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位相空間 位相空間 開集合系 分離公理(第1〜第4)分離公理 Tychonoffの分離公理 位相空間 位相空間の定義にはいくつか公理があるがそれらは全て同値である。 開集合系による定義 閉集合系による定義 近傍系による定義 開核作用素による定義 閉包作用素による定義 開集合系 Xの開集合の族(位相)が与えられて以下の条件を満たすとき、これの元を開集合とよび、Xを位相空間とよぶ。 なお、は任意の添字集合である。 分離公理 位相空間は分離公理によって種類分けをすることができる。 分離公理には以下のようなものがある。 (第1〜第4)分離公理 (フレシェ空間) 異なる２点に対し、どちらか片方のみを含むような開集合が存在する (ハウスドルフ空間) 異なる２点に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する 閉集合とそれに含まれない点に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する 互いに交わらない２つの閉集合に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する はよりも強い。 はよりも強い。 Tychonoffの分離公理 閉集合とそれに含まれない点に対し、これらを分離する連続函数が存在する , を満たす空間を正則と呼ぶ。 , を満たす空間を完全正則と呼ぶ(完全正則ならば正則)。 , を満たす空間を正規と呼ぶ(をとしても同値)。 名前 コメント
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位相空間論 位相空間論のゼミです。 概要 テキスト 内田伏一：集合と位相，裳華房(1986)．集合論を扱う第1章から第3章を飛ばして、第4章「距離空間」から始めました。 時間 金曜日の第3時限（13 00から14 30） 場所 不定。どこかの空き教室。 メンバー 1年生5名。もう1名居たような気もしますが、行方不明です。 指導者 なし 開始 2011年4月 形式 発表者がテキストに沿って発表する。 疑問 個人的なものとゼミで出たもの ぎもん こたえ 距離空間について「部分距離空間の距離位相」は「距離位相の部分位相」と一致するか．すなわち，を距離空間，をの空でない部分集合としたとき，の定義域をに制限したによって定まる距離空間の距離位相は，の距離位相によって定まるの相対位相に等しいか． 位相空間について，開集合かつ閉集合であるような集合は以外に存在するか． 例えば，に通常の距離を入れた空間において，は開集合かつ閉集合である． 集合に入る位相の数は？ を位相空間とする。となるは存在するか。
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[Def.]
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【種別】 バリア 【解説】 時空局率を極微のサイズで高め同軸対流という空間の歪曲壁を作り出すことで、 同質存在である重力波以外のあらゆる伝導を遮断する半透明の壁。 ただし、その遮断は壁の厚さ以下のものに限られる。 つまり壁の内外に、同時存在できるものならなんでも通す変わった壁。 これを発生させるのには膨大なエネルギーと最先端の技術が必要。 俗に言うティチエルのバリア・レジストシールドを示す。 【コメント】 別名、フェイズ・ウォール なんとなく作りました。だが反省はｒｙ
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【種別】 バリア？ 【解説】 時空局率を極微のサイズで高め同軸対流という空間の歪曲壁を作り出すことで、 同質存在である重力波以外のあらゆる伝導を遮断する半透明の壁。 ただし、その遮断は壁の厚さ以下のものに限られる。つまり壁の内外に 同時存在できるものならなんでも通す変わった壁。 これを発生させるのには膨大なエネルギーと最先端の技術が必要。 【コメント】
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実数論＝位相空間論 （⇔空間の境界：位相幾何学） 実数の重要な性質２つ：コンパクトと完備性（＋連結性） １．構成的導入：有理数まで代数的に作っておいて，そこから極限として実数を作る。 １．１．デデキント流：順序完備化→コンパクト 切断を考える。つまり，区間の端に点を構成するので，順序が重要。 点を「直線の交わりにできる」と考えたユークリッドの系譜 １．２．カントル流：（実数の）完備化 区間縮小法による。 点を「位置における統一」と考えたピタゴラスの系譜 ２．公理的導入：実数の基本法則を公理化してしまう。 実数の公理 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 距離空間の点 Def. 距離空間(X,d)，A⊂X，a∈X aが内点：∃r 0 N(a r)⊂A aが外点：∃r 0 N(a r)∩A=φ aが境界点：∀r 0 N(a r)∩A≠φ ∧ N(a r)∩c(A)≠φ aが触点：∀r 0 N(a r)∩A≠φ Aの内部int(A)：内点の全体 Aの外部ex(A)：外点の全体 Aの境界∂A：境界点の全体 Aの閉包a(A)：触点の全体 ※Th.開核int(A)，閉包a(A)は存在する。 Th. 距離空間(X,d)，に対し， ∀A⊂X X = int(A) + ∂A + ex(A) ⇔ ∀x∈X x∈int(A) xor x∈∂A xor x∈ex(A) ⇔ 距離空間は内部・外部・境界に直和分解できる。 Th. A ⊃ int(A) ex(A) = int(c(A)) ∂A = ∂(c(A)) ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 開集合・閉集合 Def. 開集合：A = int(A) 閉集合：F ⊃ ∂F；F = a(F) Th. Aが開集合 ⇒ c(A)は閉集合；Fが閉集合 ⇒ c(F)は開集合 Fが閉集合 ⇔ F=int(F)∪∂F Th. 閉包は閉集合：a(a(A))=a(A) 境界∂Aは閉集合：∂∂A=∂A；a(∂A)={a} 一点のみからなる集合{a}は閉集合：∂{a}={a}；a({a})={a} Th. 閉包a(A)は，Aを含む最小の閉集合 開核int(A)は，Aに含まれる最大の開集合 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 位相空間 Def. 離散空間：(X,P(X)) 密着空間：(X,{X,φ}) Def. 相対位相 積位相 商位相 Def. 誘導された位相 Def. 一様収束位相 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 連続写像・同相写像 Th. 有界性⇒連続性 ？ ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 点列連続 Def. f R→R, {x_n} Rの点列で，xに収束する。 fが点列連続：lim f(x_n)=f(lim x_n) Th. fが連続 ⇒ 点列連続 点列連続かつ第一可算公理を満たす ⇒ 連続 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 近傍系・開基と可算公理 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 連結 Def. E⊂C Eが領域：連結な開集合 Eが有界：∃M 0 E⊂N(0 M) Eが弧状連結 Eが連結 Eが単連結 Th. 弧状連結⇒連結 ？ ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● コンパクト Def. 位相空間(X,O)，A⊂X Aがコンパクト集合：任意の開被覆が有限な部分被覆を持つ Xがコンパクト空間：X自身がコンパクト集合 点列コンパクト： Th. R^nにおいて，コンパクト集合⇒有界閉集合 （逆も成り立つ？） Th. dから定まる位相空間(X,Od)のコンパクト集合は，距離空間(X,d)において有界な閉集合である。 Th. コンパクト ⇒ 点列コンパクト ？ ※Th. コンパクト集合上の連続関数は 最大値と最小値をもつ→最適化ができる。 一様連続→近似ができる。 注. 有限集合：要素数が有限の集合 有界集合：距離空間(X,d)の部分集合Aで，直径δ(A)=sup{d(x,y)|x,y∈A}が有限 Th.『一点コンパクト化』 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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日時 毎週火曜日 22 00~ ※開始時間の変更が有り得ます テキスト 「トポロジー」田村一郎著 (旧版有り) ※二章「複体と多面体」から読み進めていく予定 ※§11の群の知識の基礎は適宜読み飛ばす 目標 ホモロジー群、基本群を構成する 基本的な例でホモロジーが計算出来るようになる ブラウワーの不動点定理 ポワンカレの双対定理 ファンカンペンの定理 モットー 皆で楽しく読み進めていく たくさん質問する たくさん図を書く 参考書 「計算で身に付つくトポロジー」阿原 一志 ホモロジーについての平易なテキスト 「位相幾何入門」小宮小宮 克弘 「集合•位相入門」松坂和夫 「集合と位相入門」内田伏一 位相空間論の知識についてはこの二冊から引用するつもり 「トポロジー入門」松本幸夫 初歩的な代数トポロジーに必要な群と位相の知識がしっかりまとめられている。基本群については多く参照するつもりです。 前提知識 集合の記法、初歩的な位相空間の知識は前提とします。具体的には 和集合、共通集合とは何か 全射、単射とは何か 同値関係、同値類とは何か 距離空間とは何か ユークリッド空間で、数列が収束するとは何か 位相空間とは何か 連続写像、同相写像とは何か 積位相、商位相とは何か ユークリッド空間のベクトルとは何か 関連知識 線形代数(抽象的ベクトル空間、商ベクトル空間) 群論(剰余群、有限生成アーベル群の基本定理) 可微分多様体(ドラームコホモロジー) リンク idroo(書き込みの為にはアカウント取得必要) ホワイトボード(十人まで) 「ホモロジー群とその応用」概観が分かりやすい 「幾何学B」 「幾何学概論B」豊富な演習問題 「トポロジー演習問題」トポロジー 「Basics of combinatrial Topology 」 「」 「河野先生のノート」幾何学色々。始めのpdf セミナーの形式•備考 聴講•見学については相談にのります。(制限するという意味では有りません) 調節がしやすい要に、発表者、テキストの§、日時の三つを一組で構成しています。(無理は承知) 理解度確認、相互学習のため、発表者以外の質問を奨励します。疑問やつまづきは宝物！みんなで共有しましょう。 演習問題は積極的に扱っていこうと思います。このテキストに解答は着いていないので皆で頑張りましょう。 活動報告 (02/16)イントロ+§7.単体(ベクトル空間、一次独立、一般的な位置、単体、凸包)(WB)g (02/23)§8複体と多面体g (複体の定義 複体の具体例 抽象複体の定義 単体写像 )(WB) (03/01)§9重心細分 (重心細分の定義 Sd(σ))g (WB) (03/08)復習1 (03/15)復習2 (03/22) 休講 予定(願望) (03/29)§10単体分割 (WB)
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距離空間は Hausdorffかつ第一可算が成り立つから，点列の収束をまともに論じることができる。 従っていくつかの位相的性質は点列から理解することも重要である。 距離空間にして初めて生じる性質 完備性，全有界，一様連続など これらは位相的性質ではないので，同相であっても保たれない可能性がある！ 位相的性質 距離による位相（任意の点の開近傍が含まれる集合を開集合とする位相）を入れる。 Hausdorff 第一可算 ⇒ 第二可算 パラコンパクト 完全正規 以下はWikipedia「距離空間」から抜粋。 また、距離空間が可算コンパクト性や点列コンパクト性を持つならばその空間が位相空間としてコンパクトであることが導かれる。 この距離空間のコンパクト性は距離空間が全有界かつ完備であることと同値になる。 さらに距離空間が可分である（稠密な可算部分集合を持つ）ことと第二可算公理を満たす（可算個の開集合によってその位相が生成される）ことは同値になる。 点 y が Y の内部にある ⇔ 補集合 Yc に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 点 y が Y の外部にある ⇔ Y に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。 点 y が Y の縁にある ⇔ Y に含まれる点列で y に収束するものが存在し、Ycに含まれる点列で y に収束するものも存在する。 閉集合 Th. 閉集合になるための条件 F⊂Xが閉集合であることは，点列が収束することと同値。 つまり Xで収束するFの点列は，必ずFの点に収束すること。 特に，一点からなる集合は閉集合 Rem. これを定義とするとき，「開集合」は閉集合の補集合として定義される。 Prop. 境界は閉集合 コンパクト 点列コンパクト K⊂Xが点列コンパクトであるとは， Kの任意の点列(x_n)が，K の中の点に収束する部分列をもつこと。 Prop. 点列コンパクト⇔コンパクト ∵ ⇒はHeine-Borelによって示される。 これは第二可算で成り立つ。 Prop. 点列コンパクト⇒有界閉集合 Cf. 逆は，有限次元ユークリッド空間に限って成り立つ。 ∵ Bolzano-Weierstrass「有界点列は収束部分列を持つ」をn次元に拡張する。 全有界 B⊂X 有界 ある点x0の近傍に含まれること。 全有界 可分
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【名前】 ゴッドエクスカイザー 【大きさ】白く輝いているドラゴンの形をしている。８００メートルほど 【攻撃力】金色のオーラをまとって体当りすることで８次元を内包するZIKI空間を９８つまとめて破壊できる エレキハンマー；ハンマー部分はZIKI空間ほどのでかさ 殴ったものを再構築して位相空間の一部にしてしまう 【防御力】位相空間；ゴッドエクスカイザーのみだけが干渉、取り扱うことのできる空間 位相空間の具体的な大きさは記されていないが、ピルツの言うには「ZIKI空間よりも大きい」らしい この空間はゴッドエクスカイザー以外には知覚することすらできない この空間にテレポートすることで完全防御を可能とする 律法キャンセル；他人に行動や思考を支配されたり、妨害されない 他人にも使用出来る 自分の攻撃を跳ね返されても無傷 【素早さ】光速のレーザーを回避したので超光速 移動速度、反応速度、思考速度は超人並み 【特殊能力】律法；ゴッドエクスカイザーをモニター越しに見るだけでも存在の芯から破壊する DEF記述；念じるだけで自由に歴史を改変できる 全知全能の神に勝ったことのある 【戦法】位相空間に逃げつつ歴史を改変
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まえがき 第1章 集合・写像・順序 §1 集合 §2 写像または関数 §3 順序 第2章 自然数から自数体の定義まで §1 代数系 §2 自然数 §3 整数 §4 有理数 §5 順序体における収束の概念と完備性 第3章 実数体ℝ・空間ℝⁿ・複素数体ℂ §1 実数体の構成1(ℚの順序完備化)および実数体の一意性 §2 実数体の構成2(ℚのコーシー完備化) §3 連続関数 §4 数空間ℝⁿ §5 複素数体ℂ 第4章 位相空間(その１) §1 位相空間の定義・開集合と閉集合 §2 近傍 §3 連続写像 §4 点列の収束 §5 距離空間 第5章 位相空間(その2) §1 分離性 §2 コンパクト性 §3 連結性 §4 距離空間 付録 公理的集合論入門 §1 論理式 §2 集合論の公理 §3 順序とくに整列順序 §4 順序数 §5 選択公理 §6 基数と濃度 問題略解 あとがき 索引 人名表