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確率/確率の基礎 確率/確率の基礎/順列・組み合わせ
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呼称 事実 確率 1等 14試合のうち14試合が的中 4782969分の1 2等 14試合のうち1試合がはずれ 170820分の1 3等 14試合のうち2試合がはずれ 13140分の1 4等 14試合のうち3試合がはずれ 1643分の1 5等 14試合のうち4試合がはずれ 299分の1 6等 14試合のうち5試合がはずれ 75分の1 試合の結果は、1か0か2の3とおり。BIGは、14試合を対象とします。 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 = 4782969 1等は、1とおり。確率は、1/4782969 2等は、どの試合がはずれるか14とおり。その試合のはずれかたが2とおり。 2等は、28とおり。確率は、28/4782969 14×2 = 28 4782969/28 = 170820.321429 3等は、14試合のどれとどれがはずれるか14C2とおり。 たとえば、02(第2の試合)と14(第14の試合)がはずれるとすれば、 02に対して、はずれかたが2とおり。 14に対して、はずれかたが2とおり。3等は、364とおり。確率は、364/4782969 2×2×14C2 = 2×2×14×13/(2×1) = 364 4782969/364 = 13140.024725 4等は、14試合のどれとどれとどれがはずれるか14C3とおり。 たとえば、02と05と14がはずれるとすれば、 02に対して、はずれかたが2とおり。 05に対して、はずれかたが2とおり。 14に対して、はずれかたが2とおり。4等は、2912とおり。確率は、2912/4782969 2×2×2×14C3 = 2×2×2×14×13×12/(3×2×1) = 2912 4782969/2912 = 1642.503091 5等は、14試合のどれとどれとどれとどれがはずれるか14C4とおり。 たとえば、02と03と05と14がはずれるとすれば、 02に対して、はずれかたが2とおり。 03に対して、はずれかたが2とおり。 05に対して、はずれかたが2とおり。 14に対して、はずれかたが2とおり。5等は、16016とおり。確率は、16016/4782969 2×2×2×2×14C4 = 2×2×2×2×14×13×12×11/(4×3×2×1) = 16016 4782969/16016 = 298.636926 全部ハズレは、5等と同じくらい発生します。 6等は、14試合のどれとどれとどれとどれとどれがはずれるか14C5とおり。 たとえば、02と03と05と12と14がはずれるとすれば、 02に対して、はずれかたが2とおり。 03に対して、はずれかたが2とおり。 05に対して、はずれかたが2とおり。 12に対して、はずれかたが2とおり。 14に対して、はずれかたが2とおり。6等は、64064とおり。確率は、64064/4782969 2×2×2×2×2×14C5 = 2×2×2×2×2×14×13×12×11×10/(5×4×3×2×1) = 64064 4782969/64064 = 74.659231
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14試合が100円BIGに指定されます。各試合の結果は、ホームチームの勝ち、負け、引分けの3とおりあります。4782969とおりのうち、1とおりが1等になります。1等になる確率は、4782969分の1 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 = 4782969 天皇杯などのカップ戦は、延長戦、PK戦があるため、引分けがありません。サッカーくじのルールとして、リーグ戦も天皇杯も各試合で90分が経過した時点の得点により、ホームチームの勝ち、負け、引分けが決定します。アディショナルタイム(ロスタイム)は、90分に含まれています。ただし、Jリーグは、ロスタイムに得点した時刻を90+4 と表記しています。 試合が中止された場合のサッカーくじについては、中止を参照してください。 100円BIGの理論値 等 配分 確率 額 1等 0.76 1/4782969 181,752,822円 2等 0.10 28/4782969 854,101円 3等 0.04 364/4782969 26,280円 4等 0.04 2912/4782969 3,285円 5等 0.06 16016/4782969 895円 確率を計算する ●当せん金(販売金額の50%)配分割合 1等… 76% 2等… 10% 3等… 4% 4等… 4% 5等… 6% [+]もっと詳しく知る|totoオフィシャル
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30枚デッキで組んだとき特定の狙ったカードn枚がmターン目までにそろう確率 m\n 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 1T目 0.200 0.034 0.005 0.0005 0.00004 0.000002 2T目 0.233 0.048 0.009 0.0013 0.00015 0.000012 3T目 0.267 0.064 0.014 0.0026 0.00039 0.000047 4T目 0.300 0.083 0.021 0.0046 0.00088 0.000141 5T目 0.333 0.103 0.030 0.0077 0.00177 0.000354 6T目 0.367 0.126 0.041 0.0120 0.00324 0.000778 1コストn枚で30枚デッキを組んだときmターン目までに手札に1コストが3枚以上来る確率(1.00はほぼ100%ということ) m\n 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 17枚 18枚 19枚 20枚 1T目 0.306 0.380 0.455 0.531 0.605 0.674 0.739 0.796 0.847 0.889 0.924 2T目 0.429 0.515 0.597 0.674 0.744 0.805 0.857 0.899 0.932 0.957 0.974 3T目 0.548 0.637 0.718 0.788 0.846 0.893 0.929 0.955 0.973 0.985 0.993 4T目 0.656 0.742 0.813 0.870 0.914 0.946 0.968 0.982 0.991 0.996 0.998 5T目 0.749 0.825 0.883 0.926 0.955 0.975 0.987 0.994 0.997 0.999 1.000 6T目 0.825 0.887 0.931 0.960 0.979 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000 1コストn枚で30枚デッキを組んだときmターン目までに手札に1コストが4枚以上来る確率 m\n 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 17枚 18枚 19枚 20枚 1T目 0.076 0.111 0.153 0.204 0.261 0.326 0.395 0.469 0.545 0.620 0.694 2T目 0.143 0.200 0.266 0.340 0.419 0.500 0.581 0.660 0.734 0.800 0.857 3T目 0.230 0.310 0.396 0.485 0.574 0.659 0.737 0.805 0.863 0.909 0.944 4T目 0.331 0.429 0.528 0.623 0.710 0.787 0.850 0.901 0.938 0.965 0.982 5T目 0.440 0.548 0.650 0.741 0.817 0.877 0.923 0.955 0.976 0.988 0.995 6T目 0.548 0.659 0.755 0.833 0.893 0.936 0.965 0.982 0.992 0.997 0.999 1コストn枚で30枚デッキを組んだときmターン目までに手札に1コストが1枚以下である確率(事故る確率) m\n 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 17枚 18枚 19枚 20枚 1T目 0.326 0.261 0.204 0.156 0.116 0.084 0.059 0.040 0.026 0.016 0.009 2T目 0.228 0.171 0.125 0.089 0.061 0.040 0.025 0.015 0.009 0.004 0.002 3T目 0.154 0.108 0.073 0.047 0.030 0.018 0.010 0.005 0.003 0.001 0.000 4T目 0.100 0.065 0.040 0.024 0.013 0.007 0.003 0.002 0.001 0.000 0.000 5T目 0.062 0.037 0.021 0.011 0.006 0.003 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 6T目 0.037 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
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【板名】 確率 【理由】 採用されるらしいので 【内容】 伝説の機能を使わないとレスできない 【カテゴリ】 学問・理系 【鯖】 ex13 【フォルダ】 !densetu 【名無し】 !774 【ID】 強制
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・確率の意味
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確率とはさまざまな事象の起こる度合いを表すものである もちろん、東方信仰大戦で起こることもある程度は確率で表せる 以下は、プレイする上で知っておくと便利な確率の例である 特定の種類のカードの投入枚数60枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 50枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 40枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 30枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 特定の種類のカードの投入枚数 60枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 デッキ投入枚数 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 8枚 初手存在率 8.333% 16.10% 23.33% 30.06% 36.30% 42.09% 47.46% 52.41% 期待値 0.083枚 0.167枚 0.250枚 0.333枚 0.417枚 0.500枚 0.583枚 0.667枚 デッキ投入枚数 9枚 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 初手存在率 56.99% 61.21% 65.09% 68.65% 71.91% 74.90% 77.63% 80.12% 期待値 0.750枚 0.833枚 0.917枚 1.00枚 1.08枚 1.17枚 1.25枚 1.33枚 50枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 デッキ投入枚数 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 8枚 初手存在率 10.00% 19.18% 27.60% 35.30% 42.37% 48.74% 54.57% 59.85% 期待値 0.100枚 0.200枚 0.300枚 0.400枚 0.500枚 0.600枚 0.700枚 0.800枚 デッキ投入枚数 9枚 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 初手存在率 64.63% 68.94% 72.83% 76.31% 79.43% 82.21% 84.68% 86.87% 期待値 0.900枚 1.00枚 1.10枚 1.20枚 1.30枚 1.40枚 1.50枚 1.60枚 40枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 デッキ投入枚数 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 8枚 初手存在率 12.50% 23.72% 33.76% 42.71 50.66% 57.71% 63.93% 69.40% 期待値 0.125枚 0.250枚 0.375枚 0.500枚 0.625枚 0.750枚 0.875枚 1.00枚 デッキ投入枚数 9枚 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 初手存在率 74.18% 78.34% 81.95% 85.06% 87.73% 90.00% 91.93% 93.54% 期待値 1.13枚 1.25枚 1.38枚 1.50枚 1.63枚 1.75枚 1.88枚 2.00枚 30枚東方デッキにおける初手存在率と初手期待値 デッキ投入枚数 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 8枚 初手存在率 16.67% 31.03% 43.35% 53.84% 62.72% 70.17% 76.39% 81.52% 期待値 0.167枚 0.333枚 0.500枚 0.667枚 0.833枚 1.00枚 1.17枚 1.33枚 デッキ投入枚数 9枚 10枚 11枚 12枚 13枚 14枚 15枚 16枚 初手存在率 85.72% 89.12% 91.84% 93.99% 95.66% 96.93% 97.89% 98.60% 期待値 1.50枚 1.67枚 1.83枚 2.00枚 2.17枚 2.33枚 2.50枚 2.67枚
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確率論の概要確率論とは 確率論を用いると分かること 例 確率論の基礎概念標本空間と確率 確率の有限加法性 確率変数 (Probabilistic variable) 条件付き確率 期待値 (Expectation) 共分散と相関係数(Covariance, Correlation coefficient) 確率論の諸定理チェビシェフの不等式 大数の弱法則 統計学確率モデル 共分散行列と主成分分析 確率論の概要 確率論とは 確率論は「確率があらかじめわかっている」ということを前提にスタートする理論である.確率が何によって定まるのかという問題は追求せず,確率が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく.確率分布(確率モデル)自体を,たとえば観測したデータから推定したり求めたりすることは,統計学の役割であり,確率論ではあくまで個々の確率は既知であるとして解析を始める. 確率論を用いると分かること ある事象の確率分布が明らかとき、それと因果関係のある事象の確率分布がどうなっているか。 ある因果関係の確率分布(条件付き確率分布)が明らかなとき、残りどんな確率分布が明らかになれば、所望の因果関係を表す確率分布が明らかになるか。 例 たとえば宝くじの場合,何枚売りに出され,そのうち当たりが何枚あるのかという情報は抽選前にあらかじめ決められている.その意味で,当選確率は既知である.その上で確率論を用いれば,宝くじを買うことによる損失あるいは逆に利益について,数理的に数値をあげて答えることができる. Ex.期待値や分散など 確率論の基礎概念 標本空間と確率 を可算集合として,の部分集合に,写像が与えられているとする. このとき,全体集合とその部分集合をそれぞれ標本空間,事象と呼び,部分集合(事象)の実数値への写像を確率という. 標本空間の元は根元事象と呼ばれる. いうまでもなく,は0と1の間の値をとる関数であり,である. 確率の有限加法性 事象(部分集合)を同時に満たすが存在しないとき,つまりならば,とは互いに排反であるという. が排反ならば,またはが起こる確率は,定義からそれぞれの確率の和になる. 確率の持つこの性質を加法性という. 確率変数 (Probabilistic variable) 標本空間の元(根源事象)が与えられたときに,値が一つ定まるような関数を確率変数という. 確率変数を用いると,がになるようなの集合(事象)をと表すことができる. 条件付き確率 事象に含まれる根源事象を集めたとき(),この中から事象が起きる確率を条件付き確率と呼ぶ. 条件付き確率は次式で定義される. 分母は規格化定数である. 条件付き確率の定義を用いると,結合(同時)確率は次のように展開することができる. また, も成り立つ.上式をベイズの定理という. は事後確率,は事前確率と呼ばれ,の関数は尤度関数と呼ばれる(確率の規格化条件を満たしていないので,確率と区別してこう呼ぶ). ベイズの定理は,の確率モデルを作ることが困難な場合(例えば,事象の種類が非常に多いとき)に有用である. 期待値 (Expectation) 確率変数の期待値は次式で求めることができる. 共分散と相関係数(Covariance, Correlation coefficient) 確率変数の共分散は次式で定義される. 共分散は変数間の関連性を表す指標である. ただし,単位の異なる変数間の共分散では数値の意味がわかりにくい. そこで一般的には相関係数が用いられる. 相関係数の定義は次式のとおりである. 確率論の諸定理 チェビシェフの不等式 大数の弱法則 統計学 確率モデル 科学においてモデル化(単純化)には大きく分けて二つある.一つが力学モデルであり,もう一つが確率モデルである. 力学モデル(低次元化)が現象の時間変化を定式化するのに対し,確率モデルでは現象のダイナミクスまでも棄ててしまい,現象の出現確率のみを規定することで現象を表現する. 共分散行列と主成分分析 分散,共分散を行列として整理したものを共分散行列という.共分散行列の固有ベクトルは
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非決定論的過程、すなわち、ある現象の次の状態は、部分的には前の状態から決定されるが、完全に前の状態には依存しておらず、確率的な予言しかできない偶然現象に対して数学的なモデルを与え、解析する数学の一分野である。17世紀にカルダノ、パスカル、フェルマー、ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。 現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの "確率論の基礎概念"(1933年)に始まる公理主義的確率論である。他の現代数学と同様に、この確率論では「確率」が何を意味しているのかという問題は追求せず、「確率」が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。 現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。もちろん離散数学との関係も依然として深いが、離散的な場合であってもその内容は解析的なものであることが多い(つまり、不等号を駆使する学問である)。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。 もともとサイコロ賭博といったギャンブルの研究として始まったが、今では保険や投資などの分野で実用されている。 引用元
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確率の哲学 確率の解釈 確率的(stochastic)か,決定的(deterministic)か コペンハーゲン解釈(Copenhagen interpretation) 確率的にしか分かりえない。 ラプラスの悪魔(Laplace s demon) ただ情報が足りない。 確率とは何か 統計学:相対度数 統計力学:場合の数 数学:公理的確率論 ←ヒルベルト,コルモゴロフ 統計の範疇 1. データ(有限個の試行結果)から元の分布を推定すること。 2. データから(分布に限らず)統計量を推定すること。 基礎付け 試行 現象の背景にある何らかの構造を調べる実験(村田) 実験,観測,調査など,結果が偶然によって左右され,その値や返答などを確実には予知しきれない操作(聖文社「数学定理・公式小事典」) 標本空間 Ω 試行の結果得られるもの(見本点,あるいは根元事象 ω)の全体 事象 Dの元を事象という。 Ω自体を特に全事象という。 確率測度 1. 2. 3. 確率空間 3つ組み による測度空間 確率変数 ←可測関数のこと。 標本空間上定義された実数値関数で,任意の区間の逆像が確率事象(可測集合)になる関数のこと。 試行によって根元事象ωが決まると確率変数X(ω)の値も決まるので,変数と呼ばれる。 通常の関数f(x)の値をyと書くように,確率変数X(ω)の値はxと書かれる。紛らわしいので注意。 → 確率変数の見本空間 → 確率変数の確率測度 Ex.1.1 サイコロ Ω={1,2,3,4,5,6} Ex.1.2 サイコロ Ex.2 ルーレット Ω=[0,1) 確率分布 確率変数の取り得る全ての値に対して,その確率を対応させたもの。 ヒストグラム,数値表,分布関数,etc. 表現法は様々 分布関数 Rem. 分布関数は,右連続かつ広義単調増加関数であり, F(-∞)=0, F(∞)=1 密度関数 分布関数の Radon-Nikodym の意味での微分 → Rem. RNでは2つの測度の絶対連続が前提だが,厳密にはF(x)は測度ではない(集合関数でない)ので,絶対連続の条件を満たさない。 つまり,実際に裏でRNの成立を保証しているのは,ボレル集合(Rの区間による完全加法族)上の測度として絶対連続性を有する P(E) の方である。 Rem. 離散値確率変数の分布関数は右連続だが左連続ではない(要するに不連続関数)なので,当然 P(E) は絶対連続の条件を満たさない。 従って離散値確率変数の分布関数に対してはRN微分を考えることもできず,(通常の意味で)密度関数は存在しない。 村田先生は確かDirac-δによる密度について触れてた気もする。 Rem. 連続値確率変数であっても,至るところ微分可能でない分布が存在する(特異分布) Th.密度関数であるための条件(?) 期待値 分布関数 F(x) による x のLebesgue-Stieltjes積分 Rem. 分布関数は右連続・広義単調増加なので,対応するLS測度が存在する。 離散値確率変数の場合 連続値確率変数の場合 推定量 推定とは,真の分布が分からないときに,有限個のデータ点から割り出された統計量のこと。 標本平均:期待値の推定量 この式は,独立同分布に従う確率変数から作り出される新たな確率変数とみなすこともできる。 即ち,1本目の式 m は具体的な数字だが,実は確率変数 M の実現値なのである。 確率変数 M の期待値は真の期待値に一致する。 即ち, 不偏分散:分散の推定量 未知分布による期待値が真値に一致する。 これも,次のような確率変数の実現値であると捉えなおすことで, その期待値が真値 に一致する。 さまざまな分布関数 正規分布 多変量正規分布 複数の確率変数 多次元のときは,同時分布が基本。 の従う分布を とする。 の従う分布は が基本。 各変数が独立の場合に限って,次が成り立つ。 すなわち, Lem. 計算にあたっては次の変形が本質的 これを用いて,次のように の積分変数が曖昧なままでも公式が成立する。 定義(平均) 定義(分散) 定義(共分散) 定義(相関係数) 定義(分散共分散行列) 定義(相互共分散) 定義(相関行列) 収束いろいろ 概収束 強法則で使う。 確率論では次のように表記される。 これは次のように書き換えると通常の概収束の表現になる。 確率1で収束,almost surely (a.s.) とも書く。 Prop. 概収束の扱い方 とおいて(両辺が等しいことは自明でない)P(N)=0 を示す。 Prop. 上極限の扱い方 という表記はいかにもなので,次のようにワンクッション置いて考える。 即ち, とすれば,単調列の極限になる。 特に, 確率収束 弱法則で使う。 確率変数の測度収束のこと。 確率収束すればa.e.の意味で一意である。 法則収束 中心極限定理で使う。 確率収束⇒法則収束 確率変数Xの分布関数をFとする。 Fの連続点を端点とする任意の区間Iに対して以下が成り立つとき,法則収束するという。 Th. 法則収束は分布収束 分布関数列{Fn}がFに法則収束するための必要十分条件は, Fの任意の連続点で各点収束すること。 Th. Levyの連続定理 法則収束 ⇔ 特性関数 φ(t)がt=0の近傍で一様収束 特性関数とフーリエ変換 特性関数 確率変数X,分布関数F(X)とする。 X(またはF)の特性関数φとは, 大数の法則と中心極限定理 大数の弱法則 いろいろバリエーションがある。 実問題においては,確率変数の平均や分散の存在を保証することは難しいので, 様々な仮定で類似の定理(算術平均の確率収束)が証明された。 平均収束(L2ノルム収束)すれば確率収束(測度収束)するが, 大数の弱法則は平均収束に言い換えても成り立つ。 大数の弱法則(必ずしも独立でない場合) 確率変数列 {Xn}(必ずしも独立でない) 確率変数の和 ←和もまた確率変数 Snが平均 と分散 を持ち,次を満たすとする。 このとき測度収束極限が存在する(もとの確率変数列に平均があるわけではないので,収束先がナニモノかはよく分からない)。 [証明] Chebyshevの不等式において,とおけばよい。 これが任意のεについて成り立つから確率収束(測度収束)を表す。 Cor. 大数の弱法則(独立同分布で分散があるとき) 確率変数列に共通の分散σ2の存在を仮定すれば以下が示される。 これも観測値から分散を推定する方法として統計学で有用。 (Khinchin) 大数の弱法則(独立同分布で平均があるとき) 確率変数列 {Xn}(独立同分布) 確率変数の和 Xnが平均μを持つとする。 ←分散は無くてもおk このとき算術平均は元の分布の平均に確率収束する。 これは観測値から平均を推定する方法として統計学で有用。 [証明]はちょっと長い。 大数の強法則 強法則は概収束を主張する。 概収束⇒確率収束だから,強法則から弱法則が従う。 大数の強法則(同分布でない) 確率変数列 {Xn}(独立)必ずしも同分布でなくてよい。 各確率変数が平均と分散 を持つとする。 さらに以下が成り立つとする。 このとき,の平均として, [証明]はKolmogorovの不等式を使う。 大数の強法則(同分布) 確率変数列 {Xn}(独立同分布) 各確率変数が平均μを持つとする。 ←分散はいらない。 中心極限定理 弱法則の拡張(CLT ⇒ 弱法則) 算術平均は正規分布に法則収束する。 中心極限定理 独立な確率変数列{Xk}の従う分布列{Fk} 各 Xk は平均0で分散を持つとする。(平均μのときは中心化する。) 確率変数の和 の分散を とおく。 さらに,以下を満たすとする(Lindebergの条件)。 このとき算術平均Snの正規化は正規分布N(0,1)に法則収束する。 [証明]は特性関数を使う。PDE論的にやる方法,作用素論にやる方法もある。 ベイジアンと頻度主義 Fisher情報行列 Cramer-Raoの不等式 情報幾何