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・単項式と多項式の乗除 ・式の展開 ・素因数分解 ・因数分解
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数式 連立方程式を利用した文章題 展開と因数分解 素因数分解と式の利用 式の利用(文字式を使った説明) 平方根 平方根の加法/減法 2次方程式 2次方程式を解くその1
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数と式 因数分解タイルの実験/佐藤健二 リンク1 リンク2 ひたすら因数分解 ドリル/佐藤健二 リンク1 リンク2 ひたすら2次方程式 ドリル/佐藤健二 リンク1 リンク2 ひたすら正負の数[加減] ドリル/佐藤健二 リンク1 リンク2 ひたすら正負の数[乗法] ドリル/佐藤健二 リンク1 リンク2 ひたすら連立方程式 ドリル/佐藤健二 リンク1 リンク2 図形 平行線がいっぱい スライドショー/佐藤健二 Forum of Geometric Constructor/飯島康之 MOW MOW MOW 数学の部屋/上原永護 数量関係 グラフ実験ツールCurb2Touch/Web/佐藤健二 リンク1 リンク2 カーテンレールの実験/佐藤健二 リンク1 リンク2 確率の実験(硬貨/サイコロ)エクセルワークシート/佐藤健二 Desmos Graphing Calculator(Desmosグラフ電卓)/Desmos その他(教育ツールなども) プログラムタイマーみたいの/佐藤健二 リンク1 リンク2 全領域にわたっているもの/分類できないもの 数学の部屋/青木芳文 数学教材の部屋/ 数学イメージ動画集/大日本図書 ClassPad.net/CASIO
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RSA暗号のアルゴリズムをいかに示す。 ある大きな2つの素数 p,q を選んで n = p * q とする。 (p-1) * (q-1) 以下で (p-1) * (q-1) と互いに素の数 e を選ぶ。 e * d mod (p-1) * (q-1) = 1 となる整数 d を求めると (e, n)が公開鍵, (d,n)が秘密鍵となる。 このとき、平文 M を暗号化するには C = M^e mod nとし、暗号文 C を複合化するには M = C^d mod n とすればよい。 RSA暗号の鍵生成編 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- p=5, q=7の場合 p=5, q=7とすると、n=35, (p-1) * (q-1) = 24 24以下で、24と互いに素となる数e=5を決める。 (5*d) mod 24 = 1となる d は 29 ( d=5では可だが、公開鍵とおなじになってしまう。) (5, 35)が公開鍵, (29,35)が秘密鍵となる。 RSA暗号の解読編 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 公開鍵(e,n)が与えられているとする。nを因数分解して n = p * qを満足するp,qを決める。 ここで、e * d mod (p-1) * (q-1) = 1をなる整数を求めると(d , n)が秘密鍵となる。 つまり、n を因数分解することができれば容易に秘密鍵を求めることができる。 実際に計算してみる。 公開鍵(7, 33) 33 を因数分解して 33 = 11 * 3 すなわちp=11,q=3となる。 (11 - 1) * (3 - 1) = 20であるので (7 * d) mod 20 = 1 となる d は d = 21/7 = 3 となる。 したがって、秘密鍵は(3, 33)である。 実際に確認してみる。 5を暗号化 5^7 mod 33 = 78125 mod 33 = 14 14を複合化 14^3 mod 33 = 2744 mod 33 = 5 5を暗号化したら14になり、14を複合化したら5になった。
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2次方程式を解く 2次方程式を解いてみよう。 これをxに0から4を代入して解いてみましょう。 x=0のとき 成り立たない。 x=1のとき 成り立たない。 x=2のとき 成り立ちました! 念のため、4までいきます。 x=3のとき あ、もう1つありました! x=4のとき 成り立たない。 よって、xについての解は x=2,x=3 え?解はこの2つだけでいいのかって?まぁ、それはそのうち分かります。 2次方程式の解き方 さっきの解き方、めんどくさくありませんでした? x=1000だったりしたら大変ですね。 んで、さっきの式 よく見て下さい。思い出しません?これは中3でやりました。 そう、左辺に注目ですよ。 因数分解って分かりますよね。 これを使うことができるんです。 または よって、x=2,x=3 一致しましたね。これを使えば簡単に解けます。 さて、こんな問題。 よって x=3 このように、2つの解が一致して、 解が1つになるものもあります。 では、問題 次の式を因数分解を利用して解きなさい。 答えはここから
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「X2+2pXY+Y2 に X=rx+y,Y=-x を代入して整理したときのx2,xy,y2の係数をそれぞれ順にa,2b,cとする。同様にして、X2+2qXY+Y2 に X=rx+y,Y=-x を代入して整理したときのx2,xy,y2の係数をそれぞれ順にd,2e,fとする。pとqの間に pq=3 の関係があるとき、 af+cd-2beの値を求めよ。」(灘) 中学三年生、この問題に取り組んでみましたが、理屈を理解するまではかなり難問だと思います。そして、先生に解説をしてもらい、理屈を理解すると分かりました。 見る限り複雑そうですが、因数分解出来れば出来る問題です。この問題「きも!」と思っても大丈夫。分かりやすく丁寧に解説していきます。なんせ、これが初の高校入試問題解説ですから(笑) ~解説~ まずは、 X2+2pXY+Y2 に注目しましょう。そして更に、X=rx+y,Y=-xであることに着目してみます。 XとYの値は分かってます。ですから実際に式に代入してみれば良いのです。従って、 X2+2pXY+Y2 にX=rx+y,Y=-xを代入してみます。すると、 (rx+y)2+2p(rx+y)(-x)+(-x)2となります。ここまでは大丈夫かな?ここまではただ代入しただけですので理解出来ると思います。そして、計算できるところはやっていきましょう。展開できるところや分配法則出来るところを全て計算していくと、 r2x2+2rxy+y2+2p(-rx2-xy)+x2=r2x2+2rxy+y2-2prx2-2pxy+x2ここまでは大丈夫?展開できる場所は展開して分配法則できるところ分配法則していっただけだよ。次に因数分解を行います。共通因数を探していきましょう。まずは、x2ふくまれている項を書き出しましょう。 r2x2/-2prx2/+x2の三つの項がありますね。これらの共通因数はx2ですのでこれらを除いた状態で括弧でくくります。要は共通因数を取り出す因数分解ですよ。そうすると、 (r2-2pr+1)x2ですね。次にxyを共通因数として取り出します。 xyの含まれている項は、 +2rxy/-2pxy の二つの項があります。xyを共通因数として因数分解してみますと、 (2r-2p)xy となりますね。残ったのはy2。 これらを全てつなげると、 (r2-2pr+1)x2+(2r-2p)xy+y2もうここらへんで分かりだしたかな?ここまでやってきたのは全て因数分解を用いました。公式は使わずに、共通因数を取り出す因数分解でいけます。 さて次に問題文において注目するのは、 「x2,xy,y2の係数をそれぞれ順にa,2b,cとする。」 の部分です。x2,xy,y2の係数はもう分かりましたので、それらをまとめてみると、 a=r2-2pr+1 2b=2r-2p c=1 という結果になります。 しかし、この2b=2r-2pにおいて両辺を2で割っても等式は成り立ちますので、 b=r-p と表すことも出来るわけですね。 さて、これでX2+2pXY+Y2 に関しては終わり。 次に、X2+2qXY+Y2 に関しての処理を行います。 しかし先ほどの式との違いは、2pXYと2qXYというように、pとqの違いで代入する値も全く同じであるし、a,2b,cとd,2e,fに関しても同じでただの違いはpとqの違いであることから、aをdに変えて、2bを2eに変えて、cをfに変えた後にpとqを入れ替えれば良いことが分かりますが、念のために解きます。先ほどと然程変わりはないので、途中の説明を省きますと、 X2+2qXY+Y2 =(rx+y)2+2q(rx+y)(-x)+(-x)2=r2x2+2rxy+y2+2q(-rx2-xy)+x2=r2x2+2rxy+y2-2qrx2-2qxy+x2=(r2-2qr+1)x2+(2r-2q)xy+y2ここまで解いて後は、 d=r2-2qr+1 2e=2r-2q→e=r-q f=1 となりますね。 次に注目したいのは、 「af+cd-2be」 ですね。a,2b,c,d,2e,fの値は分かってますからこの式に代入すれば求めることが可能になるわけなんですね。まずはafから見ていきましょうか。 afとはa×fですよね。けど、fというのは1ですよね。1はかけても数値自体は変わらないのでafっていうのは結局aと同じことになります。つまり、 af=r2-2pr+1 ですね。この次は、cdの値です。 けどこれまだcが1なので、cdは結局dの値と等しいので、 cd=r2-2qr+1 となります。そして、2beの値を求めてみましょう。 b=r-p e=r-q ですね。beというのは、b×eと等しいですからこれらをかけますと、 (r-p)(r-q) となります。これは展開により求めます。従って、 r(r-q)-p(r-q) =r2-qr-pr+pq beの値は求めたのですが、2beなので二倍すると、 2(r2-qr-pr+pq) =2r2-2qr-2pr+2pq よって、 2be=2r2-2qr-2pr+2pq ですね。 これで、af,cd,2beの値は求まったのでaf+cd-2beに代入していきましょう。 af+cd-2be =r2-2pr+1+r2-2qr+1-(2r2-2qr-2pr+2pq) =r2-2pr+1+r2-2qr+1-2r2+2qr+2pr-2pq ここまで来たら、後は同類項をまとめてみよう♪ r2+r2-2r2=0 -2pr+2pr=0 -2qr+2qr=0 1+1=2 -2pq 従って最終的に残ったのは、2と-2pq。よって、 2-2pq が得られる。さて、最後に注目するのは、 「pq=3」 ですね。-2pqのpqを3に置き換えることが出来ます。-2pqというのは-2×pqですから、pq=3ならば、-2×3が成り立ちます。ゆえに、 2-2pq =2-2×3 =2-6 =-4 よって、af+cd-2beの値は-4である。 どうでしょうか?少し複雑でしたか? 確かにややこしい問題で難しい問題ですが、問題文をしっかり読んで理屈を理解してみましょう。きっと分かると思いますよ。分からない場合は上の説明を何度も何度も読んでみましょう。読めばきっと得ることが出来るものがあると思いますよ。
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・整式の展開 ・整式の因数分解 ・実数
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(1) 答え
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因数分解シネ 意味不追試確定 -- (勇樹) 2009-12-17 00 29 06
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