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最小公倍数 説明 2 つの自然数（または整式） a, b (a ≧ b) について、a の b による剰余を r とすると、 a と b との最大公約数は b と r との最大公約数に等しいという性質が成り立つ。この性質を利用して、 b を r で割った剰余、 除数 r をその剰余で割った剰余、と剰余を求める計算を逐次繰り返すと、剰余が 0 になった時の除数が a と b との最大公約数となる。 これをユークリッドの互除法と言う。 計算量 O(logN) 使い方 gcd(a,b)でaとbの最小公倍数を返す ソースコード int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) a; } template版 template class t t gcd(t a, t b) { return b != 0 ? gcd(b, a % b) a; } 確認 なし
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(2).最大公約数と最小公倍数 整数に対して、をで割ると余りがになるとき、「はで割り切れる」という。 （例）はで割り切れる。 整数を割り切る整数を「の約数」という。 （例）の約数は、である。 2つの整数をともに割り切る整数を「公約数」といい、公約数の最大のものを「最大公約数（）」という。 （例）との公約数は、で、最大公約数はである。 ある整数を整数倍した数を「倍数」という。 （例）の倍数は、 2つの整数の倍数になる整数を「公倍数」といい、正の公倍数のうち、最小のものを「最小公倍数（）」という。 （例）との公倍数は、で、最小公倍数はである。 2つの整数の最大公約数が１のとき、2つの整数は「互いに素である」という。 （例）とは互いに素である。とは互いに素である。 [定理]2つの整数に対して、最大公約数を、最小公倍数をとすると、 が成り立つ。 （証明）仮定より、、で、とは互いに素である、と書ける。 このときの最小公倍数は、であるので、 ■ 素数（） １と自分自身しか約数を持たない正の整数を「素数」という。 素数は、「エラトステネスのふるい」という方法で、昔からその存在を知られていた。 素数でない整数を「合成数」という。 合成数を素数で割ることを繰り返して、素数の積として表すことができる。 （例） 素数は、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、・・・ ６＝２×３、と書けるので、６は合成数である。 その数が素数であるかどうかを確かめるには、その数の平方根までの素数で割り算をすればよい。 （例） 163はであるので、１２までの素数、２、３、５、７、１１で割ればよい。 結果的に、１６３はどの素数でも割り切れないので、素数である。 倍数の判定方法 2の倍数・・・最後の桁の数字が、 3の倍数・・・すべての桁の数字を合計して、3の倍数なら、3の倍数。 さらに、すべての桁の数字の合計が9の倍数なら、9の倍数。 （証明）たとえば、4桁の10進数を「」とすると、 となるので、が3の倍数なら、全体が3の倍数になる。 5の倍数・・・最後の桁の数字が、 11の倍数・・・桁の数字の符号を、+、-、+、-、・・・と変えて合計して11の倍数であれば、11の倍数。 （証明） いま、11、99、990、1001、・・・は11の倍数である。（） ゆえに、たとえば、4桁の10進数を「」とすると、 となるので、が11の倍数なら、全体が11の倍数になる。 次回は中間試験です。上記の部分までが、試験範囲です。
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30or60分おきのpost発言 5分おきのreply発言 この両方、できましたでしょうか？ でも、この発言時間には少々問題があります。 例： 30分おきの発言 5分おきのreply発言 とすると、 5,10,15,20,25,30…にreplyをし、 30分おきにpostをするわけですから、 もし、ぴったりの時間にpost＋replyをやったとすると、 Twitterさんは、びっくりしてしまって、どちらかを嫌がってしまいます。 この場合の最小公倍数は「３０」ですよね。 この値を上手に大きくするのです。 手っ取り早いのは、 前述していますが、素数の利用です。 29分のpost 5分のreply とやると、最小公倍数が「29×5＝145（分）」になりますので、 かぶる率が極端に減ります。 それと同時に、 wgetを使って、投稿を遅延させる。その１ wgetを使って、投稿を遅延させる。その２ この対策をすると、さらに実行時間もかぶらなくなります。 ＊
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公式 最大公約数と最小公倍数の関係～任意の自然数a,bについてそれらの最小公倍数をg,最大公約数をGとして、a=a g,b=b gとなるようにa ,b を定めると(a とb は互いに素) この時、最大公約数と最小公倍数の関係は以下のように表される。 G=a b g a とb の最小公倍数は、a とb が互いに素だからa b です。 よって、a gとb gの最小公倍数はa b gとなります。 NO.7-1 最小公倍数と最大公約数 難易度～☆☆★★★ 問題 6 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 18 00 43.88 ID XJP+DC730 制限時間14分 難易度３（実戦基礎） たてがａ、よこがｂ（ａ＜ｂ）の長方形を隙間なく並べて、面積が最小の正方形をつ くる。ａ、ｂは自然数であり、互いに素であるとき、最小の正方形の面積は28224であっ た。このときａ、ｂの値の組は{ア}通りあり、ｂ－ａ＝13のとき、たてに{イウ}個の長方形 が並ぶ。 ａ、ｂが自然数のとき、2数の最大公約数が8であるとする。長方形の辺の周の長さが 272のとき、ａの最大値は{エオ}、ｂの最大値は{カキク}、面積の最大値は{ケコサシ} 解答 +... (ア)4 (イウ)21 (エオ)64 (カキク)128 (ケコサシ)4608 解説 (ア) 面積が最小の正方形をつくるときの面積はaとbの最小公倍数^2である。 a,bが互いに素である時aとbの最大公約数は1であるため最小公倍数はabである。 故に(ab)^2=28224=4×7056=16×1764=16×4×441=21^2×2^6 ab=21×2^3=7×3×2^3,aとbは互いに素よりaかbの一方が2^3の因数をもつ。 これを踏まえて考えると(a,b)=(1,168)(3,56)(7,24)(8,21)で４通り。 (イウ) b-a=13の時は(a,b)=(8,21)であるから 7×3×2^3/8=21個 (エオ) 2a+2b=272でa,bの最大公約数が8であるものを探せばよい。 a+b=136でaとbは8の倍数である必要があるからa=8p,b=8qとする。(p q) p+q=17よりp≦8である。p=8の時q=9でpとqは互いに素よりaとbの最大公約数は8のまま。 これよりa=8×8=64で最大。 (カキク) q=16,p=1の時もpとqは互いに素よりaとbの最大公約数は8のまま。 これよりb=8×16=128で最大。 (ケコサシ) 相加相乗平均から、周の長さが一定の時の面積の最大値はpとqの値がなるべく近いときなの で、(p,q)=(8,9)の時に最大。 この時64×72=4608である。 NO.7-2 最小公倍数と最大公約数2 難易度～☆☆★★★ 問題 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/12(木) 07 37 46.05 ID IthpORi40 ある自然数AとBがある。 この２数の最大公約数をG、最小公倍数をLとするとき、 A^2＋B^2＋G^2＋L^2＝1300が成り立つ。 (1) G＞１のときのAとBの値を求めよ。 (2) G＝１のときのAとBの値を求めよ。 解答 +... (1)(5,25),(25,5) (2)(5,7),(7,5) 解説 便宜上途中A≦Bとしている。 (1)A=aG,B=bG(a,bは互いに素)とするとL=abGとおける。 すると上の式は、 G^2((ab)^2+a^2+b^2+1)=1300 G^2(a^2+1)(b^2+1)=1300=10^2*13 より、G=2,5,10のいずれか。 (ⅰ)G=10の時 (a^2+1)(b^2+1)=13となるが、これを満たすa,bの組は存在しない。 (ⅱ)G=5の時 (a^2+1)(b^2+1)=2^2*13でこれを満たす(a,b)の組は(1,5) (ⅲ)G=2の時 (a^2+1)(b^2+1)=5^2*13でこれを満たす(a,b)の組は(2,8)だがこれは(a,b)が互いに素であることに反する。 これより、G=5の時の(a,b)=(1,5)だけなので (5,25),(25,5) (2)G=1の時 (a^2+1)(b^2+1)=2^2*5^2*13で 左辺から判断して13を因数に持つ場合は 2*13,5*13,5^2*13である。 2*13と2*5^2の場合は、(a,b)=(5,7) 5*13と2^2*5の場合は、なし 5^2*13と2^2の場合はなし ∴(5,7)(7,5)
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約数と倍数 完全数（生徒用ワークシート） 作り方 最大公約数 約数の個数 最大公約数（生徒用ワークシート） 最大公約数２（生徒用ワークシート） 最小公倍数 合同式 合同式 合同式２
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問題１ □×□＋□＝６の□をＸとおいて因数分解すると、(x－２)(x＋３)＝０となりＸ＝２、－３ 問題２ はじめにＡを選んだときにＡの当たる確率は２/３です。 Ｂが当たりだということが偶然分かったのであれば、その時点で残ったＡとＣの当たりの確率は１/２ずつに変わったことになります。 しかしこの問題では司会者はＢ、Ｃのどちらかが当たりであることは分かっているのでＢが当たりだということはＡが当たりであるかどうかには影響のない情報だということになります。 よってこの場合はＡが当たりである確率は２/３のままですのでＡのままでいいということになります。 問題３ ３３＝３×１１。 １）３で割り切れるのは各桁の数の合計の数が３の倍数のときであるから、桁数は３の倍数のとき。 ２）１１で割り切れるのは奇数桁の合計と偶数桁の合計が同じのときであるがら、桁数は２の倍数のとき。 １）、２）を共に満たす最小の桁数は２と３の最小公倍数の桁数のときである。 ２，３の最小公倍数は６。 したがって求める数は、１１１１１１です。 １１１は３で割り切れる １１１１１１は３３で割り切れる １１１１１１１１１は３３３で割り切れる…というように考えると（1の個数）×３＝（3の個数）という関係がみつかります。
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酉のおはじきの歯車の謎 +ネタバレ注意 歯車の動きについて。 小さい歯車の歯数は８。 小さい歯車を半回転すると全ての歯車が4つ動き、一回転すると8つ動く。 小さい歯車を反時計回りに動かすと、中くらいは時計回り、大きい歯車は反時計回りに回転することになる。 実際の動き 小さい歯車を半回転してみる（反時計回りに4つ動かす）と、下図の通り、 小さい歯車の赤い矢印は互いに向かい合うが、中くらいの歯車の矢印はあらぬ方向を 向いている。 しかし、ここからもう一回転（反時計回りに8つ動かす）すると、 小さい歯車の赤い矢印は互いに向かい合い、中くらいの歯車は大きい歯車の方向を向き、 大きい歯車のある文字を指しているはず。 （大きい歯車も反時計回りに8つ動いているので・・・？） 完全なネタバレになるので画像は添付しないが、 歯車は1回転半した状態で、文字を一つ示した。 これを繰り返すと、5回転するうちにある単語を示すので、 それを入力しよう。 +蛇足 小さい歯車の歯数は８で、5回転すると40個歯が動くことになる。 一方、中くらいの歯車の歯数は12。 そして、歯車は一度噛み合った歯とまた噛み合うタイミングはそれぞれの歯数の最小公倍数と決まっている。8と12の最小公倍数は24。 つまり、1回転半（歯を12回動かした）した後で、上記の大きい歯車の文字を示した状態が再びやってくるのは歯を24回動かした後ということになる。
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oikonfokalx /// / 最小公倍数 oi\kon\fok\alx \ 14 seren klel 最小の公倍数 \
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C言語-サンプルプログラム No プログラム概要 備考 01 最小公倍数/最大公約数を求める 02 最大値/最小値/平均値を求める 03 [[]] 04 [[]] 05 [[]] 06 [[]] 07 [[]] 08 [[]] 09 [[]] 10 [[]]