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曲Data Lv BPM TOTAL NOTES 平均密度 ★21 208-208 1326 13.05Notes/s 譜面構成・攻略 譜面画像
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2007年15号集計結果(有効票数208)備考 2007年15号集計結果(有効票数208) (平均) (合計)(標準偏差)[1← ★ ...→5]_有効票数 エムゼロ...… 3.60 0645 1.052 [005_019_061_051_043]_179 ワンピ .......… 3.36 0648 1.057 [016_013_074_066_024]_193 テニプリ ...… 3.30 0584 1.412 [024_036_029_039_049]_177 ジャガー....… 3.11 0541 1.088 [009_047_054_044_020]_174 ネウロ...…… 3.04 0604 1.161 [024_039_061_056_019]_199 P2!.....……… 2.95 0542 1.236 [026_043_054_037_024]_184 うさぎ……… 2.91 0565 1.095 [019_053_063_044_015]_194 銀魂 ……… 2.85 0544 0.959 [012_061_069_042_007]_191 郷田豪 …… 2.82 0545 0.995 [018_052_078_036_009]_193 太臓 ……… 2.81 0517 1.082 [019_059_056_038_012]_184 こち亀 .......… 2.69 0465 0.774 [010_054_092_014_003]_173 ナルト....…… 2.65 0507 1.079 [034_047_067_037_006]_191 アイシル....… 2.62 0479 0.981 [026_056_065_034_002]_183 ラルグラ....… 2.45 0458 0.957 [030_072_059_023_003]_187 リボーン . … 2.26 0377 0.975 [045_050_058_012_002]_167 ムヒョ.....…… 2.11 0332 0.898 [043_063_043_006_002]_157 Dグレ....…… 2.09 0334 0.961 [052_055_042_009_002]_160 とらぶる ...… 2.06 0383 1.159 [080_045_040_012_009]_186 ブリーチ . … 2.05 0379 1.007 [061_075_035_007_007]_185 ペンギン ..… 1.61 0226 0.878 [082_038_013_006_001]_140 15号総括 … 3.16 0183 0.834 [001_008_035_009_005]_58 備考
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最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時25分40秒 代数的整数論 II(101-200) 元スレ: http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/101-200 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/101-200 101 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 13 07 17 99 失礼しました。 102 :208:2005/11/28(月) 13 12 21 A の元を成分とする (m, n)型の行列 X に対して 以下の操作を考える 1) 2つの行を入れ替える 2) ある行の定数倍を別の行に加える 3) 2つの列を入れ替える 4) ある列の定数倍を別の列に加える 5) X の各項に A のある単数(可逆元のこと)を掛ける これ等は、X に適当な可逆行列を右または左から掛けることに より実現されることは容易にわかる。 103 :208:2005/11/28(月) 13 37 06 補題 A を単項イデアル整域とする。 a_1, ..., a_n を A の元で、それらで生成されるイデアル (a_1, ..., a_n) が A と一致するとする。 このとき、a_1, ..., a_n を行または列とする可逆行列が存在する。 証明 L = A^n を A-自由加群と見なす。 L の標準基底を e_1, .. e_n とする。 仮定より、Σ(a_i)(b_i) = 1 となる元の列 b_1, ..., b_n が 存在する。 A-加群としての射 f L → A を、 f(x_1, ... , x_n) = Σ(x_i)(b_i) で定義する。 a = (a_1, ... , a_n) とすれば f(a) = 1 となる。 s L → A を s(1) = a で定義すれば、fs = 1 である。 よって、前スレの648より 0 → Ker(f) → L → A → 0 は分解する。 つまり、L = Aa + Ker(f) (直和) となる。 前スレの650より Ker(f) は自由だから、 a は L の基底の一部になる。 標準基底 e_1, .. e_n をこの基底に変換する行列が求めるものである。 証明終 104 :208:2005/11/28(月) 13 43 51 103 から (a, b) = (1) のとき、2次の行列 (a, b | c, d) が 可逆となるような c, d が存在することがわかるが、これは 次のように直接にもわかる。 ax + by = 1 とすれば (a, b | -y, x) の行列式は 1 だから (a, b | -y, x) は可逆である。 105 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 14 36 31 トテモアタマワルイです 106 :208:2005/11/28(月) 15 45 32 A がユークリッド整域、例えば有理整数環なら、 102 の操作で、 行列 X を 98 のような対角行列に変形出来る。 基本的な方法は X の要素のユークリッド整域としての次数の最小を 基本変形により下げていく。このとき、割り算の公式 b = aq + r deg(r) deg(a) が本質的である。 ところが、A が一般の単項イデアル整域ではこの公式は使えない。 ところが、以下のアイデアによって、この困難を回避できる。 A の元 a ≠ 0 を素元に分解したときに現れる素元の重複度を込めた個数 を s(a) と書く。例えば p, q を相異なる素元としたとき、 s(qp^2) = 3 である。 このとき、 補題 A の非零元 a, b があり、b は a で割れないとする。 d を a と b の最大公約数とすると、s(d) s(a) となる。 証明は明らかだろう。 この補題がユークリッド整域の割り算の公式 b = aq + r, deg(r) deg(a) の代わりになるのである。 107 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 16 14 52 105 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 108 :208:2005/11/28(月) 16 44 46 補題 A を単項イデアル整域とする。 X = (x_(i,j))を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。 a = x_(1,1), b = x_(1,2) とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 a, b の最大公約元を d とする。 可逆な正方行列 U が存在して、XU の (1,1)-要素が d となる ように出来る。 証明 a = da b = db とおく。 a と b の最大公約元は 1 だから、a x + b y = 1 となる x, y が 存在する。 W = (x, -b | y, a ) とすれば、det(W) = 1 であるから W は可逆である( 104 参照)。 W と E_(n-2) の直和行列( 100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。 ここで、E_(n-2) は (n-2)次の単位行列。 証明終 109 :208:2005/11/28(月) 16 47 29 108 W と E_(n-2) の直和行列( 100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。 W と E_(n-2) の直和行列( 100) W (+) E_(n-2) を U とすればよい。 110 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 17 44 24 107 Who are you? 111 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 17 48 24 674 :132人目の素数さん :2005/11/25(金) 15 01 08 勉強も大切だが、心も磨けよ 675 :132人目の素数さん :2005/11/25(金) 15 27 05 うすらが 112 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 17 50 47 65 :132人目の素数さん :2005/11/24(木) 22 08 33 ・・・尊敬? なぜ?(苦笑 208って、写経厨なんでしょ? まともにブルバキ読んだこと ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気 はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。 絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも 顕著だからナー・・・。 66 :132人目の素数さん :2005/11/24(木) 22 15 31 ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ 60みたいな 奴のことだと思うよ。 どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、 名言だと思うけどね。 まあ何はともあれ、 60の研究者生活が充実したものである ことを祈るばかりですよ(失笑 67 :132人目の素数さん :2005/11/24(木) 22 18 41 頭(というか性格)が少しばかりおかしいねじけ者に 頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねw 105 :132人目の素数さん :2005/11/28(月) 14 36 31 トテモアタマワルイです 113 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 17 59 33 そもそも、(群論の)準同型定理なり同型定理なりってのは、 剰余群(剰余類)の基礎的な理論が土台にある訳だろ? だか ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G Nの位数"」なんていう 定理は、(有限群の場合には)既知もいいとこなんじゃないの? 46 :132人目の素数さん :2005/11/23(水) 11 12 06 この定理、名前なんてったっけ? ライプニッツ? ラグラ ンジュ? なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^; まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。 だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論 できるはずもないだろ。 208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。 いまだにこんなことしかかけないのは ほんとに見苦しいです 論点をまるっきり理解してないし ライプニッツとかバカ丸出し 114 :132人目の素数さん:2005/11/28(月) 19 02 00 ところで何故今ブルバキなの? 今時はやらないんでしょ? 115 :208:2005/11/29(火) 10 37 22 102 の操作 1), 2), 3), 4) と 2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。 基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。 補題 A を単項イデアル整域とする。 X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で ないとする。 106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。 s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。 X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して s(Y) s(X) に出来る。 証明 X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X) と仮定してよい。 X の1行目に x_(1,1) で割れないものがあると、 106 と 108 より X を Y に変形して、 s(Y) s(X) と出来る。同様に、X の1列目にx_(1,1) で割れない ものがあると、X を Y に変形して、s(Y ) s(X) と出来る。 よって、X の1行目と1列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる ように変形出来る。 102 の操作 2) と 4) を使えば、 1行目と1列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。 よって初めから X はこの形であると仮定してよい。 X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目 に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0 だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、 s(Y) s(X) に出来る。 証明終 116 :208:2005/11/29(火) 10 40 41 102 の 5) は不要だった。別にあってもいいが。 117 :208:2005/11/29(火) 10 48 46 98 の定理を再度述べる。 定理 A を単項イデアル整域とする。 X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。 可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。 証明 115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。 118 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 12 01 28 114 温故知新 119 :208:2005/11/29(火) 13 10 27 前にも書いたけど 117 の証明方法はあまり知られていない (A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。 普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の 基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、 その系として得る。 一般の単項イデアル整域では2元の最大公約元を求めるアルゴリズム があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。 しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、 例えば、2次の代数体の整数環でその体の類数が1ならそれが ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。 何故なら2次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが あるから(高木の初等整数論)、類数が1なら素元分解のアルゴリズムが あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も 求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の アルゴリズムを与えていることになる。 120 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 14 13 06 118 107 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 121 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 14 17 24 予備校の仕事大変そうだな 122 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 18 11 31 80 :132人目の素数さん :2005/11/25(金) 14 47 42 お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。 お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。 割り算がどうだとかこうだとかw ミジメデスネ 123 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 18 46 14 タタカレテ タタカレテ ボロボロニナッテモ キガツカナイ スカスカノ脳 124 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 18 47 44 割り算は208のトラウマにナリマシタネ 125 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 22 20 19 122- 124 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 126 :208:2005/11/30(水) 09 30 03 115 よって、X の1行目と1列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる ように変形出来る。 102 の操作 2) と 4) を使えば、 1行目と1列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。 よって初めから X はこの形であると仮定してよい。 念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。 X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元 としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。 127 :208:2005/11/30(水) 10 31 26 117 の系として 命題 A を単項イデアル整域とする。 L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。 L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r および、A の非零元 a_1, ..., a_r で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、 y_1 = a_1f_1 . . . y_r = a_rf_1 となる。 128 :208:2005/11/30(水) 10 42 26 127 y_r = a_rf_1 これは y_r = a_rf_r の間違い。 129 :208:2005/11/30(水) 10 43 27 127 の証明 L の基底を e_1, ..., e_m とする。 x1, ..., x_n を M の生成元とする。 各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して x_j = Σx_(i,j)e_i とする。 X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。 上の式を行列記法でまとめて書くと (e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。 117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。 (e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) より (e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V となる。 UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから (e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V (f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1) (y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V とおけば (f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n) となる。 U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、 V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。 よって、この命題の主張が出る。 証明終 130 :208:2005/11/30(水) 11 20 39 命題 127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで 決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r の取りかたによらない。 (a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。 単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ こともある。 証明 L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。 よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。 よって、この命題は、前スレの712から出る。 証明終 131 :208:2005/11/30(水) 11 56 49 130 の別証明を述べる。 以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。 次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。 補題 A を環、B を A-代数、 I を A のイデアルとする。 (A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。 ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。 証明 完全系列 0 → I → A → A/I → 0 より完全系列 I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0 が得られる。 これより明らか。 証明終 132 :208:2005/11/30(水) 12 03 38 補題 A を環、I, J をそのイデアルとする。 (A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。 証明 A/J = B とおけば、 131 より (A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J) ここで、等号は同型を表す。 証明終 133 :208:2005/11/30(水) 12 26 17 補題 A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。 M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。 1 ≦ p ≦ n のとき、 (Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル としての和を表す。 証明 前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の 歪テンソル積である。これと 132 より明らか。 134 :208:2005/11/30(水) 14 53 36 補題 A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。 M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。 1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。 証明 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、 133 の記法で、I_J は I_min(J) である。 一方、一般に A のイデアル I, K に対して 直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。 よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。 よって 133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。 証明終 135 :208:2005/11/30(水) 15 18 59 134 から 130 の別証が出ることは明らかだろう。 136 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 17 52 22 予備校で教えるのに飽きたのかな 137 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 18 01 41 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 138 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 18 03 56 外積の使い方がいまいちだね 139 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 21 46 58 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 140 :208:2005/12/01(木) 12 55 25 補題 A を環、n 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。 L の元 x は縦ベクトルとみなす。 e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。 x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。 x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n . . x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。 この行列の各列が x_1, .., x_p である。 J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて j_1 ... j_p としたとき、 X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。 このとき (Λ^p)L において、 x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p) となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く 証明 外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。 141 :132人目の素数さん:2005/12/01(木) 13 55 55 荒らしども! ありがたく読ませてもらえ! まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな! 142 :132人目の素数さん:2005/12/01(木) 14 07 26 141 煽りとしてはおもしろくない バカはこの程度のことしかおもいつかないらしい 143 :208:2005/12/01(木) 16 21 43 補題 A を環、m 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_n を L の基底とする。 x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。 つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する 座標である。 他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、 x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。 このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。 証明 明らかと思うが、念のために証明しよう。 行列記法を使う。 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n) である。ここで、(a_1, ..., a_n) は転置行列、この場合は (a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。 (e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。 よって、 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n) = (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n) 一方、 x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n) である。 よって、 (b_1, ..., b_n) = U(a_1, ..., a_n) である。 証明終 144 :208:2005/12/01(木) 16 26 21 補題 A を環、m 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_m を L の基底とする。 M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。 x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。 x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。 他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、 y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。 y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、 Y = (y_(i,j)) とする。 p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。 ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素 の個数を表す。 X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。 det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。 ここで、a_(K,L) は A の元で、 和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で |K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。 145 :208:2005/12/01(木) 16 34 55 144 の証明 J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。 x_1, .., x_n は M の生成元だから、 y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p) となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 ... j_p の 組を動く。 140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で 展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。 ここで、i_1 ... i_p は I を構成する元である。 det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。 {f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は それぞれ、(Λ^p)L の基底である。 よって、 143 から 144 の主張が得られる。 証明終 146 :208:2005/12/01(木) 16 57 54 命題 A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列 U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。 Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として 表される。 証明 これは 144 を行列の言葉で書き直したもの。 147 :208:2005/12/01(木) 17 04 12 146 の系 146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと 一致する。 証明 Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。 同様に、I_p(X) も定義する。 146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。 Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、 再び 146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。 証明終 148 :208:2005/12/01(木) 18 52 11 98 の定理において 1 ≦ p ≦ r のとき 対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の 最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p であることがわかる。 よって、 147 より δ_p = a_1...a_p は X の p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。 δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。 a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。 よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて 一意に決まる。 a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。 149 :208:2005/12/01(木) 19 06 59 148 によっても 130 の別証が得られるが、これは本質的には 134 を使った証明と同じだろう。 150 :208:2005/12/01(木) 19 19 44 148 が単因子の由来だろう。つまり、行列式因子 δ_p の因子 ということで。 151 :132人目の素数さん:2005/12/01(木) 19 28 11 150 「単」が付いているのは? 152 :208:2005/12/02(金) 12 24 51 補題 A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。 C = A×B とおく。 C は A と B の環としての直積である。 このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。 証明 α A → C を標準射とする。 α(x) = (x, 0) である。 β B → C を標準射とする。 β(x) = (0, x) である。 I = α(A), J = β(B) とおく。 I, J は C のイデアルで C = I + J I ∩ J = 0 となる。 よって、 Spec(C) = V(I) ∪ V(J) V(I) ∩ V(J) = φ となる。 I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。 よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。 V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。 証明終 153 :208:2005/12/02(金) 12 25 38 151 各 a_i は Y の1次の行列式だし、δ_pはp次の行列式だから。 つまり、 a_i は1次⇔単 δ_pはp次⇔複 (p 1 のとき) 154 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 13 39 48 153 あほ 155 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 13 47 21 質問者に言えよ。 つまらん質問にはつまらん答えしか返らない 156 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 13 49 10 つまらん質問にはつまらん答えしか返らない あほの二乗 157 :208:2005/12/02(金) 15 41 03 補題 A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら A は 非自明な環の直積に分解されない。 つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。 証明 前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。 よって 152 よりわかる。 158 :208:2005/12/02(金) 15 53 50 定義 A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。 M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。 つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在 しないことをいう。 159 :208:2005/12/02(金) 16 54 52 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とすると、 前スレの 709, 710 より、 M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。 ここで、p は A の素元である。 各 A/(p^k) は 157 より A-加群として直既約である。 前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。 このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。 Krull-Remak-Schmidt の定理 A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。 M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。 さらに、この分解は同型を除いて一意的である。 証明 ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。 例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学I。 Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。 160 :208:2005/12/02(金) 17 04 32 単因子論はこのへんで終わりにする。 欲をいうと 127 の命題の非構成的証明をしたいところだけど ちょっと飽きてきたw 161 :208:2005/12/02(金) 17 11 33 次は、可換環のPicard群や因子類群について述べる。 スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人 は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う 代数的整数論の大筋には影響ない。 162 :208:2005/12/02(金) 17 29 33 152 の逆が言えることを忘れていた。 証明には、スキーム論の初歩を仮定する。 スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。 補題 X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。 X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。 証明 X は連結でないから、 X = U ∪ V U ∩ V = φ となる空でない開集合 U, V が存在する。 e_1 ∈ Γ(X, O_X) を e_1|U = 1 e_1|V = 0 となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で あることから分かる。 同様に e_2 ∈ Γ(X, O_X) を e_2|U = 0 e_2|V = 1 で定義する。 この e_1 と e_2 が求めるもの。 証明終 163 :208:2005/12/02(金) 17 38 04 命題 A を環で、Spec(A) は連結でないとする。 このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。 証明 162 より A の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。 Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。 証明終 164 :208:2005/12/02(金) 17 41 12 163のスキーム論を使わない証明って出来るのかな? 165 :208:2005/12/02(金) 17 49 37 163 Ae_1, Ae_2 は部分環で Ae_1, Ae_2 は環となり 166 :208:2005/12/02(金) 17 53 54 165 を補足すると、このスレでは部分環というのは常に 親の環と単位元を共有するものと仮定している。 だから Ae_1, Ae_2 は A の部分環ではない。 167 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 19 08 55 ナニをカキツバタ 168 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 19 36 25 有限体上の楕円曲線からリーマン麺を作る棚 169 :132人目の素数さん:2005/12/02(金) 19 45 18 167 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 荒らしども! ありがたく読ませてもらえ! まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな! 170 :208:2005/12/05(月) 09 28 25 Hilbertは代数体の3基本定理として以下のものを挙げている。 1) 主整環がDedekind整域となる。 2) Dirichletの単数定理 3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式 これに 4)Dedekindの判別定理 を追加したいところ。 これ等を述べるのがまず当面の目標だ。 今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って 最短距離で行こうかどうかということ。 今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるw 171 :208:2005/12/05(月) 09 42 48 話は前後するけど、前スレとこのスレの単因子論はBourbakiのコピー ではない。 主定理( 117)の証明は、Bourbakiにはない。 前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。 172 :208:2005/12/05(月) 09 49 49 171 その証明もBoubakiにはない。 念のために補足すると、Bourbakiには同様の方法を使った証明が ないという意味。当然、別方法による証明はある。 173 :208:2005/12/05(月) 10 10 40 161 の Picard群に関係してCartier因子の話をしようと思ったけど これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。 EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。 174 :208:2005/12/05(月) 10 58 47 159 Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。 なかった。LangのAlgebraにはあると聞いた(確かめてない)。 いずれにしろ、あの定理の証明はネットに転がってるはず。 175 :208:2005/12/05(月) 11 07 30 170 代数体の絶対判別式の絶対値が1とはならないというMinkowskiの 定理も著しい。これの代数的証明ってあるのかな? 176 :206:2005/12/05(月) 13 39 48 定義 A を環、M を A-加群とする。 完全列 L_1 → L_2 → M → 0 が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。 177 :206:2005/12/05(月) 13 53 01 補題 A を環、 A-加群の完全列 0 → K → M → N → 0 において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。 証明 読者に任す。 178 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 14 21 27 169 いちいち反応するのがかわゆいね 179 :206:2005/12/05(月) 14 21 43 命題 A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。 完全列 0 → K → L → M → 0 において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、 K は有限生成となる。 証明 仮定より、完全列 L_1 → L_2 → M → 0 がある。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。 次の可換図式が存在する。 L_1 → L_2 → M → 0 | | | v v v 0 → K → L → M → 0 snake lemma より 0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0 は完全である。 Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。 完全列 L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0 において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、 177 より K も有限生成である。 証明終 180 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 14 27 10 179 snake lemma については既知と仮定した。それがどういう補題か というのはネットに転がってるだろう。証明はいわゆる diagram chase でほとんど機械的に出来る。 181 :208:2005/12/05(月) 14 46 08 定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0 も完全になること。 182 :208:2005/12/05(月) 15 20 51 命題 A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。 このとき、M は自由である。 証明 A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。 M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM) とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。 M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから M = mM + N である。 よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。 中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。 L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる ことにより、A-加群としての全射 f L → M が得られる。 Ker(f) = K とおく。 次の可換図式において、 m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0 | | | v v v 0 → K → L → M → 0 M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。 よって snake lemma より、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。 よって K/mK = 0 となる。 179 より K は有限生成だから、 中山の補題より K = 0 となる。 証明終 183 :208:2005/12/05(月) 15 31 11 ホモロジー代数の初歩を既知とすれば、 182 の別証が 以下のように得られる。 182 の完全列 0 → K → L → M → 0 より、Torのホモロジー完全列 → Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0 が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。 よって、 0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。 つまり、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 これから後は 182 と同じ。 184 :208:2005/12/05(月) 15 55 55 181 と同様に、 定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0 も完全になること。 185 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 15 58 49 勉強も大切だが、心も磨けよ 以下は負け犬の常套句 ・勉強も大切だが、 ・仕事も大切だが、 ・金も大切だが、 ・顔がいくら良くっても... 186 :208:2005/12/05(月) 16 00 34 命題 A を環、M を A-加群とする。 M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。 証明 よく知られているし簡単なので、読者に任す。 187 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 16 09 18 ねえねえバナナとリンゴどっちが好き? 188 :208:2005/12/05(月) 16 23 32 命題 射影加群は平坦である。 証明 186より。 189 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 16 24 41 ねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き? 190 :208:2005/12/05(月) 16 25 52 命題 有限生成射影加群は有限表示を持つ。 証明 186より明らか。 191 :208:2005/12/05(月) 16 28 18 命題 A を局所環、M をA-加群で有限生成かつ射影的とする。 このとき、M は自由である。 証明 188, 190 と 182 より出る。 192 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 16 30 42 さむいね 193 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 00 17 192 そうかい。 ぼくはパプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。 でも昨夜は南十字星がきれいに見えたよ。 194 :208:2005/12/05(月) 17 02 30 ここでは、環 A 上の有限生成射影加群が Spec(A) 上の ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。 射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。 このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。 勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。 たぶん、知らなかったのではないか。 SerreのFAC(1955年)では、言及されている。 195 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 05 19 そんなバナナ 196 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 11 07 ねえねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き? 197 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 12 27 (ねえ)^4とかした方がいい。 198 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 32 18 ねぇーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー バナナとリンゴどっちがイチゴ? 199 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 47 12 東京タワーと富士山 どっちが東京タワー? 200 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 17 49 13 194 ところでアファイン空間上のベクトル束が 自明だというのは、191でAを多項式環に 置き換えた命題になるわけですが、たしか QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。 これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか? タグ: ユークリッド整域 単項イデアル整域 可逆行列 最大公約元 有理整数環 標準基底 非零元 コメント
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初出:208話「66. 獲物には協力者がいる模様です(本編)」https //ncode.syosetu.com/n2357dn/208/ 地位・司るもの 黄昏のシー(女性) 第四王子の代理妖精 別称 容姿・特徴 髪: 瞳: 声:美しい人ならざる女性達のどの声よりも、円熟した女性としての深みがある。 濃密で柔らかな声音に、同性であるネアも総毛立つ。(208話) 概要 関係・立ち位置 白薔薇の魔物ブランシュの後のディノの恋人とされる(245話) エーダリアの代理妖精に選ばれず、恨む ダリルダレンの書架妖精ララの死の関係者とされる 多くの罠を仕掛け、死後もネア達を苦しめた。 弟分に星の魔物・ステラータがいる(270話) 感想返事より、作者様コメント [2017年 01月31日 15時19分] 270話「言の葉の魔物と星の魔物」の感想へ答える形でレーヌの人となりの記述
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最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時26分43秒 代数的整数論 II(201-300) 元スレ: http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/201-300 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/201-300 201 :208:2005/12/05(月) 17 56 40 200 Rotmanのホモロジー代数の入門書にその証明が載っている。 202 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 18 11 29 そうですか。やはりこの辺も進歩しているのですね。 どうもありがとうございます。 203 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 18 31 34 パプアニューギニアにはどうやって行ったのですか? 船ですか? 204 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 19 12 37 426 :132人目の素数さん :2005/08/07(日) 10 24 29 425 お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの かwww 英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。 論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した おっさんなんだからさっさと働け! 205 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 06 05 17 Furtwangler.. 206 :208:2005/12/06(火) 09 48 45 114 ところで何故今ブルバキなの? 今時はやらないんでしょ? Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも 廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。 Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。 すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。 因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。 それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。 207 :208:2005/12/06(火) 11 45 04 補題 A を環、M を 射影的 A-加群とする。 B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。 証明 任意の B-加群 E に対して Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E) となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B により A-加群とみなす。 仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *) も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。 証明終 208 :208:2005/12/06(火) 11 53 51 命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して M_p は A_p-加群として自由である。 証明 207 と 191 より。 209 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 15 04 35 大文字焼きひとつください 210 :209:2005/12/06(火) 16 52 56 補題 A を環、M を A 上の有限生成加群とする。 p を A の素イデアルとする。 M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。 証明 M の生成元を x_1, ..., x_n とする。 各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。 よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。 f = Πs_i とおけばよい。 証明終 211 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 17 10 17 209 はい。いらっしゃいませ。 S、L、Mとございますが。 お飲み物はよろしかったでしょうか? 212 :209:2005/12/06(火) 17 20 06 命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し M_f は A_f-加群として自由である。 証明 208 より M_p は A_p-加群として自由である。 M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。 ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。 207より M_f は A_f-加群として自由であるから、 A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。 L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。 A-加群としての射 φ L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。 R = Coker(φ) とおく。 完全列 L → M → R → 0 より L_p → M_p → R_p → 0 も完全。 一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。 210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。 よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。 再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。 つまり、L → M → 0 は完全となる。 K = Ker(L → M) とおくと、 0 → K → L → M → 0 は完全となる。 190 より M は有限表示を持つから、 179 より K は有限生成となる。 0 → K_p → L_p → M_p → 0 は完全だから、K_p = 0 となる。 再び 210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。 よって、 0 → L_f → M_f → 0 は完全となる。 証明終 213 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 17 22 28 俺は位相仏語版は全部持ってるぞ 海賊版っぽいけどな 勝ったな。圧倒的に勝った(@藁ぷ まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ ほとんど停止状態だろ 絶版になってるやつもあるし 214 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 17 32 28 211 じゃあLで 飲み物は餃子ジュース 215 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 18 18 41 214 はい。かしこまりました。(奥へ)大文字焼きLひとつ入りまーす。 相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。 焼売ジュースのLということでよろしいでしょうか? 穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。 216 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 18 29 56 ええっ餃子ジュースたのしみにしてたのに! しょうがないな じゃあ焼売ジュースでいいです。 それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど サソリも午前中だけ? 217 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 18 41 17 ヴェイユの講義姿は格好良かったな もちろん京都賞じゃないよ そのときはかなり弱ってた 218 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 18 56 22 すいませーーん 行者ジュースありませんか? 219 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 19 29 13 比叡山の雪景色をみながら 大文字焼きをたべ餃子ジュースを飲む至福 ヴェイユにも味あわせてやりたかった 220 :208:2005/12/07(水) 09 37 47 212 207より M_f は A_f-加群として自由であるから、 A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。 207より M_s は A_s-加群として射影的であるから、 A を A_s, M を M_s で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。 221 :208:2005/12/07(水) 10 52 07 定義 A を環、B を A-代数とする。 B が A-加群とみて平坦( 181)なとき、平坦な A-代数と呼ぶ。 222 :208:2005/12/07(水) 10 52 51 命題 A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。 B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。 証明 任意の A-加群 P に対して F(P) = Hom(P, N)(x)B G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。 任意の射φ P → N は φ(x)1 P(x)B → P(x)B を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。 M は有限表示を持つから完全列 L_2 → L_1 → M → 0 が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。 よって次の可換図式が得られる。 0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2) | | | | 0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2) 水平の列は完全である。 F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、 F(L) → G(L) は同型である。 よって、上の可換図式の右の縦2列は同型である。 よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。 証明終 223 :208:2005/12/07(水) 10 59 59 222 の系 A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。 S を A の積閉部分集合(前スレの63)とする。 任意の A-加群 N に対して Hom(M, N)_S = Hom(M_S, N_S) となる。ここで、等号は A_S-加群としての同型を表す。 証明 A_S は A-加群として平坦(前スレの86)だから 222 より明らか。 224 :208:2005/12/07(水) 11 25 12 補題 A を環、M を A-加群とする。 A の任意の極大イデアル m に対して標準射 M → M_m がある。 よって射 φ M → ΠM_m が得られる。ここで、右辺は、A の全ての 極大イデアル m を動く。 このとき、Ker(φ) = 0 である。 証明 x ∈ Ker(φ) で x ≠ 0 とする。 Ann(x) ≠ A だから、Ann(x) ⊂ m となる極大イデアル m がある。 仮定より M_m において x/1 = 0 となる。 よって、s ∈ A - m があって sx = 0 となる。 よって、s ∈ Ann(x) ⊂ m となって矛盾。 証明終 225 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 12 32 00 217 >ヴェイユの講義姿は格好良かったな >もちろん京都賞じゃないよ ああ、55年のときね。永田君も話してたな。 谷山君が欠席したのが惜しかった。 あのときにたしかヴェイユが南禅寺で 写経しながら大文字焼き食べてたよ。 当時はまだ餃子ジュースがなくて、 生八つ橋シェイク飲んでたっけ。懐かしいな~。 226 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 12 42 12 225 そうだったな。岡先生が餃子コーヒーを注文したら 店の人が「そんなもんあらしませんえ」とかいって 笑ったっけ。あれが、餃子ジュースを思いつくきっかけ になったらしいね。後で店長から聞いたことだけど。 227 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 12 58 25 永田君はなにをしゃべったんだい? 228 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 13 17 44 ヒルベルト・永田の定理の原型だったかな? 志村君がいつものように意地の悪い質問していたけど、 どこか的が外れていたな。 229 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 13 23 15 志村君ね。嫌われ者だったな。あの当時から。 ジーゲル先生が嫌がって志村君とは口もきかなかった。 230 :208:2005/12/07(水) 14 26 27 A を環とする。 E を A の部分集合としたとき V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。 さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。 補題 A を環とする。 Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。 証明 Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、 E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、 ∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。 よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。 何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在 するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元 g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、 f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。 証明終 231 :208:2005/12/07(水) 14 53 31 補題 A を環、M を A-加群とする。 f_1, ..., f_n を A の元とし、 Spec(A) = ∪D(f_i) とする。 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として 有限生成である。 証明 各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の 生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。 {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の 部分加群を N とする。 x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、 ((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t 0 がある。 t は 各 i で共通としてよい。 D(f_i) = D((f_i)^t) だから Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。 よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。 よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。 よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。 x は任意だから、M = N である。 証明終 232 :208:2005/12/07(水) 15 03 14 フフン 233 :208:2005/12/07(水) 15 04 04 はっきり書くよ。 ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、 天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、 全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。 だから、日本ならば、ノーベル賞を100個くらい、とれなければ「おかしい」。 234 :208:2005/12/07(水) 15 27 19 補題 A を環、M を A-加群とする。 f_1, ..., f_n を A の元とし、 Spec(A) = ∪D(f_i) とする。 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として 有限表示を持つ。 証明 各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の 生成元とする。 231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で 生成される。 L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする A-自由加群とする。射 φ L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。 Ker(φ) = K とおく。 完全列 0 → K → L → M → 0 より、各 i に対して完全列 0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0 が得られる。 L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、 179 より K_(f_i) は A_(f_i)-加群として有限生成である。 よって、 231 より K は A-加群として有限生成である。 証明終 235 :208:2005/12/07(水) 15 47 32 命題 A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら M は射影的である。 証明 P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。 Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。 よって、 Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0 は完全である。 m を A の任意の極大イデアルとすると、 Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0 も完全である。 223 より Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0 は完全である。 一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、 完全列 P_m → Q_m → 0 より、 Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。 よって、T_m = 0 である。 m は任意の極大イデアルだから、 224 より T = 0 となる。 証明終 236 :208:2005/12/07(水) 16 07 11 命題 A を環、M を A-加群とする。 A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し M_f は A_f-加群として自由であるとする。 このとき、M は有限生成射影加群である。 証明 230 より Spec(A) は準コンパクトだから、 A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。 よって、 234 より M は有限表示を持つ。 A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、 mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、 M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。 よって、M_m は A_m-加群として自由である。 よって 235 より M は射影的である。 証明終 237 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 16 15 44 nikuudaaa!!!! sanyushiii!!!!! okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!! omaira suugaku bakari yattorande yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!! 238 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 16 20 58 237 靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。 239 :208:2005/12/07(水) 16 28 36 236 の証明はBourbakiとは違う。 Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。 もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。 だけど、それが何か思い出せない。 240 :208:2005/12/07(水) 17 15 57 定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が 存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層 になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。 (F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。 関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。 よって、X の各連結成分上では定数になる。 rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の 局所自由層という。 241 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 18 03 00 ヴェイユ全集もってないの? 242 :132人目の素数さん:2005/12/07(水) 22 26 02 持ってるわけないじゃん! 243 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 06 20 47 このスレでは素人の発言は厳禁。したときは 容赦なくたたくからよく覚えておくように! おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。 244 :208:2005/12/08(木) 09 40 21 243 勝手に俺に成り代わらないでくれ。 245 :208:2005/12/08(木) 10 01 28 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき (O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。 よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の) 集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、 O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と (O_X)^S は同型ではないし(何故か?)、濃度の全体は集合ではない。 246 :208:2005/12/08(木) 10 35 12 定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 X 上の階数1の局所自由層を可逆層という。 247 :208:2005/12/08(木) 10 35 41 命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 (L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積 (L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。 証明 問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。 この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。 証明終 248 :208:2005/12/08(木) 10 44 08 命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X) も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。 つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。 証明 問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。 この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。 証明終 249 :208:2005/12/08(木) 10 59 53 命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 L~ を O_X-加群の層とすると、 標準射 φ Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。 L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。 証明 問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。 この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。 証明終 250 :208:2005/12/08(木) 11 07 58 定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。 247, 248, 249 より、この集合は群となる。 この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。 251 :208:2005/12/08(木) 11 38 20 命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。 M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、 M~ は階数有限の局所自由層である。 証明 240 の定義と 212 より明らか。 252 :208:2005/12/08(木) 11 59 06 命題 A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。 F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。 Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、 F~ は M~ と標準的に同型になる。 証明 f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。 M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、 これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。 よって、標準射 M~ → F~ が得られる。 F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である (これはスキーム論の基本定理の1つ)。 よって、 236 より M は有限生成射影加群である。 証明終 253 :208:2005/12/08(木) 12 15 51 240 を可換代数の言葉で述べると、次の定義になる。 定義 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 208 より、A の各素イデアル p に対して、 M_p は A_p-加群として自由である。 M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。 212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。 よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。 rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の 射影加群という。 254 :208:2005/12/08(木) 13 49 48 定義 A を環とする。Spec(A) の Picard群( 250) を Pic(A) と書く。 255 :208:2005/12/08(木) 13 59 13 命題 A を環とする。A 上の階数1の射影加群の同型類と Spec(A) 上の可逆層の同型類は1対1に対応する。 証明 212 と 252 より明らか。 256 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 14 33 24 ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに 257 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 16 04 02 256 このスレでは素人の発言は厳禁。したときは 容赦なくたたくからよく覚えておくように! おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。 940 :132人目の素数さん :2005/11/21(月) 18 18 48 で、お前等、俺の講義を聞きたくないの? 69 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/02(金) 19 45 18 荒らしは黙ってろ! ここは208様の神聖なるチラシの裏だ! お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ! 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ!! 荒らしども! ありがたく読ませてもらえ! まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな! 258 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 16 21 06 ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに 図星だったくせに 259 :208:2005/12/08(木) 16 29 08 5 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/22(火) 16 36 48 ひとまず礼を言っておこう。有難う。 ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字 じゃなく普通の数字で「代数的整数論3」などの様にお願いします。 ここは、俺様208が降臨した伝説のスレとして語り継がれる場所だ。 貴様のようなクズが書き込んでいいと思っているのか? 悔しかったら、俺様よりもいいネタを提供しろ、蛆虫が! 260 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 16 38 39 ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに 図星だったくせに ヴェイユ全集もってないくせに 261 :208:2005/12/08(木) 16 40 36 環 A 上の階数1の射影加群の同型類は、テンソル積 により可換群になることは、 250 と 255 より明らかだが スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。 命題 環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積 P(x)Q は有限生成射影加群である。 証明 p を A の素イデアルとする。 212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。 同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。 g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。 (A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。 同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。 同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。 P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから A_(fg)-加群として自由である。 よって、初めから f = g と仮定してよい。 (P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は A_f-加群として自由である。 よって、 236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。 証明終 262 :208:2005/12/08(木) 16 54 47 命題 環 A 上の階数1の射影加群 P, Q のテンソル積 P(x)Q は階数1の射影加群加群である。 証明 261 とその証明より明らか。 263 :208:2005/12/08(木) 17 05 58 命題 環 A 上の階数1の射影加群 P に対して Hom(P, A) も階数1の射影加群である。 証明 p を A の素イデアルとする。 212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と 同型である。P は射影加群だから 190 より有限表示を持つ。 よって、 223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。 Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、 236 より Hom(P, A) は階数1の射影加群である。 証明終 264 :208:2005/12/08(木) 17 41 06 補題 A を環とする。 φ M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m M_m → N_m が単射なら、φも単射である。 証明 Ker(φ) = K とおく。 完全列 0 → K → M → N より、完全列 0 → K_m → M_m → N_m が得られる。 M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。 よって、 224 より K = 0 である。 証明終 265 :208:2005/12/08(木) 17 42 19 補題 A を環とする。 φ M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m M_m → N_m が全射なら、φも全射である。 証明 264 と同様。 266 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 17 46 05 ヴェイユ全集もってないくせに 267 :208:2005/12/08(木) 17 47 56 補題 A を環とする。 φ M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m M_m → N_m が同型なら、φも同型である。 証明 264 と 265 より。 268 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 17 51 56 ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの? 269 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 18 00 27 お金はあったでしょ 270 :208:2005/12/08(木) 18 04 25 命題 環 A 上の階数1の射影加群 P に対して Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。 証明 u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる ことにより、標準射 φ Hom(P, A)(x)P → A が得られる。 よって、A_m をテンソル積することにより φ_m Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。 P は射影加群だから 190 より有限表示を持つ。 よって、 223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。 P_m = A_m だから、φ_m は同型である。 よって、 267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。 証明終 271 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 18 13 34 志村先生すき? 272 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 18 34 05 五郎ちゃんって呼んで 273 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 21 39 14 208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。 70 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/11/25(金) 11 05 15 勉強も大切だが、心も磨けよ 72 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/11/25(金) 11 07 12 70 やだ 274 :208:2005/12/09(金) 11 35 17 環付空間の射 f X → Y があるとする。 Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。 これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への 反変関手になる。 このことを、可換環の圏において翻訳しよう。 275 :208:2005/12/09(金) 11 52 17 命題 A を環、 B を A-代数とする。 P を A 上の階数1の射影加群とすると、P(x)B は B 上の階数1の射影加群である。 証明 φ A → B を構造射とする。 207 より P(x)B は B-加群として射影的である。 q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q) とする。 (P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q = (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q よって、P(x)B は射影加群として階数1である。 証明終 276 :208:2005/12/09(金) 11 56 22 275 よりアーベル群の射 Pic(A) → Pic(B) が得られ、 A → Pic(A) が可換環の圏からアーベル群の圏への共変関手になる ことは明らかだろう。 277 :208:2005/12/09(金) 15 25 51 可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。 例えば、局所環のPicard群は、 191 より自明である。 同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の Picard群も自明である。 まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。 278 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 15 44 33 示さなくともよろしい 279 :208:2005/12/09(金) 16 10 54 定義 A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を (可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の 直和になることと同値である。 280 :208:2005/12/09(金) 16 30 02 命題 A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。 M は A の極小イデアルのひとつに同型である。 証明 A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。 x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。 よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。 よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。 M の単純性より、M = (I_k)x である。 A-加群としての射 φ I_k → M を φ(a) = ax により定義する。 Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。 証明終 281 :208:2005/12/09(金) 16 32 37 最近めっぽう寒くなってきたね。 そんな代数幾何。 282 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 16 40 06 だからウォームアップをしてるんだろう 283 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 16 43 35 ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ 284 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 16 44 31 281 ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ 285 :208:2005/12/09(金) 17 01 50 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の和となるとする。 このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。 各 M_i は相異なると仮定してよい。 M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。 M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。 M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。 よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。 (M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k 2 で成立つなら、 M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。 よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。 k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 286 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 17 28 26 優拳固にする必要はなかろう 287 :208:2005/12/09(金) 17 32 28 おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。 蛆虫どもめ! (゚Д゚)≡゚д゚)、カァー ペッ!! 288 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 17 33 40 政界も財界も官界も数学界も建築界も どこもかしこも腐りきっている 先祖を大事にしろ?! やす国の英霊をたてまつれ?! 馬鹿いうんじゃねえ こんな腐った日本をつくって それを俺たちに押しつけている連中に なんの感謝の必要がある? 289 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 17 35 50 しばらく書き込むのをやめるぞ。 ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに しばらくどころか金輪際書かなくても どうせ誰も惜しまない内容だよね 290 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 17 37 14 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 291 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 17 53 35 695 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/12/09(金) 09 58 35 崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ ここで引き取って貰えませんか? 292 :208:2005/12/09(金) 18 00 47 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。 N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。 M ≠ N と仮定してよい。 各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら 同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。 よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 293 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 06 30 208復活おめ。 少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ! 294 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 06 45 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 295 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 07 24 1 前スレ http //science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか? 296 :208:2005/12/09(金) 18 10 04 292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから N も、M_iの1つと同型な単純加群の直和となることが分かる。 297 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 12 18 ブルバキの劣化コピーか 298 :208:2005/12/09(金) 18 12 57 293 復活もなにも、そもそも 287 は俺じゃない。 299 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 13 55 ブルバキの劣化コピー! 300 :132人目の素数さん:2005/12/09(金) 18 14 53 前スレのログきぼん タグ: Bourbaki O_X-準連接層 ヒルベルト・永田の定理 可換代数 有限生成射影加群 構造層 環付空間 積閉部分集合 コメント
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ディスク副題(No)/Lv 31 32 33 34 35 本物のバカ(No1-2) 257/192/188/193/171 259/196/192/197/172 261/200/196/201/173 264/204/200/205/174 266/207/203/208/175 悪友(No3-4) 268/185/191/194/102 性識者(No5-6) 242/184/185/180/149 244/188/189/184/151 246/192/193/188/152 249/196/197/192/154 251/200/201/196/156 第三の性別(No7-8) 227/160/172/159/82 230/166/178/165/85 232/172/184/171/88 235/178/190/177/91 237/184/196/183/94 帰国子女(No9-10) 298/196/184/192/104 303/204/192/200/107 観察処分者(No11-12) 281/186/175/182/151 283/190/179/186/153 285/194/183/190/154 288/198/187/194/156 290/202/191/198/158 元・神童(No13-14) 282/189/197/192/102 284/193/201/196/103 F組の女神(No15-16) 278/171/151/182/72 281/177/157/188/75 283/183/163/194/78 286/189/169/200/81 288/195/175/206/84 …!?(No17-18) 269/187/207/195/156 270/190/210/198/157 美少女?(No19-20) 263/180/204/190/142 265/184/208/194/143 272/195/219/205/146 夏服ですっ(No21-22) 318/213/177/199/103 320/217/181/203/104 322/221/185/207/105 325/225/189/211/106 327/228/192/214/107 夏服よ!(No23-24) バカの覚悟(No25-26) 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341/218/216/203/110 う…メイド(No51-52) 281/193/188/189/154 282/196/191/192/155 283/199/194/195/156 283/202/197/198/157 284/205/200/201/158 ……私服…(No53-54) 306/196/188/193/168 313/208/200/205/171 315/211/203/208/172 stylish(No55-56) 377/194/198/190/121 379/198/202/194/122 381/202/206/198/123 384/206/210/202/124 386/209/213/205/125 桃百合(No57-58) 345/172/169/164/78 348/178/175/170/81 350/184/181/176/84 353/190/187/182/87 355/196/193/188/90 …メイドじゃ(No59-60) 276/173/168/166/126 278/179/174/172/129 私服だよ!(No61-62) 357/201/194/192/125 359/205/198/196/126 361/209/202/200/127 364/213/206/204/128 366/216/209/207/129 暴走少女(No63-64) 270/189/174/187/151 271/192/177/190/152 272/195/180/193/153 272/198/183/196/154 273/201/186/199/155 ブタは死ね!(No65-66) 292/205/183/209/97 体操服だよ!(No67-68) stylish(No69-70) 252/190/189/189/146 256/198/197/197/149 259/202/201/201/151 261/206/205/205/153 らうんど!(No71-72) 277/201/200/208/154 中華娘じゃ!(No73-74) 270/193/212/202/124 愛奴(No75-76) 400/199/197/200/135 402/203/201/204/136 404/207/205/208/137 407/211/209/212/138 409/214/212/215/139 生物兵器(No77-78) 327/200/178/213/85 334/212/190/225/90 お姉さま…(No79-80) 398/201/181/184/105 400/205/185/188/106 402/209/189/192/107 405/213/193/196/108 407/216/196/199/109 狩る側少女(No81-82) 283/205/184/188/101 285/209/188/192/102 287/213/192/196/103 292/220/199/203/105 精密機械(No83-84) 354/192/192/182/107 356/196/196/186/109 358/200/200/190/110 361/204/204/194/112 363/208/208/198/114 私服だが?(No85-86) 335/181/175/165/116 342/199/193/183/125 秀才の微笑(No87) 370/201/205/194/113 372/205/209/198/114 374/209/213/202/115 377/213/217/206/116 379/216/220/209/117 水着だよ!(No88-89) 346/213/180/194/108 348/217/184/198/109 350/221/188/202/110 353/225/192/206/111 355/228/195/209/112 体操服です!(No90-91) 362/193/175/193/105 364/197/179/197/107 366/201/183/201/108 369/205/187/205/110 371/209/191/209/112 コードM(No92-93) stylish(No94-95) 386/206/211/204/100 …どうも(No96-97) 264/199/214/206/109 266/202/217/209/110 試獣召喚!(No98-99) 225/187/212/198/94 薔薇繚乱(No100-101) 268/189/195/184/156 269/192/198/187/157 270/195/201/190/158 270/198/204/193/159 271/201/207/196/160 体操服じゃ!(No102-103) 283/184/197/191/113 stylish(No104-105) 252/195/202/194/164 257/203/210/202/166 259/206/213/205/167 水着です~!(No106-107) 397/218/160/170/80 399/220/162/172/81 401/223/165/175/82 404/226/168/178/83 406/229/171/181/84 補習はイヤ!(No108-109) 206/155/173/166/74 216/179/197/190/86 奔放少女(No110-111) 270/183/196/183/137 272/187/200/187/139 279/199/212/199/144 実技でね!(No112-113) 261/180/208/181/104 262/183/211/184/105 263/189/217/190/107 264/192/220/193/108 夏色満点!(No114-115) 280/208/208/197/133 悶絶赤百合(No116-117) 356/189/159/160/75 359/195/165/166/78 361/201/171/172/81 364/207/177/178/84 366/213/183/184/87 裸男激怒(No118-119) 338/217/217/223/127 お願い先生!(No120-121) 408/194/184/207/101 409/197/187/210/102 410/200/190/213/103 410/203/193/216/104 411/206/196/219/105 君、思フ(No122-123) 407/194/193/190/114 408/197/196/193/115 409/200/199/196/116 409/203/202/199/117 410/206/205/202/118 体操服でね!(No124-125) 309/196/205/195/171 311/200/209/199/172 313/204/213/203/173 316/208/217/207/174 318/211/220/210/175 なによ!(No126-127) 夕日の敗北(No128-129) 227/204/207/205/99 バカの裸(No130-131) 289/170/171/159/144 292/176/177/165/147 294/182/183/171/150 297/188/189/177/153 299/194/195/183/156 水着じゃが(No132-133) 262/192/211/193/126 264/196/215/197/127 266/200/219/201/128 269/204/223/205/129 271/207/226/208/130 着乱れて…(No134-135) お姉様覚悟!(No136-137) 286/204/178/196/96 287/207/181/199/97 288/210/184/202/98 288/213/187/205/99 289/216/190/208/100 ふふん!(No138-139) 229/152/178/159/93 232/158/184/165/96 234/164/190/171/99 237/170/196/177/102 239/176/202/183/105 E組代表(No140-141) 231/219/212/209/117 制裁措置よ(No142-143) 323/193/196/176/116 325/197/200/180/118 327/201/204/184/119 330/205/208/188/121 332/209/212/192/123 秩序の番人(No144-145) 332/197/197/187/96 333/200/200/190/97 334/203/203/193/98 335/209/209/199/100 体育着乙女(No146-147) 275/196/193/180/108 284/212/209/196/115 お給仕よ!(No148-149) 375/176/166173/106 378/182/172/179/109 380/188/178/185/112 383/194/184/191/115 385/200/190/197/118 セーラーよ!(No150-151) 308/223/196/205/138 緋色の薔薇(No152-153) 300/208/204/208/111 決戦兵器(No154-155) 251/191/184/214/84 253/193/186/216/85 255/196/189/219/86 258/199/192/222/87 260/202/195/225/88 性識者裸夫!(No156-157) 253/187/186/180/179 至福橙百合(No158-159) 266/211/186/185/94 267/214/189/188/95 267/217/192/191/96 268/220/195/194/97 薔薇の宿命(No160-161) 336/198/212/202/113 338/202/216/206/114 340/206/220/210/115 343/210/224/214/116 345/213/227/217/117 天魔覚醒(No162-163) 制服でね!(No164-165) 265/194/203/180/149 水着でね!(No166-167) 293/197/205/189/133 294/200/208/192/134 295/203/211/195/135 295/206/214/198/136 296/209/217/201/137 きなさい!(No168-169) 195/192/193/203/88 197/196/197/207/90 199/200/201/211/91 202/204/205/215/93 204/208/209/219/95 中華乙女よ!(No170-171) 256/196/196/180/96 258/200/200/184/98 260/204/204/188/99 263/208/208/192/101 265/212/212/196/103 無気力春眠(No172-173) 208/75/76/77/120 211/77/78/79/123 213/78/79/80/126 218/80/81/82/132 ロッカー部(No174-175) 181/79/83/95/84 実行部隊壱(No176-177) 実行部隊弐(No178-179) あ、ちょっと(No180-181) 269/201/193/180/114 270/204/196/183/115 271/207/199/186/116 271/210/202/189/117 272/213/205/192/118 バカの正義(No182) 249/187/187/184/162 251/193/193/190/165 (No183) 無垢の媚笑(No184) 238/188/216/193/125 (No185-186) 神童の策略(No187) 聖戦士覚醒(No188-189) 267/200/185/204/102 269/204/189/208/104 271/208/193/212/105 274/212/197/216/107 276/216/201/220/109 純真な愛笑(No190) 403/195/171/176/82 405/199/175/180/84 407/203/179/184/85 410/207/183/188/87 412/211/187/192/89 君に出会フ(No191-192) いくわよ!(No193-194) 248/206/219/206/105 実技萌ゆる(No195-196) 291/210/239/213/158 (No197) やるわよ!(No198-199) 271/205/203/219/102 273/209/207/223/103 275/213/211/227/104 278/217/215/231/105 280/220/218/234/106 姉萌ゆる(No200-201) 288/203/218/195/124 290/207/222/199/125 293/211/226/203/126 295/214/229/206/127 stylish(No202-203) 333/72/74/79/73 336/74/76/81/76 338/75/77/82/79 341/76/78/83/82 343/77/79/84/85 血の盟約(No204-205) 234/81/81/81/78 237/83/83/83/81 239/84/84/84/84 242/85/85/85/87 244/86/86/86/90 学年首席(No206-207) 305/191/188/184/83 307/193/190/186/84 309/196/193/189/85 312/199/196/192/86 314/202/199/195/87 …私服。(No208-209) 249/179/166/170/96 252/185/172/176/99 254/191/178/182/102 257/197/184/188/105 259/203/190/194/108 …体育着。(No210-211) 419/217/192/202/100 421/221/196/206/101 423/225/200/210/102 426/229/204/214/103 428/232/207/217/104 A組代表(No212-213) 381/206/182/194/81 383/210/186/198/83 385/214/190/202/84 388/218/194/206/86 390/222/198/210/88 剣士覚醒(No214-215) 270/225/199/203/107 275/232/206/210/109 『秀吉湯』(No216-217) 228/178/207/185/132 232/186/215/193/135 235/190/219/197/137 237/194/223/201/139 ナースじゃ!(No218-219) 俺は笑わない(No220-221) 471/194/200/193/94 472/197/203/196/95 473/200/206/199/96 473/203/209/202/97 474/206/212/205/98 (No222-223) ピースM(No224-225) 87/204/206/263/199 美春の願い(No226-227) 307/195/177/183/154 308/198/180/186/155 309/201/183/189/156 309/204/186/192/157 310/207/189/195/158 秀才の眼差(No228-229) 271/194/195/181/89 273/196/197/183/90 275/199/200/186/91 278/202/203/189/92 280/205/206/192/93 緊張の面持(No230) 241/177/212/183/80 243/181/216/187/82 245/185/220/191/83 248/189/224/195/85 250/193/228/199/87 お風呂でね!(No231-232) 267/194/217/190/150 268/197/220/193/151 269/200/223/196/152 269/203/226/199/153 勝利の決意(No233) 須川亮(No235) 327/86/107/89/122 330/88/109/91/125 332/89/110/92/128 335/90/111/93/131 337/91/112/94/134 百合繚乱(No236-237) 384/197/173/209/86 386/199/175/211/87 388/202/178/214/88 391/205/181/217/89 …水着。(No238-239) 296/176/165/169/94 299/182/171/175/97 301/188/177/181/100 304/194/183/187/103 306/200/189/193/106 …お嫁さん。(No240-241) 322/198/211/182/84 (No242-243) (No244-245) (No246-247) ……忍ぶ(No248-249) 187/190/189/186/181 189/194/193/190/183 191/198/197/194/184 194/202/201/198/186 196/206/205/202/188 制服だよ!(No250-251) 324/192/196/180/168 326/196/200/184/170 328/200/204/188/171 331/204/208/192/173 333/208/212/196/175 姉燃ゆる(No252-253) 288/212/198/192/136 290/216/202/196/137 292/220/206/200/138 295/224/210/204/139 297/227/213/207/140 ガブッとな!(No254-255) 405/193/189/202/95 412/205/201/214/100 414/209/205/218/102 強気で勝負!(No256-257) 283/188/214/195/98 285/192/218/199/99 287/196/222/203/100 290/200/226/207/101 292/203/229/210/102 …制服。(No258-259) 324/196/196/225/81 326/200/200/229/83 328/204/204/233/84 331/208/208/237/86 333/212/212/241/88 制服ですー!(No260-261) 258/222/186/185/153 260/226/190/189/154 262/230/194/193/155 265/234/198/197/156 267/237/201/200/157 弟を宜しく(No262-263) 257/199/195/224/187 259/203/199/228/188 261/207/203/232/189 264/211/207/236/190 266/214/210/239/191 制服です!(No264-265) 293/211/211/205/95 (No266-267) (No268-269) (No270-271) (No272-273) (No274-275) (No276-277) (No278-279) (No280-281) (No282-283) (No284-285) (No286-287) (No288-289) ミニバカ☆(No290) チビメガネ(No291) 387/201/198/195/124 389/205/202/199/125 391/209/206/203/126 394/213/210/207/127 396/216/213/210/128 2頭身じゃ!(No292) 288/192/196/181/95 290/196/200/185/97 292/200/204/189/98 295/204/208/193/100 297/208/212/197/102 リトルヒメ(No293) 395/176/171/188/92 397/182/177/194/95 400/188/183/200/98 402/194/189/206/101 神の子(No294) 353/201/202/190/118 357/209/210/198/120 360/213/214/202/121 362/216/217/205/122 ぷちにん(No295) 246/198/198/193/110 小さいよ!(No296) 375/205/178/189/123 376/208/181/192/124 377/211/184/195/125 378/214/187/198/126 378/217/190/201/127 …小さい。(No297) 252/192/193/164/74 255/198/199/170/77 257/204/205/176/80 260/210/211/182/83 262/216/217/188/86 バカの騎士(No900) プリンツェシン(No901) 417/198/194/197/99 419/202/198/201/100 421/206/202/205/101 424/210/206/209/102 425/213/209/212/103 ・・・兎ですぅ(No902) …魔女。(No903) 363/193/218/188/88 364/196/221/191/89 365/199/224/194/90 365/202/227/197/91 366/205/230/200/92 秀吉☆降臨(No904)
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曲Data Lv BPM TOTAL NOTES 平均密度 Φ12 208-208 862862 7.63Notes/s7.62Notes/s 譜面構成・攻略 譜面画像
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未編集 208a.jpg 208b.jpg 209.jpg 216.jpg 222.png 231.png 240.jpg 249.jpg 259.jpg 260.jpg 261.jpg 279.jpg 282.png 283.jpg
https://w.atwiki.jp/tripofpipi/pages/258.html
2012年8月13日 http //ex14.vip2ch.com/test/read.cgi/part4vip/1343351608/ 683 :長良川以北 ◆5sSqhIvbpc :2012/08/13(月) 07 37 19.28 ID GUM8zfPP0 http //i.imgur.com/kgtGT.jpg 伊奈波神社 早朝で誰もいない 規制中なのでこちらに書き込み。 次は天下分け目の関がヶ原へ行こうかと 685 :長良川以北 ◆5sSqhIvbpc :2012/08/13(月) 10 54 30.57 ID GUM8zfPP0 大垣城 http //i.imgur.com/2sb86.jpg 他にも写真ありますが電池食うので帰宅したらまとめてうpしますね。 688 :長良川以北 ◆5sSqhIvbpc :2012/08/13(月) 12 47 26.33 ID fv9rXcyc0 関ヶ原ウォーランド http //i.imgur.com/uO6ZD.jpg 期待通りのb級スポットでしたww 691 :長良川以北 ◆5sSqhIvbpc :2012/08/13(月) 14 39 25.40 ID WOvwAcRr0 南宮大社 http //i.imgur.com/0Vlrj.jpg 美濃国一宮です。 20 名前:長良川以北 ◆5sSqhIvbpc [sage] 投稿日:2012/08/13(月) 23 34 32.60 ID 1BxY/uXM0 [2/3] 既にうpしてたのと被ってたらゆるしてね! 06:30に伊奈波神社到着。 伊奈波神社は岐阜市で最もポピュラーな神社だと思います。初詣は伊奈波さんみたいな 先ずは伊奈波さんにご挨拶をと思い初っ端に周りました。 入り口から、緩やかな上り坂の一番奥に拝殿があります ttp //i.imgur.com/tY1jh.jpg 26 名前:長良川以北 ◆5sSqhIvbpc [sage] 投稿日:2012/08/13(月) 23 51 25.12 ID 1BxY/uXM0 [3/3] 伊奈波神社楼門 ttp //i.imgur.com/1f13j.jpg 参拝殿 ttp //i.imgur.com/C8E9e.jpg 早朝で参拝客は少なく、坂道使ったジョギングの人が目立った ラジオ体操やってる横に車止めたりドキドキでした。 21 カメラの事全然分からないです 携帯付随のだったので片手で携帯、片手でピピさんとイッパイいっぱいでした、、 22 金華山とか厨二な名前ですよね
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香川県道206号 原田琴平線 はらだ ことひらせん 香川県丸亀市から、仲多度郡琴平町に至る一般県道。 距離:10.825km 起点:香川県丸亀市原田町 田村東交差点(国道11号交点) 終点:香川県仲多度郡琴平町(香川県道208号大麻琴平買田線交点) 通過市町村 香川県 丸亀市 - 善通寺市 - 仲多度郡 琴平町 関連項目 都道府県道一覧