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直交変換関数ベクトルの場合 フーリエ変換 ラプラス変換 Z変換 KL変換 直交変換 ベクトルを任意の正規直交基底(単位ベクトル)の線型結合で表すことを考える. --- (式1) このとき,展開係数は,との内積を計算することで求められるから, --- (式2) である. この(式2)による変換を直交変換と呼ぶ. また,直交基底の線型結合によるの表現(式1)を直交逆変換と呼ぶ. 関数ベクトルの場合 周期の関数を他の関数系で表現することを考える. 今,区間で定義された関数の集合を で表す. これらの関数について内積が であったときは正規直交関数系という. この正規直交関数系を用いると,区間で定義された任意の関数は −−− (式1) で表すことができる.展開係数はとの内積によって表されるから, −−− (式2) によって求めることができる. (注意)が複素関数である場合は複素共役な関数を用いる. 展開係数を求める操作(式2)を直交変換と呼び,元の関数を再構成する操作(式1)を直交逆変換と呼ぶ. 周期の関数をに変換するためには, を計算する.ただし,を正規直交関数系とする. (注意)が複素関数である場合は複素共役な関数を用いる. フーリエ変換 直交変換の一つで,正規直交関数系として波動関数を用いたものである. ラプラス変換 Z変換 KL変換
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トップページ 参考書 各分野のオススメの参考書など書いていきましょう! 解析力学 畑浩之 解析力学導出が丁寧で例が豊富 量子力学 立川さん講義ノート角運動量、摂動など。量子力学の公理とかもささっと触れてる。 清水明:量子論の基礎量子力学の公理から書かれている。 物理数学 立川さん講義ノート特殊関数など。 ラプラシアンの簡単な計算方法はここ(P21)にのってる。 上田さん講義ノート群論・微分形式など。 George B. Arfken Mathematical Methods for Physics線型代数から特殊関数まで網羅的 物理とグリーン関数いろんな偏微分方程式の解き方が載ってる。境界条件付きの方程式を解きたいときに便利(院試に役立つかは不明)。
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三年前期の講義 三年生前期の講義の課題、過去問、アドバイスなどです。 熱統計力学 熱統計力学演習 量子力学 量子力学演習 フォトニクス 波動物理
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◎教科書 相対論 『場の古典論』ランダウ=リフシッツ 東京図書 集合・位相 『集合・位相入門』松坂和夫 岩波書店 ◎参考書 よくいいよと言われてるものをあげます。(☆が付いてるのは持ってるもの) いずれも、数学の本に関しては数学科の人が読むような難しい本ばかりですので、そういうのがイヤ!って人は買わないほうがいいかも。ただ、どの本も数学の講義で使われてきた教科書とは大違いの詳しさです。 ◆相対性理論◆ 『時空の幾何学』J.J.キャラハン シュプリンガーアフェラーク東京 『空間 時間 物質』H.ワイル 東海大出版(絶版) 『一般相対性理論』佐藤文隆 岩波書店 『相対性理論』内山龍雄 岩波書店 ◇集合・位相◇ 『集合と位相への入門 -ユークリッド空間の位相』鈴木晋一 サイエンス社 ↓↓この人の講義ノートもおすすめ↓↓ http //math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/index-j.html ☆ ※図書館に置いてあるものばかりなので、図書館で読んでみて下さい。 ついでに、 ~数学編~ ◇微積◇ 解析入門Ⅰ,Ⅱ 杉浦光夫 東大出版☆ 微分積分学 笠原 サイエンス社 解析への30講 志賀 朝倉書店(易しめ 面白い) 解析概論 高木 岩波書店 解析入門Ⅰ,Ⅱ 小平 岩波書店 微分積分読本,続・微分積分読本 培風館だったかな?著者知らん ◇ベクトル解析◇ 解析入門Ⅱ 杉浦☆ ベクトル解析 安達忠次 培風館☆ ベクトル解析 岩掘 裳華房 ベクトル解析と電磁場 著者は知らん 岩波書店 ◇複素関数論◇ 理工系の複素関数論 東大出版☆(易しめ~やや難、お勧め) ◇微分方程式◇ いい物を知らない。逆に、教えて欲しい。あの教科書はね…。 ~物理編~ ◆解析力学◆ 古典力学 ゴールドシュタイン 解析力学 ワイテッカー 解析力学Ⅰ、Ⅱ 山本☆ 解析力学 並木☆(お勧めしちゃうね) 量子力学を学ぶための解析力学 力学 ランダウ(面白いと思う) ◆電磁気学◆ ジャクソン電磁気学 電磁気学 太田 丸善☆(いろんなことが載ってる。ムズイ) 理論電磁気学 砂川 紀伊国屋 ◆量子論◆ 現代の量子力学 J.J. Sakurai 初頭量子力学 原島 培風館 新版 量子論の基礎 清水 サイエンス社☆ 量子力学 シッフ 量子力学 猪木 ◆熱・統計力学◆ 1分野につき簡単なもの、難しいけどいろんなことが載っているもの、演習書と3冊持っているとよいとよく言われています。あくまで、“言われています”です。
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『村上式シンプル仕事術』 村上憲郎 2009.10 推薦図書 1 超図解 財務3表のつながりで見えてくる会計の勘所 8FビジネスN336.9ク 市立336ク 2 超超整理法 野口 県立 8F自然科学007.5ノ 市立007ノ 3 人を動かす 道は開ける カーネギー 県立 8F人文科学159カ 市立書庫159カ 大学旧159.C19 4 誰もが聖書を読むために 新潮新書 8F人文科学193.0カ 5 阿含教典による仏教の根本聖典 大蔵出版 県立 6 パーリ仏典 第二期 7 ブッダが考えたこと 宮本 春秋社 県立 8 仏教かく始まりき 宮本 春秋社 県立 9 反哲学入門 木田元 10 カント純粋理性批判入門 黒崎 講談社選書メチエ 8F人文科学134.2カ 11 世界の名著 第40巻 県立(第33巻) 8F書庫(第40巻) ×12 憲法で読むアメリカ史 上・下 阿川 PHP新書 13 マンキュー 経済学(ミクロ、マクロ) 県立 8F人文科学331マ 市立331マ ×14 ハイエク知識社会の自由主義 池田 PHP新書 ×15 ハイエクの政治思想 山中 ○草書房 16 キーポイント 行列と変換群 岩波 県立 ×17 ニュートン力学と微分方程式の意味がかわる 大山 ベレ出版 18 量子力学を学ぶための解析力学入門 講談社 8F自然科学421.3タ 大学429.1Ta33 ×19 数ベクトル空間からヒルベルト空間 篠崎 現代工学社 20 電力・通信・情報のための量子力学 堀 コロナ社 21 量子力学が語る世界像 和田 ブルーバックス 9F 大学新421.3W12 22 量子コンピュータの基礎数理 コロナ社 大学007.1U47 23 初歩からの数学 岡本 放送大学教育振興会 大学新379.H93.08-sho 24 量子力学の基礎 岸野 丸善 県立、大学新421.3Ki58 25 初歩からの物理 物理の考え方 大学新379.H93 08-sho
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素粒子理論の准教授.量子力学や場の量子論に関する本を書いてる. 2010年度担当授業 素粒子と宇宙 2019年度担当授業 量子力学 この教員の評価 選択肢 投票 ★★★★★ (19) ★★★★☆ (0) ★★★☆☆ (0) ★★☆☆☆ (1) ★☆☆☆☆ (9) コメント
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講義HP ここには、HPを持つ講義のHPへのリンクを掲載します。ID、passはmailかBBSで質問してください。親切な人がいれば教えてもらえます。 数学 函数論(一般教養科目)…06年度後期の数学基礎演習Ⅱの問題のうち、函数論の問題がダウンロードできます。 物理 一覧→物理学教室所属教官の担当する講義(理学部学部科目)のシラバス 宇物はこちら→宇宙物理学教室 学部教育案内 銀河・星間物理学 量子力学特論1 散乱と半古典近似 物理実験学2 プラズマ物理 原子核物理学1 量子力学Ⅱ理論演習 非線形科学 電磁気学Ⅳ 物質の創成と制御 以前の 物理学情報処理論Ⅰ(06後-金1)…ID,passが必要 エレクトロニクス(07前-金1) 量子力学Ⅰ理論演習(07前-木3) 熱統計力学Ⅱ理論演習(07前-木4)…ID,passは入力欄の左上に書いてあります。 電磁気学Ⅲ理論演習(07前-金3) 物理学情報処理論Ⅱ(07後-火2)…ID,passが必要 連続体力学(07前-水1)…ID,passが必要 天文学概論(07前-木2) トップページ
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場の量子論 1章 予備知識 1.1 量子力学の復習 1.2 特殊相対論の復習 1.3 場の解析力学 2章 場の量子化 2.1 場の量子論の事はじめ 2.2 実クラインゴルドン場 2.3 ディラック場 2.4 電磁場 3章 経路積分1章 予備知識 1.1 量子力学の復習 簡単な復習と、後で使う公式の説明をします。 ・系の”状態”をヒルベルト空間(ベクトル空間に完備性と内積を定義したもの)上のベクトルで表し のように表す。なぜそんな事をするのか? それは、ただ単に都合よく表現できるから。 例えば、1次元空間上の粒子の座標だけの”状態”を表すのであれば、実数xで物足りる。 量子論はもっと複雑なので、ベクトルで表現したほうが都合が良いのである。 蛇足) 状態ベクトルの理解は、幾何ベクトルのイメージが役に立つと思う。 すなわち、ベクトルの向きが状態に対応しているとイメージするのである。 ・物理量をは、エルミート演算子で表す。 エルミート演算子とは を満たすものをいう。この要請は、物理量が実数である事を要求するためである。 ・状態の時間発展はシュレディンガー方程式に従う。(シュレディンガー描像の場合) ココで、Hはハミルトニアンを量子化したものである。 ・物理量の期待値は で得られる。ただし、ノルムは規格化されているとする。 状態を|x>に内積したものを位置表示の波動関数と呼ぶ。 同様に運動量pを変数にとる状態ベクトル|p に内積したものを運動量表示の波動関数という。 両者の関係は ・正準量子化 量子化は次式の交換関係に従う。 座標表示では、 とし、確かにこれは上の交換関係を満たす。 ・重要な公式 ・エルミート演算子の異なる固有ベクトルは直行する。 すなわち 連続変数の場合、上のアナロジーでδ関数を用いて とする。 iは自然数 証明) 任意のベクトルをかけると となり、変わらないことがわかる。 ・qを連続変数として、 証明) 証明) 最後=の微分方程式を解けば上式がえられる。 ・調和振動子 調和振動子のハミルトニアンは で与えられる。 ここで、新たに生成、消滅演算子というものを定義する2章 場の量子化 ここからは、自然単位系を使いますh=c=1 2.1 場の量子化ことはじめ 清水明さんの量子論の基礎の7章が凄くわかりやすいです。 量子力学は、基本変数に”粒子の”座標pと運動量qを取りましたが、これを場に適用しようとするのは、ごく自然な発想です。すなわち、粒子が古典論で記述できないのならば、場も記述できないであろうということです。 そこで、粒子の場合のアナロジーとして、場の関数(便宜上スカラー場φとします)を量子化します。 物理学では、何を原理に持ってくるかは理論が同値であれば一向に構わないのですが、一番スマートな方法はやはり最小作用の原理でしょう。 すなわち、系を一つのラグランジアンLという関数によって記述し、その作用が0になるという事を”原理”とします。 要請としては、ラグランジアンは場の関数と、その時間の1階微分のみ含むとします。空間微分は、各点でφが定まっているので、(異常な空間でなければ)常に計算可能です。 ここで、ラグランジアン密度というものを定義する。 そうすれば、作用は一般的に と、4次元の空間積分になり、相対論的見通しがよくなる。 次に、解析力学と同じく、場の一般化運動量(密度)を定義する。(粒子の解析力学でも、運動量の一般的な定義はラグランジアンを速度で微分したものでしたね) 右辺は汎関数微分といって、関数を関数で微分しています。詳しい説明は力学のページで(未定な予定><)。 汎関数微分には次の性質があります より がいえます。 粒子の解析力学と同様に、ハミルトニアンも定義する。 とし、(右辺の中はハミルトニアン密度) Hの自然な変数は、φとπになります。 ・場の量子化 正準量子化では を要請しました。 場の量子論では、基本変数を場に選びます。 すなわち、 x ⇒ φ p ⇒ π 基本変数を区別する添え字(1粒子だったら1-3とか)は、 j ⇔ r となり、無限自由度になります。3章 経路積分 3.1 経路積分入門 目的は、時間t0の状態からの確率振幅を求めることです。 厳密な導出はしないです。 ハミルトニアンの演算子の順序に関する議論も全くしていません。 とりあえず、仮定は ・ハミルトニアンHは時間に依存しないと仮定し、更にT+V=Eと書ける。 と書き、ファインマン核と呼びます。 時間推進演算子Uを導入する。 この演算子は状態をに移す。 確率は保存するので、Uは明らかにユニタリである。 シュレディンガー方程式が成り立つことより 時間推進演算子について が成り立つ。 また、 は明らかである。 次のステップとして、次のように時間を離散化する。 ・ ・ ・ ただし、Δtは無限微小時間。 Uを微小時間についてテイラー展開して よって、次式が成り立つ ファインマン核 の間に完全性を大量にぶち込む。 各微小区間は上の結果を使って を仮定すれば、δ関数のフーリエ表現 と、上の公式 を駆使して Tの項は ポテンシャル項は よって、微小ファインマン核は 3行目では、1-H⊿tを再び指数関数にもどして、肩に上げて近似ました。 に代入して、Nを無限大に飛ばすと コレを新たに と書く。これを、位相空間での経路積分と呼ぶ。 また、指数関数の肩は作用積分(中身はラグランジアン)なので、 と、非常にシンプルに書ける。 3.2 ユークリッド経路積分
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3年夏学期(5学期) 授業 地球流体力学I 弾性体力学 太陽地球系物理学基礎論 大気海洋循環学 電磁気学II 量子力学II 固体地球科学 統計力学I 物理学演習 計算機演習 ゼミ 地震学ゼミ リンク 電磁気学II 時間割 時限 月 火 水 木 金 1 地球流体力学I 弾性体力学 太陽地球系物理学基礎論 大気海洋循環学 2 電磁気学II 量子力学II 固体地球科学 流体力学 統計力学I 3 計算機演習 計算機演習 計算機演習 4 5 おまけ ススメ.pdf
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場の量子論 1章 予備知識 1.1 量子力学の復習 1.2 特殊相対論の復習 1.3 場の解析力学 2章 場の量子化 2.1 場の量子論の事はじめ 2.2 実クラインゴルドン場 2.3 ディラック場 2.4 電磁場 3章 経路積分1章 予備知識 1.1 量子力学の復習 簡単な復習と、後で使う公式の説明をします。 ・系の”状態”をヒルベルト空間(ベクトル空間に完備性と内積を定義したもの)上のベクトルで表し のように表す。なぜそんな事をするのか? それは、ただ単に都合よく表現できるから。 例えば、1次元空間上の粒子の座標だけの”状態”を表すのであれば、実数xで物足りる。 量子論はもっと複雑なので、ベクトルで表現したほうが都合が良いのである。 蛇足) 状態ベクトルの理解は、幾何ベクトルのイメージが役に立つと思う。 すなわち、ベクトルの向きが状態に対応しているとイメージするのである。 ・物理量をは、エルミート演算子で表す。 エルミート演算子とは を満たすものをいう。この要請は、物理量が実数である事を要求するためである。 ・状態の時間発展はシュレディンガー方程式に従う。(シュレディンガー描像の場合) ココで、Hはハミルトニアンを量子化したものである。 ・物理量の期待値は で得られる。ただし、ノルムは規格化されているとする。 状態を|x>に内積したものを位置表示の波動関数と呼ぶ。 同様に運動量pを変数にとる状態ベクトル|p に内積したものを運動量表示の波動関数という。 両者の関係は ・正準量子化 量子化は次式の交換関係に従う。 座標表示では、 とし、確かにこれは上の交換関係を満たす。 ・重要な公式 ・エルミート演算子の異なる固有ベクトルは直行する。 すなわち 連続変数の場合、上のアナロジーでδ関数を用いて とする。 iは自然数 証明) 任意のベクトルをかけると となり、変わらないことがわかる。 ・qを連続変数として、 証明) 証明) 最後=の微分方程式を解けば上式がえられる。 ・調和振動子 調和振動子のハミルトニアンは で与えられる。 ここで、新たに生成、消滅演算子というものを定義する2章 場の量子化 ここからは、自然単位系を使いますh=c=1 2.1 場の量子化ことはじめ 清水明さんの量子論の基礎の7章が凄くわかりやすいです。 量子力学は、基本変数に”粒子の”座標pと運動量qを取りましたが、これを場に適用しようとするのは、ごく自然な発想です。すなわち、粒子が古典論で記述できないのならば、場も記述できないであろうということです。 そこで、粒子の場合のアナロジーとして、場の関数(便宜上スカラー場φとします)を量子化します。 物理学では、何を原理に持ってくるかは理論が同値であれば一向に構わないのですが、一番スマートな方法はやはり最小作用の原理でしょう。 すなわち、系を一つのラグランジアンLという関数によって記述し、その作用が0になるという事を”原理”とします。 要請としては、ラグランジアンは場の関数と、その時間の1階微分のみ含むとします。空間微分は、各点でφが定まっているので、(異常な空間でなければ)常に計算可能です。 ここで、ラグランジアン密度というものを定義する。 そうすれば、作用は一般的に と、4次元の空間積分になり、相対論的見通しがよくなる。 次に、解析力学と同じく、場の一般化運動量(密度)を定義する。(粒子の解析力学でも、運動量の一般的な定義はラグランジアンを速度で微分したものでしたね) 右辺は汎関数微分といって、関数を関数で微分しています。詳しい説明は力学のページで(未定な予定><)。 汎関数微分には次の性質があります より がいえます。 粒子の解析力学と同様に、ハミルトニアンも定義する。 とし、(右辺の中はハミルトニアン密度) Hの自然な変数は、φとπになります。 ・場の量子化 正準量子化では を要請しました。 場の量子論では、基本変数を場に選びます。 すなわち、 x ⇒ φ p ⇒ π 基本変数を区別する添え字(1粒子だったら1-3とか)は、 j ⇔ r となり、無限自由度になります。3章 経路積分 3.1 経路積分入門 目的は、時間t0の状態からの確率振幅を求めることです。 厳密な導出はしないです。 ハミルトニアンの演算子の順序に関する議論も全くしていません。 とりあえず、仮定は ・ハミルトニアンHは時間に依存しないと仮定し、更にT+V=Eと書ける。 と書き、ファインマン核と呼びます。 時間推進演算子Uを導入する。 この演算子は状態をに移す。 確率は保存するので、Uは明らかにユニタリである。 シュレディンガー方程式が成り立つことより 時間推進演算子について が成り立つ。 また、 は明らかである。 次のステップとして、次のように時間を離散化する。 ・ ・ ・ ただし、Δtは無限微小時間。 Uを微小時間についてテイラー展開して よって、次式が成り立つ ファインマン核 の間に完全性を大量にぶち込む。 各微小区間は上の結果を使って を仮定すれば、δ関数のフーリエ表現 と、上の公式 を駆使して Tの項は ポテンシャル項は よって、微小ファインマン核は 3行目では、1-H⊿tを再び指数関数にもどして、肩に上げて近似ました。 に代入して、Nを無限大に飛ばすと コレを新たに と書く。これを、位相空間での経路積分と呼ぶ。 また、指数関数の肩は作用積分(中身はラグランジアン)なので、 と、非常にシンプルに書ける。 3.2 ユークリッド経路積分