約 3,686 件
https://w.atwiki.jp/sms20120113/pages/55.html
日時 原則として毎週木曜21 00~22 30 テキスト メイン：伊藤清『確率論』岩波基礎数学選書 サブ：佐藤坦『はじめての確率論 測度から確率へ』共立出版株式会社 ※現在メインテキストは一時中断中です。サブテキストにより測度論の基礎を扱います。 形式 毎週発表者を決めて、輪講形式をとる。 発表者に疑問点などをどんどん質問しよう。 例題を扱うかどうかは発表者に委ねる。しかし、定理など重要なものや具体例となりうるものは発表することが望ましい。 聴講も歓迎する。聴講者からの質問も可。 前提知識 集合・位相の事実はある程度既知とする。 テキストでは測度論はほぼ前提とされているが、このセミナーでは確率論に必要な分はすべて補足をする。 参考書など 小針晛宏『確率・統計入門』岩波書店 ルベーグ積分をまったく仮定しない確率・統計の入門書。証明に飛躍はほぼないといえるので、確率論を簡単に概観するには適していると思われる。 高橋敏『確率論』共立出版 こちらは測度論を仮定する確率論のテキストである。なお、測度論・積分論は前提とされているので、完全初学者には適していないように思う。しかし、証明は丁寧。このテキストは大数の強法則と中心極限定理に詳しいイメージである。 森真『入門 確率解析とルベーグ積分』東京図書 このテキストでは集合位相の知識があれば、ゼロからルベーグ積分と確率論をやれるといっても過言ではないだろう。当ゼミで測度論の基礎を扱う際のテキストの候補にもなった。個人的に読みやすいのでおススメ。 備考 発表者は一応3人で回す方向に。もちろんやりたいという方を募集しています。 サブの佐藤本で測度論の基礎を扱ったうえで第２章「確率測度」へと進みます。 予定としては、メインテキストに戻った後のことも考えて全部読み切ってしまいたいところである。 リンク Whiteboad Fox セミナー用のホワイトボード作成用 確率論の基礎Ⅰ, 確率論の基礎Ⅱ, 確率論の基礎Ⅲ 経済系の授業のレジュメの一部であるが、１章の範囲を広くカバーしている。復習等に。 次回予告 2016/11/21(Thu) 第39回 §1.4 確率変数(概収束(残り) 確率収束)(担当 雄来) ※伊藤本は一時中断し、測度論の基礎を佐藤本で扱います。 活動報告 メインテキスト1章 第1回 2016/1/7(Thu) セミナーの流れを簡単に確認した後、確率空間に関する定義を行った。WB画像 第2回 2016/1/14(Thu) §1.1の残りを扱ったあと、例題1.1の議論を行った。(完全版は次回)その後、実確率変数を導入し、Xの確率法則が確率測度であることを確かめた。WB画像 第3回 2016/1/21(Thu) 例題1.1を完全に終了。その後は諸事情のため今後のセミナーについての議論を行った。WB画像 第4回 2016/1/28(Thu) 確率ベクトルと関数を定義した。その後、期待値を定義し、性質を確認した。また、指示関数を定義し、その性質の証明をした。WB画像 第5回 2016/2/4(Thu) 分散・共分散・標準偏差・相関係数を定義し、性質を確認。また、「almost surely」を定義。WB画像 第6回 2016/2/11(Thu) a.s.に関する定理並びにチェビシェフの不等式など、§1.2の残りを消化。例題1.2を2つ扱った。(次回あと2つ扱う予定) WB画像 第７回 2016/2/18(Thu) 例題1.2をもう２つ扱い、§1.2を終了。§1.3の(a)と(b)で一般の確率変数および試行の混合について考えた。WB画像 第8回 2016/2/25(Thu) §1.3(c)の試行の直結合を定義。乗法律とエントロピー最大の原理を公理として認めた上で、エントロピー最大の原理から乗法律を導いた。WB画像 第9回 2016/3/3(Thu) 主催者の私用により休講。 第10回 2016/3/10(Thu) §1.3(d)の樹形結合を扱い、例題1.3を解いた。その後、§1.4の序盤を扱い、条件付確率の定理を1つ示した。WB画像 第11回 2016/3/17(Thu) §1.4の条件付確率の続き。について、AをXの見本点xと集合Bの関数とみてさらに掘り下げた。WB画像 第12回 2016/3/24(Thu) 主催者欠席のため休講。 第13回 2016/3/31(Thu) 樹形結合と条件付確率の関係性を扱い、§1.4を終了。§1.5の独立性に入り、部分系が独立であることと確率変数全体が独立であることの関係を見た。WB画像 第14回 2016/4/7(Thu) §1.5続き。集合列の独立性を定義し、それに関する同値な命題を扱った。(証明の完全版は次回) WB画像 第15回 2016/4/14(Thu) 前回の証明の残りを終わらせ、直結合との関連を述べて§1.5を終了。例題1.5を扱った。WB画像 第16回 2016/4/21(Thu) 平均値の乗法性、分散の加法性を示した。生成関数を定義し、その乗法性および例を扱った。WB画像 第17回 2016/4/28(Thu) §1.7の大数の法則を扱い、その後大数の弱法則・大数の強法則の話に触れて第1章を終了。 WB画像 サブテキスト15章 第18回 2016/5/5(Thu) 距離空間を復習する回Part1。距離空間であることの定義とその例を確認した。また、点列とその収束性、およびコーシー列の定義を確認した。WB画像 第19回 2016/5/12(Thu) 距離空間を復習する回Part2。距離空間が完備であることの定義と、完備である距離空間の例を扱った。 WB画像(仮) 第20回 2016/5/19(Thu) 参加者の都合が合わず休講。 第21回 2016/5/26(Thu) 距離空間を復習する回Part3。距離空間上の開部分集合と閉部分集合の定義を確認し、それにまつわる定理や命題を示した。 WB画像 第22回 2016/6/2(Thu) 距離空間を復習する回Part4。距離空間上でのコンパクト性やε-網、全有界を定義し、コンパクトであることと同値な条件を述べ、証明を行った。 WB画像 第23回 2016/6/9(Thu) 距離空間を復習する回Part5。前回の残りのハイネボレルの定理を示し、連続関数や閉包、内部、一様連続を定義した。その後、それらにまつわる性質を扱い、距離空間の復習を一通り終了。 WB画像 サブテキスト1章 第24回 2016/6/16(Thu) 発表者の都合により休講。 第25回 2016/6/23(Thu) コイン投げの例を通して、なぜ測度論が必要なのかの導入を簡単に行った。また、σ-集合体の定義と例について述べた。WB画像 第26回 2016/6/30(Thu) 前回の続きとしてσ-集合体の性質を示した。その後、σ-集合体の生成に関する定理とその例をみた。ボレル集合の定義と例も扱った。WB画像 第27回 2016/7/7(Thu) 前回の続きとして、関数族から生成されるσ-集合体の定義とその例を見た。その後、直積σ-集合体を定義した。それを用いて、d次元ボレル集合体が1次元ボレル集合体の直積σ-集合体であることを示した。WB画像 第28回 2016/7/14(Thu) 演習問題2を解いた。その後、§1.3に進み、確率測度の定義といくつかの例を見た。WB画像(演習問題2) WB画像(確率測度) 第29回 2016/7/21(Thu) 確率測度の性質をいくつか述べた。それらの帰結として、単調連続性およびボレル・カンテリの定理を示した。WB画像 第30回 2016/7/28(Thu) 発表者の都合により休講。 ※以下休講の場合は除く。 第31回 2016/8/11(Thu) ボレル確率測度を定義し、その性質を見た。 第32回 2016/9/1(Thu) 諸事情により、いったん分布関数を飛ばして確率空間の完備化の話に進んだ。その後、測度についての議論に入った。 第33回 2016/9/8(Thu) 前回の測度の残りの議論をし、分布関数に戻った。ボレル確率測度から分布関数を定義した。 第34回 2016/10/6(Thu) 分布関数の残りの議論を済ませ、§1.3を終了。§1.4の確率変数の節に入った。可測関数および可測写像の定義と例を見た。 第35回 2016/10/27(Thu) 前回に引き続き、可測関数の性質を見た。 第36回 2016/11/3(Thu) 可測関数の性質の残りを示し、単関数に進んだ。単関数の定義や性質を見た。 第37回 2016/11/10(Thu) 単関数の残りの議論を済ませ、確率変数とは何かについて述べた。また「a.e.」についても触れた。 第38回 2016/11/17(Thu) 確率変数列の概収束について、定義や性質、同値な言いかえの議論を行った。 今後の予定(願望) (null)
https://w.atwiki.jp/gendaiinogakuenmono/pages/27.html
名前 意刺川 恭秀（イシカワ キョウシュウ） 性別 男 年齢 18 所属 八雲総合学園高等部三年生 刀楼会行政官 容姿 うねり暴れる猛獣めいた黒い長髪を乱雑に後ろに流した青年。溢れる自信自負を湛えたような精悍な顔立ち。 180cmを越える逞しい体躯を刀楼会の所属を示す制服に包み、腰には二振りの短刀を提げている。 異能 『鳳流荒魂口寄術』 人型の『依代』と呼ばれる紙符を媒介にして行使される、一種の空想具現化能力。 時には口から吹く焔となり、時には身の丈を越える投擲刃となり、時にはただ一度の攻撃の為に現れる幻影となるなど、発現する物は多岐に渡る。 様々な攻撃・防御方法を無から生み出す強力な異能であり、彼が八雲刀楼会に至った所以の一つでもある。 そういった概要だけを纏めれば馬鹿げた性能ではあるが、当然制約は多い。 利用する依代は生み出す物の強さに比例して量を増していき、考え無しに強力な物を使い過ぎればあっという間に使い果たしてしまい利用不可能となってしまう。 また、瞬間的とはいえ全霊を籠め集中する事で体力を消耗するため、強い物を利用するには依代の総数に加え自身のコンディションにも気を配る必要がある。 そして、一番の問題点として彼の偏った知識と人格が原因で生み出される品はどれも時代がかった妙なセンスのモノばかりであり、それ一つで戦局を丸ごとひっくり返す様な切り札的な物は出現しない。あくまで攻撃に交える程度の使い方が主となる。 わざわざ依代を媒介とするのは彼の強固な精神（思い込み）が理由であり、原理上は他の品でも同等の事を行えるはずだが彼はそれを決して認めない。 そのため暇な時間は依代の制作に充てる事が多く、刀楼会の彼の席にはそれ用のコピー用紙の束が積まれている。あくまで『原料が紙であり』『人型をしていれば』彼的にはそれでいいらしい。 概要 八雲総合学園高等部三年生であり、自治区内の治安維持を行う刀楼会の幹部格とも言える行政官が一人の青年。 本来ならば様々な調整や管理などを行う立場でありながら、机に向かっている時間よりも現場に出ている時間の方が多く、よく言えば現場主義の豪快な、悪く言えば出たがりの大雑把な性格。その妙なテンションも相まって刀楼会におけるいろいろな意味での名物となっている。 実家は戦国前期より続く武人の家系であり、彼が異能と絡めて用いる短刀術、体術は彼らが脈々と受け継ぎ時代に合わせて整えてきた古武術『鳳流』が元となっている。 なお、古くは伊賀流の派生流派を流れに汲む鳳流であるが、実際にコミックめいた忍法を使うわけではない。上記の異能は彼が勝手に名付けているだけ。 相手していると疲れる手合いの人間ではあるが、八雲総合学園の平和を守る者としての意識は非常に高く、どうすればこの自治区をよりよく出来るのかを至上の命題として日々を励んでいる。 その意志の表明として率先して治安維持活動に出向いており、時として折り合いの悪いはずの剣令館とも意思疎通を図ろうとするなど、学園及び自治区全域に掛ける熱量に関してはこと八雲の中では上位に位置する男。 そして、その意志の強さは他校への堂々とした差別的な思想や謀りに現れる。ともすれば愚鈍めいた振る舞いながら、豪気なままに他者を一切の遠慮も慈悲も無く害し利益を選ぶ。それこそが意刺川恭秀という人物の本質である。 使用する得物は二振りの短刀『咎刻真護麓』。神話めいた特別な謂れがあるわけではないが極めて頑丈な武器であり、二刀を用いた攻防一体の戦いを叶える逸品。 彼の扱う卓越した剣術は傍から見れば鎌鼬めいて素早い動きで相手を斬り刻む戦いを特徴とするが、本来は相手の攻撃を『弾き』『逸らす』事に重きを置いた戦い方が根底に根差しており、その条件に合致する武器となる。
https://w.atwiki.jp/seisakusya1/pages/125.html
【AA出典：犬走椛（東方Project）】┏━━━━━━━━━━━━━━━┓ ≪クラス≫：ハンター ┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━┓ 【真名】：ライラプス 【レベル】：３０ 【アライメント】：中立／善 ┣━━━━━━━┳━━━━━━━╋━━━━━━━┳━┻━━━━━┳━━━━━━━╋━━━━━━━┓ 【筋】：２０ 【耐】：２０ 【敏】：５０ 【魔】：２０ 【運】：４０ 【宝】：３０ ┣━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┫ ,､ ,!ヽ ／ !! }| ＼ . ' |{ }| ヽ / |‘, }| .。ｓ≦ ￣ ｀ { ‘, ,ｲ!／ ｀ヽ｀ゝ ／ / ‘ ,ハ ' / ｲ / _ ‘, ﾊ / / /}/-! .ハゝ=- ‘, 'イ / ﾊ}ﾊ / ﾊ ‘, / ｨ ∧ { { ! }/ { i } イ }｀ゝ '´ } .ﾊ.{ `’ ｀’/' | / ＼ | i .’ ' ト-ヽ }'!八 /ｲ / ｲ ! ‘, ≧s。 { ｀ヽ }ｲ /／ }' ‘,/ }r≦ ￣￣_￣￣≧s | /´ ,ｨ≦､ Ｙ´ ｀Ｙ _x}ｲヽ_ ┣━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┫ 【スキル】 ○単独行動：Ｃ （種別：一般 タイミング：常時） このキャラクターの貯蔵魔力限界を「＋６０」上昇させる。 また「魔力の供給不足」によるペナルティを不足分「－２０」ごとに「－５」に変更する。 マスターが不在の場合、このキャラクターの維持コストは「０」となる。 マスターからの魔力供給を断ってもしばらくは自立できる能力。 ランクＤならば、マスターを失っても半日間は現界可能。 自身のマスターを失った場合、ランクは倍加し単独での現界が可能となる。 ただし、それは次の主を探すという意志の表れである。 ○神造生命体：Ｂ （種別：一般 タイミング：常時） 戦闘時、レベルを含めた自身の全てのステータスを「＋１０」上昇させる。 また、このキャラクターに発生するステータスペナルティ、 あるいは自陣営に発生する勝率ペナルティの効果を「－１０（％）」低下させる。 ハンターは通常の生物とは異なる設計で創造されている。 その肉体、魂は鍛冶神ヘパイストスによって鍛造された。 肉体的、精神的な疲弊はせず、毒性や環境効果を無視して稼働することが出来る。 ◯不屈の命題：A （種別：一般 タイミング：常時） 戦闘に敗北した場合、「令呪１画」を使用して再度戦闘を開始する。 この効果は令呪が尽きるまで連続で使用できる。 決して獲物を逃さない、それが故の不退転の覚悟。 運命がそうなるために諦めることは有り得ない。 止まることがあるとするならば、獲物を仕留めた時か命令が意味を成さなくなった時だ。 ┣━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┫ 【宝具】 ○確約された狩猟の犬（ライラプス） ランク：C 種別：狩猟宝具 タイミング：常時 消費魔力：－ この宝具は複数の効果を持つ。 ・探索、あるいは情報収集における成功率を「＋３０％」上昇させる。 ・このキャラクターが知覚したキャラクターの位置や魔力供給の不足を常に把握することが出来る。 ・既に知覚しているキャラクターによるあらゆる「気配遮断系スキル」を無効にする。 ・戦闘時において、敵陣営が逃走を選択した場合、それを無効化する。 ・スキルや宝具による逃走の場合は、令呪や魔力などのコストを２倍にする。 ・敵陣営のメイン参戦キャラクターが獣属性、あるいは逃走の果てに死した等の逸話を持っている場合、 サブ参戦しているこのキャラクターのステータスを半減させずに加算する。 獲物を決して逃がさないという運命が付与された神造生命体、自身そのものが宝具である。 視覚・嗅覚・聴覚などが非常に優れており、また隠密などを無効化する気配察知能力を持つ。 自身の感覚に捉え、獲物と判定した目標は、決してその捕捉から逃れることが出来なくなる。 この効果を打ち消すためには逃れることが出来ないという、因果律そのものを断ち切らなくてはならない。 ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
https://w.atwiki.jp/shingekititan/pages/52.html
※ネタバレや考察自体がお好きでない方は絶対に閲覧しないようお願いいたします。 ※以下の内容を読んだ場合、今後作品を楽しむ喜びを損なう危険があります。閲覧は自己責任でお願いいたします。 ※作中の描写だけでなく、作り手の意図や傾向、自分ならどうするかなど推測も交えて考察しております。 作中の登場人物が何度も口にする言葉、「人類」。 なぜ彼らは事あるごとに、自分たちの事を人類だと強調するのか。 それを考えるヒントが、ライナーが12巻第42話「子供達」でユミルに言うセリフ、「約束する！クリスタだけは必ずこの争いから救い出すと！」である。 このセリフを作品の内容と合わせて分析すると、この世界は何らかの「争い」をしている最中である。 したがって、 （１）その争いは壁内人類を全滅させなければならないほど深刻なものであり、 （２）しかもその争いは「壁内人類がこの世界を地獄にした原因そのもの、または原因に深い関係がある」と思われ、 （３）レイス家は巨人で壁の周囲を囲み、壁内人類を外界と隔離し、記憶を改竄する事で人類すべてを守る道を選び、 （４）なのに壁内人類はその争いの事実を知らない（忘却させられている） （５）そのため、壁内人類が事実を知る（思い出す）と、壁内人類が滅亡するような、あるいは人類滅亡より大変な事態が起きる と予想される。 また、「救い出す」というセリフのニュアンスから、 （１）ライナーたちにはこの争いを止める事はできず、 （２）ライナーたち自身も本当は嫌なのに争いに参加せざるを得ない事情があり、 （３）ライナーたちはこの争いを災厄や不幸なものだと考えており、 （４）しかも争いから「救出」する方法が存在し、（人類消滅、座標の奪取、など。壁教に関連あり）、 （５）クリスタを「争いに巻き込まれた被害者」であるかのように看做している （だから「救出」という表現になっている） などの状況が垣間見える。 キーワードは「人類」と「争い」である。 しかも、片方が人類全体を消滅させられるほどの争いという事になる。 作中において、ライナーたちは当初、壁内人類の全滅を狙って壁を破壊している。 これは、壁内人類にとっての種族全体の運命をかけた争いである。 では、現実の人類にとって最も深刻、かつ最大の”争い”とは何か？ 私は人類最大の争いとは、「ネアンデルタール人とクロマニョン人の”人類”の座をかけた進化の争い」だったと考える。 争いとは、現代のようにネアンデルタール人とクロマニョン人が国に分かれて戦争をするという意味ではなく、この場合は「どちらが淘汰され、どちらが生き残るか」という、生物の進化上の命題を指す。 たとえば、フクロウの目のレイス家はネアンデルタール人の純血種、または最も濃い血筋。 それ以外の人種は現生人類であるホモ・サピエンス。 ただし、ネアンデルタール人の血をひく者もいる。 エレンは、ネアンデルタール人と現生人類のハーフである。 歯が二段になっているのは２つ以上の血を引いている事を表している。 エレン巨人の頭蓋骨が左右に平たく、細長いのはネアンデルタール人の特徴である。 （現生人類とネアンデルタール人の頭蓋骨の比較写真） また、エレンの目は、レイス家のネアンデルタール人の目と、現生人類であるホモ・サピエンス（クロマニョン）の中間の形である。 エレンはヘラクレスがモチーフか？
https://w.atwiki.jp/yuina/pages/92.html
シア・スノーフレーク 性別：女 年齢：２１歳 ジョブ：アリスキュア→カーディアルト→バード 能力：歌→歌・打・白→歌・打・光→歌・打・聖 ※歌能力：歌が歌えるという意味ではなく、呪文の定義を歌に置き換え、声を媒体に魔法効果を発現する事が出来る才能。 先天的に備わっている事が多く、遅くてもおよそ１０歳前後に開花する能力で、かなり珍しい。 武器：天上のハープ ※歌能力補助の楽器。 ダンジョンでもない限り、歌だけでも充分効果を得られるので、あまり弾くことはない 形見：－ 所持能力 リラ→ラリラ→ラリラル：回復魔法 アルティレイ：シアの唯一の攻撃魔法。 それだけに熟練度は高く、下位呪文ながら中級に匹敵する威力を持つ 眠りの歌：聴く物に猛烈な眠気を与える呪歌 癒しの歌：レ・ラリラと同程度の回復効果を、歌っている間声の届く範囲にいる味方に与える 奇跡の歌：レ・ラリラルと同程度の回復効果を、歌っている間声の届く範囲にいる味方に与える 戦いの歌：歌っている間声の届く範囲にいる味方のステータスを若干強化する 英雄の歌：歌っている間声の届く範囲にいる味方のステータスを大幅強化、エンゼルフェザー級の効果でメンタル消費は大きい。 裁きの歌：歌っている間、声の届く範囲にいる敵に聖光系ダメージを与え続ける。短時間ではまるで意味がない 聖歌：教会で歌われる歌、賛美歌とも言う。バードが歌えば一時的に聖光系のフィールドが発生する（と言われている） 所持能力（戦闘以外） 豊穣の歌：作物や家畜の成長を促す呪歌。 効果はおまじない程度だが確かなもの 詳細 少し前までリックテール側（北部）で教会の仕事をしていたバードで、十六夜にも何度か行った事がある。 バードという職業自体がめずらしいためか、『聖歌』による『町の浄化』という儀式に呼び出されることが多く、時期によっては結構多忙。 『命』とはなにか、という命題を持ち、各地からくる呼びだしで転々としながらそれについて考え続けている。 道中倒したモンスターに対しても祈りを捧げるような心の持ち主 ユキ・マシロ（真白 雪） 性別：女 年齢：８歳 ジョブ：－ 能力：－ 武器：－ 形見：水晶のペンダント ※母親の形見、魂は宿っていたが、シアと出会った際にユキと母親の同意の元解放される 所持能力 絶対音感：全ての音を音階で認識できる才能 詳細 生まれつき声を出す事が出来ない女の子で、シアと話す時は手話で、他の手話を理解できない人と話す時は、文字盤をつかって会話する。 ３～４歳の時に十六夜の孤児で施設に預けられ、その時に赤ん坊のフロストファングの銀牙を拾い、飼い続ける。 言葉が話せず、子供とはいえモンスターを飼っているという事で周囲から孤立していたが、８歳の誕生日にシアと出会い懐いてしまい、無理矢理彼女の旅にくっついてきた。 当然、その時は施設も含めてかなり大騒ぎになったが、頑として譲らないユキの態度に周囲が折れ、今に至る。 今でも８歳という子供が旅をしていることを問題視する声も多い。 基本的に心優しい子で、自分なりにシアのことを手伝いたいと思い、フルートを吹くことを覚えた。 銀牙 性別：オス 年齢：およそ４～５歳（拾われた時の歳不明のため） 種族：フロストファング 能力：氷 所持能力 エレメンタルクロー（氷） 所持技 パワークロー：力を溜めた爪の一撃 チャージクロー：吹き飛ばし効果（中）付きの爪の一撃 咆哮：大きく吠えて相手を驚かせて一瞬動きを止める 詳細 赤ん坊の時にユキに拾われたフロストファングで、群れから外れてしまったか、親が狩られたのが理由と思われる。 通常１.６～１.７Mのはずの体調は２Mで、通常青いはずの瞳が紫という、いわばちょっとした変異体。 しかし体質的には本来のフロストファングと同様なので、別に動物研究者から狙われているわけでもない。 人になれていて、ユキとシアの言うことは大体聞く忠犬。 暑いのは少し苦手らしく、南部の夏場では時々水につかりにいく。
https://w.atwiki.jp/kt108stars/pages/11690.html
315 名前：ゲーム好き名無しさん (ｱｳｱｳｶｰ Sa1d-Zvsu)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 15 37 01.16 ID nPuSQXSNa まあプチ報告 コンベで遭遇した事例 キャラ作成のやり方を教えるためという事で、GMもキャラを作りながら進めた 「せっかく作ったので」という事でPCとして同行 GM兼PLをやるとの事 シナリオとしてはそのキャラが勝手に動く、それに従って場面転換が入ったりNPCとの掛け合いを勝手にやるなど一本道 PCの発言に食い気味にセリフを被せて悪人NPC相手に啖呵を切る 後から「今回のキャラはいつもやってるキャラベースなのでつい熱が入っちゃいましたけどキャラとシンクロできて良かったです。皆さんもそういうキャラできると良いですね」と言われた 316 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｲﾏｹﾞｰ MM23-e7i4)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 15 40 06.08 ID Ac5CLmQjM 典型的なMPC失敗例だナ… 317 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ e18b-XDX8)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 16 39 22.73 ID 6sWU3wic0 [2/3] GMが作ってGMが使うPCを同行させたのが失敗でしたね 318 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 5197-SGtB)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 17 01 41.68 ID B7aWsO2q0 そういえば困報告ではわりと定番だったなGMが自分のPCをパーティーに入れてるというの 正直GMが動かしてるのにPCっていったいどういうことなのかよくわからんが 319 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ b111-SGtB)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 20 19 14.08 ID zsOP+Qbv0 [2/3] まとめのどこに乗ってるか忘れちゃったけど、 「GMの操るチームリーダーのPCが煮えたセリフ言うから、俺が上手くシナリオに絡めない」 という報告があったな。 320 名前：ゲーム好き名無しさん (ｱｳｱｳｴｰT Sa23-PzL5)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 22 48 05.69 ID EwGsAOrDa これじゃないかな NPC様に主役を譲らないPC1は困VS俺の出番を喰うNPCは殺す https //www6.atwiki.jp/kt108stars/pages/8858.html 321 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ b111-SGtB)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 23 15 12.42 ID zsOP+Qbv0 [3/3] レベル差があっても小説みたいに活躍できるはず https //www6.atwiki.jp/kt108stars/pages/11338.html こっちだった。とは言えさっきの俺の説明が間違ってたな GMのPCがリーダーで一番多くの経験点を使いつつ、人情派なので報酬は少なめになる奴を 思い出したかったんだ。 322 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲW e18b-XZk3)[sage] 投稿日：2017/09/17(日) 23 38 27.51 ID 6sWU3wic0 [3/3] 何故NPCに無双させてしまうGMは尽きないのだろう 325 名前：ゲーム好き名無しさん (ｽﾌﾟｯｯT Sda3-o7xi)[sage] 投稿日：2017/09/18(月) 01 16 55.26 ID 1N0KYfeNd 322 「TRPGはGMとPLの真剣勝負、どちらかが相手を降参させるまで決着はつかない」っていうアレと同じ古典的命題だと思うわ 「GMとPLは対等なのだから、PLがPCを通じて演じるようにGMもNPCを通じて演じる権利がある」的な 326 名前：ゲーム好き名無しさん (ﾜｯﾁｮｲWW 99af-5mXA)[sage] 投稿日：2017/09/18(月) 02 47 52.94 ID Ljr8NXJ20 GMはPLに尽くす存在でもないのでGM自身の楽しみを追求しちゃいけない訳じゃないけど、 それでも役割は明確に違うしPLと同じ様に楽しんじゃダメだよなぁ スレ451
https://w.atwiki.jp/nanasihennkagura/pages/50.html
概要 ここでは禁じ手や折り合いをつけていることを解説する。 メタ的な禁じ手 メタ的な禁じ手とは、ルールブックに記載はされていないがやらない方がいいこと。 大金を使って傭兵や兵士を大量に雇う TRPGプレイヤーの間では、言わずと知れたパワープレイの一例。 初出と思われるのはバブリーズ。 冒険者や傭兵を大量に雇って冒険に同行させる、など金にまかせた物量作戦を展開した。 これをすると、例えばGMが「山賊を登場させ、戦闘させよう」とシナリオを作っても簡単に攻略してしまい、 主人公たちが活躍しない淡白な流れになり、望ましくない。 GMがそういうプレイを推奨するわけではないのなら、するべきではない。 GMも許可するべきではない。 アルチョム編では、可能だがこれを自重している。 少数の護衛に留めているがそれでも戦闘が単調になっている。 現実の中世において金持ちは１００人単位の護衛を連れ歩いていたそうだが、 アルチョムの経済規模から考えてあまりにも小規模。 しかしあえて自重している。 名前も知らない傭兵たちが敵を倒して、面白いだろうか？ GMやNPCを騙す 詐欺。 GMは敵ではなくPLを導く味方なので、PLは常に何をしたいのか明確にGMへ伝えるべき。 簡単にシナリオを攻略したいからと、GMにわざと情報を渡さずに不意打ち気味に行動するのは禁じ手。 NPCが怪しいやつだと思っても突然殺すなどは以ての外で、まずはGMにお伺いを立てるべき。 ルールの穴を突いた行動 こちらもバブリーズが発端。 勝ち負けにこだわりすぎず、GMの用意したシナリオやソード・ワールドの世界観を楽しもう。 ファリス・バッシング ファリス＝堅苦しい奴 という固定観念は払拭されるべき。 確かに世界観的には、教義だけを信じる信者はたくさんおり、そのせいで神官レベルを持たない司祭も大勢いる。 しかし、嫌な奴でないファリス神官の方々がいるはず。 基本的には善良な人々。 ゴブリンのジレンマ 「生け捕りにして情報を吐かせたゴブリンを殺すか、逃がすか？」という、ソードワールドのみならずＴＲＰＧのルー ル運用に関する古典的命題。 基本的にゴブリンは知能が低く邪悪なので、逃がしてもすぐに悪事を行うだろうが、抵抗できない相手を殺すことにも躊躇いがあるという葛藤が発生する問題。 ファリス信者ならゴブリン相手なら何をしても絶対正義だと宣う人も多いが、 拷問にせよ脅迫にせよ、明らかに善の行為ではないため、 正義のためであっても、やるべきではない。 また、GMはキャラクター達にこのような意地悪な葛藤をさせるべきではない。 GMがゴブリンに命乞いRPさせて情に触れておいて、逃がしたら嫌な展開に持っていくよりは、GMの方からゴブリンはさっくりと殺すべきである。 世界観的に危険な行為、もしくは自重すべき行為 人前で魔法を使う オラン王国に賢者の学院が作られて以来、比較的マシになったとはいえ、 魔法はまだ忌避されている扱いである。 新王国歴時代は、魔術師たちの古代魔法王国カストゥールが滅亡して作られた時代。 そしてその殆どは蛮族と呼ばれる、古代人に迫害されてきた人々の末裔。 プレイヤーキャラクターもその一人のはず。 街中や農村部で使うのは特に危険で、兵士に捕まりかねない。 学院の立場も悪くなるため、余程の理由が無ければ魔法は控えよう。 もちろん、自分の命が危ないときや人助けの時など、状況による話ではあるが、むやみやたらに使うものではない。 邪神・邪教の話をする 敵として出てくることが多いファラリスやミルリーフの信者たち。だからPC達もよく話題に出す。 しかし、それを事情を知らない赤の他人が聞くと厄介なことになる。邪教は、話に出すのも禁忌なくらいの扱い。 事情を知っているNPCならともかく、何も知らない人々がいる街中や村の屋外などで話すべきではない。誰が聞いているかわからないから。 密室でこっそり話すくらいが世界観にマッチしている。
https://w.atwiki.jp/porepole/pages/19.html
ＩＣＧ ＝「１１月２８日函の中の戦士ゲームログ」のログの通ったｔ：を抽出する。 ＃時間の経過によって変化している可能性がある ｆ：「１１月２８日函の中の戦士ゲームログ」のログ ＝http //takekino.sakura.ne.jp/test/log/0400/0496a.html ＩＣＰ：絢爛世界の小カトー・タキガワが生きているかどうかを証明するまとめ ICP オーマになる以外で精霊が見れる/聞こえるようになる方法を探るまとめ ICP 聖銃は何故分裂するのか？まとめ ＩＣＰ：ネコリスにどうやって夢を食べてもらうか＃この命題は解かれていないため、不完全です ＩＣＰ：絢爛世界の小カトー・タキガワが生きているかどうかを証明する ｔ：今小笠原に居るアキは帰る世界がない＝アキは崩壊した絢爛世界から来た ｔ：アキは崩壊した絢爛世界から来た＝アキは絢爛世界がどうなったかを知っている ｔ：アキは崩壊した絢爛世界から来た かつ 火星が爆発したといっている＝小カトーの生死は火星の爆発に関連している ｔ：絢爛世界は崩壊している＝EV１０１で使用したWTGのある世界は絢爛世界である ｔ：EV１０１で使用したWTGのある世界は絢爛世界である＝EV１０１時点で火星は爆発していない ｔ：小カトーの生死は火星の爆発に関連している=火星が爆発しなければ小カトーは生存していた。 が通らないより、 ＝火星が爆発しなくても小カトーは死んでいた ｔ：小カトーは戦死したと報告がある＝小カトーは攻めてきた何者かに敗れて死亡した。 ｔ：小カトーは攻めてきた何者かに敗れて死亡した。＝それはヴィクトリーを恐れるリンオーマである ｔ：小カトーの生死は火星の爆発に関係があり、彼はリンオーマに殺された＝小カトーはリンオーマから火星を護るために戦って死んだ。 ｔ：小カトーはリンオーマに殺された＝小カトーを殺したリンオーマを聖銃で消去すれば小カトーは死んだことにならない ｔ：小カトーを殺したリンオーマを聖銃で消去すれば小カトーは死んだことにならない＝時間犯罪的な行動を起こさなければ小カトーは生きている事にならない ｔ：オーマにより小カトーは殺された＝小カトーが殺されたのも時間犯罪によるものである。 ｔ：時間犯罪とは聖銃を使うことであり，小カトーが殺されたのは時間犯罪によるもの＝小カトーは聖銃のせいで死亡した ｔ：小カトーはリン・オーマによって聖銃を用いられて死亡した＝小カトーはセプテントリオンによって殺された ｔ：聖銃は１６丁程度しかない＝セプテントリオンの中でも小カトーを殺したものを絞ることができる ｔ：アキは絢爛世界がどうなったかを知っている＝アキは小カトーを殺したセプテントリオンを知っている ｔ：小カトーは聖銃によって殺された＝その影響で陽平が結ばれる相手が石津から火焔に変わっている ｔ：アキは帰る世界がない＝アキは現在も小笠原にいる ｔ：アキはお金がなくて現在も小笠原にいる＝小笠原に行けばアキに会って話をすることができる ｔ：我々はまだ現在地を定義していない＝我々の現在地を小笠原だとすることができる ｔ：我々の現在地を小笠原だとすることができる＝我々の現在地は小笠原である ｔ：我々の現在地は小笠原である＝小笠原に居るアキをマイルを消費して呼ぶ事ができる 小笠原に居るアキをマイルを消費して呼ぶ事ができる＝逗留ＡＣＥでないので１０マイル支払うと呼べる １時間１０マイル＝６分１マイルである ｔ：このゲームは小笠原ゲームではない＝小笠原でない場所にでもＡＣＥを呼ぶことができる ｔ：我々の現在地をるしにゃん王国と定義する＆アキにメッセージを送って場所を特定する＋アキ呼び出しのための追加の１０マイルを支払う＝置換魔法が使える ｔ：現在地はるしにゃん王国である＝ここにはＴａｇａｍｉが居る まとめ 小カトーはセプテントリオンによって殺されており，その手段として聖銃が用いられている。 そして小カトーが聖銃を受けたために陽平が結ばれる相手が石津から火焔に変わっている。 これを解決する方法は，小カトーを撃った０５．ゼウスの所有者を聖銃で撃つ事である ICP オーマになる以外で精霊が見れる/聞こえるようになる方法を探る ｔ：精霊使い以外に精霊は見えないが通らない＝精霊使い以外にも精霊は見える ｔ：精霊が見える＝精霊の声が聞ける ｔ：幻覚技能があると見えるが通らない＝精霊が見えることは技能によるものではない ｔ：精霊使いのアイドレスを着れば精霊が見える＝精霊が見えないのは先天的なことが原因ではない ザサエさんはもともと低級の精霊である＝式神１の頃のザサエさんを見ることができた式神使いは精霊を見ることができる。 ｔ：精霊とは、人ではない心と、その心が引き起こす現象のことである＝精霊を見るにはその心を理解することが必要である ｔ：アラダは精霊を従えている＝アラダは精霊が見える ｔ：精霊を見るにはその心を理解することが必要である＝精霊と同調する必要がある 精霊を見るにはその心を理解することが必要である＝精霊が見える人物と心を通わせることで精霊が見えるようになる 青にして正義はアラダである＝青にして正義は精霊が見えない＝アラダでも精霊が見えない者は存在する ｔ：精霊を見るにはその心を理解することが必要である＝精霊と同調する必要がある が通る＝同調技能があれば精霊が見える 精霊が見える人物と心を通わせることで精霊が見えるようになる＝鷹臣が来須と心を通わせることで精霊が見えるようになる 来須は精霊信仰である＝精霊は信仰によって同調が可能である が通らない＝信じているからといって精霊が見えるわけではない ｔ：精霊使いは人ではない心と、その心が引き起こす現象のことを理解する者である＝精霊のことを勉強すれば見えるし使役も出来る ｔ：信じているからといって精霊が見えるわけではない＝精霊が見えるかどうかはその者の考え方によるものではない ｔ：精霊が見える人物と心を通わせることで精霊が見えるようになる＝精霊が見えるよう努力をする事が結果的に精霊が見える人物と心を通わせることに繋がる まとめ 精霊は、精霊が見えるようになろうとした努力の結果見えるようになる。 ICP 聖銃は何故分裂するのか？ ｔ：聖銃は時間犯罪を起こせる＝聖銃で撃ったものには世界の復元力が働かない ｔ：聖銃で撃ったものには世界の復元力が働かない＝聖銃(A)で聖銃(B)を撃つと聖銃(B)が消えてしまうことになる ｔ：聖銃は自己管理能力・自己進化能力を持つ＝聖銃は生物にほぼ等しい存在である 聖銃で撃ったものには世界の復元力が働かない＝他の世界と差異が生まれる ｔ：聖銃は分裂する＝それは聖銃の世界移動が原因である、が通らない事から聖銃は世界の内部だけでも分裂することができる ｔ：聖銃は生物にほぼ等しい存在である＝生物の様にエネルギーを得て自己増殖できる ｔ：生物の様にエネルギーを得て自己増殖できる＝聖銃の分裂は聖銃にとって有益である が通らないことにより ＝聖銃の分裂は外的要因によるものである ｔ：聖銃は生物にほぼ等しい存在である＝分割された聖銃は各々自己修復を始め、結果として分裂する。 まとめ 聖銃の分裂は外的要因によるものである。 分割された聖銃は生物の様に各々自己修復を始め、結果として分裂する。 ＩＣＰ：ネコリスにどうやって夢を食べてもらうか ｔ：ネコリスはお話を食べる＝誰だって食べ物の好みはあるので食べない話もある が通らないため ＝ネコリスはどんな話でも食べる ｔ：ネコリスはお話を食べる＝お話とは情報子の比喩である ｔ：リューンは質量のない情報である＝お話はリューンである ｔ：ネコリスはお話を食べる＝お話とはリューン（情報子）の比喩である＝ネコリスはお話を聞くことによって集まる情報子を吸収する ｔ：お話とは情報子の比喩である＝お話を食べるとは情報子を吸収することの比喩である ｔ：ネコリスはリューンを食べる＝ネコリスはリューンを栄養として吸収・生命維持する ｔ：ネコリスはワールドタイムゲート周辺で見かける＝ワールドタイムゲートの影響範囲外にはいけない ｔ：ネコリスはリューンを食べる＝ネコリスはリューンでできている ｔ：ネコリスはリューンを食べる＝ネコリスの燃料はリューンである ｔ：ネコリスは悪い記憶を消せる＝リューンを選択して吸収することができる ｔ：ネコリスはリューンを栄養として吸収・生命維持する＝リューンさえあればお話を聞かなくても生きていける ｔ：ワールドタイムゲートの影響範囲外にはいけない＝ワールドタイムゲートというリューンの状態がネコリスの存在を維持している。 ｔ：ネコリスは小さいので常に食べてなければ行きて行けない＝リューンの少ない場所で行きて行けない ｔ：ネコリスファミリーが存在する＝ネコリスは子どもを生む ｔ：リューンの少ない場所で行きて行けない＝逆にネコリスが居ればそこにはWTGが存在する ｔ：ネコリスはＷＴＧによって存在できる＝ネコリスに話・夢を食べてもらうには，ＷＴＧの近くにいなくてはいけない ＃この命題は解かれていないため、不完全です ＩＷＧ ｆ：ＰＬＡＹＥＲ ＝ポレポレ
https://w.atwiki.jp/kummer/pages/75.html
最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時50分11秒 代数的整数論 005 (751-840) 元スレ： http //science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/751-840 ログ元： http //2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/751-840 751 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/16(月) 09 59 22 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ Z → {±1} を 747 の写像とする。 R を判別式 D の整環とする。 f を R の導手(過去スレ４の423)とする。 p を奇素数とする。 1) χ(p) = 1 のとき。 pR = PP となる。ここで P は R の素イデアルで P は P の共役で P ≠ P である。 2) χ(p) = -1 のとき。 pR は R の素イデアルである。 3) χ(p) = 0 で gcd(p, f) = 1 のとき。 pR = P^2。ここで P は R の素イデアルで P = P である。 証明 χ(p) = 1 なら χ(p) = (D/p) = 1 である。 741 と 748 より 1) が成り立つ。 χ(p) = -1 なら χ(p) = (D/p) = -1 である。 742 より 2) が成り立つ。 χ(p) = 0 で gcd(p, f) = 1 のとき。 740 より 3) が成り立つ。 証明終 752 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/16(月) 10 01 20 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ Z → {±1} を 747 の写像とする。 R を判別式 D の整環とする。 f を R の導手(過去スレ４の423)とする。 1) χ(2) = 1 のとき。 2R = PP となる。ここで P は R の素イデアルで P は P の共役で P ≠ P である。 2) χ(2) = -1 のとき。 2R は R の素イデアルである。 3) χ(2) = 0 で gcd(2, f) = 1 のとき。 2R = P^2。ここで P は R の素イデアルで P = P である。 証明 χ(2) = 1 なら 567 より D ≡ 1 (mod 8) である。 743 より 1) が成り立つ。 χ(2) = -1 なら 567 より D ≡ 5 (mod 8) である。 746 より 2) が成り立つ。 χ(2) = 0 で gcd(2, f) = 1 のとき。 744, 745, 749 より 3) が成り立つ。 証明終 753 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/16(月) 17 02 50 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 θ = (D + √D)/2 とおく。 過去スレ４の585より R = [1, θ] である。 本シリーズでは以前は R の基底表示として R = [1, fω] を使っていた。 ここで R は２次体 Q(√m) の整環とし、 m ≡ 1 (mod 4) なら ω = (1 + √m)/2 であり、 m ≡ 2, 3 (mod 4) なら、ω = √m である。 しかし、この表示は m ≡ 1 (mod 4) と m ≡ 2 , 3 (mod 4) の場合を 別々に扱う必要がある。 従って R = [1, θ] の方が理論的取り扱いには便利である。 754 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 10 00 59 755 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 11 00 58 756 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 12 00 57 757 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 13 00 56 758 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 14 00 55 759 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 04 15 00 54 760 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 10 00 53 761 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 11 00 52 762 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 12 00 51 763 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 13 00 50 764 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 14 00 49 765 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04 15 00 48 766 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 11 59 45 723 を書いた時点では類数公式を高木の初等整数論講義にある ように Dedekind のζ関数を使って証明しようとしていた。 しかし、【Dirichletの整数論講義】に従って類数公式を 導いたほうがよいと考え直した。 この方法を学ぶことにより、解析数論の創始者であるDirichlet の発想を 直接知ることが出来る。 なぜ、最初からこの方法にしなかったかというと、私自身 Dirichlet の方法がよく分からなかったから(苦笑 従って、 723 以降で調べた有理素数 p の整環 R における分解法則 は、当面必要ない。 しかし、後で必要になるだろう。 767 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 12 20 22 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 605 で判別式 D の２次形式の類集合 C(D) を定義した。 【Dirichletの整数論講義】に従って類数 |C(D)| を求める公式を 導くことが当面の目標である。 まず、与えられた判別式 D の２次形式 f が数 m を表現する 仕方を詳しく調べることにする。 768 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 17 18 41 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 有理整数 m は正の奇数で D と素とする。 過去スレ717より m が (a, b, c) により固有に表現される( 701)なら、 D ≡ n^2 (mod 4m) となる有理整数 n が存在する。 よって D = n^2 - 4ml となる有理整数 l が存在する。 (m, n, l) は判別式 D の２次形式である。 m ＞ 0 だから D ＜ 0 のとき正定値である。 過去スレ４の702より (a, b, c)σ = (m, l, k) となる σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) が存在する。 このとき (p, r) が m = ax^2 + bxy + cy^2 の固有な解である。 過去スレ４の732 より、このようなσで相異なるものは相異なる解を 与える。 769 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 17 22 34 768 の続き。 τ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) で (a, b, c)τ = (m, l, k) とする。 (a, b, c)τσ^(-1) = (m, l, k)σ^(-1) = (a, b, c) 即ち U = τσ^(-1) は (a, b, c) を固定する。 τ = Uσ である。 逆に U ∈ SL_2(Z) で (a, b, c)U = (a, b, c) とすれば、τ = Uσ とおいたとき、 (a, b, c)τ = (m, l, k) である。 406 で U(f) = {U ∈ SL_2(Z) ; fU = f } と書いた。 413 より U(f) と (R^*)+ は集合として同型である。 これが群としても同型であることは容易にわかる。 770 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 17 24 29 769 の続き。 U = (α, β)/(γ, δ) ∈ U(f) とする。 τ = Uσ = (pα + rβ, qα + sβ)/(pγ + rδ, qγ + sδ) となる。 このとき (pα + rβ, pγ + rδ) は f(x, y) = m の固有な解である。 U(p, r) = (pα + rβ, pγ + rδ) である。 ここで (p, r) , (pα + rβ, pγ + rδ) はそれぞれ列ベクトルを 表す。 よって群 U(f) は S_0(m, f) に作用する。 ここで、S_0(m, f) は f(x, y) = m の固有な解の集合である。 即ち S_0(m, f) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) = m, gcd(x, y) = 1 } である。 771 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 17 27 00 訂正： 768 (a, b, c)σ = (m, l, k) となる (a, b, c)σ = (m, n, l) となる 772 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 17 39 44 訂正： 769 (m, l, k) は (m, n, l) の間違いである。 773 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 19 40 29 770 の続き。 S_0(m, f) はすぐ後でわかるように有限である。 R_0(m, f) = |S_0(m, f)| と書く。 ２次形式 f と g が同値なら明らかに S_0(m, f) = S_0(m, g) である。 605 で定義した C(D) の代表系を f_1, . . . , f_h とする。 R_0(m) = R_0(m, f_1) + . . . + R_0(m, f_h) と書く。 R_0(m) を計算するため補題を用意する。 774 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 20 16 58 補題 G を群とし、X と Y を 左 G-集合(過去スレ４の388)とする。 g ∈ G, (x, y) ∈ X × Y のとき g(x, y) = (gx, gy) と 定義することにより X × Y は左 G-集合になる。 S を X × Y の G-不変(過去スレ４の391)な部分集合とする。 x ∈ X に対して G_x = { g ; gx = g } Y_x = { y ∈ Y ; (x, y) ∈ S } と書く。 S/G は有限集合とする。 このとき |S/G| = Σ|Y_x/G_x| である。ここで和の x は X/G の代表系全体を 動く。 対称的に |S/G| = Σ|X_y/G_y| である。ここで和の y は Y/G の代表系全体を 動く。 証明 写像 p S/G → X/G を p([(x, y)]) = [x] により定義する。 [(a, b)] ∈ p^(-1)([x]) とする。 ga = x となる g ∈ G がある。 gb = y とおく。 [(a, b)] = [(x, y)] である。 写像 φ p^(-1)([x]) → Y_x/G_x を φ([(a, b)]) = [y] で定義する。 φが全単射であることは容易にわかる。 よって |S/G| = Σ|Y_x/G_x| である。 証明終 775 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 22 01 48 命題(Zagier の数論入門) D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 m を正の奇数で D と素とする。 R_0(m) を 773 で定義したものとする。 R_0(m) は x^2 ≡ D (mod 4m) の解を mod 2m で類別した個数に等しい。 証明 G = SL_2(Z) X = { 判別式 D の原始的２次形式で D ＜ 0 のときは正定値 } Y = { (x, y) ∈ Z^2 ; gcd(x, y) = 1} S = { (f, z) ∈ X × Y ; f(z) = m } とおく。 774 より |S/G| = Σ|Y_f/G_f| である。 ここで和の f は X/G = C(D) の代表系全体を動く。 Y_f = { (x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) = m, gcd(x, y) = 1} G_f = U(f) よって Y_f/G_f = S_0(m, f) R_0(m, f) = |Y_f/G_f| である。 よって R_0(m) = |S/G| である。 (続く) 776 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 22 08 25 775 の続き。 z = (1, 0) ∈ Y とおく。 (p, r) ∈ Y のとき gcd(p, r) = 1 だから ps - rq = 1 となる 有理整数 s, q がある。 g = (p, q)/(r, s) ∈ G で gz = (p, r) である。 よって Y/G は一点 [z] からなる。 774 より |S/G| = |X_z/G_z| である。 G_z = {(1, r)/(0, 1) ; r ∈ Z } である。 X_z は 第一係数が m となる f ∈ X の集合である。 (m, b, c) ∈ X とすると、 D = b^2 - 4mc, b^2 ≡ D (mod 4m) である。 逆にこの条件が満たされるとする。 b^2 ≡ D (mod m) で D と m は互いに素だから b と m も互いに素である。 よって (m, b, c) は原始的である。 よって X_z = { (m, b, c) ; D = b^2 - 4mc, b^2 ≡ D (mod 4m) } g = (1, r)/(0, 1), r ∈ Z のとき (m, b, c)g = (m, b + 2mr, mr^2 + br + c) よって |X_z/G_z| = |{ b mod 2m; b^2 ≡ D (mod 4m) }| 証明終 777 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 22 21 51 なにやってるんですか？ 778 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 22 48 03 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 m を正の奇数で D と素とする。 R_0(m) を 773 で定義したものとする。 R_0(m) = 2^μ である。 ここで μ は m の相異なる素因数の個数である。 証明 775 より R_0(m) は x^2 ≡ D (mod 4m) の解を mod 2m で類別した個数に等しい。 D ≡ 0 (mod 4) のとき。 b^2 ≡ D (mod 4m) とすると、 b は偶数だから b = 2n と書ける。 n^2 ≡ D/4 (mod m) となる。 逆に n^2 ≡ D/4 (mod m) なら 2n は x^2 ≡ D (mod 4m) の解である。 n ≡ n (mod m) と 2n ≡ 2n (mod 2m) は同値である。 以上から R_0(m) は x^2 ≡ D/4 (mod m) の解の mod m での個数である。 過去スレ４の933 より x^2 ≡ D/4 (mod m) の解の個数は、 2^μ である。 よって R_0(m) = 2^μ である。 (続く) 779 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 22 51 06 778 の続き。 D ≡ 1 (mod 4) のとき。 過去スレ４の933 より x^2 ≡ D (mod 4m) の解の個数は、 2^(μ+1) である。 よって ^2 ≡ D (mod 4m) の解を mod 2m で類別した個数は 2^μ である。 よって R_0(m) = 2^μ である。 証明終 780 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/18(水) 23 46 40 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 s ＞ 1 を実数として級数 ΣR_0(m)/m^s を考える。 ここで R_0(m) は 773 で定義したものとする。 和は D と素な正の奇数 m で x^2 ≡ D (mod 4m) に解があるもの 全体を動く。 s ＞ 1 のとき、この級数が収束することは後で示す。 778 より ΣR_0(m)/m^s = Σ(2^μ)/m^s である。 P(D) = { p は奇素数 ; gcd(D, p) = 1, (D/p) = 1 } とおく。 収束の問題は別にして、形式的に ΣR_0(m)/m^s = Π(1 + 2/p^s + 2/p^(2s) + 2/p^(3s) + . . .) となることは見やすい。 ここで、p は P(D) の元全体を動く。 これは Euler の積公式(後で厳密に証明する) Σ1/n^s = Π(1 + 1/p^s + 1/p^(2s) + . . .) = Π1/(1 - 1/p^s) の類似である。 ここで、s ＞ 1 であり、n は有理整数 n ≧ 1 全体を動き、 p は全ての素数を動く。 781 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 08 48 39 訂正 773 S_0(m, f) はすぐ後でわかるように有限である。 R_0(m, f) = |S_0(m, f)| と書く。 S_0(m, f)/U(f) はすぐ後でわかるように有限である。 R_0(m, f) = |S_0(m, f)/U(f)| と書く。 782 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 09 06 53 Dirichlet の類数公式の証明はやや長いので、その概要を説明して おいたほうが良いだろう。 773 と 781 より R_0(m) = R_0(m, f_1) + . . . + R_0(m, f_h) ここで、R_0(m, f_i) = |S_0(m, f_i)/U(f_i)| である。 よって ΣR_0(m)/m^s = ΣR_0(m, f_1)/m^s + . . . + ΣR_0(m, f_h)/m^s 770 より S_0(m, f_i) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f_i(x, y) = m, gcd(x, y) = 1 } よって ΣR_0(m, f_i)/m^s = Σ1/f_i(x, y)^s ここで、右辺の和の (x, y) は、S_0(m, f_i)/U(f_i) の代表系を 動き、m は D と素な正の奇数を動く。 このとき、D は mod 4m で平方剰余であるという条件は 自動的に満たされることに注意しておく。 778 より ΣR_0(m)/m^s = Σ(2^μ)/m^s だから、 Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = Σ(2^μ)/m^s 783 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 09 21 58 782 の続き。 Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = Σ(2^μ)/m^s s → ＋1 のとき lim 1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 s → ＋1 のとき lim Σ(2^μ)/m^s も同様である。これを臨時的に B と書こう。 よって hA = B となる。 これから h = B/A となって、類数 h が求まる。 かなり大雑把だが、これが Dirichlet の基本アイデアである。 784 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 09 26 53 783 全体を以下の様に訂正する。 782 の続き。 Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = Σ(2^μ)/m^s s → ＋1 のとき lim (s - 1) 1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 s → ＋1 のとき lim (s - 1)Σ(2^μ)/m^s も同様である。これを臨時的に B と書こう。 よって hA = B となる。 これから h = B/A となって、類数 h が求まる。 かなり大雑把だが、これが Dirichlet の基本アイデアである。 785 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 10 11 41 780 の続きに戻る。 ΣR_0(m)/m^s = Π(1 + 2/p^s + 2/p^(2s) + 2/p^(3s) + . . .) p は P(D) = { p は奇素数 ; gcd(D, p) = 1, (D/p) = 1 } の元を動く。 この右辺の因子を変形する。 1 + 2/p^s + 2/p^(2s) + 2/p^(3s) + . . . = 1 + (2/p^s)/(1 - 1/p^s) = (1 - 1/p^s + 2/p^s)/(1 - 1/p^s) = (1 + 1/p^s)/(1 - 1/p^s) よって ΣR_0(m)/m^s = Π(1 + 1/p^s)/(1 - 1/p^s) この右辺は Π(1 + 1/q^s)/(1 - (D/q)/q^s) と書ける。 ここで q は D と素な奇素数を動く。 786 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 10 22 07 785 の続き。 (1 + 1/q^s)/(1 - (D/q)/q^s) の分母、分子に 1 - 1/q^s を掛ける。 (1 - 1/q^(2s))/(1 - 1/q^s)(1 - (D/q)/q^s) = (1 - 1/q^s)^(-1)・(1 - (D/q)/q^s)^(-1)/(1 - 1/q^(2s))^(-1) よって P = Π1/(1 - 1/q^s) Q = Π1/(1 - 1/q^(2s)) R = Π1/(1 - (D/q)/q^s) とおくと、 ΣR_0(m)/m^s = PR/Q となる。 Euler の積公式と同様に P = Σ1/n^s Q = Σ1/n^(2s) R = Σ(D/n)/n^s となる。 ここで n は D と素な正の奇数を動く。 (D/n) は Jacobi の記号(過去スレ４の890)である。 787 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 10 39 14 786 の続き。 ΣR_0(m)/m^s = PR/Q であった。 782 より Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = Σ(2^μ)/m^s よって Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = PR/Q よって ΣQ/f_1(x, y)^s + . . . + ΣQ/f_h(x, y)^s = PR 各 ΣQ/f_i(x, y)^s を変形する。 Q = Σ1/n^(2s) であった よって ΣQ/f_i(x, y)^s = Σ1/((n^2)f_i(x, y))^s = Σ1/(f_i(nx, ny))^s ここで、両辺の和の (x, y) は、S_0(m, f_i)/U(f_i) の代表系を 動き、m は D と素な正の奇数を動く。 n は D と素な正の奇数を動く。 S_0(m, f_i) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f_i(x, y) = m, gcd(x, y) = 1 } である。 788 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 10 55 30 787 の続き。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 m を D と素な正の奇数として、 S(m, f) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) = m } とおく。 即ち、S(m, f) は f(x, y) = m の固有とは限らない解の集合である。 この集合に 406 で定義した U(f) が作用することは明らかである。 (x, y) ∈ S(m, f) のとき n = gcd(x, y) として、 x = nx , y = ny とする。 f(x, y) = (n^2)f(x , y ) = m で m は D と素だから、 n も D と素である。 さらに m は奇数だから n も奇数である。 以上から ΣQ/f_i(x, y)^s = Σ1/(f_i(x, y))^s となる。 ここで右辺の (x, y) は S(m, f_i)/U(f_i) の代表系を動く。 789 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 11 14 50 788 の続き。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 S(f) = ∪ S(m, f) とおく。 ここで m は D と素な正の奇数全体を動く。 S(f) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) ＞ 0 は 2D と素 } である。 明らかに S(f) には U(f) ( 406) が作用する。 788 の等式 ΣQ/f_i(x, y)^s = Σ1/(f_i(x, y))^s の右辺の (x, y) は S(f_i)/U(f_i) の代表系を動く。 787 より ΣQ/f_1(x, y)^s + . . . + ΣQ/f_h(x, y)^s = PR ここで P = Σ1/n^s R = Σ(D/n)/n^s よって Σ1/f_1(x, y)^s + . . . + Σ1/f_h(x, y)^s = (Σ1/n^s)(Σ(D/n)/n^s) 各和の (x, y) は S(f_i)/U(f_i) の代表系を動く。 右辺の各和の n は D と素な正の奇数全体を動く。 790 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 14 02 59 次の命題は 534 を少し拡張したものである。 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式とする。 r ≠ 0 を任意の有理整数とする。 f により表現される数で r と素であるものが無数に存在する。 証明 r を割る素数の集合を P と書く。 A = a を割らない p ∈ P の積。 C = a を割って c を割らない p ∈ P の積。 B = a と c を割る p ∈ P の積。 とおく。 a を割らない p ∈ P が存在しないときは A = 1 とおく。 C, B も同様である。 gcd(A, C) = gcd(A, B) = gcd(C, B) = 1 である。 任意の p ∈ P は A, C, B のどれかを割ることに注意しておく。 n と m を任意の有理整数として、 x = (ABn + 1)C y = (BCm + 1)A とおく。 (続く) 791 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 14 03 45 790 の続き。 p ∈ P で A ≡ 0 (mod p) のときは、 y ≡ 0 (mod p) だから ax^2 + bxy + cy^2 ≡ ax^2 (mod p) x ≡ C (mod p) だから ax^2 は p で割れない。 よって ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。 p ∈ P で C ≡ 0 (mod p) のときは、 x ≡ 0 (mod p) だから ax^2 + bxy + cy^2 ≡ cy^2 (mod p) y ≡ A (mod p) だから cy^2 は p で割れない。 よって ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。 p ∈ P で B ≡ 0 (mod p) のときは、 ax^2 + bxy + cy^2 ≡ bxy (mod p) ax^2 + bxy + cy^2 は原始的だから b は p で割れない。 x ≡ C (mod p) だから x は p で割れない。 y ≡ A (mod p) だから y は p で割れない。 よって ax^2 + bxy + cy^2 は p で割れない。 以上から ax^2 + bxy + cy^2 は r と素である。 証明終 792 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 14 59 39 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で a ＞ 0 とする。 r ≠ 0 を任意の有理整数とする。 f により固有に表現される数 m で r と素で m ＞ 0 となるものが 存在する。 証明 f により表現される数 m で r と素で m ＞ 0 となるものの存在を 示せばよい。 なぜなら f(x, y) = m のとき gcd(x, y) = n として x = nx , y = ny とすれば、 f(x, y) = (n^2)f(x , y ) ＞ 0 f(x , y ) ＞ 0 は r と素で gcd(x , y ) = 1 だからである。 これは D ＜ 0 のときは、f(x, y) は常に正だから 790 より明らかである。 よって D ＞ 0 と仮定する。 790 の証明より n と m を任意の有理整数として、 x = (ABn + 1)C y = (BCm + 1)A とすれば f(x, y) は r と素である。 4af(x, y) = (2ax + by)^2 - Dy^2 a ＞ 0 だから |2ax + by| ＞ (√D)|y| 即ち |2a(x/y) + b| ＞ √D となれば f(x, y) ＞ 0 となる。 A ＞ 0, B ＞ 0, C ＞ 0 だから n → ∞ のとき x → ∞ となるから、これは明らかである。 証明終 793 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 17 15 55 訂正 783 s → ＋1 のとき lim (s - 1) 1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 s → ＋1 のとき lim (s - 1) Σ1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 794 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 17 18 16 訂正 784 s → ＋1 のとき lim (s - 1) 1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 s → ＋1 のとき lim (s - 1) Σ1/f_i(x, y)^s は D のみに関係する定数で f_i によらない。これを臨時的に A と書こう。 795 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 17 54 20 定義 複素数の数列 a_1, a_2, . . . に対して Σa_n/n^s を数列 (a_n) に関する Dirichlet 級数と呼ぶ。 s は複素変数で n^s = exp(log(n)s) である。 796 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/19(木) 18 09 23 次の命題の証明は後で行う。 命題 Σa_n/n^s を Dirichlet 級数( 795)とする。 s は実変数とする。 m → ∞ のとき lim (a_1 + . . . + a_m)/m = c とする。ここで c は有限値である。 このとき、任意の δ ＞ 0 に対して Σa_n/n^s は 区間 [1 + δ, ∞) で一様収束し、区間 (1, ∞) で連続関数となる。 さらに、s → 1 + 0 のとき lim (s - 1)Σa_n/n^s = c である。 797 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 39 17 A 798 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 39 48 B 799 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 40 19 C 800 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 40 50 D 801 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 41 21 E 802 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 41 52 F 803 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 42 23 G 804 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 42 54 H 805 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 48 11 I 806 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 50 50 J 807 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 51 21 K 808 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 51 52 L 809 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 52 23 M 810 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 52 54 N 811 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 53 25 O 812 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 53 56 P 813 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 54 27 Q 814 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 56 04 R 815 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 56 35 S 816 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 57 06 T 817 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 57 37 U 818 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 58 08 V 819 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 58 39 W 820 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 02 59 40 X 821 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 03 00 11 Y 822 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 03 00 42 Z 823 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/20(金) 10 33 08 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 C(D) ( 605) の任意の類は第一係数が正の２次形式を含む。 証明 D ＜ 0 のときは自明である。 よって、 D ＞ 0 と仮定する。 348 より C(D) の任意の類は簡約２次形式 (a, b, c) を含む。 335 より ac ＜ 0 である。 a ＞ 0 なら証明は終わる。 a ＜ 0 なら ac ＜ 0 だから c ＞ 0 である。 434 より (a, b, c) の右に隣接している簡約２次形式 (c, b , a ) がただ一つ存在するから、それを取ればよい。 証明終 824 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/20(金) 10 37 49 789 の続き。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 823 より a ＞ 0 と仮定してよい。 Σ1/f(x, y)^s を考える。 (x, y) は S(f)/U(f) の代表系を動く。 ここで S(f) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) ＞ 0 は 2D と素 } U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) } 792 より f により固有に表現される数 m で 2D と素で m ＞ 0 と なるものが存在する。 過去スレ４の716より、ある有理整数 l, k があり (a, b, c) と (m, l, k) が同値になる。 よって初めから a ＞ 0 で a は 2D と素と仮定する。 825 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 21 52 54 α 826 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 10 00 37 827 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 11 01 38 828 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 12 00 37 829 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 13 00 36 830 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 14 00 35 831 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 04 15 00 34 832 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 10 00 33 833 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 11 00 32 834 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 12 00 31 835 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 13 00 30 836 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 14 00 29 837 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04 15 00 28 838 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/22(日) 16 50 13 824 の続き。 784(及び 794) に従って、 s → 1+0 のとき lim (s - 1) Σ1/f(x, y)^s を求めるのが当面の目標 である。 796 により t を正の実数として、 t → ∞ のときの lim T/t を求める必要がある。 ここで T は集合 { (x, y) ; f(x, y) ≦ t で (x, y) ∈ R(S(f)/U(f)) } の元の個数である。 R(S(f)/U(f)) は S(f)/U(f) の完全代表系である。 lim T/t を求める準備として、 D ≡ 0 (mod 4) のとき 集合 { (x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 ; f(x, y) は D と素} D ≡ 1 (mod 4) のとき 集合 { (x, y) ∈ (Z/(2D)Z)^2 ; f(x, y) は 2D と素} の元の個数を求める必要がある。 839 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/22(日) 18 03 09 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で a は D と素とする。 集合 { (x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 ; f(x, y) は D と素} の元の個数は (|D|/2)φ(|D|/2) である。 証明 D = b^2 - 4ac より D ≡ b^2 (mod 4) D ≡ 0 (mod 4) だから b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b は偶数である。 b = 2b とおく。 4af(x, y) = (2ax + by)^2 - Dy^2 より af(x, y) = (ax + b y)^2 - D y^2 となる。ここで D = D/4 とおいた。 y が偶数のとき。 af(x, y) ≡ (ax + b y)^2 (mod 2D ) f(x, y) が 2D と素であるためには ax + b y が 2D と素であることが必要十分である。 a は 2D と素だから x が mod 2D の完全代表系を動くとき、 ax + b y も mod 2D の完全代表系を動く。 よって ax + b y が 2D と素になるような x mod 2D は φ(2|D |) 個ある。 よって (x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 で y が偶数の組は |D |φ(2|D |) 個である。 (続く) 840 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/22(日) 18 09 02 839 の続き。 y が奇数のとき。 af(x, y) = (ax + b y)^2 - D y^2 よって af(x, y) ≡ (ax + b y)^2 (mod D ) D が偶数なら af(x, y) が D と素であることと af(x, y) が 2D と素であることは 同値である。 よって ax + b y が 2D と素であることと同値である。 よって (x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 で y が奇数の組は |D |φ(2|D |) 個である。 D が奇数なら f(x, y) が 2D と素であるためには (ax + b y)^2 - D y^2 が奇数で D と素であることが必要十分である。 D y^2 は奇数だから、これは ax + b y が偶数で D と素であることと 同値である。 これは、ax + b y ≡ m (mod 2D ) のとき m が偶数で D と素である ことと同値である。 x が mod 2D の完全代表系を動くとき、ax + b y も同様である。 0, 1, . . . , 2|D | - 1 の中で偶数は 0, 2, 4, . . . , 2(|D | - 1) の |D | 個である。 この中で奇数 |D | と素なものは φ(|D |) 個である。 φ(2|D |) = φ(2)φ(|D |) = φ(|D |) であるから、 (x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 で y が奇数の組は |D |φ(2|D |) 個である。 以上から、(x, y) ∈ (Z/(D/2)Z)^2 の組は全体で 2|D |φ(2|D |) 個である。 証明終 タグ： コメント
https://w.atwiki.jp/pluto-herr/pages/51.html
「四面体」の「内心I」と「傍心E_A」の関係など 2009.6.18(木) 1.「四面体ABCD」の「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」の復習 mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)などで表す。 「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m (m≧3)としておく。 「四面体ABCD」の４つの側面の△BCD，△ACD,△ABD，△ABCの面積をそれぞれ S_A，S_B，S_C，S_D …（1.1.1)とし、 2F=S_A＋S_B＋S_C＋S_D…（1.1.2) とおくと、「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は E^m 内の任意の点Pにたいし、 (→PI)＝[1/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] …(1.1.3) ＝[1/2F][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] …(1.1.4) であった。 つまり、一般の点T∈E^3の「ベクトルによる重心座標表現」を、 (→PT)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) …(1.1.5) かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１ …(1.1.6) としたときに、 κ＝(S_A)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] ，λ＝(S_B)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] μ＝(S_C)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] ，ν＝(S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] …(1.1.7) になると いうことである。 そして κ≠１ …(1.1.8)である。 そこで、頂点Aに着目して直線AIを考え、△BCDとの交点をI_Aとすれば、 前回の「2009.05.28(木)のBlog」の [命題1.1]および、[命題1.3]から、 AI：I(I_A)＝(1−κ)：κ＝(λ+μ＋ν)：κ＝(S_B＋S_C＋S_D)：S_A …(1.1.9) かつ λ＋μ＋ν＝１−κ≠0 ( ∵(1.1.8) ）だから、△BCD上の点(I_A)の「△BCD」に関する 「ベクトルによる重心座標表現」はE^m 内の任意の点Pにたいし、 (→PI_A)＝[1/(λ＋μ＋ν)][λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD)] ＝[1/(S_B＋S_C＋S_D)][(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] …(1.1.10) また、 点(I_A)の「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」は (→PI_A)＝[1/(λ＋μ＋ν)][λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD)] ＝[1/(S_B＋S_C＋S_D)][0×(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] …(1.1.11)である。 (1.1.9)式により、△BCD上の点I_Aは次のようにして決まる。すなわち △BCDの辺 CB，BD,DCをS_B：S_C，S_D：S_B，S_C：S_Dの比に内分する点をそれぞれＮ，Ｍ ，Ｌとすれば 「Ceva（チェバ)の定理」から3線分ＢＬ，ＣＭ，ＤＮは1点で交わる。これが 点 I_Aなのである。 また頂点Aと「上のように3つの比S_B：S_C，S_D：S_B，S_C：S_D」で「Cevaの定理」から決まる△BCD上の点I_Aとを 結ぶ「直線」を以下 「頂点Aから引いた『内心線』」 とよぶことにする。 すると「四面体ABCD」の４つの頂点A，B，C，Dからの「4本の『内心線』」は唯一つの点で交わる。その点が「内心I]である。 以上のことなどから次のことがいえる。 2. [定理2.1] 「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m (m≧3)としておく。「四面体ABCD」の「内心I」を作図する(求める)には 次の３つの方法が考えられる。 (1)まず、「四面体ABCD」の側面の△BCD，△ACD,△ABD，△ABCの面積 S_A，S_B，S_C，S_Dを計量しておく。 次に たとえば、△ABCの3辺を反時計回りに見て，BA，AC，CBを「S_A：S_B，S_C：S_A，S_B：S_C」の比に内分する点を それぞれＮ，Ｍ，Ｌとし、線分ＡＬ，ＢＭ，ＣＮのただ一つの交点として決まる△ABC上の点をI_Dとする。 そのとき、「内心I」は「線分D(I_D」を(S_A＋S_B＋S_C)：S_Dの比に「内分する点」として求まる。…(2.1.1) (2) (1)と同様に、 まず、「四面体ABCD」の側面の△BCD，△ACD,△ABD，△BCDの面積 S_A，S_B，S_C，S_Dを計量しておく。 (1)のように比と「Cevaの定理」で決まる△BCD，△ACD，△ABD，△BCD上の点をI_A,I_B，I_C，I_Dとして、 4本の『内心線』 AI_A，BI_B，CI_C，DI_Dの交点が「内心I」になる。 …(2.1.2) (3) ６つの二等分面から求める方法 今「四面体ABCD」がボール紙でできていて△BCDが底面で、頂点Aが上方にあり、それを外から見て △ABCが左側、△ABDが右側に、その共通な辺ABが目の前にある状況を想像して欲しい。 この２つの面によってできた図形、いわゆる「二面角」を次のように2等分する。「山折りになった」辺ABの部分を 「四面体ABCD」の「外部から内部」へ向かって点AからBへ包丁で切って行くのだが、 この2面角の作る「内部の角」(角度 180°）を「2等分する」ように切って行くのである。 このとき「包丁の動いた部分を拡大して」１つの「平面」ができる。これが △ABCと△ABDが作る「二面角」の「二等分面」である。この「二等分面」は今は辺ABに沿って切って いったのである。そこでこの「二等分面」を単に、「辺ABでの二等分面」と呼ぶことにする。 「四面体ABCD」の1つの辺ABに対して丁度1つ「二等分面」ができる。「四面体」には辺が6つ あるから、計6枚の「二等分面」ができる。この「6枚の『二等分面』の交点」が「内心I」である。 実際には、おそらくは、辺ABでの「二等分面」、辺ACでの「二等分面」、辺ADでの「二等分面」と、 もう一つ例えば、辺BCでの「二等分面」の計4面の交点などとして「内心I」は決まるであろう。 「証明」 (1)(2)については、[定理2.1]の上で説明した。 (3)については、初等幾何の方法で証明しよう。「三垂線の定理」を用いる。頭のなかに図を浮かべながら読んで下さい。 まず、「内心I」があるとする。点Iから△ABCへ引いた垂線の足をI_D，△ABDへ引いた垂線の足をI_Cとする。 I(I_D)＝I(I_C)＝内接球面の半径 …(2.1.3) である。点Iから辺ABに垂線を引き、…(2.1.4)（ここがポイント） その交点をLとしよう。(L∈AB） 点Ｌと点I_D,I_Cをそれぞれ結び、△IL(I_D)と△IL(I_C)を考える。II_D，II_Cは それぞれ△ABC,△ABDへの垂線であるから、△IL(I_D)と△IL(I_C)は∠I(I_D)L＝∠I(I_C)L＝90°…(2.1.5)の 直角三角形である。そして、斜辺のALは共通で II_D＝II_Cだから、△IL(I_D)≡△IL(I_C) …(2.1.6) となる。 ゆえにL(I_D)＝L(I_C) …(2.1.7) ここで、△ABCを底面と考えてその上に垂直に立っている直角三角形IL(I_D)と、 辺ABとの状態を見てみると I(I_D)⊥△ABCだから AB⊥I(I_D) またAB⊥IL (∵(2.1.4)） よってAB⊥[平面IＬ(I_D)] ゆえに (I_D)Ｌ⊥ABとなる。 同様にして(I_C)Ｌ⊥AB となる。よって 3点(I_C)，(I_D)，Ｌを結んで△(I_C)Ｌ(I_D)を 作れば∠(I_C)Ｌ(I_D) は「△ABCと△ABDの造る二面角のなす角」 …(2.1.8) になる。よって線分(I_C)(I_D)の中点を Ｍとすれば、 △I(I_D)(I_C)はI_D＝I_Cの二等辺三角形だから、(I_D)(I_C)⊥IＭ また△L(I_D)(I_C)はL(I_D)＝L(I_C)の 二等辺三角形より(I_D)(I_C)⊥ＬＭ かつ ∠(I_D)LＭ＝∠(I_C)ＬＭ 。ゆえに辺ABと線分ＭＬの造る平面は 「辺ABでの二等分面」であり、(I_D)(I_C)⊥「辺ABでの二等分面」、また(I_D)(I_C)⊥[平面IＬＭ]となるから その「二等分面」は「内心I」を通る。 （ [定理2.1]の「証明」終わり ） 3. 「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m (m≧3)としておく。 「定理3.1] 頂点Aから引いた「内心線 A(I_A)」上の任意の点Tをとる。このとき、点Tから△ACD、△ABD △ABC,△BCDに 下した垂線の足を例によってそれぞれT_B，T_C，T_D,T_Aとすれば ⇒ TT_B＝TT_C＝TT_D である。 すなわち「内心線 A(I_A)」上の任意の点Tから面△ACD、△ABD △ABCまでの「距離は等しい」。 厳密には「符号も考えて」点Tの四線座標を(α(4),β(4),γ(4),δ(4))とすれば、⇒ β(4)＝γ(4)＝δ(4) 「証明」 「内心I」及び点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標」をそれぞれ (p,q,s,t)、(κ,λ,μ,ν)とする。 すなわち 任意の点P∈E^mに対して (→PI)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD ) … (3.1.1) かつ κ＋λ＋μ＋ν＝1 … (3.1.2) また (→PT)＝p(→PA)＋q(→PB)＋s(→PC)＋t(→PD ) … (3.1.3) かつ p＋q＋s＋t＝1 … (3.1.4) とする。 ここに κ＝(S_A)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] ，λ＝(S_B)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] μ＝(S_C)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] ，ν＝(S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] …(3.1.5) である。 また 1−κ＝(S_B＋S_C＋S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D] …(3.1.6)となる。 点Tは「内心線 A(I_A)」上にあるから、(→AT)＝u(→AI) …(3.1.7) となる実数uがある。 これは(3.1.1), (3.1.3)から q(→AB)＋s(→AC)＋t(→AD)＝u×[λ(→AB)＋μ(→AC)＋ν(→AD)] …(3.1.8) となる。 (→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立だから、 q=uλ,s＝uμ，t=uν …(3.1.9) となり、2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D …(3.1.10)とおけば (3.1.5) から q=u(S_B)/(2F) ，s=u(S_C)/(2F)，t=u(S_D)/(2F) …(3.1.11) となる。 よって また p＝1−(q＋s＋t)＝1−u(λ＋μ＋ν)＝1−u(1−κ) すなわち p＝1−u(1−κ)＝1−u(S_B＋S_C＋S_D)/(2F) …(3.1.12) ここで 点Tの「四線座標」(α(4),β(4),γ(4),δ(4))と「重心座標」(p,q,s,t)の間には α(4)＝p(3V)/(S_A) ,β(4)＝q(3V)/(S_B),γ(4)＝s(3V)/(S_C),δ(4)＝t(3V)/(S_A) …(3.1.13)の関係がある。 (3.1.11)を(3.1.13)に代入して α(4)＝[1−u(1−κ)](3V)/(S_A)＝[1−u(S_B＋S_C＋S_D)]/(2F)×[(3V)/(S_A)] …(3.1.14) また β(4)＝q(3V)/(S_B)=u(S_B)/(2F)×[(3V)/(S_B)]＝u(3V)/(2F)となる。同様にして γ(4)＝u(3V)/(2F) δ(4)＝u(3V)/(2F) こうして α(4)＝[1−u(1−κ)](3V)/(S_A)＝[1−u(S_B＋S_C＋S_D)]/(2F)×[(3V)/(S_A)] …(3.1.14) かつ β(4)＝u(3V)/(2F) ，γ(4)＝u(3V)/(2F) ，δ(4)＝u(3V)/(2F) …(3.1.15) ゆえに β(4)＝γ(4)＝δ(4)＝u(3V)/(2F) …(3.1.15) ここで 内接球面の半径を rとすれば r＝(3V)/(2F)だから β(4)＝γ(4)＝δ(4)＝ur …(3.1.16) と書くこともできる。 （[定理3.1]の「証明」終わり ） [命題3.2] 記号は上の通りとする。「頂点Aからの『内心線』A(I_A)」(注： 直線である ），I_A∈△BCDについて 点 I_Aの「四面体ABCD」に関する「四線座標」は (0，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D) ）である。 つまり 点I_Aから △BCD，△ACD，△ABD，△BCDまでの距離は それぞれ 0，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D) である。 また 点I_Aは△BCD上にあるからI_Aの「△BCD」に関する「三線座標」も考えられる。それを(β(3),γ(3),δ(3)) とすれば、 β(3)＝2(S_B)(S_A)/[f(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]，γ(3)＝2(S_C)(S_A)/[a(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)], δ(3)＝2(S_D)(S_A)/[e(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)] となる。 ここに△BCDの3辺は BC＝a，CD＝f，DB＝e としてある。 「証明」 「頂点Aからの『内心線』A(I_A)」上の点Tが I_Aとなるのは(1.1.9)の式より、(→AT)＝u(→AI)において u＝1/(1−κ)のときである。そこで「定理3.1]の(3.1.14)(3.1.15)及び(3.1.6)から、 α(4)＝[1−u(1−κ)](3V)/(S_A)＝0， β(4)＝u(3V)/(2F)＝[1/(1−κ)](3V)/(2F)＝[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]/(S_B＋S_C＋S_D)×(3V)/(2F) ＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D) （ ∵ 2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D としてあるから ） 同様に γ(4)＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D) ，δ(4)＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D) 次にI_Aの「△BCD」に関する「重心座標」は (S_B/(S_B＋S_C＋S_D)，(S_C)/(S_B＋S_C＋S_D)，(S_D)/(S_B＋S_C＋S_D)） ゆえにI_Aの「△BCD」に関する「三線座標」(β(3),γ(3),δ(3))は,△BCDの面積＝S_A だから β(3)＝(2S_A)/f×(S_B)/(S_B＋S_C＋S_D)，γ(3)＝(2S_A)/e×(S_C)/(S_B＋S_C＋S_D)， δ(3)＝(2S_A)/a×(S_D)/(S_B＋S_C＋S_D) となり、証明された。 ([命題3.2]の「証明」終わり） ４. 「四面体ABCD」の「内心I」と「傍心E_A」の位置関係 (1) 「角A内で△BCDで『傍接する』傍接球面」の「中心」を「E_A」で表わすことにする。 「2F=S_A＋S_B＋S_C＋S_D」・・・（4.1.2)とおけば， −S_A＋S_B＋S_C＋S_D＝2F−2(S_A)＝2(F−S_A）・・（4.1.3)と なるので, 「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は次の通りであった。 「角A内で△BCDで『傍接する』傍接球面」の「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^m(ただし m≧3)に対して、 (→PE_A)＝[1/2(F−S_A)]×[−(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]・・・（4.1.1) また[傍接球面E_A]の半径r_Aは r_A＝(3V)[(2(F−S_A)]＝[√{detJ(3)}]/4(F−S_A) ・・（4.1.2)であった。 そこで次の[定理4.1]を示す。 [定理4.1] 「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m (m≧3)としておく。「四面体ABCD」の「内接球面」の半径をr， [傍接球面E_A]の半径r_Aとする。 このとき、頂点A、「内心I]，I_A，「傍心E_A」は この順に「Aから引いた『内心線』」上にあり、 AI：A(E_A) ＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)=r r_A ・・・（4.1.3) AI：I(E_A) ＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：2(S_A) ・・・（4.1.4) A(I_A)：A(E_A)＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_B＋S_C＋S_D) ・・・（4.1.5) 「証明」 「内心I]の［ベクトルによる重心座標表現」はE^m 内の任意の点Pにたいし、 (→PI)＝[1/2F][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] ・・・(1.1.4) そして「内接球面」の半径をrとすれば r＝(3V)/(2F)＝[√{detJ(3)}]/(4F) ・・・（4.1.6) 一方， 「傍心E_A」のそれは (→PE_A)＝[1/2(F−S_A)]×[−(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]・・・（4.1.1) (1.1.3)，（4.1.1)でＰの代わりにAとおけば、(1.1.3)，（4.1.1)はそれぞれ (→AI) ＝[1/(2F)]×[(S_B)(→AB)＋(S_C)(→AC)＋(S_D)(→AD)] ・・・（4.1.7) (→AE_A)＝[1/2(F−S_A)]×[(S_B)(→AB)＋(S_C)(→AC)＋(S_D)(→AD)] ・・・（4.1.8) （4.1.7)，（4.1.8)より (→AE_A)＝[2F/2(F−S_A)]×(→AI) ・・・(4.1.9)を得る。(2F)/2(F−S_A) １だから 三点 A，I，E_Aはこの順に一直線上にある。 AI：A(E_A)＝1 ：(2F)/2(F−S_A)＝2(F−S_A)：2F＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) ＝(3V)/2F：(3V)/[2(F−S_A)]＝r ：r_A これより AI I(E_A)＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：2S_A がでる。 また AI：I(I_A)＝(1−κ)：κ＝(λ+μ＋ν)：κ＝(S_B＋S_C＋S_D)：S_A …(1.1.10)から (→AI)＝(S_B＋S_C＋S_D)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)×(→AI_A) ・・・（4.1.10) これを (4.1.9)に代入し (→A(E_A))＝[2F/2(F−S_A)]×(S_B＋S_C＋S_D)/(2F)×(→AI_A) ＝(S_B＋S_C＋S_D)/[2(F−S_A)]×(→AI_A) A(I_A)：A(E_A)＝[2(F−S_A)]：(S_B＋S_C＋S_D)＝(−S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_B＋S_C＋S_D) を得て、頂点A、「内心I]，I_A，「傍心E_A」は この順に「Aから引いた『内心線』」上にある ことが証明された。 ([命題3.2]の「証明」終わり） 5. (1)「四面体ABCD」の「角A内の『傍接球面E_A』」のイメージをここで説明しておこう。 「四面体ABCD」を△BCDが底面にきて頂点Aが上方にくるように平面上に置く。 「四面体ABCD」を上方に持ち上げて、面△ABCをAを始点としてAから辺BCの方向に例えばAB，ACの長さが3倍になるように し、面△ABCを下方に引っ張り△AB C を作ろう。同様に△ACDも下方に3倍に引っ張り△AC D 、△ABDも下方に3倍に引っ張って △AB D として、できた図形を考えよう。この図形を頂点Aを上方になるように平面上に置く。すると辺B C ，C D ，D B が地面に 触れて「床」が△BCDの「家みたいな」ものができる。そこで小さなゴムボールを膨らましながらこの家の床下から入れてゆき、 このボールが台形B BCC 、台形C CDD ，台形D DBB に「内側」から接して、かつ「床△BCD」に「下から接する」まで膨らませれば 「角A内での△BCDで傍接する『傍接球面』が出来上がる」というわけである。 (2) 3.で「内心I」の「初等幾何学的」な求め方を述べたので「傍心E_A」の場合のそれを述べておく。 3.の[定理3.1]の(3)のように、「辺ACでの『二等分面』」，「辺ADでの『二等分面』」、「辺ADでの『二等分面』」と △BCDと台形B BCC の造る「二面角」を「四面体ABCD」の「外部から外部」へ「二等分」する 「辺BCでの『二等分面』」と、△BCDと台形C CDD の造る「二面角」を「四面体ABCD」の「外部から外部」へ 「二等分」する「辺CDでの『二等分面』」と、△BCDと台形D DBB の造る「二面角」を「四面体ABCD」の 「外部から外部」へ「二等分」する「辺CDでの『二等分面』」の6枚の「平面の交点」はただ一つでそれが、 「傍心E_A」になる。