 命題 一様空間 X が準コンパクトであるためには X が全有界かつ完備であることが必要十分である。 証明 十分なことは 310 で証明してある。 必要なことは 313 と 315 で証明してある。 証明終 317 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11 28 22 命題 X を一様空間とする。 X が全有界( 302)であるためには X の分離完備化( 288) Ω がコンパクトであることが必要十分である。 証明 必要なことは 312 で証明してある。 十分なことは 314 で証明してある。 318 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12 18 58 補題 X を分離一様空間とする。 x と y を X の点で x ≠ y とする。 x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と X×X の対角線集合 Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。 証明 X は分離だからｘ の近傍 U_1 と y の近傍 U_2 で共通の点を 持たないものがある。 212 より X は正則だから ｘ の閉近傍 V_1 で V_1 ⊂ U_1 y の閉近傍 V_2 で V_2 ⊂ U_2 となるものがある。 U_3 = X - (V_1 ∪ V_2) とおく。 W = (U_1)×(U_1) ∪ (U_2)×(U_2) ∪ (U_3)×(U_3) とおく。 z ∈ V_1 ∪ V_2 なら (z, z) ∈ W z ∈ U_3 なら (z, z) ∈ W 従って W は X×X の対角線集合 Δ の近傍である。 (a, b) ∈ W (b, c) ∈ W で (a, c) ∈ (V_1)×(V_2) とする。 (a, b) ∈ W で a ∈ V_1 だから b ∈ U_1 である。 (b, c) ∈ W だから c は V_2 に含まれない。 これは矛盾である。 従って (V_1)×(V_2) は W^2 と交わらない。 証明終 319 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12 38 56 命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。 証明 Φ を Δ の近傍全体とする。 194 の条件で 1) V ∈ Φ なら Δ ⊂ V 2) V ∈ Φ を含む X×X の部分集合は Φ に属す。 3) V ∈ Φ, W ∈ Φ のとき V ∩ W ∈ Φ 4) V ∈ Φ のとき V^(-1) ∈ Φ は明らかである。 5) V ∈ Φ のとき W^2 ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 を証明すればよい。 これが成り立たないとする。 ある V ∈ Φ があり任意の W に対して W^2 ∩ (X - V) は空でない。 V は開近傍と仮定してよい。 W^2 ∩ (X - V) 全体は X のフィルター基底だから 309 より 接触点 (x, y) を持つ。X - V は閉集合だから (x, y) ∈ X - V 従って x ≠ y である。 318 より x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。 これは矛盾である。 証明終 320 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12 55 54 命題 X をコンパクト空間とする。 この位相構造 α より荒いハウスドルフ位相構造 β は α と一致する。 証明 恒等写像 f (X, α) → (X, β) は連続である。 (X, α) はコンパクトだから (X, β) もコンパクトである。 A を (X, α) の閉集合とする。 A は (X, α) でコンパクトだから (X, β) でもコンパクトである。 (X, β) はハウスドルフ空間だから A は (X, β) の閉集合である。 即ち f は閉写像である。 よって α = β である。 証明終 321 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13 02 22 補題 X をハウスドルフ空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体の共通部分は Δ である。 証明 x と y を X の点で x ≠ y とする。 X はハウスドルフだから (x, y) は X×X の閉集合である。 従って X×X - {(x, y)} は Δ の近傍で (x, y) を含まない。 証明終 322 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13 15 22 命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、 この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。 証明 X の位相構造を α とする。 319 より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。 この一様構造から定まる位相構造を β とする。 β ⊂ α である。 321 より、Δ の近傍全体は分離的一様構造である。 従って β はハウスドルフである。 従って 320 より α = β である。 証明終 323 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13 50 41 命題 準コンパクト一様空間 X から一様空間 Y への連続写像 f は 一様連続である。 証明 V を Y の任意の近縁とする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 f は連続だから x を X の任意の点としたとき X の近縁 U_x で f(U_x(x)) ⊂ W(f(x)) となるものがある。 (T_x)^2 ⊂ U_x となる対称近縁 T_x を取る。 X はコンパクトだから有限個の点 x_1, ... , x_n があり、 (T_x_i(x_i)) は X の被覆になる。 T ⊂ ∩T_x_i となる X の対称近縁 T を取る。 (x, y) ∈ T なら x ∈ T_x_i(x_i) となる x_i がある。 y ∈ T(x) ⊂ (T_x_i)^2(x_i) ⊂ U_x_i(x_i) よって (f(x), f(x_i)) ⊂ W (f(y), f(x_i)) ⊂ W (f(x), f(y)) ⊂ W^2 ⊂ V 証明終 324 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13 56 44 定理 コンパクト空間にはその位相を引き起こす一様構造が一意に入る。 証明 このような一様構造の存在は 322 で証明されている。 一意性は 323 より直ちに得られる。 証明終 325 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14 15 36 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy 点列( 237)が収束すれば X は完備( 249)である。 証明 (V_n), n ∈ Z+ を可算な基本近縁系とする。 Φ を Cauchy フィルターとする。 Φ は V_n 程度に小さい集合 A_n を含む。 各 n ∈ Z+ に対して B_n = A_0 ∩ . . . ∩ A_n とおく。 B_n ∈ Φ である。 (B_n) は Cauchy フィルターの基底であり、その生成するフィルターを Ψ とすれば Ψ ⊂ Φ である。 各 B_n から点 x_n を取り出せば (x_n) は Cauchy 点列だから X の点 x に収束する。 x は Ψ の接触点だから 248 より Ψ は x に収束する。 従って Φ も x に収束する。 証明終 326 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14 22 40 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy フィルター Φ に対して 高々可算な基底を持つ Cauchy フィルター Ψ があり、 Ψ ⊂ Φ となる。 証明 325 の証明から分かる。 327 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14 24 06 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の極小 Cauchy フィルター( 133) Φ は高々可算な基底を持つ。 証明 326 より明らかである。 328 ：Kummer ◆Qk1D5QGAJw ：2007/08/08(水) 16 38 53 ★天使＝ＡＶ女優 ★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使（中級天使）＝ 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使（上級天使） 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 （四大天使長） 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞：ネ申 小林ひとみ 329 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 04 58 45 定義 G を位相群、X を位相空間とし、 G は X に作用しているとする。 即ち、s ∈ G と x ∈ X に対して sx が定義されて 以下の 1), 2) を満たす。 (1) e を G の単位元とすると、ex = e が任意の x ∈ X に対して 成り立つ。 (2) s(tx) = (st)x が任意の s, t ∈ G と x ∈ X に対して成り立つ。 写像 φ G × X → X を φ(s, x) = sx で定義する。 φ が連続のとき G は X に連続作用すると言う。 330 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 05 00 14 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´ ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) タグ： コメント
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第3回MMD杯の選考委員および、MikuMikuDance製作者の２名の方から閉会式に向けていただいたコメントです。 ※ 内容は基本的に原文ママ です。 選考委員 MikuMikuDance開発者 選考委員 Tripshotsさん からのコメント 正統派から新しい表現に挑戦したものまで様々な動画があり大変楽しめました。 機能面においては、キャラクターのバリエーションが増え、様々な機能が充実してきた印象です。特に市販のアプリケーションを凌ぐほどの物理演算機能を使った、なめらかで自然なモーションは目を見張るものがありました。 クリエーターの皆様も、このような機能面の後押しもあり非常に幅広い表現が可能になったことで、作品の本質である「表現したいこと」を明確に打ち出すことが出来るようになったのではないでしょうか。 3Dは技術的な事に左右されることが多いため、表現や演出がツールや機能に縛られがちですが、私自身もこの折に触れ、「表現の本質」とは何なのかを再認識することが出来ました。 MMDは今後どのような方向に進むのでしょう？ クリエーターの皆様と開発者様の歩みをこれからも一人のMMDファンとして見てゆきたいと思います。 アゴアニキPさん からのコメント 普段、完全に2Dのイラストしか書いていない自分に今回のお話が来たときはすごく驚きました。 全作品を拝見させていただきましたが、どれもすばらしいクオリティでギリギリまで悩みましたが自分なりの視線で作品を選ばせていただきました。 自分が重視したのは「見た人の印象に残る演出」です。 テンコウPの圧倒的な世界観と映像に魅せられましたが、他にも大好きな作品が沢山あり、自分もものすごく勉強になりました。 MMDの世界のこれからの発展も本当に楽しみです。 今回はこのようなすばらしいお祭りに関わらせていただきありがとうございました！ なぎみそさん からのコメント じぶんは普段ひねりの無いものばかり作っているので（笑）どの作品の アプローチも目から鱗でした。 これからもアイディア一発的な味のある作品の登場を楽しみにしています！ 未来派Pさん からのコメント MMDの凄さを思い知らされました。 技術面での飛躍も目立ちましたが、表情にこだわった作品がまた多く、印象に残りました。 発想を比較的手軽に形に出来る、すばらしいシステムとユーザー主導の文化。 万能じゃなくても何かが突出している人が、さっくりととんでもない動画を仕上げてくる怖さ。 MMDは何でも出来る可能性があり、既にたくさんの可能性が提示されています。 今後も、びっくりするような作品が沢山出てくると思います。変わり行く創作の歴史を語る上で、重要な文化の一つとなるでしょう。 蛇足となりますが、候補作をマイリストにまとめさせていただきました。 第３回MMD杯本選 未来派賞候補作 http //www.nicovideo.jp/mylist/14104451 will+さん からのコメント 選考委員として久々にMMDの動画を一通り見させていただいたところ、以前よりもさらに増して全体の完成度が上がっており驚かされました。 今回選ばせていただいた作品もそうですが、特に完成度が高い作品にもなると、一つ一つの要素の作りこみや動画の構成、ネタなど、 同じ３DCGの道を歩むものとして妬ましくなるほど素晴らしいものばかりで、私ももっともっと技術を磨かなければ！と考えさせられてしまいました。 今回作品を選考させていただくにあたり、個人的に『モーションの作りこみ』『キャラクターの表情』といった技術の面、さらにモーションがオリジナルであるかどうか、といった点に着目してみました。 モーション作成というMMDの基本で最も困難な作業で如何に作りこめるか。 細かい動きの躍動感や、登場人物の感情表現は私の動画製作の際のテーマのようなものにもなっているので、 そんな私の立場から、人物の動きをトレースすることとはまた違った困難さが伴うオリジナルのモーションを取り入れていて、 さらに、モーション・表情の作りに作者の強いこだわりと気迫を感じられる作品を選ばさせて頂きました。 他にも、「夢の中へ」「Dial Connected 月時計～ルナ・ダイアル」など、 私も設けたテーマ以外の面で、動画の構成や演出が本当に素晴らしいものが多くあり、作者様方の技術力に脱帽です。 今回は選考委員として呼んでいただいてありがとうございました。 審査側の立場に立たせて頂きましたが、３Dに関しても私はまだまだ未熟者です。選考委員としての目でMMD動画を見ることで沢山の新たな発見があり、３Dをかじっている者として得るものが多い貴重な体験になりました。MMDのますますのご発展を願っております。 岡田有花さん からのコメント MMDを使った映像をまとめて見たのは初めてでしたが、バリエーションの豊富さに驚きました。歌に合わせて踊るだけでなく、ドラマのような表現も可能なんですね。VOCALOIDとMMDが広げた創作のフィールドと、作品作りを楽しんでいるたくさんの方々、作品を視聴し、コメントで応援している方々――みなさんの熱気に感激し、私もとても楽しませていただきました。どうもありがとうございました！ MikuMikuDance開発者 あにまささん(モデリング) からのコメント まずはＭＭＤ杯に関わった全ての皆さん 「お疲れ様でした！」 正直、最初は一度っきりの祭りだと思ったりしていた（失礼）ＭＭＤ杯も今回で３回目 ＭＭＤのバージョンも上がり、今はＭＭＤにも沢山の可愛いモデルや格好いいモデルや、 えっちぃモデル・・そして・・褒め・・・ こんな沢山のモデルがあるし、僕がコメントしてよいものかどうか・・・ といった、僕の葛藤は置いといて感想ですっ 今回大会動画を観るにあたって、投稿者の名前を観ずに観ていましたが動画を観終えた後に 投稿者名を観て納得する動画が沢山ありました 第１回の大会の時からですが、同じモデルや同じアクセサリーを使っても 作り手の個性が出るというのは面白いですね 作品の種類も ＰＶ ドラマ ネタ スポーツ ミュージカル・・・ホラー この何でもありなところが、ＭＭＤ！！って感じで楽しませてもらいました あ・・でもＭステの録画を丸上げしてる方がいましたが、あれは問題になりますよ！ 是非タモさんとの会話を・・・ そして、散々コメントで書かれていますが動画のレベルが・・「高い！否！高過ぎるっ！！」 と、思わずバキ外伝での猪狩の台詞をパクる程です でも、動画のレベルがどうとかは僕にとっては重要なところではなく、作っている人が楽しんで作っているのが 伝わってくる動画が大好きです まぁ・・僕がＭＭＤ杯に参加してうまく動かせなかった時の為の言い訳である事を、おわかりいただけたでしょうか・・ 最後になりましたが、モデルを使ってくれた皆様ありがとうございました 動かすのが苦手な僕にとって夢なような状況で、ものすごく嬉しいです 本当にありがとうございましたっ！ 樋口M(プログラム開発) からのコメント まずはＭＭＤ杯を開催して下さった運営の方々、そしてコメントやマイリスをして動画を盛り上げて下さった方々、お忙しい中沢山の動画を見て下さった選考委員の方々、本当にありがとうございました。 ＭＭＤは、PaintやWindowsMovieMaker等と同じく、単なるツールに過ぎません。 おまけに決して簡単に動画を作れるようなツールではありません。 にも関わらず、こんなにも沢山の素晴らしい作品が生まれたのは、ひとえに動画製作者の皆様の才能と情熱によるものだと思います。 モノを創るという事は、本当に楽しいことです。 凄いモノを創ろうとするとそれだけ苦労も伴いますが、その苦労が大きければ大きい程、成し遂げた時の嬉しさは言葉では言い表せないものになると思います。 ＭＭＤ杯は形の上ではマイリス数を競う大会ですが、何よりも凄い事は１つの作品を作り上げたという事なのではないでしょうか。 そういう意味で、動画を投稿して下さった方々はみんなが優勝者なんだと思っています。 また、今回の大会を見ていて、モデル・アクセサリや背景素材、エンコードや演出用プログラム等、大勢のクリエーターがそれぞれ得意な分野で発揮した才能を惜しげもなく公開し、それらを使って更に素晴らしいものが生まれていく創作の循環を見て、なんだかとても嬉しくなりました(Japan fing an!)。 最後にＭＭＤに関わってくれている全ての人達に、本当に本当にありがとうございます！ 樋口優(Ｍ)
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男子制服発注文に明記する際の参照 女子制服発注文に明記する際の参照 私立MM学園の制服設定です。 学年問わず同じデザインで、私服登校も認められています。 ただし遠足や修学旅行といった団体で活動する際は原則として制服の着用が義務付けられています。 また、大学からは原則私服登校になります。 アレンジは自由で、丈をつめたり色を変えたりしても構いません。 ただし、ネクタイ/リボンの色は所属クラスを示す為、 この部位のカラーだけはクラスに対応したものにしてください。 ベースカラーがわかれば色のアレンジは問題有りません。 男子が女子の、女子が男子の制服を着ても構いません。 校章は「左側に傾いた天秤」です。 左側の皿には生命を示すハートが、右側の皿には世界を示す地球がそれぞれ乗っています。含む際は参照にどうぞ。 このページの画像・文章は私立MM学園に所属しているキャラクターが自キャラクターの制服に関連するイラストを作成する際に限り、参照自由となります。 男子制服 男子制服設定イラスト（リンク） 『第六猟兵』(C)甘党/らぬき/トミーウォーカー 発注文に明記する際の参照 シャツ 襟 ：ボタンダウン 前立て：フライフロント ボタン：黄色の猫目ボタン （夏のみ）胸ポケット：左胸のみ ブレザー ベース：ダブル・ジャケット ボタンは縦3*横2で上1段は飾り 色は黒寄りの紺色、襟のみ白い縁取り ボタン：黄色の猫目ボタン 袖 ：ボタン二つ 胸ポケット：左胸のみ エポレット：白い縁取り、ボタン フラワーホール：左胸（校章ピン用） ズボン 柄：グレーをベースに薄いチェック模様 ポケット：左尻と右尻 ベルト：お好み 女子制服 女子制服設定イラスト（リンク） 『第六猟兵』(C)甘党/らぬき/トミーウォーカー 発注文に明記する際の参照 ブラウス 襟 ：ボタンダウン 前立て：フライフロント ボタン：黄色の猫目ボタン （夏のみ）胸ポケット：左胸のみ スカート プリーツ：ボックスプリーツ （冬）：寒色のチェック模様 （夏）：暖色のチェック模様 裏地：黒 ブレザー ベース：ダブル・ジャケット ボタンは縦3*横2で上1段は飾り 色は黒寄りの紺色、襟のみ白い縁取り ボタン：黄色の猫目ボタン 袖 ：ボタン二つ 胸ポケット：左胸のみ エポレット：白い縁取り、ボタン フラワーホール：左胸（校章ピン用）
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時17分15秒 代数的整数論 004 (441-530) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/441-530 ログ元： http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/441-530 441 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/13(土) 16 30 50 ] 命題 Rを２次体 Q(√m) の整環とし、P ≠ 0 を R の 素イデアルとする。 R_P が離散付値環(前スレ１の 645)であるためには R_P が整閉で あることが必要十分である。 証明 R_P が離散付値環なら、R_P は一意分解整域だから 前スレ３の 158 より R_P は整閉である。 逆に R_P が整閉なら 440 と前スレ２の 555 より R_P は離散付値環 である。 証明終 442 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/13(土) 16 39 29 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、P ≠ 0 を R の 素イデアルとする。 R_P が離散付値環であるためには P が f を含まない ことが必要十分である。 証明 Z[ω] は Z-加群 として有限生成だから R-加群としても 有限生成である。 したがって、 436 と 437 より R_P が整閉であるためには P が f を含まないことが必要十分である。 441 より、これは R_P が離散付値環であることと同値である。 証明終 443 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/13(土) 17 52 12 ] くんまー拡大！ 444 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/13(土) 19 31 51 ] ２次形式論卒論でやったからなつかしい。 445 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 31 37 ] 定義 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 R のイデアルを R-イデアルともいう。 446 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 35 05 ] 定義 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R-イデアルとする。 IZ[ω] が fZ[ω] と素のとき I を正則な R-イデアルという。 447 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 00 54 20 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 このとき Z[ω] の素イデアル P で P = R ∩ P となるものが 存在する。 証明 Z[ω] は R 上整だから Cohen-Seidenberg の定理 (前スレ１の520) より補題の主張がいえる。 証明終 448 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 01 23 58 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 P が正則 ( 446) であるためには P が f を含まないことが 必要十分である。 証明 P が正則でないとする。 fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから、fZ[ω] + PZ[ω] ⊂ P となる Z[ω] の素イデアル P が存在する。 439 より P は R の極大イデアルだから P = R ∩ P である。 一方、fZ[ω] ⊂ R だから fZ[ω] ⊂ P となる。 逆に fZ[ω] ⊂ P なら fZ[ω] ⊂ PZ[ω] だから P は正則でない。 証明終 449 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 01 46 24 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R-イデアルとする。 I が正則 ( 446) であるためには I ⊂ P となる任意の R-素イデアル P が正則であることが必要十分である。 証明 I が正則であるとする。 P を I ⊂ P となる R-素イデアルとする。 P が正則でないなら 448 より f ∈ P である。 447 より Z[ω] の素イデアル P で P = R ∩ P となるものが 存在する。 IZ[ω] ⊂ PZ[ω] ⊂ P で f ∈ P だから fZ[ω] + IZ[ω] ⊂ P となり I は正則でない。 これは仮定に反する。 よって P は正則である。 逆に、P を I ⊂ P となる R-素イデアルで正則でないとする。 fZ[ω] + PZ[ω] ≠ Z[ω] だから fZ[ω] + IZ[ω] ≠ Z[ω] となり I は正則でない。 証明終 450 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 02 00 28 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 P ≠ 0 を R の素イデアルとする。 P が正則であるためには R_P が離散付値環であることが 必要十分である。 証明 442 と 448 より明らかである。 451 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 02 19 25 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を正則な R-イデアル ( 446) とする。 IZ[ω] = JZ[ω] なら I = J である。 証明 P を R の素イデアルとする。 S = R - P とおく。S は R の積閉部分集合である。 Z[ω]_S を Z[ω]_P と書くことにする。 433 より Z[ω]_P は R_P の K における整閉包である。 P が正則なら、 450 より R_P は離散付値環だから整閉である。 よって Z[ω]_P = R_P である。 IZ[ω] = JZ[ω] より I(Z[ω]_P) = J(Z[ω]_P) であるから I(R_P) = J(R_P) である。 P が正則でないなら、 449 より I ⊂ P ではない。 よって I(R_P) = R_P である。 同様に J(R_P) = R_P である。 以上から R の任意の素イデアル P ≠ 0 に対して I(R_P) = J(R_P) である。 従って、前スレ３の 587 より I = J である。 証明終 452 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/14(日) 09 39 00 ] 2chって来週閉鎖らしいけどだいじょうぶですか スレ汚しすみません 453 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 10 42 03 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を Z[ω] のイデアルで fZ[ω] と素とする。 I_0 = R ∩ I とおく。 このとき、I_0 は正則な R-イデアルで (I_0)Z[ω] = I となる。 証明(Hilbert の Zahlbericht の定理 64 の証明を拝借) (I_0)Z[ω] = J とおく。 I は fZ[ω] と素だから I + fZ[ω] = Z[ω] である。 よって α + fβ = 1 となる α ∈ I と β ∈ Z[ω] がある。 α = 1 - fβ ∈ R だから α ∈ I_0 ⊂ J である。 よって J + fZ[ω] = Z[ω] である。 つまり、J は fZ[ω] と素である。 一方、(fZ[ω])I ⊂ R だから (fZ[ω])I ⊂ I_0 ⊂ J である。 従って、 175 より (fZ[ω])I = JL となる Z[ω] のイデアル L が 存在する。 J は fZ[ω] と素であるから、I ⊂ J である。 J ⊂ I であるから I = J となる。 証明終 454 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/14(日) 11 05 51 ] 452 2chって来週閉鎖らしいけどだいじょうぶですか お答えします。 閉鎖の場合 → このスレも閉鎖される。 閉鎖しない場合 → このスレも閉鎖されない。 っていうか当たり前だ っていうか第３者としてはどうしょうもない 455 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/01/14(日) 11 22 28 ] 454 お答えありがとうございます。 私としては、ログの保存を念頭においておりましたが、 言葉至らず失礼いたしました。 たとえ、私が保存しても熊さんに渡せそうにないので。 456 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 25 10 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 正則な R-イデアルの全体は R-イデアルの積により可換な モノイド(単位元をもつ半群)になる。 この可換モノイドを I+(R) とおく。 他方、Z[ω] のイデアルで fZ[ω] と素なもの全体もイデアルの積 により可換モノイドになる。 この可換モノイドを I+(f) とおく。 正則な R-イデアル I に IZ[ω] を対応させることにより、 写像 φ I+(R) → I+(f) が得られる。 この φ は明らかにモノイドとしての準同型である。 451 より φ は単射であり、 453 より φ は全射である。 よって φ は同型射である。 さらに φ はイデアルの包含関係を保存する。 つまり、 I ⊂ J なら φ(I) ⊂ φ(J) である。 457 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 31 11 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 正則な R-イデアルは正則な R-素イデアルのべき積として一意に 分解される。 証明 456 より明らかである。 458 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 12 35 08 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとする。 IZ[ω] が素イデアルであるためには I が素イデアルであることが 必要十分である。 証明 456 より明らかである。 459 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 00 42 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、I = R ∩ IZ[ω] である。 証明 I_0 = R ∩ IZ[ω] とおく。 453 より (I_0)Z[ω] = IZ[ω] となる。 よって 451 より I_0 = I である。 証明終 460 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 13 59 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、剰余環 R/I は Z[ω]/IZ[ω] に 標準的に同型である。 証明 I は正則だから IZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 fZ[ω] ⊂ R だから IZ[ω] + R = Z[ω] である。 従って R/(R ∩ IZ[ω]) は Z[ω]/IZ[ω] = (R + IZ[ω])/IZ[ω] に、 標準的に同型である。 459 より I = R ∩ IZ[ω] である。 証明終 461 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 15 16 12 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I を正則な R-イデアルとすると、N(I) = N(IZ[ω]) である。 ここで N(I) は I のノルム( 438) を表す。 証明 460 より明らか。 462 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/14(日) 18 14 26 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を正則な R-イデアルとすると、N(IJ) = N(I)N(J) である。 証明 Z[ω] は Dedekind 整域で有限ノルム性( 68)を持つから 70 より N(IZ[ω]JZ[ω]) = N(IZ[ω])N(JZ[ω]) である。 よって 461 より N(IJ) = N(I)N(J) である。 証明終 463 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 01 04 ] 定義 A を整域、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I に対して A のある元 s ≠ 0 があり sI ⊂ A となるとき I を A の分数イデアルという。 464 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 07 04 ] 命題 A を整域 K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が有限生成なら I は分数イデアルである。 証明 明らかである。 465 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 09 03 ] 命題 A をネーター整域、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が分数イデアルであるためには I が A-加群として 有限生成であることが必要十分である。 証明 K の A-部分加群 I が分数イデアルとすると、A の元 s ≠ 0 があり I ⊂ (1/s)A となる。 A はネーター環だから I は (1/s)A の A-部分加群として 有限生成である。 逆は 464 である。 証明終 466 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 10 18 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 K の A-部分加群 I に対して K の A-部分加群 J で IJ = A となる ものがあるとき I を可逆分数イデアルという。 ここで IJ は集合 {xy; x ∈ I, y ∈ J} で生成される K の A-部分加群である。 467 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 24 11 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 A の可逆分数イデアル( 466)は A-加群として有限生成である。 証明 前スレ２の 504 で証明済みである。 468 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/18(木) 23 28 58 ] 命題 A を整域とする。 A の可逆分数イデアル( 466)は A の分数イデアル( 463)である。 証明 467 と 464 より明らかである。 469 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 32 16 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 A の分数イデアル I に対して x ∈ K があり I = xA となるとき I を単項分数イデアルまたは主分数イデアルという。 470 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 39 25 ] 定義 A を整域 K をその商体とする。 A の０でない分数イデアル全体は乗法により群となる。 この群を A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く (前スレ２の521)。 471 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 21 41 28 ] 定義 A を整域とする。 A の０でない単項分数イデアル全体は乗法により群となる。 この群を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く (前スレ２の539)。 472 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 22 17 47 ] 命題 A を整域とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は、A の可逆分数イデアル群 I(A) の 部分群である。剰余類群 I(A)/P(A) は A の Picard 群 Pic(A) (前スレ２の360)と標準的に同型である。 証明 K を A の商体とする。K は局所環であるから前スレ２の361より Pic(K) = 0 である。 よって前スレ２の540より I(A)/P(A) は Pic(A) と同型になる。 証明終 473 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/19(金) 22 23 06 ] 定義 A を整域とする。 472 より I(A)/P(A) は Pic(A) と同一視される。 よって I(A)/P(A) を A の Picard 群と呼び Pic(A) と書く。 474 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 01 31 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 Pic(R) と Pic(Z[ω]) の関係を調べたい。 議論の本質を浮き彫りにするため問題を次のように一般化する。 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 B が A-加群として有限生成のとき Pic(A) と Pic(B) の関係はどうなるか？ 475 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 09 49 ] 以下 474 の問題の解法に関しては Neukirch の「代数的整数論」を 参考にした。 476 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 36 21 ] 定義 A を環、I ≠ A を A のイデアルとする。 A/I のすべての零因子がベキ零のとき I を準素イデアルという。 前スレ１の 157 と 181 から、この定義は A がネーター環のときの 拡張になっている。 477 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 38 00 ] 補題 A を環、M を A-加群とする。 M-正則(前スレ１の 179)な A の元全体は A の乗法に関して閉じている。 証明 M-正則の定義(前スレ１の 179)から明らかである。 478 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 39 18 ] 命題 A を環、I を A の準素イデアルとする。 I の根基 rad(I) (前スレ１の 164) は素イデアルである。 証明 I は準素イデアルだから A/I を A-加群とみて (A/I)-正則な元の 集合は A - rad(I) である。 477 より A - rad(I) は乗法に関して閉じている. ゆえに rad(I) は素イデアルである。 証明終 479 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 40 11 ] 定義 A を環、I を A の準素イデアルとし、p = rad(I) とする。 p を I の素因子と呼び、I は p に属する準素イデアルという。 480 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 08 41 19 ] 命題 A を環、p を A の素イデアルとする。 J を A_p の準素イデアルで pA_p に属するとする。 I を J の標準射 A → A_p による逆像とする。 このとき I は p に属する準素イデアルである。 証明 φ A → A_p を標準射とする。 a ∈ A、x ∈ A - I で ax ∈ I とする。 φ(ax) ∈ J で φ(x) ∈ A_p - J だから φ(a^n) ∈ J となる n ＞ 0 がある。 a^n ∈ I だから I は準素イデアルである。 次に p = rad(I) を示す。 a ∈ rad(I) なら a^n ∈ I となる n ＞ 0 がある。 φ(a^n) ∈ J だから φ(a) ∈ pA_p である。 よって a ∈ p である。 逆に a ∈ p なら φ(a) ∈ pA_p だから φ(a^n) ∈ J となる n ＞ 0 がある。a^n ∈ I だから a ∈ rad(I) である。 証明終 481 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 08 45 15 ] 上の人 おはよう。 482 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 01 40 ] 補題 A を環、I を A のイデアルとする。 A の極大イデアル m があり、m ^n ⊂ I ⊂ m とする。 ここで n ＞ 0 である。 このとき I は m に属する準素イデアルである。 証明 I ⊂ p となる A の素イデアルがあるとする。 m^n ⊂ p だから p = m である。 よって A/I は局所環である。 よって a ∈ A - m なら a (mod I) は A/I の可逆元である。 従って、b を A の元で ab ∈ I とすれば、b ∈ I である。 m の元は mod I でべき零なことに注意すれば I は準素イデアルである。 証明終 483 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 13 45 ] 補題 A をネーター環、p を A の素イデアル、I を p に属する準素イデアル であるとする。 このとき p^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 証明 p = rad(I) で p は有限生成だから、これは明らかである。 484 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 20 40 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアルで V(I) = {m} とする。 ここで V(I) = { p ∈ Spec(A); I ⊂ p } である(前スレ１の 160)。 このとき I は極大イデアル m に属する準素イデアルである。 証明 前スレ１の163より m = rad(I) である。 483 より m^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 よって 482 より I は極大イデアル m に属する準素イデアルである。 証明終 485 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 24 27 ] 484 の別証 Supp(A/I) = V(I) であり、 Ass(A/I) ⊂ Supp(A/I) だから(前スレ１の99)、 Ass(A/I) = {m} である。 従って I は m に属する準素イデアルである。 証明終 486 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 26 18 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアルとする。 p を V(I) の極小元とする。 ここで V(I) = { p ∈ Spec(A); I ⊂ p } である(前スレ１の 160)。 I(p) を IA_p の標準射 A → A_p による逆像とする。 このとき I(p) は p に属する準素イデアルである。 証明 q を A の素イデアルで q ⊂ p とする。 さらに IA_p ⊂ qA_p とする。 I(p) ⊂ q となり I ⊂ I(p) だから I ⊂ q である。 p は V(I) の極小元だから q = p である。 以上から V(IA_p) = {pA_p} である。 484 よりIA_p は pA_p に属する準素イデアルである。 480 より I(p) は p に属する準素イデアルである。 証明終 487 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 41 22 ] 補題 A を環、I を A のイデアルとする。 p が A の素イデアルのとき I(p) = { a ∈ A; sa ∈ I となる s ∈ A - p が存在する } とおく。 容易にわかるように I(p) は IA_p の標準射 A → A_p による 逆像である。 このとき I = ∩I(m) となる。 ここで m は A のすべての極大イデアルを動く。 証明 I ⊂ ∩I(m) は明らかだから逆の包含関係を示せばよい。 a ∈ ∩I(m) とする。 (I a) = { x ∈ A; xa ∈ I } と書く。 (I a) を含む極大イデアル m があるとすると、 a ∈ I(m) だから、s ∈ A - m があって s ∈ (I a) ⊂ m となって 矛盾である。よって (I a) = A である。 これは a ∈ I を意味する。 したがって ∩I(m) ⊂ I である。 証明終 488 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 09 45 42 ] 487の I = ∩I(m) において、 I ⊂ m でないとき I(m) = A だから m は I ⊂ m となるすべての極大イデアルに制限してもよい。 489 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 01 54 ] 熊先生いつも乙です． 全然わかりませんがログ保存してます． 490 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/20(土) 10 16 42 ] 補題 A をネーター環、I を A のイデアル、m を A の極大イデアルとし、 m は V(I) の極小元とする。 I(m) を IA_m の標準射 A → A_m による逆像とする。 このとき A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型である。 証明 486 より I(m) は m に属する準素イデアルである。 483 より m^n ⊂ I(m) となる n ＞ 0 がある。 よって V(I(m)) = {m} である。 よって A/I(m) は局所環である。 従って s ∈ A - m なら s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元である。 a ∈ A、 s ∈ A - m で a/s ∈ A_m とする。 s は mod I(m) で A/I(m) の可逆元だから、a ≡ sb (mod I(m)) となる b ∈ A がある。 φ A → A_m を標準射とする。 a/s - φ(b) = a/s - b/1 = (a - sb)/s = φ(a - sb)/φ(s) ∈ IA_m よって φ A → A_m と標準射 A_m → A_m/IA_m の合成をψとすると ψは全射である。 ψの核は I(m) だから A/I(m) は A_m/IA_m に同型である。 証明終 491 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 18 20 ] わからなかったら質問してよ。 492 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 10 51 30 ] 命題 A をネーター環、I を A のイデアルで I を含む素イデアルはすべて 極大イデアルであるとする。このとき I を含む極大イデアルは有限個 であり、A/I は環の直積 ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。 ここで m は I ⊂ m となる極大イデアルを動く。 証明 仮定より I を含む極大イデアルは V(I) の極小元である。 前スレ１の224よりこれ等は有限個である。 m_1 と m_2 を V(I) の異なる２元とする。 486 より I(m_1) は m_1 に属する準素イデアルである。 よって I(m_1) を含む素イデアルは m_1 だけである。 同様に I(m_2) を含む素イデアルは m_2 だけである。 したがって I(m_1) と I(m_2) をともに含む素イデアルはない。 よって I(m_1) + I(m_2) = A である。 一方、 487 と 488 より I = ∩I(m) となる。 よって中国式剰余定理(前スレ１の341)より A/I は環の直積 ΠA/I(m) と標準的に同型である。 490 より A/I(m) は A_m/IA_m に標準的に同型であるから A/I は ΠA_m/IA_m と標準的に同型である。 証明終 493 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 11 01 11 ] 青木さやかも絶賛！！アンダーグラウンド ttp //jbbs.livedoor.jp/bbs/i.cgi/news/2092/ 494 名前：ｙｋｒ [2007/01/20(土) 12 56 56 ] G={(x,y)∈X;y≦g(x)}、H={(x,y)∈X;y≧h(x)}とおき、 G,Hがそれぞれ凸集合で、y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているとき、 G∩Hである部分は1つしか存在しないということを証明したいです。 495 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/20(土) 15 21 40 ] 念のために言うと、わからなかったら質問してよという意味は、 このスレまたは過去スレで私が書いたこと(雑談等は除く)に関して 分からなかったら質問してという意味です。 496 名前：ykr氏へ mailto sage [2007/01/21(日) 16 03 53 ] 494 G,Hがそれぞれ凸集合で、y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているとき、 G∩Hである部分は1つしか存在しない Kummerさん： ノイズかも知れんが、回答しておきやす。 G,Hがそれぞれ凸ならG∩Hも凸(何故かは自分で考えてね）。 で一般に空でない凸集合は(弧状)連結である(何故かは自分で考えてね）。 y=g(x)とy=h(x)が2点で交わっているなら、G∩Hは空でなく従って(弧状)連結であるよ。 497 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/23(火) 22 04 28 ] 492 の証明において I = ∩I(m) となり、各 I(m) は m に属する 準素イデアルであることを示したが、これは以下のようにしても分かる。 A をネーター環、I を A のイデアルで I を含む素イデアルはすべて 極大イデアルであるとする。 I = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を I の最短準素分解(前スレ１の188) とする。 m_i = rad(Q_i)、i = 1, ..., n とおく。 仮定より各 m_i は極大イデアルである。 I(m_i) を IA_(m_i) の標準射 A → A_(m_i) による逆像とする。 前スレ１の198より Q_i = I(m_i) である。 よって I = ∩I(m_i) となり、各 I(m) は m に属する準素イデアル である。 498 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/23(火) 22 34 06 ] 475 Neukirch の「代数的整数論」(日本語訳)の命題(12.6) の証明(p. 79) がどうも分からない。 a ≡ c (mod p) かつ a ∈ c(a_q/a_p)O_q となる a ∈ O が取れるのは いいとして、これから ε = a/c が O_p の単数であることが何故言える のか分からない。c が p に含まれないならそうなるが、そうとは 限らないのではないか？ この命題(12.6)は 474 の問題の解法において重要であるので、 １週間ほど考えたあげく、今日ようやく証明することが出来た。 この証明は Neukirch の証明(?)よりわかりやすいと思う。 それをこれから述べる。 499 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 21 50 44 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の単項分数イデアル( 469) である。 証明 前スレ２の509より M_p は階数１の射影加群である。 A_p は局所環だから、前スレ２の191より M_p は階数１の自由加群 である。M_p は (A_p)-加群として K の部分加群とみなせるから A_p の単項分数イデアルである。 証明終 500 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 22 20 42 ] 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の単項分数イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 証明 前スレ２の235より M は射影的である。 よって、前スレ２の511より M は可逆分数イデアルである。 証明終 501 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 13 49 ] 訂正 499 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の単項分数イデアル( 469) である。 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を A の可逆分数イデアル( 466)とする。 p を A の素イデアルとすると M_p は A_p の 0 でない単項分数イデアル ( 469)である。 502 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 17 27 ] 訂正 命題 A を整域、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の単項分数イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 命題 A を整域、K をその商体とする。 M ≠ 0 を K の A-部分加群で有限表示(前スレ２の176)を持つとする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m の 0 でない単項分数 イデアルなら M は可逆分数イデアルである。 503 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 19 07 ] 502 は 500 の訂正 504 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/24(水) 23 32 10 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 M ≠ 0 を A の分数イデアルとする。 M_p ≠ A_p となる A の素イデアル p ≠ 0 は有限個しかない。 証明 分数イデアルの定義( 463)より A の元 a ≠ 0 があり aM ⊂ A となる。aM ＝ I は A の非零イデアルである。 A は１次元だから I ⊂ p となる素イデアル p は Supp(A/I) の 極小元である。よって前スレ１の224よりこれ等は有限個である。 IA_p ≠ A_p は I ⊂ p と同値だから IA_p ≠ A_p となる p は 有限個である。 同様に aA_p ≠ A_p となる p も有限個である。 一方、M = (1/a)I だから M_p = (1/a)IA_p となる。 (1/a)IA_p ≠ A_p なら (1/a)A_p ≠ A_p または IA_p ≠ A_p である。 よって M_p ≠ A_p となる A の素イデアル p ≠ 0 は有限個しかない。 証明終 505 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 12 20 56 ] A を１次元のネーター整域とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとする。 M を A の可逆分数イデアルとしたとき、M_p は A_p の 可逆分数イデアルである。 よって、M に M_p を対応させることにより A の可逆分数イデアル群 I(A) から A_p の可逆分数イデアル群 I(A_p) への写像 Φ_p I(A) → I(A_p) が得られる。 Φ_p は明らかに群としての準同型である。 Σ I(A_p) を I(A_p) の直和とする。ここで p は A のすべての 0 でない素イデアルを動く。 504 より、アーベル群の射 Φ I(A) → Σ I(A_p) が得られる。 506 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 12 56 54 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 A = ∩ A_m である。 ここで m は A のすべての極大イデアルを動く。 A_m は K の部分環とみなしている。 証明 A ⊂ ∩ A_m は明らかである。 x ∈ ∩ A_m とする。 I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I は A のイデアルである。 I ≠ A と仮定する。 I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m だから s ∈ A - m があり sx ∈ A となる。 よって s ∈ I となるが、これは I ⊂ m に矛盾する。 よって I = A となり x ∈ A である。 証明終 507 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 13 02 52 ] 命題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) は単射である。 証明 M を A の可逆分数イデアルとし、Φ(M) = 0 とする。 これは、すべての p ≠ 0 で M_p = A_p を意味する。 よって M ⊂ ∩ A_p である。 A は１次元だから A の 0 でない素イデアルと A の極大イデアルは 同じものである。 よって 506 より ∩ A_p = A である。 よって M ⊂ A である。 M ≠ A とすると M ⊂ p となる極大イデアル p がある。 M_p ⊂ pA_p だから M_p ≠ A_p となって仮定に反する。 よって M = A である。 証明終 508 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 07 52 ] 補題 A を環、S を A の積閉部分集合とする。 I を A_S のイデアルとし、J を I の標準射 A → A_S による逆像と する。このとき I = JA_S である。 証明 a/s ∈ I とする。ここで a ∈ I, s ∈ S である。 a/1 = (s/1)(a/s) ∈ I だから a ∈ J である。 よって a/s ∈ JA_S である。 よって I ⊂ JA_S である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 509 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 10 45 ] 補題 A をネーター環、p と q を A の素イデアルで q は p に含まれない とする。 I を q に属する準素イデアルとすると IA_p = A_p である。 証明 483 より q^n ⊂ I となる n ＞ 0 がある。 q は p に含まれないから qA_p = A_p である。 よって (q^n)A_p = A_p である。 よって IA_p = A_p である。 証明終 510 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 14 21 ] 補題 A をネーター環とし、m_1, ..., m_n を A の相異なる極大イデアル とする。 各 i に対して q_i を A_(m_i) の (m_i)A_(m_i) に属する準素イデアル とし、Q_i を q_i の標準射 A → A_(m_i) による逆像とする。 I = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n とおく。 各 i に対して IA_(m_i) = q_i である。 証明 前スレ３の585より IA_(m_i) = (Q_1)A_(m_i) ∩ ... ∩ (Q_1)A_(m_i) である。 480 より、各 Q_i は m_i に属する準素イデアルである。 509 より、i ≠ j なら (Q_j)A_(m_i) = A_(m_i) である。 よって IA_(m_i) = (Q_i)A_(m_i) である。 508 より、(Q_i)A_(m_i) = q_i である。 証明終 511 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 23 45 ] 命題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) は全射である。 証明 ξ = (ξ_p) を Σ I(A_p) の任意の元とする。 A_p は局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。 よって 472 より I(A_p) = P(A_p) である。 よって、各 ξ_p は (a_p/b_p)A_p と書ける。 ここで a_p と b_p は A の 0 でない元である。 (a_p/b_p)A_p ≠ A_p となる p は有限個である。 (a_p/b_p)A_p = A_p のときは a_p = b_p = 1 と仮定してよい。 各 p に対して I(p) = A ∩ a_pA_p とおく。 484 より a_pA_p ≠ A_p なら a_pA_p は pA_p に属する 準素イデアルである。 I = ∩ I(p) とおく。ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を 動く。I(p) は有限個を除いて A_p に等しい。 510 より、各 p に対して IA_p = a_pA_p となる。 同様に 各 p に対して J(p) = A ∩ b_pA_p とおき、 J = ∩ J(p) とおく。 M = I(J^(-1)) とおけば 各 p に対して M_p = (a_p/b_p)A_p である。 即ち Φ(M) = ξ である。 証明終 512 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 38 14 ] 511 の命題が 498 で書いた Neukirch の「代数的整数論」の 命題(12.6) である。 証明が出来てしまえば簡単だが Neukirch の証明に拘っていたので 証明に手間どった。 なお、あとで気付いたが EGA IV-4 の命題 (21.9.4) p. 285 が スキーム論での 511 (及び 507) に対応する命題である。 513 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 15 59 40 ] 511 の証明の補足説明。 I = ∩ I(p) が A の可逆分数イデアルであることは、 各 p に対して IA_p = a_pA_p であることから 500(と 502) より分かる。 J = ∩ J(p) も同様に A の可逆分数イデアルである。 514 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 16 23 48 ] 補題 A を環、M を A-加群、N をその部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m にたいして M_m = N_m なら M = N である。 証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 完全列 0 → N → M → M/N → 0 より 完全列 0 → N_m → M_m → (M/N)_m → 0 が得られる。 仮定より M_m = N_m だから (M/N)_m = 0 である。 前スレ２の224より M/N = 0 である。 即ち M = N である。 証明終 515 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 16 32 25 ] 511 の証明において M = ∩ (a_p/b_p)A_p である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 N = ∩ (a_p/b_p)A_p とおく。 各 p 対して M_p = (a_p/b_p)A_p だから M ⊂ (a_p/b_p)A_p である。 よって M ⊂ N である。 N ⊂ (a_p/b_p)A_p だから N_p ⊂ (a_p/b_p)A_p である。 M_p ⊂ N_p だから M_p = N_p = (a_p/b_p)A_p である。 よって 514 より M = N である。 証明終 516 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 08 11 ] 前スレ２の524の定義を再度書く。 定義 A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。 この群を U(A) または A^* と書く。 517 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 09 05 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は K^*/A^* と標準的に同型である。 証明 K^* の元 x に xA を対応させることにより アーベル群の射 f K^* → P(A) が得られる。 f は全射であり、その核は A^* である。 よって f は同型 K^*/A^* → P(A) を誘導する。 証明終 518 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 17 17 22 ] 命題 A を単項イデアル整域(前スレ１の644)とし、K をその商体とする。 K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。 ここで p は A の 0 でない素イデアル全体を動く。 証明 507 と 511 より I(A) は Σ I(A_p) と標準的に同型である。 A は単項イデアル整域だから I(A) = P(A) である。 A_pは局所環だから、前スレ２の361より Pic(A_p) = 0 である。 よって 472 より I(A_p) = P(A_p) である (このことは A_p が離散付値環であることからも分かる)。 以上から P(A) は Σ P(A_p) と標準的に同型である。 一方、 517 より P(A) は K^*/A^* と標準的に同型であり、 P(A_p) は K^*/A^* と標準的に同型である。 よって K^*/A^* は Σ K^*/(A_p)^* に標準的に同型である。 証明終 519 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 11 08 ] 定義 G をアーベル群で同時に関係 ≧ により順序集合であるとする。 x ≧ y のとき x + z ≧ y + z が G の任意の元 z で成り立つとき G をアーベル順序群という。 520 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 12 13 ] 定義 G をアーベル順序群( 519)とする。 G+ = {x ∈ G; x ≧ 0} と書く。 521 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 13 08 ] 命題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (G_i) があるとする。 G = Σ G_i を (G_i) の直和アーベル群とする。 G の元 x = (x_i) と y = (y_i) に対して x_i ≧ y_i がすべての i ∈ I に対して成り立つとき x ≧ y と定義することにより G はアーベル順序群になる。 証明 自明である。 522 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 15 03 ] 補題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (G_i) があるとする。 各 i に対して G_i の任意の元 a は a = b - c, b ∈ (G_i)+, c ∈ (G_i)+ と書けるとする。 G = Σ G_i を (G_i) の直和アーベル群とする。 521 より G はアーベル順序群である。 G の任意の元 x は x = y - z, y ∈ G+, z ∈ G+ と書ける。 証明 G の任意の元 x = (x_i) に対して y = (y_i) ∈ G+ と z = (z_i) ∈ G+ を以下のように定義する。 x_i = 0 のときは y_i = z_i = 0 とする。 仮定より x_i ≠ 0 のときは x_i = b - c となる (G_i)+ の元 b と c がある。y_i = b, z_i = c とおく。 y = (y_i), z = (z_i) とおけばよい。 証明終 523 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/25(木) 21 16 50 ] オナニースレ？ 524 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 20 16 ] 補題 集合 I を添字集合とするアーベル順序群の列 (H_i) があるとする。 各 i に対して H_i の任意の元 a は a = b - c, b ∈ (H_i)+, c ∈ (H_i)+ と書けるとする。 H = Σ H_i を (H_i) の直和アーベル群とする。 521 より H はアーベル順序群である。 G をアーベル群でアーベル群の射 Φ G → H があり、 任意の y ∈ H+ に対して Φ(x) = y となる x ∈ G があるとする。 このとき Φ は全射である。 証明 522 より H の任意の元 x は x = y - z, y ∈ H+, z ∈ H+ と書ける。 これより本命題の主張は明らかである。 証明終 525 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 22 59 ] 命題 A を整域とし、K をその商体とする。 A の単項分数イデアル群 P(A) は x ⊂ y のとき x ≧ y と 定義することによりアーベル順序群になる。 このとき P(A)+ は A の 0 でない単項イデアル全体と一致する。 証明 自明である。 526 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 50 17 ] 補題 A を１次元のネーター整域とする。 505 で定義した 射 Φ I(A) → Σ I(A_p) を考える。 H = Σ I(A_p) とおく。 I(A_p) = P(A_p) だから 525 より I(A_p) はアーベル順序群になる。 よって 521 より H もアーベル順序群である。 このとき、任意の y ∈ H+ に対して Φ(x) = y となる x ∈ I(A) がある。 証明 各 p に対して A_p は１次元の局所ネーター環である。 従って、y = (y_p) ∈ H+ に対して y_p ≠ A_p なら 484 より y_p は pA_p に属する準素イデアルである。 I = ∩ (A ∩ y_p) とおく。ここで p は y_p ≠ A_p となる p を 動く。 510 より y_p ≠ A_p のとき IA_p = y_p である。 容易にわかるように I を含む素イデアル p は y_p ≠ A_p となるもの に限る。 従って y_p = A_p なら I は p に含まれないから IA_p = A_p である。 以上から各 p に対して IA_p = A_p である。 500 より I は可逆分数イデアルである。 よって x = I とおけば x ∈ I(A) で Φ(x) = y である。 証明終 527 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 21 59 58 ] 524 と 526 より 511 の別証が得られることは明らかだろう。 別証といっても本質的にはあまり違わないが、こちらの方がすっきり しているだろう。 528 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/25(木) 22 45 02 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とする。 B が A-加群として有限生成のとき B は Dedekind 整域である。 証明 A はネーター環だから B のイデアルは有限生成 A-加群の部分加群 として有限個の生成元をもつ。 これらの生成元はイデアルとしての生成元でもあるから B はネーター環である。 B は A-加群として有限生成だから前スレ１の505から B は A 上整である。 よって前スレ１の637より B は１次元である。 以上から B は１次元のネーター整閉整域だから前スレ２の601の 定義より Dedekind 整域である。 証明終 529 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/26(金) 05 15 19 ] Kummer= kokorono itami..... 530 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/01/26(金) 12 00 09 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 p ≠ 0 を A の素イデアルとしたとき B_p は単項イデアル整域であり、 その極大イデアルは有限個である。 ここで B_p は積閉部分集合 S = A - p に関する B の局所化である。 証明 前スレ２の787より B_p は Dedekind 整域である。 A_p ⊂ B_p であり A_p は pA_p を極大イデアルとする局所環である。 前スレ１の514より B_p は A_p の上に整だから B_p の極大イデアルは pA_p の上にある(前スレ１の518)。 よって B_p の極大イデアルは pB_p を含む。 よってこれ等は有限個である。 前スレ２の767より B_p は単項イデアル整域である。 証明終 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時29分16秒 代数的整数論 004 (596-660) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/596-660 ログ元： http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/596-660 596 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 09 25 52 ] 定義 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 a, b, c を有理整数で b^2 - 4ac = D とする。 θ を多項式 aX^2 + bX + c の根とする。 θ を D に属す２次無理数という。 さらに gcd(a, b. c) = 1 のとき θ を D に属す原始的な２次無理数 という。 このとき θ の判別式( 276)は D である。 597 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 19 36 55 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 このとき、β/α は D に属す２次無理数( 596)である。 証明 a = (αα )/N(I) b = -(αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおく。 588 より a, b, c は有理整数で、b^2 - 4ac = D である。 f(X) = aX^2 + bX + c とおく。 N(I)αf(β/α) = α β^2 - αββ - α β^2 + αββ = 0 よって f(β/α) = 0 である。 よって β/α は D に属す２次無理数である。 証明終 598 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 20 58 25 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の正定値( 293)かつ 原始的な２次形式とする。 f に一次変換 x = pu + qv y = ru + sv を施して g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2 とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。 このとき I = [a, (-b + √D)/2] と J = [k, (-l + √D)/2] は R の 可逆な原始イデアルであり、I(R)/P(R) ( 473) の同じ類に属す。 証明 405 より ku^2 + luv + mv^2 は判別式 D の正定値かつ原始的な ２次形式である。 よって 592 より I と J は R の可逆な原始イデアルである。 θ = (-b + √D)/2a τ = (-l + √D)/2k とおく。 299 と同様にして θ = (pτ + q)/(rτ + s) であることがわかる。 594 より I と J は I(R)/P(R) の同じ類に属す。 証明終 599 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 04 38 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I = [a, b + fω] と J = [k, l + fω] を R の原始イデアルの 標準基底による表示とする。 I = αJ となる α ∈ Q(√m) があるとする。 このとき θ = (b + fω)/a、ψ = (l + fω)/k とおくと、 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。 証明 593 より ps - qr = ±1 となる有理整数 p, q, r, s があり θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 273 の規約よりθ と ψ は複素上半平面にある。 274 より Im(θ) = (ps - qr)Im(ψ )/|rψ + s|^2 よって ps - qr = 1 である。 証明終 600 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 06 19 ] 定義 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) ( 473) を Cl(D) と書く。 406 で定義した F+(D) の元からその任意の代表 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 をとる。 592 より [a, (-b + √D)/2] は R の可逆な原始イデアルである。 598 より、このイデアルの属す Cl(D) の類は f(x, y) の取り方に よらない。 よって F+(D) から Cl(D) への写像が定まる。 この写像を Φ+ と書く。 601 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 08 11 ] 命題 600 の写像 Φ+ は単射である。 証明 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 と g(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 を判別式 D の正定値かつ原始的な２次形式とする。 さらに [a, (-b + √D)/2] と [k, (-l + √D)/2] が同じ I(R)/P(R) の類に属すとする。 θ = (-b + √D)/2a τ = (-l + √D)/2k とおく。 599 より ps - qr = 1 となる有理整数 p, q, r, s があり、 θ = (pτ + q)/(rτ + s) となる。 aθ^2 + bθ + c = 0 だから a(pτ + q)^2 + b(pτ + q)(rτ + s) + c(rτ + s)^2 = 0 この左辺は f(pτ + q, rτ + s) である。 f(px + qy, rx + sy) を x, y の２次形式とみたものを h(x, y) とする。 405 より h(x, y) は判別式 D の正定値かつ原始的な２次形式である。 h(τ, 1) = 0 だから h(x, 1) は τ を根とする２次式で、その係数 の最大公約数が 1 かつ最高次の係数が正であり τ により 一意に決まる( 276)。 一方 τ = (-l + √D)/2k は kx^2 + lx + m の根でもあるから g(x, y) = h(x, y) である。 証明終 602 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 09 17 ] 命題 600 の写像 Φ+ は全射である。 証明 I(R)/P(R) の各類の代表として原始イデアルが取れる。 I = [a, b + fω] を R の可逆な原始イデアルの標準基底による 表示とする。 589 より判別式 D の２次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、 r + fω = (-b + √D)/2 となる。 I は可逆だから 592 より ax^2 + bxy + cy^2 は原始的である。 証明終 603 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/02/07(水) 19 23 01 ] 32 604 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 00 08 ] 補題 ２次体 Q(√m) の任意の整数 α = a + bω のノルム N(α) は 以下の式で与えられる(ω については 11 を参照)。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき N(α) = a^2 + ab + (b^2)(1 - m)/4 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき N(α) = a^2 - (b^2)m 証明 N(α) = (a + bω)(a + bω ) = a^2 + ab(ω + ω ) + (b^2)ωω より明らかである。 605 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 22 54 ] 補題 虚２次体 Q(√m) の任意の整数 α ≠ 0 に対して N(α) ＞ 0 である。 証明 α = a + bω とする α の２次体 Q(√m) の元としての共役 α = a + bω は α の複素数としての共役でもあるから N(α) = αα = |α|^2 ＞ 0 である。 このことは以下のようにしても分かる。 604 より m ≡ 1 (mod 4) のとき N(α) = a^2 + ab + (b^2)(1 - m)/4 4N(α) = 4a^2 + 4ab + (b^2)(1 - m) = (2a + b)^2 - (b^2)m m ＜ 0 だから N(α) ＞ 0 である。 m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき N(α) = a^2 - (b^2)m ＞ 0 である。 証明終 606 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 29 56 ] 補題 虚２次体 Q(√m) の整数 a + bω が単数( 73)であるためには 有理整数 a, b が以下の等式を満たすことが必用十分である。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき (2a + b)^2 - (b^2)m = 4 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき a^2 - (b^2)m = 1 証明 74、 604、 605 より明らかである。 607 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 31 13 ] 命題 虚２次体 Q(√m) の単数( 73)は以下の通り。 (1) m = -1 のとき ±1、±√(-1) (2) m = -3 のとき ±1、±ω、±ω^2 ここで ω = (-1 + √(-3))/2 = exp(2πi/3) は１の原始３乗根である。 (3) |m| ＞ 3 のとき ±1 証明 606 より明らかである。 608 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 32 31 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 R の元 α が可逆元であるためには α が Q(√m) の単数( 73) であることが必要十分である。 つまり R^* = R ∩ Z[ω]^* である。 証明 まず ω = 1 - ω または ω = -ω だから α ∈ R なら α ∈ R であることに注意する。 R の可逆元は明らか単数である。 R の元 α が単数であるとする。 74 より N(α) = 1 または N(α) = -1 である。 N(α) = 1 なら αα = 1 で、α ∈ R だから α は R の可逆元 である。 N(α) = -1 なら αα = -1 だから α(-α ) = 1 となり、 やはり α は R の可逆元である。 証明終 609 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 36 17 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 f ＞ 1 なら R に属す単数は ±1 のみである。 証明 R の元 α = a + bfω が単数だとする。 74 より N(α) = (a + bfω)(a + bfω ) = a^2 + abf(ω + ω ) + (f^2)(b^2)ωω = 1 である。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき a^2 + abf + (f^2)(b^2)(1 - m)/4 = 1 よって (2a + bf)^2 - (f^2)(b^2)m = 4 よって f ＞ 1 なら b = 0、a = ±1 である。 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき a^2 - (f^2)(b^2)m = 1 よって f ＞ 1 なら b = 0、a = ±1 である。 証明終 610 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 43 10 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 R^* = {±1} である。 ここで R^* は R の可逆元全体のなすアーベル群を表す( 516)。 証明 608 と 609 より明らかである。 611 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 52 40 ] 補題 A と B を環とする。 A × B を A と B の環としての直積とする。 (a, b) ∈ A × B のとき (a, b) が可逆であるためには a と b が それぞれ可逆であることが必用十分である。 証明 A × B の乗法の定義から明らかである。 612 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 53 39 ] 補題 A と B を環とする。 このとき、(A × B)^* = (A^*)×(B^*) である。 ここで等号は群としての同型を表す。 証明 611 より明らかである。 613 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 04 35 ] 補題 A を局所環とし、m をその極大イデアルとする。 x を A の元とする。 xA ≠ A であるためには x ∈ m が必用十分である。 証明 x ∈ m なら xA ⊂ m だから xA ≠ A である。 逆に xA ≠ A なら Zorn の補題より xA ⊂ m である。 証明終 614 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 06 38 ] 補題 A を局所環とし、m をその極大イデアルとする。 A^* = A - m である。 証明 これは 613 を言い換えたものである。 615 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 16 40 ] 補題 ２次体 Q(√m) の素イデアル P と有理整数 n ≧ 1 に対して P と P^n をアーベル群とみて剰余群 P/P^n が考えられる。 このとき |P/P^n| = N(P)^(n-1) である。 証明 定義( 24)より |Z[ω]/P| = N(P) 70 より |Z[ω]/P^n| = N(P)^n これから明らかである。 証明終 616 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 19 37 ] 補題 ２次体 Q(√m) の素イデアル P と有理整数 n ≧ 1 に対して |(Z[ω]/P^n)^*| = N(P)^n - N(P)^(n-1) である。 証明 614 と 615 から明らかである。 617 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 34 40 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 ２次体 Q(√m) において p は分岐するとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n-1) である。 証明 p は分岐するから Q(√m) のある素イデアル P があり、 pZ[ω] = P^2 となる。 よって (p^n)Z[ω] = P^(2n) である。 よって 616 より |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n-1) 証明終 618 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/08(木) 20 38 45 ] オナニー 619 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 46 53 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 ２次体 Q(√m) において p は完全分解するとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = (p^n - p^(n-1))^2 である。 証明 p は完全分解するから Q(√m) のある素イデアル P があり、 pZ[ω] = PP となる。 P ≠ P である。 よって (p^n)Z[ω] = (P^n)(P ^n) である。 中国式剰余定理(前スレ１の341)より Z[ω]/(p^n)Z[ω] = (Z[ω]/P^n) × (Z[ω]/P ^n) よって 612 と 616 と N(P) = N(P ) = p より |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = |(Z[ω]/P^n)^*| |(Z[ω]/P ^n)^*| = (p^n - p^(n-1))^2 証明終 620 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 53 56 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 ２次体 Q(√m) において p は分解しないとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n - 2) である。 証明 p は分解しないから pZ[ω] = P はQ(√m) の素イデアルである。 よって (p^n)Z[ω] = P^n で N(P) = p^2 である。 よって 616 から |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = |(Z[ω]/P^n)^*| = p^(2n) - p^(2n - 2) である。 証明終 621 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 39 54 ] 定義 有理整数 n ≧ 1 に対して φ(n) を以下のように定義する。 (1) φ(1) = 1 (2) n ＞ 1 のとき φ(n) = |(Z/nZ)^*| φ を Euler の関数と呼ぶ。 622 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 51 40 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 φ(p^n) = p^n - p^(n - 1) である。 ここで、φ は Euler の関数( 621)である。 証明 良く知られているし、 615 の証明と同様にしてもわかる。 623 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 56 47 ] 命題 r ＞ 1 を有理整数とし、r = Πp^n を r の素因数分解とする。 ここで p は r の相異なる素因子を動く。 φ(r) = rΠ(1 - 1/p) である。 ここで、φ(r) は Euler の関数( 621)である。 証明 中国式剰余定理(前スレ１の341)より Z/rZ = ΠZ/(p^n)/Z である。 612 より φ(r) = |(Z/rZ)^*| = Π|(Z/(p^n)/Z)^*| である。 一方、622 より |(Z/(p^n)/Z)^*| = p^n - p^(n - 1) = (p^n)(1 - 1/p) よって φ(r) = rΠ(1 - 1/p) である。 証明終 624 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 22 45 02 ] 命題 ２次体 Q(√m) の主整環( 431)を Z[ω] とする。 r ＞ 1 を有理整数とし、r = Πp^n を r の素因数分解とする。 ここで p は r の相異なる素因子を動く。 このとき |(Z[ω]/rZ[ω])^*| = φ(r)rΠ(1 - χ(p)/p) である。 ここで χ(p) は以下のように定義する。 (1) p が２次体 Q(√m) において分岐する( 106)とき χ(p) = 0 (2) p が２次体 Q(√m) において完全分解する( 106)とき χ(p) = 1 (3) p が２次体 Q(√m) において分解しない( 106)とき χ(p) = -1 証明 中国式剰余定理(前スレ１の341)と 612 より r が素数べき p^n の場合に証明すればよい。 この場合は 617, 619, 620, 622 より明らかである。 証明終 625 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/02/08(木) 23 23 00 ] 32 626 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 46 30 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 このとき h(D) = |Cl(D)| である。 ここで h(D) は判別式 D の簡約２次形式( 407) の個数であり、 Cl(D) は R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) ( 473) である。 証明 601 と 602 より明らかである。 627 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 47 15 ] 補題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 fZ[ω] = (R Z[ω]) である。 ここで (R Z[ω]) は R のイデアルとしての導手( 540)である。 証明 α = a + bfω ∈ (R Z[ω]) とする。 αω = aω + bfω^2 ∈ R ω は (X - ω)(X - ω ) = X^2 - Tr(ω)X + N(ω) の根だから ω^2 = Tr(ω)ω - N(ω) よって -bfN(ω) + (a + bfTr(ω))ω ∈ R よって a ≡ 0 (mod f) である。 よって α ∈ fZ[ω] である。 よって (R Z[ω]) ⊂ fZ[ω] である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 628 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 51 25 ] 補題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 I = (R Z[ω]) を R のイデアルとしての導手( 540)とする。 |(R/I)^*| = φ(f) である。 ここで φ(f) は Euler の関数( 621) である。 証明 627 より I = fZ[ω] = [f, fω] である。 よって R/I = [1, fω]/[f, fω] は Z/fZ と同型である。 よって |(R/I)^*| = φ(f) である。 証明終 629 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 59 21 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) である。 ここで p は f の相異なる素因子を動く。 証明 I = (R Z[ω]) を R のイデアルとしての導手( 540)とする。 627 より I = fZ[ω] である。 548 と 626 より h(D) = h(d)[(Z[ω]/I)^* (R/I)^*]/[Z[ω]^* R^*] 624 より |(Z[ω]/I)^*| = φ(f)fΠ(1 - χ(p)/p) 628 より |(R/I)^*| = φ(f) よって h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) である。 証明終 630 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 21 03 17 ] 629 χ(p) は 624 で定義したものである。 631 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 21 03 59 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 (1) m = -1 のとき、即ち d = -4 のとき h(D) = (1/2)fΠ(1 - χ(p)/p) (2) m = -3 のとき、即ち d = -3 のとき h(D) = (1/3)fΠ(1 - χ(p)/p) (3) m が上記以外のとき h(D) = h(d)fΠ(1 - χ(p)/p) 上記いずれの場合も p は f の相異なる素因子を動く。 χ(p) は 624 で定義したものである。 証明 629 より h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) 607 と 609 より (1) m = -1 のとき、[Z[ω]^* R^*] = 2 (2) m = -3 のとき、[Z[ω]^* R^*] = 3 (3) |m| ＞ 3 のとき [Z[ω]^* R^*] = 1 221 より Q(√(-1)) はノルム Euclid 的である。 よって h(-4) = 1 である。 前スレ３の233より Q(√(-3)) はノルム Euclid 的である。 よって h(-3) = 1 である。 以上から本命題の主張が得られる。 証明終 632 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/02/10(土) 00 34 00 ] 35 633 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 11 32 12 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 m ≧ 1 を有理整数として S = [1, mfω] を整環とする。 このとき h((m^2)D) = (h(D)/[R^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) となる。ここで p は m の相異なる素因子を動く。 証明 629 より h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) よって h(d) = h(D)[Z[ω]^* R^*]/(fΠ(1 - χ(p)/p)) 再び 629 より h((m^2)D) = (h(d)/[Z[ω]^* S^*])mfΠ(1 - χ(p)/p) ここで p は mf の相異なる素因子を動く。 よって h((m^2)D) = (h(d)[Z[ω]^* R^*]/[Z[ω]^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) = (h(D)/[R^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) 証明終 634 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/10(土) 11 38 30 ] Cox の Primes of the form x^2 + ny^2 によると 633 は Gauss が 証明したという。 Disquisitiones の art. 254-256 がその証明らしいいという。 私はその証明をまだ確かめてない。 635 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 41 14 ] 定義 V を有理数体上の有限次ベクトル空間とする。 L を V のアーベル群としての部分群で階数 が n = dim V の 自由アーベル群であるとき L を V の格子(lattice)という。 636 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 44 43 ] 定義 ２次体 Q(√m) を有理数体上の２次元ベクトル空間とみて L がその格子( 635)のとき L を２次体 Q(√m) の格子という。 637 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 52 24 ] 定義 L を２次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 (L L) = {α ∈ Q(√m); αL ⊂ L} と書く。 638 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 14 23 27 ] 命題 L を２次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 (L L) = {α ∈ Q(√m); αL ⊂ L} は Q(√m) の整環である。 証明 α ∈ (L L) なら L は Z[α] 上の忠実加群とみなせる。 よって前スレ３の839よりαは(代数的)整数である。 つまり、(L L) ⊂ Z[ω] である。 よって (L L) は自由アーベル Z[ω] の部分群として 有限生成の自由アーベル群である。 (L L) は明らかに Z[ω] の部分環である。 L = [β, γ] とする。 ωβ = pβ + qγ ωγ = rβ + sγ となる有理数 p, q, r, s がある。 よって aωβ ∈ L. aωγ ∈ L となる有理整数 a ≠ 0 がある。 aωL ⊂ L だから aZ[ω]L ⊂ L である。 よって aZ[ω] ⊂ (L L) である。 aZ[ω] は階数２の自由アーベル群だから (L L) もそうである。 よって (L L) は Q(√m) の整環である。 証明終 639 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 37 41 ] 補題 L を２次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 α ≠ 0 を Q(√m) の元とすると (αL αL) = (L L) である。 証明 自明である。 640 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 40 32 ] 命題 L = [α, β] を２次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 τ = β/α とし、aτ^2 + bτ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 このとき (L L) = [1, aτ] である。 証明 L = [α, β] = α[1, τ] だから 639 より (L L) = ([1, τ] [1, τ]) γ ∈ ([1, τ] [1, τ]) とすると、 γ ∈ [1, τ] より γ = m + nτ、m ∈ Z、n ∈ Z と書ける。 γτ ∈ [1, τ] だから γτ = mτ + nτ^2 である。 一方、aτ^2 + bτ + c = 0 だから τ^2 = (-b/a)τ - c/a よって γτ = mτ + nτ^2 = -cn/a + (m - (bn/a))τ ∈ [1, τ] よって -cn ≡ 0 (mod a) -bn ≡ 0 (mod a) よって gcd(a, b, c) = 1 より n ≡ 0 (mod a) となる。 よって γ ∈ [1, aτ] である。 よって ([1, τ] [1, τ]) ⊂ [1, aτ] である。 一方、aτ^2 = -c - bτ だから aτ∈ ([1, τ] [1, τ]) よって [1, aτ] ⊂ ([1, τ] [1, τ]) 以上から (L L) = [1, aτ] である。 証0明終 641 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 45 45 ] 639 は αL が Q(√m) の格子であることを暗黙の前提としている。 しかし、これは明らかである。 642 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 00 12 ] 命題 M ≠ 0 を２次体 Q(√m) の主整環 Z[ω] の可逆分数イデアル( 466) とする。 M は明らかに Q(√m) の格子であるが、 (M M) = Z[ω] である。 証明 α ∈ (M M) とする。 αM ⊂ M より αM(M^(-1)) ⊂ M(M^(-1)) となる。 M(M^(-1)) = Z[ω] だから α ∈ Z[ω] である。 よって (M M) ⊂ Z[ω] である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 643 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 04 55 ] 命題 M ≠ 0 を２次体 Q(√m) の整環 R の可逆分数イデアル( 466) とする。 M は明らかに Q(√m) の格子であるが、 (M M) = R である。 証明 α ∈ (M M) とする。 αM ⊂ M より αM(M^(-1)) ⊂ M(M^(-1)) となる。 M(M^(-1)) = R だから α ∈ R である。 よって (M M) ⊂ R である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 644 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 11 48 ] 642 は 643 により不要だった。 645 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 39 32 ] 命題(Cox の Primes of the forms x^2 + ny^2) M ≠ 0 を２次体 Q(√m) の整環 R の分数イデアル( 463) とする。 (M M) = R なら M は可逆である。 証明 M = [α, β] とする。 τ = β/α とし、aτ^2 + bτ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 M = α[1, τ] である。 M = α [1, τ ] である。 よって aMM = aN(α) 1, τ, τ , ττ τ + τ = -b/a ττ = c/a だから aMM = aN(α) a, aτ, aτ , aττ = aN(α) a, aτ, -b , c = N(α)[gcd(a, b, c), aτ] = N(α)[1, aτ] 640 より [1, aτ] = (M M) = R である。 よって aMM = N(α)R これは M が可逆であることを意味する。 証明終 646 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 23 44 40 ] 補題 ax^2 + bxy + cy^2 を原始的( 279)な２次形式とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 互いに素な有理整数 s と t があり、 A = as^2 + bst + ct^2 が m と素になる。 証明 p を m の任意の素因数とする。 a と p が素なら s ≡ 1 (mod p), t ≡ 0 (mod p) とする。 このとき A ≡ a (mod p) だから A は p と素である。 a ≡ 0 (mod p) で c が p と素なら s ≡ 0 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ c (mod p) だから A は p と素である。 a ≡ 0 (mod p) で c ≡ 0 (mod p) なら gcd(a, b, c) = 1 より b は p と素である。 s ≡ 1 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ b (mod p) だから A は p と素である。 中国式剰余定理より m の各素因数 p に対して 上記の合同式を満たす s と t が存在して、A は m と素になる。 gcd(s, t) = r とする。 r = 1 なら s, t が求めるものである。 r ≠ 1 なら s = rs , t = rt とおけば A = r^2(a(s )^2 + bs t + c(t )^2) A/r^2 = a(s )^2 + bs t + c(t )^2 となり A/r^2 は m と素である。 よって s と t が求めるものである。 証明終 647 名前：１３２人目の素数さん mailto sage [2007/02/11(日) 03 55 00 ] 36 648 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 12 04 ] 命題 ax^2 + bxy + cy^2 を原始的( 279)な２次形式とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 このとき、SL_2(Z) の元 σ = (p, q)/(r, s) があり、 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて( 401) Au^2 + Buv + Cv^2 となったとき、 A は m と素に出来る。 証明 646 より互いに素な有理整数 p と r があり、 A = ap^2 + bpr + cr^2 が m と素になる。 p と r は互いに素だから ps - qr = 1 となる 有理整数 s と q がある。 よって、行列 σ = (p, q)/(r, s) は SL_2(Z) の元である。 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて Au^2 + Buv + Cv^2 となったとする。 つまり、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 とおいたとき、 Au^2 + Buv + Cv^2 = f(pu + qv, ru + sv) である。 401 より A = ap^2 + bpr + cr^2 B = 2apq + b(ps + qr) + 2crs C = aq^2 + bqs + cs^2 である。 A は m と素だから σ = (p, q)/(r, s) が求めるものである。 証明終 649 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 12 47 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を R の非零イデアルとする。 N(I) と N(J) が互いに素なら I + J = R である。 証明 I + J ≠ R とする。 R の素イデアル P があり I ⊂ P かつ J ⊂ P となる。 579 より N(I) と N(J) は N(P) で割れる。 証明終 650 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 31 08 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 I を R の可逆な分数イデアルとする。 このとき λ ∈ Q(√m) があり、 λI ⊂ R で λI + mR = R となる。 証明 D を R の判別式とする。 I に適当な定数を掛けることにより、初めから I は R の可逆な 原始イデアルと仮定してよい。 I = [a, b + fω] を R の標準基底による表示とする。 589 より判別式 D の２次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、 r + fω = (-b + √D)/2 となる。 I は可逆だから 592 より ax^2 + bxy + cy^2 は原始的である。 648 より SL_2(Z) の元 σ = (p, q)/(r, s) があり、 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて Au^2 + Buv + Cv^2 となったとき、 A は m と素に出来る。 282 より gcd(A, B, C) = 1 である。 594 より J = [A, (-B + √D)/2] は R の可逆な原始イデアルであり、 I(R)/P(R) ( 473) の I と同じ類に属す。 N(J) = A で A は m と素だから 649 より J + mR = R である。 証明終 651 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 50 30 ] 650 訂正： 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とする。 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 652 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 12 12 44 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 N(I) ∈ I である。 証明 ノルムの定義( 438)より |R/I| = N(I) である。 つまり R/I のアーベル群としてに位数は N(I) である。 よって R/I の任意の元 x に対して N(I)x = 0 である。 特に N(I)1 = 0 である。 これは N(I) ∈ I を意味する。 証明終 653 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 12 16 10 ] 命題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 R の Picard 群 I(R)/P(R) ( 473) の任意の剰余類には I と素な R のイデアル J が存在する。 つまり、 I + J = R となる J ∈ I(R) が存在する。 証明 650 より I(R)/P(R) の任意の剰余類には J + N(I)R = R となる J ∈ I(R) が存在する。 652 より N(I) ∈ I だから N(I)R ⊂ I である。 よって J + I = R である。 証明終 654 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 06 58 52 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 R の正則( 550)な分数イデアル全体を RI(R) と書いたく( 572)。 R の正則な単項分数イデアルのなす群を RP(R) と書いた( 572)。 653 を R の導手( 540) I = fZ[ω] ( 627) に適用すると、 RP(R)/RI(R) は I(R)/P(R) に同型になる。 これは 575 を R に適用した場合の別証明になっている。 655 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 mailto sage [2007/02/12(月) 08 08 54 ] 補題 R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とする。 Z[ω] の元 α に対して α ∈ R で αR が正則であるためには α ≡ a (mod fZ[ω]) で gcd(a, f) = 1 となる有理整数 a が 存在することが必要十分である。 証明 α ∈ R で αR が正則とする。 α ∈ R なら α = a + bfω と書ける。 αR が正則だから αZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 α ≡ a (mod fZ[ω]) だから aZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 gcd(a, f) ≠ 1 とすると a と f を割る素数 p がある。 p を含む Z[ω] の素イデアル P をとれば aZ[ω] + fZ[ω] ⊂ P となって矛盾。 よって gcd(a, f) = 1 である。 逆に α ≡ a (mod fZ[ω]) で gcd(a, f) = 1 となる有理整数 a が あるとする。 αZ[ω] + fZ[ω] = aZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 よって αR は正則である。 証明終 656 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 mailto sage [2007/02/12(月) 08 46 28 ] 訂正 470 A の０でない分数イデアル全体は乗法により群となる。 A の０でない可逆分数イデアル全体は乗法により群となる。 657 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 08 48 17 ] 定義 A を Dedekind 環とする。 m ≠ 0 を A のイデアルとする。 A の分数イデアルで m と素なもの全体は 可逆分数イデアル群 I(A) ( 470) の部分群となる。 これを I(m) と書く。 A の単項分数イデアルで m と素なもの全体は 単項分数イデアル群 P(A) ( 471) の部分群となる。 これを P(m) と書く。 658 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 09 06 55 ] 命題 A を Dedekind 環とする。 m ≠ 0 を A のイデアルとする。 I(m)/P(m) は I(A)/P(A) に標準的に同型である。 ここで, I(m) と P(m) は 657 で定義したもの。 証明 I(m) → I(A) を包含写像とする。 この核は P(m) である。 よって標準単射 I(m)/P(m) → I(A)/P(A) が得られる。 573 より、これは全射である。 証明終 659 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 09 18 38 ] 定義 A を Dedekind 環とする。 a ≠ 0 を A の元とする。 I(aA) ( 657) をI(a) と書く。 同様に、P(aA) を P(a) と書く。 660 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 10 31 31 ] 命題 A を１次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 J ≠ 0 を B のイデアルで I と素とする。 J に A ∩ J を対応させることにより B のイデアルで I と 素なものと A の正則なイデアルとの１対１の対応が得られる。 証明 J ≠ 0 を B のイデアルで I と素とする。 557 より A ∩ J は正則な A のイデアルで (A ∩ J)B = J となる。 よって J に A ∩ J を対応させる写像は単射である。 逆に J_0 を A の正則なイデアルとする。 定義( 550)より (J_0)B は I と素である。 よって 557 より A ∩ (J_0)B は正則であり (A ∩ (J_0)B)B = (J_0)B となる。 よって 556 より A ∩ (J_0)B = J_0 である。 よって J に A ∩ J を対応させる写像は全単射である。 証明終 タグ： コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時21分13秒 代数的整数論 006 (541-600) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/541-600 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/541-600 541 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 08 27 20 508 q~q = (z~ - wj)(z + wj) = |z|^2 - z~wj - wz~j - ww~jj = |z|^2 +|w|^2 = N(q) よって q と q~ は可換である。 これは次のように説明したほうが良い。 N(q) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 だから N(q~) = N(q) qq~ = N(q) において q を q~ に置き換えると、 q~(q~)~ = q~q = N(q~) = N(q) 542 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09 14 15 命題 K と L を可換とは限らない体とする。 φ と ψ をそれぞれ K と L の絶対値( 414)とする。 421 より K と L は位相体である。 f K → L を位相体としての同型とする。 即ち f は体の同型であり位相同型でもある。 このとき、ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = (ψ(f(x)))^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。 証明 φ_1(x) = ψ(f(x)) とおく。 明らかに φ_1 は絶対値である。 φ が自明( 422)なら 425 より ψ も自明である。 よって x ≠ 0 のとき f(x) ≠ 0 だから ψ(f(x)) = 1 である。 x = 0 なら f(x) = 0 だから ψ(f(x)) = 0 である。 よって φ(x) = ψ(f(x)) が全ての x ∈ K で成り立つ。 よって α = 1 として本命題の主張が成り立つ。 φ が自明でないとき。 φ(x) ＜ 1 なら n → ∞ のとき x^n → 0 である。 f は連続だから f(x^n) → 0 である。 f(x^n) = f(x)^n だから ψ(f(x)) ＜ 1 である。 よって 430 より本命題の主張が成り立つ。 証明終 543 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09 43 55 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 475 より K の完備化環 K^ は体であり、 φ を K^ に連続延長したもの φ^ は K^ の絶対値になる。 付値体( 415) (K^, φ^) を付値体 (K, φ) の完備化と言う。 考えている絶対値 φ が明らかなときは、単に K^ を K の完備化とも 言う。 544 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09 47 17 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψ を K の同値な絶対値とする。 (K, φ) の完備化( 543) K^ は位相体として (K, ψ) の完備化と 同じものである。 従って ψ を K^ に連続延長したもの ψ^ は φ^ と同値である。 545 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 03 25 補題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス絶対値( 448)とする。 K の元の列 (x_n) と K の元 x ≠ 0 があり n → ∞ のとき x_n → x なら ある n_0 ∈ Z+ があり n ≧ n_0 のとき φ(x_n) = φ(x) である。 証明 φ(x) ＞ 0 だから、ある n_0 ∈ Z+ があり n ≧ n_0 のとき φ(x - x_n) ＜ φ(x) である。 485 より φ(x_n) = φ(x_n - x + x) = sup(φ(x - x_n), φ(x)) = φ(x) 証明終 546 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 09 45 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス絶対値( 448)とする。 K^ を K の完備化( 543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 φ と φ^ のそれぞれの値群は一致する。 即ち φ(K^*) = φ^((K^)^*) 証明 545 より明らかである。 547 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 12 21 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 K^ を K の完備化( 543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 φ^ は K^ の離散的絶対値である。 証明 546 より明らかである。 548 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 26 22 487 の A, m(A), A/m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアル、 剰余体と言う。 549 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 44 39 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 K^ を K の完備化( 543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 φ の付値環( 548) を A とする。 任意の実数 0 ＜ a ≦ 1 に対して I_a = { x ∈ K ; φ(x) ＜ a } J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a } とおく。 487 より I_a と J_a は A の両側イデアルである。 このとき cls(I_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ＜ a } である。 ここで cls(I_a) は I_a の K^ における閉包である。 同様に cls(J_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ≦ a } である。 550 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 45 11 549 の証明 x ∈ cls(I_a) - {0} とする。 φ^(x) ＞ 0 だから φ^(x - y) ＜ φ^(x) となる y ∈ I_a がある。 545 と同様に φ^(y) = φ^(x) である。 よって φ^(x) ＜ a である。 逆に x ≠ 0 で φ^(x) ＜ a とする。 φ^(x) ＞ 0 だから 任意の 0 ＜ ε ＜ φ^(x) に対して φ^(x - y) ＜ ε となる y ∈ K がある。 545 と同様に φ^(y) = φ^(x) である。 よって φ^(y) ＜ a である。 即ち y ∈ I_a である。 よって x ∈ cls(I_a) である。 以上から cls(I_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ＜ a } である。 cls(J_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ≦ a } の証明も同様である。 証明終 551 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10 51 36 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 K^ を K の完備化( 543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A), cls(m(A)) はそれぞれ φ^ の付値環、極大イデアルである。 証明 549 において a = 1 とすれば A = J_1, m(A) = I_1 である。 従って本命題は 549 の特別の場合である。 552 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12 15 25 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) が有限体なら 任意の有理整数 n ≧ 0 に対して A/m(A)^n は有限環である。 証明 506 より φ には K の実付値( 496) ν が対応する。 ν は離散付値( 497) である。 π を ν の素元( 501)とする。 502 より m(A) = Aπ, m(A)^n = A(π^n) である。 A のアーベル群としての部分群の列を考える。 A ⊃ Aπ ⊃ . . . A(π^n) ⊃ . . . x ∈ A に x(π^n) を対応させる写像は A/Aπ から A(π^n)/A(π^(n+1)) へのアーベル群としての同型を 引起こす。 従って A/A(π^n) は有限アーベル群である。 A/A(π^n) は環でもあるから有限環である。 証明終 553 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12 22 21 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) が有限体なら A は位相環として全有界( 302)である。 証明 506 より φ には K の実付値( 496) ν が対応する。 ν は離散付値( 497) である。 π を ν の素元( 501)とする。 502 より m(A) = Aπ, m(A)^n = A(π^n) である。 552 より 任意の有理整数 n ≧ 0 に対して A/A(π^n) は有限環である。 φ(π) ＜ 1 だから任意の ε ＞ 0 に対して φ(π)^n ＜ ε となる n ＞ 0 がある。 A/A(π^n) の任意の剰余類を a + A(π^n) とする。 ここで a ∈ A である。 a + A(π^n) の２元 u = a + x(π^n), v = a + y(π^n) に対して φ(u - v) = φ((x - y)(π^n)) ≦ φ(π)^n ＜ ε 即ち A/A(π^n) の剰余類の２元の距離は n を大きくすれば いくらでも小さくなる。 A の任意の元は A/A(π^n) の剰余類(それは有限個である)のどれか に含まれるから A は全有界である。 証明終 554 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12 40 21 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 K は φ で完備とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) が有限体なら A はコンパクトであり、 K は局所コンパクトである。 証明 553 より A は全有界である。 A は K の閉集合だから 250 より完備である。 従って 316 より A は準コンパクトである。 A はハウスドルフだからコンパクトである。 m(A) は K の開集合で 0 を含む。 m(A) ⊂ A だから A は 0 のコンパクト近傍である。 従って K の任意の元 x に対して x + A は x のコンパクト近傍である。 即ち K は局所コンパクトである。 証明終 555 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13 04 01 554 の条件を満たす体は数論では非常に重要である。 Weilの Basic Number Theory では、この体を p-field と 呼んでいる。 因みに、英語圏では field は可換体を意味するのが普通である。 可換とは限らない体は division ring と言う。 Weil はフランス人なのでこの点、英書にもかかわらず フランス風になっている。 フランスでは体のことを corps と言い、可換とは限らない。 しかし環は英語で ring だがこれは可換とは限らない。 この点で英語の field の用法は一貫性がないとも言える。 556 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13 44 00 補題 G を位相群、H をその部分群とする。 U を G の単位元の近傍で U ⊂ H とする。 このとき H は G の開集合である。 証明 x ∈ H とすると Ux は x の近傍で Ux ⊂ H である。 よって H は G の開集合である。 証明終 557 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13 45 00 命題 G を位相群、H をその開部分群とする。 H は G の閉集合である。 証明 G - H は xH の形の左剰余類 xH の和集合である。 xH は開集合であるから G - H も開集合である。 従って H は閉集合である。 証明終 558 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13 54 00 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 任意の実数 0 ＜ a ≦ 1 に対して I_a = { x ∈ K ; φ(x) ＜ a } J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a } とおく。 I_a と J_a は K の加法群の開かつ閉部分群である。 証明 A を φ の付値環とする。 487 より I_a と J_a は A の両側イデアルである。 従って K の加法群の部分群である。 556 より I_a は K の開部分群である。 従って 557 より K の閉部分群である。 I_a ⊂ J_a である。 従って 556 より J_a は K の開部分群である。 従って 557 より K の閉部分群である。 証明終 559 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 14 04 28 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 K^ を K の完備化( 543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A) = A + cls(m(A)) となる。 よって cls(A)/cls(m(A)) は A/m(A) に体として標準的に同型である。 証明 x ∈ cls(A) とする。 φ^(x - y) ＜ 1 となる y ∈ A がある。 z = x - y とおくと z ∈ m(A) x = y + z ∈ A + m(A) よって cls(A) = A + cls(m(A)) である。 cls(A)/cls(m(A)) = (A + cls(m(A)))/cls(m(A)) は A/(A ∩ cls(m(A))) に標準的に同型である。 558 より m(A) は A の閉集合だから A ∩ cls(m(A)) = m(A) である。 証明終 560 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 14 22 48 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) は有限体とする。 K の完備化( 543) K^ は局所コンパクトである。 証明 φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 547 より φ^ は K^ の離散的絶対値である。 551 より cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A), cls(m(A)) はそれぞれ φ^ の付値環、極大イデアルである。 559 より cls(A)/cls(m(A)) は A/m(A) に標準的に同型である。 よって 554 より K^ は局所コンパクトである。 証明終 561 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 16 06 51 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K-左加群とする。 実数体を R とし、R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。 K から R+ への写像 p が以下の条件を満たすとき p を E のノルムと言い、E をノルム空間と言う。 1) p(x) = 0 と x = 0 は同値である。 2) 任意の x ∈ E, y ∈ E に対して p(x + y) ≦ p(x) + p(y) 3) 任意の α ∈ K, x ∈ E に対して p(αx) = φ(x)p(x) 562 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17 21 01 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K-左加群とし、p を E のノルム( 561)とする。 E は K-位相加群( 372)である。 証明 x, y を E の任意の元とする。 d(x, y) = p(x - y) は E の距離である。 この距離により E に一様構造( 194)を入れる( 199)。 x, y, u, v を E の任意の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 p(x - u) ＜ ε/2, p(y - v) ＜ ε/2 のとき p(x + y - (u + v)) ≦ p(x - a) + p(y - b) ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は E×E → E の連続写像である。 任意の ε ＞ 0 に対して、p(x - u) ＜ ε のとき p(-x - (-u)) = p(-(x - u)) = p(x - u) ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は E → E の連続写像である。 α、β を K の元、x, y を E の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + φ(β) + p(y))) とする。 δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + φ(β) + p(y)) p(α - β) ＜ δ, p(x - y) ＜ δ のとき p(αx - βy) = p((α - β)(x - y) + (α - β)y + β(x - y)) ≦ φ(α - β)p(x - y) + φ(α - β)p(y) + φ(β)p(x - y)| ≦ δ^2 + δp(y) + φ(β)δ ＜ δ(1 + φ(β) + p(y)) ＜ ε 従って写像 h(α, x) = αx は K×E → E の連続写像である。 証明終 563 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17 34 45 C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x と y を C^n の２元とする。 (x, y) は (x^)y~ を表すとする。ここで x^ は x の転置行列、 y~ は y の各成分の複素共役を成分とするものとする。 (x, y) をエルミート内積または単に内積と言う。 |x| = |(x, x)| と書き、|x| を x のノルムと言う。 564 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17 49 10 訂正 563 |x| = |(x, x)| と書き、|x| を x のノルムと言う。 |x| = √((x, x)) と書き、|x| を x のノルムと言う。 565 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17 49 49 命題(Cauchy-Schwartzの不等式) C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x と y を C^n の２元とする。 (x, y) を内積( 563)とする。 このとき |(x, y)| ≦ |x||y| 証明 y = 0 のときは自明なので y ≠ 0 としてよい。 λ を複素数とする。 |x - λy|^2 = (x - λy, x - λy) = (x, x) - λ~(x, y) - λ(y, x) + |λ|^2(y, y) λ = (x, y)/(y, y) とすると、 |x - λy|^2 = (x, x) - |(x, y)|^2/(y, y) - |(x, y)|^2/(y, y) + |(x, y)|^2/(y, y) = (x, x) - |(x, y)|^2/(y, y) 従って |(x, y)|^2/(y, y) ≦ (x, x) 即ち |(x, y)|^2 ≦ (x, x)(y, y) よって |(x, y)| ≦ |x||y| 証明終 566 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 18 18 22 命題 C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x と y を C^n の２元とすると |x + y| ≦ |x| + |y| 証明 |x + y|^2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = |x|^2 + (x, y) + (x, y)~ + |y|^2 = |x|^2 + 2Re((x, y)) + |y|^2 ≦ |x|^2 + 2|(x, y)| + |y|^2 565 よりこの右辺 ≦ |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2 よって |x + y|^2 ≦ (|x| + |y|)^2 即ち |x + y| ≦ |x| + |y| 証明終 567 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 18 20 43 566 より C^n は |x| によりノルム空間( 561)である。 568 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03 16 10 H をハミルトンの４元数体( 507)とする。 n ＞ 0 を有理整数として H^n を H 上の n 次元列ベクトルの全体とする。 x と y を H^n の２元とする。 (x, y) は (x^)y~ を表すとする。ここで x^ は x の転置行列、 y~ は y の各成分の共役( 507)を成分とするものとする。 (x, y) をシンプレクティック内積または単に内積と言う。 |x| = √(x, x) と書き、|x| を x のノルムと言う。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ H^n としたとき、 (x, x) = (x_1)(x_1)~ + . . . + (x_n)(x_n)~ = N(x_1) + . . . + N(x_n) ここで、各 N(x_i) は４元数 x_i のノルム( 507)である。 従って、H^n を R^(4n) と同一視したとき |x| はユークリッドノルムと なる。 従って、x と y を H^n の２元とすると、|x + y| ≦ |x|+ |y| となる。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ H^n, q ∈ H のとき (qx, qx) = N(q(x_1)) + . . . + N(q(x_n)) = N(q)N(x_1) + . . . + N(q)N(x_n) = N(q)(N(x_1) + . . . + N(x_n)) = N(q)(x, x) よって |qx| = |q||x| 以上から H^n は |x| によりノルム空間( 561)である。 569 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03 32 53 C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ C^n としたとき、 p(x) = sup(|x_i|), i = 1, . . ., n と書く。 p(x + y) = sup(|x_i + y_i|) ≦ sup(|x_i| + |y_i|) ≦ p(x) + p(y) λ ∈ C のとき p(λx) = sup(|λx_i|) = |λ|sup(|x_i|) = |λ|p(x) 以上から p(x) は C^n のノルムである。 q(x) = Σ|x_i|, i = 1, . . ., n と書く。 q(x + y) = Σ(|x_i + y_i|) ≦ Σ(|x_i| + |y_i|) ≦ q(x) + q(y) λ ∈ C のとき q(λx) = Σ|λ||x_i| = |λ|Σ|x_i| = |λ|q(x) 以上から q(x) も C^n のノルムである。 570 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03 42 40 定義 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム( 561)とする。 p と q が E 上に同じ位相を定義するとき同値であると言う。 571 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03 57 34 補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム( 561)とする。 実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) ≦ bp(x) とする。 このとき p と q は同値( 570)である。 証明 任意の実数 ε ＞ 0 に対して q(x) ≦ aε なら ap(x) ≦ q(x) より p(x) ≦ (1/a)q(x) ≦ ε よって恒等写像 (E, q) → (E, p) は連続である。 同様に、任意の実数 ε ＞ 0 に対して p(x) ≦ ε/b なら q(x) ≦ bp(x) より q(x) ≦ ε よって恒等写像 (E, p) → (E, q) は連続である。 証明終 572 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04 27 26 補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム( 561)とする。 恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続なら、 実数 a ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) となる。 証明 恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続だから、 実数 δ ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して q(x) ≦ δ なら p(x) ≦ 1 となる。 K 上の絶対値は自明でないから 0 ＜ |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K がある。 x ≠ 0 を E の任意の元とする。 n を (|λ|^n)q(x) ≦ δ となる整数 n の中で最小のものとする。 (|λ|^n)q(x) ≦ |λ|δ なら (|λ|^(n-1))q(x) ≦ δ となって n の最小性に反するから |λ|δ ＜ (|λ|^n)q(x) である。 (|λ|^n)q(x) = q((λ^n)x) ≦ δ だから p((λ^n)x) ≦ 1 よって p(x) ≦ 1/|λ^n| 一方 |λ|δ ＜ (|λ|^n)q(x) より 1/|λ^n| ＜ q(x)/(|λ|δ) よって p(x) ＜ q(x)/(|λ|δ) a = |λ|δ とおけば ap(x) ≦ q(x) この不等式は x = 0 のときにも成り立つ。 証明終 573 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04 37 53 補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム( 561)とする。 p と q が同値( 570)であるための必要十分条件は 実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) ≦ bp(x) となることである。 証明 十分なことは 571 で証明されている。 必要なことを証明する。 p と q が同値なら恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続だから 572 より実数 a ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) となる。 恒等写像 (E, p) → (E, q) も連続だから 572 より実数 1/b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して (1/b)q(x) ≦ p(x) 即ち q(x) ≦ bp(x) となる。 証明終 574 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04 38 49 訂正 573 は補題でなく命題である。 575 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04 52 32 C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ C^n としたとき、 次の不等式は容易に確かめられる。 sup(|x_i|) ≦ √(Σ|x_i|^2) ≦ Σ|x_i| ≦ n sup(|x_i|) よって 573 より三つのノルム( 567, 569) √(Σ|x_i|^2), sup(|x_i|), Σ|x_i| は同値である。 576 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 09 50 51 補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p を E のノルム( 561)とする。 p は E から R+ への写像として一様連続である。 証明 x と y を E の任意の元とする。 p(x) ≦ p(x - y) + p(y) より p(x) - p(y) ≦ p(x - y) p(y) ≦ p(y - x) + p(x) より p(y) - p(x) ≦ p(x - y) よって |p(x) - p(y)| ≦ p(x - y) これから直ちに p の一様連続性が出る。 証明終 577 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 10 21 44 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を 左 K-加群とし、p を E のノルム( 561)とする。 K の完備化( 475)を K^ とし、 E の位相アーベル群としての完備化を E^ とする。 562 より E は K-位相加群( 372)である。 従って 376 より E^ は K^-位相加群となる。 p は E^ に連続延長され、延長された p^ は E^ のノルムとなり、 それは E^ の位相を定義する。 578 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 10 23 41 577 の証明 576 より p は一様連続だから一様連続写像の延長定理( 272) より E^ に連続延長される。その延長された写像を p^ と書く。 x, y を E^ の任意の２元とする。 不等式延長の原理( 473)より p^(x + y) ≦ p^(x) + p^(y) λ を K^ の任意の元とする。 (λ, x) → λx は連続写像 K^×E^ → E^ だから 等式延長の原理( 265)より p^(λx) = |λ|p^(x) よって p^ は E^ のノルムである。 位相アーベル群 E の完備化としての E^ の一様構造を α とし、 p^ で定義される一様構造を β とする。 φ^ は α で連続だから、任意の ε ＞ 0 に対して、 E^ における 0 の近傍 V があり x ∈ V なら |p^(x)| ＜ ε となる。 よって y - x ∈ V なら p^(x - y) ＜ ε よって β ⊂ α である。 α と β は K で一致するから 474 より α = β である。 証明終 579 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 11 02 20 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K 上の有限個のノルム空間の列 E_1, . . ., E_n を考える。 各 E_i のノルムは p_i とする。 積空間 E = ΠE_i の元 x = (x_1, . . ., x_n) に対して p(x) = sup(p_i(x_i)) とおく。 p が E のノルムになることは 569 と同様である。 p(x) ＜ a は各 i で p_i(x_i) ＜ a と同値である。 よって p が定義する位相は各 E_i の積位相である。 q(x) = Σp_i(x_i) とおく。 q が E のノルムになることは 569 と同様である。 r(x) = (Σ(p_i(x_i))^2)^(1/2) とおく。 r(x + y) ≦ r(x) + r(y) は a_i ≧ 0, b_i ≧ 0 のときのユークリッドノルムの不等式 (Σ(a_i + b_i)^2)^(1/2) ≦ (Σ(a_i)^2)^(1/2) + (Σ(b_i)^2)^(1/2) から出る。 よって r も E のノルムである。 575 と同様に p, q. r は同値である。 580 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 11 11 38 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 579 より K^n にも３個の同値なノルム p, q, r が定義される。 K として複素数体 C を取れば、 C^n のノルム r は 566 で定義したノルム |x| と同じである。 K としてハミルトンの４元数体( 507) H を取れば、 H^n のノルム r は 568 で定義したノルム |x| と同じである。 581 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12 27 14 命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E と F を K 上のノルム空間とし、 f E → F を K-線形写像とする。 x と y がそれぞれ E と F の元のとき各ノルムはそれぞれ |x|, |y| で表す。 f が連続であるためには、a ＞ 0 があり、任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ a|x| となることが必要十分である。 証明 十分なこと： 任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ a|x| となるとする。 s を E の任意の点とする。 任意の ε ＞ 0 に対して |x - s| ＜ ε/a なら |f(x) - f(s)| = |f(x - s)| ≦ a|x - s| ＜ ε よって f は s で、従って E で連続である。 (続く) 582 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12 31 19 必要なこと： f は 0 で連続だから、実数 δ ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して |x| ≦ δ なら |f(x)| ≦ 1 となる。 K 上の絶対値は自明でないから 0 ＜ |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K がある。 x ≠ 0 を E の任意の元とする。 572 と同様に |λ|δ ＜ (|λ|^n)|x| ≦ δ となる整数 n が唯一つ存在する。 |(λ^n)x| = (|λ|^n)|x| ≦ δ だから |f((λ^n)x)| ≦ 1 よって (|λ|^n)|f(x)| ≦ 1 よって |f(x)| ≦ 1/|λ|^n 一方 |λ|δ ＜ (|λ|^n)|x| だから 1/|λ|^n ＜ |x|/(|λ|δ) よって |f(x)| ＜ |x|/(|λ|δ) a = 1/(|λ|δ) とおけば、|f(x)| ＜ a|x| よって |f(x)| ≦ a|x| これは x = 0 のときにも成り立つ。 証明終 583 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12 46 03 定義 K を可換とは限らない位相体( 190)とする。 左 K-位相加群( 372)を K 上の左位相ベクトル空間または単に K 上の位相ベクトル空間と言う。 K 上の右位相ベクトル空間も同様に定義される。 584 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 17 32 18 位相ベクトル空間をその原点の近傍全体で特徴付けよう。 まず位相空間の各点の近傍全体を特徴付ける。 585 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 17 37 34 命題 X を位相空間とする。 X の点 x の近傍全体 Φ(x) は以下の条件を満たす。 1) Φ(x) は X のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ(x) なら x ∈ V 3) V ∈ Φ(x) なら W ∈ Φ(x) があり、W の任意の点 y に対して V ∈ Φ(y) 証明 近傍の定義( 80)から明らかである。 586 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 19 15 07 命題 集合 X の各点に以下の条件をみたす X の部分集合の集合 Φ(x) が対応しているとき、X の位相が定まり、全ての x ∈ X に対して その近傍全体が Φ(x) となる。 1) Φ(x) は X のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ(x) なら x ∈ V 3) V ∈ Φ(x) なら W ∈ Φ(x) があり、W の任意の点 y に対して V ∈ Φ(y) 証明 X の部分集合 U が開集合であるとは、x ∈ U なら U ∈ Φ(x) である と定義する。 (U_λ), λ ∈ L を開集合の族とし、U を (U_λ) の和集合とする。 x ∈ U なら x ∈ U_λ となる λ がある。 U_λ ∈ Φ(x) だから 1) より U ∈ Φ(x) である。 U と V を開集合とする。 x ∈ U ∩ V なら U ∈ Φ(x), V ∈ Φ(x) だから 1) より U ∩ V ∈ Φ(x) である。 以上で X の位相が定まった。 V ∈ Φ(x) のとき U = { y ∈ X; V ∈ Φ(y) } とおく。 y ∈ U なら V ∈ Φ(y) だから 3) より W ∈ Φ(y) があり、 任意の z ∈ W に対して V ∈ Φ(z) である。 よって W ⊂ U である。 W ∈ Φ(y) だから 1) より U ∈ Φ(y) である。 y は U の任意の元だから U は開集合である。 x ∈ U ⊂ V だから V は x の近傍である。 証明終 587 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 19 23 13 命題 G を位相群とする。 G の単位元 e の近傍全体 Φ は以下の条件を満たす。 1) Φ は G のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW ⊂ V 3) V ∈ Φ なら V^(-1) ∈ Φ 4) V ∈ Φ なら任意の g ∈ G に対して gVg^(-1) ∈ Φ 証明 位相群の定義( 72)から明らかである。 588 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 20 53 13 命題 群 G の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が G の単位元 e の近傍全体と一致するような G の位相が 唯一つ存在し、その位相により G は位相群となる。 1) Φ は G のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW ⊂ V 3) V ∈ Φ なら V^(-1) ∈ Φ 4) V ∈ Φ なら任意の g ∈ G に対して gVg^(-1) ∈ Φ 589 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 20 56 45 588 の証明 2) より x ∈ W なら e = xx^(-1) ∈ V である。 よって g ∈ G に対して Φg は g を含むフィルターになる。 V ∈ Φ のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 x ∈ Wg なら Wx ⊂ WWg ⊂ Vg よって Vg ∈ Φx よって Φg は 586 の 3) を満たす。 従って 586 より Φg は g の近傍のフィルターである。 μ G×G → G を μ(x, y) = xy により定義される写像とする。 ν G → G を ν(x) = x^(-1) により定義される写像とする。 μ と ν が連続であることを証明すればよい。 g, h を G の元とする。 任意の V ∈ Φ に対して WW ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 U = W ∩ g^(-1)Wg とおくと、U ∈ Φ である。 U ⊂ W gUg^(-1) ⊂ W よって UgUh = UgUg^(-1)gh ⊂ WWgh ⊂ Vgh よって μ は (g, h) で連続である。 g を G の元とする。 任意の V ∈ Φ に対して W^(-1) ⊂ gVg^(-1) となる W ∈ Φ がある。 (Wg)^(-1) = g^(-1)W^(-1) ⊂ Vg^(-1) よって ν は g で連続である。 証明終 590 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 21 04 16 命題 アーベル群 G の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が G の単位元 0 の近傍全体と一致するような G の位相が 唯一つ存在し、その位相により G は位相アーベル群となる。 1) Φ は G のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ 証明 588 より明らかである。 591 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 22 38 26 命題 A を可換とは限らない環であり同時に位相空間とする。 A が位相環であるためには A が以下の条件すべてを満たすことが 必要十分である。 1) A は加法に関して位相群である。 2) 任意の a ∈ A に対して写像 x → ax と写像 x → xa は x = 0 で連続である。 3) A×A から A への写像 (x, y) → xy は (0, 0) で連続である。 証明 上記の条件が必要なことは明らかである。 上記の条件が成り立つとする。 A×A から A への写像 (x, y) → xy が連続であることを示せばよい。 a, b を A の任意の元とする。 2) より 0 の任意の近傍 V に対して a(W_1) ⊂ V, (W_2)b ⊂ V となる 0 の近傍 W_1, W_2 がある。 3) より、UU ⊂ V となる 0 の近傍 U がある。 W = U ∩ W_1 ∩ W_2 とする。 x - a ∈ W, y - b ∈ W なら xy - ab = (x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b) ∈ WW + Wb + aW ⊂ V + V + V 証明終 592 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 22 39 50 Kummer----------!!! --ミ､、_ ｀ " ―┼――――l. . . . . . l | ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;i; ; ; ; ; ; ; ; ; ;| ミ三三ﾐ ー‐-- ､、＿ | j -―――‐t―――----┴-{ _; _;_ _; _; _; _; _; _; i; _; _; _; _; _; | ﾐミ三三、 .u ､ｰ=､` ┴―――fミ ,ﾆ三三三三 r―､ rﾐ､_;_ _; _; _; _; _; _; ;i; _; _; _; _; _; ;| ﾐミミ三ｼ . . .u `― l ii l (ヲ lミil三三三三彡 j ｀￣ ヾ i. , 一, ､ｰ､ ヾﾐl ﾐミミf " _,,.,,_ . . . .. _j_ . . . . j lﾐﾘﾆ三三シ´ _,. - 、 __ l､,. .. `""´ `" ,iﾐl ﾐミミ ,ｨでiﾝﾐ、 . .､__, -,ｨも=､ ,l l三三三ミ . . . . ｨ "でi、. . ,rtｯ . j , -‐‐- . . ｰ- ､.ヾl ミミ J. ´￣｀ﾞ`ラ . . 三 f"´￣｀ lj ＼三三ﾐ . . . . .｀`＝ﾞ^ . iｰ{ ,ｨ で入 . . ,ｨ で) ､ ∥ ミﾐ ｀二ﾆノ ,、 jl ,` ― " ,l!人 ヾ三ミ u , ﾞ , ｀ﾞﾞﾞ"´ﾉ. ,｀ﾞﾞﾞ"´ .| ;ミ ,ィ " ﾄ、 ,!rぅ ,三ｼ ,r __ ） !. u , , . | ミ; u ／ `^ヽ,＿ノi , ヽ二ノ l三 ﾞ U ,. `´ ｰｲ , ... /ゝ =､_,,r｀､.u l ﾐ ／ _,,...,＿,,..,、l u ./ヾﾐ. ,三 , , ´ ／ _,,__,、/ .. , i . l N ／ ,ィiTTTTTト, ,} ,/ l三 ` " / / ／_,∠二,ｰｱﾉ/ u . _,ｨｪｪｪｭ､ l i ;ヽ U { ,/⌒ ｰ ‐ ‐ ‐ ,ﾘ l / ,l^` . . . . l , ,. h､ . ﾞ . .lf´, / , . i 〈-‐‐rー, i l . / 、 ヽ l {,ゝ､‐r‐ ﾝ-i/ ,/ ,ｲ/7 . , . . . . ; ; , ヾゞｚｪｿ ;/ヽヽ l ヽｚｪｪｪｭﾘ ! / ヽヽ丶 丶 ヾ Zェｪｪｼ ﾉ ,i ∧ , , ,. - 、 丶 ､_｀ 一 /,､.| ヽ .. ヽ ヽﾆ二ﾉ / ヽヽ 丶、 ｀ ｀ ‐ -- ‐ "/ノ ヽヽ、 . . . . 丶、 ﾞﾞﾞﾞ /l |ﾉ ヽ . / 593 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 22 42 53 命題 可換とは限らない環 A の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が 0 の近傍全体と一致するような A の位相が 唯一つ存在し、その位相により A は位相環( 189)となる。 1) Φ は A のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ 4) 任意の a ∈ A と任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり aW ⊂ V, Wa ⊂ V, 5) 任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり WW ⊂ V 証明 590 と 591 より明らかである。 594 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 23 59 46 （ 593の続き） 大学時代、サークルのやつらでドライブしてるときに いちばんカワイイ子に 「オナニーしてんの？」て唐突にきいたら 「えっ？えっ？」て感じで戸惑ってたから 「あー、オナニーしてんだｗ」て畳みかけたら 顔真っ赤にして、コクリと肯いたのには激しく勃起しました。 そのときは夜中の妙なハイテンションになってて いま思えば俺も変態まるだしだったのだが 「こんな勃起しちゃったよ～」てチンコ出して握らせた。 そしたらその子も勃起してて、しかも俺よりデカくてビックリ。顔かわいいのに・・・ 595 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 20 30 a 596 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 21 07 b 597 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 21 38 c 598 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 22 50 d 599 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 23 22 e 600 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03 23 53 f タグ： コメント