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https://w.atwiki.jp/aion20memo/pages/1723.html
遺物交換総まとめ 古代の遺物と古代ルーン族の聖物は、交換するNPCによって獲得できるアビスポイントが変わる。 なので、より多くのアビスポイントに交換してくれるNPCを探すことが不可欠である。 遺物交換表 ※パンゲアは年内に実装予定です 聖物、王冠、聖杯交換→パンゲア要塞 パンゲア要塞を占領している陣営は、パンゲア要塞で、最高の割合で聖物、王冠、聖杯を交換することができる。(160%の割合) さらに、売却店方式なので、一度に必要な分だけ交換することができる利便性までも備えている。 ※65レベル要塞の遺物担当監督官は占領レギオン専用ですが、パンゲア要塞の監督官は、その陣営なら誰でも利用することができる。 ・交換場所：パンゲア要塞内部にある遺物担当監督官・交換率：160%・交換方式：売却店方式・移動方法：種族別首都の中心部にある前進の回廊→占領しているパンゲア要塞に移動 聖物交換→地下カタラム "古代ルーン族の聖物"は地下カタラムの"ホークルン"で高い割合で交換することができる。(150%の割合) 天族/魔族共通NPCなので、多少のリスクがあるから、周りをよく確認しなければならない。 ・交換場所：地下カタラム(ホークルン)・交換率：150%・交換方式：売却店方式・移動方法：空間移動士→南カタラム・パンダロンス(移動案内員)→地下カタラム 地下カタラム"ホークルン"の場所 売却店方式で、一度に任意の数を交換することができる。 王冠、聖杯交換→レベル5村 "古代の王冠"と"古代の聖杯"は、レベル5の村でもアビス深層と同じで割合で交換することができる。(150%の割合) レベル5以上に成長した村で反復課題を達成した場合、王冠と聖杯をセットで交換してくれるNPCが一定時間登場する。 このNPCは誰でも利用することができるので、NPCがいない場合、他の村で召喚されたNPC探してみよう。 ※ここでは、一度に10個ずつのセットでのみ交換を行うことができる。セット交換で余った分は、アビス深層に行って1個ずつ交換すればよい。 ・交換場所：レベル5村の中心部(村の成長課題)・交換率：150%・交換方式：1度に10個ずつ交換・移動方法：種族別首都(空間移動士)→住居エリア：エリアン/ペルノンに移動→レベル5の村に移動 レベル5村の反復課題を達成すると遺物交換NPCが登場する。 一度に10個ずつ交換することができる。 王冠、聖杯交換→アビス深層部 "古代の王冠"と"古代の聖杯"は、アビス深層で交換すればよい。(150%の割合) ここでは、1個ずつ交換する必要があるので、多く交換する場合、時間がかかるので敵対種族からの奇襲に注意しなければならない。 ・交換場所：アビス深層部(モモリンリン/アマルン)・交換率：150%・交換方式：1度に1個ずつ交換・移動方法：種族別アビス拠点→飛行で深層部に移動 アビス深層部の1時方向に交換NPCがいる。 一度に1個ずつ交換することができる。 聖像、印章交換→パンダロンス "古代の印章"と"古代の聖像"は、パンダロンスのアセルンで交換するのが一番よい。(150%の割合) "アセルン"は売却店方式で交換してくれるので、一度に任意の数だけ交換することができ、パンダロンスでの移動も楽で、比較的安全な地域である。印章と聖像を交換するときは、必ずアセルンを利用しよう。 ※ただし、聖物、王冠、聖杯は他のNPCのほうが高い割合で交換できるので、アセルンで交換するのは損である。 パンダロンスに移動した後、少し移動するとアセルンがいる建物に入ることができる。 印章と聖像はアセルンを利用しよう。 [その他]聖物、王冠、聖杯交換→要塞占領レギオン 65レベル級要塞を占領しているレギオンに所属している場合は、もう少し楽に遺物交換をすることができる。 占領中に要塞の中にいるレギオン遺物担当監督官を利用すると、聖物、王冠、聖杯を150%の割合で交換することができる。 ※65レベル級要塞：アビス上層中央部要塞、アビス深層部、インギスオン要塞、ゲルクマルス要塞、カタラム要塞、アノハ要塞 ・交換場所：65レベル級要塞内部にいるレギオン遺物担当監督官・交換率：150%・交換方式：売却店方式・移動方法：自分の所属しているレギオンが占領している要塞に移動 [その他]基本交換→種族別拠点 種族別拠点でも、古代の遺物を交換することができる。しかし、交換時アビスポイントをデフォルト値(100%の割合)で獲得することになるので、なるべく交換率が高い他のNPCを利用することをおススメします。 地域 拠点 交換方式 アビス 天族：テミノン拠点 / 魔族：プリモム拠点 1度に1個ずつ交換 龍界 天族：インギスオン幻影要塞 / 魔族：ゲルクマルス要塞 1度に10個ずつ交換 サルファン 天族：エルゲーブ号 / 魔族：ラグナトゥーン号 1度に10個ずつ交換 北カタラム 天族：再建された光の塔 / 魔族：ルーンの神殿 1度に10個ずつ交換 10個セットで交換してくれるNPCもいる。 売却店方式で交換してくれるNPCもいる。しかし、交換率が低いので利用すると損である。 情報元：http //aion.power.plaync.com/wiki/%EC%9C%A0%EB%AC%BC+%EA%B5%90%ED%99%98
https://w.atwiki.jp/my-cra/pages/47.html
奥浜市の、はやもさんから譲り受けた黒羊毛のビルにて、石、レンガ系を扱う石材店を営業しております。 販売商品は、丸石、焼き石、石レンガ、レンガ、レンガブロックです。 レートは自分の都合で時々変わるかんじです。ポータル、ダイヤモンド、金、鉄、ブレイズロッドにて購入できます。 ポータル=4ダイヤ=1s金=3s鉄=6sブレイズロッド ダイヤモンド1個につき、 丸石14s、焼き石、石レンガ7s、レンガ3s、レンガブロック1s を基本交換レートとします。 現在、石壁および苔石を商品化するか検討しています。 商品化した場合、丸石壁は丸石と同価格、苔石系は1ダイヤにつき半スタックとする予定です。 苔石系は高価ですが、入手難易度ゆえ、ご了承ください。 お客様からの商品化リクエストも募集しています。 また、レンガ、レンガブロックに限り買取を行います。 買取レートは、価格の75%とします。 最後に、最近多忙の為鯖にログインできない状況が続いて。そのため、申し訳ありませんが暫く休業させていただきます。レンガ系は店内に看板を設置するなどして僕に伝えてくだされば次回ログイン時に承ります。 また、注文はこのコメントではしないようにお願いします。 店内にある丸石製造機は使用自由なので早く集めたい方はご利用ください。 それではTaketon石材店をどうぞよろしくお願いします。
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このページにはトップページの数学的な内容の要点だけまとめます。 １. 掛け算順序のはなし（その１） 小学校の教科書では，その導入時に，掛け算の式を 一つ分の数 × いくつ分＝全体の数 と書く，と説明されている。その説明を引き摺って話している間は ６×３＝６＋６＋６ なのであって，左辺は３＋３＋３＋３＋３＋３を意味しない。だからこそ ６×３＝３×６ という交換法則に意味があるのである。（そうでなかったら，交換法則は ３×６＝３×６ という自明（X=X）な式と何も変わらない。つまり法則でも何でもない）。 ２. ２１÷７のはなし ２１÷７の答えを求めるには九九の何の段を使えばよいですか？ （こたえ）７の段 当たり前。 ３. 掛け算順序のはなし（その２）〜総数をあらわす掛け算の式のはなし 問題：饅頭３つがのった皿が５皿あります。饅頭の総数をあらわす式を「一つ分×いくつ分」の形で掛け算の式で書きましょう。 という問題があったら，その答えは 答え）３×５ これ以外にありえない。 ５×３でも正解という主張はマチガイ。交換法則が成り立って ３×５＝５×３ だから，５×３でも正解という主張はトンデモ。 注１）『交換法則が成り立って ３×５＝５×３ だから，５×３でも正解』という主張は算数的にも数学的にも論理的にもトンチンカン。「交換法則を証明する前であろうが，証明した後であろうが」そういう事情には無関係に頓珍漢。
https://w.atwiki.jp/fiat500-onlinemanual/pages/170.html
ご存じの通り、ワイパーゴムは消耗品です。 長年使用していると この様にゴムがへたってきます。 最近は撥水性のワイパーゴムが数社からラインアップされています。 折角ですのでこのゴムをそれらの物と交換してしまいます。 交換する際に重要なのは断面図です。 いろいろなタイプが出ていますが これと同じ形の物を見つけだしましょう。 長さはFIAT500よりも短い物を探すのは大変なくらいなので、それほど神経質になる必要はないと思います。 心配な方は車体から外して現物あわせという手もあります。 (この台形という形もたまたまボクの物がそうであった可能性も否定出来ないので その方が確実と言えますね) ちなみに2倍以上長い物を買って半分に切って使うという方法はNGです なぜなら ワイパーには上のような切り欠きがあって、ゴムがずれないようになっているためです。 (あ、何を買ったかバレバレですね そうですガラ○です) これがないと使っているウチにずれてきます。(経験者) 買ってきたゴムを長さを合わせて切り、ワイパーブレードに差し込みます。 針金は今まで使っていた物を再使用します。 車体につければ完成です。 １本1000円弱、なかなかリーズナブルな交換法ですね。
https://w.atwiki.jp/proper/pages/40.html
◆Q31. 私にも蒸し返させて下さい。確かに抽象的な数の掛け算には交換法則 (可換性とも言うらしいですね)が成り立つので a×b と b×a の区別を 強調することはナンセンスです。しかし、算数では抽象的な数だけではなく、 「１あたり量」「いくつ分」のような意味を持った数を教えます。 「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算では交換法則は成立しません。 たとえば柴田義松監修、銀林浩・篠田幹男編著の 『算数の本質がわかる授業(2)かけ算とわり算』 (日本標準、2008年) の第1章 「乗除の学び方・教え方 『１あたり量×いくつ分＝全体量』の射程と問題点」 にもそのように書いてあります。引用しましょう。 | かけ算の導入には，大きくいって３つの方針がありえます。 |（a）同数累加：同じ数をたすことの簡略化がかけ算だとする： | ２＋２＋２＝２×３ |（b）倍：「２の３つ分を２の３倍といい，２×３と書く」 | (c）１あたり量×いくつ分＝全体量（内包量×土台量＝全体量） | 中略 | | サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くこと |にすると、 | ３箱×２個／箱＝６個 |となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。 | |ただ、（c）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの |数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。そ |こが単なる数の計算とは異なるところです（その点は（a）や（b）の乗法でも大 |なり小なり同じですが）。 | | 純粋な抽象数の場合には、先のかけわり図で「１あたり量」と「いくつ分」の |区別などありませんので、それらを除いて右側面から眺めれば、３×２に見えま |すから、 | ２×３＝３×２ |となって交換法則が成り立つ道理です。 このように純粋に抽象的な数の掛け算の交換法則の成立を明確に認めた上で、 意味のある掛け算における交換法則の成立を否定しています。 銀林浩氏もまた算数教育の大家だと思います。やはり「１あたり量×いくつ分」 の意味での掛け算では交換法則が成立しないのではないでしょうか？ ◇A31. いいえ。「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算でも可換性(交換法則) は成立しています。実際、２個/箱×３箱＝６個＝３個/箱×２箱ですよね。 たとえば、千円札が3枚入っている袋を5つもらっても、 千円札が5枚入っている袋を3つもらっても、15枚の千円札が手に入ることに 変わりはない、というようなことを理解できないようでは、 掛け算について理解したとは言えないでしょう？ この程度のことを理解できないようでは日常生活に困ること間違い無しです。 すでに上の方のQ Aでも述べていたことですが、算数の掛け算が応用可能な状況では 必ず掛け算の可換性が成立していなければいけません。掛け算の可換性が成立して いない状況に算数の掛け算は応用できません。当たり前のことなのでよく考えて みて下さい。 おそらく、銀林さんたちは、キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況と キャラメルが３個はいっている箱が２つある状況は互いに異なることと、 掛け算の交換法則の話を混同してしまっているのでしょう。 (もしくは別の種類の解釈で異なる二つの状況を混同することと掛け算の交換法則 の話を混同しているのかもしれない。) (A) キャラメルが２個はいっている箱が３つあると説明しているのに、 キャラメルが３個はいっている箱が２つあると考えるのは誤りです。 ★↑コレハ大切。 (B) しかし、２個/箱×３箱＝３個/箱×２箱は明らかに成立しています。 実際、キャラメルが２個はいっている箱が３つあっても キャラメルが３個はいっている箱が２つあっても どちらもキャラメルの総数は６個になります。 ★↑コレモ大切。 これらはまったく別の問題です。(A)を理由に掛け算の交換法則が成立しないと主張 するのは誤りだし、(B)を理由にキャラメルが２個はいっている箱が３つある状況 とキャラメルが３個はいっている箱が２つある状況はどちらも同じだと考えるのも 誤りです。 ★↑コレモ大切。 銀林さんたちに限らず、掛け算について変なことを言っている算数教育家たちには 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」と「２×３」という掛け算の 式をできるだけ同一視したがる傾向があるように思えます。 ★「同一視」は（数学者であるからそんなことは）していないと思うが、 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とする。 というのは正しい。このとき 「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」となって「２×５」とはならない。 「５×２」から「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」であるとするのは無理でも、 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 というのはマチガイ。 キャラメルの問題の文脈では「２×３」という式を書いただけで「キャラメルが ２個はいっている箱が３つある状況」を意味すると思い込んでいるのではないか？ 実際にそのように思い込んでいるならば、その文脈で「３×２」という式を見た途端 にその式は「キャラメルが３個はいっている箱が２つある状況」を意味していると 思ってしまうことも理解できます。そのような思い込みを根拠にキャラメルの問題 の文脈では「２×３」と「３×２」は等しくない考えてしまう。他の種類の妙な 思い込みもあるようなので、これとは別の思い込みがある可能性もあります。 いずれにせよ、掛け算の可換性(交換法則)を否定してしまうような思い込みは デタラメなので教育の現場から根絶されるべきだと思います。 ★同様に 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とするとき 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 という思い込みもデタラメなので教育の現場に持ち込んではならない。 このように算数教育の大家は必ずしも信用できないので注意した方が良いです。 デタラメが書かれた本を参考にして算数の授業の仕方を研究しなければいけない 小学校の先生は本当に大変だと思います。 ★同様に 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 と言っている数学者や物理学者も必ずしも信用できないので注意した方が良い。 （この質問への回答での黒木はまとも。ただしバイアスがかかっているのは相変わらず。） この話題の大きな特徴は同じような議論が何度も繰り返されることです。 それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということなのでしょうか？ 馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。 ★同様に 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 という主張も何度も繰り返されている。 それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということだろう。 馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。その通り。
https://w.atwiki.jp/183629938/pages/29.html
盗賊を倒そう 城内の盗賊を倒すと盗賊バッチが貰えます。更に、倒した時の報酬に加え、倒した盗賊レベルの毎日報酬が貰えます。 ↑ランキングで増える報酬 ↑bounty増加 このDaily bountyを増やすことで、食料と育成アイテ厶等の獲得が安定します。できるだけ早く上を目指しましょう! 交換アイテム 交換物 価格 週の個数制限 注意点 職人ハート 10,000 1個 宝石解放後追加 旗 10,000 3個 Lv30以降の建築に使う マンモス欠片 10,000 2個 200個まで集める必要がある 虎欠片 10,000 2個 200個まで集める必要がある 覚醒石 10,000 3個 覚醒解放後追加 ゴールド 4,000 1個 優先して交換 木蘭欠片 6,000 ― 星5まで交換文明や持ちキャラによって必要無覚醒素材用交換もあり カサンドラ欠片 1,800 ― 基本交換必要無 召喚コイン 4,000 10個 余裕を見て交換 麦（150,000） 500 ― 急を要する場合は有り 英雄経験値（5,000） 100 ― 序盤に必要な場合のみ有り 購入制限があるものをすべて買おうとすると154,000必要になります。 週のデイリーで足りない場合は、マンモス欠片と虎欠片を無視...ちなみに現時点最高レベルLv165を倒しても19,840/日だったはずなので足りません。 木蘭は良いの? 文明によります。 ステータスは防御寄りにも見えるため、 中世ならカール大帝と組ませて連撃狙いに ファラオなら連撃でマークをつけることも エーゲなら攻撃で後衛に置きましょう。 何れにせよ、何らかの英雄の下位互換になる場合が多く、交換優先度は低いです。 序盤に星5に出来ることを考えると、序盤はガッツリ使って、成熟（星5の数）をクリア後は覚醒素材に分解。がいいかも知れません。 使える例募集中! レベルは簡単に上がるのか 最初のうちは簡単に進みます。敵戦力が自分の数倍になってきた場合には対策が必要です。 盗賊の戦力が 対策1 対策2 対策3 自分の戦力の2〜3倍 正攻法で倒しましょう。 ー ー 自分の戦力の3〜4倍 割合ダメージで対応 ダメージ無効で対応 コントロールで対応 自分の戦力の5〜10倍 割合ダメージで対応 ダメージ軽減で対応 ダメージ無効で対応 自分の戦力の10倍以上 即死スキルで対応 基本的に、盗賊対策パーティーは同格戦力の戦いに適さない場合が多く、運要素に引っ張られがちです。極力組み替えましょう。 注意 レベルが自分の最高戦力に対して上がりすぎると、敵の強さが格段に強くなる場合があります。（「ランキングが高くなると」の可能性あり） 強くなる2箇所 割合ダメージが正常な数字ではなくなります。 割合ダメージが割合分削らず、少ししか削らなくなります。（計算式解明中） 敵の総兵士数が異常に高くなります。 序盤でこのタイプの異常に出会ってもなんとかなるのですが... 対処法は現状即死スキルのみです。新しい対処法募集中! 解決策は、ひたすらチェンジです。1週間〜2ヶ月に一回は正常な兵数の敵が出てます今のところ。 ランキングが下がる、自分の戦力が上がる。この2つも検証中です。情報募集 また、敵と編成によっては3体部隊が有効な場合などもあります。
https://w.atwiki.jp/proper/pages/38.html
「メタメタの日」a×b＝b×a―交換法則について（3） http //ameblo.jp/metameta7/entry2-11800156726.html#comment_module で行なわれた議論を紹介する。まずブログの記事を原文のまま引用する。 「メタメタの日」a×b＝b×a―交換法則について（3） 3×4＝4×3 上の式を見たら、たいていの人はあたりまえだと思う。 何故イコールが成り立つのかと理由を問われたら、だって両辺が（という用語を使うか、左も右も、と言うかの違いはあっても）どっちも12じゃないかと答えるか、かけ算では交換法則（という専門用語を忘れていなければ）が成り立つから、と答えるだろう。 さらに、左辺の3と右辺の3は同じか、と問われたら、同じに決まっているじゃないかと答えつつ、何か落とし穴があるのか、だから数学は嫌なんだと不審感を顔に浮かべるだろう。 確かに、3×4＝4×3であるように、3＝3であり、4＝4である。 しかし、×の左（前）にある左辺の3は「かけられる数」と言い、×の右（後）にある右辺の3は「かける数」と言う（同様に、左辺の4は「かける数」、右辺の4は「かけられる数」）と、小学2年の秋に教わったことになっているが、覚えている人は少ないだろう。（「かけられる数」は、後に「被乗数」、「かける数」は「乗数」と教わる。） つまり、3×4＝4×3 の式は、3と4の数の意味も明記すれば、 被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3 となる。 しかし、「かける数」という言葉はまだしも、「かけられる数」という言葉は、たいていの人は忘れているだろうし、言葉は忘れていなくても、3×4のいったいどっちが「かけられる数」で「かける数」かは途惑うだろう。 「掛ける」という言葉を「掛け算」の意味で使うことは昔からあったが、「かけられる数」という言葉は、明治時代にmultiplicandの訳として「被乗数」という用語が作られてから教科書や学校では使われるようになった。しかし日常生活では馴染みがない。おまけに「掛ける」とはどういう動作かわからない。（私の解釈は「「掛ける」のココロ」） そんな事情があるから、3×4＝4×3の左辺の3と右辺の3には、「かけられる数（被乗数）」と「かける数（乗数）」という違いがあると言われてもピンとこないのは当然だと思う。 しかし、かけ算を「同数累加」で教えていた時代（1980年代半ばまで）は、被乗数は同数累加の「同数」、乗数は「累加数」であった。 つまり、 3×4＝3＋3＋3＋3＝●●●＋●●●＋●●●＋●●● 4×3＝4＋4＋4＝●●●●＋●●●●＋●●●● ということだった。 左辺の3は、●●●というモノの個数であり、右辺の3は、●●●●というモノを加えるハタラキの回数となる。モノとハタラキでは大変な違いがある。しかも、乗数（かける数）は倍数のことだから、3×4は「3の4倍」、4×3は「4の3倍」となり、明らかに左辺と右辺の意味は違う。 そう言われて、3×4＝4×3という式を見直しても、やはり左右の3や4にそんな違いがあるとは思えない。どう見ても同じ3であり、4である。 日本の算数教育では、遠山啓が、かけ算を同数累加で「定義」することに反対し、3×4の答えを「3＋3＋3＋3」で求めても「4＋4＋4」で求めてもよいと、同数累加をかけ算の答の求め方の一つにまで貶めた。（「6×4、4×6論争にひそむ意味」『遠山啓著作集・数学教育論シリーズ5』114～121頁、初出は『科学朝日』1972年5月号） そして、現在の日本の算数教科書のかけ算の導入は、遠山の考えの線に沿っている。 被乗数・乗数という用語は、×記号の左右の数の単なる呼び名としか思えない場合もある。ところが、×の左右のどちらを被乗数・乗数とするかは、19世紀の欧米では、左を被乗数、右を乗数とする解釈が大勢であったが、20世紀になると逆の解釈が大勢になったという変化があった（日本では、19世紀後半に欧米から教わった通りに、今でも×の左が被乗数、右が乗数だが）。 詰まるところ、被乗数・乗数の区別は、乗法が同数累加の簡便算として生れた母斑かもしれないと思えてくる。 被乗数・乗数という概念が不要であることは、素因数分解の場合にはっきりする。 30＝2×3×5 のように、素因数が3つ以上ある場合に、因数を被乗数・乗数に区別することは無意味である。であるならば、 6＝2×3 と素因数が2つの場合にも、被乗数・乗数を区別することは無意味であろう。 かけ算の2つの数について、被乗数・乗数という意味を捨象して、因数×因数と理解する行き方がある。かけ算は、被乗数を乗数回累加することではなく、2つの因数から1つの積を決定する演算と理解する（2つの因数から積の数値の決まり方は、2つの因数の数だけ縦横2次元にドットを並べたアレイ図のドット数となる）。 現代中国の小学数学（日本の算数）のいくつかの教科書がこの方式である。（掲載したのは、人民教育出版社小学教室編著『九年義務教育六年制小学教科書 数学第三冊』17，18頁、2001年） つまり、 3×4＝4×3 の交換法則の理解は、次の2通りとなろう。 （１）被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3（同数3×累加数4＝同数4×累加数3） 乗数3×被乗数4＝乗数4×被乗数3（累加数3×同数4＝累加数4×同数3） （２）因数3×因数4＝因数4×因数3 （１）の左右の辺は異なる事態を表しているが、結果（積）が等しいから、等号が成立している。 （２）式の数は、（１）式の数の被乗数・乗数の意味を捨象して、数をさらに抽象化している。左右の辺で表された事態は同一の事態であり、表記の仕方が異なるだけである（結果は当然等しい）。 つまり、伝統的な（１）の交換法則の式を抽象化したのが（２）式ということになるが、逆に（１）を具象化すると、次の（３）式になる。 （３）1あたり量3×いくら分の量4＝1あたり量4×いくら分の量3 （３）は、遠山啓らの数学教育協議会が1950年代後半から提唱した「量の理論」に基づく式である。「数」についての交換法則ではなく、具体的な「量」についての交換法則だから、例えば、以下のようになる。 1人あたり3個×4人分＝1人あたり4個×3人分 3km/h×4h＝4km/h×3h 単価10円×500個＝単価500円×10個 1匹あたり8本×3匹＝1匹あたり3本×8匹 いずれも左右の辺が表している事態は異なるが、かけ算の結果（積）が等しいから、等号が成立している。左右の辺が表している事態が異なるということでは、（１）の場合と同様だが、（１）は抽象的な数の式だから、 ●●● 被乗数3×乗数4＝●●●＋●●●＋●●●＋●●●＝●●● ●●● ●●● ●●●● 被乗数4×乗数3＝●●●●＋●●●●＋●●●●＝●●●● ●●●● と、合同なアレイ図でイメージすることができ、同一のアレイ図に対する分節（見方）の違いと解釈することが可能となる。つまり、被乗数を乗数に、乗数を被乗数に交換できるから交換法則が成り立つという理屈になる。 しかし、（３）式は、具体的な量の式だから、左辺と右辺の異なる事態はどこまでいっても異なる事態のままで同一の事態にはならない。「1あたり量」の数値を「いくら分の量」の数値に、「いくら分の量」の数値を「1あたり量」の数値に交換することはできない。（さやえんどう型で、さやの外枠を外すことができないから、アレイ図のようにさやの数と1つのさやの中の豆の数を交換して見ることができないということになる。）こういう理屈から、銀林さんは、「1あたり量×いくら分」の乗法では「交換法則は成り立たない」と言った。（『算数の本質がわかる授業②かけ算とわり算』11頁、2008年） つまり銀林さんは、「1人あたり3個×4人分」の式の数量を入れ替えて、「1人あたり4個×3人分」と書くと違った状況になるから、量のかけ算では交換法則は認められないと考えるようだ。 しかし、銀林さんの師の遠山啓は、「1人あたり3個×4人分」の状況でも「トランプ配り」を考えて「1回あたり4個×3回」と書けば「1あたり量4×いくら分の量3」の式を表せることを示した。（前掲論文、1972年初出） つまり、 1人あたり3個×4人分＝1回あたり4個×3回 という形で、 1あたり量3×いくら分の量4＝1あたり量4×いくら分の量3 という「量についての交換法則」が成り立つとしたわけだが、正直なぜこんな面倒なことをしなければならないのかと思ってしまう。 遠山さんは数教協の実質的な初代委員長（小倉金之助さんが発足時の委員長）、銀林さんは2代目委員長で、去年まで委員長だったのが小林道正さんだが、小林さんの考えはずっと鮮明である。 3個/皿×4皿＝12個 4皿×3個/皿＝12個 上のどちらの式も正しいとする。（小林道正『数とは何か』46頁、2012年、ベレ出版）この考え方は、私たちがネットでずっと言い続けてきたものだ。社会では、 「単価×個数」の式も、「個数×単価」の式も、 「速さ×時間」の式も、「時間×速さ」の式も、 「密度×体積」の式も、「体積×密度」の式も、 両方の式が使われている。 量についての交換法則は、 （４）1あたり量3×いくら分の量4＝いくら分の量4×1あたり量3 で、良いではないか。 つまり、3×4＝4×3 のかけ算の交換法則の伝統的な理解は、 （１）被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3 （乗数3×被乗数4＝乗数4×被乗数3） だが、数については、 （２）因数3×因数4＝因数4×因数3 量については、 （４）1あたり量3×いくら分の量4＝いくら分の量4×1あたり量3 でいいのではないか。
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◆Q31. 私にも蒸し返させて下さい。確かに抽象的な数の掛け算には交換法則 (可換性とも言うらしいですね)が成り立つので a×b と b×a の区別を 強調することはナンセンスです。しかし、算数では抽象的な数だけではなく、 「１あたり量」「いくつ分」のような意味を持った数を教えます。 「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算では交換法則は成立しません。 たとえば柴田義松監修、銀林浩・篠田幹男編著の 『算数の本質がわかる授業(2)かけ算とわり算』 (日本標準、2008年) の第1章 「乗除の学び方・教え方 『１あたり量×いくつ分＝全体量』の射程と問題点」 にもそのように書いてあります。引用しましょう。 | かけ算の導入には，大きくいって３つの方針がありえます。 |（a）同数累加：同じ数をたすことの簡略化がかけ算だとする： | ２＋２＋２＝２×３ |（b）倍：「２の３つ分を２の３倍といい，２×３と書く」 | (c）１あたり量×いくつ分＝全体量（内包量×土台量＝全体量） | 中略 | | サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くこと |にすると、 | ３箱×２個／箱＝６個 |となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。 | |ただ、（c）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの |数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。そ |こが単なる数の計算とは異なるところです（その点は（a）や（b）の乗法でも大 |なり小なり同じですが）。 | | 純粋な抽象数の場合には、先のかけわり図で「１あたり量」と「いくつ分」の |区別などありませんので、それらを除いて右側面から眺めれば、３×２に見えま |すから、 | ２×３＝３×２ |となって交換法則が成り立つ道理です。 このように純粋に抽象的な数の掛け算の交換法則の成立を明確に認めた上で、 意味のある掛け算における交換法則の成立を否定しています。 銀林浩氏もまた算数教育の大家だと思います。やはり「１あたり量×いくつ分」 の意味での掛け算では交換法則が成立しないのではないでしょうか？ ◇A31. いいえ。「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算でも可換性(交換法則) は成立しています。実際、２個/箱×３箱＝６個＝３個/箱×２箱ですよね。 たとえば、千円札が3枚入っている袋を5つもらっても、 千円札が5枚入っている袋を3つもらっても、15枚の千円札が手に入ることに 変わりはない、というようなことを理解できないようでは、 掛け算について理解したとは言えないでしょう？ この程度のことを理解できないようでは日常生活に困ること間違い無しです。 すでに上の方のQ Aでも述べていたことですが、算数の掛け算が応用可能な状況では 必ず掛け算の可換性が成立していなければいけません。掛け算の可換性が成立して いない状況に算数の掛け算は応用できません。当たり前のことなのでよく考えて みて下さい。 おそらく、銀林さんたちは、キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況と キャラメルが３個はいっている箱が２つある状況は互いに異なることと、 掛け算の交換法則の話を混同してしまっているのでしょう。 (もしくは別の種類の解釈で異なる二つの状況を混同することと掛け算の交換法則 の話を混同しているのかもしれない。) (A) キャラメルが２個はいっている箱が３つあると説明しているのに、 キャラメルが３個はいっている箱が２つあると考えるのは誤りです。 ★↑コレハ大切。 (B) しかし、２個/箱×３箱＝３個/箱×２箱は明らかに成立しています。 実際、キャラメルが２個はいっている箱が３つあっても キャラメルが３個はいっている箱が２つあっても どちらもキャラメルの総数は６個になります。 ★↑コレモ大切。 これらはまったく別の問題です。(A)を理由に掛け算の交換法則が成立しないと主張 するのは誤りだし、(B)を理由にキャラメルが２個はいっている箱が３つある状況 とキャラメルが３個はいっている箱が２つある状況はどちらも同じだと考えるのも 誤りです。 ★↑コレモ大切。 銀林さんたちに限らず、掛け算について変なことを言っている算数教育家たちには 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」と「２×３」という掛け算の 式をできるだけ同一視したがる傾向があるように思えます。 ★「同一視」は（数学者であるからそんなことは）していないと思うが、 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とする。 というのは正しい。このとき 「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」となって「２×５」とはならない。 「５×２」から「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」であるとするのは無理でも、 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 というのはマチガイ。 キャラメルの問題の文脈では「２×３」という式を書いただけで「キャラメルが ２個はいっている箱が３つある状況」を意味すると思い込んでいるのではないか？ 実際にそのように思い込んでいるならば、その文脈で「３×２」という式を見た途端 にその式は「キャラメルが３個はいっている箱が２つある状況」を意味していると 思ってしまうことも理解できます。そのような思い込みを根拠にキャラメルの問題 の文脈では「２×３」と「３×２」は等しくない考えてしまう。他の種類の妙な 思い込みもあるようなので、これとは別の思い込みがある可能性もあります。 いずれにせよ、掛け算の可換性(交換法則)を否定してしまうような思い込みは デタラメなので教育の現場から根絶されるべきだと思います。 ★同様に 「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とするとき 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 という思い込みもデタラメなので教育の現場に持ち込んではならない。 このように算数教育の大家は必ずしも信用できないので注意した方が良いです。 デタラメが書かれた本を参考にして算数の授業の仕方を研究しなければいけない 小学校の先生は本当に大変だと思います。 ★同様に 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 と言っている数学者や物理学者も必ずしも信用できないので注意した方が良い。 （この質問への回答での黒木はまとも。ただしバイアスがかかっているのは相変わらず。） この話題の大きな特徴は同じような議論が何度も繰り返されることです。 それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということなのでしょうか？ 馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。 ★同様に 『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」 と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』 という主張も何度も繰り返されている。 それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということだろう。 馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。その通り。
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基礎計算 倍数/約数倍数 bに対しnに因る乗算数値a 約数 aに対しnに因る除算数値b 因数/素数因数 約数が3以上の整数 素数 約数が2の整数 例外 0/1 変数/方程式変数 可変を伴う任意の数値/x 方程式 変数構成を伴う等価式/y=ax 単項式/多項式/整式単項式 加減算不在の式 多項式 加減算構成を伴う式/複数の単項式に因り構成 整式 単項式/多項式総称 係数 変数に対する乗/除算定数 四則計算 多項式計算における制約最左項因り計算 加減乗除の混在に対し乗除を優先し計算 括弧全般における内部項に対し優先し計算 加法の計算法則交換法則 結合法則 乗法の計算法則交換法則 結合法則 分配法則 乗法公式1. 2. 3. 4. 5. 6. 等式特性同数の加/減/乗/除算に対し等式成立
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「メタメタの日」a×b＝b×a―交換法則について（3） http //ameblo.jp/metameta7/entry2-11800156726.html#comment_module で行なわれた議論を紹介する。まずブログの記事を原文のまま引用する。 「メタメタの日」a×b＝b×a―交換法則について（3） 3×4＝4×3 上の式を見たら、たいていの人はあたりまえだと思う。 何故イコールが成り立つのかと理由を問われたら、だって両辺が（という用語を使うか、左も右も、と言うかの違いはあっても）どっちも12じゃないかと答えるか、かけ算では交換法則（という専門用語を忘れていなければ）が成り立つから、と答えるだろう。 さらに、左辺の3と右辺の3は同じか、と問われたら、同じに決まっているじゃないかと答えつつ、何か落とし穴があるのか、だから数学は嫌なんだと不審感を顔に浮かべるだろう。 確かに、3×4＝4×3であるように、3＝3であり、4＝4である。 しかし、×の左（前）にある左辺の3は「かけられる数」と言い、×の右（後）にある右辺の3は「かける数」と言う（同様に、左辺の4は「かける数」、右辺の4は「かけられる数」）と、小学2年の秋に教わったことになっているが、覚えている人は少ないだろう。（「かけられる数」は、後に「被乗数」、「かける数」は「乗数」と教わる。） つまり、3×4＝4×3 の式は、3と4の数の意味も明記すれば、 被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3 となる。 しかし、「かける数」という言葉はまだしも、「かけられる数」という言葉は、たいていの人は忘れているだろうし、言葉は忘れていなくても、3×4のいったいどっちが「かけられる数」で「かける数」かは途惑うだろう。 「掛ける」という言葉を「掛け算」の意味で使うことは昔からあったが、「かけられる数」という言葉は、明治時代にmultiplicandの訳として「被乗数」という用語が作られてから教科書や学校では使われるようになった。しかし日常生活では馴染みがない。おまけに「掛ける」とはどういう動作かわからない。（私の解釈は「「掛ける」のココロ」） そんな事情があるから、3×4＝4×3の左辺の3と右辺の3には、「かけられる数（被乗数）」と「かける数（乗数）」という違いがあると言われてもピンとこないのは当然だと思う。 しかし、かけ算を「同数累加」で教えていた時代（1980年代半ばまで）は、被乗数は同数累加の「同数」、乗数は「累加数」であった。 つまり、 3×4＝3＋3＋3＋3＝●●●＋●●●＋●●●＋●●● 4×3＝4＋4＋4＝●●●●＋●●●●＋●●●● ということだった。 左辺の3は、●●●というモノの個数であり、右辺の3は、●●●●というモノを加えるハタラキの回数となる。モノとハタラキでは大変な違いがある。しかも、乗数（かける数）は倍数のことだから、3×4は「3の4倍」、4×3は「4の3倍」となり、明らかに左辺と右辺の意味は違う。 そう言われて、3×4＝4×3という式を見直しても、やはり左右の3や4にそんな違いがあるとは思えない。どう見ても同じ3であり、4である。 日本の算数教育では、遠山啓が、かけ算を同数累加で「定義」することに反対し、3×4の答えを「3＋3＋3＋3」で求めても「4＋4＋4」で求めてもよいと、同数累加をかけ算の答の求め方の一つにまで貶めた。（「6×4、4×6論争にひそむ意味」『遠山啓著作集・数学教育論シリーズ5』114～121頁、初出は『科学朝日』1972年5月号） そして、現在の日本の算数教科書のかけ算の導入は、遠山の考えの線に沿っている。 被乗数・乗数という用語は、×記号の左右の数の単なる呼び名としか思えない場合もある。ところが、×の左右のどちらを被乗数・乗数とするかは、19世紀の欧米では、左を被乗数、右を乗数とする解釈が大勢であったが、20世紀になると逆の解釈が大勢になったという変化があった（日本では、19世紀後半に欧米から教わった通りに、今でも×の左が被乗数、右が乗数だが）。 詰まるところ、被乗数・乗数の区別は、乗法が同数累加の簡便算として生れた母斑かもしれないと思えてくる。 被乗数・乗数という概念が不要であることは、素因数分解の場合にはっきりする。 30＝2×3×5 のように、素因数が3つ以上ある場合に、因数を被乗数・乗数に区別することは無意味である。であるならば、 6＝2×3 と素因数が2つの場合にも、被乗数・乗数を区別することは無意味であろう。 かけ算の2つの数について、被乗数・乗数という意味を捨象して、因数×因数と理解する行き方がある。かけ算は、被乗数を乗数回累加することではなく、2つの因数から1つの積を決定する演算と理解する（2つの因数から積の数値の決まり方は、2つの因数の数だけ縦横2次元にドットを並べたアレイ図のドット数となる）。 現代中国の小学数学（日本の算数）のいくつかの教科書がこの方式である。（掲載したのは、人民教育出版社小学教室編著『九年義務教育六年制小学教科書 数学第三冊』17，18頁、2001年） つまり、 3×4＝4×3 の交換法則の理解は、次の2通りとなろう。 （１）被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3（同数3×累加数4＝同数4×累加数3） 乗数3×被乗数4＝乗数4×被乗数3（累加数3×同数4＝累加数4×同数3） （２）因数3×因数4＝因数4×因数3 （１）の左右の辺は異なる事態を表しているが、結果（積）が等しいから、等号が成立している。 （２）式の数は、（１）式の数の被乗数・乗数の意味を捨象して、数をさらに抽象化している。左右の辺で表された事態は同一の事態であり、表記の仕方が異なるだけである（結果は当然等しい）。 つまり、伝統的な（１）の交換法則の式を抽象化したのが（２）式ということになるが、逆に（１）を具象化すると、次の（３）式になる。 （３）1あたり量3×いくら分の量4＝1あたり量4×いくら分の量3 （３）は、遠山啓らの数学教育協議会が1950年代後半から提唱した「量の理論」に基づく式である。「数」についての交換法則ではなく、具体的な「量」についての交換法則だから、例えば、以下のようになる。 1人あたり3個×4人分＝1人あたり4個×3人分 3km/h×4h＝4km/h×3h 単価10円×500個＝単価500円×10個 1匹あたり8本×3匹＝1匹あたり3本×8匹 いずれも左右の辺が表している事態は異なるが、かけ算の結果（積）が等しいから、等号が成立している。左右の辺が表している事態が異なるということでは、（１）の場合と同様だが、（１）は抽象的な数の式だから、 ●●● 被乗数3×乗数4＝●●●＋●●●＋●●●＋●●●＝●●● ●●● ●●● ●●●● 被乗数4×乗数3＝●●●●＋●●●●＋●●●●＝●●●● ●●●● と、合同なアレイ図でイメージすることができ、同一のアレイ図に対する分節（見方）の違いと解釈することが可能となる。つまり、被乗数を乗数に、乗数を被乗数に交換できるから交換法則が成り立つという理屈になる。 しかし、（３）式は、具体的な量の式だから、左辺と右辺の異なる事態はどこまでいっても異なる事態のままで同一の事態にはならない。「1あたり量」の数値を「いくら分の量」の数値に、「いくら分の量」の数値を「1あたり量」の数値に交換することはできない。（さやえんどう型で、さやの外枠を外すことができないから、アレイ図のようにさやの数と1つのさやの中の豆の数を交換して見ることができないということになる。）こういう理屈から、銀林さんは、「1あたり量×いくら分」の乗法では「交換法則は成り立たない」と言った。（『算数の本質がわかる授業②かけ算とわり算』11頁、2008年） つまり銀林さんは、「1人あたり3個×4人分」の式の数量を入れ替えて、「1人あたり4個×3人分」と書くと違った状況になるから、量のかけ算では交換法則は認められないと考えるようだ。 しかし、銀林さんの師の遠山啓は、「1人あたり3個×4人分」の状況でも「トランプ配り」を考えて「1回あたり4個×3回」と書けば「1あたり量4×いくら分の量3」の式を表せることを示した。（前掲論文、1972年初出） つまり、 1人あたり3個×4人分＝1回あたり4個×3回 という形で、 1あたり量3×いくら分の量4＝1あたり量4×いくら分の量3 という「量についての交換法則」が成り立つとしたわけだが、正直なぜこんな面倒なことをしなければならないのかと思ってしまう。 遠山さんは数教協の実質的な初代委員長（小倉金之助さんが発足時の委員長）、銀林さんは2代目委員長で、去年まで委員長だったのが小林道正さんだが、小林さんの考えはずっと鮮明である。 3個/皿×4皿＝12個 4皿×3個/皿＝12個 上のどちらの式も正しいとする。（小林道正『数とは何か』46頁、2012年、ベレ出版）この考え方は、私たちがネットでずっと言い続けてきたものだ。社会では、 「単価×個数」の式も、「個数×単価」の式も、 「速さ×時間」の式も、「時間×速さ」の式も、 「密度×体積」の式も、「体積×密度」の式も、 両方の式が使われている。 量についての交換法則は、 （４）1あたり量3×いくら分の量4＝いくら分の量4×1あたり量3 で、良いではないか。 つまり、3×4＝4×3 のかけ算の交換法則の伝統的な理解は、 （１）被乗数3×乗数4＝被乗数4×乗数3 （乗数3×被乗数4＝乗数4×被乗数3） だが、数については、 （２）因数3×因数4＝因数4×因数3 量については、 （４）1あたり量3×いくら分の量4＝いくら分の量4×1あたり量3 でいいのではないか。