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減衰振動(damped vibration) とは、振幅が次第に小さくなっていく振動のことをさす。以下では特に、自由減衰振動(damped free vibration) について説明する。 自由減衰振動 自由減衰振動とは、強制振動の項をもたない、変位に関する二階常微分方程式で表される振動のことをいう。 原点Oからの自然長をもつバネを考える。バネ定数をとし、右方向を軸正方向とする。 単振動のときと異なり、ここに粘性抵抗と呼ばれる、速度に比例する抵抗(ダンパー)を考え、 の力がかかるとする。ここで、運動方程式 より , が成立する。ここで、解を と仮定してに代入すると、 すなわち ------ [1] となる。ここで は自由減衰振動における固有角周波数である。この一般解は となり、特にこの解の実数部は というように書くことができる。単振動の場合と同様に、他の表し方も存在する。 ここで今一度[1]式について考えると、の値によって3つの振動の様態が存在することが分かる。 3つの振動の様態 不足振動 のとき、振動しながら減衰し、次第に静止する。これを不足振動という。 過制振動 のとき、もはやその系は振動することなく減衰してゆく。これを過制振動という。 臨界振動 のとき、振動と非振動の分かれ目となり、このとき最も早く減衰する。これを臨界振動という。 減衰の評価 減衰の度合いを表すパラメータとして、減衰時間(寿命、緩和時間)がある。 これは、振幅がその初期値の1/eになる時間で、減衰の一つの目安となるものである。 また、バネの力と減衰力を比較する指標として、しばしばQ値が用いられる。 参考文献 楽器の物理学 (N.H.フレッチャー/T.D.ロッシング) Vibrations and Waves in Physics (lain G.Main)
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U字管内の液柱の振動 よく見る問題だが,Q&AサイトでみかけたのをきっかけにAlgodooのネタにしてみた。 【問題】 断面積のU字管に,密度の液体が長さだけ入っている。液面がつりあい位置からずれて起こる液柱の振動の周期を求めよ。ただし,重力加速度の大きさをとし,液体と管壁の間の摩擦や,液体の粘性などの影響は無視してよい。 ※ Algodooの設定は, である。例によって,液柱はチェーンで代用している。(水の入ったV字管つき台車) 【解答】U字管内の液柱の振動 Algodooシーンのダウンロード
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いろんな液ををいれると色が3つぐらいの色にループする様に変化する反応。だんだんとではなく突然変化するのが特徴。化学班勧誘用の定番実験。その動画をクラスの人に見せたところかなり引きは良かったので4月の班活動紹介でやったときはよくみえていなかったようである。 2004年にこの研究をしていた様であるが、2009年度ではそれを引き継ぐことにした。今回は新兵器導電率計を使用し、イオンの状態を調べてみる計画。ちなみに色の変化が終わったあとの茶色の液体は大量の酸素や二酸化炭素が発生しヨウ素が昇華しコカコーラと称して飲ませることが可能。(自己責任でどうぞ) 問題点 色は透明→黄色→紺(黒)→透明なはずなのに黄色⇔紺にしか見えない。薬品の量が適当だからか? →ちゃんと定量的にやってみたら透明を確認。透明から黄色への移行は突然ではなくだんだんと変化する模様。 温度と周期の関係を表す公式完成!濃度版も作れたらいいな... 2009年日本学生科学賞県展最優秀賞受賞万歳!! 簡単に反応の進み方について 振動反応(化学班では主にB-R反応)は、ヨウ素酸カリウム・過酸化水素・マロン酸、あと適当に触媒と指示薬(デンプン)を加えて、前者3つの酸化・還元反応の繰り返しによって指示薬の色が変わっていくというもの。最終的には還元剤(H2O2,HCOOH)が尽きて反応はヨウ素が酸化された状態で終了する。 何故、周期的に反応が進むのかについて、詳しいことは論文などを読んでもらいたいが、大まかには溶液の各成分の濃度の変化によって平衡が変化し、物理で言う加速度みたいなのが働いているからとイメージすれば納得がいくかも。 (酸化がグーンと進んでそれが弱まる頃に還元がグーンと進みだす。次第に加速度的なものは弱まり、よって色の変化の周期が短くなる) 反応が無色に戻らず黄色で止まるのは、還元の勢いが弱いからかもしれない。 あくまで.sigure//の浅い理解なので、間違ってたらスマソ。 分り辛い解説(専門的) 振動反応の一種Briggs-Rauscher反応の反応機構を解説。 化学班2009年度論文「Briggs-Rauscher反応に関する研究」より引用 ― ここから ― ここでは文献を調査して分かった反応機構について記述する。 反応機構はまだ完全には分かっていないようだが、振動を説明する骨格は示されているのでそれをもとにした。 振動を説明する反応の全体は以下の式で表される。 ①IO3-+2H2O2+CH2(COOH)2+H+→ICH(COOH)2+2O2+3H2O この変化は以下の3つの式で表される。 ②IO3-+2H2O2+H+→HOI+2O2+2H2O ③I-+HOI+H+→I2+H2O ④I2+CH2(COOH)2→ICH(COOH)2+H++I- また、②には二種類の過程、ラジカル過程と非ラジカル過程がある。 ラジカル過程は以下の式で表される。 ⑤IO3-+ HIO2 + H+→2IO2・+H2O ⑥IO2・+Mn2++H2O→HIO2+Mn(OH)2+ ⑦Mn(OH)2++H2O2→Mn2++H2O+HOO・ ⑧2HOO・→H2O2+O2 ⑨2HIO2→IO3-+ HOI+H+ ⑤でIO2・を2つ生成するのに対して、⑥ではIO2・を1つ消費するので、⑤と⑥は1 2の割合で起こる。よって、HIO2は⑤と⑥を合わせると一つ消費して二つ生成するので、それにより⑤の反応速度が増し、⑥の反応速度も増し、それによりさらに⑤の反応速度が増す……という自触媒反応になっている。ただし、⑨の反応速度も増すので、IO3-が急速に消費されるわけではない。この過程は③が消費するよりも速くHOIを生成するので、この過程が進行しているときはHOIの量は増える。 非ラジカル過程は以下の式で表される。 ⑩IO3-+I-+2H+→HIO2+HOI ⑪HIO2+I-+H+→2HOI ⑫HOI+H2O2→I-+O2+H++H2O この反応はI-を触媒としており、⑪と⑫は1 2の割合で起こる。しかし、⑩はゆっくり反応するので、HIO2の供給が遅く、自触媒反応にはならない。この過程は③が消費するよりも遅くHOIを生成するので、この過程が進行しているときはHOIの量は減る。 上記の反応が振動の骨格を形成している。まず、以下の反応式により、HIO2が生じる。 ⑬IO3-+ H2O2+ H+→HIO2+ O2+ H2O HIO2が生じたことにより、HIO2を触媒とするラジカル過程が進行する。ラジカル過程は自触媒反応なので、HOIの濃度が急速に増加する。そして、⑫によりI-に還元される。また、そのI-がHOIと③で反応し、I2が生成する(このときに琥珀色になる)。I2はマロン酸と反応し、I-を生成するが、この反応は遅く、I2はすぐには減少しない。[I-]が[HOI]を上回ると、I-はI2やデンプンとヨウ素デンプン反応を起こし、紺色を呈する。[I-]の増加により、⑪と⑨がHIO2を⑤と⑥の自触媒反応が生成するより速く消費すると、ラジカル過程は停止し、非ラジカル過程が進行する。③は非ラジカル過程がHOIを生成する速度よりも速く消費し、⑪で生成され⑫でI-に戻るはずだったHOIも消費され、[I-]は減少していく。[I-]が減少していくにつれてI2の生成速度が落ち、④により消費されていくので、色は無色に戻る。[I-]が減少したことにより、⑪は⑤と⑥がHIO2を生成するより遅くなり、⑤と⑥による自触媒反応が再開し、ラジカル過程が進行する。この反応による振動はIO3-またはマロン酸がなくなるまで続く。 確認はされていないが、B-R反応と類似したB-Z反応に存在する化学反応式をB-R反応で使われる物質に置き換えた以下の式が存在する可能性がある。 ⑭ICH(COOH)2+4Mn(OH)2+→HCOOH+2CO2+4Mn2++I-+H++2H2O ― 引用終了 ― ※無断転載禁止 ※内容の正確さを保証しません。
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中心力下の円運動まわりの微小振動 久しぶりに,「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき,そのまわりの微小振動に関する問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 質量の粒子が,中心力ポテンシャル の下で原点を中心とする半径の円軌道を描いて運動している。ただしは正の定数,はかつを満たす定数である。 (1) このときの粒子のエネルギー,角運動量,運動の周期を求めよ。 (2) この円運動のまわりで半径方向に微小運動を行うときの振動数を求めよ。また,この微小振動が存在するときの軌道の略図をのそれぞれの場合について描け。 【解答】 (1) 中心力は, 速さをとして,円運動の方程式は したがって, 運動エネルギー: 全力学的エネルギー: 角運動量: 周期: となる。 (2)について 角運動量保存により, すると,全力学的エネルギーは ここで,として とおく。 はじめの2項を単振動のエネルギーと比較して, したがって振動の周期は, となる。 のとき,となるので,それぞれ一周する間に,1回,2回,3回振動することになる。 「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った…と書いたのは,上の結果が,については逆2乗場における原点を焦点とする楕円軌道,については復元力場における原点を中心とする楕円軌道に直接関連するものであると考えたからだ。もちろん,これらの場合は近似をしなくとも楕円軌道になり,上の問題では近似をともなって軌道は楕円ではない。しかし,周回における振動回数という対称性において一致するのは,もちろん偶然ではないはず。
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質点がついた軽い円盤の微小振動 【問題】 質量が無視できる半径の円盤上,中心から距離のところに質量の質点が固定されている。鉛直面上で円盤が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき,その周期を求めよ。ただし,重力加速度の大きさをとする。 質点が最下点にあるつり合い位置からの角変位がのとき,円盤の瞬間回転中心は接地点となるから,質点の瞬間回転半径は余弦定理を用いて である。これを用いて,質点の速さは で与えられるから,系のエネルギーは となる。ここで,微小振動の近似をとって とし,定数を省けば ここで, を仮定してその影響を無視すると, これを単振動のエネルギー とみれば,角振動数 を得,周期は となる。 先に仮定した について証明しておく。角変位の振幅をとおくと,角速度の最大値に対して,近似したエネルギー保存から を得る。との比をとって,を用いると となり,との比として極端な値をとらなければ,この比はのオーダーであることになる。これで,の限定をつけた上ではあるが,近似に矛盾はないことが示された。 常識的な設定でのシミュレーションと数値計算によって近似の正当性を確認してみた。Algodooシミュレーションは,適当なにおいてほどよく近似の理論値に一致した。設定は,近似の理論値はである。円盤の質量をゼロにはできないので,密度設定をスライドバーの最小値としている。 また,数値シミュレーションでは,近似による周期 と,近似しないエネルギー保存から求めた周期 を比較した。とし,角変位の振幅を10°,30°,90°にとった場合についてグラフを示している。一番下にある紫の曲線が,近似の理論値である。微小振動と極端でないの選択において近似がまったく正当なものであることを示していると思われる。 Algodooシーンのダウンロード
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ばねで連結された2質点の縦振動 オーソドックスな連成振動の問題。 【問題】 下図のように質量の質点2個が,ばね定数のばね3本に引かれている。この系の縦振動(ばねの方向の振動)について考察せよ。ばねの自然長は,平衡長はとし,重力など他の外力は無視できるものとする。 (1) 運動方程式を立てて,モード(規準振動)の角振動数を求めよ。 (2) 各モードにおける振幅の関係を求め,一般解を導出せよ。 ※ Algodooシーンの設定は, である。 【解答】ばねで連結された2質点の縦振動 Algodooシーンのダウンロード
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単振動をエネルギー保存から解く Yahoo!知恵袋より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。 【問題】 ばね定数 のばねに結ばれた質量 の質点の単振動を考える。この系のエネルギー保存 より速度に対する微分方程式(に関する1階の微分方程式)を求め,単振動の一般解を導出せよ。 【解答】 としてよく,このときの符号はの符号に一致する。 とおくと, これが求める微分方程式である。 とおくと, 上に代入すると, (※複号は分母の根号をはずしたとき に吸収される) すなわち, を得る。
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ポテンシャルの谷間の振動周期 Yahoo!知恵袋の質問から。なかなかホネのある問題? 【問題】 質量の質点が力 を受けて軸上を運動する。質点を で静かに放すとき,振動の周期を求む。 【解答】 ポテンシャルエネルギーは, したがってエネルギー保存は, となる。 すなわち, の解を, とおくと, が積分範囲になる。エネルギー保存の式からを求めると, ここで, と置換して積分すると, を得る。ただし, を用いた。 積分変数の置換は,微積分のテキストからみつけたもので,ややトリッキーな感じがするが,やってみればなるほど…と納得のいく置換である。
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振動操作(オシロキネシス;oscillo kinesis) 目次 1.使用能力者(能力保有者) 2.能力の概要 3.能力の描写 4.登場する作品 1.使用能力者(能力保有者) ・佐藤優樹 ※初出は ■ ピュアカプセル -工藤遥- ■ 詳細は■ セットドキュメントマサキ -佐藤優樹- ■を参照のこと。 2.能力の概要 振動を発生させる、また振動を感知する能力。 およそ、あらゆる周波数の振動や波動の発信と受信をカバーできる。 潜水艦のソナーのような使い方が出来る。超聴覚も参照のこと。 共振現象を使って金属の過熱や硬質なものの破壊が出来る。 自分自身をたわませることで跳躍力を高めたり、打撃力を高めたりする。 3.能力の描写 紹介するのは一部ですのでご了承ください(※左下の[+]をクリックすると本文が開きます) +... 『やったー!じゃあだしたぁげるっ!』 振動。 ビリビリビリビリッ 先ほどとは違う、高速で、激しい振動がカプセルを襲う。その振動が徐々に周波数を上げていく。 ビリッ…ビビビッ…ヴヴヴヴヴン…… ……ィィィィィ……ーーーーーン! ■ ピュアカプセル -工藤遥- ■ まーちゃん、この少女の目には自動販売機しか見えていないはずだ。 つまり飯窪の手など見えてはいないはずなのだ。 どこにあるか、わかりようもない、その手を、 どうやって見つけた? どうやって掴んだのだ? 銃を『加熱』し、屈強な男たちを全員『ぶっとばした』? まーちゃん、この、ちいさな女の子が? ■ アガルリフタアガルズ -飯窪春菜- ■ 人の位置、人の動き。 アクティブソナーのごとく、少女は発信し受信する。 細やかに振幅を変え、最適を導き出す。 そして、加熱させる。 たわんだ毬のごとく、少女は発射される。 そう、その少女は『うねる』。 そして、全身の、その『うねり』を、叩きこむ! その少女は、共振を引き起こす。 細やかに振幅を変え、最適を導き出す。 そして、 砕く! ■ メイデンボウル -佐藤優樹- ■より引用 佐藤優樹:【振動操作(オシロキネシス;oscillo kinesis)】 振動を発生させる、また振動を感知する能力。 およそ、あらゆる周波数の振動や波動の発信と受信をカバーできる。 発信源を発生させることのできるその効果範囲は自分を中心に1~2メートル程度だが、 振動を伝達できる媒体があれば、実用上は、より広範囲に振動を引き起こせる事となる。 たとえば空気を伝わる、つまり音波という形であれば相当の広範囲に影響力を持つ。 応用として、共振現象を引き起こす事が出来る。 これにより、ガラス状の物体であれば、うまくすれば破砕させることが可能。 また、銃のような金属であれば、瞬間的に振動を繰り返させることで 加熱したり、金属疲労を早めたりすることが出来る。 自分自身に波動を起こすことで、通常の運動では生み出せない反力や衝撃力を発生させ、 跳躍力を高めたり、打撃に転化させることも出来る。 ■ セットドキュメントマサキ -佐藤優樹- ■より引用 (*1)))<関係各所の作者の皆さん ハo´ 。`ル <色々ごめんなさい (87)160 『ギフト・まーちゃん』より引用 4.登場する作品 紹介するのは一部ですのでご了承ください(※左下の[+]をクリックすると本文が開きます) +... ■ ピュアカプセル -工藤遥- ■ ■ アガルリフタアガルズ -飯窪春菜- ■ ■ メイデンボウル -佐藤優樹- ■ ■ セットドキュメントマサキ -佐藤優樹- ■ (87)160 『ギフト・まーちゃん』 T - Y - -
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減衰振動 実際のシステムにおいては振動を止めるように働く力が存在する。(例 摩擦による抵抗力) この力は質量が動いている限り質量に作用し、振動を減衰させようとする。 この抵抗力(Fd)は運動方向とは逆向きに働き、運動の早さに比例して大きくなると考えられる。よって Fd = -b*(dx/dt) * 変位をxとする * bは抵抗係数 上記のFdを用いて減衰振動系の運動方程式を表し、変位xを求める。 *「音響理論演習1」(P22-23)参照 減衰振動においての最大のポイントは減衰定数の大小による3つのパターンである。 減衰定数 γ は γ = b/m * b 抵抗係数 , m 質量 と定義される。3つのパターンとは、 (Ⅰ) γ 2ωo 弱い減衰 (Ⅱ) γ 2ωo 強い減衰 (Ⅲ) γ = 2ωo 臨界減衰 のことで、それぞれ減衰の様子が異なる。 *各々の解法は「音響理論演習1」(P23-32)参照のこと 特に臨界減衰において振幅は最も早く減衰するので、振動システムの設計においてはこのような状態にならないように 抵抗を調節する必要がある。 (補足) 減衰振動におけるQ値について理解しておくと良いと思われる。 (「音響理論演習1」のP27参照)