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1辺の長さ2cmの正四面体を，1つの面を下にして水平面上に置く．この正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体Hを中空の容器と考える． (1)容器Hの高さ(cm)を求めよ． (2)水を毎秒1cmの割合でHに注入するとき，水面の高さがhcmになるまで要する時間t(秒)を求めよ． (1) 水平面上に置いた正四面体の底面を三角形ABC，残りの頂点をOとする． OA,OB,OC,AB,BC,CAの中点をそれぞれP,Q,R,S,T,Uとおく． また，OからABCに下ろした垂線の足をHとおく． であり，Hは△ABCの重心であるから． これより． 求める高さはこの半分であるから，(cm)． (2) △ABCの面積は． 高さがhcmの時の水面を含む面での四面体OABCの断面を考える． この断面の三角形を底面としてOを頂点の一つとする四面体は四面体OABCに相似であり，相似比はなので， この断面の面積は． また，同じ面と四面体PAUS，PBST，PCTUの断面の面積も同様に． これらより水面の面積は． 従って，水面の高さがhcmのときの水の量(cm)，すなわち水を注入した時間t(秒)は．
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p,qを2つの正の整数とする．整数a,b,cで条件 -q≦ b≦0≦ a≦ p，b≦ c≦ a を満たすものを考え，このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ．各(p,q)パターン[a,b;c]に対して w([a,b;c])=p-q-(a+b) とおく． (1) (p,q)パターンのうち，w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ． また，w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ． 以下p=qの場合を考える． (2) sを整数とする．(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ． (3) (p,p)パターンの総数を求めよ． w([a,b;c])=xとなるものの個数をn(x)とおく． (1) w([a,b;c])=-qのときa=p, b=0なので，条件を満たすcの個数はa-b+1=p+1．よってp+1個． 同様にw([a,b;c])=pのときq+1個． (2) 対称性よりn(-p+s)=n(p-s)． t=|s-p|に対しw([a,b;c])=tとなるものを考えると, t pのときは0個， t≦pのときは (a,b)=(t+m,-m) (0≦m≦p-t)であり，このとき条件を満たすcの個数はa-b+1=t+1+2m． であるから， s 0,2p sのとき 0個 0≦s≦2pのとき(p+1)(p-|s-p|+1)個 (3) 求める個数は .
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f(x)はすべての実数で定義された関数でをみたすとする．実数aを1つ固定して，新しい関数g(x)を と定義する．このときg(x)は増加関数であることを示せ． x aのとき，平均値の定理よりg(x)-g(a)=f (b)-f (a)=(b-a)f (c) 0 (a c b x)となるb,cが存在する． 従ってg(a) g(x)．同様にx aのときg(x) g(a)．これよりh≠0に対しなのでg (a)≧0． x aのとき，平均値の定理より (a c b x)となるb,cが存在する． 従ってg (x) 0．同様にx aのときg (x) 0． 以上よりg(x)が増加関数であることが示された．
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すべては0でないn個の実数があり，かつを満たすとき，が成り立つことを証明せよ． ．等号成立は (k=1,2,…,n-1)であり，このとき全て0となるので不適． つまり． また，． ここで「ならば (k=1,2,…,n-1)」と仮定すると，数学的帰納法によりとなり不適． 従って，となるj (1≦j≦n-1)が存在する． このとき，k≦jのとき，j kのときなので $$a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n=$a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n-j(a_1+ a_2+ \cdots+ a_n)=-((j-1)a_1+ (j-2)a_2+ \cdots a_{j-1})+(a_{j+1}+2a_{j+2}+\cdots+(n-j)a_n) 0$$
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行列で表される1次変換をfとする． (1)fによる全平面の像は直線l 2x+y=0であることを示せ． (2)平面上の点P(x,y)に対し，l上の点でPとの距離が最小となる点をQとし，fによる像がQとなる点のうちで，原点との距離が最小となる点をP とする．P の座標(x ,y )をx,yで表せ． (3)点P(x,y)に点P (x ,y )を対応させる写像をgとする．合成写像およびを求めよ． (1) 平面上の点P(x,y)に対し，であり，このとき2(x-y)+(-2x+2y)=0が成り立つので，fによる全平面の像は直線lに含まれる． また，直線l上の任意の点(x,-2x)に対し，x軸上の点P(x,0)をとるとが成り立つので，直線lはfによる全平面の像に含まれる． 以上より示された． (2) R(p,q)に対し，とlが直交することが，f(R)=Qであることの必要十分条件である． がlの法線ベクトルに平行ならばlと直交する． このときつまり． 従ってRは傾き1，y切片の直線上にあるが，この直線にOから下ろした垂線の足がP であり，となる． (3) gは行列で表される一次変換である． f,gを表す行列をF,Gとおくと， であるから， および．
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A,B,C 3人がいて，それぞれ，赤札と白札を1枚ずつ持っている．この状態から出発して，次のような札の移動を何回か行う． 各回の移動では，AはBに，BはCに，CはAに，持っている札2枚のうち1枚を無作為に選んで，同時に渡す． (1)何回かの移動の後起こりうる札の状態を全部書き上げ，それらにというように記号をつけよ．ただし，最初の状態にはをつけよ． (2)上で得た各状態から1回の移動でになる確率をそれぞれ求めよ． (3)最初の状態からn回移動したとき，の状態にかえっている確率を求めよ． (1) A,B,Cの持つ赤札の枚数を(k,l,m)で状態を表す．白札の枚数はそれぞれ(2-k,2-l,2-m)である． (2) (i)i=0のとき A,B,CがB,C,Aに渡す札の色が全て同じで(赤,赤,赤)か(白,白,白)となる確率はでこのときとなる． A,B,CがB,C,Aに渡す札の色が(白,赤,赤)となる確率はでこのときになる． 他も同様なので，あわせて， (j 0) (ii)iが奇数のとき i=1の場合を考える．A,Bが渡す札の色は赤,白で固定であり，Cが赤を渡すとに，白を渡すとになる．それぞれの確率は． i=3,5の場合も同様であるから，，． (iii)iが2以上の偶数のとき i=2の場合を考える．A,Cが渡す札の色は赤,白で固定であり，Bが赤を渡すとに，白を渡すとになる．それぞれの確率は． i=4,6の場合も同様であるから，．，． 以上を合わせて，， (j 0)，(i 0)，(0 i 6)，． (3) であり， n+1回移動したときは． これよりなので．
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平面内でzx平面上の放物線をz軸のまわりに回転して得られる曲面に4点(ただし0 t 1)で，それぞれ接する4つの平面を考える． (1)この4つの接平面とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ． (2)V(t)の最小値と，そのときのtの値を求めよ． (1) における接平面の式は，つまり． この平面とxy平面の交線は． 同様に考えて，他の接平面とxy平面の交線により囲まれる図形は一辺の正方形． また，どの接平面も点を通るので，接平面どうしの交線はこの一点で交わる． 従って求める図形は正四角錐となり，高さは． これより求める体積は． (2) 相加平均と相乗平均の関係より， . つまりのときに等号が成立するのでこのときV(t)は最小値をとる．
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定数a,p,qに対して，次のように,の列を作る． , (1)を求めよ． (2)のとき，を求めよ． (1) ． とおくと，． 従って (2) |2(1-a)| 1なので，とおくと ． つまり
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とするとき， を求めよ． ． したがって であるから ． より． より ． これらよりはさみうちの原理から．
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AとBの2人が次のようなゲームを行う．nを自然数とし，Aはそれぞれ0,1,2,…,nと書かれた(n+1)枚の札をもっている．Bはそれぞれ1,2,…,nと書かれたn枚の札をもっているとする．第1回目にBがAの持札から1枚の札をとり，もし番号が一致する札があればその2枚の札をその場に捨てる．番号が一致しない札はそのまま持ち続ける．次にBに持札があればAがBの持札から1枚の札をとり，Bと同じことをする．こうして先に札のなくなったほうを勝ちとする．Aが勝つ確率を，Bが勝つ確率をとする．ただし相手の札をとるとき，どの札も等しい確率でとるものとする． (1),,,を求めよ． (2)，，(n=3,4,5,…)であることを示せ． (3)を求めよ． (1) (i)n=1のとき BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率はであり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれである． BがAから1と書かれた札を取る場合，その確率はであり，このときBの勝ち． 従って，，であるから，． (ii)n=2のとき BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率はであり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれである． BがAから1か2と書かれた札を取る場合，その確率はであり，次にAがBの札をとったときにBは札がなくなるのでBの勝ち． 従って，，であるから，． (2) n≧3とする． BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率はであり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれ，． BがAから1からnのいずれかが書かれた札を取る場合，その確率はであり，その後AはBから1からnまでのいずれかをとるので，A,Bが勝つ確率はそれぞれ，である． 従って，，…①． 両辺加えてであるから，． ここで，(1)よりであるから，(この式はn 3でも成り立つ)． を①に代入して整理すると…②． (3) ②より． これより，．