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正規分布 の確率密度関数は 性質 のZ変換を施すことで標準正規分布N(0,1)に変換できる。 X1,X2がそれぞれに従うとき、X=X1+X2はの正規分布に従う。 X1,X2,...,Xnがそれぞれに従うとき、ランダム変数はに従う。
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古布のお勉強シリーズ。 ネットで研究してみると、古布の主な種類について解説されているサイトがある。 下記のサイトに記述があったので、引用させていただきました。 古布・骨董の店 藤原 様 http //www.kofuneko.com/ 絣(かすり) かすりとは、糸にあらかじめ模様を想定した染色を施し、織り上げて図柄を表現したもので、 起源はインド、中央アジア、東アジアあたりだと言われています。 かすりが一般に普及しだしたのは江戸時代で、 特に幕末から明治にかけて最も普及し、技術が進展しました。 かがすり(蚊絣) 蚊のように小さいかすりのことです。 細かいほど価値があると言われています。 雪がすり 雪が降るように見える所からの名称だと 思います。これも細かい方が珍重されます。 刺し子 刺し子とは、刺繍を施す事によって布を丈夫にすると同時に美しく装飾するという、 実用性とおしゃれを両立させたもので、その装飾性、表現の豊かさが最近注目を浴びています。 半纏(はんてん)、長着、もんぺなどによく使われており、防寒、補強などの意味があったと思われます。 型染 型染とは、主に型紙を用いて模様を染める染色方法のことです。 手書染と違って同じ模様を繰り返し染めることができるのが特徴です。 東北の型染はアイヌ文化の影響も受けていて素朴な感じのするものが多く、布団皮、着物などに多く使われています。 種類はたくさんありますが、最近古いものが少なくなってきたように思えます。 更紗 更紗の起源はインドとされていて、ペルシャ、ジャワなどに伝搬しました。 日本には室町時代~桃山時代ごろからジャワなどの更紗が入ってきたようです。 日本では江戸中期ごろから日本風の更紗が作られていました。 室町時代~江戸時代に東南アジア、インドなどから入ってきた更紗、縞などを 「古渡更紗」として珍重されています。 そして、メジャーな種類である縮緬。 これは、角山幸洋さんという方による解説をそのまま引用させていただきます。 縮緬(ちりめん) 緯(よこ)糸に強撚糸(きょうねんし)を交互に打ち込んだ絹織物の総称。一般には経(たて)糸に撚(よ)りのない生糸、緯糸に強撚の生糸を用いて平織に製織したのち、ソーダを混ぜたせっけん液で数時間煮沸して縮ませ、水洗いして糊(のり)けを去り乾燥させて仕上げたもの。この強撚の緯糸を縮緬緯といい、一般に右撚り2本、左撚り2本を交互に織り込むが、品種により1本または3本を交互に入れることもあり、縮緬のしぼの大きさに変化をもたせることがある。たとえば一越(ひとこし)縮緬は、左右の撚糸を一越(緯糸1本)ごと交互に織り込んだものである。 この縮緬の製造に際しては、撚糸法の改良が問題となる。蚕糸自体は長繊維なので、製織のため撚りをかける必要はなく、古代では一部のものを除いてほとんどのものが無撚(むより)であるが、13世紀ごろ中国で「大紡車」(一度に多くの撚糸が製造できる道具で、水車動力を利用する。日本の撚糸八丁車(よりいとはっちょうぐるま)に相当するもの)が発明されてからは、蚕糸に撚りをかけることが一般化してくる。このような事情が縮緬の製造に拍車をかけたものとみられる。日本へは天正(てんしょう)年間(1573~92)に中国の織工が堺(さかい)に技術を伝え、それが西陣(にしじん)へ伝わったとされている。一方、西欧へ伝わったものは一般にクレープとよんでいるもので、多くの種類を生んでいった。 縮緬は原糸、用途、糸使いなどによって、西陣縮緬、丹後(たんご)縮緬、岐阜縮緬、浜(はま)縮緬、桐生(きりゅう)縮緬、足利(あしかが)縮緬などが各地方に生まれ、鬼縮緬、鶉(うずら)縮緬、絽(ろ)縮緬、紋縮緬、錦紗(きんしゃ)縮緬などがある。用途は広く、着尺地、羽尺地、帯地などに使われる。また広幅のものは、クレープとよび、フラット・クレープ、ジョーゼット・クレープなどがあって、婦人服地として用いられている。 参照:古布の種類 トビウオのビジネスブログより http //yaplog.jp/tosihiro/archive/270 古布専門店 はてな 東京都立川市高松町3-30-24 古布 / 吊るし雛
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第2章 統計的な考え方の基礎~確率と確率分布 2.1 本章のテーマ 統計学=「不確実性を考慮した論理的推論」 では、確率とは何か? 2.2 確率的な現象を統計的事象と呼ぶ 2.2.1 どういう現象が確率的か? サイコロを振ったときの目 天気予報 喫煙と肺がんの関係 「確率論」=「不確かさ」に潜む法則性を考える学問 この種の法則性をもつ事象=「統計的事象」 確率=統計的事象の確かさの度合いを示すのに便利なモノサシ * 2.3 標本空間 「標本空間」=以下の3点で統計的現象をとらえた、記号化された結果の集合 ●観察を行う側面を特定する ●起こりうる結果の範囲を規定する ●その範囲内の各結果に記号を対応させる 2.4 事象
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Youtube 慶應大学講義 応用確率論 第四回 平均,分散の公式 多次元確率分布 前回までの講義 統計の特徴量である平均や分散についての解説。 平均と分散はチェビシフの不等式によって本質的な特徴を持つことが証明される。 今回の講義 今回の講義は次の講義のための準備のような講義で少し内容が薄い感じ。 前半は平均と分散の公式の説明。 後半は周辺分布による計算量の低下概念が大事なようです。 平均と分散の公式 式1 E(ax+b) 増幅して下駄を履かせた量についての場合。 これはaE(x)+bと同じ。 全体が等しくb大きくなるので平均がb増加でbが分離。 後は全値がa倍される。 平均の定義からいって当然。 V(ax+b)はVが平均からのずれの2乗。 bは等しく足されるだけなので分散に影響しない。 aは平均からのずれがa倍され、これが分散の式でa^2されるので V(ax+b)=a^2V(x) 厳密な式は V(ax+b)=E[(ax+b-E(ax+b))^2] =E[(ax+b-aE(x)-b)^2]=E[a^2(x-E(x))^2] =a^2*E[(x-E(x))^2] =a^2V(x) V(x)=E(x^2)-E(x)^2 多次元確率変数 ここまでは一つの変数にしか興味がなかった。 株価データでいえばある株価の100日後どうなるかしか考えてない。 ここからは30日後や60日後など多数の日のデータを考える。 株価データでいえば。 50日目の平均と100日目の平均。 50日目の分散と100日目の分散のように注目する変数を増やす。 また2種類以上の株価に興味を持つ場合。 100個の銘柄に興味を持てば多次元の確率変数となる。 時系列データを扱う手法はまだ準備が出来てないのでさいころのような簡単な例で示す。 さいころを一つ振る場合AさんとBさんの興味を Fa={偶数、奇数} Fb={3以下、4以上} と根源事象を考える。 一つの対象に複数の興味を持つ場合を考える。 この場合、偶数∧3以下のような組み合わせによる確率を考えることが出来る。 FaとFbの組み合わせ表を考えることが出来る。 二つの興味による分類は興味の全ての組み合わせの表を書くことで書き表すことが出来る。 P(Ai∧Bj)を同時分布という。 これを計算する場合全ての情報がわかってることが必要。 nΣmΣP(Ai∧Bj)=1でもある。 さいころを振る場合 P({偶数}∧{3以下})+P({偶数}∧{4以上}) は背反で =Pab({偶数∧3以下}∨({偶数∧4以上})) これは偶数が起こる確率にしか興味がないのと同じ。 =Pab({偶数}) =Pa({偶数}) これを周辺分布と呼ぶ。 Pab(Ai∧B1)+P(Ai∧B2)+,,,+P(Ai∧Bm) =Pab({Ai∧B1}∨,,,∨(Ai∧Bm)) =Pab(Ai)=Pa(Ai) となりこれを周辺分布と呼ぶ。 天候の場合からみる周辺分布の意味 本来であれば全世界の天候から算出できる。 しかし東京の天気に市加興味がない時にこの計算は無駄。 表が巨大になり同時分布を全部知ることはできない。 分からない部分については無視するしかない。 上記のようにBを消すのが周辺分布の作業。 これが周辺分布の重要な性質。 一部について計算するのが周辺分布。 これ難しそう。 独立性がない場合上手くデータを無視することで成り立つ? 独立性 事象AとBに関係がない場合を独立性とする。 事象が独立ならAのイベントn通り+Bのイベントm通りの情報から AとBの全同時分布の情報n*m通りの組み合わせを再現できる。 これは当たり前。 独立でないなら P(Ai∧Bj)≠P(Ai)*P(Bj)となる場合が普通。
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Youtubeに慶応大学の統計講義動画が上がってました。 大学1年生向けのようで深いところまでは立ち入らないようですが、逆に言えば統計の基礎を学べるので独学者にとってありがたい限りです。 講義動画の内容を独学用に纏めてみました。 講義内容自体は、統計の技術を教えるというより統計の知恵を教えるような動画で統計を習い終えた人にも向いているかもしれません。 連続型の確率分布ではp(x)は1を超えてもいいが ∞~-∞とした時の ∫p(x)dxは1となることが条件となる。 確率密度関数の一例、指数分布の解釈 1/λ(e^(-x/λ)) ただしx 0なら0. 指数分布の解釈は無数にあるがxは時間と解釈するものが一例となる。 分子がエネルギー最低の基底状態から 分子のエネルギーが一個だけ上がった励起状態になったとする。 この励起状態から光子がぬけでて基底状態にいつなるかの確率分布が指数分布となる。 確率変数 確率変数はある事態が起こった時の結果。 遊園地の運営なら晴れになったら入場者数1万人。 雨なら3000人。 の人数の方を指す。 確率分布とは F ,,,Ai,,, P ,,,Pi,,, 事象Aiが起こる確率がPiであるという関係であった。 ω∈AiをAiが起きた時としこの時数値Xiが定まるとする。 ω(Ai)からXiが定まる関数となる。 より厳密な定義は? 根源事象ωにたいし X(ω)={(x1 ω∈A1),,,(xi ω∈Ai,,,)} と定まるのが確率変数の厳密な定義でAiが起こった時Xiが起こるという意味となる。 X(ω)は根源事象の関数。 確率変数の定義 F ,,,Ai,,, X ,,,xi,,, P ,,,Pi,,, AiがPiの確率で起こるときxiが起こる。 箱の中に赤青黄のボールが6、3,1個入っていて引き当てた色によってもらえる金額が違う。 この時色がFで引き当てる確率がPで金額がXとなる。 ポアソン分布にみられる確率変数の例 2項分布の成功率が異常に低くなったのがポアソン分布。 ∞回繰り返したとき F ,,,(k回成功する),,, X ,,,xi,,, P ,,,(λ^k*(e^(-λ))/k!,,, P(X=k)は、「単位時間中に平均で 回発生する事象がちょうど k 回(k は0を含む自然数、k = 0, 1, 2, ...)発生する確率」に相当する 事象が平均で2分間に1回発生する場合、10分間の中で事象が発生する回数はλ=5 xiで何が起こるかは自由に定めて構わない 例えば10回以上の成功以外無視ならx0~x10まで0を割り当てるなども自由にしてよい。 確率変数の変換とは 単純な変換は F ,,,Ai,,, X ,,,f(xi),,, P ,,,Pi,,, を考えること。 もう少し複雑な変換は F ,,,Ai,,, X ,,,f(xi),,, P ,,,Pi,,, を G ,,,Bi,,,(この事象がおこる) Y ,,,yi,,,(その結果起こる事象) Q ,,,qi,,,(Bが起こる確率) という確率変数に変換する操作を指す。 さいころを振ってxi=1,,6のどれかが出る場合を y=f(xi)=(-1)^(x+1)とすると 奇数なら1偶数なら-1となるので確率変数が G {-1},{1} Y -1 1 Q 1/2 1/2 と変換される。 連続の場合の確率変数 F ,,,{[x,x+Δx]},,, X ,,,x,,, P ,,,P(x)Δx,,, と定義され変換は。 y=f(x) G ,,,{[y,y+Δy]} Y ,,,,y,,,,,, Q ,,,,q(y)Δy,,, と変換される。 これ具体的な数式を色々入れるとかなり難しそう、、、 期待値 これは平均値が安定する十分な回数の試行が行われないと信頼できない値になっている。 離散の場合は特に書くまでもない。 連続の場合は ∞~∞まで ∫x*p(x)dx ポアソン分布の場合の期待値例 ∞~0まで E(x)=Σk*(λ^k)/(k!)*e^(-λ) ∞~1としても問題がないので再定義して式変形すると e^(-λ)λΣ(λ^(k-1))/((k-1)!) ここで e^λ=Σ(λ^(k))/((k)! という式を適用して e^(-λ)λΣ(λ^(k-1))/((k-1)!)=e^(-λ)*λ*(e^λ)となる。 と定義からすんなり出てくる。
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第2章 確率分布と統計モデルの最尤推定 2014/11/25日に開催しました。 当日使用した映写資料(PDF)はこちらです。
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布と針と糸を適切に組み合わせて、もっと裁縫上手に 布には、さまざまな種類があります。まずは、実際のお裁縫に役立つように、布の厚みと針、糸の組み合せを紹介します。どれかひとつ違うだけで、上手に縫えない事もあるので、布にあった適切な針と糸を選んでください。基本的には、厚い布には太い針と糸、薄い布には細い針と糸と覚えてくださいね。 オーガンジーやシフォン 透け感がある薄い布。ミシンで縫いにくい場合は、薄い紙を敷いて一緒に縫っても ■薄い布 薄い布地には、オーガンジーやシフォン、ジョーゼットなどがあります。 装飾や婦人用のドレスなどによく用います。薄すぎてミシンで縫いにくい場合は、ハトロン紙などの薄い紙を下に敷き一緒に縫う方法もあります。ミシン針は9番、ミシン糸は90番がおすすめです。 ブロード、シーチング 綿や麻の、普通の厚みの布が、ビギナーさんには扱いやすいかも ■普通の厚みの布 ブロードやギンガム、シーチングなどがあります。お裁縫初心者の方には、これら普通の厚さの布が扱いやすいと思います。また手縫いの場合は、あまり目が詰まりすぎていない、針通りの良い布を選んでください。ミシン針は9番か11番、ミシン糸は60番がおすすめです。 デニム、キルティング 厚手の布をミシンで縫う場合は、急がずに、ゆっくりと針を進めてください ■厚い布 デニムやキルティング、キャンバス(帆布)などがあります。デニムはジーンズに、キルティングやキャンバスは通園、通学カバンなどによく用いられます。ミシン針は14番、ミシン糸は60番または強度が必要な場合は30番がおすすめです。 家庭用ミシンでは、何枚も重ねて縫うのは難しいので、ミシンに少し慣れてきてから、ゆっくりと縫うといいでしょう。 ニット 伸縮性があるので、衣服用に。メリヤス、ジャージ、トリコットなどがあります ■ニット 編んで作られた布です。縦横方向に伸縮性があるため、肌着や衣服などによく用いられます。ニット用のミシン針と糸を用います。またロックミシンを用いれば、より簡単にニットを縫うことができます。 作る前に水通しを! 水に通す 買ったばかりの布は、布目がゆがんでいる場合もあるので、こうすれば、布目も整えられます 布は洗うと、若干縮みます。ですので、水に濡らしても大丈夫な布の場合、作る前に一度水通しをして、あらかじめ生地を縮ませておくと安心です。方法は、水を張ったバケツなどに布をたたんでしばらく浸し、軽く水をきって、しわにならないように陰干しします。生乾きの状態で、布に合った温度でアイロンをかけ、布目を整えます。ただし、貴重な布や、めったに洗わないような物を作る場合は、水通ししない方がいいと思いますので、素材と作る用途によって、水通しするかしないか選んでください。 参照:allabout「布の種類と扱い方」より http //allabout.co.jp/gm/gc/184778/ 古布専門店 はてな 東京都立川市高松町3-30-24 古布 / 吊るし雛
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Youtube動画 慶應大学講義 応用確率論 第一回 概要、事象と確率分布 慶応大学が確率論の全14回講義動画をネットにアップしてくれるというとてもいいことをしてくれていました。 大学に行ったことのない私としてはありがたい限りです。 1回目の覚書。 根源事象をいくつかチーム分けした集合、その集合に対して出てくる確率を求める写像がP。 さいころを2回振った場合根源事象は(1,1),(1,2),,,(6,6)のような集合となりこれをチーム分けする。 例えば2個のさいころの和が奇数の集合と偶数の集合のような集合を考える。 この集合に対してPを適用すると確率変数が出てくる。 この時作るチーム分けは一つの根源事象が必ずどれかの集合に入り他のチームと共通集合があってはいけない。 確率変数に従う一変数xがa~bの間に存在する確率は P(a,b)=p(a,a+Δx)+p(a+Δx,a+Δx*2),,,+p(b-Δx,b)となりΔxが極限になると∫p(a,b)当たり前の話。 xに関するノイズとか確率分布の分析の話は別の講義で出てくるらしい。 とりあえず自分の勉強が3日坊主で終わらないか心配だ。 Lispの勉強は8日目、簡単なエキスパートシステムを作るという部分で止まってしまった、、、 コードを読んでも処理内容を追い切れないのである。 掲示板での返答もつかないしどうしたものか。 統計も同じことにならなければいいが。 まあ25歳あたりまで知恵遅れでその時点で小卒レベルの思考回路と勉強だった俺だ。 そのあたりから急に知能が発達し出して、独学でここまで来たことを考えたら私も多少は進んでるとは思う。
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確率分布を用いたユニット運用理論 本稿では、確率分布より求められる攻撃ヒット回数とその確率について議論する。 Wesnothにおいて攻撃の成否を予測する際に与えられる情報は相手回避率pであって、n回の攻撃を行った時にk回ヒットする確率は自明ではない。たとえばあと2撃で倒せる相手が居たときに、こちらの攻撃回数が4回、相手回避率が40%であるような場合に何%の確率で倒せるのか、ということを直感的に把握するのは難しい。 Wesnothにおける攻撃の成否は、相手回避率pに従って攻撃が命中するか否かのいずれかに分かれるというベルヌーイ型の事象であるため、その成否が従う確率分布は二項分布となる。そのため試行をn回行った場合の期待値は、二項係数を用いて計算が可能である。 (ただしP(k)は相手回避率p,攻撃回数nが与えられた時にk回攻撃がヒットする場合の確率) そこで筆者は全てのp,nの組み合わせにおけるP(k=1,2,...n)を求めた。攻撃回数と回避率が与えられた場合のヒット確率を下に示す表にまとめた。 攻撃ヒット確率・期待値早見表 以下ではこの表を用いて様々な考察を行い、直感で理解しにくい事象、判断を誤ったり見落としがちな事象について論じる。上述の表を別窓で開くか印刷して手元に置きながら考察していただければと思う。 1.期待値の導出が容易である場合 攻撃回数が1回の場合、ヒット数期待値は命中率そのものであり、自明である。攻撃回数2回の場合も、暗算で計算が可能な範囲ではある。たとえば回避率60%(命中率40%)の相手に殴りかかり2回とも外れる確率は、0.6^2=0.36という具合である。また、回避率50%の場合は半々であたるという事であり、コイン投げゲームと等価である。この場合は直感的にわかりやすい。 2.期待値の導出を直感的に把握するのが難しい場合 ではこの表を用いればどのような事が新たにわかるのであろうか。それは次のような場合である。たとえば攻撃回数が4回で命中率が40%である場合、2回ヒットさせれば相手を倒せるという場合に何パーセントの確率で相手を倒せるか(chance to kill ctkとしばしば表記される)という問題設定である。表によると2回ヒット率P(2)は0.345,3回ヒット率P(3)は0.153,4回ヒット率P(4)は0.025であるのでおおまかに言えば5割程度で倒せることになる(勿論1-P(0)-P(1)でも良い)。命中率が5割を切っているので半分以上外すのではないかと直感的には思うのだが、以外とそうではない。命中率が50%だと、7割近くは倒せる。 3.P(k)が与えられたことで導かれる戦術 wesnothには攻撃時に期待値計算ボタンを押すことで、上記のような計算を行ってくれる。しかし次のような場合はどうであろう。 問題 今、攻撃をあと1撃受けると死ぬユニットが自軍に2体いる。ユニットAは丘に登ると回避率70%であるが平地だと60%となる。ユニットBも同様に瀕死だが、彼は丘:40%、平地:30%となる。両者とも、敵の移動範囲外には逃れられないとする。両者のどちらかを丘、どちらかを平地に置かなければならない場合、どのような配置が最も良いか? 相手攻撃回数を場合分けして考えてみる。 以後、命中率pの時のk回ヒット率をP(k,p)と表すことにする ユニットAの生き残り率(1回も攻撃を受けない場合)の、丘と平地のどちらに置くかの差はΔA=P(0,0.3)-P(0,0.4)と表され、ユニットBは同様にΔB=P(0,0.6)-P(0,0.7)と表せる。 攻撃回数1の場合ΔA、ΔBともに0.1となるため差はない 攻撃回数2の場合 ΔA=0.49-0.36=0.13に対し、ΔB=0.16-0.09=0.07であり、Aをより回避率の高い地形に置くほうが若干(6%程度)有利である。 攻撃回数3の場合ΔA=0.343-0.216=0.127 ΔB=0.064-0.027=0.037 このことは、Aを回避率の高い地形に置くと12%生存率が上がるが、Bは3%しか改善しないことを示す。そもそもBは生存率が数パーセントしかない(3回殴られると9割以上死ぬ)。 攻撃回数4の場合ΔA=0.2401-0.1296=0.1105 ΔB=0.0081-0.0016=0.0065 Bは生存がほとんど望めない。Aは11%の生存率上昇が見込める。 このように、ユニットAとBとでは、Aを回避率の高い地形に置くほうが有益であるということがわかった。恐らく元の生存率が大きいほど、回避率が上昇した時の改善幅が大きくなるのだろう。1発食らうと死ぬという場合においては、もともとの回避率が高いキャラを優先させたほうが生き残り率が高いという結果が得られる。このことは直感的にも同意できる結果であろう。 ではBが有利となるようなシチュエーションはあるのだろうか?もう少し条件を変えて検討してみる。次はBの丘と平地における回避率を50%と30%としてみる。すなわちΔB=P(0,0.5)-P(0,0.7)とする。こうすると敵攻撃回数が2回の場合はΔA ΔBとなる。しかし攻撃回数が3回や4回の場合では依然としてΔAのほうが有利となる。これは、回避率が50%となったとしても3回や4回攻撃を受けた場合は生き残り率が低いということが原因である。 Bが有利となる条件を探索することにする。そのためにkを変化させることにする。すなわちユニットの残りHPがもう少し高く、一撃までは耐えられる(2回以上ヒットされれば死ぬ)という場合を考えてみる。このような場合は ΔA={P(0,0.3)+P(1,0.3)}-{P(0,0.4)+P(1,0.4)} ΔB={P(0,0.5)+P(1,0.5)}-{P(0,0.7)+P(1,0.7)}と表される。 この状況であれば、相手攻撃回数が3回や4回の場合にもBが有利となる。1回ヒットまでを許せば、Bであっても生き残ることことがそれなりに期待できるようになるからである。 以上をまとめると、生き残ることが元々期待しにくいようなユニット(敵攻撃回数に対して残りHPや回避率が低い)よりも、同様に瀕死であるがより高回避率であるようなユニットを良い地形に置くほうが有益である。
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【練習問題1】 統計学の試験(100点満点)で、上位15%の学生に「優」を付けようと思う。何点以上とすれば良いか? 試験の得点は、平均55点、標準偏差15点の正規分布に従うものとする。 【練習問題2】 知能指数IQは正規分布 に従う。IQが150以上の人は全体の何%を占めるか? 【練習問題3】 確率変数が正規分布 に従うとする。 (1) のとき、 を求めよ。 (2) であるとき、 の値を求めよ。 正規分布の性質