約 1,503,033 件
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/180.html
正4面体の4つの頂点をA,B,C,Dとする．s,tを0 s 1，0 t 1を満たす実数とし， 線分ABをs 1-sに内分する点をE, 線分ACをt 1-tに内分する点をF, 線分ADをt 1-tに内分する点をG とおく．3点E,F,Gを通る平面が，3点B,C,Dを通る円と共有点を持つためにs,tの満たすべき条件を求め，点(s,t)の範囲を平面上に図示せよ． CDの中点をM，AからBCDに下ろした垂線の足をHとする． Hは△BCDの重心なので． A,B,M,Hは同じ平面上にあり，この平面αと3点B,C,Dを通る円の交点をPとおくとより． FGとαの交点をQとおく．FG⊥αなので3点E,F,Gを通る平面はαに垂直．従ってこの平面をαに射影すると直線EQとなる． また，CD⊥αなので3点B,C,Dを通る平面はαに垂直．従って3点B,C,Dを通る円をαに射影すると線分BPとなる． したがって，求める条件は直線EQと線分BPが共有点を持つことと同値である． これは，PQとAMの交点をRとしたとき，Qが線分RM上にあることと同値．つまり，AR=uAMとおいたときu≦t． ここで，メネラウスの定理より であり， u≦t⇔なので が満たすべき条件． これよりつまり． (図省略．0 s 1，0 t 1のうち，とを漸近線とする双曲線((0,0),(1,1)を通る)の上側．)
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/194.html
1番から7番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる．客が順に到着して次のように着席していくとする． (イ)両端の席および先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率はすべて等しい． (ロ)両端が空席の席に着席する確率は，隣の席にすでに先客が着席している席または端の席に着席する確率に比べて2倍である． このとき (1) 3人目の客が到着したときに，すでに1番と3番の席に先客が着席している確率を求めよ． (2) 4人目の客が到着したときに，すでに2番と4番と6番の席に先客が着席している確率を求めよ． 1人目，2人目，3人目の客が座る席の番号をX,Y,Zとする． (1) P(X=1)=pとおくと，なので，より12p=1．すなわち．よって． 同様の計算により，X=1であるときのY=2である条件付き確率は．よって． 同様に． 従って，求める確率は $$P(X=1,Y=3)+P(X=3,Y=1) =P(X=1)P(Y=3|X=1)+P(X=3)P(Y=1|X=3) =\frac1{12}\frac15+\frac16\frac18 =\frac3{80}$$． (2) (1)より． (1)と同様の計算により，，． 席の番号を逆から数えても同じことなので，P(X=k,Y=l,Z=m)=P(X=8-k,Y=8-l,Z=8-m)． 一人目が2,4,6番のどれに座っても，2,4,6のうち残った2つの席は等価なので，{k,l,m}={2,4,6}のときP(X=k,Y=l,Z=m)=P(X=k,Y=m,Z=l)． これらより，P(X=2,Y=4,Z=6)=P(X=2,Y=6,Z=4)=P(X=6,Y=2,Z=4)=P(X=6,Y=4,Z=2)． また，P(X=4,Y=2,Z=6)=P(X=4,Y=6,Z=2)． 条件付き確率の定義を考えると，P(Z=m|X=k,Y=l)=P(Z=m|X=l,Y=k)． 従って求める確率は ．
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/10.html
関連ブログ @wikiのwikiモードでは #bf(興味のある単語) と入力することで、あるキーワードに関連するブログ一覧を表示することができます 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http //atwiki.jp/guide/17_161_ja.html たとえば、#bf(ゲーム)と入力すると以下のように表示されます。 #bf
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/127.html
円C x^2+y^2=1を内部に含む楕円D (a 0,b 0)がある． D上の1点P(0,b)からCに1つの接線をひき，その延長が再びDと交わる点をQとする． QからCにPQとは異なる接線をひき，その延長が再びDと交わる点をRとする．RからCにQRと異なる接線をひき，その延長がDと再び交わる点をSとすると，S=Pとなった．このときaをbの関数として表せ． QとRはPからCに引いた2接線とDの交点なので，y軸について対称． これよりQRはx軸に平行なので，Qのy座標は-1となる． Qのx座標をqとおくと，QはD上にあるので． これより…①． PQの長さをrとおくと，…②． △PQRの面積Sは，QRを底辺とみると…③． また，内接円Cの半径が1なので…④． ③と④よりr=b|q|，これを②に代入してより． これを①に代入して．
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/57.html
座標平面において，媒介変数tを用いて，x=cos2t，y=tsint (0≦t≦2π)と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ． x=cos2tはtが0→→π→→2πと変化するときに，1→-1→1→-1→1と変化する． 曲線のそれぞれの部分を (n=1,2,3,4)とおくと， t=0,π,2πのとき(x,y)=(1,0)であり，これ以外のとき (m=1,2, n=3,4)であるから， 曲線の囲む面積Sは． のとき，であり， ． これより，xをcos2tに置換して に置換 .
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/65.html
p,q,rは実数とする．3次方程式において，一根が1で，他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ． 他の2根をa，bとおく． (i)aが虚数の場合 bはaの共役複素数なのでab=1．a+b=tとおくとより|t| |a|+|b|=2． 与式左辺となるので，r=-1，p=-qかつ-3 p 1． 逆にr=-1，p=-qかつ-3 p 1のとき，与式左辺であり， の判別式よりの根は虚数でありいずれも絶対値1． (ii)aが実数のときbも実数であり，(a,b)=(1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)のいずれか． 従って与式左辺． つまり，(p,q,r)=(-3,3,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,1)． (i),(ii)を合わせて(p,q,r)=(p,-p,-1) [-3≦p≦1]，(-1,-1,1)
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/27.html
四面体OABC において, 4 つの面はすべて合同であり, OA = 3 , OB = ,AB = 2であるとする。また, 3 点O, A, B を含む平面をL とする。 (1) 点C から平面L におろした垂線の足をH とおく。を とを用いて表せ。 (2) 0＜t＜1 を満たす実数t に対して, 線分OA, OB 各々をt 1 - tに内分する点をそれぞれ , とおく。2 点 , を通り, 平面L に垂直な平面をM とするとき, 平面Mによる四面体OABC の切り口の面積S( t )を求めよ。 (3) t が0＜t＜1 の範囲を動くとき, S( t )の最大値を求めよ (1) ,,とおく． ，，， , , . とおくと，より， , なので． (2) Mと直線OCの交点をRとおき，とおく． するとRから平面Lにおろした垂線の足をH とおくと． これが上にあるので，． (i) 0 t≦のとき 切り口は△であり， より 面積は. (ii) t 1 のとき MとAC,BCの交点をそれぞれT,Uとする． Tは上にあるのでとおけ， TがAC上にあることからよって これより,同様に． よって△TURの面積は△の面積の倍． 切り口は四角形なので， S(t)=(△の面積)-(△TURの面積)=. (3) 0 t≦ではS(t)は単調増加なのでが最大． t 1では なので， が最大であり，これはより大きいのでこれが求める最大値である．
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/6.html
更新履歴 @wikiのwikiモードでは #recent(数字) と入力することで、wikiのページ更新履歴を表示することができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http //atwiki.jp/guide/17_117_ja.html たとえば、#recent(20)と入力すると以下のように表示されます。 取得中です。
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/78.html
1.変数tがt 0の範囲を動くとき , について，f(t)の最小値は，g(t)の最大値はであることを示せ． 2. 略 1. t 0より，相加平均と相乗平均の関係から, なので (等号成立はt=1)よりf(t)の最小値は． ． f(t) 0なのではf(t)が最小のときに最大となり，その値は． 2. 略
https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/64.html
n枚のカードがあり，それぞれのカードにはという数字が記入されている． これをよく混ぜて無作為（任意）に1枚のカードを取り出すとき，それに記入された数の期待値（平均値）をEとする． また，同時に2枚のカードを取り出すとき，記入された2数の和の期待値（平均値）をFとすれば， F=2Eとなることを示せ．(n≧2) 無作為に一枚取り出し，戻して再度1枚取り出す操作を考える．和の期待値は2E． ここで，2回目に1回目と同じものが出るか否かで場合分けをする．出る場合の期待値は2E，出ない場合の期待値はFに等しい． 2回目に1回目と同じものが出る確率をpとすると，n≧2のときp≠1であるから2E=p2E+(1-p)FよりF=2E．