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できれば分野と証明した人を書き添えてください。 今のところ数学と数学以外のカテに分類して募集していますが、投稿が増えてきたらもっと細かく分類します。 数学 ・素数は無限個存在する(数論・ユークリッド） 素数が有限個しかないと仮定する。 すると最大の素数が存在するはずだから、以下の素数すべてを掛け合わせて1を足した数 を考える。するとこれは以下のどの素数でも割り切れないから、新しい素数であるかまたはより大きくより小さい素数で割り切れる。 いずれの場合にもより大きい素数が存在することになるから仮定に矛盾。 よって素数は無限個存在する。 ・は無理数(数論・ピタゴラス） が有理数だと仮定すると、という既約分数として書くことができる。 両辺を二乗して よっては偶数。 とおくと、。これを上式に代入すると、 従ってmも偶数となり、これはが既約分数とした仮定に反する。 よっては無理数。 ・体から環への準同型写像は単射(群論・?) でと仮定すると、 は体の元だから必ずその逆元が存在して、 ここでは準同型写像だから、でなければならないから矛盾。 よってでなければならないが、は単射、だから証明された。 ・が既約ならも既約 i)が1次以下の場合は明らかに成立。 ii)が2次の場合 が可約だと仮定する。 すると2次多項式だからと書けるはずだが、となり、は可約となって矛盾。 従っては既約でなければならない。 iii)次の場合 次までのについて命題が成立する場合に、次についても成立することがii)と同様に容易に示されるから数学的帰納法により全ての次数の多項式について成立する。 ・アイゼンシュタインの既約判定法の証明(群論・?) ・カントールの定理(集合論・カントール) ・実数区間の非可算性 区間縮小法 ・実数区間の非可算性 対角線論法(集合論・カントール）→対角線論法撲滅計画 数学以外 ・二将軍問題が有限回のメッセージ交換で解決できない(フォルトトレランス・) ・停止性問題の判定不可能性(計算理論・チューリング） ・バーナンキの背理法（経済・バーナンキ） テスト -- 名無しさん (2008-07-12 00 30 47) 哲学：「死が恐るべきものである、という根拠は存在しない」ソクラテスの弁明（死を恐れるとは、「死が恐ろしいものである」と知っている、という表明だが、その人は（自分も含めて）死を知らない。これは矛盾） -- jojompa (2010-04-10 14 41 27) 名前 コメント
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現在、背理法による証明を収集しております。 証明例をご存知の方、よろしくm(_ _)m メニュー 背理法とは 背理法コレクション 対角線論法撲滅計画 バーナンキの背理法撲滅計画 検索 リンク @wiki @wikiご利用ガイド 管理者向けガイド 更新履歴 取得中です。 ここを編集
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背理法とは、ある命題が真であることを示すために 命題の逆()が真であると仮定し、 それによって矛盾(との両方が成立する )を導くことによって 命題が真ではありえない、つまり命題が真であること という手順を踏む証明法。帰謬法ともいう。(仮定にを追加して得られる仮定が矛盾()を含めば、もとの仮定の下でが証明できることによる) 参照：wikipedia日本語/wikipedia英語1/wikipedia英語2
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バーナンキの背理法撲滅計画 批判その一 命題「日銀が無限に国債を購入し続ける。」、命題「インフレになることはない。」とすると、「日銀が無限に国債を購入し続けたとしても、インフレになることはない。」という仮定は、→であるが、そもそもが偽であるため（日銀が無限に国債を購入し続けることは不可能であるから）→(→)（偽の仮定は無条件と同じ）であるから、仮定全体がもともと常に真ということになってしまう。 つまり、仮定の仮定部分がそもそも偽であるような背理法は誤りである。 批判その二 「日銀が国債をインフレなしに無限に買い取ることが出来るとすると無税国家が出現してしまう。だが実際には無税国家はあり得ない。」という推論に誤りがある。 国債を買ってもらえるのは国家に潤沢な税収があり償還が確実であるという信用があってのことである。”無税国家”、すなわち税収の無い状態にした途端にこの信用は無くなり、国債は暴落して誰も新規引受人はいなくなってしまう。すなわち、日銀があえて自身が莫大な損益を計上することを承知の上でそうしない限り国債発行額を増やすことによって”無税国家”を実現することは不可能である。”税収を確保している限りにおいて”、信用が持続する限度の量の国債発行が可能であるに過ぎない。要するに、国債によって無税国家を作ることは元々不可能なことである。 また逆に、日銀がこのように国家に代わって赤字を背負うことが無限に可能だとすれば、もともと無税国家は可能だからこの場合も上の推論は誤りである。
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【１】 チンカスカウパー君の愉快な脳内背理法（笑） 127 名前： 既にその名前は使われています 投稿日： 2006/01/13(金) 12 26 42.03 ID HdnNc5FC ○背理法でコミッカーの矛盾を証明してみよう○ 詠唱しただけでタゲが向く！ この命題が正しいならば ナイトさんはサポ忍で詠唱しただけでタゲが向くほどのヘイトを持っている空蝉を詠唱するはず だがこの結論はサポ戦オナニストしかいない事実に矛盾する よって詠唱しただけでタゲが向く！は偽である。 【２】 チンカスカウパー君の愉快な脳内背理法（笑） が完全論破されちゃったｗ お前ヘイトが全然わかってねーなｗｗｗ 「確実にヘイトがある術やアビや魔法を使っても」 「必ずタゲが来るわけではない」 こんなのこのゲームやってれば常識じゃんｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 更にお前の理論で言うと 「挑発したがタゲ来なかった」＝挑発にヘイトは無い 「ケアル４したがタゲ来なかった」＝ケアル４にヘイトは無い 「インビンしたけどタゲ来なかった」＝インビンにヘイトは無い になるんだが？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 何万回言わせるの？チンカスさんｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ ＾＾；さぁ他のページも読むﾆﾀﾞ！！ｗｗｗ
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(6).可算集合の話 前回までの話をまとめよう。 【定義】 濃度・・・無限集合の要素の数に相当する概念。 無限集合の相等は、「1対1の対応」が存在する場合とする。 整数の濃度＝自然数の濃度 、と対応付けることで、「1対1の対応」付けができる。 平面上の格子点の集合の濃度＝自然数の濃度 前回までの議論のように、 と渦巻き状に対応付けることで、 座標から順番が求まり、順番から座標が求めることができる。これは、「1対1の対応」付けができることを示している。 有理数の集合 は整数、 とする。 分母が１の有理数は整数であるので、はに含まれることが分かる。（これを、 と書く。） また、分数を格子点に対応づけることで、がわかる。 以上により、がわかる。 ゆえに、有理数の濃度＝整数の濃度＝自然数の濃度、が結論付けられる。 有理数は、整数や自然数よりも多く感じるけど、実は「同じ」個数であることが分かったのである。 (7).カントールの対角線論法 有理数の数号は可算であることが分かったが、実数は可算ではない。 これを証明するのが、「カントール(Cantor)の対角線論法」である。 少し難しいが、証明の素晴らしさを味わってほしい。 「実数の集合は可算ではない」ことを証明する。 まず、結論を否定して矛盾を見出す「背理法」で証明する。 実数の集合が可算である、と仮定する。特に、０より大きく１より小さい実数の集合で考える。 は実数 仮定より、すべての実数に番号を付けて、下記のように、一列に並べることができる。 1番目 ・・・ 2番目 ・・・ 3番目 ・・・ n番目 ・・・ （は、番目の数の桁目、である） このとき、 のとき 、 のとき として、数を定める。 すると、この数は、上で並べたどの数とも一致しない。 これは、すべての実数に番号を付けて並べたことに矛盾する。 ゆえに、すべての実数に番号を付けることは出来ない （証明終わり） 上の議論で、有理数と実数は濃度が異なることが分かった。 無限集合に、濃度の違う集合がある。「濃い無限」と「薄い無限」がある。 この他にも濃さの違う無限があるのか、これは20世紀の数学者が追及している問題であり、今後も追及され続ける問題なのである。 第2章.ユークリッドの互除法 (1).整除について 【定義】 整数に対して、 となるとき、をで割った結果を「商」といい、余りを「剰余」という。このとき、 の関係が成り立つ。 【定理】剰余については、 を満たすように取ることができる。 （問題）次のそれぞれの場合に定理の式を成り立たせるを求めよ。 （解答） より、 より、 より、 より、
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登録日：2023/08/11 Fri 11 06 00 更新日：2024/09/26 Thu 13 00 31NEW! 所要時間：約 60 分で読めます ▽タグ一覧 何故か立ってしまった項目 数学 濃度(食塩水の話ではない) 無限 集合論 無限には、「濃さ」があります。 ●目次 0. 概要 1. 集合の大小 2. 濃度 3. 可算濃度 ～アレフ0～偶数全体の集合 整数全体の集合Z 有理数全体の集合Q 4. 連続体濃度 ～ベート1～カントールの対角線論法 5. 余談 0. 概要 数学における濃度(cardinality)とは、有限集合の元の「個数」の概念を無限集合に拡張したものである。自然数を一般化した基数(cardinal number)というものを使って表す。 ただしここでは「0」も自然数に含め、そのうえで空集合については「濃度0」と定義する。「何を当たり前のことを」と思うかもしれないが、空集合は元を持たないので「数える」や「写像の対応」が意味を成さないからである。 .........もちろんちゃんと説明します。 1. 集合の大小 例えばこんな問題を考えてみよう。 「ある2つのクラス、A組とB組の生徒の人数を比較するにはどうすれば良いか？」 これを解決するための2通りの方法を見よう。 ① 数える おそらく99%の人が最初に答えるだろう。「数えたらええやん」と。全くもってそのとおりである。 A組の人数を数えたら30人、B組も同じく30人。人数は同じ。そうじゃなければ同じじゃない。 これを読んでいる方々から「さすがにナメてんのか」と怒られそうであるが、ちょっと待ってほしい。 こっちの方法は重要じゃなく、メインは次の②の方法。 ② ペアを作る 体育の授業の時のあのトラウマが蘇った？私もです...... A組とB組の生徒たちをまずは出席番号順に並べる。そして、同じ出席番号の人同士でペアを作らせる。もちろん違う番号の人とはペアにならない。 この時、全員がペアを作れたら人数は同じ、ぼっちが発生したら人数は同じじゃない。 文字で書くと分かりにくいかもしれないが、考えれば当たり前のことである。ナメてません。 さて、このペアを作る方法だが、実はこれが超重要。それは、この記事のテーマである濃度を数えるときにも使えるから。 2. 濃度 さて、濃度の説明をする前に、少しだけ集合の概念について1つ説明しておきたい。 さっきの「ペアを作る」あれは、数学的には「全単射がある」という。 全単射とは、簡単に言うと「漏れもダブりもない写像」のこと。 イメージしにくい人は「漏れ」はペアを組めない仲間外れが生じる事、「ダブり」はペアの片割れが別の相手ともペアを組んでいる状態と考えれば問題ない。 写像とは、元から元の対応のことで、「数から数への対応」となっている写像が一般に関数と呼ばれる。 (ちなみに全単射とは、全射かつ単射であるような写像のことを言うのだが、この2つは今回は無視して大丈夫。) 全単射の図 ①──＞➊ ②──＞➋ ③──＞➌ ④──＞➍ ⑤──＞➎ 有限集合なら、全単射が存在することと、元の個数が同じことは同値。これは、さっきの生徒にペアを作らせたのを思い出せばわかる。 これが、なんと無限集合でも同じ主張が言える。つまり、 「2つの無限集合AとBについて、その間に全単射が存在するならば、AとBの濃度は同じ」 ことが言えるのだ。上の全単射の図が、6番以降もず～っと果てしなく下まであるイメージを持ってもらえたならOK。 3. 可算濃度 ～アレフ0～ いよいよ「濃度」の種類、すなわち無限の種類を見ていこう。 皆さんが思いつく最も簡単な無限集合は、おそらく自然数全体の集合Nだろう。 何を隠そうこのNが、基数アレフ0の濃度、「可算濃度」を持つ「可算無限」(*1)だ。 (なお、本来の表記はヘブライ文字のアレフ「א」と、その右下に数字の0を小さく書くのだが、本記事では「アレフ0」と表記する。) そして、このNこそ、可算濃度の代表なのである。先ほど 「2つの無限集合AとBについて、その間に全単射が存在するならば、AとBの濃度は同じ」 と言ったが、このAをNに変えた 「2つの無限集合NとBについて、その間に全単射が存在するならば、NとBの濃度は同じ」 がもちろん成り立つ。では、このBにいろんな無限集合を突っ込んでみよう。 偶数全体の集合 「自然数と偶数が同じ個数だけある」なんて話を聞いたことがあるだろうか？ 「いやいや、2で割り切れる自然数が偶数なんだから、偶数は自然数の半分しかないやろ！」と思うが、実は上の主張は正しい。無限集合に「個数」というワードを使っていることを除けば、だが。 そう、この一見矛盾した主張は、「自然数全体の集合と偶数全体の集合は同じ濃度である」とするのが表現的にも正しいということ。 「いやいやいや、言うても偶数の方が"薄い"気がするけど？」と言われそうだが、ここで1つアドバイス。 数学には、直感的にはどう考えてもおかしいとしか思えないけど数学的に正しいなんてものはたくさんある。例えば「バナッハ＝タルスキのパラドックス(*2)」とか。 特に今回のような、無限からが絡むものについては顕著にこの傾向がある。直感より数式を信じよう。 では、Nと偶数全体の集合を比べていこう。どんな風に全単射を作るかというと、ズバリこう。 1──＞2 2──＞4 3──＞6 4──＞8 5──＞10 ... 自然数1から順番に2,4,6,8,10,......つまり、自然数nに対して2nを対応させれば、これで全単射ができている。 1つの偶数に向かって2つ以上の自然数が対応していたり、逆にどの自然数とも対応していないような偶数もない。 すなわち、偶数全体の集合もNと同じ、アレフ0の可算濃度を持つことが分かった。 同じ理屈で「k(3以上の整数)の倍数全体の集合」や「奇数全体の集合」、「素数全体の集合」、「2以上の自然数全体の集合」の様なNからいくつか(有限個)の数を取り除いた虫食い状の集合も可算濃度であることを示せる。 要はNに含まれるか、あるいは同値な変形でNに含まれる様に書き換えができる無限集合は須く可算濃度で、これは言い換えると、可算濃度より小さい濃度は必ず有限の濃度になると言うことである。 そのため、有限集合と可算濃度の無限集合と抱き合わせで、高々可算であると表現することがある。 Nは言わば、「最も小さい無限集合」なのだ。 整数全体の集合Z では整数はどうだろうか。整数全体の集合はZで表し、自然数に0とマイナスを加えたもの。先ほどの偶数が基準のNより直感的に小さいのに対し、こちらは大きい。 だが、結論から言ってしまえば、ZもNと同じアレフ0の濃度を持つ。図のように書くのは省略するが、1から順番に 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, ... と、0からスタートし、プラスマイナスを交互に変えながら数字の部分を増やしていきながら対応させると、これで全単射が出来上がる。 有理数全体の集合Q 有理数(整数/自然数と言う形の分数で表せる数のこと。整数nは「n/1」で表せるので有理数の仲間)は稠密性を持つ。 どういうことかと言うと、a bを満たす有理数a,bに対し、a r bを満たす有理数rが無限に存在する。実際r=(a+b)/2は条件を満たす有理数である。 するとa rあるいはr bに対しても同様であるからこの議論を繰り返すことが出来る。だとすると直感的にはNよりはるかに多いように感じる。 だが、有理数全体の集合Qも、Nと同じアレフ0の濃度を持つ。 付番方法の例として、次のような方法がある。ただしこの方法は直積集合N×Nの濃度がアレフ0であることを既知としている。 最初を0とする。 次に、第一象限の格子点の座標(n,m)を(1,1), (2,1), (1,2), (3,1), (2,2), (1,3), ...といった具合に並べる。その後格子点の座標(n,m)を有理数n/mに置き換え、既に同じ数が左にあればこれを消して詰めることで最初の0と併せて上の例では0, 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, ...となる。これで「非負の有理数」全体の集合の濃度がアレフ0となることがわかる。 最後に負の有理数を整数の場合と同様にして0, 1/1, -1/1, 2/1, -2/1, 1/2, -1/2, 3/1, -3/1, 1/3, -1/3, ...とすることにより有理数全体に番号付けができる。よってQの濃度はアレフ0である。 4. 連続体濃度 ～ベート1～ ここまでNを基準に、Z、Qがアレフ0の濃度を持つことが分かった。この調子で実数全体の集合RもNとの全単射を探すが...... 実は、Rの濃度はアレフ0ではない。 「無限には濃さがあるっちゅうのにアレフ0しか出てきてへんやないかい！」と思っていたそこのあなた、お待たせしました。 Rの濃度を「連続体濃度」と言い、基数「ベート1」で表す。 (「アレフ0」と同じく、本来はヘブライ文字のベート「ב」の右下に小さく1を書く。) では、RがNより"濃い"ことを証明しよう。 カントールの対角線論法 19世紀ドイツの数学者ゲオルグ・カントールが思いついた、トリッキーな証明。背理法を用いるので、まず 「NとRは同じ濃度である」と仮定しよう。さらに簡単のため、Rの範囲を狭くして「0より大きく1より小さい実数全体」の集合である開区間(0,1)に置き換えてよい。 実際、(0,1)とRは同じ濃度である。例えばy=tan(π(x-1/2))は(0,1)からRへの全単射写像である。 よって、Nと(0,1)が同じ濃度と仮定してもよく、ならば全単射が存在するはずである。こんな風に。 1──＞0.12345... 2──＞0.59817... 3──＞0.31415... 4──＞0.30458... 5──＞0.15168... ... ただし、以下の二点に注意する必要がある。 小数点以下の少なくとも1つの位は0でない 9が無限に続く表記は用いない(*3) 言い換えれば、上のリストには(0,1)内のすべての実数がリストアップされているはずだ。 ここで、ある実数Aを考える。それがこちら。 A = 0.22121... こいつはいったい何なのか説明すると、「Aの小数第n位は、上のリストの自然数nに対応する実数の小数第n位が偶数なら1、奇数なら2」という実数だ。 他の例に漏れず言葉で書くとよく分からなく見えるのでちゃんと説明しよう。 1に対応する実数は0.12345...で、小数第1位は奇数なので、Aの小数第1位は2。 2に対応する実数は0.59817...で、小数第2位は奇数なので、Aの小数第2位は2。 3に対応する実数は0.31415...で、小数第3位は偶数なので、Aの小数第3位は1。 4に対応する実数は0.30458...で、小数第4位は奇数なので、Aの小数第4位は2。 5に対応する実数は0.15168...で、小数第5位は偶数なので、Aの小数第5位は1。 こんな感じである。さて問題。このAは、このリストに入っているだろうか？ 仮定より、(0,1)内のすべての実数はこのリストに含まれているので、もちろんAもその一員のはず。では具体的にどのnと対応しているだろう？ 1ではないことはわかる。なぜなら小数第1位の偶奇が違うから。2ではないこともわかる。なぜなら小数第2位の偶奇が違うから。 3ではないこともわかる。なぜなら小数第3位の偶奇が違うから。4ではないこともわかる。なぜなら小数第4位の偶奇が違うから...... もちろん9が無限に続くなんてことも起こらない。なぜなら各位は1か2だから。 あれれ～？おっかしいぞ～？ Aはこのリストの一員のはずだ。それなのに、すでにnと対応しているどの実数とも等しくない。なぜなら小数第n位の偶奇が違うから。矛盾である。 よって背理法が成立し、(0,1)はNよりも"濃い"ことが証明できた。 これでRはNよりも"濃い"ことが証明できたことになる。 Q.E.D. ここまで来ると直感なんて全くあてにならないことがわかるだろう。 (0,1)の濃度ですら、自然数の濃度より大きい。「自然数」を「有理数」と読み替えても同じこと。 実数は、自然数、整数、ひいては有理数よりも、気の遠くなるほどはるかに「ぎっちり」と並んでいるのである。 ちなみに、実数から有理数だけ取り除いた無理数全体の集合は、ベート1の連続体濃度を持つ。つまり実数全体の集合と同じ。 「実数なんて濃すぎて、有理数程度のうっすい集合引っこ抜いたくらいじゃ濃度は変わらない」みたいなイメージだろうか。 5. 余談 対角線論法を編み出したカントールであるが、晩年は精神に異常をきたしてしまいそれが原因で亡くなっている。その理由として、対角線論法が当時の数学界にとっては異質過ぎて誰にも賛同を得られなかったどころか「こんなの間違いだ！」と炎上してしまったことが原因という説がある。実際、この対角線論法が本当に数学的に正しいと証明されたのはカントールが世を去った後。存命中に功績は認められなかったのである。 可算濃度と連続体濃度の間には明確に大小関係が存在するが、「この2つの間にあたる濃度は存在しないの？」と思った人もいるかもしれない。実際この問題は「連続体仮説」と言う名前で「可算濃度と連続体濃度の間にはどちらにも当てはまらない濃度は存在しない。」という形でカントールによって提示されているが、なんとこの問題、20世紀中盤に条件に当てはまる濃度は、存在することも存在しないことも証明できないと言うことが示されている。(*4) 追記・修正は濃度といったら食塩水より集合をイメージする人がお願いします。 △メニュー 項目変更 この項目が面白かったなら……＼ポチッと/ -アニヲタWiki- ▷ コメント欄 [部分編集] よくわからん -- 名無しさん (2023-08-11 11 19 24) なるほどわからん -- 名無しさん (2023-08-11 11 39 04) 食塩水かと思った -- 名無しさん (2023-08-11 13 00 46) アレフとかの時点でわからなくなる -- 名無しさん (2023-08-11 13 09 10) 笑わない数学の項目建てて、そっちに数学関連をまとめられそう -- 名無しさん (2023-08-11 13 49 08) この辺りの学習には遠山啓の『無限と連続』(岩波新書)がいいと思う -- 名無しさん (2023-08-11 13 50 41) …？？？？？？？？？？？？ -- 名無しさん (2023-08-11 14 58 48) QEDでこんな話をしてたな -- 名無しさん (2023-08-11 18 26 07) 無限ホテル問題でこんなの聞いたことあるようなないような -- 名無しさん (2023-08-11 18 38 34) カントールはクロネッカーにもチクチク言葉吐かれて可哀相 -- 名無しさん (2023-08-11 19 43 48) この記事読むまで全射単射のイメージが掴めてなかったけどこの説明でなんとなく分かった気がする そして対角線論法の証明でまた分からなくなった 時間があったら詳しく調べてみるか… -- 名無しさん (2023-08-12 06 33 56) 連続体仮説は真としようが偽としようが無矛盾のルールを導けるって、これ非ユークリッド幾何学みたいなのと同じ理論が集合論でも展開できるってこと -- 名無しさん (2023-08-12 15 05 15) む、むずかしい・・・ -- 名無しさん (2023-08-13 01 40 24) 対角線論法ってそんなヒドい扱いされてたのか。カントール先生かわいそす -- 名無しさん (2023-08-13 12 28 19) ゲオルグの名にかけて無限性の濃度が違う -- 名無しさん (2023-08-13 16 31 13) この手の項目で間違いなく正しく書けてるのは珍しいな -- 名無しさん (2023-08-19 23 49 27) 最近無限の勉強してたからちょうど良かった -- 中並感 (2023-10-22 08 30 34) 名前 コメント
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無限論の教室 野矢 茂樹 タジマ先生、タカムラさん、僕が発見していく無限のヒミツ 2008.1 目次を見れば分かるように、無限論としてはオーソドックスな内容をオーソドックスな順序で扱っている。ただし、その哲学的な意味を登場人物の会話の中や主人公である「僕」のモノローグとして表現しているところが親しみやすいし実感として飲み込みやすい。 目次 学生が二人しかいなかったこと・教室変更 気まずい時間・アキレスと亀・自然数は数えつくせない チョコレートケーキ・パラドクスへの解答・可能無限と実無限 全体と部分・キリンとカバ・次元の崩壊 実数・独身製作器としての対角線論法・喫茶店のネコ進法講義 実数とは何か・ピタゴラスと豆大福・余興 マジタ・ベキ集合と概念実在論・ヨウカン（漢字）の思い出 一般対角線論法・無限の無限系列・カントールのパラドクス 土手の散歩・ラッセルのパラドクス・嘘つき・自己意識の幻想 直感主義・パラドクス断罪・虚構と排中律・ブラウアーの手袋 厚い部屋・形式主義はいかにして排中律を取り戻そうとしたか ゲーデルの不完全定理・G・インドのとら狩り 詳細 講談社現代新書 (1998/09) 235ページ ISBN-10 4061494201 ISBN-13 978-4061494206 発売日： 1998/09
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対角線論法 閉包 コーシー列 {a_n}がコーシー列である ⇔ 任意の正の数εに対してある数Mが存在して M m,nならば|a_m - a_n| εが成立する。
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書籍ライブラリ 数学、論理学、天文 無限論 無限論の教室 野矢 茂樹 タジマ先生、タカムラさん、僕が発見していく無限のヒミツ 2008.1 目次を見れば分かるように、無限論としてはオーソドックスな内容をオーソドックスな順序で扱っている。ただし、その哲学的な意味を登場人物の会話の中や主人公である「僕」のモノローグとして表現しているところが親しみやすいし実感として飲み込みやすい。 目次 学生が二人しかいなかったこと・教室変更 気まずい時間・アキレスと亀・自然数は数えつくせない チョコレートケーキ・パラドクスへの解答・可能無限と実無限 全体と部分・キリンとカバ・次元の崩壊 実数・独身製作器としての対角線論法・喫茶店のネコ進法講義 実数とは何か・ピタゴラスと豆大福・余興 マジタ・ベキ集合と概念実在論・ヨウカン（漢字）の思い出 一般対角線論法・無限の無限系列・カントールのパラドクス 土手の散歩・ラッセルのパラドクス・嘘つき・自己意識の幻想 直感主義・パラドクス断罪・虚構と排中律・ブラウアーの手袋 厚い部屋・形式主義はいかにして排中律を取り戻そうとしたか ゲーデルの不完全定理・G・インドのとら狩り 詳細 講談社現代新書 (1998/09) 235ページ ISBN-10 4061494201 ISBN-13 978-4061494206 発売日： 1998/09 無限 の快楽 石村 多門 とにかく陽気。数学と哲学を活き活きとした力に。買うなら今のうち。 2006.1 オンライン書店を含め、どの書店でも欠品となっていた幻の秀作。どうやら再版が出たようです。20世紀終盤に出版された本ですが、全然問題ありません。買うなら今のうちかも。 目次 オリエンテーション 哲学とは何か 「点と線」を推理する 「自然数の全体」は、存在するのか、しないのか ものともの差し 名指しと物差し 「始まり」の問い、神話から哲学へ 本当の存在するものは、ものか、性質か 犬は吠えるが、「犬そのもの」は吠えないのか あの世はあるのか、「このもの」しかないのか 「ものは空間の中にある」のか 運動が先か、空間が先か、力が先か 光は、ものか性質か、ものか空間か、ものか物差しか 時間という物差し 同著者、おそらくノリは一緒 ウイッシュリスト ウンコに学べ 2006.1 著者は大学の教授で、一般向けの著書は少ないのですが、この本が売れて再注目されたのかもしれません。そのうち読んでみようかな。 ご感想などお寄せ下さい。 お名前 コメント 無限論の教室 無限の快楽