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歪みと尖がり ジニ係数 歪みと尖がり これまではデータの分布の中心やちらばりについて考えてきた。 しかしデータの分布は他にも、大小どちらかにゆがんでいたり、また上につんと尖がっていたり、ぺちゃんこだったりする。 こうしたデータの分布を表現するのに、 つまり平均からそれぞれの値の差（偏差）を３乗して平均を出したり（ゆがみ）、４乗して平均を出したり（尖がり）する。 このような偏差のｋ乗（ｋ＝１，２，３，４・・・）の平均値のことを、ｋ次の平均まわりのモーメントと総称する。 成績データをつかって計算してみよう。 seiseki_m3 -mean(((seiseki-mean(seiseki))^3)) seiseki_m3 [1] -3736.766 seiseki_m4 -mean(((seiseki-mean(seiseki))^4)) seiseki_m4 [1] 306791.1 いま計算した３次・４次のモーメントは、測定単位に依存するので、どちらも標準偏差で割ってやって、単位に左右されないように調整してやるとよい。これをつかって歪度（κ3）と尖度（κ4）を で表すことにする。 これまた成績データをつかって計算すると、 seiseki_skewness -seiseki_m3/(sampleSD(seiseki))^3 seiseki_skewness [1] -0.6087587 seiseki_kurtosis -seiseki_m4/(sampleSD(seiseki))^4 seiseki_kurtosis [1] 2.72966 ここらでちゃんと関数の形で書いておこう skewness -function(x){ m3 -mean( ( (x-mean(x) )^3)) return(m3/(sampleSD(x))^3)} kurtosis -function(x){ m4 -mean( ( ( x-mean(x) )^4)) return(m4/(sampleSD(x))^4)} ためしにさっきの成績データを計算してみると skewness(seiseki) [1] -0.6087587 kurtosis(seiseki) [1] 2.72966 さらに収益率データで計算してみると skewness(t_shuueki_ritu) [1] 0.2203718 kurtosis(t_shuueki_ritu) [1] 2.758251 この歪度や尖度は、大きいのか小さいのか。 ためしに正規分布に従う乱数を１０００個つくって、この歪度や尖度を計算してみよう。 seiki_bunpu -rnorm(1000) ##正規分布に従う乱数を１０００個つくって格納する。 mean(seiki_bunpu) [1] -0.1043721 sampleSD(seiki_bunpu) [1] 1.014130 rnorm()は、デフォルトでは平均０標準偏差１の正規分布に従う乱数を発生させる。 平均はゼロ付近であり、標準偏差は１あたりである。 さて歪度と尖度を計算しよう。 skewness(seiki_bunpu) [1] 0.02163942 kurtosis(seiki_bunpu) [1] 3.054034 参考のためにヒストグラムを描いておこう。 金融経済学（ファイナンス）の分野では、日々の収益率から度数分布を計算すると、しばしばκ4は大きくなることが分かってきた。 何に対して大きいかといえば、先に見たとおり正規分布ではκ4は３になるのだが、収益率の尖度κ4これよりも大きい。 今、為替レート（円：対ドル、１９８９年１月～２００３年６月）を用意して、収益率(Yen_shueki)を次の式で定義した。 Yen_shueki -log(Yen)-log(Yen_1) Yen_1はYenより１箇月前の数値である。 為替レートを時系列データとして入力。 Yen - ts( c( 129.13,127.15,132.55,132.49,142.7,143.95,138.4,144.28,139.35,142.15, 142.9,143.4,144.4,148.52,157.65,159.08,151.75,152.85,147.5,144.5, 137.95,129.35,132.75,135.4,131.4,131.95,140.55,137.42,137.97,138.15, 137.83,136.88,132.95,131,130.07,125.25,125.78,129.33,133.05,133.38, 128.33,125.55,127.3,123.42,119.25,123.35,124.75,124.65,124.3,117.85, 115.35,111.1,107.45,106.51,105.6,104.18,105.1,108.23,108.82,111.89, 109.55,104.3,102.8,102.38,104.38,98.95,99.93,99.57,98.59,97.37, 98.98,99.83,98.58,96.93,88.38,83.77,83.19,84.77,88.17,97.46, 98.18,101.9,101.66,102.91,106.92,104.58,106.49,104.29,108.37,109.88, 107.13,108.4,111.45,113.27,113.44,115.98,122.13,120.88,123.97,126.92, 116.43,114.3,117.74,119.39,121.44,120.29,127.66,129.92,127.34,126.72, 133.39,131.95,138.72,139.95,143.79,141.52,135.72,116.09,123.83,115.2, 115.98,120.32,119.99,119.59,121.37,120.87,115.27,110.19,105.66,104.89, 102.42,102.08,106.9,110.27,105.29,106.44,107.3,105.4,109.52,106.43, 107.75,108.81,111.07,114.9,116.38,116.44,125.27,124.06,119.06,124.27, 124.79,118.92,119.29,121.84,123.98,131.47,132.94,133.89,132.71,127.97, 123.96,119.22,119.82,117.97,121.79,122.48,122.44,119.37,119.21,117.75, 119.02,119.46,118.63), start=c(1989,1),freq=12) 最初の値を取り除いて、１か月分ずれた時系列データをつくってYen_1に入力。 データ数もひとつ少なくなっているので、最後のデータを付け加えて、Yenとデータ数を揃えた。 Yen_1 -Yen[-1] Yen_1 -c(Yen_1,118.63) Yen_1 [1] 127.15 132.55 132.49 142.70 143.95 138.40 144.28 139.35 142.15 142.90 143.40 144.40 148.52 157.65 [15] 159.08 151.75 152.85 147.50 144.50 137.95 129.35 132.75 135.40 131.40 131.95 140.55 137.42 137.97 [29] 138.15 137.83 136.88 132.95 131.00 130.07 125.25 125.78 129.33 133.05 133.38 128.33 125.55 127.30 [43] 123.42 119.25 123.35 124.75 124.65 124.30 117.85 115.35 111.10 107.45 106.51 105.60 104.18 105.10 [57] 108.23 108.82 111.89 109.55 104.30 102.80 102.38 104.38 98.95 99.93 99.57 98.59 97.37 98.98 [71] 99.83 98.58 96.93 88.38 83.77 83.19 84.77 88.17 97.46 98.18 101.90 101.66 102.91 106.92 [85] 104.58 106.49 104.29 108.37 109.88 107.13 108.40 111.45 113.27 113.44 115.98 122.13 120.88 123.97 [99] 126.92 116.43 114.30 117.74 119.39 121.44 120.29 127.66 129.92 127.34 126.72 133.39 131.95 138.72 [113] 139.95 143.79 141.52 135.72 116.09 123.83 115.20 115.98 120.32 119.99 119.59 121.37 120.87 115.27 [127] 110.19 105.66 104.89 102.42 102.08 106.90 110.27 105.29 106.44 107.30 105.40 109.52 106.43 107.75 [141] 108.81 111.07 114.90 116.38 116.44 125.27 124.06 119.06 124.27 124.79 118.92 119.29 121.84 123.98 [155] 131.47 132.94 133.89 132.71 127.97 123.96 119.22 119.82 117.97 121.79 122.48 122.44 119.37 119.21 [169] 117.75 119.02 119.46 118.63 118.63 定義どおり、収益率を計算する。 Yen_shueki -log(Yen)-log(Yen_1) 最後はゼロなので、除いておく。 Yen_shueki -Yen_shueki[-172] 収益率はこんな感じになった。 Yen_shueki [1] 0.0154521570 -0.0415924409 0.0004527619 -0.0742373536 -0.0087214926 0.0393179739 -0.0416078129 [8] 0.0347671021 -0.0198940842 -0.0052622468 -0.0034928432 -0.0069492983 -0.0281324029 -0.0596577567 [15] -0.0090298343 0.0471727904 -0.0072226184 0.0356288726 0.0205486682 0.0463882069 0.0643693920 [22] -0.0259457515 -0.0197657004 0.0299872544 -0.0041769569 -0.0631402344 0.0225213677 -0.0039943406 [29] -0.0013037811 0.0023190097 0.0069164121 0.0291315119 0.0147757945 0.0071245561 0.0377610271 [36] -0.0042226092 -0.0278329283 -0.0283577200 -0.0024771998 0.0385971259 0.0219009857 -0.0138424200 [43] 0.0309533327 0.0343710431 -0.0338037132 -0.0112858917 0.0008019247 0.0028118115 0.0532853691 [50] 0.0214416448 0.0375402880 0.0334050736 0.0087867456 0.0085805062 0.0135381990 -0.0087921056 [57] -0.0293463144 -0.0054365488 -0.0278211048 0.0211351798 0.0491097040 0.0144860090 0.0040939720 [64] -0.0193467052 0.0534234142 -0.0098552688 0.0036090265 0.0098910778 0.0124516816 -0.0163996545 [71] -0.0085509298 0.0126003381 0.0168793328 0.0923433688 0.0535707515 0.0069477999 -0.0188145583 [78] -0.0393250625 -0.1001752683 -0.0073604912 -0.0371894116 0.0023580282 -0.0122209078 -0.0382260714 [85] 0.0221285625 -0.0180987553 0.0208756039 -0.0383758178 -0.0138375633 0.0253458110 -0.0117850387 [92] -0.0277479708 -0.0161982894 -0.0014997136 -0.0221436997 -0.0516682887 0.0102877332 -0.0252412829 [99] -0.0235173659 0.0862667327 0.0184636632 -0.0296522328 -0.0139166418 -0.0170248683 0.0095148196 [106] -0.0594649858 -0.0175483966 0.0200582018 0.0048807465 -0.0512972401 0.0108541052 -0.0500344501 [113] -0.0088277029 -0.0270686859 0.0159128520 0.0418471099 0.1562281876 -0.0645439049 0.0722399090 [120] -0.0067480142 -0.0367370978 0.0027464542 0.0033391800 -0.0147745051 0.0041281432 0.0474383853 [127] 0.0450710541 0.0419797568 0.0073142098 0.0238301759 0.0033251864 -0.0461369984 -0.0310380857 [134] 0.0462134559 -0.0108629982 -0.0080472035 0.0178660135 -0.0383445449 0.0286196889 -0.0123262369 [141] -0.0097895130 -0.0205573912 -0.0339015517 -0.0127985144 -0.0005154196 -0.0730952890 0.0097060883 [148] 0.0411377518 -0.0428290501 -0.0041757067 0.0481813264 -0.0031065052 -0.0211512053 -0.0174115537 [155] -0.0586584264 -0.0111192099 -0.0071206687 0.0088522709 0.0363704350 0.0318369285 0.0389884071 [162] -0.0050200909 0.0155602618 -0.0318678952 -0.0056495013 0.0003266373 0.0253932010 0.0013412694 [169] 0.0123229108 -0.0107278133 -0.0036900411 さて、歪度と尖度を計算すると skewness(Yen_shueki) [1] 0.5298968 kurtosis(Yen_shueki) [1] 5.427148 たしかに尖度は正規分布の３よりも大きく、収益率の分布は正規分布よりも尖がっている（ファイナンス研究者がいう、収益率データの非正規性）。 もう一度、ヒストグラムを描いてみよう（正規分布のグラフと比較せよ）。 ジニ係数 ジニ係数（Gini coefficient または Gini s coefficient）とは、主に社会における所得分配の不平等さを測る指標。ローレンツ曲線をもとに、1936年、イタリアの統計学者コッラド・ジニによって考案された。所得分配の不平等さ以外にも富の偏在性やエネルギー消費における不平等さなどに応用される。 係数の範囲は0から1で、係数の値が0に近いほど格差が少ない状態で、1に近いほど格差が大きい状態であることを意味する。ちなみに、0のときには完全な「平等」―つまり皆同じ所得を得ている状態を示す。 目安として、一般的には0.2～0.3（市場経済（自由経済）においては0.3～0.4）が通常の値と言われている。 ジニ係数（Gini( s) coefficient）を計算するには、数値のあらゆる組合せの絶対値の和を２＊データ数^2＊データ平均で割った値を求めればよい。 まず1951年の所得データについてジニ係数を求めよう。 shotoku1951 -c(5516,11107,14830,19428,31781) まずあらゆる組合せの絶対値の和を求めよう。 Ｒでループなどの制御構造はなるべく使わないのがスマートなやり方だが、基本に返って二重ループで回す。 buffer -0 for(i in shotoku1951){ for(j in shotoku1951){ buffer -buffer+abs(i-j) } } buffer [1] 243404 これを２＊データ数^2＊データ平均で割ると buffer/(2*length(shotoku1951)^2*mean(shotoku1951)) [1] 0.2944569 これも関数の形でまとめておこう gini_coeff -function(x){ buffer -0 for(i in x){ for(j in x){ buffer -buffer+abs(i-j) } } return(buffer/(2*length(x)^2*mean(x))) } 1985年の所得データを使って shotoku1985 -c(247897,337088,419016,510747,709482) 1985年のジニ係数を計算しよう。 gini_coeff(shotoku1985) [1] 0.197251 したがって1951年に比べて1985年のほうが、少しは不平等は改善されている、といえる。 ジニ係数は不平等さを客観的に分析、比較する際の代表的な指標のひとつとなっているが、同じジニ係数で示される状態であっても、ローレンツ曲線の元の形が著しく違えば、実感として感じる不平等さがまったく変わってくる可能性がある。 （参考） 全国消費実態調査トピックス -日本の所得格差について－(総務省統計局) http //www.stat.go.jp/data/zensho/topics/1999-1.htm →國友直人（1992）『経済学入門シリーズ 現代統計学（上・下）』（日経文庫）へもどる
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ウスバカマキリ 和名 ウスバカマキリ 学名 Mantis religiosa Linne, 1758 英名 European mantis 分類 目 カマキリ目 Mantodea 亜目 Eumantodea 下目 Schizomantodea 上科 Mantoidea 科 カマキリ科 Mantidae 亜科 カマキリ亜科 Mantinae 属 Mantis 種 ウスバカマキリMantis religiosa 分布 世界 ヨーロッパ､アジア､アフリカ 国内 北海道､本州､四国､九州､沖縄 形態 体長50-60mm 緑色または褐色｡前脚基節基部に黒紋があるが､黒紋の内側が白くリング状になるものもいる｡また前脚腿節に黄色い紋がある｡ 生態 河川敷などの広い草地に生息する｡卵鞘は岩などに産み付けられる｡世界の広い範囲に分布し海外ではカマキリの中で最もメジャーな種だが日本では希少｡ 識別 前脚基節基部に黒紋または黒いリング状紋があることで他のカマキリと識別できる｡ その他 環境省レッドリストで情報不足､埼玉県､大阪府､兵庫県で絶滅危惧Ⅰ類に指定｡その他多くの都府県で絶滅危惧種に指定されている｡ 亜種 subspecies beybienkoi Bazyluk, 1960 subspecies caucasica Lindt, 1974 subspecies eichleri Bazyluk, 1960 subspecies inornata Warner, 1930synonym akbari Soomro, Soomro Wagan, 2001 subspecies langoalata Lindt, 1974 subspecies latinota Lindt, 1974 subspecies macedonica Karaman, 1961 subspecies major Gerstaecker, 187 subspecies polonica (Bazyluk, 1960) subspecies religiosa Linnaeus, 1758synonym maroccana Thunberg, 1815 synonym radiata Fischer-Waldheim, 1846 synonym sancta Fabricius, 1787 subspecies siedleckii Bazyluk, 1960 subspecies sinica Bazyluk, 1960
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了解、だれか数学教えて -- (ロマーリオ) 2008-02-02 00 04 22 それて応数？ 高専の数学とかさっさと終わらせたいなぁ． 線形代数と微積と微分方程式…学年末がが邪魔や． -- (スー) 2008-02-02 02 34 41 ”数学”に前書き込んでんけど・・・ -- (ロマーリオ) 2008-02-02 15 24 42 問題１と２でいきなりわかりません -- (ごえ) 2008-02-02 15 57 58 問１ （1）3桁 （2）4桁 （3）3桁 問２ （1）12 （2）38 （3）17.8 問３ x=0.1 y=0.05 z=0.08 問４ ｙ=0.2342Ｘ+2.745 問５ 最大93 最小38 最頻出69 中央値68 範囲68 算術68.38 標準偏差12.96 間違ってたら言って～ -- (ごえ) 2008-02-02 21 25 29 上のやつ↑（スーさんのやつ？）であってると思う。 問５のイロハはいいとしても、ニは簡単な求め方無いんかな？ -- (ロマーリオ) 2008-02-03 18 51 03 表を整理するしかないんちゃん？ 中央値がなんで７２なん？ -- (ごえ) 2008-02-03 20 14 01 68やな -- (スー) 2008-02-03 20 54 17 誰か問5の②わからんの？？ -- (スー) 2008-02-03 21 11 13 同じように分布するんちゃうか・・・ -- (ロマーリオ) 2008-02-04 00 12 20 「同じように分布する」でいいんや． たすかっあ． いやwiki便利すぎ． -- (スー) 2008-02-04 00 32 12
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(1)表 表 (2)プログラム グラフ (3)グラフ グラフ (4)出所 例題2.3.2 (5)メモ 正規分布 (6)作業記録 3月10日 ページ作成 -
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(1)表 (2)プログラム プログラム (3)グラフ グラフ (4)出所 例題8-4-4 (5)メモ 2項分布 (6)作業記録 3月2日 ページ作成 -
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(1)表 (2)プログラム プログラム (3)グラフ グラフ (4)出所 例題8-4-5 (5)メモ 2項分布 (6)作業記録 3月8日 ページ作成 -
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(1)表 (2)プログラム プログラム (3)グラフ グラフ (4)出所 例題8-2-1 (5)メモ 2項分布 (6)作業記録 3月8日 ページ作成 -
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(1)表 (2)プログラム プログラム (3)グラフ グラフ (4)出所 例題8-6-3 (5)メモ 2項分布 (6)作業記録 3月11日 ページ作成 -