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・1次方程式、1次不等式 ・2次方程式 ・不等式の証明
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作詞:プリュ 作曲:プリュ 編曲:プリュ 歌:音街ウナ 翻譯:歌音咲 單向通行 聲音成為木靈 又再次停止作響 連最後的歌 也什麼都沒能改變 以超合金創造出的 數十億的生命 擁有馬口鐵制的鼓膜 假裝是溫柔的傢伙 生命聚集起來 向著沒有信號燈的道路 模仿著平凡 甚至不正確的習性 堵塞住電波 也聽不見哭泣聲 意外之事在這裡 也會是理所當然的吧? 在靜止不動的綠色自轉星球上 以壽命代替理智 仍舊成為了那個 一無是處的迷途之子 黎明即將到來的夜裡 連溶解盡的記憶 也無法讓我回想起 真是美好的世界啊。 午夜零時來臨 令骨之花綻放 說不出口「還不想死啊」 退下舞臺 嗜食超合金成長的 七十億國王 擁有不可思議的力量 在共鳴消亡前夕 因睡相感到疼痛 是毒藥依賴症 證明恒等式 向著同樣的目標【道路】邁進 一片空白 誰也無法成為依靠 需求被奪取 身體也七零八落 在無名的鮮紅色橋上 大約佇立了一光年 無論叫喊著什麼 都仍然無法看見 漸漸沉沒的天空中 落下的心 冷卻而只是消失 向著二次元的世界。 生命聚集起來 向著沒有信號燈的道路 到達天國 在下一站了結 明白這荒謬的一切 與理解毫無關聯 無比疲倦 粉身碎骨也無所謂嗎? 在靜止不動的綠色自轉星球上 以壽命代替理智 然後仍舊成為了 被拋棄的迷途之子 黎明即將到來的夜裡 連溶解盡的我 也沒有告知 真是污濁的世界啊。
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★数式の記述を実験中。 ここで, は の値 か,あるいは を満たす の値 のいずれかで定義される定数(一方を定義とすれば,他方は定理となる)であるが,上の式にを代入することによって という等式も得られる。 なぜなら, であるから。 いわゆる「オイラーの等式」です。 連分数 http //homepage3.nifty.com/y_sugi/が素晴らしいですね ★ 以下は広告です ★
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不等式の性質を数直線上に表す. #ref error :ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) inequality1.zip 画面上に幾何点AからP4をとる. 1)a b,b cのとき,a c Addax(0); Listplot([A,B]); Htickmark([Q,"n","c",R,"n","b",S,"n","a"]); Setcolor([0.8,0,0,0]); //色を指定する. Bowdata([Q,R],[1.5,0]); Bowdata([R,S],[1,0]); //2点の間に弓形を描く.オプション 曲がり,空白サイズ,文字 Setcolor("black"); Letter([[(Q.x+R.x)/2,(Q.y+R.y)/2],"s6","$c b$",[(R.x+S.x)/2,(R.y+S.y)/2],"s6","$b a$"]); 2)a bのとき,a+c b+c Listplot([C,D]); Listplot([E,F]); Htickmark([T,"n","b",U,"n","a",V,"s","b+4",W,"s","a+4"]); Setcolor([0.8,0,0,0]); Arrowdata(T,V); Arrowdata(U,W); //矢印を描く. Setcolor("black"); Letter([[(T.x+V.x)/2,(T.y+V.y)/2],"w5","$+4$",[(U.x+W.x)/2,(U.y+W.y)/2],"e4","$+4$"]); 同様に以下の図も描くことができる. 3)a b,c 0のとき,ca cb 4)a b,c 0のとき,ca cb
https://w.atwiki.jp/linearalgebra/pages/48.html
このページの内容は書きかけです。 12-2互換、恒等置換、逆置換
https://w.atwiki.jp/linearalgebra/pages/105.html
このページの内容は書きかけです。 10-3 ノルムの不等式
https://w.atwiki.jp/linearalgebra/pages/152.html
このページの内容は準備段階のものです。数学書房「考える線形代数」をお買い求めください。 8-2. 互換、恒等置換、逆置換 <8-1. 置換の定義、記法|8-3. 置換の積> <8-1. 置換の定義、記法|8-3. 置換の積>
https://w.atwiki.jp/300000/pages/47.html
★数式の記述を実験中。 誤りとしか見えないが,解釈によっては正しいと言える等式を紹介するページ。 進数体 において, において, において, リーマン・ゼータ関数の値 その他のゼータの値(?) …… まだ勉強不足です。 ★ 以下は広告です ★
https://w.atwiki.jp/pluto-herr/pages/65.html
(注意) これは他のブログに2020_03_31に投稿したものである。 新型コロナウイルスが猛威をふるっていますが、皆様には いかがお暮しでしょうか?お互い、しっかりと注意しながら 罹患しないよう、過ごして行きましょう。 さて、このblogの内容ですが、暫くの間は, Yahoo知恵袋!で回答したけれども削除されたものなどを編集して、 まとめて行きたいと思います。 まず最初は [曲率テンソル]の質問に答えます。 [質問] MをC^∞多様体、C^∞(M)をM上のC^∞関数の全体、 Χ(M)[Χはギリシャ文字χ(カイ)の大文字]を M上の C^∞ベクトル場の全体とする。 今 写像 R Χ(M)×Χ(M)×Χ(M)→Χ(M) を任意のX,Y,Z∊Χ(M)に 対して、 R(X,Y,Z)=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z) ・・・(☆) と定義するとき、任意のf,g,h∊X(M)に対して、 R(fX,gY,hZ)=(fgh)R(X,Y,Z)が成り立つことを示してください。 ここに、▽_XはXによる共変微分を表し、[X,Y]はベクトル場のリー括弧積 を表す。 (注意:このRを「曲率テンソル」という: [(1,3)型のテンソルです ] 普通は R(X,Y)Z=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z) とすることが多い。) ◎以下が[回答」です。 [回答」 [注意1] (ア) ∀X∈Χ(M)と∀h∈C^∞(M)に対し、Xh∈C^∞(M)である。 [∀p∈Mにおける関数Xhの値は(Xh)(p)=(X_p)hと定義する。 ここに、X_pは接ベクトル] (イ) f∈C^∞(M),X∈Χ(M)に対して、fX∈Χ(M)。 [fXのh∈C^∞(M)への作用は (fX)(h)=f・(Xh)である。(ア)のXh∈C^∞(M)に注意。 ここに、[・]は関数同士の積を表す。以後[・]は省略する。] (ウ) ベクトル場はある種の微分であるから、関数への作用について積の微分法が 成り立つ。 即ちg,h∈C^∞(M)とX∈Χ(M)に対して、X(gh)=(Xg)h+g(Xh)…(#)が成り立つ。 また以後、C^∞(M)=Fと略記する。 [注意2] (ア) ベクトル場X,Yに対して 「X=Y⇔∀h∈Fに対しXh=Yh 」 よってX=Yを示すには、 ∀h∈Fに対しXh=Yhを示せばよい…①。この①はよく用いる。 (イ) リー括弧積について[Y,X]=-[X,Y]が成り立つ。 [証明] ∀h∈Fをとる。定義は [X,Y]h=X(Yh)ーY(Xh)…②である。ゆえに [Y,X]h =Y(Xh)-X(Yh) =-{X(Yh)-Y(Xh)} =-[X,Y]h 即ち [Y,X]=-[X,Y] [∵①] [命題1] f∈Fとベクトル場X,Yに対して[fX,Y]=f[X,Y]ー(Yf)X …③ [証明] ∀h∈Fに対し②から、 [fX,Y]h =(fX)(Yh)-Y((fX)h) =f(X(Yh))-Y(f(Xh)) =f(X(Yh))-{(Yf)(Xh)+f(Y(Xh))} [∵(♯)より] =f{X(Yh)-Y(Xh)}-(Yf)(Xh) =f([X,Y]h)-((Yf)X)h =(f[X,Y])(h)-((Yf)X)(h) =(f[X,Y]-(Yf)X)(h) 即ち、 [fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X (証明終わり) [注意3] ベクトル場 X,Wとh∈Fに対し共変微分▽_Xを考えると (1) h∈F ⇒(▽_X)h∈F 。つまり、hが関数 ⇒(▽_X )hも関数。 Z∈Χ(M) ⇒(▽_X)Z∈Χ(M)。 つまり、Zがベクトル場 ⇒(▽_X)Zもベクトル場 (2) (▽_X)h=Xh …④ (3) 共変微分は一種の微分だから、積の微分法が成立する。 (▽_X)(hW)=((▽_X)(h))W+h((▽_X)(W)) …⑤ (2)により、これは (▽_X)(hW)=(Xh)W+h((▽_X)(W)) …⑥ となる。 (4) (▽_fX)(h)=f((▽_X)(h))と(▽_(X+Y))(Z)=(▽_X)(Z)+(▽_Y)(Z) が成り立つ。 ☆ 曲率テンソルRの質問については、 その定義から、R(X,Y,Z)∈Χ(M) つまり、R(X,Y,Z)はベクトル場である。 また、次の[命題2]が成り立つ。 [命題2] R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z) かつ、R(X,gY,Z)=gR(X,Y,Z) かつ R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z) が成り立つ ⇒ R(fX,gY,hZ)=fghR(X,Y,Z)が成り立つ。 [証明] R(fX,gY,hZ) =fR(X,gY,hZ) =f{gR(X,Y,hZ)}=(fg)R(X,Y,hZ)={(fg)h}R(X,Y,Z) =fghR(X,Y,Z) (証明終わり) [命題3] R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) [証明] [Y,X]=ー[X,Y]と、 (▽_(fX))(Z)=f((▽_X)(Z))を使う。 Rの定義(☆)から、 R(Y,X,Z) =(▽_Y)((▽_X)(Z))ー(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_[Y,X])(Z) =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))}-(▽_(-1)[X,Y])(Z) =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))}+(▽_[X,Y])(Z) [[注意3]の④] =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} =-R(X,Y,Z) 即ち R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) (証明終わり) ☆☆ それでは、質問に答えよう。 まず、 R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z)を示す。] [注意3]の(4)より (▽_(fX))((▽_Y)(Z))=f(▽_X)((▽_Y)(Z))…⑦ また (▽_Y)(▽_(fX))(Z) =(▽_Y)(f(▽_X(Z))) =(Yf)((▽_X)(Z))+f(▽_Y)((▽_X(Z)) [∵[注意3]の⑥]…⑧ そして、[命題1]と[注意3]の(4)より (▽_[fX,Y])(Z) =(▽_(f[X,Y]-(Yf)X))(Z) =(▽_(f[X,Y]))(Z))-(▽_(Yf)X)(Z) =(f(▽_([X,Y])))(Z)-(Yf)(▽_X)(Z)…⑨ ⑦⑧⑨から、 R(fX,Y,Z) =(▽_(fX))((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_(fX))(Z))-(▽_[fX,Y])(Z) =f(▽_X)((▽_Y)(Z)) -{(Yf)((▽_X)(Z))+f(▽_Y)((▽_X))(Z))} -{f(▽_[X,Y](Z)ー(Yf)((▽_X)(Z))} =f{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} -(Yf)((▽_X)(Z)) +(Yf)((▽_X)(Z)) =f{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} =fR(X,Y,Z) つまり R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z)…⑩が示された。 次に R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) により、⑩を用いて R(X,gY,Z)=-R(gY,X,Z)=-gR(Y,X,Z)=-g{ーR(X,Y,Z)}=gR(X,Y,Z) つまり R(X,gY,Z)=gR(X,Y,Z)が示された。 最後に、 R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z)を示そう。まず、 (▽_X)((▽_Y)(hZ)) =(▽_X){(Yh)Z+h((▽_Y)(Z))} [∵ [注意3]の⑥] =(X(Yh))Z+(Yh)(▽_X)(Z)+(Xh)((▽_Y)(Z))+h(▽_X)((▽_Y)(Z)) …(11) [再び [注意3]の⑥] 同様にして、 (▽_Y)((▽_X)(hZ)) =(Y(Xh))Z+(Xh)(▽_Y)(Z)+(Yh)((▽_X)(Z))+h((▽_Y)((▽_X)(Z)) …(12) また、 (▽_[X,Y])(hZ) =([X,Y]h)Z+h((▽_[X,Y])(Z)) …(13) [∵ [注意3]の⑥] ゆえに(11)(12)(13)から、 R(X,Y,hZ) =(X(Yh))Z+(Yh)((▽_X)(Z))+(Xh)((▽_Y)(Z))+h(▽_X)(((▽_Y)(Z)) -{(Y(Xh))Z+(Xh)(▽_Y)(Z)+(Yh)((▽_X)(Z))+h((▽_Y)((▽_X)(Z))} -([X,Y]h)Z-h((▽_[X,Y])(Z)) =(X(Yh))Z-(Y(Xh))Z-([X,Y]h)Z +(Xh)((▽_Y)(Z))+(Yh)((▽_X)(Z)) -(Xh)((▽_Y)(Z))-(Yh)((▽_X)(Z)) +h{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} ={X(Yh)ーY(Xh)-[X,Y]h}Z+hR(X,Y,Z) =hR(X,Y,Z) [∵[X,Y]h=X(Yh)-Y(Xh)] 即ち R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z)…(14)。 ゆえに[命題2]から、 R(fX,gY,hZ)=(fgh)R(X,Y,Z)が成り立つ。以上です。 [回答」終わり ◎ 曲率テンソルの「テンソル解析」との関係をみておこう。 X=∂/∂x^i,Y=∂/∂x^j,Z=∂/∂x^k,∂/∂x^mに対して R(X,Y)Z=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z)は局所表示では、 R(∂/∂x^i,∂/∂x^j)(∂/∂x^k)=∑^(m)[Rijk^(m)](∂/∂x^m) と書かれる。 但し、mは上付きの文字、i,j,kは下付きの文字とする。 Rijk^(m)は[線形接続]の曲率テンソルの成分である。 Rijk^(m)をR^(m)kij とする流儀もあるので注意したい。したがって 回答で述べた、R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z)は、Rjik^(m)=-Rijk^(m) …(b) と同値である。またBianchi(ビアンキ)の第1恒等式は、以下の捩率 T=0のとき R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0 ⇔ Rijk^(m)+Rjki^(m)+Rkij^(m)=0 …(♯1) となる。[野水克己 現代微分幾何入門 P80の[定理1] 参照] ☆ さらに、線形接続がMのRiemann(リーマン)計量gから決まるリーマン接続 [即ち 捩率(れいりつ) T について、T(X,Y)=(▽_X)Y-(▽_Y)X-[X,Y] が T=0 ⇔ [Γj^(i)k=Γk^(i)j] を満たし、 かつ (▽_X)g=0 for ∀X∈X(M)] であるならば、(ここにΓはギリシャ文字の大文字ガンマです) g(R(X,Y)Z,W)+g(Z,R(X,Y)W)=0 かつ g(R(X,Y)Z,W)-g(R(Z,W)X,Y)=0…(♯2) が成り立つそうだ。[村上信吾著 多様体第2版 P176演習問題4の2番] (♯2)は私にはわからない。 (♯1)の右側の式は、例えば「立花俊一 リーマン幾何学」PP77~79に載っている。 但しリーマン接続のときである。
https://w.atwiki.jp/kuni_memo/pages/225.html
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