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なんのための収束か？ 極限関数の連続性を保つ → 一様収束によって，連続関数列は連続関数に収束する。 数値計算がしたい → 一様収束ならギブス現象も起きなくて安心。 ← 逆に不連続関数のFourier級数展開は一様収束しない。 ← Egorovなどは概収束から概一様収束への接続 Fourier級数 → 平均収束（L2収束）する。 微分方程式の級数解 → 項別微分・項別積分ができるぐらいの収束がいい。概収束と＋α（単調性とか有界性とか） 変分法の基本補題 → ０に弱収束すれば元の関数が０。 積分と極限を交換したい → 強収束（L1収束）すれば交換可能。（積分の列というのは数列であることに注意！） 作用素の近似 → Banach-Steinhausが強力らしい。どのノルムで誤差を評価するかも重要。 関数空間の位相 → 連続関数環は一様収束位相(supノルム位相)でBanachになる。 測度とLpノルムの橋渡し的存在 → 測度収束とチェビシェフ不等式 Fourier級数の収束は，歴史上さまざまな関数のクラスに対してさまざまな種類の収束が示された。 どこで収束か？ 位相空間において点列の収束を議論するには、 第一可算 ← 点列の収束は可算個の近傍を用いて定義されるため。 ハウスドルフ ← 点列の収束先が存在すれば唯一に定まるため。 ぐらいの性質は必要である。（点列の収束性を一般化した有向点列とかフィルターもあるが） つまり、点列は距離空間で自然に考えられる概念である。 従って，まともな議論をするには，まずノルムが何か考えなくてはならない。 → 素朴な点列の収束は，ノルムで定義される。 さらに，考えている空間がどこかも考えなくてはならない。 → 収束先が含まれるか（閉包）どうかが重要。 Cauchy列での議論は（収束先を知らなくて良いので）便利。 → 完備ならありがたい。 位相空間における収束 点列を適当に進めると，どんな小さな近傍にも収めることができること。 収束するかどうかを決定づけるのは点列ではなく，近傍系(つまり位相)にある。 近傍系がガバガバなら，点列には現れない点に収束させたり，複数の点に収束させることも可能である。 有限集合上の位相の例参照 top. sp. 次のように書きかえられる？ ← これだけでは上極限なので擬位相にしかならない。下極限も示さなければならない。 はず。 数列の収束 数列の収束については数列を参照。 点列の収束については閉，コンパクト，完備を参照。 Rの点列のこと。 単調列 単調列は有界ならば収束する。 上極限・下極限 上限列，下限列は単調列になる。 単調減少 単調増加 Th. 収束との関係 部分列 実数の完備性を利用できるので，とにかくCauchy列を示すことも吉。 収束列の部分列 全ての部分列がαに収束 ⇔ 元の列がαに収束 距離空間における収束 数列 d(f_n,f) の収束をいう。 距離空間は第一可算・ハウスドルフを満たすので，極限は存在すればただ１つ。 基本列の部分列 必ずしも完備でない距離空間において， Cauchy列から収束部分列をとりだすことができれば， 実はもとの列が収束列であり，部分列と同じ極限に収束する。 点列の収束 位相空間 xの近傍系 xの近傍（つまり近傍系の元）は，開集合（開近傍）に限らないことに注意する！ ネットとフィルター ネットとフィルターも参照 集合の極限 増加列と減少列が基本 空でないかどうかはちゃんと確かめなければならない。 単調列の上限と下限 集合列 に対し， 包含関係による順序を入れると，上限集合と下限集合が存在して，それぞれ以下で構成できる。 が増大列のとき 上限集合は極限集合とみなせる。 が増大列のとき 下限集合は極限集合とみなせる。 上極限・下極限 集合列 に対し，以下の操作によって単調列を作り出すことができる。 増大列を作る方法 減少列を作る方法 増大列は上限，減少列は下限をとることによって極限集合を考えることができ，それぞれ 上極限集合の元 「無限個のAnに含まれる。」 どんなに先に行っても，トータル有限個の{Ak}には含まれないかもしれない 下極限集合の元 「ある番号から先には必ず含まれる。」 級数の収束 絶対収束 条件収束 Cesaro和収束 通常の収束よりも弱い収束。 Ex. Cesaroなら収束する数列。 関数列の収束 以下では，{fn(x)}を集合E上の関数列とする。 つまり，nに依らず定義域は共通である。 また，Cauchy列を作ってR(C)の完備性に持ち込む論法は有用である。 関数の上極限・下極限 いくつか異なる定義がある模様？？？ 柴田先生の本では次のような定義をしていた。 fix 柴田先生の授業では，関数列を数列にしてしまった極限をとっていた。 こちらは，supノルムの収束の言い間違い？ 応用 系 各点収束 x=x0を固定したときの，R1の数列としての{f(x0)}の収束 各点収束するけど一様収束しない例 Ex.1 単項式の列 各fnは連続だが，fは不連続になってしまう。 Ex.2 魔女の帽子 各fnは非有界だが，fは有界（定数関数）になってしまう。 一様収束 表記 あるいは，ユルゲン・ヨストは以下の記法を用いている。 supノルムによる収束と同値である。(一般のノルム空間上定義された必ずしも連続でない関数でおｋ) 示し方 supノルム収束 を示す 級数の一様収束では，WeierstrassのM判定法 を用いて示す コンパクト集合上の関数列ならDiniの定理を使う Th. WeierstrassのM判定法 級数 は，以下を満たす正数列Mnが存在するとき，一様収束する。 1. 2. Th. Dini コンパクト集合上の単調増大列は各点収束すれば一様収束 K⊂Rd 有界閉 一様収束する例 一様収束のありがたみ Th. 連続性の保存 連続関数の列は，一様収束すればその極限関数も連続 （一様連続ではないので，定義域のコンパクト性は不要） Th. R∫とlimの順序交換 許容関数(あるいは連続関数なら十分)の列fnがfに一様収束すれば， 注. 各点収束でも，一様有界ならば交換可能（Arzelaの定理 Lebesgueの項別積分定理） Cor. 項別積分 連続関数fnの級数が一様収束ならば，級数と積分の順序交換が可能 定義（広義一様収束） 開集合Ωの任意のコンパクト部分集合K上で一様収束すること。 Ex. 広義一様収束するけど一様収束しない は Ω =(-1,1) で広義一様収束する。 一方， となってΩ上で一様収束しない。 他の収束との関係 一様収束 ⇒ 各点収束 逆は不成立 概収束 零集合NをのぞいたE-N上で各点収束 Point. 収束する点の集合 つぎのように書ける。 ←あるnから先は必ず1/jより小さくなる点を集めた集合，の極限 従って，これの補集合が収束しない点の集合ということになる。 可分性から，εでなく可算個のjで攻める形になっているところがポイント。 これによって測度の性質をいろいろ使えることになる。 また，収束先が分からないときは次の形も有効。 Ex. 概収束だけじゃノルム収束しない Ω=(0,1) Th. Lebesgueの優収束定理 1. L1の列が概収束 2. しかも上から一様に抑え込まれる このとき極限関数もL1で、L1ノルム収束する。 測度収束(漸近収束，確率収束，測度Cauchy列) Lpと概収束との橋渡し的存在。チェビシェフとの相性が良い。 Cauchy列にならない点の全体は零集合 各点で収束していなくてもよい！ 魔女の帽子とか。 Th. 測度収束⇒概収束する部分列が取り出せる。 収束 fn,f は Lp(E) の関数であるとする。 p=2 のときは特に平均収束ともいう。 Th. L∞収束 ⇒ 概収束 Rem. 一般の Lp収束 と，各点収束とは無関係 Lp収束して各点収束しない例，各点収束してLp収束しない例，どちらもある。 Ex. 各点収束してLp収束しない。 Ex. Lp収束して各点収束しない。 各 n∈N に対し，k∈N を以下で定める。 Th. Lp収束 ⇒ 概収束する部分列がとれる。 Banach空間における収束 主に supノルムないしLpノルム が絡む関数空間(Cn,Lp,Wkp,Hp...)を考えている。 特に，Hilbert空間ではRiezの表現定理が成り立ち， 「線形汎関数」は内積で与えられるので，弱収束の定義が見た目に変わる。 「強収束」という呼び名はどこで生じるか ある空間にノルムがあれば，まともな収束を考えることができる。 通常，ノルム空間において収束といえばノルムによる収束のことである。 ところが関数解析では，ノルム空間上の関数を考えることがあり， これによって，同じ空間にノルム収束とは別の収束概念を導入することができる。 この収束はノルム収束よりも弱い（ノルム収束⇒関数による収束）ので， ２つを強収束・弱収束と呼んで区別している。 点の収束なのか，作用素の収束なのかを区別する。 「点の強収束」と「作用素の強収束」がある。 「点の弱収束」と「汎関数の弱収束（汎弱収束，*弱収束）」がある。 Prop. 特に，有限次ユークリッド空間Rdにおいては 弱収束は成分毎の収束に対応し，これは強収束と同値。 弱収束 任意の線形汎関数Tに対し となることをいう。 特に，Hilbertの場合 Ex. 正規直交基底の列 弱収束するけど強収束しない。適当なHilbert空間において。 有界線形作用素の収束 バナッハ空間のあいだの収束 ノルム収束＞強収束＞弱収束（ただし弱収束は汎関数に限る） 作用素ノルム収束 Prop. 作用素ノルム収束⇒作用素の強収束 強収束 「各点収束のようなものだから全然強くない」(Y先生) 『実解析入門』ではL1収束のことと限定して定義していた。 『ポストモダン解析学』ではLp収束のことにしていた。 Prop. 強収束すれば積分と極限の交換可能 強収束は一様収束よりも弱い収束だからありがたいわけ。 Ex. 強収束するけどノルム収束しない 弱収束（*弱収束，汎弱収束） 汎関数の弱収束 確率論における収束 確率収束 R.V. 大数の弱法則は確率収束 確率1で収束（概収束） R.V. 大数の強法則は確率1の収束 以下の関係式は有用 概収束⇒確率収束 分布収束 法則収束 メモ ε-δ論法による極限の取り扱いを始めたのは Weierstrass (Wikipedia「極限」より)
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【登録タグ FF4 し カイン ゴルベーザ】 【タイトル】収束 【概要】願いを叶えし者、願いを砕かれし者 錯綜する思惑は、やがて収束へ向かう… 【対象】FF4ファン、FF3・6・9プレイ済み推奨 【バトル】ラウンドで固定三戦、初戦以外は勝ち負けでイベント分岐あり カインを操作する最終戦はこちらのカスタマイズが不利ですが、敵のアクションやアビリティを弱めにしてあるので落ち着いて挑んでください！ 逆に二戦目は敵の防御力を弱くしてあるかわりに強さが最強設定ですので注意！ 【作者より】】『思惑』『錯綜』の続編であり完結編です 前作同様アクティブタイムイベントを意識しておりますので、全勝→全敗の順で二周して頂ければ幸いです… FF4TAネタが少しだけ出てきますが、こちらはプレイしていなくても特に問題はありません 【コード】0000-1084-4196-8771 【作者名】コウニィ コメント 完結編楽しみにしていました。全作、全勝・全敗にチャレンジしましたが、この作品のゴルvsデスペラだけどうやっても負けられませんでしたｗあそこは分岐にあまり関係なかったのかなと少しだけ気になってます。両方やってみて物語の全容が窺えるというか、大作なのに退屈にならないのは場面変更があるからなんですね。シリアスな話なのに、ゴル兄さんが「いいですとも！」してしまったり、「やめろお！」とか原作再現で思わず笑ってしまいました。ええ、これでもゴル兄さんとカイン大好きなんですよ。 -- 名無しさん (2011-07-03 12 26 28) 名前 コメント
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収束・離散 概要 水に絵の具を垂らすと次第に混ざり合って色水となり、放置してもこれが自然に分離することはない。 物質からエネルギーまで、全ての物は外から手を加えない限り一ヶ所に留まることなく拡散していく性質を持ち、 物理学ではこれをエントロピー(乱雑さ)増大の法則という。 能力による物質やエネルギーの収束・離散は、エントロピーを操作することと言い換えられる。 重力操作、圧力操作を始めとする物質・エネルギー操作は、 このエントロピー操作にも通じており、そういった意味ではサイキッカーの極致とも言える能力だろう。 当項目では特に、物を一ヶ所に集める・留めない能力を抜粋している。 サイキッカー +物体の収束・離散を操る能力 物体の収束・離散を操る能力 → 物理概念操作 / 収束・離散 【打撃】【射撃】【火傷】【凍傷】【物理防御】【罠化】【拘束】【高速移動】【広範囲】 +物体を一ヶ所に集める能力 物体を一ヶ所に集める能力 → 物理概念操作 / 収束・離散 【打撃】【射撃】【火傷】【物理防御】【拘束】【高速移動】【特殊移動】【広範囲】 +物体を拡散させる能力 物体を拡散させる能力 → 物理概念操作 / 収束・離散 【凍傷】：対象の周囲の気圧を下げて温度を急激に下げ、凍り付かせる。 【罠化】：地面を造る分子を拡散させ、落とし穴を作る。 【拘束】：対象の足元の地面を造る分子を拡散させ、落とし穴に直接ハメる。 【広範囲】
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「収束する」とき 「発散する」とき 一様収束を示す 0. なにはともあれ，収束先を探す。 0 . supノルムが０にならなきゃだめ 1. そもそも各点収束していることを確かめる。（x固定するので，ただの数列になる。） 1 . 関数列が連続で，収束先が不連続なら一様収束しない。 2. 次を満たすNが，xに依らずにとれれば一様収束。 xに依らないことが示されてさえいれば，xを固定して数列にしてしまうテクニックは一様収束でも有効！ 2 . 要するに，（有界関数に限れば）supノルムによる収束を示すことに他ならない。 3. Cauchy Criterion (Cauchy列の一様収束版) A sequence of functions (fn) defined on a set A⊂R converges uniformly on A if and only if for every ε 0 there exists an N∈N such that |fn-fm| ε for all m,n N and all x∈A とにかく収束することだけを示す ※特に，収束先が分からないとき。 コーシー列の収束を示す。 Cauchy列が収束することを示す 全ての部分列が収束することと同値 積分の収束 要するに数列 → 差の絶対値が収束すればおｋ ただ１つ ２つあると仮定して，引き算の絶対値 |x-x | が０になることを示す。 Cauchy列が収束列の証明 が仮定される(Cauchy列)。 1. x=x0 を固定して数列（のCauchy列）にしてしまう（ノルムの定義から絶対値を作り出すところがミソ）。 2. 実数の完備性により，数列{f(x0)} は極限を持つので，f(x0) が取れる。 3. 結局， の形が作れる。 4. 元のノルムが収束する形に辻褄を合わせて終わり。 Cauchy列が収束列の証明（部分列を使う方法） とできる。この番号を用いて部分列 を作る。 1. 適当な部分列の極限fがあって， を示す。 2. より，Cauchy列と収束部分列の仮定から左辺→0が示される。 部分列の使い方 任意の部分列が同じ極限に収束する。⇒ 収束する。 ある部分列が発散する。⇒ 発散する。
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【検索用 せんきんしゅうそく 登録タグ 2021年 NEGI VOCALOID thus せ 初音ミク 初音ミク ロジックペイントS 曲 曲さ】 + 目次 目次 曲紹介 歌詞 コメント 作詞：thus 作曲：thus 編曲：thus 絵：NEGI 唄：初音ミク 曲紹介 「数学を好きになれ」とかそういうことを伝えたいのではなく、「私から見て数学はこのように見え、私の精神構造として支えて呉れていた」というものが表現されているのではないかなと、今この曲を自分で聴いて思います。(ニコニコ動画説明文より) 曲名：『漸近収束』（ぜんきんしゅうそく） 『初音ミク ロジックペイントS』収録曲。 歌詞 （作者ブログより転載） ∀U, ∃I, s.t. … 「何だかこれじゃ物足りない」 それが開口一番 第一式を書いた台詞 仰いだ軌跡擦る 爪先合わす弧長の 動径を評価する旅 零れ落ち出る 思考散句の片鱗を 集めては 表意する 新しいノート開いて そう確か 出会って了ったのは 度々だったからか 思い出せなくて 属す記憶の排反性に懐疑を抱く どうにか こうにか 「嗚於、何故か」って ∃I, s.t. … 「何だかこれじゃ物足りない」 そう言って 只管 書き足していく 僕等の相関幾何図を 論理の滾るマセマティカ 不文律に試行錯誤 間違った答えを贖い乍ら 迂回して 見つけ出す 本の1つ されど 解の射影を認めて 求め続ける ずっと 存在していた朧模様 想像された記法の牢 相互素な異端記号で触れ合う度 一日幾日 積み重ね 重層構想を思考する まるで 友愛数のような相補完関係 でもね、気づいて了ったのは 僕等は正規分布に標準化さる その数値に踊らされ暴論に黙 何度も豪語と 例え百回億回試行せど 『よく聞いて』 ∀U, ∃I, s.t. … 「何だかこれじゃ物足りない」 だから 反証数行 書き足してから 真理のコトバを探りに征こうか 論理の滾るマセマティカ 同位相上で錯覚する 出会ったは運命なのか 口頭の意味を贈り合い そして一生一生 大事にして 愛でて育む そして、思い出して終うのだろう いつか 此の空時間が発散すると その有限に恐怖をして基礎を詰る 何度も何度も 時は速度･加速度を零にして 『よく聞いて』 ∀U, ∃I, s.t. … 今も崩れそうな形共 僕の不完全性を映す鏡か 「何だかこれじゃ物足りない」 それが開口一番だった確かに 第何番の等式綴れば 論理の滾るマセマティカ 不文律に試行錯誤 間違った答えを贖い乍ら 迂回して 見つけ出す 本の1つ されど 解の射影を認めて 求め続けよう 順列階乗 最後一掛け 最終結語に漸う収束 礼典 一閃 虹の曲線 讃辞の局面 原点回帰 人情の滾る マセマティカ その論理の中に宿す意味 いつでも思い出せるように 無限の濃度が詰まった 微小な時間を コメント 名前 コメント コメントを書き込む際の注意 コメント欄は匿名で使用できる性質上、荒れやすいので、 以下の条件に該当するようなコメントは削除されることがあります。 コメントする際は、絶対に目を通してください。 暴力的、または卑猥な表現・差別用語（Wiki利用者に著しく不快感を与えるような表現） 特定の個人・団体の宣伝または批判 （曲紹介ページにおいて）歌詞の独自解釈を展開するコメント、いわゆる“解釈コメ” 長すぎるコメント 『歌ってみた』系動画や、歌い手に関する話題 「カラオケで歌えた」「学校で流れた」などの曲に直接関係しない、本来日記に書くようなコメント カラオケ化、カラオケ配信等の話題 同一人物によると判断される連続・大量コメント Wikiの保守管理は有志によって行われています。 Wikiを気持ちよく利用するためにも、上記の注意事項は守って頂くようにお願いします。
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blowup, settledown. 日本創造学会 ■発散系 ブレインストーミング ブレインライティング(6-3-5法) （オズボーンの）チェックリスト 2変数マトリックス シネクティクス NM法 マインドマップ 「マトリックス法」なんかもろMECEだよな。 ■収束系 KJ法 クロス法(7x7法) ストーリー法 PERT ■アウトラインプロセッサやマインドマップエディタを使う。 ■発散のヒント（コンサルタントの秘密から） 類似性を探す 値を極端に変えてみる 境界の外に目を向ける わざと不合理に考えてみる 不調和を見つける ■ちなみにQC七つ道具(定量化) 特性要因図 チェックシート ヒストグラム 散布図 パレート図 グラフ・管理図 層別 ■ちなみに新QC七つ道具(定性的分析) 親和図(KJ法) 連関図(有向グラフ) 系統図(ツリー) マトリックス アローダイアグラム(PERT図) PDPC法(有向グラフ) マトリックス・データ解析(主成分分析) 無理やり七つ道具に仕立てたような…… ■特性要因図 見方によってはツリーだよな ツリーよりは、特性(対象)と要因(影響を与える因子)を把握しやすい、かも ツリーより描きやすく、修正しやすい。かも 仮説を構築するのに向いている
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高精度収束リング 攻撃系 名称 LV 使用制限 消費スロット 効果 レア度 開発費 近 中 遠 高精度収束リング LV1 -- 0 8 0 ビーム兵器の収束時間を１０％短縮。 ☆☆☆(40%) 8400P LV2 -- 0 0 12 ビーム兵器の収束時間を２０％短縮。 ☆☆☆(25%) 11600P LV3 -- LV4 -- LV5 -- 考察 ビーム兵器の収束撃ちまでの時間を短縮するパーツ。 特に汎用機でビーム・ライフル系の武装を運用しやすくなるため便利。 ただ収束撃ちまでの時間が短縮されるということは、オーバーヒートも起きやすくなる点には注意が必要。 当然ながら、収束撃ちの存在しないビーム・スプレーガン等には効果がない。
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これは古代人が使用していた、妖精を効率よく召喚するための器具のレプリカです。上部には金属製の回転体が付属しており、アナログレコードされた契約の呪文のほか、この惑星の位置や民族と文化を紹介する情報が刻まれています。回転体を既定の方向に1回転させると、内蔵された蓄音機による自動詠唱により、上面の排出口から妖精が利用可能な状態で生産されます。 —— 妖精研究所 v24で追加された、妖精を高速召喚する妖精武器。 それまで冥王のワンドについていた機能を高度化して分離したものである。 使い方 右クリックを長押しするとインベントリ内のフェアリークリスタルを消費して妖精を召喚する。 幸運によって妖精のドロップ数が上がり、1個のフェアリークリスタルから複数の妖精を召喚するようになる。 皇帝黄玉精、ミラージャ、岩盤精などが特に強力。 バリエーション 収束の地 重合するアストラル光。魂の叫び。 原種。Tier1から作れるようになる数少ない妖精武器。 これまで妖精の連続召喚にはTier3が必要だったが、より早い段階でも利用できるようになった。 製作にはダイヤを2個使う。 召喚速度は1tickに1体だが、右クリックを押すよりは圧倒的に速くフェアリークリスタルを消化できる。 約束の地 吹き荒れる妖精の声、宇宙のジェット Tier3から作れるようになる。 次段階の束縛の地はレア素材を使うため、長い間この段階で利用することになるだろう。 束縛の地 覚えてる？前世、自分が何の妖精だったか 作成にはレア素材の妖精入り妖精のプラスチックが必要である。 グリップの部分には夜のかけらが要求される。 余談 このアイテムと関連があるかは不明であるが、約束の地とは聖書にも登場する言葉で、神がイスラエルの民に与えると約束した土地。
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Ver. 1.3 カードNo. 1-3-068 種類 インターセプト レアリティ UC 名称 原子収束砲 属性 緑 CP 4 アビリティ あなたのユニットがフィールドに出た時、対戦相手の全てのユニットの基本ＢＰを－２０００する。あなたのＣＰを＋２する。 ストームバスターの亜種。 緑属性では貴重な直接除去に繋げることもでき、小型ユニットの一掃に役立つ。 発動条件となるユニット召喚には各種コスト１のユニットや、 ＣＰを補充するグラインドビートルなどから繋げると良い。 ただし、ＣＰ４の重さの割に補正値は低く、有効に使える場面は少ない。 狂犬の採掘のサーチ対象となるため、ＤＯＰ稼ぎを兼ねたデッキ圧縮として見限ってもいい。 フレーバーテキスト 強大な力を持つとされる古代兵器を元に創られたエネルギー砲。狙われた者はその光から逃れることができないだろう。
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一様収束を示す Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence コーシー列の関数列版 A sequence of functions (fn) defined on a set A⊂R converges uniformly on A if and only if for every ε 0 there exists an N∈N such that |fn-fm| ε for all m,n N and all x∈A. Th. Arzela-Ascoli Arzela-Ascoliについては関数解析の諸定理も参照 Let I be a bounded closed interval. For each n∈N, let fn be a function defined on I. If (fn) is bounded on I and if the collection of functions (fn) is equicontinuous, (fn) contains a uniformly convergent subsequence. 一様収束の効用 Th. 連続関数列の極限が連続になるための条件 一様収束ならおｋ Let (fn) be a sequence of functions defined on A⊂R that converges uniformly on A to a function f. If each fn is continuous at c∈A, then f is continuous at c. Th. 関数列の微分と微分列の極限が一致するための条件 導関数の列が一様収束ならおｋ Let fn→f pointwise on the closed interval [a,b] and assume that each fn is differentiable. If (f n) converges uniformly on [a,b] to a function g, then the function f is differentiable and f =g. Cor. 導関数列が一様収束するときの効用 うえの定理で，fnが各点収束するという条件は，ただ１点での収束に弱めることができる。 Let (fn) be a sequence of differentiable functions defined on the closed interval [a,b], and assume (f n) converges uniformly to a function g on [a,b]. If there exists a point x0∈[a,b] for which fn(x0) is convergent, then (fn) converges uniformly. Moreover, the limit function f =limfn is differentiable and satisfies f =g. 級数 級数は部分和列の極限 Th. 連続関数列の級数は，一様収束すれば連続 級数は部分和列の極限として定義されるので，以下の論理が従う。 Step1. 各項が連続 ⇒ 部分和も連続 Step2. 連続な列が一様収束 ⇒ 極限（級数）も連続 Th. 級数の微分可能性 これについても同様。 1. 導関数列の級数が（有界閉区間[a,b]上）g(x)に一様収束して， 2. 元の級数がある一点x0で収束すれば， 級数は微分可能な関数f(x)に一様収束して，しかも f =g が成り立つ。 Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Series A series Σfn converges uniformly on A⊂R if and only if for every ε 0 there exists an N∈N such that for all n m N, for all x∈A. Cor. Weierstrass M-Test いわゆる，ワイエルストラスの優級数判定法 For each n∈N, let fn be a function defined on a set A⊂R, and let Mn 0 be a real number satisfying |fn| Mn for all x∈A. If ΣMn converges, then Σfn converges uniformly on A. Power Series 冪級数は，級数の特殊な場合。 以下の２つの定理によって，冪級数は収束半径という特徴的な量をもつことが分かる。 Th. ある点で収束すれば，その内側では各点で絶対収束 If a power series Σanxn converges at some point x0∈R, then it converges absolutely for any x satisfying |x| |x0| Th. ある点で絶対収束すれば，その内側では一様収束 If a power series Σanxn converges absolutely at a point x0, then it converges unigormly on the closed interval [-c,c], where c=|x0|. Th. Abel s Theorem 端点での値について。 Let g(x) =Σanxn be a power series that converges at the point x=R 0. Then the series converges uniformly on the interval [o,R]. A similar result holds if the series converges at x=-R. Cor. 上２つの要するところ。 If a power series converges pointwise on the set A⊂R, then it converges uniformly on any compact set K⊂A. Th. 微分可能性 If Σanxn converges for all x∈(-R,R), then the differentiated series Σnanxn-1 converges at each x∈(-R,R) as well. Consequently, the convergence is uniform on compact sets contained in (-R,R). Th. まとめ 級数は収束半径の内側でC∞級 Assume g(x)=Σanxn converges on an interval A⊂R. The function g is continuous on A and differentiable on any open interval (-R,R)⊂A. The derivative is given by g (x)=Σnanxn-1. More over, g is infinitely differentiable on (-R,R), and the successive derivatives can be obtained via term-by-term differentiation of the appropriate series. Taylor展開 Taylor展開についてはTaylor展開も参照 1. Taylor展開は１点の近傍の情報だけで関数全体の形が決まるという点で驚異的。 1 . この発見(Taylor, 1715)により，全ての∞階微分可能な関数は級数展開できると信じられた時代があった。 1 . Cauchyの発見により，∞回微分可能だがTaylor展開可能でない関数があることが分かった。 1 . 複素関数では，解析関数(Taylor展開可能)と正則関数(∞階微分可能)とは一致する。 2. 級数が∞階微分可能なことは上で保障されているが，展開される関数自体が∞階微分可能かどうかは別問題。 3. Taylor展開の収束判定の基本は，Lagrange剰余項の評価による。