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数学に関するメモ書き とても良い資料：衝突判定編 XNA資料：ベクトル、行列、クオータニオンとは 用語 三角関数 わかりやすい資料：三角関数 三角関数の初歩 非常に重要な考え方。sinやcos関数の考え方の基本となる r=1のベクトルを単位ベクトルと呼ぶ マトリクス（行列） 初歩から勉強するのに良いページ：行列って結局なんなの？ ラジアン 円周の弧の長さを基準とした単位 半径を１として考えた場合、3.14ラジアンで180度となる 3.14 で180度回転する。6.28で１周する。360=2*3.14 １ラジアンは57.29578 ° 半径r 中心角度θ の場合、弧の長さは rθ ラジアン（rad）であらわされる 1ラジアン毎秒 = 180/π度毎秒 = 約57.29578度毎秒 ベクトル 向きを持った量をベクトルという。 「向き」と「大きさ」で出来ている。「北に向かって４Ｋｍ歩く」なら「向き＝北」「大きさ＝４Ｋｍ」 コンピューター上で扱う場合「向き」が画面のXY座標でたとえば（2,4）と表現する。（2,4）みたいなのをスカラーと言う。 http //www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/vect13.htm 単純に考えれば一度オブジェクトにベクトルを与えれば、あとは重力と時間さえ与えれば「動き」始める ベクトル同志の掛け算にも種類がある スカラー倍 ベクトルに普通の数字、つまり方向の無い量、スカラーを掛ける場合の話。 aが(2,3)のベクトルの場合 2a = 2・(2,3) = (4,6) 3a = 3・(2,3) = (6,9) -2a = -2・(2,3) = (-4,-6) 内積（スカラー積） 内積は単純な掛け算ではない。ベクトルを使って答えを求めているが答えにベクトルが出てくる訳ではない そもそも内積って何？意味が分からない… 参考資料：内積の意味 XNAで内積の利用：Vector3.Dot Method 道具としての内積（重要）：要約すると二つの単位ベクトル（r=1のベクトル、XNA的に言うならLengthが1のベクトル）から、そのベクトル同士の交差角度を知ることができる ピタゴラスの定理 三平方の定理ともいう。ベクトルの「速度」を求めるのに便利。 平面幾何学において直角三角形の斜辺の長さを c とし、その他の辺の長さを a, b とした時「a^2+b^2=c^2」になるとする定理。Ｃ＃では d=sqrt((mx-ex)*(mx-ex)+(my-ey)*(my-ey)) みたいに使う。たとえば向きが（2,4）の場合、大きさは「4.47213...」になる。 XNAではVector2.Length()がこの値を返すメソッドに該当する。 Vector2.Length Method http //ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 log 対数（対になる数） log2 8 の場合 3になる。つまり2*2*2 で３回掛けてる log10 10000 は4。ちなみに10は省略して書いても良い。 x = log a y 3 = log 2 8 関数電卓のlog x= log 10 y yが入力された数でxが出力される 表示された値に「10のx乗」ボタンを押すと元に戻る事からわかる 「100000」と入力して「log」を押すと5と表示される 「log２底の８」 Windows付属の電卓で、 [8][log][/][2][log][=] で３が出てくる
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取り壊し
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オットーヴィクトルフォンシェーンブルク（オットー・ヴィクトル・フォン・シェーンブルク） ドイツのシュヴァルツブルク＝ルードルシュタット侯の系譜に登場する人物。 関連： マティルデフォンシェーンブルクヴァルデンブルク （マティルデ・フォン・シェーンブルク＝ヴァルデンブルク、娘）
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ヴィルヘルムヴィクトルフォンプロイセン（ヴィルヘルム・ヴィクトル・フォン・プロイセン） プロイセン王の系譜に登場する人物。 関連： アーダルベルトフォンプロイセン(2) （アーダルベルト・フォン・プロイセン、父） アーデルハイトフォンザクセンマイニンゲン （アーデルハイト・フォン・ザクセン＝マイニンゲン、母）
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演算 たとえば ， のとき ＊はホッジ作用素 内積は 行ベクトル×列ベクトル 直積は 列ベクトル×行ベクトル ゼータ関数 s=1のとき調和級数 s=2のときバーゼル問題 ゼータ関数とオイラー積 倍角の公式 2倍角 3倍角 4倍角 5倍角 6倍角 7倍角 8倍角 9倍角 10倍角 ヘルムホルツ方程式 は空間オペレータ 簡単化して一次元で考えると 一般解は (A,Bは任意定数) シュレディンガー方程式とかマクスウェル方程式は時間変化が無視できるときヘルムホルツ方程式として扱えるので簡単 エディントンのイプシロン 順方向は正 逆方向は負 3階の擬テンソルらしい ヘビサイドの展開定理 留数を用いて部分分数分解を楽に行う 各係数は特異点における留数を求めればよいので Resはレジデューって読むそうです。 なんかピカチューみたい AとBは逆符号とか似た値になるので大きくが違うときは見直したほうが良い（経験則 素数定理 は素数個数関数 右辺の誤差のオーダーは が十分に大きい場合との間には「までに含まれる素数の個数」の関係があるという美しい定理 フェルマーの最終定理 フライがフェルマー方程式が成り立つならば（フェルマー予想が偽であれば）楕円方程式で表せることを示す。 ↓ これにより得られる方程式は楕円方程式として異常な性質を持つため全ての楕円方程式はモジュラーであるという谷山・志村予想に反する。よって 「谷山・志村予想の証明 ＝ フェルマーの最終定理の証明」 ↓ ワイルズがコリヴァギン・フラッハ法で帰納法をを用いて全ての楕円方程式がモジュラーであることを証明。 しかし、コリヴァギン・フラッハ法だけでは全ての場合に対応できなかったので証明失敗。(´･ω･｀) ↓ ワイルズはコリヴァギン・フラッハ法の前に候補としていた岩澤理論を用いればコリヴァギン・フラッハ法がダメな場合に対応できると気づき完全にＱＥＤ。 まさにドラマ 四元数(しげんすう、クォータニオン) 、、は同等な虚数単位 同じもの同士の積は虚数の性質 違うもの同士の積は外積の性質 電磁気等で使われるベクトル場はスカラ部=０としてベクトル部のみを使用する四元数 ３次元空間での座標変換 通常座標 では全ての座標変換を表現しきれないので同次形を用いる 非同次形 同次形 同次座標 よって、三次元の座標変換には四元数を導入すればよいことがわかる 同次座標に対しアフィン変換の一般形は次のように与えられる ここでアフィン変換に対してはRに直交性は問われない。 アフィン変換 R、s：任意 大きさ、形が可変 相似変換 R：直行、s：任意 大きさ不変、形は不変 合同変換 R：直行、s=１ 大きさ、形ともに不変 合同変換の回転、平行移動は x軸回りのΘ°回転 y軸回りのΦ°回転 z軸回りのΨ°回転 の平行移動 変換行列は直行行列なのでそれぞれの逆変換は簡単に得られる。 変換行列の組み立て oldという座標系で与えられる点Pがnewという座標系に変換されると (Hは同次変換行列) これより、 例えばnewの座標系がoldの座標系から平行移動して、x 軸方向にΘ、z"軸方向にΨ回転したもののだとすると (座標系はOxyz→O x y z →O"x"y"z"→・・・と変換の度に変化) よって oldの同次座標に対してこれを左から乗じればnewの世界から見たP点の座標値が得られる。 この式は、右手座標系、左手座標系のどちらにも対応した一般系であるが、この場合角度の取りかたは右手系は反時計回りが正(右ねじ)、左手系が時計回り(左ねじ)となる。 もし左手系の角度の正の方向を反時計回りに取れば、角度は負の方向に増えるので となる。 左手座標系の場合で左ねじを用いた場合、回転時の三角関数の値域が逆になってくるので右ねじに直したこちらを使った方がよい。
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曲面の定義 Def. 曲面（砂川） E Euclidean Space (R3に種々の構造を入れたもの) E⊃X subset Xの各点pに対して，pを通る平面Xpと，Xp内のpの近傍V上定義されたなめらかな関数fで，次のものが存在するとき，Xを曲面という。 1. pを原点とし，Xpをxy平面とするxyz直交座標系において，関数fを z=f(x,y) と表したとき， 2. E内の点pの近傍で，以下を満たすものが存在する。 つまり，Xの各点pで接平面Xpがあって，さらにXはpの近傍では接空間Xp上の関数fがあって，グラフ(x,y,f(x,y))として表現できることを曲面の定義としている。 Eの開集合とXとの共通部分をXの開集合という。 平面の理論 平面の方程式（標準形） Cor. n=(a,b,c)は法ベクトル 実際，平面の方程式を満たす点を２つとってきて，両辺を引くと，以下のようになる。 p1とp2のとり方は任意だったから，(p1-p2)は平面内の任意のベクトルを表している。 従ってnは平面内の任意のベクトルに直交する元なので，法ベクトルである。 平面の方程式（各軸上の交点が指定されている） x軸との交点p, y軸との交点q, z軸との交点r をそれぞれ通る。 陰関数表示 点pにおける接平面の方程式 [導出（略式）] Fの外微分において， 接平面上では dF=0 となる。 微分形式dを微小変化Δと捉えなおす。 これを開き直って平面とみなせば求める式になる。 [導出（？）] 点 pにおける接ベクトルは， の線形結合で表される。 言い換えると，接空間は以下で与えられる。 従って，点pにおける法ベクトルを考えることができて，次で与えられる。 この法ベクトルに直交する平面として，以下が得られる。 パラメータ表示 Def. 曲面のパラメータ表示 R2⊃U open S U→E injective. Sのパラメータu,vによる偏微分Su,SvがUの各点で線形独立ならば X=S(U) は曲面である。 このときさらに，pにおける接空間の正体はSu,Svが張る2-dim.部分空間と同型。 Ex. x,y,z R2⊃U → R smooth. Def. 第一基本形式の係数 特に以下が成り立つ。 単位法ベクトル Def. ベクトル場 滑らかなベクトル値関数 φ(u,v) U→E のこと。 各点 p=S(u,v) に対してφ(u,v)が接空間TpXの元になれば接ベクトル場という。 ただし，TpXとEを同一視している。 逆に，常に接空間（接平面）に垂直になるとき法ベクトル場という。 Def. 第二基本形式の係数 Th. Gauss曲率
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3次元座標を4元数で表す時は という感じにします。実部を0にして虚部に座標値を入れます。 任意軸の回転を行うには、原点を回転の中心にして回転軸の方向を表すベクトルを として、回転させる角度をθで表し、以下のクォータニオンを作成します。 そして以下の計算を実行するとベクトル V を向いた軸周りのθ回転させた座標が 得られます。
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ベクトルで微分をするには、元の型を保ったまま展開するのが基本。 これは慣習であって、必ずしもそうとは限らない。列ベクトルを列ベクトルで微分して行方向に展開してしまうこともある。 ヤコビ行列との関係 ヤコビ行列は，独立変数xを横方向に伸ばし，従属変数yは縦方向に展開するのが良いらしい。 この向きは，重積分の変数変換などでは（行列式にしてしまうので）どちらでも支障はないが， テイラー展開などで左から列ベクトルに作用させる場合などには重要である。 Wiki, 幾何学B で出てきたのは次の形だった。 特に幾何学Bでは，転置や逆関数をとったりするから，向きに気をつけてさえいればどっちでもよさそうだった。 しかし，Taylor展開を自然に書くためには，xを横に伸ばす必要性が出てくる。 cf. １次のTaylor展開 行列関数を微分 行列関数Fの行列Aによる微分は、Fを行列RN×Mの各成分aijを引数とする多変数関数とみなして微分することができる。 これを利用して、合成行列関数の微分におけるヤコビ行列の積のようなものが得られると嬉しいが、残念ながら下記の様に成分毎の結果しか得られていない。 Traceをとる方法ではなく、M×N×P×Q個の成分を２つの行列の積として上手く並べる方法は見当たらない（vecを使う方法はある）。 The Matrix Cookbook 式122,126 でもこの形式を用いている。 逆行列による微分では、もう少し計算が進む。 Lem. はXの逆行列X-1のij成分であるとして、 (証明) ここで Y =X-1と置くと、xijはY-1のij成分であることに注意して、 このYをX、xijをと読み替えればよい。 逆行列による微分 (証明) 合成関数の微分公式によって、 この関係式から「系.Fは逆行列で最適化しても変わらない。」が導かれる。 Trの微分 次の交換が基本 detの微分 余因子展開と余因子行列の性質を用いると，次が分かる。 二次形式の微分 二次形式はスカラーであるから，トレースや転置をとっても変わらないことを利用する。 二次形式において、行列を対称成分と反対称成分に分けたとき、反対称成分は相殺してしまうので、表現行列として対称行列のみを考えて一般性を失わない。 方向微分による方法 定義に戻って，FのAにおけるH方向微分（Gateaux微分）を以下で計算する方法も有効である。 この計算で得られるのは，Jacobi行列の拡張に相当する作用素である。 計算結果において，Hは一般に外せない位置にくる。
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爆裂大河スペクトル・H・パイル R 水/火文明 (6) クリーチャー：サイバー・コマンド/フレイム・コマンド 8000 ■マナゾーンに置く時、このカードはタップして置く。 ■W・ブレイカー ■スピードアタッカー ■このクリーチャーはブロックされない。 作者：ウタ 単純に強く！ 参加 【企画】3大アイデアグランプリ 評価 名前 コメント
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コラム（2次元オプティカルフロー、1次元オプティカルフロー） （内容が正確かどうかは保障しません。また、ベクトル等数学的な知識、画像処理に関する知識がある程度必要かもしれません。） オプティカルフローの背景 2次元オプティカルフロー、1次元オプティカルフロー（本ページ） 離散画像で1次元オプティカルフローを実現するために 実際に追跡してみる 最後に 本ページの各節へのリンク コラム（2次元オプティカルフロー、1次元オプティカルフロー）2次元と1次元の違い なぜ2次元ではなく1次元か 1次元オプティカルフロー 2次元と1次元の違い 2次元オプティカルフローについては、あまり説明しません。 画像というのは2次元であり、2次元で方向を取る事により正確な方向が求まります。 1次元オプティカルフローというのは、方向が1次元方向に限定されています。 それだと一直線しか追跡できないので下図のように、物体の中心から放射状にのびる1次元方向の計算軸を8個用います。 青いのが物体で、右方向に移動することが分かると 移動方向と両隣の合わせて3つの計算軸を用います。 2次元と比べたら正確ではありませんがある程度方向について近似できます。 なぜ2次元ではなく1次元か 2次元の方が方向も正確でよさそうに思います。 しかし、2次元オプティカルフローには拘束方程式から解が一意に求まらないという不良設定問題があります。これについてはややこしい式がたくさん出てくるので詳しく書きません。2次元オプティカルフローを求める時に、連立方程式を何回も繰り返し解いて解を求める(解に近づける)ので、計算時間がかなりかかります。 リアルタイムで移動物体を追跡したい場合、これは大問題です。 そこで、精度は多少犠牲にしてでも拘束方程式から解が一意に求まる1次元オプティカルフローを用いようという事です。 ちなみに、処理時間についてですが、1次元で1秒かからない処理が2次元では数分かかってしまいます。 オプティカルフローの改善点としまして 2次元の処理時間を短くする 1次元の精度を上げる の2点が大きな改善点だと言えます。 今回は1次元オプティカルフローについてもう少し述べます。 1次元オプティカルフロー 先ほど計算軸について少し触れました。 1次元で追跡するという事は、物体の予測位置は計算軸上にあると言うのが大前提です。 イメージとしては 計算軸付近を計算して、移動物体があればその計算軸が方向になり、計算軸上の近い点が予測位置となります。 下図を見てください。 薄い赤色の楕円があります。 これはウィンドウと呼ばれるものです。 計算軸ごとに設定され、各ウィンドウ内に移動物体が存在するかどうか判断します。 そして、方向と予測位置が決定します。 予測位置を中心として同じ処理を繰り返していくことで、予測位置が求まり移動物体を追跡できます。 今回の図では分かりやすくするために大げさな図を用いていますが、実際の物体の中心と予測位置として求まる点に誤差があります。 次は、