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nとkを正の整数とし,P(x)を次数がn以上の整式とする.整式のn次以下の項の係数がすべて整数ならば,P(x)のn次以下の項の係数は,すべて整数であることを示せ.ただし,定数項については,項それ自身を係数とみなす. (Q(x)はxの整式)のn次以下の項の係数はすべて整数であるから示された.
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実数a,bに対し,,とする. (1)g(x)-xはf(x)-xで割り切れることを示せ. (2)g(p)=pかつf(p)≠pを満たす実数pが存在するような点(a,b)の範囲を図示せよ. (1) . (2) g(p)=pかつf(p)≠pを満たす実数pを(1)の結果に代入すると0=(f(p)-p)(f(p)+p+a+1)であるからf(p)+p+a+1=0. これをpの式と見た場合の判別式D≧0が必要.つまり. (i)等号が成立しない場合 f(x)+x+a+1=0は相異なる2実解を持つが,それらがいずれもf(x)-x=0の解となることはないので十分. (ii)等号が成立する場合 であるから, f(x)+x+a+1=0の解は,f(x)-x=0の解はとなるので, g(p)=pならばf(p)=pとなり題意を満たさない. 以上より,求める範囲はの領域.(放物線の下側.図省略)
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1からnまでの相異なるn個の自然数(n≧4)の中から無作為に2個を取り出し,大きい方を,小さい方をとする.つぎに残りの(n-2)個の自然数の中から無作為に2個を取り出し,大きい方を,小さい方をとする. (1)の期待値を求めよ. (2)の期待値を求めよ. (3)の期待値を求めよ. (1) 最初に取り出した2個の自然数がk,lである確率をとおく. 求める期待値Eはであるが, ここで最初に取り出す2自然数がk,lである確率とn+1-k,n+1-lである確率は等しいので, でもあり,両辺足して2で割ると. (2) である確率をとおく.の期待値はである. さて,のとき,は1からk-1までの自然数値をとり,その確率はいずれも等しいので期待値は. 従って,の期待値はとなるが,(1)の結果より. 従っての期待値は. (3) 最初に取り出した2個の自然数がk,l,次に取り出した2個の自然数がi,jである確率と最初に取り出した2個の自然数がi,j,次に取り出した2個の自然数がk,lである確率は等しいので,の期待値はの期待値に等しい. (2)の結果よりの期待値は.
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a,bはa bをみたす自然数とし,p,dは素数でp 2とする.このとき,であるならば,dを2pで割った余りが1であることを示せ. であり,これが素数なのでa-b=1. これより. ここで,1≦k≦p-1のときであり,pはkと互いに素なのではpの倍数. つまり,dをpで割った余りは1. これより,dを2pで割った余りは1かp+1である. ここで,b+1とbは偶奇が異なるので,とも偶奇が異なる.従ってdは奇数であるから,dを2pで割った余りはp+1(p 2なのでこれは偶数)にはならない. よって示された.
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0 c 1とする.0≦x 1において連続な関数f(x)に対して とおく.以下,関数を順次 により定める.また, とし,n=1,2,3,…に対し とおく.このとき,0 x 1を満たす任意のxに対しが成り立ち,さらにf(0)=1となるようなf(x)を定めよ. よりであるから. よって. とおくとである. の解はであることに注意してとおくと よりなのでゆえに. f(0)=1よりC-a=1.であるから, , . よって答えは.
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a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて,が成り立つことを示せ.また,ここで等号が成り立つのはどんな場合か. より (与式左辺)-(与式右辺). 等号成立はab≦0かつbc≦0かつca≦0のとき. このとき0≧(ab)(bc)(ca)=よりa,b,cの少なくとも1つが0となるが,これはab≦0かつbc≦0かつca≦0を満たす. よって,等号成立条件はa,b,cの少なくとも1つが0であること.
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Oを原点とする座標平面上の4点, , , で,条件 (n=2,3) を満たすものを考える.このとき,以下の問いに答えよ. (1) ,が曲線xy=1上にあるとき,はこの曲線上にはないことを示せ. (2) ,,が円周上にあるとき,もこの円周上にあることを示せ. (1) ,が曲線xy=1上にあるとき,がこの曲線上にないことを示せば良い. (i=1,3)とすると, であるが, よりはxy=1上にはない. (2) より示された.
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は正の整数でを満たしている.n=1,2,…について,を次式できめる. (1)を数学的帰納法により証明せよ. (2)およびを示せ. (3)となったときのmについて,を求めよ. (1) n=1のとき成り立つ. あるkについてとする. より が成り立ち,数学的帰納法より全てのn≧1でとなる. (2) である. とする. であるが,よりではない.つまり. . これよりなので であり,より. よって数学的帰納法により全てのnに対して. また,かつより. (3) となるとき,かつ. ここで,とすると,. であるがよりなので左辺の複号は負. つまり,. また,より.これらより. の場合と合わせて,答えは.
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行列で表される1次変換をf,行列で表される1次変換をgとする. (1)どんなベクトル,に対しても,内積の間にの関係が成り立つことを示せ. (2)fが原点Oを通る直線lをそれ自身にうつすとする.l上にOと異なる点Pをとり,Pのfによる像をQ,gによる像をRとする.このとき,次の(イ)(ロ)のいずれかが成り立つことを示せ. (イ)Q=R (ロ)3点Q,R,Oは直角三角形の頂点となる. (1) ,とおくと, , より成り立つ. (2) (1)の結果にを代入して変形すると,. とおくと,,なので . ここで,PはO上にないので,または. (i)のとき (イ)が成立する. (ii)ではなくのとき, fはlをlに移すことからQ≠OではなくOP//OQなのでRQ⊥OQ. このとき,なのでR≠O. 以上よりRQ⊥OQでO,Q,Rが相異なる点なのでこれらは直角三角形の頂点となり(ロ)が成立する.
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