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最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時45分05秒 代数的整数論 005 (231-290) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/231-290 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/231-290 231 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/04/30(月) 13 17 22 αα = (pγ + qδ)(pγ + qδ ) = γγ p^2 + (γδ + δγ )pq + δδ q^2 αβ + βα = (pγ + qδ)(rγ + sδ ) + (rγ + sδ)(pγ + qδ ) = γγ pr + γδ ps + δγ qr + δδ qs + γγ rp + γδ rq + δγ sp + δδ qs = 2γγ pr + (γδ + δγ )(sp + qr) + 2γγ qs ββ = (rγ + sδ)(rγ + sδ ) = γγ r^2 + (γδ + δγ )rs + δδ s^2 従って a = kp^2 - lpq + mq^2 b = 2kpr - l(sp + qr) + 2mqs c = kr^2 - lrs + ms^2 従って 184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で (k, l, m)σ = (a, b ,c) 232 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/04/30(月) 13 30 57 231 を以下のように訂正する。 αα = (pγ + qδ)(pγ + qδ ) = γγ p^2 + (γδ + δγ )pq + δδ q^2 αβ + βα = (pγ + qδ)(rγ + sδ ) + (rγ + sδ)(pγ + qδ ) = γγ pr + γδ ps + δγ qr + δδ qs + γγ rp + γδ rq + δγ sp + δδ qs = 2γγ pr + (γδ + δγ )(sp + qr) + 2γγ qs ββ = (rγ + sδ)(rγ + sδ ) = γγ r^2 + (γδ + δγ )rs + δδ s^2 従って a = kp^2 - lpq + mq^2 b = -2kpr + l(sp + qr) - 2mqs c = kr^2 - lrs + ms^2 従って 184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で (k, l, m)σ = (a, b ,c) 233 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/04/30(月) 14 06 35 定義 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 判別式 D の正定値(過去スレ4の293)原始2次形式の集合を (F_0)+(D) と書く。 これは過去スレ4の405と異なることに注意しておく。 234 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/04/30(月) 14 13 02 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 判別式 D の2次形式の集合を F(D) と書いた( 184)。 I = [α, β] を R の分数イデアルとし、 α, β の向き( 188)は正とする。 228, 232 より f(α, β; x, y) が属す F(D)/Γ の類は α, β の 取り方によらない。 220 より I が可逆分数イデアルのときは f(α, β; x, y) は 原始的である。 D < 0 のときは (αα )/N(I) > 0 だから f(α, β; x, y) は 正定値である。 235 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/04/30(月) 14 21 39 δ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。 δI = [δα, δβ] も R の可逆分数イデアルである。 f(δα, δβ; x, y) = N(xδα - yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|)f(α, β; x, y) 従って、N(δ) > 0 なら f(δα, δβ; x, y) = f(α, β; x, y) である。 Q(√m) が虚2次体のときは常に N(δ) > 0 である。 よって、I に f(α, β; x, y) が属す (F_0)+(D)/Γ の類を対応させる ことにより 写像 ψ_IF Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が得られる。 Q(√m) が実2次体のときは N(δ) > 0 なる δ で生成される 単項イデアル δR 全体のなす群 P+(R) で I(R) を類別した 狭義のイデアル類群 Cl+(D) を考える( 227)。 このとき、I に f(α, β; x, y) が属す F_0(D)/Γ の類を対応させる ことにより 写像 ψ_IF Cl+(D) → F_0(D)/Γ が得られる。 236 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/04/30(月) 15 23 18 talk 230 私がやってみよう。1次元~226次元線形空間の226倍写像。 237 :132人目の素数さん:2007/04/30(月) 17 44 47 それよりkingとくんまーの白熱した議論が見たい 238 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/04/30(月) 18 06 42 talk 237 だが、何の議論をすればいいのだ? 239 :132人目の素数さん:2007/04/30(月) 18 54 16 238 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰す必要性について 240 :132人目の素数さん:2007/05/01(火) 01 53 40 238 ゴミは消えろ 241 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/02(水) 20 32 42 再び 232(即ち 228の続き)を以下のように訂正する。 f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) に α = pγ + qδ β = rγ + sδ を代入すると f(α, β; x, y) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I) = ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I) = f(γ, δ; xp - yr, -xq + ys) 従って (a, b, c) = (k, l, m)σ ここで σ = (p, -r)/(-q, s) ∈ SL_2(Z) 242 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 11 07 24 235 の続き。 D < 0 のとき ψ_IF Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ D > 0 のとき ψ_IF Cl+(D) → F_0(D)/Γ が定義された。 それぞれの逆写像 ψ_FI を定義しよう。 D < 0 の場合。 (a, b, c) ∈ F_0+(D) のとき ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } と定義する。 D > 0 の場合。 (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]α } と定義する。 ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 例えば a > 0 のときは α = 1 a < 0 のときは α = √m とすればよい。 以上の定義が2次形式類の代表 (a, b, c) の取り方によらないことを 証明しよう。 243 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 11 32 01 D < 0 の場合。 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) の定義が (a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、 過去スレ4の598で証明されている。 D > 0 の場合を考える。 f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき Ψ(f) = { [a, (-b + √D)/2]α } ∈ Cl+(D) と定義する。 ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 ψ_FI F_0(D)/Γ → Cl+(D) の定義が (a, b, c) ∈ F_0(D) の取り方によらないことを証明するには、 任意の σ ∈ SL_2(Z) に対して Ψ(fσ) = Ψ(fσ) を証明すればよい。 過去スレ4の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。 244 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 11 51 16 185 より (a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c) よって Ψ(fS) = { [a, -a + (-b + √D)/2]α } = { [a, (-b + √D)/2]α } = Ψ(f) 184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから Ψ(fT) = { [c, (b + √D)/2]β } ここで sign(N(β)) = sign(c) I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] θ = (-b + √D)/2 とおく。 θ I = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(-b - √D)/2, c] = a[c, (b + √D)/2] = aJ よって I = (a/θ )J Iα = (a/θ )Jα = (aα/θ β)Jβ N(θ ) = ac だから N(aα/θ β) = (a^2)N(α)/acN(β) = aN(α)/cN(β) > 0 よって Ψ(fT) = { Jβ } = { Iα } = Ψ(f) 証明終 245 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 12 03 49 D < 0 の場合。 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) の定義が (a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、 過去スレ4の598で証明されているが、 244 と同様にも証明される。 つまり、 244 の I = (a/θ )J は D < 0 の場合もそのまま成り立つ。 246 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 12 10 38 243 の証明の基本アイデアつまり、 SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される 事実を利用する方法は Buell の Binary quadratic forms から借りた。 このアイデアを知るまでは証明がどうしてもうまくいかなかった。 247 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 17 55 36 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 235 で 写像 ψ_IF Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が 242 で 写像 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。 (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明 (a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。 ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。 I = [a, (-b + √D)/2] α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 -Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 228 において (αα )/N(I) = a^2/a = a -(αβ + βα )/N(I) = (ab)/a = b (ββ )/N(I) = ac/a = a だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。 従って (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明終 248 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 02 25 247 を以下のように訂正する。 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 235 で 写像 ψ_IF Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が 242 で 写像 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。 (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。 証明 (a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。 ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。 I = [a, (-b + √D)/2] α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 -Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 228 において (αα )/N(I) = a^2/a = a -(αβ + βα )/N(I) = (ab)/a = b (ββ )/N(I) = ac/a = a だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。 従って (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。 証明終 249 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 16 34 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 235 で 写像 ψ_IF Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が 242 で 写像 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。 (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明 207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。 210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a > 0, 0 ≦ b < a α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 -Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 228 において (αα )/N(I) = a^2/a = a -(αβ + βα )/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D (ββ )/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a よって ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) } ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }) = { [a, b + (D + √D)/2] } よって (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明終 250 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 21 25 248 と 249 より D < 0 のとき (F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。 このことは過去スレ601と602でも証明されている。 251 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 40 54 命題 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 235 で 写像 ψ_IF Cl+(D) → F_0(D)/Γ が 242 で 写像 ψ_FI F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。 (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。 証明 (a, b, c) ∈ F_0(D) とする。 ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]δ } である。 ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 I = [a, (-b + √D)/2]δ α = aδ β = (-b + √D)δ/2 とおく。 -Δ(α, β) = aδ (-b + √D)δ/2 - aδ(-b - √D)δ /2 = N(δ)a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 228 において (αα )/N(I) = N(δ)a^2/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)a = a -(αβ + βα )/N(I) = N(δ)(ab)/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)b = b (ββ )/N(I) = N(δ)ac/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)c = c よって (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。 証明終 252 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 47 26 命題 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 235 で 写像 ψ_IF Cl+(D) → F_0(D)/Γ が 242 で 写像 ψ_FI F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。 (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明 207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。 210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a > 0, 0 ≦ b < a α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 -Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 228 において (αα )/N(I) = a^2/a = a -(αβ + βα )/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D (ββ )/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a よって ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) } ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }) = { [a, b + (D + √D)/2]δ } ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 a > 0 だから δ = 1 とできる。 よって (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。 証明終 253 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 18 49 23 251 と 252 より D > 0 のとき F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。 254 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/03(木) 23 15 20 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 Qd = { (-b + √D)/2a ; a > 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおいた( 214)。 Qd の元で原始的( 221)なもの全体を Qd_0 と書いた( 223)。 即ち Qd_0 = { (-b + √D)/2a ∈ Qd ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 } θ = (-b + √D)/2a ∈ Qd_0 のとき 過去スレ4の592より [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。 g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl+(D) ( 227) の類とする。 ただし、D < 0 のときは Cl+(D) は Cl(D) を意味するとする。 σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。 過去スレ4の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。 255 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 13 36 04 254 は没とする。 理由は Qd は SL_2(Z) の作用で閉じていないため。 256 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 15 54 10 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D > 0 を その判別式とする。 Q(D) = { (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。 即ち Q(D) は判別式 D に属す2次無理数(過去スレ596) の集合である。 Q_0(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 } とおく。 即ち Q_0(D) は判別式 D に属す原始的な2次無理数(過去スレ596) の 集合である。 Q_0(D) は左 SL_2(Z)-集合である。 g(θ) を [a, (-b + √D)/2]δ の属す Cl+(D) ( 227) の類とする。 ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。 過去スレ4の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。 257 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 16 08 05 Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a [a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2] よって g(Sθ) = g(θ) である。 Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c よって g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2]γ } である。 ここで γ は sign(N(γ)) = sign(c) となる Q(√m) の任意の 元である。 ((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(b + √D)/2, c] よって I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] とおくと θ I = aJ I = (a/θ )J Iδ = (a/θ )Jδ = (aδ/θ γ)Jγ N(θ ) = ac だから N(aδ/θ γ) = a^2N(δ)/acN(γ) = aN(δ)/cN(γ) > 0 よって I と J は Cl+(D) の同じ類に属す。 即ち g(Tθ) = g(θ) である。 よって 256 の最後の主張が証明された。 258 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 16 14 59 256 より g(θ) は θ の属す Q_0(D)/Γ の類できまり、 その代表元 θ の取り方によらない。 よって写像 ψ_QI Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義される。 259 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 16 37 16 CL+(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル である。 I = [α, β] で α, β の向きは正とする。 このような基底 α, β が存在することは 201 からわかる。 228 と同様に f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。 197 より a = (αα )/N(I) b = -(αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。 h(x) = ax^2 + bx + c とおく。 N(I)αh(β/α) = α β^2 - αββ - α β^2 + αββ = 0 よって h(β/α) = 0 である。 よって β/α は D に属す2次無理数である。 260 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 17 21 36 I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。 189 より α = pγ + qδ β = rγ + sδ となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。 θ = β/α μ = δ/δ とおく。 θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ) よって μ = (pθ - r)/(-qθ + s) よって μ と θ は Q_0(D)/Γ の同じ類に属す。 τ ∈ Q(√m) で N(τ) > 0 とする。 τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で Δ(τα, τβ) = τατ β - τβτ α = N(τ)Δ(α, β) だから τα, τβ の向きは正である。 さらに τβ/τα = β/α である。 以上から写像 ψ_IQ CL+(D) → Q_0(D)/Γ が ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。 261 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 17 49 14 命題 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D > 0 をその判別式 とする。 258 で 写像 ψ_QI Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。 260 で 写像 ψ_IQ CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。 (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明 θ = (-b + √D)/2a ∈ Q_0(D) とする。 I = [a, (-b + √D)/2]δ とおく。 ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の 元である。 ψ_QI({ θ }) = { I } である。 α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 I = [δα, δβ] である。 Δ(δα, δβ) = δαδ β - δβδ α = N(δ)Δ(α, β) = -N(δ)a√D < 0 よって δα, δβ の向きは正である。 δβ/δα = β/α である。 従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。 よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明終 262 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 07 36 命題 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D > 0 をその判別式 とする。 258 で 写像 ψ_QI Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。 260 で 写像 ψ_IQ CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。 (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明 207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。 210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a > 0, 0 ≦ b < a α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 -Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 β/α = (2b + D + √D)/2a よって ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a }) a > 0 だから ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] } よって (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明終 263 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 09 30 261 と 262 より D > 0 のとき Q_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。 264 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 25 21 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D < 0 を その判別式とする。 Q+(D) = { a > 0, (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。 これは 214 の Qd と同じものである。 即ち Q+(D) は判別式 D に属す2次無理数(過去スレ596) で 複素上半平面にあるものの集合である。 (Q_0)+(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q+(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 } とおく。 即ち (Q_0)+(D) は Q+(D) に属す原始的な2次無理数(過去スレ596) の 集合である。 これは 223 の Qd_0 と同じものである。 (Q_0)+(D) は左 SL_2(Z)-集合である。 θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) のとき g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl(D) の類とする。 σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。 過去スレ4の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。 265 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 26 44 Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a [a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2] よって g(Sθ) = g(θ) である。 Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c b^2 - 4ac < 0 b^2 < 4ac a > 0 だから c > 0 である。 よって g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2] } ((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(b + √D)/2, c] よって I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] とおくと θ I = aJ I = (a/θ )J よって I と J は Cl(D) の同じ類に属す。 266 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 29 09 265 より g(θ) は θ の属す (Q_0)+(D)/Γ の類できまり、 その代表元 θ の取り方によらない。 よって写像 ψ_QI (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義される。 267 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/04(金) 18 49 01 CL(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル である。 I = [α, β] で α, β の向きは正とする。 このような基底 α, β が存在することは 201 からわかる。 228 と同様に f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。 197 より a = (αα )/N(I) b = -(αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。 h(x) = ax^2 + bx + c とおく。 N(I)αh(β/α) = α β^2 - αββ - α β^2 + αββ = 0 よって h(β/α) = 0 である。 よって β/α は D に属す2次無理数である。 Im(β/α) = (β/α - β /α )/2 = (βα - αβ )/2αα = (βα - αβ )/2N(α) α, β の向きは正だから (βα - αβ )/√D > 0 α は虚2次体 Q(√m) の元だから αα = N(α) > 0 である。 よって Im(β/α)/√D = (βα - αβ )/2N(α)√D > 0 よって β/α は複素上半平面にある。 268 :クマーさんを応援する人:2007/05/04(金) 20 56 58 こんにちは。 269 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 00 54 53 267 の続き。 250 より (F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。 この同型で { (a, b, c) } は { I } と対応するから (a, b, c) は原始的である。 267 より β/α は ax^2 + bx + c の根だから β/α は 原始的である。 よって β/α は (Q_0)+(D) の元である。 270 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 00 55 57 I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。 189 より α = pγ + qδ β = rγ + sδ となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。 θ = β/α μ = δ/δ とおく。 θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ) よって μ = (pθ - r)/(-qθ + s) よって μ と θ は (Q_0)+(D) の同じ類に属す。 τ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。 τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で Δ(τα, τβ) = τατ β - τβτ α = N(τ)Δ(α, β) N(τ) > 0 だから τα, τβ の向きは正である。 さらに τβ/τα = β/α である。 以上から写像 ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。 271 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 01 04 00 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D < 0 をその判別式 とする。 266 で 写像 ψ_QI (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。 260 で 写像 ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明 θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) とする。 I = [a, (-b + √D)/2] とおく。 ψ_QI({ θ }) = { I } である。 α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = αβ - βα = -a√D < 0 よって α, β の向きは正である。 β/α = (-b + √D)/2a = θ 従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。 よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明終 272 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 01 06 55 271 260 で 写像 ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 270 で 写像 ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 273 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 01 10 04 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D < 0 をその判別式 とする。 266 で 写像 ψ_QI (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。 270 で 写像 ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明 207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。 210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a > 0, 0 ≦ b < a α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き( 188)は正である。 β/α = (2b + D + √D)/2a よって ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a }) a > 0 だから ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] } よって (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明終 274 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 01 12 24 271 と 273 より D < 0 のとき (Q_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。 275 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 10 01 18 D < 0 のとき 248 と 249 より ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) は同型である。 271 と 273 より ψ_IQ CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ は同型である。 よって ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 このとき (a, b, c) ∈ (F_0)+(D) の類には (-b + √D)/2a の類が 対応する。 276 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 10 07 44 275 よって ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 277 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 10 08 27 275 よって ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 よって ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 278 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 10 10 42 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 D > 0 のとき 251 と 252 より ψ_FI F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。 261 と 262 より ψ_IQ CL+(D) → Q_0(D)/Γ は同型である。 よって ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) F_0(D)/Γ → Q_0(D)/Γ は 同型である。 このとき (a, b, c) ∈ F_0(D) の類には (-b + √D)/2a の類が 対応する。 279 :132人目の素数さん:2007/05/05(土) 13 30 17 挨拶にシカトするなんて糞 はじめから見てるが、この書き込んでるやつ馬鹿もいいところだろ。 うんこ以下 280 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 19 50 46 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D < 0 をその判別式 とする。 220 より同型 φ_FI F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1} が存在する。 φ_FI は 243 の同型 ψ_FI を引き起こす。 ψ_FI (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) 281 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 20 07 26 R = [1, fω] を実2次体 Q(√m) の整環とし、D > 0 をその判別式 とする。 P+ = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) > 0 } とおく。 完全列 1 → P+ → K^*/(R^*)+ → {±1} → 1 が存在する。 ここで K = Q(√m) であり、 (R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) > 0 } である。 K^*/(R^*)+ → {±1} は α ∈ K^* に sign(N(α)) を対応させる ことにより引き起こされる。 P~ = K^*/(R^*)+ とおく。 (I, s) ∈ I(R) × {±1} と、[β] ∈ P~ に対して [β](I, s) = (βI, s(sign(N(β)))) と定義する。 ε ∈ (R^*)+ のとき (εI, s(sign(N(ε)))) = (I, s) だから [β](I, s) は [β] ∈ P~ のみで決まる。 よって商集合 (I(R) × {±1})/P~ が定義される。 220 の同型 φ_FI F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1} は同型 F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ を引き起こすことを示そう。 282 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 20 22 44 [ (a, b, c) ] ∈ F_0(D)/Γ のとき [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~ が代表 (a, b, c) の取り方によらないことを示す。 ここで、[ (a, b, c) ] は (a, b, c) が属す F_0(D)/Γ の類を表す。 同様に、[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] は (I(R) × {±1})/P~ の 類を表す。 f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき Ψ(f) = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とおく。 過去スレ4の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って、いつものように Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。 185 より (a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c) よって Ψ(fS) = [([a, -a + (-b + √D)/2], sign(a))] = Ψ(f) 283 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/05(土) 20 29 31 184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから Ψ(fT) = [([c, (b + √D)/2], sign(c))] I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] θ = (-b + √D)/2 とおく。 θ I = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(-b - √D)/2, c] = a[c, (b + √D)/2] = aJ よって I = (a/θ )J N(θ ) = ac だから N(a/θ ) = a/c Ψ(fT) = [((a/θ )[c, (b + √D)/2], sign(c)sign(N(a/θ )))] = [([a, (-b + √D)/2], sign(c)sign(a/c))] = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] = Ψ(f) 284 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 07 16 12 (I, s) ∈ I(R) × {±1} とする。 即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。 I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする( 188)。 197 で f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおいた。 f(α, β, s; x, y) ∈ F_0(D) である。 I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。 189 より α = pγ + qδ β = rγ + tδ となる有理整数 p, q, r, t で pt - qr = 1 となるものがある。 f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) に α = pγ + qδ β = rγ + tδ を代入すると f(α, β, s; x, y) = sN(x(pγ + qδ) - sy(rγ + tδ))/N(I) = s((xp - ysr)γ - s(-xsq + yt)δ)/N(I) = f(γ, δ; xp - ysr, -xq + yst) 従って (a, b, c) = (k, l, m)σ ここで σ = (p, -sr)/(-sq, t) ∈ SL_2(Z) 285 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 07 43 24 δ ∈ K^* として [δ](I, s) = (δI, s(sign(N(δ))) を考える( 281)。 δI = [δα, δβ] であり、 Δ(δα, δβ) = δαδ β - δβδ α = N(δ)Δ(α, β) まず N(δ) > 0 の場合を考える。 Δ(δα, δβ) = Δ(α, β) だから δα, δβ の向きは正である。 f(δα, δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = sN(xδα - syδβ)/N(δI) = (N(δ)/N(δ))sN(xα - syβ)/N(I) = sN(xα - syβ)/N(I) = f(α, β, s; x, y) N(δ) < 0 とする。 Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β) だから δα, -δβ の向きは正である。 f(δα, -δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = -sN(xδα - syδβ)/N(δI) = -(N(δ)/|N(δ)|)sN(xα - syβ)/N(I) = sN(xα - syβ)/N(I) = f(α, β, s; x, y) 286 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 08 07 13 282, 283 より 写像 Ψ_0 F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ が Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] により定義される。 284 より 写像 Ψ_1 (I(R) × {±1})/P~ → F_0(D)/Γ が Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ f(α, β, s; x, y) ] により定義される。 287 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 08 16 09 (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] a > 0 のとき α = a β = (-b + √D)/2 s = sign(a) = 1 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα )/N(I) = a -(αβ + βα )/N(I) = b s(ββ )/N(I) = c よって f(α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 a < 0 のとき α = -a β = (-b + √D)/2 s = sign(a) = -1 とおく。 Δ(α, β) = a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα )/N(I) = a -(αβ + βα )/N(I) = b s(ββ )/N(I) = c よって f(-α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 以上から Ψ_1Ψ_0 = 1 である。 288 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 08 48 13 [ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。 即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。 207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。 よって I は原始イデアルと仮定してよい。 210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a > 0 である。 α = a β = b+ (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα )/N(I) = sa -(αβ + βα )/N(I) = b s(ββ )/N(I) = sc となる。 ただし、 c = (ββ )/N(I) とおいた。 よって f(α, β, s; x, y) = sax^2 + bxy + scy^2 Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, b, sc) ] Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, (-b + √D)/2], sign(sa)) ] = [ (I, s) ] よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。 289 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 08 51 59 287, 288 より Ψ_0 と Ψ_1 は互いに逆写像であり、 Ψ_0 F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ は集合としての同型である。 290 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/05/06(日) 09 14 03 写像 Φ_0 (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D) を Φ_0( [ (I, s) ] ) = [ δI ] で定義する。 ここで δ ∈ K^* は s = sign(N(δ)) となる任意の元である。 写像 Φ_1 Cl+(D) → (I(R) × {±1})/P~ を Φ_1( [ I ] ) = [ (I, 1) ] で定義する。 Φ_1Φ_0( [ (I, s) ] ) = Φ_1( [ δI ] ) = [ (δI, 1) ] = [ (I, sign(N(δ))) ] = [ (I, s) ] よって Φ_1Φ_0 = 1 他方、 Φ_0Φ_1( [ I ] ) = Φ_0( [ (I, 1) ] ) = [ I ] よって Φ_0Φ_1 = 1 以上から Φ_0 (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D) は集合としての同型である。 タグ: コメント
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MMK 時は92年中ごろ、「夏目さんが好き」 という女性リスナーからの一通の手紙を番組で紹介。 それをキッカケに同様のハガキ・手紙が 殺到し騒動となる。 「MMK騒動」である。 MMKとはその時橋本氏が夏目氏に つけた名前”モテモテ君”の略。 同騒動は案外、あっという間に沈静化したと記憶している。 記 必殺遊び人 後に橋本氏が抜け、夏目が残ったワラッターのサブタイトルが「MoteMote大放送」というあたりに、その騒動の名残がうかがえる。 記 フランソワ。 名前 コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時19分02秒 代数的整数論 006 (456-540) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/456-540 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/456-540 456 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 15 38 33 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 K の任意の2元 x, y に対して φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 従って、φ は K の一般絶対値( 453)である。 457 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 16 02 54 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の一般絶対値( 453)とする。 φ が K の絶対値であるためには、C > 0 があり 任意の有理整数 n > 0 に対して φ(n・1) ≦ Cn となることが 必要十分である。 証明 φ が K 上の絶対値なら、φ(n・1) ≦ n である。 逆に任意の有理整数 n > 0 に対して φ(n・1) ≦ Cn とする。 r に関する帰納法により、任意の有理整数 r > 0 に対して m = 2^r 個の K の元の列 x_1, . . . , x_m に対して φ(x_1 + . . . + x_m) ≦ A^r sup(x_i), 1 ≦ i ≦ m である。 この関係式は 1 ≦ m < 2^r でも成り立つことは明らかである。 任意の有理整数 n > 0 に対して 2^(r-1) < n + 1 ≦ 2^r となる 有理整数 r > 0 が存在する。 x ∈ K のとき、1 と x は K の乗法で可換だから二項定理より (1 + x)^n = 1 + nx + . . . + x^n よって [n, i] を 2項係数とすれば、 φ(1 + x)^n ≦ A^r sup(φ([n. i]x^i)) ≦ (A^r)C sup([n. i]φ(x)^i) ≦ (A^r)C(1 + φ(x))^n よって φ(1 + x) ≦ (A^(r/n))C^(1/n)(1 + φ(x)) n → ∞ のとき (A^(r/n))C^(1/n) → 1 だから φ(1 + x) ≦ 1 + φ(x) y ≠ 0 を K の元として x を x(1/y) で置き換えれば φ(1 + x(1/y)) ≦ 1 + φ(x(1/y)) より φ(1 + x(1/y))φ(y) ≦ φ(y) + φ(x) よって φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) 証明終 458 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 16 16 38 命題 K を可換とは限らない体とする。 写像 φ K → R+ が絶対値( 414)であるためには φ が以下の条件を満たすことが必要十分である。 1) φ(x) = 0 と x = 0 は同値である。 2) K の任意の2元 x, y に対して φ(xy) = φ(x)φ(y) 3) K の任意の2元 x, y に対して φ(x + y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 証明 φ が絶対値なら K の任意の2元 x, y に対して φ(x + y) ≦ φ(x) + φ(y) ≦ 2sup(φ(x), φ(y)) 逆に φ が 1), 2), 3) を満たすとする。 r に関する帰納法により、任意の有理整数 r > 0 に対して m = 2^r 個の K の元の列 x_1, . . . , x_m に対して φ(x_1 + . . . + x_m) ≦ 2^r sup(x_i), 1 ≦ i ≦ m である。 この関係式は 1 ≦ m < 2^r でも成り立つことは明らかである。 任意の有理整数 n > 0 に対して 2^(r-1) < n ≦ 2^r となる 有理整数 r > 0 が存在する。 上で述べたことから φ(n・1) ≦ 2^r < 2n よって 457 より φ は K の絶対値である。 証明終 459 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 16 46 16 命題 K を可換とは限らない体とする。 写像 φ K → R+ が一般絶対値( 453)であるためには K の絶対値 ψ と実数 s > 0 があり、 φ = ψ^s となることが必要十分である。 証明 K の絶対値 ψ と実数 s > 0 に対して φ = ψ^s とする。 458 より ψ(x + y) ≦ 2 sup(ψ(x), ψ(y)) となるから ψ(x + y)^s ≦ 2^s sup(ψ^s(x), ψ^s(y)) である。 よって φ は一般絶対値である。 逆に φ が一般絶対値とする。 A > 0 があり K の任意の2元 x, y に対して φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y)) となる。 任意の実数 t > 0 に対して φ(x + y)^t ≦ A^t sup(φ^t(x), φ^t(y)) となる。 従って φ^t も一般絶対値である。 A ≦ 2 なら φ(x + y) ≦ 2 sup(φ(x), φ(y)) となるから 458 より φ は絶対値である。 従って A > 2 とする。 t = (log 2)/(log A) とすれば、t > 0 で 2 = A^t である。 上記から φ(x + y)^t ≦ 2 sup(φ^t(x), φ^t(y)) となり、 458 より ψ = φ^t は絶対値である。 s = 1/t とおけば φ = ψ^s である。 証明終 460 :132人目の素数さん:2007/08/14(火) 16 54 54 暑いな 461 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 17 33 00 補題 φ を有理数体の任意の絶対値( 414)とする。 任意の有理整数 m > 1 と n > 1 に対して φ(m) ≦ (sup(1, φ(n)))^(log m/log n) 証明 m を n 進展開して、 m = a_0 + (a_1)n + . . . + (a_r)n^r 0 ≦ a_i < n a_r ≠ 0 とする。 n^r ≦ m だから r log n ≦ log m よって r ≦ (log m)/(log n) φ(a_i) < n より φ(m) ≦ n(1 + (log m)/(log n))(sup(1, φ(n)))^(log m/log n) s ≧ 1 を有理整数として m を m^s に置きかえれば、 φ(m)^s ≦ n(1 + s(log m)/(log n))(sup(1, φ(n)))^s(log m/log n) よって φ(m) ≦ n^(1/s)(1 + s(log m)/(log n))^(1/s)(sup(1, φ(n)))^(log m/log n) s → ∞ とすれば、φ(m) ≦ (sup(1, φ(n)))^(log m/log n) 証明終 462 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 17 53 47 命題 φ を有理数体の任意の絶対値( 414)とする。 任意の有理整数 n > 1 に対して φ(n) > 1 なら ある実数 0 < s ≦ 1 があり、任意の有理数 x に対して φ(x) = |x|^s となる。 ここで、|x| は通常の絶対値である。 証明 461 より、任意の有理整数 m > 1 と n > 1 に対して φ(m) ≦ (φ(n))^(log m/log n) 対称的に φ(n) ≦ (φ(m))^(log n/log m) よって φ(m)^(1/log m) = φ(n)^(1/log n) log (φ(n)^(1/log n)) = s とおけば、 log φ(n) = s(log n) = log n^s よって φ(n) = n^s よって、任意の有理数 x に対して φ(x) = |x|^s となる。 1 < φ(n) ≦ n だから 0 < s ≦ 1 である。 証明終 463 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 18 52 17 命題 p を有理素数とする。 0 < c < 1 となる任意の実数を取る。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r とし、φ_p(0) = 0 とする。 φ_p は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 証明 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、ν(x) = r と定義する。 以下の 1) と 2) は容易に分かる。 1) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) となる。 2) x ≠ 0, y ≠ 0, x + y ≠ 0 なら ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y) である。 これから明らかに φ は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 証明終 464 :132人目の素数さん:2007/08/14(火) 18 55 42 463 これから明らかに 明らかではないな 465 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 19 02 28 命題 p と q を有理素数とする。 0 < c < 1 となる任意の実数を取る。 463 の φ_p と同様に φ_q を定義する。 φ_p は有理数体の絶対値として自明でない。 さらに、φ_p と φ_q は有理数体の絶対値として同値でない。 証明 φ_p(p) = c であるので φ_p(p) < 1 である。 従って φ_p は自明でない。 φ_q(p) = 1 であるので 435 より φ_p と φ_q は同値でない。 証明終 466 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 19 07 38 464 463 が明らかでないなら演習問題にします。 467 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 19 36 26 命題 φ を有理数体の自明でない絶対値( 414)とする。 ある有理整数 n > 1 に対して φ(n) ≦ 1 なら 有理素数 p と 0 < c < 1 となる実数があり、 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ(x) = c^r となる。 即ち φ は 463 の φ_p と一致する。 証明 461 より任意の有理整数 m > 1 に対して φ(m) ≦ 1 となる。 従って φ は非アルキメデス的( 448)である。 有理整数環 Z の部分集合 I を I = { m ∈ Z ; φ(m) < 1 } で定義する。 x, y を I の元とすると φ(x - y) ≦ sup(φ(x), φ(y)) < 1 よって x - y ∈ I 任意の a ∈ Z に対して φ(ax) = φ(a)φ(x) < 1 よって ax ∈ I よって I は Z のイデアルである。 φ は自明でないから I ≠ 0 である。 1 は I に含まれないから I ≠ Z である。 (続く) 468 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 19 37 20 従って、ある有理整数 p > 0 があり I = Zp となる。 a > 1, b > 1 を有理整数として p = ab とする φ(p) = φ(a)φ(b) < 1 だから φ(a) < 1 または φ(b) < 1 即ち a ∈ I または b ∈ I となる。 a ∈ I なら a は p で割れるから矛盾である。 同様に b ∈ I なら b は p で割れるから矛盾である。 従って p は素数である。 有理整数 s が p で割れないときは s は I の元でないから φ(s) = 1 である。 従って、φ(p) = c とすると、0 < c < 1 であり、 任意の有理整数 n ≠ 0 に対して n = (p^r)s, s は p と素な有理整数 としたとき、φ(n) = c^r となる。 よって φ は 463 の φ_p と一致する。 証明終 469 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 19 43 57 命題 有理数体の自明でない絶対値( 414)は以下のどれかと同値である。 1) 有理数体の通常の絶対値。 2) p を任意の有理素数としたとき 463 の φ_p 証明 462 と 467 より明らかである。 470 :132人目の素数さん:2007/08/14(火) 20 32 46 単に言葉の趣味の問題かもしれないが、「絶対値」よりは「付値」の方が通りがよいね。 非アルキメデス的な体に関する考察が続いているということは、この後 p-進数に進むんだろうな。 471 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 20 50 36 補題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 φ は K から R+ への写像として一様連続である。 証明 x と y を K の任意の元とする。 φ(x) ≦ φ(x - y) + φ(y) より φ(x) - φ(y) ≦ φ(x - y) φ(y) ≦ φ(y - x) + φ(x) より φ(y) - φ(x) ≦ φ(x - y) よって |φ(x) - φ(y)| ≦ φ(x - y) これから直ちに φ の一様連続性が出る。 証明終 472 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 21 10 19 470 「付値」は英語の valuation に対応するが、これは通常、 体から実数の加法群または全順序アーベル群へのある種の写像として 定義されるものを意味する。 例えば離散付値(discrete valuation)は体から有理整数環の加法群への ある種の写像である。 従って、我々の「絶対値」(absolute value)を「付値」と呼ぶのは 混乱の原因となる。 「絶対値」(absolute value) という用語は Bourbaki に従った。 Frohlich-Taylor の Algebraic number theory もこの用語を使っている。 因みに Bourbaki は用語の選択には細心の注意を払っているが、 よほどのことがない限り慣用に従うと書いている。 今の場合はその「よほどのこと」に当たるのだろう。 473 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 21 44 01 命題(不等式延長の原理) X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 f と g を X から実数体への連続写像とする。 Y の全ての点 y で f(y) ≦ g(y) となるなら X の全ての点 x で f(x) ≦ g(x) となる。 証明 f(x) > g(x) となる x ∈ X があるとする。 f と g は連続だから、x の近傍 V があり、 V の任意の点 z で f(z) > g(z) となる。 Y は X で密だから V と Y は交わる。 y ∈ V ∩ Y とすれば f(y) > g(y) となり、仮定に反する。 証明終 474 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 22 32 40 命題 X を分離かつ完備な一様空間、α をその一様構造、 Y を X の密な部分空間とする。 β を X の一様構造で β ⊂ α であり、 Y において α と同じ一様構造を引き起こすなら α = β である。 証明 α と β は Y において同一の一様構造を引き起こす。 従って、β の Y における Cauchy フィルターは α の Y における Cauchy フィルターでもあるから X において 収束する。 従って 263 より β は完備である。 φ Y → X を標準単射とする。 φ を Y から一様空間 (X, α) への写像と見ると、φ は 一様連続である。 一様連続写像の延長定理( 272)より φ は (X, β) から (X, α) へ の一様連続写像 ψ に一意に拡張される。 X の恒等写像は Y ⊂ X において φ を引き起こすから 等式延長の原理( 265) より ψ と一致する。 即ち恒等写像 (X, β) → (X, α) は一様連続である。 即ち α ⊂ β である。 β ⊂ α であったから、α = β である。 証明終 475 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 22 46 16 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値( 414)とする。 421 より付値体( 415) K は位相体である。 勿論、K は分離的である。 369 より K の完備化環 K^ が存在する。 このとき K^ は体になる。 φ を K^ に連続延長したものは K^ の絶対値になり、 それは K^ の位相を定義する。 証明 382 より分離位相体 K の完備化環 K^ が位相体であるためには K^* に含まれ、0 に収束しない (K の加法群に関する) Cauchy フィルター Φ の基底 Φ_0 の写像 f(x) = 1/x による像が (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが 必要十分である。 Φ_0 は 0 に収束しないから δ > 0 と A ∈ Φ があり x ∈ A なら |x| ≧ δ となる。 393 より、任意の δ > 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 Φ_1 = { B ∈ Φ_0 ; B ⊂ A } は Φ の基底である。 240 より φ(Φ_1) は Cauchy フィルターの基底である。 従って φ(Φ_0) も Cauchy フィルターの基底である。 これで K^ が位相体であることが証明された。 (続く) 476 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 22 47 01 471 より φ は一様連続であるから一様連続写像の延長定理( 272) より K^ に連続延長される。 これを φ^ とする。 x, y を K^ の任意の2元とする。 等式延長の原理( 265)より φ^(xy) = φ^(x)φ^(y) 不等式延長の原理( 473)より φ^(x + y) ≦ φ^(x) + φ^(y) よって φ^ は K^ の絶対値である。 K^ の K の完備化としての一様構造を α とし、 φ^ で定義される一様構造を β とする。 φ^ は α で連続だから、任意の ε > 0 に対して、 K^ における 0 の近傍 V があり x ∈ V なら |φ^(x)| < ε となる。 よって y - x ∈ V なら φ^(x - y) < ε よって β ⊂ α である。 α と β は K で一致するから 474 より α = β である。 証明終 477 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/14(火) 22 52 00 475 の訂正 393 より、任意の δ > 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 420 より、任意の δ > 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 478 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 00 40 06 命題 ハウスドルフ位相群 G の離散部分群 H は G の閉集合である。 証明 G の単位元 e の近傍 V, W を (V^(-1))V ⊂ W かつ W ∩ H = {e} となるようにとる。 x が H の閉包の元なら xV ∩ H は1個の元からなる。 何故なら、v , w を V の元として、xv ∈ xV ∩ H, xw ∈ xV ∩ H なら ((xv)^(-1))xw = (v^(-1))w ∈ W ∩ H = {e} だから xv = xw となる。 G はハウスドルフだから1個の元からなる集合は閉集合である。 従って xV ∩ H は xV で閉である。 x は xV において xV ∩ H の接触点だから {x} = xV ∩ H である。 即ち x ∈ H である。 よって H は閉である。 証明終 479 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 01 06 40 命題 実数体 R の加法群の離散部分群 H で単位群 {0} と異なるものは H = Za の形である。ここで a > 0 である。 証明 478 より H は閉集合である。 仮定より H ≠ {0} だから H の元 h で 0 と異なるものがある。 -h ∈ H だから h > 0 と仮定してよい。 閉区間 [0, h] はコンパクトであり、H は閉集合だから [0, h] ∩ H もコンパクトである。 [0, h] ∩ H は離散でもあるから [0, h] ∩ H は有限集合である。 h ∈ (0, h] ∩ H だから (0, h] ∩ H は空でない。 従って (0, h] ∩ H の最小元 a がある。 x ∈ H に対して ma ≦ x < (m+1)a となる m ∈ Z がある。 0 ≦ x - ma < a で x - ma ∈ H だから x = ma である。 証明終 480 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 01 23 27 命題 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x > 0 } と書く。 R^* = R - {0} は乗法に関して位相群である。 (R^*)+ は R^* の部分群だからやはり位相群である。 指数関数 exp R → (R^*)+ は位相群の同型である。 証明 x と y を R の任意の2元としたとき exp(x + y) = exp(x)exp(y) である。 従って exp R → (R^*)+ は連続準同型である。 log (R^*)+ → R も連続準同型である。 exp と log は互いに逆写像であるから exp は位相群の同型である。 証明終 481 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 01 29 02 命題 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x > 0 } と書く。 480 で見たように (R^*)+ は乗法に関して位相群である。 (R^*)+ の離散部分群 H で単位群 {1} と異なるものは ある a > 0 で生成される無限巡回群である。 即ち、H = {a^n ; n ∈ Z} である。 証明 479 と 480 より明らかである。 482 :132人目の素数さん:2007/08/15(水) 01 36 32 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおやすみ──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 483 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 01 55 06 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を自明でない K の非アルキメデス的( 448)絶対値( 414)とする。 R を実数体とし、 (R^*)+ = { x ∈ R ; x > 0 } と書く。 φ(K^*) が (R^*)+ の離散部分群であるとき φ を離散的と言う。 このとき 481 より φ(K^*) は無限巡回群である。 484 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 01 58 34 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 s > 0 を任意の正の実数とすると 452 より φ^s も絶対値である。 φ(K^*) = {a^n ; n ∈ Z} とする。 x ∈ K^* として φ(x) = a^n とする。 φ^s(x) = (a^n)^s = a^(ns) = (a^s)^n よって φ^s(K^*) = {(a^s)^n ; n ∈ Z} となる。 即ち φ^s も離散的である。 従って φ が離散的か否かは φ の属する同値類で決まる。 485 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 08 43 29 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値( 414)とする。 K の2元 x , y に対して、φ(x) ≠ φ(y) なら φ(x + y) = sup(φ(x), φ(y)) である。 証明 φ(y) < φ(x) としてよい。 φ(x + y) ≦ φ(x) である。 φ(x + y) < φ(x) と仮定すると、 φ(x) = φ(x + y - y) ≦ sup(φ(x + y), φ(y)) < φ(x) 即ち φ(x) < φ(x) となって矛盾である。 従って φ(x + y) = φ(x) でなければならない。 証明終 486 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 08 54 46 命題( 485 の拡張) K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 K の元の列 x_1, . . . x_n φ(x_1 + . . . + x_n) ≦ sup(φ(x_i)), i = 1. . . . n である。 さらに、もし唯一の k があって x_k = sup(φ(x_i)) なら φ(x_1 + . . . + x_n) = sup(φ(x_i)), i = 1. . . . n である。 証明 φ(x_1 + . . . + x_n) ≦ sup(φ(x_i)) は n に関する帰納法から 出る。 唯一の k があって x_k = sup(φ(x_i)) とする。 k = 1 と仮定してよい。 y = x_2 + ,. . . + x_n z = x_1 + . . . + x_n とおく。 φ(y) < φ(x_1) φ(z) ≦ φ(x_1) である。 φ(z) < φ(x_1) と仮定すると φ(x_1) = φ(z - y) ≦ sup(φ(z), φ(y)) < φ(x_1) となって矛盾。 よって φ(z) = φ(x_1) である。 証明終 487 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 09 49 36 命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 1) φ(x) ≦ 1 となる K の元 x 全体 A は K の部分環である。 2) 任意の実数 0 < a ≦ 1 に対して I_a = { x ∈ K ; φ(x) < a } J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a } とおく。 I_a と J_a は A の両側イデアルである。 3) A の任意の左または右イデアル J ≠ 0 は、ある J_a を含む。 4) m(A) = { x ∈ K ; φ(x) < 1 } は A と異なる 最大のイデアルである。 5) U(A) = A - m(A) は A の可逆元全体である。 6) A/m(A) は可換とは限らない体である。 7) 任意の x ∈ K - A に対して 1/x ∈ m(A) である。 488 :132人目の素数さん:2007/08/15(水) 09 52 32 Kummer さん、当座の目標を教えて下さい。 489 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 09 56 09 487 の証明 1), 2) は自明である。 3) の証明。 x ≠ 0 を左イデアル J の元とする。 φ(y) ≦ φ(x) なら φ(y(1/x)) ≦ 1 即ち y(1/x) ∈ A よって y ∈ Ax よって J_φ(x) ⊂ Ax ⊂ J である。 J が右イデアルの場合も同様である。 5) の証明。 x ∈ U(A) なら φ(x) = 1 よって φ(1/x) = 1/φ(x) = 1 よって 1/x ∈ U(A) 逆に y を A の可逆元とすると、φ(y)φ(1/y) = 1 φ(y) ≦ 1, φ(1/y) ≦ 1 だから φ(y) = 1 である。 よって y ∈ U(A) である。 4), 6) は 5) から直ちに出る。 7) は自明である。 490 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 10 20 05 488 初めの計画では Dirichlet の類数公式の証明です。 そのために級数論の基礎を述べたんですが、ついでに数論で使われる 位相の基礎もやろうということに考えを変えました。 類数公式にはいずれ戻るので、位相の基礎にあまり興味がなかったら それまで待ってください。 このシリーズは予備知識を少なくしようとしているため 必要な基礎知識をなるべくここで述べるようにしています。 そのため、数論本体の流れが途切れる場合もありますが それはご容赦願います。 なお、基礎部分は後で必要になった時点で参照するということで いいと思います。 491 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 10 43 31 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 φ(K^*) は無限巡回群である。 u ∈ K^* で φ(u) が φ(K^*) の生成元になっているとき u を φ の一意化元(uniformizer) または素元と言う。 492 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 11 06 17 491 は間違いなので削除する。 493 :132人目の素数さん:2007/08/15(水) 11 19 09 492 できるものならやってみろ 494 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 11 29 52 p を有理素数とする。 463 の φ_p を取り上げる。 0 < c < 1 となる任意の実数 c を固定する。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r である。 a = 1/c とおくと a > 1 で φ_p(x) = a^(-r) である。 log を a を底とする対数とすると、 log φ_p(x) = -r 即ち r = -log φ_p(x) よって ν(x) = -log φ_p(x) とおくと、 ν は有理数体の離散付値(過去スレ3の546)である。 495 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 11 47 30 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的( 448)絶対値とする。 494 に示唆を受けて ν(x) = -log φ(x) とする。 ここで log は任意固定の実数 > 1 を底とする対数である。 ν(x) は体 K から R ∪ {∞} への写像 ν で以下の条件を満たす。 1) ν(x) = ∞ となるのは x = 0 のときだけである。 2) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) ν(x + y) ≧ inf(ν(x), ν(y)) 496 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 12 17 19 定義 K を可換とは限らない体とする。 体 K から R ∪ {∞} への写像 ν で以下の条件を満たすものを K の実付置または誤解の恐れがなければ単に付値と言う。 1) ν(x) = ∞ となるのは x = 0 のときだけである。 2) x ≠ 0, y ≠ 0 なら ν(xy) = ν(x) + ν(y) 3) ν(x + y) ≧ inf(ν(x), ν(y)) 497 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 12 45 30 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の実付値( 496)とする。 ν(K^*) は R の部分群である。 これを ν の値群と言う。 ν(K^*) が 0 でない離散群のとき ν を離散付値と言う。 ν(K^*) = {0} のとき ν を自明な実付値と言う。 α > 0 を任意の正の実数としたとき μ(x) = αν(x) とおけば μ も実付値である。 二つの実付値 ν, μ がこのような関係にあるとき ν, μ は 同値であると言い、ν ~ μ と書く。 498 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 12 46 10 命題 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の実付値( 496)とする。 1) ν(x) ≧ 0 となる K の元 x 全体 A は K の部分環である。 2) 任意の実数 a ≧ 0 に対して I_a = { x ∈ K ; ν(x) > a } J_a = { x ∈ K ; ν(x) ≧ a } とおく。 I_a と J_a は A の両側イデアルである。 3) A の任意の左または右イデアル J ≠ 0 は、ある J_a を含む。 4) m(A) = { x ∈ K ; ν(x) > 0 } は A と異なる 最大のイデアルである。 5) U(A) = A - m(A) は A の可逆元全体である。 6) A/m(A) は可換とは限らない体である。 7) 任意の x ∈ K - A に対して 1/x ∈ m(A) である。 証明は 487 と本質的に同じである。 499 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 13 10 56 498 の A, m(A), A/m(A) をそれぞれ ν の付値環、極大イデアル、 剰余体と言う。 U(A) を ν の単数群と言う。 500 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 13 50 02 命題 K を可換とは限らない体とする。 ν と μ を K の実付値( 496)とする。 ν と μ が同値( 497)であるためにはそれぞれの付値環が 一致することが必要十分である。 証明 必要性は明らかである。 ν と μ のそれぞれの付値環が一致するとする。 それを A とする。 A の極大イデアル m(A) は 498 より { x ∈ K ; ν(x) > 0 } = { x ∈ K ; μ(x) > 0 } である。 ν が自明なら A = K であり m(A) = 0 である。 従って、U(A) = K - {0} である。 即ち x ∈ K - {0} のとき μ(x) = 0 である。 よって μ も自明である。 よって ν = μ である。 ν は自明でないとする。 φ(x) = exp(-ν(x)) と書くと、φ は K の絶対値である。 φ は自明でない。 同様に ψ(x) = exp(-μ(x)) も K の絶対値である。 A の極大イデアル m(A) は { x ∈ K ; φ(x) < 1 } = { x ∈ K ; ψ(x) < 1 } だから 430 よりある実数 α > 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。 従って、ν(x) = -log φ(x) = -αlog ψ(x) = αμ(x) 証明終 501 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 14 14 39 定義 K を可換とは限らない体とする。 ν を K の離散付値( 497)とする。 479 より ν(K^*) は無限巡回群である。 ν(K^*) = Z のとき ν は正規付値と言う。 明らかに任意の離散付値は正規付値と同値である。 ν が離散付値のとき ν(K^*) には最小の正数 a がある。 従って、ν(π) = a となる π ∈ K がある。 このような π を ν の一意化元または素元と言う。 502 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/15(水) 15 17 44 命題 K を可換とは限らない体とし、ν を K の離散付値( 497)とする。 π を ν の素元( 501)とし、A を ν の付値環( 499) とする。 A の 0 でないイデアルは両側イデアルで A(π^n), n ≧ 0 の形である。 証明 ν は正規付値( 501)と仮定してよい。 K^* の任意の元 x に対して ν(x) = n となる n ∈ Z が 定まる。ν(x(1/π^n)) = 0 だから z = x(1/π^n) は A の可逆元である。 x = z(π^n) である。 同様に x = (π^n)y となる A の可逆元 y がある。 I ≠ 0 を A の(例えば)左イデアルとする。 x ≠ 0 が I の元なら ν(x) ≧ 0 である。 x ≠ 0 を I の元全体に動かしたときの ν(x) の最小値を n とする。 b を I の元で ν(b) = n とする。 b = u(π^n) と書ける。ここで u ∈ U(A) である。 x ≠ 0 を I の元とし、ν(x) = m とする。 x = v(π^m), v ∈ U(A) と書ける。 x = v(π^(m-n))(π^n) = v(π^(m-n))(1/u)u(π^n) ∈ Ab 従って I = Ab である。 y を A の任意の元とする。 y = w(π^k), w ∈ U(A) と書ける。 上で見たように、(π^n)w = w (π^n) となる w ∈ U(A) がある。 by = u(π^n)w(π^k) = uw (π^n)(π^k) = uw (π^k)(π^n) = uw (π^k)(1/u)u(π^n) ∈ Ab よって I = Aa は両側イデアルである。 証明終 503 :Kummer ◆p5Ne5aK0Lg :2007/08/16(木) 08 23 40 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer おはよう──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 504 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 08 45 58 命題 G を無限巡回群とし、g をその生成元とする。 G の生成元となり得る元は g と g^(-1) だけである。 証明 h を G の生成元とする。 g = h^n h = g^m となる有理整数 n, m がある。 g = h^n = (g^m)^n = g^(nm) よって nm = 1 よって m = ±1 即ち h = g^(±1) 証明終 505 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 08 50 29 491 を以下のように訂正する。 定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値( 483)とする。 φ(K^*) は無限巡回群である。 504 より φ(K^*) の生成元 a で a < 1 となるものが 唯一つ存在する。 u ∈ K^* で φ(u) = a となっているとき u を φ の一意化元(uniformizer) または素元と言う。 506 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 09 09 15 K を可換とは限らない体とする。 a > 1 を任意の実数とする。 K の非アルキメデス( 448)絶対値 φ と K の実付値( 496) ν は ν(x) = -log φ(x), log の底は a φ(x) = a^(-ν(x)) により1対1に対応する。 s > 0 のとき sν(x) = -log φ^s(x) だから同値な非アルキメデス絶対値には同値な実付値が対応する。 従って、非アルキメデス絶対値と実付値は本質的には同じものの 別表現と考えることが出来る。 507 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 14 46 51 H をハミルトンの4元数体とする。 即ち、H は実数体上の多元環で 1, i, j, k を基底に持つ。 これ等の元は以下の関係を持つ。 1^2 = 1, 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k= k1= k i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j 実数体 R は R1 と同一視され、 複素数体 C は R1 + Ri と同一視される。 q = a + bi + cj + dk のとき z = a + bi w = c + di とおくと、 q = z + wj である。 wj = jw~ である。ここで w~ は w の共役を表す。 q = a + bi + cj + dk のとき q~ = a - bi - cj - dk と書き、 q の共役と言う。 N(q) = qq~ を q のノルムと言う。 q~ = z~ - wj だから N(q) = (z + wj)(z~ - wj) = |z|^2 - zwj + wjz~ - wjwj = |z|^2 - zwj + wzj - ww~jj = |z|^2 +|w|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 508 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 15 24 34 507 の続き。 q~q = (z~ - wj)(z + wj) = |z|^2 - z~wj - wz~j - ww~jj = |z|^2 +|w|^2 = N(q) よって q と q~ は可換である。 従って、q ≠ 0 のとき q = q~/N(q) とおくと qq = q q = 1 即ち q は q の逆元である。 よって H は体である。 ij ≠ ji だから H は非可換体である。 |q| = √(N(q)) と書き、q の絶対値と言う。 509 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 15 33 44 命題 H をハミルトンの4元数体とする。 x, y を H の2元としたとき (xy)~ = y~x~ 証明 507 より z, w, u, v を適当な複素数として x = z + wj y = u + vj と書ける。 xy = (z + wj)(u + vj) = zu + zvj + wu~j - wv~ = zu - wv~ + (zv + wu~)j よって (xy)~ = z~u~ - w~v - (zv + wu~)j 一方 x~ = z~ - wj y~ = u~ - vj だから y~x~ = (u~ - vj)(z~ - wj) = u~z~ - u~wj - vzj - vw~ = (xy)~ 証明終 510 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 15 37 18 命題 H をハミルトンの4元数体とする。 H の元 x の絶対値( 508)は H の 414 の意味の絶対値である。 証明 x, y を H の2元としたとき |xy| = |x||y| となることのみ証明すればよい。 これは N(xy) = N(x)N(y) と同値である。 509 より (xy)~ = y~x~ だから N(xy) = (xy)(xy)~ = (xy)(y~x~) = xN(y)x~ = xx~N(y) = N(x)N(y) 証明終 511 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 16 07 15 p を有理素数とする。 0 < c < 1 となる任意の実数を取る。 有理数 x ≠ 0 に対して x = (p^r)(s/t), s と t は p と素な有理整数 としたとき、φ_p(x) = c^r とし、φ_p(0) = 0 とする。 463 より φ_p は有理数体の非アルキメデス絶対値である。 c として 1/p を取る場合が多い。 この場合、以下のようにHasse の積公式が成り立つ。 x ≠ 0 を有理数とし、x = ±Πp^r を素因数分解とする。 |x| = Π(1/φ_p(x)) よって |x|Πφ_p(x) = 1 ここで右辺の積は全ての素数に渡る。 有限個を除いた全ての素数 p に対して φ_p(n) = 1 だから この積は意味がある。 512 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/16(木) 16 12 26 定義 p を有理素数とする。 463 の c として 1/p を選んだときの φ_p を p-進絶対値という。 513 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 12 09 a 514 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 12 40 b 515 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 13 11 c 516 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 13 42 d 517 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 14 14 e 518 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 14 45 f 519 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 15 16 g 520 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 16 05 h 521 :Kummer ◆p5Ne5aK0Lg :2007/08/17(金) 07 16 17 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer おはよう──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 522 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 16 36 i 523 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 17 07 j 524 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 17 38 k 525 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 18 09 l 526 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 18 40 m 527 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 19 11 n 528 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 20 09 o 529 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 20 41 p 530 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 21 11 q 531 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 21 42 r 532 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 22 13 s 533 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 22 44 t 534 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 23 15 u 535 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 24 09 v 536 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 24 40 w 537 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 25 11 x 538 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 25 42 y 539 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 26 13 z 540 :132人目の素数さん:2007/08/17(金) 07 43 01 539 気が済んだかね? タグ: コメント
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最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時29分16秒 代数的整数論 004 (596-660) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/596-660 ログ元: http //yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/596-660 596 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 09 25 52 ] 定義 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 a, b, c を有理整数で b^2 - 4ac = D とする。 θ を多項式 aX^2 + bX + c の根とする。 θ を D に属す2次無理数という。 さらに gcd(a, b. c) = 1 のとき θ を D に属す原始的な2次無理数 という。 このとき θ の判別式( 276)は D である。 597 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 19 36 55 ] 命題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 I = [α, β] を I のある基底による表現とする。 このとき、β/α は D に属す2次無理数( 596)である。 証明 a = (αα )/N(I) b = -(αβ + βα )/N(I) c = (ββ )/N(I) とおく。 588 より a, b, c は有理整数で、b^2 - 4ac = D である。 f(X) = aX^2 + bX + c とおく。 N(I)αf(β/α) = α β^2 - αββ - α β^2 + αββ = 0 よって f(β/α) = 0 である。 よって β/α は D に属す2次無理数である。 証明終 598 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/04(日) 20 58 25 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の正定値( 293)かつ 原始的な2次形式とする。 f に一次変換 x = pu + qv y = ru + sv を施して g(u, v) = f(pu + qv, ru + sv) = ku^2 + luv + mv^2 とする。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。 このとき I = [a, (-b + √D)/2] と J = [k, (-l + √D)/2] は R の 可逆な原始イデアルであり、I(R)/P(R) ( 473) の同じ類に属す。 証明 405 より ku^2 + luv + mv^2 は判別式 D の正定値かつ原始的な 2次形式である。 よって 592 より I と J は R の可逆な原始イデアルである。 θ = (-b + √D)/2a τ = (-l + √D)/2k とおく。 299 と同様にして θ = (pτ + q)/(rτ + s) であることがわかる。 594 より I と J は I(R)/P(R) の同じ類に属す。 証明終 599 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 04 38 ] 補題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 I = [a, b + fω] と J = [k, l + fω] を R の原始イデアルの 標準基底による表示とする。 I = αJ となる α ∈ Q(√m) があるとする。 このとき θ = (b + fω)/a、ψ = (l + fω)/k とおくと、 θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = 1 である。 証明 593 より ps - qr = ±1 となる有理整数 p, q, r, s があり θ = (pψ + q)/(rψ + s) となる。 273 の規約よりθ と ψ は複素上半平面にある。 274 より Im(θ) = (ps - qr)Im(ψ )/|rψ + s|^2 よって ps - qr = 1 である。 証明終 600 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 06 19 ] 定義 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) ( 473) を Cl(D) と書く。 406 で定義した F+(D) の元からその任意の代表 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 をとる。 592 より [a, (-b + √D)/2] は R の可逆な原始イデアルである。 598 より、このイデアルの属す Cl(D) の類は f(x, y) の取り方に よらない。 よって F+(D) から Cl(D) への写像が定まる。 この写像を Φ+ と書く。 601 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 08 11 ] 命題 600 の写像 Φ+ は単射である。 証明 f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 と g(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 を判別式 D の正定値かつ原始的な2次形式とする。 さらに [a, (-b + √D)/2] と [k, (-l + √D)/2] が同じ I(R)/P(R) の類に属すとする。 θ = (-b + √D)/2a τ = (-l + √D)/2k とおく。 599 より ps - qr = 1 となる有理整数 p, q, r, s があり、 θ = (pτ + q)/(rτ + s) となる。 aθ^2 + bθ + c = 0 だから a(pτ + q)^2 + b(pτ + q)(rτ + s) + c(rτ + s)^2 = 0 この左辺は f(pτ + q, rτ + s) である。 f(px + qy, rx + sy) を x, y の2次形式とみたものを h(x, y) とする。 405 より h(x, y) は判別式 D の正定値かつ原始的な2次形式である。 h(τ, 1) = 0 だから h(x, 1) は τ を根とする2次式で、その係数 の最大公約数が 1 かつ最高次の係数が正であり τ により 一意に決まる( 276)。 一方 τ = (-l + √D)/2k は kx^2 + lx + m の根でもあるから g(x, y) = h(x, y) である。 証明終 602 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/05(月) 12 09 17 ] 命題 600 の写像 Φ+ は全射である。 証明 I(R)/P(R) の各類の代表として原始イデアルが取れる。 I = [a, b + fω] を R の可逆な原始イデアルの標準基底による 表示とする。 589 より判別式 D の2次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、 r + fω = (-b + √D)/2 となる。 I は可逆だから 592 より ax^2 + bxy + cy^2 は原始的である。 証明終 603 名前:132人目の素数さん mailto sage [2007/02/07(水) 19 23 01 ] 32 604 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 00 08 ] 補題 2次体 Q(√m) の任意の整数 α = a + bω のノルム N(α) は 以下の式で与えられる(ω については 11 を参照)。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき N(α) = a^2 + ab + (b^2)(1 - m)/4 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき N(α) = a^2 - (b^2)m 証明 N(α) = (a + bω)(a + bω ) = a^2 + ab(ω + ω ) + (b^2)ωω より明らかである。 605 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 22 54 ] 補題 虚2次体 Q(√m) の任意の整数 α ≠ 0 に対して N(α) > 0 である。 証明 α = a + bω とする α の2次体 Q(√m) の元としての共役 α = a + bω は α の複素数としての共役でもあるから N(α) = αα = |α|^2 > 0 である。 このことは以下のようにしても分かる。 604 より m ≡ 1 (mod 4) のとき N(α) = a^2 + ab + (b^2)(1 - m)/4 4N(α) = 4a^2 + 4ab + (b^2)(1 - m) = (2a + b)^2 - (b^2)m m < 0 だから N(α) > 0 である。 m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき N(α) = a^2 - (b^2)m > 0 である。 証明終 606 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 29 56 ] 補題 虚2次体 Q(√m) の整数 a + bω が単数( 73)であるためには 有理整数 a, b が以下の等式を満たすことが必用十分である。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき (2a + b)^2 - (b^2)m = 4 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき a^2 - (b^2)m = 1 証明 74、 604、 605 より明らかである。 607 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 31 13 ] 命題 虚2次体 Q(√m) の単数( 73)は以下の通り。 (1) m = -1 のとき ±1、±√(-1) (2) m = -3 のとき ±1、±ω、±ω^2 ここで ω = (-1 + √(-3))/2 = exp(2πi/3) は1の原始3乗根である。 (3) |m| > 3 のとき ±1 証明 606 より明らかである。 608 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 32 31 ] 命題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 R の元 α が可逆元であるためには α が Q(√m) の単数( 73) であることが必要十分である。 つまり R^* = R ∩ Z[ω]^* である。 証明 まず ω = 1 - ω または ω = -ω だから α ∈ R なら α ∈ R であることに注意する。 R の可逆元は明らか単数である。 R の元 α が単数であるとする。 74 より N(α) = 1 または N(α) = -1 である。 N(α) = 1 なら αα = 1 で、α ∈ R だから α は R の可逆元 である。 N(α) = -1 なら αα = -1 だから α(-α ) = 1 となり、 やはり α は R の可逆元である。 証明終 609 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 36 17 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 f > 1 なら R に属す単数は ±1 のみである。 証明 R の元 α = a + bfω が単数だとする。 74 より N(α) = (a + bfω)(a + bfω ) = a^2 + abf(ω + ω ) + (f^2)(b^2)ωω = 1 である。 (1) m ≡ 1 (mod 4) のとき a^2 + abf + (f^2)(b^2)(1 - m)/4 = 1 よって (2a + bf)^2 - (f^2)(b^2)m = 4 よって f > 1 なら b = 0、a = ±1 である。 (2) m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) のとき a^2 - (f^2)(b^2)m = 1 よって f > 1 なら b = 0、a = ±1 である。 証明終 610 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 43 10 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 R^* = {±1} である。 ここで R^* は R の可逆元全体のなすアーベル群を表す( 516)。 証明 608 と 609 より明らかである。 611 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 52 40 ] 補題 A と B を環とする。 A × B を A と B の環としての直積とする。 (a, b) ∈ A × B のとき (a, b) が可逆であるためには a と b が それぞれ可逆であることが必用十分である。 証明 A × B の乗法の定義から明らかである。 612 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 16 53 39 ] 補題 A と B を環とする。 このとき、(A × B)^* = (A^*)×(B^*) である。 ここで等号は群としての同型を表す。 証明 611 より明らかである。 613 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 04 35 ] 補題 A を局所環とし、m をその極大イデアルとする。 x を A の元とする。 xA ≠ A であるためには x ∈ m が必用十分である。 証明 x ∈ m なら xA ⊂ m だから xA ≠ A である。 逆に xA ≠ A なら Zorn の補題より xA ⊂ m である。 証明終 614 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 06 38 ] 補題 A を局所環とし、m をその極大イデアルとする。 A^* = A - m である。 証明 これは 613 を言い換えたものである。 615 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 16 40 ] 補題 2次体 Q(√m) の素イデアル P と有理整数 n ≧ 1 に対して P と P^n をアーベル群とみて剰余群 P/P^n が考えられる。 このとき |P/P^n| = N(P)^(n-1) である。 証明 定義( 24)より |Z[ω]/P| = N(P) 70 より |Z[ω]/P^n| = N(P)^n これから明らかである。 証明終 616 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 17 19 37 ] 補題 2次体 Q(√m) の素イデアル P と有理整数 n ≧ 1 に対して |(Z[ω]/P^n)^*| = N(P)^n - N(P)^(n-1) である。 証明 614 と 615 から明らかである。 617 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 34 40 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 2次体 Q(√m) において p は分岐するとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n-1) である。 証明 p は分岐するから Q(√m) のある素イデアル P があり、 pZ[ω] = P^2 となる。 よって (p^n)Z[ω] = P^(2n) である。 よって 616 より |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n-1) 証明終 618 名前:132人目の素数さん [2007/02/08(木) 20 38 45 ] オナニー 619 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 46 53 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 2次体 Q(√m) において p は完全分解するとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = (p^n - p^(n-1))^2 である。 証明 p は完全分解するから Q(√m) のある素イデアル P があり、 pZ[ω] = PP となる。 P ≠ P である。 よって (p^n)Z[ω] = (P^n)(P ^n) である。 中国式剰余定理(前スレ1の341)より Z[ω]/(p^n)Z[ω] = (Z[ω]/P^n) × (Z[ω]/P ^n) よって 612 と 616 と N(P) = N(P ) = p より |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = |(Z[ω]/P^n)^*| |(Z[ω]/P ^n)^*| = (p^n - p^(n-1))^2 証明終 620 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 20 53 56 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 2次体 Q(√m) において p は分解しないとする( 106)。 このとき |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = p^(2n) - p^(2n - 2) である。 証明 p は分解しないから pZ[ω] = P はQ(√m) の素イデアルである。 よって (p^n)Z[ω] = P^n で N(P) = p^2 である。 よって 616 から |(Z[ω]/(p^n)Z[ω])^*| = |(Z[ω]/P^n)^*| = p^(2n) - p^(2n - 2) である。 証明終 621 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 39 54 ] 定義 有理整数 n ≧ 1 に対して φ(n) を以下のように定義する。 (1) φ(1) = 1 (2) n > 1 のとき φ(n) = |(Z/nZ)^*| φ を Euler の関数と呼ぶ。 622 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 51 40 ] 補題 p を素数とし、n ≧ 1 を有理整数とする。 φ(p^n) = p^n - p^(n - 1) である。 ここで、φ は Euler の関数( 621)である。 証明 良く知られているし、 615 の証明と同様にしてもわかる。 623 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 21 56 47 ] 命題 r > 1 を有理整数とし、r = Πp^n を r の素因数分解とする。 ここで p は r の相異なる素因子を動く。 φ(r) = rΠ(1 - 1/p) である。 ここで、φ(r) は Euler の関数( 621)である。 証明 中国式剰余定理(前スレ1の341)より Z/rZ = ΠZ/(p^n)/Z である。 612 より φ(r) = |(Z/rZ)^*| = Π|(Z/(p^n)/Z)^*| である。 一方、622 より |(Z/(p^n)/Z)^*| = p^n - p^(n - 1) = (p^n)(1 - 1/p) よって φ(r) = rΠ(1 - 1/p) である。 証明終 624 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/08(木) 22 45 02 ] 命題 2次体 Q(√m) の主整環( 431)を Z[ω] とする。 r > 1 を有理整数とし、r = Πp^n を r の素因数分解とする。 ここで p は r の相異なる素因子を動く。 このとき |(Z[ω]/rZ[ω])^*| = φ(r)rΠ(1 - χ(p)/p) である。 ここで χ(p) は以下のように定義する。 (1) p が2次体 Q(√m) において分岐する( 106)とき χ(p) = 0 (2) p が2次体 Q(√m) において完全分解する( 106)とき χ(p) = 1 (3) p が2次体 Q(√m) において分解しない( 106)とき χ(p) = -1 証明 中国式剰余定理(前スレ1の341)と 612 より r が素数べき p^n の場合に証明すればよい。 この場合は 617, 619, 620, 622 より明らかである。 証明終 625 名前:132人目の素数さん mailto sage [2007/02/08(木) 23 23 00 ] 32 626 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 46 30 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 このとき h(D) = |Cl(D)| である。 ここで h(D) は判別式 D の簡約2次形式( 407) の個数であり、 Cl(D) は R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) ( 473) である。 証明 601 と 602 より明らかである。 627 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 47 15 ] 補題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 fZ[ω] = (R Z[ω]) である。 ここで (R Z[ω]) は R のイデアルとしての導手( 540)である。 証明 α = a + bfω ∈ (R Z[ω]) とする。 αω = aω + bfω^2 ∈ R ω は (X - ω)(X - ω ) = X^2 - Tr(ω)X + N(ω) の根だから ω^2 = Tr(ω)ω - N(ω) よって -bfN(ω) + (a + bfTr(ω))ω ∈ R よって a ≡ 0 (mod f) である。 よって α ∈ fZ[ω] である。 よって (R Z[ω]) ⊂ fZ[ω] である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 628 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 51 25 ] 補題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 I = (R Z[ω]) を R のイデアルとしての導手( 540)とする。 |(R/I)^*| = φ(f) である。 ここで φ(f) は Euler の関数( 621) である。 証明 627 より I = fZ[ω] = [f, fω] である。 よって R/I = [1, fω]/[f, fω] は Z/fZ と同型である。 よって |(R/I)^*| = φ(f) である。 証明終 629 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 20 59 21 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) である。 ここで p は f の相異なる素因子を動く。 証明 I = (R Z[ω]) を R のイデアルとしての導手( 540)とする。 627 より I = fZ[ω] である。 548 と 626 より h(D) = h(d)[(Z[ω]/I)^* (R/I)^*]/[Z[ω]^* R^*] 624 より |(Z[ω]/I)^*| = φ(f)fΠ(1 - χ(p)/p) 628 より |(R/I)^*| = φ(f) よって h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) である。 証明終 630 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 21 03 17 ] 629 χ(p) は 624 で定義したものである。 631 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/09(金) 21 03 59 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 (1) m = -1 のとき、即ち d = -4 のとき h(D) = (1/2)fΠ(1 - χ(p)/p) (2) m = -3 のとき、即ち d = -3 のとき h(D) = (1/3)fΠ(1 - χ(p)/p) (3) m が上記以外のとき h(D) = h(d)fΠ(1 - χ(p)/p) 上記いずれの場合も p は f の相異なる素因子を動く。 χ(p) は 624 で定義したものである。 証明 629 より h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) 607 と 609 より (1) m = -1 のとき、[Z[ω]^* R^*] = 2 (2) m = -3 のとき、[Z[ω]^* R^*] = 3 (3) |m| > 3 のとき [Z[ω]^* R^*] = 1 221 より Q(√(-1)) はノルム Euclid 的である。 よって h(-4) = 1 である。 前スレ3の233より Q(√(-3)) はノルム Euclid 的である。 よって h(-3) = 1 である。 以上から本命題の主張が得られる。 証明終 632 名前:132人目の素数さん mailto sage [2007/02/10(土) 00 34 00 ] 35 633 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 11 32 12 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 d を Q(√m) の判別式とする。 m ≧ 1 を有理整数として S = [1, mfω] を整環とする。 このとき h((m^2)D) = (h(D)/[R^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) となる。ここで p は m の相異なる素因子を動く。 証明 629 より h(D) = (h(d)/[Z[ω]^* R^*])fΠ(1 - χ(p)/p) よって h(d) = h(D)[Z[ω]^* R^*]/(fΠ(1 - χ(p)/p)) 再び 629 より h((m^2)D) = (h(d)/[Z[ω]^* S^*])mfΠ(1 - χ(p)/p) ここで p は mf の相異なる素因子を動く。 よって h((m^2)D) = (h(d)[Z[ω]^* R^*]/[Z[ω]^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) = (h(D)/[R^* S^*])mΠ(1 - χ(p)/p) 証明終 634 名前:132人目の素数さん [2007/02/10(土) 11 38 30 ] Cox の Primes of the form x^2 + ny^2 によると 633 は Gauss が 証明したという。 Disquisitiones の art. 254-256 がその証明らしいいという。 私はその証明をまだ確かめてない。 635 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 41 14 ] 定義 V を有理数体上の有限次ベクトル空間とする。 L を V のアーベル群としての部分群で階数 が n = dim V の 自由アーベル群であるとき L を V の格子(lattice)という。 636 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 44 43 ] 定義 2次体 Q(√m) を有理数体上の2次元ベクトル空間とみて L がその格子( 635)のとき L を2次体 Q(√m) の格子という。 637 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 13 52 24 ] 定義 L を2次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 (L L) = {α ∈ Q(√m); αL ⊂ L} と書く。 638 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 14 23 27 ] 命題 L を2次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 (L L) = {α ∈ Q(√m); αL ⊂ L} は Q(√m) の整環である。 証明 α ∈ (L L) なら L は Z[α] 上の忠実加群とみなせる。 よって前スレ3の839よりαは(代数的)整数である。 つまり、(L L) ⊂ Z[ω] である。 よって (L L) は自由アーベル Z[ω] の部分群として 有限生成の自由アーベル群である。 (L L) は明らかに Z[ω] の部分環である。 L = [β, γ] とする。 ωβ = pβ + qγ ωγ = rβ + sγ となる有理数 p, q, r, s がある。 よって aωβ ∈ L. aωγ ∈ L となる有理整数 a ≠ 0 がある。 aωL ⊂ L だから aZ[ω]L ⊂ L である。 よって aZ[ω] ⊂ (L L) である。 aZ[ω] は階数2の自由アーベル群だから (L L) もそうである。 よって (L L) は Q(√m) の整環である。 証明終 639 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 37 41 ] 補題 L を2次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 α ≠ 0 を Q(√m) の元とすると (αL αL) = (L L) である。 証明 自明である。 640 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 40 32 ] 命題 L = [α, β] を2次体 Q(√m) の格子( 636)とする。 τ = β/α とし、aτ^2 + bτ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 このとき (L L) = [1, aτ] である。 証明 L = [α, β] = α[1, τ] だから 639 より (L L) = ([1, τ] [1, τ]) γ ∈ ([1, τ] [1, τ]) とすると、 γ ∈ [1, τ] より γ = m + nτ、m ∈ Z、n ∈ Z と書ける。 γτ ∈ [1, τ] だから γτ = mτ + nτ^2 である。 一方、aτ^2 + bτ + c = 0 だから τ^2 = (-b/a)τ - c/a よって γτ = mτ + nτ^2 = -cn/a + (m - (bn/a))τ ∈ [1, τ] よって -cn ≡ 0 (mod a) -bn ≡ 0 (mod a) よって gcd(a, b, c) = 1 より n ≡ 0 (mod a) となる。 よって γ ∈ [1, aτ] である。 よって ([1, τ] [1, τ]) ⊂ [1, aτ] である。 一方、aτ^2 = -c - bτ だから aτ∈ ([1, τ] [1, τ]) よって [1, aτ] ⊂ ([1, τ] [1, τ]) 以上から (L L) = [1, aτ] である。 証0明終 641 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 17 45 45 ] 639 は αL が Q(√m) の格子であることを暗黙の前提としている。 しかし、これは明らかである。 642 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 00 12 ] 命題 M ≠ 0 を2次体 Q(√m) の主整環 Z[ω] の可逆分数イデアル( 466) とする。 M は明らかに Q(√m) の格子であるが、 (M M) = Z[ω] である。 証明 α ∈ (M M) とする。 αM ⊂ M より αM(M^(-1)) ⊂ M(M^(-1)) となる。 M(M^(-1)) = Z[ω] だから α ∈ Z[ω] である。 よって (M M) ⊂ Z[ω] である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 643 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 04 55 ] 命題 M ≠ 0 を2次体 Q(√m) の整環 R の可逆分数イデアル( 466) とする。 M は明らかに Q(√m) の格子であるが、 (M M) = R である。 証明 α ∈ (M M) とする。 αM ⊂ M より αM(M^(-1)) ⊂ M(M^(-1)) となる。 M(M^(-1)) = R だから α ∈ R である。 よって (M M) ⊂ R である。 逆の包含関係は明らかである。 証明終 644 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 11 48 ] 642 は 643 により不要だった。 645 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 18 39 32 ] 命題(Cox の Primes of the forms x^2 + ny^2) M ≠ 0 を2次体 Q(√m) の整環 R の分数イデアル( 463) とする。 (M M) = R なら M は可逆である。 証明 M = [α, β] とする。 τ = β/α とし、aτ^2 + bτ + c = 0 とする。 ここで a, b, c は有理整数で gcd(a, b, c) = 1 である。 M = α[1, τ] である。 M = α [1, τ ] である。 よって aMM = aN(α) 1, τ, τ , ττ τ + τ = -b/a ττ = c/a だから aMM = aN(α) a, aτ, aτ , aττ = aN(α) a, aτ, -b , c = N(α)[gcd(a, b, c), aτ] = N(α)[1, aτ] 640 より [1, aτ] = (M M) = R である。 よって aMM = N(α)R これは M が可逆であることを意味する。 証明終 646 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/10(土) 23 44 40 ] 補題 ax^2 + bxy + cy^2 を原始的( 279)な2次形式とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 互いに素な有理整数 s と t があり、 A = as^2 + bst + ct^2 が m と素になる。 証明 p を m の任意の素因数とする。 a と p が素なら s ≡ 1 (mod p), t ≡ 0 (mod p) とする。 このとき A ≡ a (mod p) だから A は p と素である。 a ≡ 0 (mod p) で c が p と素なら s ≡ 0 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ c (mod p) だから A は p と素である。 a ≡ 0 (mod p) で c ≡ 0 (mod p) なら gcd(a, b, c) = 1 より b は p と素である。 s ≡ 1 (mod p), t ≡ 1 (mod p) とする。 このとき A ≡ b (mod p) だから A は p と素である。 中国式剰余定理より m の各素因数 p に対して 上記の合同式を満たす s と t が存在して、A は m と素になる。 gcd(s, t) = r とする。 r = 1 なら s, t が求めるものである。 r ≠ 1 なら s = rs , t = rt とおけば A = r^2(a(s )^2 + bs t + c(t )^2) A/r^2 = a(s )^2 + bs t + c(t )^2 となり A/r^2 は m と素である。 よって s と t が求めるものである。 証明終 647 名前:132人目の素数さん mailto sage [2007/02/11(日) 03 55 00 ] 36 648 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 12 04 ] 命題 ax^2 + bxy + cy^2 を原始的( 279)な2次形式とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 このとき、SL_2(Z) の元 σ = (p, q)/(r, s) があり、 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて( 401) Au^2 + Buv + Cv^2 となったとき、 A は m と素に出来る。 証明 646 より互いに素な有理整数 p と r があり、 A = ap^2 + bpr + cr^2 が m と素になる。 p と r は互いに素だから ps - qr = 1 となる 有理整数 s と q がある。 よって、行列 σ = (p, q)/(r, s) は SL_2(Z) の元である。 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて Au^2 + Buv + Cv^2 となったとする。 つまり、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 とおいたとき、 Au^2 + Buv + Cv^2 = f(pu + qv, ru + sv) である。 401 より A = ap^2 + bpr + cr^2 B = 2apq + b(ps + qr) + 2crs C = aq^2 + bqs + cs^2 である。 A は m と素だから σ = (p, q)/(r, s) が求めるものである。 証明終 649 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 12 47 ] 補題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 I と J を R の非零イデアルとする。 N(I) と N(J) が互いに素なら I + J = R である。 証明 I + J ≠ R とする。 R の素イデアル P があり I ⊂ P かつ J ⊂ P となる。 579 より N(I) と N(J) は N(P) で割れる。 証明終 650 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 31 08 ] 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 m ≧ 1 を有理整数とする。 I を R の可逆な分数イデアルとする。 このとき λ ∈ Q(√m) があり、 λI ⊂ R で λI + mR = R となる。 証明 D を R の判別式とする。 I に適当な定数を掛けることにより、初めから I は R の可逆な 原始イデアルと仮定してよい。 I = [a, b + fω] を R の標準基底による表示とする。 589 より判別式 D の2次形式 ax^2 + bxy + cy^2 があり、 r + fω = (-b + √D)/2 となる。 I は可逆だから 592 より ax^2 + bxy + cy^2 は原始的である。 648 より SL_2(Z) の元 σ = (p, q)/(r, s) があり、 ax^2 + bxy + cy^2 に σ を右から作用させて Au^2 + Buv + Cv^2 となったとき、 A は m と素に出来る。 282 より gcd(A, B, C) = 1 である。 594 より J = [A, (-B + √D)/2] は R の可逆な原始イデアルであり、 I(R)/P(R) ( 473) の I と同じ類に属す。 N(J) = A で A は m と素だから 649 より J + mR = R である。 証明終 651 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 11 50 30 ] 650 訂正: 命題 R = [1, fω] を虚2次体 Q(√m) の整環とする。 命題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 652 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 12 12 44 ] 補題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 N(I) ∈ I である。 証明 ノルムの定義( 438)より |R/I| = N(I) である。 つまり R/I のアーベル群としてに位数は N(I) である。 よって R/I の任意の元 x に対して N(I)x = 0 である。 特に N(I)1 = 0 である。 これは N(I) ∈ I を意味する。 証明終 653 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/11(日) 12 16 10 ] 命題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 I ≠ 0 を R のイデアルとする。 R の Picard 群 I(R)/P(R) ( 473) の任意の剰余類には I と素な R のイデアル J が存在する。 つまり、 I + J = R となる J ∈ I(R) が存在する。 証明 650 より I(R)/P(R) の任意の剰余類には J + N(I)R = R となる J ∈ I(R) が存在する。 652 より N(I) ∈ I だから N(I)R ⊂ I である。 よって J + I = R である。 証明終 654 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 06 58 52 ] R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 R の正則( 550)な分数イデアル全体を RI(R) と書いたく( 572)。 R の正則な単項分数イデアルのなす群を RP(R) と書いた( 572)。 653 を R の導手( 540) I = fZ[ω] ( 627) に適用すると、 RP(R)/RI(R) は I(R)/P(R) に同型になる。 これは 575 を R に適用した場合の別証明になっている。 655 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 mailto sage [2007/02/12(月) 08 08 54 ] 補題 R = [1, fω] を2次体 Q(√m) の整環とする。 Z[ω] の元 α に対して α ∈ R で αR が正則であるためには α ≡ a (mod fZ[ω]) で gcd(a, f) = 1 となる有理整数 a が 存在することが必要十分である。 証明 α ∈ R で αR が正則とする。 α ∈ R なら α = a + bfω と書ける。 αR が正則だから αZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 α ≡ a (mod fZ[ω]) だから aZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 gcd(a, f) ≠ 1 とすると a と f を割る素数 p がある。 p を含む Z[ω] の素イデアル P をとれば aZ[ω] + fZ[ω] ⊂ P となって矛盾。 よって gcd(a, f) = 1 である。 逆に α ≡ a (mod fZ[ω]) で gcd(a, f) = 1 となる有理整数 a が あるとする。 αZ[ω] + fZ[ω] = aZ[ω] + fZ[ω] = Z[ω] である。 よって αR は正則である。 証明終 656 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 mailto sage [2007/02/12(月) 08 46 28 ] 訂正 470 A の0でない分数イデアル全体は乗法により群となる。 A の0でない可逆分数イデアル全体は乗法により群となる。 657 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 08 48 17 ] 定義 A を Dedekind 環とする。 m ≠ 0 を A のイデアルとする。 A の分数イデアルで m と素なもの全体は 可逆分数イデアル群 I(A) ( 470) の部分群となる。 これを I(m) と書く。 A の単項分数イデアルで m と素なもの全体は 単項分数イデアル群 P(A) ( 471) の部分群となる。 これを P(m) と書く。 658 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 09 06 55 ] 命題 A を Dedekind 環とする。 m ≠ 0 を A のイデアルとする。 I(m)/P(m) は I(A)/P(A) に標準的に同型である。 ここで, I(m) と P(m) は 657 で定義したもの。 証明 I(m) → I(A) を包含写像とする。 この核は P(m) である。 よって標準単射 I(m)/P(m) → I(A)/P(A) が得られる。 573 より、これは全射である。 証明終 659 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 09 18 38 ] 定義 A を Dedekind 環とする。 a ≠ 0 を A の元とする。 I(aA) ( 657) をI(a) と書く。 同様に、P(aA) を P(a) と書く。 660 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/12(月) 10 31 31 ] 命題 A を1次元のネーター整域とし K をその商体とする。 A の K における整閉包を B とし、B は A-加群として有限生成とする。 I = (A B) を A の導手とする。 J ≠ 0 を B のイデアルで I と素とする。 J に A ∩ J を対応させることにより B のイデアルで I と 素なものと A の正則なイデアルとの1対1の対応が得られる。 証明 J ≠ 0 を B のイデアルで I と素とする。 557 より A ∩ J は正則な A のイデアルで (A ∩ J)B = J となる。 よって J に A ∩ J を対応させる写像は単射である。 逆に J_0 を A の正則なイデアルとする。 定義( 550)より (J_0)B は I と素である。 よって 557 より A ∩ (J_0)B は正則であり (A ∩ (J_0)B)B = (J_0)B となる。 よって 556 より A ∩ (J_0)B = J_0 である。 よって J に A ∩ J を対応させる写像は全単射である。 証明終 タグ: コメント
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Daemon Pit 必要な物 Unholy Monastery 建設時間 25秒 建設コスト 100 100 還元コスト 50 50 耐久力 3000 アーマー Building Medium 視界 15 アビリティ Chaos Taint 必要な技術 なし ターゲット All Infantry, Heavy Infantry, and Daemon Medium 射程距離 0 広域効果 20 再使用にかかる時間 パッシブ 建物から邪悪なオーラを発動し、敵のユニットのモラル回復量を20%減少させる。T2に入ると自軍のユニットの体力回復スピードが4倍になる。さらにケイオスロードとケイオスソーサラーの体力回復量が2倍になる。 Deepstrike 必要な技術 なし ターゲット 戦場の霧が無い地点 射程距離 なし 広域効果 なし 再使用にかかる時間 パッシブ Obliteratorの配備が完了するとDaemon pitの中に待機する。そして好きな戦場の霧が無い地点に投下できるがやってくるまでに15秒かかる。Obliteratorを再びDaemon pitに入れると5秒後再びディープストライクが可能になる。 配備可能ユニット Obliterators 必要な物 なし 部隊人数 3/5 必要コスト 300 105 3 配備時間 35 リミット 1 ディープストライク可能 研究一覧 Wargear Personal Teleporters 必要な物 なし 必要コスト 75 125 研究時間 60 Obliteratorsがテレポートを使えるようになる。 Bloodthirster Research 必要な物 Unholy MonasteryとChaos Energies、Relicを占領していることBloodthirsterが戦場に出ていないこと 必要コスト 400 400 研究時間 90 Summon Bloodthirsterに変身する能力をChaos SorcererとAspiring ChampionsとCultist Aspiring Champions,とRaptor Aspiring Championsが使えるようになる。 Daemon Prince Research 必要な物 Desecrated FortressとDaemon Princeが戦場に出ていないこと 必要コスト 250 250 研究時間 60 Chaos LordがDaemon Princeに変身できるようになる。
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Memory of Summer キャスト 少女(天使の輪、メモリーポート持参):ニノン・ベアール 青年:ブッドレア 母:夜槻 村人A:蒼野霧輝 村人B(銃持参):玲皇 狂人(ポプリ・銃持参):ゼロス・アールウェイ ナレーター:la_mer 司会:†ジェラル† ※装備についてですが、基本的に耳・尻尾・装備は外してでの参加です。 しかし銃を使う人や最後のシーンのニノンさんなどは、装備有りのはずなのでそこだけよろしくです。 (終了後ナレ中央に出る) ナレ:「今日はここに集まってくれた皆様に、1つの物語を聞いてもらいたいと思います。 まだ暑さが残る夏の終わり。 静かな山奥で響きわたるヒグラシの鳴き声。 小さな民家に咲き誇るたくさんのヒマワリ。 そんな小さな村での物語。 そして、不思議な能力を持った少女と その少女ただ1人を愛した青年の物語・・・。 それでは、始めましょうか。 【Memory of summer】 」 (ナレはステージ端へ。青年と母は舞台中央で向かって座る) 青年「なぁ、母さん。」 母「どうしたの?あなたから話しかけてくるなんて珍しいわね。」 青年「1つ聞きたいことがあるんだ。・・・母さんは僕のこと、嫌い?」 母「・・・どうして?自分の子供を嫌う親なんて親なんかじゃないわよ。」 青年「僕は・・・あの日から何も変わっちゃいない。もう町へ出て働くのが普通な歳なのに・・・。僕はまだ母さんの下で・・・」 母「ああ・・・そうね。そういえばあの日から今日で3年なのね。」 青年「・・・うん。僕はあの日・・・。」 (いったんステージ端のナレ以外はける) 過去を思い出す (青年と少女は舞台中央へ) 青年「なぁニノン、聞いたか?この村で数名狂人が出たって話。」 少女「聞いた聞いた。物騒よねぇ・・・。」 (村人Aは入場) 村人A「(ドアを叩く。「コンコン」)おーい!ブッドレアとニノンは大丈夫か!?」 青年「やぁロン。どうしたんだ急に?」 村人A「いやぁ無事でよかったよかった。今日また狂人が暴れだして捕まったんだ。今日の狂人はトンカチ振り回して村人を追いかけたっていうぞ。」 少女「それは危ないわねぇ・・・。ほんとどうしたのかしらね、こんな急に狂人が続出なんて。」 村人A「2人とも気をつけろよな。お出かけはできるだけ避けるように。ブッドレア、ちゃんとニノンを守ってやれよ?」 青年「任せとけって。ニノンは僕が死んでも守るって!」 村人A「そっか。まぁお前なら大丈夫だな。んじゃ俺は他の人にも注意を呼びかけてくるからさ。またな」 (村人Aははける。 その後青年と少女もはける。) ナレ:「いつもと変わらず、2人で楽しみながら暮らしていたある日。 事件は起きたのだった。 当然、今日事件が起こることなど知らずに2人は会話を続けていた。」 (再び青年と少女舞台へ) 青年「しっかし・・・今日も暑いな・・・」 少女「こんな暑い日にはカキ氷よね!ねっ!いつもの公園で食べない?カキ氷。ついでに今晩のご飯も買ってさ。」 青年「そうだなぁ・・・今日みたいに暑い日は家で我慢もできないや。行こうか。」 少女「えへへっ、それじゃ準備してくるから待っててね♪」 (少女はける) ~~~~~~~青年、心の中。←セリフを言うとき最初に( )つけてね。わかりやすいように。 青年「(なんだろう。この感じ。 いつもと何かが違う。 何かが・・・。 何もなきゃいいけど。 ・・・それにしても今日は準備が長いな。)」 ~~~~~~~ (青年の心のセリフ終わるくらいに舞台にあがる) 少女「なーにぼぅっとしてるのっ!ほら、準備できたよ♪」 青年「あっ悪い悪い。ちょっと考え事をしてたんだ。それじゃいこっか。」 (ナレのセリフの間は青年と少女は歩きまわり、ナレのセリフが終わるころに中央で座る) ナレ:「ブッドレアは今日みたいな暑い日によく行く店がいつも以上に遠く感じていた。 そしていつもとは違う違和感をずっと感じていた。 この後何か起きるのだろうか?と。 ブッドレアは自分の感じとったものを一生懸命忘れようとしていた。」 (青年は少女にカキ氷を渡す) 少女「あ、ありがと!うーん、やっぱり今日みたいな暑い日に外で食べるカキ氷はおいしいっ!」 青年「そうだね。」 少女「どうしたの?なんかあったの?暗いよ?」 青年「いや、何もないよ。うん、何もない。何で?」 少女「私って昔から友達に、『ニノンって不思議な能力みたいのあるよねぇ。予想したことはバシバシ当たるし、自分の心の中が透かされてる感じ。』って言われてたんだよっ。」 青年「すごいなぁそれ。(ビックリエモ) それで今の僕の気持ちを感じとったと・・・?」 少女「いやぁ・・・今はわかんなかったよっ」 青年「そっか。まぁほんとに何もなかったからねっ。」 少女「そうかもね。さって食べ終わったし晩御飯買いにいきましょっか。(♪のエモとか)」 青年「うん、行こう行こう。」 (少女先に歩く) ~~~~~~~青年、再び心の中。 青年「(どうしてだろう。この感じ。 ニノンと一緒にいる時間が長く感じる。 でも彼女と並んで話すこの時間が僕は好きだから・・・。 だから・・・このまま時間が止まってくれればいいな・・・。)」 ~~~~~~~ 少女「どうしたの?早くいこうよー。」 (少女は青年に近寄りはてなエモ) 青年「あ、ごめんごめん。ちょっと考え事をね。」 少女「そっか。んじゃ行きましょ」 青年「おう、そうだな」 (舞台を1周して真ん中で次のセリフ入ってください) 少女「・・・ああ、やっぱり来たんだ・・・。」 青年「へ?今何か言った?」 少女「え?い、いや。何も言ってないよ?(汗?みたいなエモ)」 青年「そっかな。」←青年は少女の言葉に気づいていない 青年「しかし急に風強くなったね・・・。太陽も雲に隠れちゃって。」 少女「そうだね、今日の天気予報では1日中晴れなんだけどなぁ?」 (少女のセリフは真ん中から左に向かって歩いていく。左に行ったらブッドレアさんの動作準備のためにほんの数秒待ってから次のセリフ) 少女「危ない!!!」 (少女は青年をかばうようにする。そして青年は振り向く。) (狂人は少女のセリフとともに走って出てきて青年達に接近してRS。少女は倒れる。次に青年のセリフ 四葉が登場しRS) (倒れてから*少女「ッ・・・!!」)←無理に入れる必要はない。不発でも場の雰囲気は伝わります。 青年「うわっ!? ニノンだいじょ・・・」 狂人「ウガァアアアアアアアアアアアアアアアア!!!!」 村人B「そこの彼女を早く病院へ!!あなた、どうしたの!?」 (「あなた、どうしたの!?」で青年倒れる) (少し間を空けてから青年以外全員左へはける) ~~~~~~青年、心の中。←寝たまんま 青年「(何があったのだろう。 僕は今どうなっているのだろう。 急に走ってきた男に撃たれて死んでしまったのだろうか? それよりニノンは・・・。 そうだ思い出した、ニノンは僕をかばって・・・)」 ~~~~~~ (心シーン終わったら右から歩いて村人Bが出てきて、青年を診るように座る) 青年「!?僕はどうなったんだ!?彼女は!?銃を持った男は!?」 村人B「落ち着け、まずは落ち着いて私の話を聞きなさい。」 青年「なぁここはどこだ!?いったい何が・・・」 村人B「だから落ち着いて。ここは村の病院よ。狂人なら私が片付けたから。そしてあなたはショックで倒れた・・・。」 青年「たお・・・れた・・・。いや、そんなことはどうでもいいんだ。彼女は・・・彼女はどこにいるんだよ!?」 村人B「・・・・・・(少しの沈黙の後で)彼女は、あなたをかばって撃たれた。自分の身を犠牲にして・・・。」 青年「・・・・・・。もしかしてニノンは・・・。」 村人B「あの後で、すぐに息を引き取ったわ・・・。」 (村人Bははける ナレの間青年は中央で後ろを向く) ナレ「青年は3日間、何もしゃべらずにベッドの上で涙を流し続けた。 青年はその間、すべてを悔やんだ。 狂人が出没している中で出かけることを許したこと。 帰りが遅くなるまで町にいたこと。 そして・・・死んでも守ると誓ったのに、逆に守られて死なせてしまったこと・・・・・・。 青年はその後、家から出ることもなくなった。 しゃべることもほとんどなくなった。 3年間ずっと部屋にこもりっぱなしだったのだ。 しかし、ちょうど3年が経った日に、彼は決断した。」 (全員はける) 現実にもどる (一呼吸おいてから青年と母は舞台へ) 青年「なぁ・・・母さん。僕決めたよ。」 母「どうするんだい?」 青年「ニノンのためにも、町にでて仕事をこなしていきたいと思うんだ。ニノンの夢だった先生となって。」 母「・・・私は止めたりはしないわ。あなたは今、人生の決断をしたのよ。あなたの人生だもの、私は何もいわない。ただあなたの頑張る姿を応援したいのよ。」 青年「・・・ありがとう。」 (母ははける。青年中央へ) ~~~~~~青年、心の中。(ここは動きが加わります。青年は左右に動きながらセリフ) 青年「なぁニノン。僕は3年経った今気づいたんだ。 あの日1日中、僕が何か不思議なものを感じていたのはニノン。君の想いだったこと。 そして僕に話してくれた不思議な力の話。 やっぱりその能力があるんだと僕は思ったんだ。 あの日の準備が長かったのは僕との最後のお出かけだとわかってたから。 ニノンには狂人に撃たれるという運命が見えていたから。 運命っていうのは残酷なものだよな。 そして後ろから狂人が近づいていたのもニノンはわかっていた。 だから僕をすぐにかばうことができたんだよね。 すべて君の想像通りに動いていたんだね。 もっと早く気づきたかった。 君を死なせたくなかった。 でも過ぎた過去を変えることなどできないから・・・。 だから僕は君と1つになって、君のなりたかった仕事をして過ごそうと決めたんだ。」 ~~~~~~ (いっかいはけて、間を空けてもう1度出てくる) 青年「3日後、僕は支度を済ませ、朝早くから町へと向かった。 1歩外に出ると、涼しい風がびゅうっと吹いて周りの木々が鳴きわめく。 眼下にはたくさんのヒマワリ。 そして四方八方からはヒグラシの鳴き声。」←あたり見回して景色みてるような動きあればgood (ここで天使の輪を装備したニノンさんがメモリーポートでブッドレアさんの背後にワープします。そして/happyで動作を入れてから携帯で消える。その後に青年は振り向く) 青年「・・・あれ? 一瞬、隣でいないはずのニノンが僕に笑って話しかけているような気がした。」 (青年はけて、司会【ジェラル】舞台中央へ) ジェラル「これで物語はおしまいとなります。 『あのとき、ああしていれば・・・』と思うことはよくあると思います。 人間は後悔と失敗を積み重ねて強くなる生き物です。 過去をバネに、未来へ。 前へ進もうとする強い気持ち。 これが全てにおいて大切なのではないでしょうか。 ご清聴ありがとうございました。 続いてキャスト紹介とさせていただきます!」 (みんな横一列に並んでください) 紹介順 1 青年 2 少女 3 母 4 狂人 5 村人A・B 6 ナレーター ☆時間によっては短縮のために母と狂人一緒にするかもー。
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15mmアクスル 自転車のフォークとフロントハブの固定方法の規格のひとつ。 ハブを直径15mmの軸が貫通する。 エンド幅は100mm。 アクスルの固定方法は、フォークによって異なり、形状も異なるため、それぞれのフォークに付属する。 シマノとフォックスレーシングショックスによる規格。 関連項目 自転車用語 +... あ行▼ アーガイル アーネット アーレンキー Aaron Gwin Aaron Chase アイウェア ISIS iドライブ Iビーム アウターチューブ 東商会 Adam Craig Adam Hauck 安達靖 アトムラブ Anita Molcik Anneke Beerten アヘッドステム アメリカンバルブ アメリカンBB アルチュラ アルミニップル アレックス アンカー アンサー アンターンダウン Andrew Neethling Andreu Lacondeguy Andrew Shandro アイアンホース アイステクノロジー アイスペック アイドゥン アキコーポレーション アクソ アケボノ アゾニック アップスウィープ アディダス アブバカ アリソン・サイダー アリビオ アルパインスター アルピナ アルマイト アルミニウム アルミニウム合金 アンソン・ウェリントン アン・キャロリーヌ・ショソン E13 イーストン イーヴィル イエティ ITA規格ノーマルサイズ 井手川直樹 Irina Kalentieva インスタントリリース インターテック インチ インディアンエアー インテグラルヘッド インデックスシフト インナーチューブ インフレーター インターナショナルスタンダード インターマックス インダストリーナイン インテンス インテンスタイヤシステム インパルス インフィニ インヴァート ウィーザピープル ウィッパーマン ウィリー ウィンドストッパー ウェーブローター ウェス ウェルゴ Wade Bootes ウェイン・ゴス ウォールライド ウッズバルブ ウルトラツアー ウェイド・シモンズ エアサスペンション エアスプリング エアターン エアロスポーク エクスターナルBB SRサンツアー SDG SPD-R Emmeline Ragot エラストマー Eric Carter エレベーテッドチェーンステイ エンデューロワールドシリーズ/2013年 エンデューロワールドシリーズ エンド金具 エンド幅 エンヴェ エイアンドエフ エクスペド エッジ エリック・ポーター エリート エルスワース オイルダンパー オーキッド オークリー オーストリッチ オーディナリー型 オーバーサイズ オーバーロックナット寸法 オールトラベル オールマウンテン(マルゾッキ) オールマウンテン 小笠原崇裕 オクタリンク オクタンワン オデッセイ オニール 鬼こぎ 小野寺健 折り畳み自転車 オルトリーブ オルベア オレンジ オリンピック か行▼ カーカス カーター・ホランド カート・ヴォレイス カートリッジBB カーリン・ダン Kyle Strait カシマコート カセットスプロケット カップアンドコーンBB カトリナ・ミラー Kamil Tatarkovic 完組ホイール カンチブレーキ カンチブレーキ台座 ガイドプーリー ガセット カイル・エベト カヤバ カルロ・ディエクマン カワシマサイクルサプライ カンパニョーロ ガン・リタ・ダール キックバック Guido Tschugg Kathy Pruitt キャットアイ キャリアダボ キャリパーブレーキ キャリパーブレーキ台座 キャットウォーク Cameron Zink Cameron McCaul キャリア キャンピング Qバイクス 逆ねじ キアラ・ビサロ キャットライク キャノンデール キャノンデール・ザカット(2006) ギャレス・デイヤー グッドリッジ クラウン クラック クランカー クランク クランク軸 クリート Chris Akrigg Chris Kovarik Christoph Sauser クリフハンガー クリンチャータイヤ Claire Buchar Xアップ クロスカントリーオリンピック クロスカントリーバイク クロスカントリーマラソン Xバート クロスバイク クロムモリブデン鋼 グーフィースタンス グラインド グラブ グリップ Greg Minnaar クライン クラインプレシジョンBB クラブモデル クランクフリップ クリスキング クリス・ハットン クリフジャンプ クロスカントリー クロスマックス グラビティー グリス グリップシフト グレッグ・ワッツ 軽車両 ケーンクリーク 結晶粒度 Kelly McGarry ケンダ 原動機付自転車 ゲイリーフィッシャー Goran Jurica コア コイルサスペンション コースターブレーキ コーダ コーブ コーワ 国際自転車競技連合 コックス コナ・クランプ(2006) コラテック コルナゴ コンプレッションホイール コンポーネント ゴースト ゴールドラベル コナ コルサ コルドバ コロンバス コンチネンタル コントロールテック さ行▼ サーカス サーボウェーブ サーリー サイドウォール サイドバッグ サイロ サスペンションシートポスト サスペンションフォーク サスペンションポンプ サドルレール サドル サドルバッグ サピム Sabrina Jonnier Sam Hill Sam Pilgrim Sam Blenkinsop サルサ サンドマン サスペンションユニット サブ4ペダル サムシフター サリ・ヨーゲンセン サンタクルズ サンタクルズ・シンジケート(2012) サンツアー サンライン サンリングル Geof Gulevich Julien Absalon SID ジー ジー/M640系 Gee Atherton シーオッタークラシック シートアングル シートクランプ シートステイ シートチューブ シートチューブ長 シートポスト シートポストキャリア Geoff Kabush Jeremy Horgan-Kobelski 661 ジップ 自転車/交通に関する法規 自転車ツーリング 自転車の歴史 自転車道(道路交通法) シフトレバー シマノ シャーマン Justin Leov 車道 シャドウディレイラー 車両 ジャイアントジャパン Justin Havukainen Jared Graves シュモルケ 小径車 小児用の車 ショームス・マクグラス Sean Watson Jill Kintner シングルクラウン シングルトラック シンテイス ジープロード ジオメトリー 時効硬化 JIS規格ノーマルサイズ JIS規格BB 自転車 ジャックナイフ ジャックナイフターン ジャンプバイク ジュディー Julien Camellini ジロ シクロクロス シクロクロスバイク シディ シバー シフター シマノ/ディスクブレーキ シマノ/マウンテンバイクコンポーネント シュウィン シュワルベ ショーワ シンクロス シングルスピード 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チェーンステイ チェーンデバイス チェーンホイール チェーンリング チタン チャージ チューブ チューブラータイヤ チューブレス チューブレスリム チューブス 調質 チキンウィング チタン合金 チューブレスタイヤ チューン ツーピースクランク ツーウェイリリース ツーリング ツーリングバイク ツバグラ ディズナ ティンカー・ウォーレス テーパーヘッド テーブルトップ テールライト デオーレ デオーレLX デオーレLX/M570系 デオーレLX/M580系 デオーレLX/T660系 デオーレXT デオーレXT/M750系 デオーレXT/M760系 デオーレXT/M770系 デオーレXT/M780系 デオーレ/M510系 デオーレ/M530系 デオーレ/M590系 デオーレ/M610系 デュアル テレスコピックサスペンション テンションプーリー テンションホイール DMR DT ディープリム ディスクハブ ディスクブレーキ ディレイラー デモンターブル デュアルコントロールレバー ティアグラ ティモ・プリッツェル テイルウィップ ディザスター ディスオーダー6 ディスクブレーキ台座 デイティー デイブ・ワトソン デュアルスラローム デュラエース デンジャーボーイ Dominik Raab 29er 東京サンエス 道路構造令 トーテム Tomas Slavik トーマス・ヴァンダーハム トーマス・フリシュクネヒト DOT Todd Wells トップチューブバッグ トップノーマル トライアスロンバイク トライアルバイク トランジション 888 トリプルクランク トルクスレンチ Tracey Hannah Tracy Moseley トレイルライド トレッド トレッキングバイク Troy Brosnan ドロップハンドル 泥除けダボ トップチューブ トピーク トボガン トマック トムソン トム・リッチー トライアル トライスポーツ トラックドライバー トラックバイク トラビス トラベル トランスファー トリガーシフター トルクス トルヴァティヴ トレイル トレック トレックワールドレーシング(2010) トレックワールドレーシング(2012) トロイリーデザインズ トロンド・ハンセン ドメイン ドラゴン ドロップオフ な行▼ ナイキ ナックナック ナッシング ニールス・ウィンドフェルト Nick Beer ニップル ニップル回し 日本マウンテンバイク協会 ニクソン ニコライ ニコラ・ヴィヨス ニナ・ゲール ヌークプルーフ Nathan Rennie ねじ 熱処理 ノースウェーブ ノースショア ノーハンド ノーフット ノーフットキャンキャン ノキアン ノルコ は行▼ パークツール バースト バースピン ハードテイル ハーフキャブ バームスライダー パールイズミ パイク 廃道 ハイドロフォーミング パイロット 発光ダイオード パナソニック パナレーサー バニーホップ180 バニーホップテイルウィップ バニーホップ360 ハブブレーキ パラレルプッシュリンク パレ那須 バレルロール パンク ハンドルバー バーテープ バッシュガード バテッドスポーク バネ下重量 ヴァネッサ・クイン ハイパードライブ ハドレー ハブ ハブスパナ ハブダイナモ ハロー ハンドプラント バックサイド バックスウィープ バックフリップ バテッド バニーホップ バニーホップロックウォーク バンズ ピーク ヒールクリッカー ピボタル ビーチクルーザー ビード BB下がり BBハイト ビンディングペダル ヒルクライム ビアンキ ファティー Fabien Barel ファットバイク Fionn Griffiths フィジーク Vブレーキ Filip Polc プーリー プーリーケージ フォーク 4X(マルゾッキ) フォークロスバイク フォーミュラ フォーアーム フォークロス 4Xプロツアー ふじてんリゾート 普通自転車 フックドエッジ フットプラント Brian Lopes ブラスニップル フラットバー フラットペダル ブラックスパイア プラペダル フリーコースターハブ フリーハブ フリーホイール フリーライドバイク フルボトム フレア ブレーキローター フレーム プレスフィットBB86 プレスフィットBB92 プレスフィット30 振れ取り 振れ取り台 Brendan Fairclough フレンチバルブ プロ フロート プロテック プロファイルレーシング Floriane Pugin Florian Vogel プロロゴ フロントキャリア フロントセンター フロントディレイラー フロントバッグ Bryn Atkinson ブレーキ ブレーキシュー ブレーキ台座 ブレーキパッド ブレーキホース ブレーキレバー ブレード ファイブテン ファン ファンファンシー フェイキー フェイキーマニュアル フェルト フォックスレーシングショックス フォーバーリンケージ フファニュ フリーライド フルサスペンション フルダイナミクス フレドリック・ケシアコフ フロントスプロケット フロントハブ フロントフリップ ブラック ブリコ ブルックリンマシンワークス ブレーキフルード ブロックタイヤ ペース 北京オリンピック ペグスパナ ペダル ペダルレンチ ヘッドショック ヘッドライト ヘッドアングル ヘッドチューブ ヘッドパーツ Benny Phillips ヘルメット Helen Gaskell ヘイズ ベル ベンダー ベンド ベン・ボイコ ホイール ホーザン ホープ Paul Basagoitia ホーン ポゴ ポゴ180 Jose Antonio Hermida 歩道 ポリプロピレン ボトルケージ ボトルケージ台座 ボビング ホシ ホッピング ホローグライド ホローテック ホローテックⅡ ボクサー ボクサーマウント ボトムブラケット ボトムブラケットシェル ボムシェル ボントレガー ま行▼ Marc Beaumont マーズ Martin Soderstrom マーベリック マーリン Mike Hopkins マウンテンバイク マクスル マグラ台座 マスターシリンダー Matti Lehikoinen マニュアル Manuel Fumic マヴィック Mary McConneloug マルチリリース マウンテンバイクチーム一覧 マウンテンバイク競技 マウンテンバイク選手一覧 マキシス マキシスMSC(2006) マグラ マッドタイヤ マニトウ マムアンドポップス マリン マリー・ヘレナ・プレモン マルクス・クラウスマン マルコウフ・ベルシトウド マルゾッキ マングース Mickael Deldycke Mickael Pascal Michal Marosi ミショー型 ミッドBB ミノウラ ミシュラン ミズタニ自転車 ムーツ メカニカルディスクブレーキ Melissa Buhl メット メリダ モノリンク モンスタークロス モアウッド モトクロスインターナショナル モラティ モンスターエナジー・スペシャライズド(2012) 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1996年世界選手権大会 2005年ワールドカップ ダウンヒル 女子 2005年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2005年ワールドカップ フォークロス 男子 2005年世界選手権大会 2006年NMBS クロスカントリー 2006年NMBS ダウンヒル 2006年アディダススロープスタイル 2006年クランクワークス 2006年ザ・ギャザリング 2006年ブラウン26トリックス 2006年リスボンダウンタウン 2006年レッドブルディストリクトライド 2006年ワールドカップ クロスカントリー 女子 2006年ワールドカップ クロスカントリー 男子 2006年ワールドカップ ダウンヒル 女子 2006年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2006年ワールドカップ フォークロス 女子 2007年世界選手権大会 2008年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2009年ワールドカップ ダウンヒル 男子 2011年レッドブルホーリーライド 2012年ワールドカップ ダウンヒル 男子 20mmアクスル 20インチ 24インチ 26インチ 27.5インチ 29+ 29er 29インチ 360 3Al-2.5Vチタン 4Xプロツアー 4X(マルゾッキ) 6000番系アルミニウム合金 650A 650B 650C 661 6Al-4Vチタン 700C 720 888 9速 アルファベット▼ Aaron Chase Aaron Gwin Adam Craig Adam Hauck Andreu Lacondeguy Andrew Neethling Andrew Shandro Anita Molcik Anneke Beerten ATA ATi AXライトネス BB30 BB386EVO BB90 BB95 BBハイト BBライト BB下がり Ben Travis Benny Phillips BL-M950 BR-M739 BR-M750 Brendan Fairclough Bryn Atkinson Cameron McCaul Cameron Zink Celine Gros CFRP Chris Akrigg Chris Kovarik Christoph Sauser Claire Buchar CS-M770 CS-M771-10 Dan Atherton Danny Hart DCシューズ dkg DMR DNF DNS Dominik Raab DOT DT E13 EBC Emmeline Ragot Eric Carter ET ETA ETRTO Fabien Barel FC-M601-2 Ferdi Fasel FH-M950 Filip Polc Fionn Griffiths Florian Vogel Floriane Pugin FSA Gee Atherton Geoff Kabush Goran Jurica Greg Minnaar GT GTファクトリーレーシング(2012) Guido Tschugg Helen Gaskell HG HGチェーン HS33 IG IRC Irina Kalentieva ISCG ISIS ITA規格ノーマルサイズ Iビーム James Patterson Jana Horakova Jared Graves JD Swanguen Jeremy Horgan-Kobelski Jill Kintner JIS規格BB JIS規格ノーマルサイズ Johannes Fischbach Joost Wichman Jose Antonio Hermida Julien Absalon Julien Muller Jurg Meijer Justin Havukainen Jシリーズ K2 Kamil Tatarkovic Kathy Pruitt Kelly McGarry KHS Kyle Strait Laurence Leboucher LED Liam Killeen Manuel Fumic Marc Beaumont Martin Soderstrom Mary McConneloug Matti Lehikoinen MBUKサンタクルズ(2006) Melissa Buhl Michal Marosi Mickael Deldycke Mickael Pascal Mike Hopkins MRP MSC MSイーヴィルレーシング(2011) Nathan Rennie Nick Beer OCLV ODI OGK OLD PCD Qファクター R7 Rachel Atherton Rafael Alvarez De Lara Lucas RBデザイン RD-M772SGS Roel Paulissen Roger Rinderknecht Romain Saladini Ryder Kasprick Sabrina Jonnier Sam Blenkinsop Sam Hill Sam Pilgrim SDG Sean Watson SID SIS SL-M800 SLR SLX SLX/M660系 SLX/M670系 SPD SPD-SL SPV SRサンツアー ST-M775 Steve Peat STI TAK21 the Todd Wells Tomas Slavik TPC Tracey Hannah Tracy Moseley Troy Brosnan TSG TST5 Tyler McCaul UCI UCIマウンテンバイクワールドカップ UCIマウンテンバイクワールドカップ/2013年/ダウンヒル男子 URT UST Uターン Uブレーキ VPP Vブレーキ Wade Bootes WTB X.O XC(マルゾッキ) XTR XTR/M950系 XTR/M960系 XTR/M970系 XTR/M980系 Xアップ Xバート Xフュージョン Yannick Granieri YTインダストリーズ Z1 Z2 ZR9000 マクスル タグ ハブ フォーク 数字 自転車用語
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時22分57秒 代数的整数論 006 (601-700) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/601-700 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/601-700 601 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 24 24 g 602 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 26 15 h 603 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 26 47 i 604 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 27 22 j 605 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 27 53 k 606 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 28 23 l 607 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 28 53 m 608 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 29 32 n 609 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 30 51 o 610 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 31 22 p 611 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 31 53 q 612 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 33 17 r 613 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 33 52 s 614 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 34 23 t 615 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 34 55 u 616 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 35 29 v 617 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 36 00 w 618 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 37 13 x 619 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 37 46 y 620 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 03 38 20 z 621 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 07 11 51 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおはよう!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 622 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 08 17 54 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-加群とする。 E が左 A-位相加群( 372)であるためには以下の4条件が成り立つこと 必要十分である。 1) E は加法に関して位相群である。 2) 任意の x ∈ E に対して写像 λ → λx は λ = 0 で連続である。 3) 任意の λ ∈ A に対して写像 x → λx は x = 0 で連続である。 4) A×E から E への写像 (λ, x) → λx は (0, 0) で連続である。 証明 上記の条件が必要なことは明らかである。 上記の条件が成り立つとする。 A×E から E への写像 (λ, x) → λx が連続であることを示せばよい。 α と c をそれぞれ A と E の任意の元とする。 2), 3), 4) から A と E のそれぞれの 0 の近傍 T と W が存在し、 Tc ⊂ V, αW ⊂ V, TW ⊂ V となる。 λ - α ∈ T, x - c ∈ W なら λx - αc = (λ - α)(x - c) + (λ - α)c + α(x - c) ∈ TW + Tc + αW ⊂ V + V + V 証明終 623 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 08 36 56 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-加群とする。 E の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が 0 の近傍全体と一致するような E の位相が 唯一つ存在し、その位相により E は A-位相加群( 372)となる。 1) Φ は E のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ 4) 任意の x ∈ E と任意の V ∈ Φ に対して A における 0 の近傍 S が存在して Sx ⊂ V 5) 任意の λ ∈ A と任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり λW ⊂ V 6) 任意の V ∈ Φ に対して、U ∈ Φ と A における 0 の近傍 T が 存在して TU ⊂ V 証明 590 と 622 より明らかである。 624 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 08 47 35 訂正 589 2) より x ∈ W なら e = xx^(-1) ∈ V である。 2) より V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW ⊂ V 3) より W^(-1) ∈ Φ だから U = W ∩ W^(-1) ∈ Φ U ⊂ W だから UU ⊂ WW ⊂ V U = U^(-1) だから UU^(-1) ⊂ V よって x ∈ U なら e = xx^(-1) ∈ V である。 625 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 08 52 26 588 2) と 3) は 1) を仮定すると次の条件と同値である。 V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW^(-1) ⊂ V 証明は読者にまかす。 626 :132人目の素数さん:2007/08/19(日) 09 05 47 ┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓ ┃----------------------------------┃ ┃麻呂用しおり | 三シ ヾミ 彡シ ヾ三 | ピキーン!! ┃ ┃ | 三| -丶、.,_ノ i ´(_,,/`_,. i三 | ┃ ┃_________ト、ニ| <でiンヽ ; i"∠でiン |三|._∧,、_________○┃ ┃ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ,.iヽ!i ヾ`= ‐ / 、 `ー´ i|シ,イ ̄ ` ` ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ┃ ┃ i,ヽリi , 、 i|f ノ Kummerーーー-! ┃ ┃----------------------------------┃ ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 627 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 09 38 47 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 任意の x ∈ E に対して写像 λ → λx は λ = 0 で連続であるから 任意の V ∈ Φ に対して A における 0 の近傍 S が存在して Sx ⊂ V となる。 即ちある実数 a > 0 があり |λ| ≦ a なら λx ∈ V となる よって |μ| ≧ 1/a なら x ∈ μV となる。 628 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 09 47 40 定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E の部分集合 A, B に対して、ある実数 a > 0 があり |λ| ≧ a なら B ⊂ λA となるとき A は B を吸収すると言う。 A が E の任意の点を吸収するとき、A は吸収的と言う。 629 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 09 58 16 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E における 0 の任意の近傍は吸収的( 628)である。 証明 627 より明らかである。 630 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 10 02 42 定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 M を E の部分集合とする。 |λ| ≦ 1 なら λM ⊂ M となるとき M を平衡的と言う。 631 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 10 34 05 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 M を E の部分集合で 0 ∈ M とする。 N = ∩μM とおく。ここで μ は |μ| ≧ 1 となる全ての μ ∈ K を 動く。 N は M に含まれる最大の平衡的集合である。 証明 x ∈ N とする。 K の元 λ ≠ 0 で |λ| ≦ 1 となるものをとる。 |1/λ| ≧ 1 だから |μ| ≧ 1 なら |μ/λ| ≧ 1 である。 よって x ∈ (μ/λ)M である。 よって λx ∈ μM である。 よって λx ∈ N である。 0 ∈ N だから N は平衡的である。 L を M に含まれる平衡的集合とする。 x ∈ L とする。 K の元 μ で |μ| ≧ 1 となるものをとる。 |1/μ| ≦ 1 だから (1/μ)x ∈ L ⊂ M よって x ∈ μM である。 よって x ∈ N である。 即ち L ⊂ N である。 従って N は M に含まれる最大の平衡的集合である。 証明終 632 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 10 41 27 定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 M を E の部分集合とする。 M に含まれる最大の平衡的( 630)集合を M の平衡核と言う。 633 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 10 42 14 M の平衡核( 632)が空でないなら 0 ∈ M である。 逆に 0 ∈ M なら 631 より M の平衡核 N は存在し、 0 ∈ N だから空でない。 634 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 11 15 11 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E における 0 の任意の近傍の平衡核は 0 の近傍である。 証明 V を E における 0 の任意の近傍とする。 K×E から E への写像 (λ, x) → λx は連続であるから、 実数 a > 0 と 0 の近傍 W が存在し、|λ| ≦ a なら λW ⊂ V となる。 K の絶対値は自明でないから 0 < |μ| ≦ a となる μ ∈ K がある。 μ ≠ 0 だから μW は 0 の近傍である。 |λ| ≦ 1 なら |λμ| ≦ a だから λ(μW) ⊂ V である。 よって μW は V の平衡核に含まれる。 証明終 635 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 11 35 53 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E の 0 の近傍全体を Φ とすると、Φ は以下の条件を満たす。 1) Φ は E のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ 4) 任意の V ∈ Φ は吸収的( 628)である。 5) 任意の V ∈ Φ に対して平衡的( 630)な W ∈ Φ があり、 W ⊂ V となる。 証明 1), 2), 3) は位相ベクトル空間の定義( 583)から明らかである。 4) は 629 で証明されている。 5) は 634 で証明されている。 証明終 636 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 12 21 50 命題 K を可換とは限らない体とし、| | を K の自明でない絶対値とする。 E を K 上の左加群とする。 E の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が 0 の近傍全体と一致するような E の位相が 唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相ベクトル空間( 583) となる。 1) Φ は E のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ 4) 任意の V ∈ Φ は吸収的( 628)である。 5) 任意の V ∈ Φ に対して平衡的( 630)な W ∈ Φ があり、 W ⊂ V となる。 証明 623 より、以下の a), b), c), d) を示せばよい。 a) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ b) 任意の x ∈ E と任意の V ∈ Φ に対して a > 0 が存在して |λ| ≦ a なら λx ∈ V c) 任意の λ ∈ K と任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり λW ⊂ V d) 任意の V ∈ Φ に対して、W ∈ Φ と a > 0 が存在して |λ| ≦ a なら λW ⊂ V (続く) 637 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 12 22 21 a) は 3) より明らかである。 b) の証明: 4) より、任意の V ∈ Φ は吸収的だから任意の x ∈ E に対して b > 0 が存在して |μ| ≧ b なら x ∈ μV よって a = 1/b とおけば 0 < |λ| ≦ a なら λx ∈ V λ = 0 のときも λx ∈ V である。 c) の証明: 3) より、任意の K の元 λ ≠ 0 と任意の V ∈ Φ に対して (1/λ)V ∈ Φ である。 W = (1/λ)V とおけば W ∈ Φ であり、λW ⊂ V である。 λ = 0 のときは W = V とすればよい。 d) の証明: 5) より、任意の V ∈ Φ に対して平衡的な W ∈ Φ があり、 W ⊂ V となる。 |λ| ≦ 1 なら λW ⊂ W ⊂ V 証明終 638 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 12 25 26 628 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E は K-加群でありさえすればよい。 639 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 12 26 10 630 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E は K-加群でありさえすればよい。 640 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 12 42 53 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 E の閉集合の平衡核( 632)は閉集合である。 証明 M を E の閉集合とし、その平衡核を N とする。 0 ∈ M でないなら N は空集合だから閉集合でもある。 よって 0 ∈ M と仮定する。 631 より N = ∩μM である。 ここで μ は |μ| ≧ 1 となる全ての μ ∈ K を動く。 μM は閉集合だから N は閉集合である。 証明終 641 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/19(日) 13 08 51 命題 K を実数体、複素数体または4元数体( 507)とし、 E を K 上の左加群とする。 E の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が 0 の近傍全体と一致するような E の位相が 唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相ベクトル空間( 583)となる。 1) Φ は E のフィルター( 75)である。 2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V 3) 任意の V ∈ Φ は吸収的( 628)である。 4) 任意の V ∈ Φ に対して平衡的( 630)な W ∈ Φ があり、 W ⊂ V となる。 証明 636 の 3) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ を示せばよい。 2) より 2W ⊂ V である。 帰納法により 任意の整数 n > 0 に対して (2^n)W_n ⊂ V となる W_n ∈ Φ がある。 任意の K の元 λ ≠ 0 に対して |1/λ| ≦ 2^n となる n がある。 |(1/2^n)(1/λ)| ≦ 1 である。 4) より、平衡的な W ∈ Φ があり、W ⊂ W_n となる。 ((1/2^n)(1/λ))W ⊂ W_n だから (1/λ)W ⊂ (2^n)W_n ⊂ V よって W ⊂ λV よって λV ∈ Φ 証明終 642 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 00 58 46 定義 A を位相環( 189)とし、E を左 A-位相加群( 372)とする。 M_1, . . . , M_n を E の A-部分加群で、E はこれ等の直和とする。 積群 ΠM_i から E への標準写像 (x_i) → Σx_i が位相同型のとき E は (M_i) の位相直和であると言う。 643 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 01 32 59 命題 X を位相空間、E を位相アーベル群とする。 f と g を X から E への連続写像とする。 X から E への写像 h を h(x) = f(x) + g(x) で定義すると、 h は連続である。 証明 ψ X → E×E を ψ(x) = (f(x), g(x)) で定義する。 μ E×E → E を μ(x, y) = x + y で定義する。 h = μψ であり、ψ と μ は連続であるから h も連続である。 証明終 644 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 01 43 39 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-位相加群( 372)とする。 M_1, . . . , M_n を E の A-部分加群で、E はこれ等の直和とする。 p_i E → M_i を射影とする。 E が (M_i) の位相直和( 642)であるためには、各 p_i が連続である ことが必要十分である。 証明 必要なことは明らかである。 ΠE_i から E への写像 (x_i) → Σx_i を f とする。 E_i から E への標準単射を k_i とする。 ΠE_i から E_i への射影を q_i とする。 ΠE_i の元 x = (x_i) に対して f(x) = Σk_iq_i(x) である。 k_i と q_i は連続だから k_iq_i も連続である。 従って 643 より f も連続である。 E から ΠE_i への写像 x → (p_i(x)) を g とする。 各 p_i が連続なら g も連続である。 f と g は互いに逆写像だから f は位相同型である。 証明終 645 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 01 55 41 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-位相加群( 372)とする。 E は A-部分加群 M と N の直和とする。 p E → M q E → N をそれぞれ射影とする。 p または q が連続なら E は M と N の位相直和( 642)である。 証明 p が連続であるとする。 i M → E j N → E を標準単射とする。 1 = ip + jq より、jq = 1 - ip である。 643 と同様にして jq も連続である。 従って q も連続である。 よって 644 より E は M と N の位相直和である。 証明終 646 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 02 20 05 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-位相加群( 372)とする。 E は A-部分加群 M と N の直和とする。 E/M と N は A-加群として同型である。 f E/M → N を標準同型とする。 E が M と N の位相直和( 642)であるためには、 f が位相同型であることが必要十分である。 証明 j N → E を標準単射とする。 φ E → E/M を標準写像とする。 p = fφ とおくと、 p E → N は射影である。 g = φj とおく。 g N → E/M g は連続であり、f と g は互いに逆写像である。 E が M と N の位相直和なら射影 p は連続である。 従って、f は連続である。 f の逆写像 g は連続だから f は位相同型である。 逆に f が位相同型なら p = fφ は連続である。 645 より E は M と N の位相直和である。 証明 647 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 02 27 33 命題 A を位相環( 189)とし、E を左 A-位相加群( 372)とする。 M_1, . . . , M_n を E の A-部分加群で、 E はこれ等の位相直和とする。 E が分離的なら各 M_i は E の閉部分加群である。 証明 p_i E → M_i を射影とする。 M_i = { x ∈ E ; p_i(x) = x } である。 264 より M_i は閉集合である。 証明終 648 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 02 53 48 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の1次元の分離位相ベクトル空間( 583)とする。 任意の E の元 a ≠ 0 に対して 写像 f K → E を f(ξ) = ξa で定義する。 f は位相同型である。 証明 f は連続である。 ε > 0 を任意の正の実数とする。 | | は自明でない絶対値だから 0 < |λ| < ε となる λ ∈ K が 存在する。 V を 0 の近傍で平衡的( 630)かつ λa を含まないとする。 E は分離的だから、 635 よりこのような V は存在する。 ξa ∈ V とする。 |λ| ≦ |ξ| なら |λ(1/ξ)| ≦ 1 となり、λ(1/ξ)ξa = λa ∈ V これは仮定に反する。 従って |ξ| < |λ| < ε である。 これは f の逆写像が連続であることを意味する。 証明終 649 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 03 01 40 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおはよう!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 650 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 03 10 53 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上の位相ベクトル空間( 583)とする。 H を E の閉部分空間、L を E の1次元部分空間で E は H と L の直和とする。 このとき E は H と L の位相直和( 642)である。 証明 H ∩ L = {0} で H は閉だから L において {0} は閉集合である。 よって L は分離的である。 g L → E/H を標準写像とする。 g は連続線形写像である。 648 より g は位相同型である。 646 より E は H と L の位相直和( 642)である。 証明終 651 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 03 34 23 定理 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による位相で完備とする。 E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間( 583)とする。 e_1, . . . , e_n をその任意の基底とする。 写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への位相同型である。 証明 n に関する帰納法による。 n = 1 のときは 648 より成り立つ。 H を e_1, . . . , e_(n-1) で生成される部分空間とする。 帰納法の仮定より、 写像 (ξ_1, . . ., ξ_n) → ξ_1e_1 + . . . + ξ_(n-1)e_(n-1) は K^(n-1) から H への位相同型である。 255 より H は完備である。 よって 253 より H は E の閉部分空間である。 L = Ke_n とする。 E は H と L の直和である。 650 より E は H と L の位相直和( 642)である。 よって写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への 位相同型である。 証明終 652 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 03 35 45 訂正 651 K はこの絶対値による位相で完備とする。 K はこの絶対値による一様位相で完備とする。 653 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 03 46 53 651 は普通、E を完備付値体上の有限次ノルム空間として 証明している。 しかし、 651 のように E をノルム空間とは限らないほうが その証明のメカニズムがより良く分かると思う。 654 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 14 10 a 655 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 14 43 b 656 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 15 21 c 657 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 15 52 d 658 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 16 32 e 659 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 17 03 f 660 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 17 34 g 661 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 19 12 h 662 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 19 48 i 663 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 20 19 j 664 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 20 50 k 665 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 21 21 l 666 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 21 53 m 667 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 22 24 n 668 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 23 14 o 669 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 23 45 p 670 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 24 16 q 671 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 24 46 r 672 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 25 17 s 673 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 25 47 t 674 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 26 18 u 675 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 27 03 v 676 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 27 34 w 677 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 28 05 x 678 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 28 36 y 679 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 29 07 z 680 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 10 32 06 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による一様位相で完備とする。 E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間( 583)とする。 E の任意の有限次部分ベクトル空間は E の閉集合である。 証明 E の有限次部分ベクトル空間 F は 651 より K^n に同型である。 仮定より K は完備だから 255 より K^n は完備である。 従って F は完備である。 253 より F は E の閉集合である。 証明終 681 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 34 07 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおはよう!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 682 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 10 34 58 680 は以下のように訂正する。 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による一様位相で完備とする。 E を K 上の分離位相ベクトル空間( 583)とする。 E の任意の有限次部分ベクトル空間は E の閉集合である。 証明 E の有限次部分ベクトル空間 F は 651 より K^n に同型である。 仮定より K は完備だから 255 より K^n は完備である。 従って F は完備である。 253 より F は E の閉集合である。 証明終 683 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 10 46 28 〇∧〃 でもそんなのking氏ねぇ! / そんなのking氏ねぇ! < \ そんなのking氏ねぇ! 684 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 10 49 47 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による位相で完備とする。 E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間( 583)とする。 F を K 上の位相ベクトル空間とする。 E から F への任意の線形写像は連続である。 証明 f E → F を線形写像とする。 E の基底を e_1, . . . , e_n とする。 651 より 写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への位相同型である。 一方、各 ξ → ξf(e_i) は K から F への連続写像である。 よって 643 より、写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)f(e_i) は K^n から F への連続写像である。 f(Σ(ξ_i)(e_i)) = Σ(ξ_i)f(e_i) であるから f は連続である。 証明終 685 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 11 02 01 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による位相でコンパクトではない。 証明 絶対値 | | は自明でないから |λ| > 1 となる λ ∈ K がある。 従って n → ∞ のとき |λ|^n → ∞ である。 K がコンパクトなら | | は有界だから、これは矛盾である。 証明終 686 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 11 21 30 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K 上のコンパクト位相ベクトル空間は一点 {0} のみからなる。 証明 E を K 上のコンパクト位相ベクトル空間とする。 K^ を K の完備化とする。 E は完備だから 376 より K^ 上の位相ベクトル空間となる。 E ≠ 0 なら E は1次元の K^-部分空間 F を含む。 648 より F は K^ と位相同型だから完備である。 253 より F は E の閉集合である。 E はコンパクトだから F もコンパクトである。 従って K^ もコンパクトになる。 これは 685 と矛盾する。 証明終 687 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 12 40 16 定理 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による一様位相で完備とする。 K 上の局所コンパクト( 128)な位相ベクトル空間は有限次元である。 証明 E を K 上の局所コンパクト位相ベクトル空間とする。 V を E における 0 のコンパクトな近傍とする。 絶対値 | | は自明でないから、 0 < |λ| < 1 となる λ ∈ K がある。 λV は 0 の近傍であるから V の元 x_1, . . . , x_n があり V ⊂ ∪(x_i + λV) となる。 x_1, . . . , x_n で生成される E の部分空間を M とする。 682 より M は E の閉集合である。 (続く) 688 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 12 41 08 F = E/M とおく。 M は閉だから F は分離的である。 ψ E → F を標準写像とする。 W = ψ(V) とおく。 ψ は開写像だから W は F における 0 の近傍である。 V ⊂ ∪(x_i + λV) だから W ⊂ λW である。 n に関する帰納法により任意の整数 n > 0 に対して W ⊂ (λ^n)W となる。 641 より W は吸収的である。 即ち、任意の x ∈ F に対して、ある実数 α > 0 があり |μ| ≧ α なら x ∈ μW となる。 |1/λ| > 1 だから |1/λ^n| > α となる n がある。 よって x ∈ (1/λ^n)W ⊂ W である。 x は F の任意の元だったから F = W である。 W は V の連続写像 ψ による像だから準コンパクトである。 F は分離的だから F はコンパクトである。 686 より F = 0 である。 即ち E = M である。 証明終 689 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 14 07 04 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 K はこの絶対値による位相で完備とする。 E を K 上の n 次元のベクトル空間とする。 E 上の任意の二つのノルム( 561)は同値( 570)である。 証明 651 より明らかである。 690 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 14 20 55 定義 K を実数体または複素数体とする。 E と F を K 上のノルム空間( 561)とし、 f E → F を K-線形写像とする。 f のノルム |f| を |f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 } で定義する。 691 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 14 44 51 命題 K を実数体または複素数体とする。 E と F を K 上のノルム空間( 561)とし、 f E → F を K-線形写像とする。 f のノルム( 690) |f| は以下のようにも定義できる |f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| = 1 } 証明 α = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| = 1 } とおく。 α ≦ |f| は明らかである。 従って α = +∞ のとき |f| = +∞ である。 よって α < +∞ と仮定する。 |f| ≦ α を示せばよい。 y ∈ E, 0 < |y| ≦ 1 とする。 β = |y| とおく。 x = (1/β)y とおく。 |x| = 1 である。 |f(x)| = |f((1/β)y)| = (1/β)|f(y)| ≦ α よって |f(y)| ≦ αβ ≦ α |f(y)| ≦ α は x = 0 のときも成り立つ。 よって |f| ≦ α である。 証明終 692 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 15 30 21 命題 K を実数体または複素数体とする。 E と F を K 上のノルム空間( 561)とし、 f E → F を K-線形写像とする。 f のノルム( 690) |f| が有限のとき、 |f| = min{ α ∈ R ; 任意の x ∈ X で |f(x)| ≦ α|x| } 証明 x ∈ X で x ≠ 0 なら β = 1/|x| とおくと、 |βx| = 1 よって |f(βx)| = β|f(x)| ≦ |f| よって |f(x)| ≦ (1/β)|f| = |f||x| よって |f(x)| ≦ |f||x| この不等式は x = 0 のときも成り立つ。 逆に、任意の x ∈ X で |f(x)| ≦ α|x| とする。 |x| = 1 なら |f(x)| ≦ α である。 よって 691 より |f| ≦ α 証明終 693 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 15 42 59 命題 K を実数体または複素数体とする。 E と F を K 上のノルム空間( 561)とし、 f E → F を K-線形写像とする。 f が連続であるためには、|f| < +∞ が必要十分である。 証明 |f| < +∞ とする。 |f| = 0 なら 692 より f = 0 である。 よって f は連続である。 |f| ≠ 0 なら 692 より、任意の x ∈ X で |f(x)| ≦ |f||x| よって 581 より f は連続である。 逆に f が連続なら 581 より、a > 0 があり、 任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ a|x| となる。 |x| = 1 なら |f(x)| ≦ a だから 691 より |f| ≦ a < +∞ である。 証明終 694 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 19 12 24 定義 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 A を単位元をもつ結合的な K-代数とする。 A がノルム空間( 561)で以下の条件を満たすとき A を K 上のノルム環と言う。 1) 任意の A の2元 x, y に対して |xy| ≦ |x||y| 2) A の単位元 e に対して |e| = 1 695 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 19 26 35 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 A を K 上のノルム環とする。 A の単位元を e とする。 |e| = 1 だから e ≠ 0 である。 従って λ → λe は K から Ke への体としての同型である。 λ ∈ K のとき |λe| = |λ| だから K と Ke は位相体として 同型である。 よって K と Ke を同一視出来る。 このとき e = 1 と書ける。 696 :132人目の素数さん:2007/08/20(月) 21 27 30 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | おやすみ Kummer !! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 697 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 22 14 22 定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値( 414)とする。 E を K 上のノルム空間とし、 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。 (|x_i|), i ∈ I が実数体 R において総和可能( 147)のとき、 (x_i), i ∈ I は E において絶対総和可能であると言う。 698 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 22 55 00 命題 R+ を非負実数全体の集合とする。 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R+ の元の族とする。 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 J が空集合のときは S(J) = 0 とする。 族 (x_i) は総和可能( 147)であるためには 集合 { S(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界であることが必要十分である。 このとき Σx_i = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } である。 証明 十分なことは 52 で証明されている。 52 は I を高々可算な集合としているが、その仮定がなくても 52 が成り立つことは 52 の証明から明らかである。 52 より、このとき Σx_i = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } である。 必要なこと: 族 (x_i) が総和可能( 147)とし、S をその和とする。 任意の ε> 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して |S - S(J)| < ε となる。 よって S(J) < S + ε である。 任意の H ∈ Φ(I) に対して J = H ∪ J_0 とおくと、 S(H) ≦ S(J), J_0 ⊂ J だから S(H) ≦ S(J) < S + ε である。 よって、集合 { S(J) ; J ∈ Φ(I) } は有界である。 証明終 699 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 23 27 10 次の命題は 55 と殆ど同じだが 55 の改良として書いておく。 700 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/20(月) 23 27 40 命題 R+ を非負実数全体の集合とする。 (x_i), (y_i), i ∈ I を I を添字集合とする R+ の元の二つの族と する。 各 i に対して x_i ≦ y_i とする。 (y_i) が総和可能( 147)なら (x_i) も総和可能で Σx_i ≦ Σy_i である。 x_k < y_k となる k ∈ I があれば Σx_i < Σy_i である。 証明 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。 ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。 同様に J ∈ Φ(I) に対して T(J) = Σy_i とおく。 任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ≦ T(J) である。 698 より T = sup{ T(J) ; J ∈ Φ(I) } < ∞ 任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ≦ T(J) ≦ T である。 よって S = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } ≦ T である。 698 より T = Σy_i, S = Σx_i だから Σx_i ≦ Σy_i である。 x_k < y_k となる k ∈ I があるとする。 Σx_i = x_k + Σ x_i である。 ここで Σ x_i は I = I - {k} に関する和である。 同様に Σy_i = y_k + Σ y_i である。 x_k < y_k, Σ x_i ≦ Σ y_i だから x_k + Σ x_i < y_k + Σ y_i である。 証明終 タグ: コメント
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最終更新日時 2011年03月09日 (水) 20時59分07秒 代数的整数論 006 (271-330) 元スレ: http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/271-330 ログ元: http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/271-330 271 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 10 36 46 命題 X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を写像 Y → Z とする。 h が連続写像 f X → Z に拡張できるためには h が次の条件 (E ) を満たすことが必要十分である。 (E ) X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体のなす フィルタ-基底を Φ としたとき h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。 このとき f は一意に決まる。 証明 212 より Z は正則である。 従って、本命題は 266 より明らかである。 272 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 11 05 53 定理(一様連続写像の延長) X を一様空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を一様連続写像 Y → Z とする。 このとき h は一様連続写像 f X → Z に一意に拡張できる。 証明 X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体 Φ は Y における Cauchy フィルターの基底である。 240 より h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。 従って 271 より h は連続写像 f X → Z に一意に拡張できる。 f が一様連続であることを示せばよい。 V を Z の任意の閉近縁とする。 T を X の近縁で (f×f)(A×A ∩ T) ⊂ V とする。 269 より T は A の近縁 W の X×X における閉包としてよい。 270 より (f×f)(T) ⊂ cls((f×f)(W)) W ⊂ A×A ∩ T だから (f×f)(W) ⊂ V 従って cls((f×f)(W)) ⊂ V 従って (f×f)(T) ⊂ V である。 205 より Z の閉近縁全体は基本近縁系である。 従って f は一様連続である。 証明終 273 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 11 07 39 272 の証明における A は Y の間違いである。 274 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 11 55 24 X を一様空間とする。 257 を参考にして X の極小 Cauchy フィルター全体 Ω に 一様構造を入れることを試みる。 X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235)集合を 共有する極小 Cauchy フィルターの対 (α, β) ∈ Ω×Ω の全体を V~ とする。 V~ の全体を Φ_0 とする。 Ω×Ω の対角線集合を Δ とする。 196 より以下を示せば Φ_0 は Ω の一様構造の基本近縁系である。 1) V~ ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V~ 2) V~, V ~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ V~ ∩ V ~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。 3) V~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ (V~)^(-1) となる W~ ∈ Φ_0 がある。 4) V~ ∈ Φ_0 のとき (W~)^2 ⊂ V~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。 (続く) 275 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 11 56 14 1) の証明。 Ω の任意の元 α は Cauchy フィルターだから X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい( 235)集合を持つ。 従って (α, α) ∈ V~ である。 即ち Δ ⊂ V 2) の証明。 V と V を X の任意の近縁とする。 W ⊂ V ∩ V となる対称近縁 W がある。 明らかに W~ ⊂ V~ ∩ V ~ である。 3) の証明。 (α, β) ∈ V~ なら (β, α) ∈ V~ 従って V~ = (V~)^(-1) 4) の証明。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (α, β) ∈ (W~)^2 とする。 (α, γ) ∈ W~ (γ, β) ∈ W~ となる γ がある。 α, γ の共通元 M で W 程度に小さいものがある。 γ, β の共通元 N で W 程度に小さいものがある。 M と N は γ に属すから M ∩ N は空ではない。 従って M ∪ N は W^2 程度に小さい。 従って V 程度に小さい. M ∪ N は α と β に属すから (α, β) ∈ V~ 従って (W~)^2 ⊂ V~ 276 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 12 28 21 247 の Ω は分離的であることを証明する。 X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ とする。 このとき α = β が言えれば 214 より Ω は分離的である。 γ_0 = {M ∪ N ; M ∈ α, N ∈ β} とおく。 M, M ∈ α, N, N ∈ β のとき (M ∩ M ) ∪ (N ∩ N ) ⊂ (M ∪ N) ∩ (M ∪ N ) である。 従って γ_0 は X のフィルターの基底である。 X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ だから α と β は V 程度に小さい集合 M を共有する。 M ∈ γ_0 だから γ_0 は Cauchy フィルターの基底である。 γ_0 が生成する Cauchy フィルターを γとすると γ ⊂ α γ ⊂ β α と β は極小 Cauchy フィルターだから γ = α γ = β 即ち α = β 証明終 277 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 12 39 15 訂正 276 247 の Ω は分離的であることを証明する。 274 の Ω は分離的であることを証明する。 278 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 12 53 01 X を一様空間とする。 246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。 φ(x) = φ_x により 274 の Ω に対して写像 φ X → Ω を 定義する。 Ω の一様構造の φ による逆像( 224)が X の一様構造であることを 証明する。 g = φ×φ とおく。 X の任意の対称近縁 V に対して g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3) が言えればよい。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V (x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。 従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3) 279 :king氏ね:2007/08/06(月) 13 25 20 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 280 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 13 41 41 X を一様空間とする。 274 の Ω と 278 の写像 φ X → Ω を調べる。 まず X の任意の対称近縁 V に対して α ∈ Ω とその近傍 V~(α) をとり V~(α) ∩ φ(X) を調べる。 φ(x) ∈ V~(α) とは x の近傍で V 程度に小さいものが α に属す ということである。 α は極小 Cauchy フィルターだから V 程度に小さい集合 N の 内部を含む( 245)。 従って V~(α) ∩ φ(X) は空でない。 即ち φ(X) は Ω で密である。 α に属す集合で V 程度に小さいものの内部すべての合併を M とする。 V~(α) ∩ φ(X) = φ(M) である。 M ∈ α だから V~(α) ∩ φ(X) ∈ φ(α) V は X の任意の対称近縁だったから φ(α) は α に収束する。 281 :132人目の素数さん:2007/08/06(月) 14 15 17 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 282 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/06(月) 14 39 46 280 の続き。 ξ を φ(X) における Cauchy フィルターとする。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像だから φ^(-1)(ξ) は X における Cauchy フィルター η の基底である。 α を α ⊂ η となる極小 Cauchy フィルター とする。 φ(α) ⊂ φ(η) である。 280 より φ(α) は収束するから φ(η) も収束する。 φ(φ^(-1)(ξ)) = ξ だから φ^(-1)(ξ) ⊂ η より ξ ⊂ φ(η) 従って ξ は φ(η) の極限点を接触点にもつ。 ξ は Cauchy フィルターだから 248 より ξ は収束する。 280 より φ(X) は Ω で密である。 従って、 263 より Ω は完備である。 283 :132人目の素数さん:2007/08/06(月) 15 07 48 281 の続き。 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 284 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 10 22 22 命題 X を一様空間とする。 Ω を 274 と 275 で定義した一様空間 φ X → Ω を 278 で定義した一様連続写像とする。 Ω と φ は次の性質 (P) を持つ。 (P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f X → Y に対し、一様連続写像 g Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。 証明 まず写像 g_0 φ(X) → Y を次のように定義する。 278 より x ∈ X のとき φ(x) は x の近傍全体のなす 極小 Cauchy フィルターである。 240 より f(φ(x)) は Cauchy フィルターの基底だから Y において極限点を持つ。 Y は分離だから 252 よりこの極限点は一意に決まる。 この極限点を g_0(φ(x)) と定義する。 一方、 f は連続で x は φ(x) に収束するから f(φ(x)) は f(x) に収束する。 よって f(x) = g_0(φ(x)) である。 (続く) 285 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 10 23 10 U を Y の任意の近縁とする。 f X → Y は一様連続だから X の近縁 V で (x, y) ∈ V なら (f(x), f(y)) ∈ U となるもの がある。 V~ を 274 で定義した Ω の近縁とする。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ なら V 程度に小さい集合 M で x と y を 含むものがある。よって (x, y) ∈ V よって (f(x), f(y)) ∈ U 即ち (g_0(φ(x)), g_0(φ(y))) ∈ U よって g_0 は一様連続である。 280 より φ(X) は密である。 従って一様連続写像の延長定理( 272) より g_0 φ(X) → Y は 一様連続写像 g Ω → Y に一意に拡張できる x ∈ X のとき g(φ(x)) = g_0(φ(x)) = f(x) である。 従って f = gφ である。 このような g は等式延長の原理( 265))より一意に決まる。 証明終 286 :132人目の素数さん:2007/08/07(火) 10 41 49 283 の続き。 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 287 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 10 49 52 定理(一様空間の完備化) X を一様空間とする。 分離かつ完備な一様空間 Ω と一様連続写像 φ X → Ω で 次の性質 (P) を持つものが存在する。 (P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f X → Y に対し、一様連続写像 g Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。 Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たせば、一様同型 ψ Ω → Ω_1 が存在して φ_1 = ψφ となる。 証明 Ω と φ の存在が存在して性質 (P) を持つことは既に証明されている。 Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たすとする。 一様連続写像 ψ Ω → Ω_1 で φ_1 = ψφ となるものが一意に 存在する。ψ が一様同型であることを示せばよい。 同様に、一様連続写像 ψ_1 Ω_1 → Ω で φ = ψ_1φ_1 となるもの が一意に存在する。 x ∈ X のとき ψ_1ψ(φ(x)) = ψ_1φ_1(x) = φ(x) だから h = ψ_1ψ とすると h Ω → Ω で hφ = φ である。 Ω の恒等写像 1 Ω → Ω も 1φ = φ を満たすから 性質 (P) より h = 1 である。 同様に ψψ_1 = 1 となる。 従って ψ は一様同型である。 証明終 288 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 10 57 00 定義 287 の Ω を一様空間 X の分離完備化と言い、 φ X → Ω を X から分離完備化への標準写像と言う。 289 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 11 38 27 補題 X を一様空間とする。 x と y を X の点とする。 x の近傍全体と y の近傍全体が一致するためには X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となることが必要十分である。 証明 x の近傍全体と y の近傍全体が一致するとする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) は x の近傍だから 仮定より y の近傍でもある。よって y ∈ V(x) である。 これは (x, y) ∈ V を意味する。 逆に、X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となるとする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (W^2)(x) ⊂ V(x) である。 z ∈ W(y) なら (z, y) ∈ W である。 仮定より (x, y) ∈ W だから (z, x) ∈ W^2 である。 即ち W(y) ⊂ (W^2)(x) である。 従って W(y) ⊂ V(x) である。 これは V(x) が y の近傍であることを意味する。 対称的に V(y) は x の近傍である。 よって x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 証明終 290 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 12 03 25 命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ(X) の任意の近縁は X のある近縁の φ×φ による像になっている。 証明 φ(X) の任意の近縁は W = V ∩ φ(X)×φ(X) の形である。 ここで V は Ω の近縁である。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 従って、h = φ×φ とおけば、 h^(-1)(V) = h^(-1)(W) は X の近縁である。 φ X → φ(X) は全射だから h(h^(-1)(W)) = W 証明終 291 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 12 06 12 命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系に なっている。 証明 280 より φ(X) は Ω で密である。 269 より φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系である。 証明終 292 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 13 04 47 命題 X を分離一様空間とする。 X の分離完備化( 288)を Ω、φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 φ は X から φ(X) への一様同型である。 証明 φ(x) = φ(y) なら x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 従って 289 より X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となる。 214 より x = y である。 従って φ は X から φ(X) への全単射である。 278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 よって φ は X から φ(X) への一様同型である。 証明終 293 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 13 08 22 X が分離一様空間のとき、X の分離完備化( 288)を X の完備化と言う。 このとき X とその標準写像による像は 292 より一様同型であるから、 この両者を同一視するのが普通である。 294 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/07(火) 14 26 49 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 一様空間 X の分離完備化を X^ とし、 φ X → X^ を X から分離完備化への標準写像とする。 Y を分離一様空間として f X → Y を一様連続写像とすると、 一様連続写像 h φ(X) → Y で f = hφ となるものが一意に存在する。 証明 Y^ を Y の完備化として ψ Y → Y^ を標準写像とする。 287 より一様連続写像 g X^ → Y^ で ψf = gφ となるものが ある。 ψf(X) = gφ(X) だから g は g_0 φ(X) → ψ(Y) を引き起こす。 292 より ψ は Y から ψ(Y) への一様同型である。 この逆写像を μ とすると μg_0 φ(X) → Y は一様連続写像である。 h = μg_0 とおくと hφ = μg_0φ 従って ψ(hφ) = ψ(μg_0φ) = gφ 一方、ψf = gφ だったから ψf = ψ(hφ) よって f = hφ h の一意性は明らかである。 証明 295 :132人目の素数さん:2007/08/07(火) 14 37 47 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 証明 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 証明 296 :Kummer ◆nzEQlu8i3E :2007/08/07(火) 19 25 07 X を一様空間とする。 246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。 φ(x) = φ_x により 274 の Ω に対して写像 φ X → Ω を 定義する。 Ω の一様構造の φ による逆像( 224)が X の一様構造であることを 証明する。 g = φ×φ とおく。 X の任意の対称近縁 V に対して g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3) が言えればよい。 (φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V (x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。 従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3) 297 :Kummer ◆AeTRuuI8SA :2007/08/07(火) 19 26 06 命題( 139 の一般化) X を一様空間とする。 x を X の点とする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) の全体 Φ は X の 極小 Cauchy フィルターである。 証明 Φ がフィルターであることは明らかである。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 y ∈ W(W(x)) なら z ∈ W(x) があり (y, z) ∈ W 従って、y ∈ (W^2)(x) ⊂ V(x) 即ち W(W(x)) ⊂ V(x) よって 245 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 証明終 298 :132人目の素数さん:2007/08/07(火) 19 27 10 命題(一様空間に伴う分離一様空間) 証明 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) 証明 299 :132人目の素数さん:2007/08/07(火) 19 33 34 http //up.nm78.com/obj/29789 300 :Kummer ◆pJ9/G9wrbQ :2007/08/07(火) 22 25 44 ゲイの出会い系で知り合った10歳以上年上のオジサンの家へ。 そしたら「これ着て責めて欲しい」と言われて、レンコン掘りというか、 魚河岸の人が着てるような胸まであるゴム長を着させられ、捻りハチマキをさせられた。 向こうは全裸。 まあこんなのもたまにはいいか、と愛撫してたら、オジサンが喘ぎ声の中、喋りだした。 「お、おにいちゃん…お、おかえりなさい…た、大漁だった?ねえ大漁だった??」 …オレは突然の、しかも想定の範囲を超えたセリフにポカーンとしてしまった。 オジサンは素に戻って、「…返事して欲しい」と恥ずかしそうにオレに言った。 プレー再開。 耳とかをなめつつ体中をさわさわと触る 「お、おにいちゃん、大漁だった?」 「ああ、大漁だったよ」 「あぁぁぁあぁすごいいいぃいぃ!、、な、なにが、、ハァハァなにが捕れたの?」 乳首を舌でやさしく舐めながらオレは答えた 「…鯛とか、、、ヒラメがいっぱい捕れたよ」 セリフを聞き、オジサンはびくんびくんと身体をひきつらせた 「はっ!はぁぁぁあんっ!イ、イサキは?イサキは、と、取れたの??」 チンコをしごく 「ああ。でかいイサキが取れたよ。今年一番の大漁だ。」 「大漁っ!!イサキぃぃ!!おにいちゃんかっこいいいいぃぃぃい ぃくううううう!」 実話です。。きっと漁師の人との幼い頃の体験というか、淡い恋心とかが あったんだろうなあ、といろんなことを考えさせられた一夜でした。 301 :Kummer ◆bIhAlQTTPM :2007/08/08(水) 03 05 22 最近俺のエロ本がいつの間にか数冊無くなっている。 そういえば妹も中学生になったし、まぁいろいろあるのだろう。 まだまだ若い兄としてはイタズラ心も湧くと言うものだ。 そこで俺の部屋の床に無造作に置いたエロ本の中に 「オナニーは結構だがもうちょっと声を抑えろ。聞こえてるぞ。」 とメモを挟んでおいた。 そして風呂から出ると、そのエロ本は見事になくなっていた。 翌日の朝食時、なぜか親父がチラチラとこちらを見てきた。 何で顔が赤いんだ、クソ親父。つーかてめぇか。クソ。 302 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 08 56 37 定義 X を一様空間とする。 X がその任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合( 235)からなる 有限被覆をもつとき、X を全有界と言う。 303 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 24 23 補題 X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。 A を X の部分集合で Φ に含まれないとする。 このとき Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで Φ ⊂ Ψ である。 証明 Ψ が 75 の条件を満たせばよい。 1) A は Φ に含まれないから A ∪ M ∈ Φ なら M は空でない。 2) A ∪ M ∈ Φ で M ⊂ L なら A ∪ M ⊂ A ∪ L であるから A ∪ L ∈ Φ 3) A ∪ M ∈ Φ, A ∪ N ∈ Φ のとき (A ∪ M) ∩ (A ∪ N) = A ∪ (M ∩ N) ∈ Φ 証明終 304 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 25 42 訂正 303 X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。 X を集合とし、Φ をそのフィルターする。 305 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 27 57 定義 X を集合とし、Φ をそのフィルターする。 Φ ⊂ Ψ となる X のフィルターで Φ ≠ Ψ となるものが 存在しないとき Φ を X の極大フィルターという。 306 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 34 51 命題 X を集合とし、Φ をフィルターとする。 Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター( 305) Ψ が存在する。 証明 Zorn の補題を使えば明らかである。 307 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 35 38 命題 X を集合とし、Φ をその極大フィルター( 305)とする。 A と B を X の部分集合で A ∪ B ∈ Φ なら A ∈ Φ または B ∈ Φ となる。 証明 A も B も Φ に含まれないとする。 303 より Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで Φ ⊂ Ψ である。 B は Ψ に属し、 Φ に属さないから Φ ≠ Ψ である。 これは矛盾である。 証明終 308 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 09 43 55 命題 X を全有界( 302)な一様空間とする。 X の極大フィルター( 305) は Cauchy フィルター( 236)である。 証明 Φ をX の極大フィルターとする。 X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合( 235)からなる X の有限被覆がある。 X = M_1 ∪ . . . ∪ M_n で各 M_i は V 程度に小さいとする。 X ∈ Φ だから 307 を繰り返し使って M_i ∈ Φ となる i がある。 従って Φ は Cauchy フィルターである。 証明終 309 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 10 35 49 命題 位相空間が準コンパクトであるためには、その任意のフィルターが 接触点( 132)を持つことである。 証明 X を準コンパクトな位相空間とし、Φ をそのフィルターとする。 Φ が接触点を持たないとする。 ∩{cls(A) ; A ∈ Φ} は空集合であるから {X - cls(A) ; A ∈ Φ} は X の被覆である。 X は準コンパクトだから Φ の元 A_1 . . . , A_n があり、 X = ∪(X - cls(A_i)) よって ∩cls(A_i) は空である。 cls(A_i) は Φ の元だからこれは矛盾である。 逆に X の任意のフィルターが接触点を持つとする。 (U_λ), λ ∈ L を X の開被覆とする。 A_λ = X - U_λ とする。 ∩A_λ は空である。 任意の有限部分集合 J ⊂ L に対して ∩(A_λ, λ ∈ J) が空でない とする。 Φ_0 = {∩(A_λ, λ ∈ J) ; J は L の有限部分集合} は フィルター基底である。 仮定より Φ_0 は接触点を持つ。 従って ∩A_λ は空でない。 これは矛盾である。 従って (U_λ), λ ∈ L は有限部分被覆を持つ。 証明終 310 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 10 36 46 命題 全有界( 302)かつ完備な一様空間は準コンパクトである。 証明 X を全有界かつ完備な一様空間とする。 Φ を X の任意のフィルターとする。 306 より Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター( 305) Ψ が存在する。 308 より Ψ は Cauchy フィルターである。 X は完備だから Ψ は収束する。 従って Φ は接触点をもつ。 309 より X は準コンパクトである。 証明終 311 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 10 40 08 310 の証明は極大フィルターの存在を使っているので Zorn の補題を 使っていることになる。 312 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 10 42 50 命題 X を全有界( 302)な一様空間とする。 X の分離完備化( 288) Ω はコンパクトである。 証明 φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 U を Ω の任意の閉近縁とする。 V を U の φ×φ による逆像とする。 X の V 程度に小さい集合からなる有限被覆 (A_i) がある。 B_i = φ(A_i) は U 程度に小さく、(B_i) は φ(X) の被覆である。 C_i を B_i の Ω における閉包とすると、φ(X) は Ω で密だから (C_i) は Ω の被覆である。 U は Ω の閉集合だから (C_i)×(C_i) ⊂ U である。 即ち、各 C_i は U 程度に小さい。 従って Ω は全有界である。 310 より Ω はコンパクトである。 証明終 313 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 10 57 22 命題 準コンパクトな一様空間 X は全有界である。 証明 X の任意の対称開近縁 V に対して (V(x)), x ∈ X は X の開被覆である。 X は準コンパクトだから (V(x)) の有限部分被覆が取れる。 V(x) は V^2 程度に小さいから X は全有界である。 証明終 314 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 11 01 40 命題 一様空間 X の分離完備化( 288) Ω がコンパクトなら X は全有界( 302)である。 証明 φ X → Ω を標準写像( 288)とする。 313 より Ω は全有界である。 従って φ(X) も全有界である。 X の一様構造は φ(X) の一様構造の φ による逆像だから X も全有界である。 証明終 315 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 11 21 38 命題 準コンパクトな一様空間 X は完備である。 証明 309 より X の任意の Cauchy フィルターは接触点を持つから 248 より収束する。 証明終 316 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 11 25 47 命題 一様空間 X が準コンパクトであるためには X が全有界かつ完備であることが必要十分である。 証明 十分なことは 310 で証明してある。 必要なことは 313 と 315 で証明してある。 証明終 317 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 11 28 22 命題 X を一様空間とする。 X が全有界( 302)であるためには X の分離完備化( 288) Ω がコンパクトであることが必要十分である。 証明 必要なことは 312 で証明してある。 十分なことは 314 で証明してある。 318 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 12 18 58 補題 X を分離一様空間とする。 x と y を X の点で x ≠ y とする。 x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と X×X の対角線集合 Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。 証明 X は分離だからx の近傍 U_1 と y の近傍 U_2 で共通の点を 持たないものがある。 212 より X は正則だから x の閉近傍 V_1 で V_1 ⊂ U_1 y の閉近傍 V_2 で V_2 ⊂ U_2 となるものがある。 U_3 = X - (V_1 ∪ V_2) とおく。 W = (U_1)×(U_1) ∪ (U_2)×(U_2) ∪ (U_3)×(U_3) とおく。 z ∈ V_1 ∪ V_2 なら (z, z) ∈ W z ∈ U_3 なら (z, z) ∈ W 従って W は X×X の対角線集合 Δ の近傍である。 (a, b) ∈ W (b, c) ∈ W で (a, c) ∈ (V_1)×(V_2) とする。 (a, b) ∈ W で a ∈ V_1 だから b ∈ U_1 である。 (b, c) ∈ W だから c は V_2 に含まれない。 これは矛盾である。 従って (V_1)×(V_2) は W^2 と交わらない。 証明終 319 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 12 38 56 命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。 証明 Φ を Δ の近傍全体とする。 194 の条件で 1) V ∈ Φ なら Δ ⊂ V 2) V ∈ Φ を含む X×X の部分集合は Φ に属す。 3) V ∈ Φ, W ∈ Φ のとき V ∩ W ∈ Φ 4) V ∈ Φ のとき V^(-1) ∈ Φ は明らかである。 5) V ∈ Φ のとき W^2 ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 を証明すればよい。 これが成り立たないとする。 ある V ∈ Φ があり任意の W に対して W^2 ∩ (X - V) は空でない。 V は開近傍と仮定してよい。 W^2 ∩ (X - V) 全体は X のフィルター基底だから 309 より 接触点 (x, y) を持つ。X - V は閉集合だから (x, y) ∈ X - V 従って x ≠ y である。 318 より x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。 これは矛盾である。 証明終 320 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 12 55 54 命題 X をコンパクト空間とする。 この位相構造 α より荒いハウスドルフ位相構造 β は α と一致する。 証明 恒等写像 f (X, α) → (X, β) は連続である。 (X, α) はコンパクトだから (X, β) もコンパクトである。 A を (X, α) の閉集合とする。 A は (X, α) でコンパクトだから (X, β) でもコンパクトである。 (X, β) はハウスドルフ空間だから A は (X, β) の閉集合である。 即ち f は閉写像である。 よって α = β である。 証明終 321 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 13 02 22 補題 X をハウスドルフ空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体の共通部分は Δ である。 証明 x と y を X の点で x ≠ y とする。 X はハウスドルフだから (x, y) は X×X の閉集合である。 従って X×X - {(x, y)} は Δ の近傍で (x, y) を含まない。 証明終 322 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 13 15 22 命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、 この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。 証明 X の位相構造を α とする。 319 より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。 この一様構造から定まる位相構造を β とする。 β ⊂ α である。 321 より、Δ の近傍全体は分離的一様構造である。 従って β はハウスドルフである。 従って 320 より α = β である。 証明終 323 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 13 50 41 命題 準コンパクト一様空間 X から一様空間 Y への連続写像 f は 一様連続である。 証明 V を Y の任意の近縁とする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。 f は連続だから x を X の任意の点としたとき X の近縁 U_x で f(U_x(x)) ⊂ W(f(x)) となるものがある。 (T_x)^2 ⊂ U_x となる対称近縁 T_x を取る。 X はコンパクトだから有限個の点 x_1, ... , x_n があり、 (T_x_i(x_i)) は X の被覆になる。 T ⊂ ∩T_x_i となる X の対称近縁 T を取る。 (x, y) ∈ T なら x ∈ T_x_i(x_i) となる x_i がある。 y ∈ T(x) ⊂ (T_x_i)^2(x_i) ⊂ U_x_i(x_i) よって (f(x), f(x_i)) ⊂ W (f(y), f(x_i)) ⊂ W (f(x), f(y)) ⊂ W^2 ⊂ V 証明終 324 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 13 56 44 定理 コンパクト空間にはその位相を引き起こす一様構造が一意に入る。 証明 このような一様構造の存在は 322 で証明されている。 一意性は 323 より直ちに得られる。 証明終 325 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 14 15 36 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy 点列( 237)が収束すれば X は完備( 249)である。 証明 (V_n), n ∈ Z+ を可算な基本近縁系とする。 Φ を Cauchy フィルターとする。 Φ は V_n 程度に小さい集合 A_n を含む。 各 n ∈ Z+ に対して B_n = A_0 ∩ . . . ∩ A_n とおく。 B_n ∈ Φ である。 (B_n) は Cauchy フィルターの基底であり、その生成するフィルターを Ψ とすれば Ψ ⊂ Φ である。 各 B_n から点 x_n を取り出せば (x_n) は Cauchy 点列だから X の点 x に収束する。 x は Ψ の接触点だから 248 より Ψ は x に収束する。 従って Φ も x に収束する。 証明終 326 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 14 22 40 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy フィルター Φ に対して 高々可算な基底を持つ Cauchy フィルター Ψ があり、 Ψ ⊂ Φ となる。 証明 325 の証明から分かる。 327 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/08(水) 14 24 06 命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の極小 Cauchy フィルター( 133) Φ は高々可算な基底を持つ。 証明 326 より明らかである。 328 :Kummer ◆Qk1D5QGAJw :2007/08/08(水) 16 38 53 ★天使=AV女優 ★★大天使=あいり&めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使(中級天使)= 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・nao.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使(上級天使) 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 (四大天使長) 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞:ネ申 小林ひとみ 329 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2007/08/09(木) 04 58 45 定義 G を位相群、X を位相空間とし、 G は X に作用しているとする。 即ち、s ∈ G と x ∈ X に対して sx が定義されて 以下の 1), 2) を満たす。 (1) e を G の単位元とすると、ex = e が任意の x ∈ X に対して 成り立つ。 (2) s(tx) = (st)x が任意の s, t ∈ G と x ∈ X に対して成り立つ。 写像 φ G × X → X を φ(s, x) = sx で定義する。 φ が連続のとき G は X に連続作用すると言う。 330 :132人目の素数さん:2007/08/09(木) 05 00 14 ∩___∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──!! | ( _●_) ミ 彡、 |∪| 、`\ / __ ヽノ /´ ) (___) / (_/ | / | /\ \ | / ) ) ∪ ( \ \_) タグ: コメント