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√7-√5 √3-√2 を証明せよ。 a≧0，b≧0のとき(a+b)/2≧√ab を証明せよ この問題で，(左辺)-(右辺)≧0を示した後等号成立の場合を示さないと間違いになると教わったのですがなぜ間違いになるのでしょうか？ a≦bを証明しろという問題ではa bが証明できればそれで良いんですよね？ x 0 y 0 のとき xy-y・・・Aのとる符号とそのときのxを考える。 Aが正のとき xの変域はアであり、 xyz≦2とする。xy≧16のとき、zのとりうる範囲を求めよ。 k＜aでaの最小値が1ならk＜1なんですか？ xが＜０のとき x＋1/x≦－2が成り立つことを証明しなさい 0以上の実数x、y、zに対して (x+y+z)*(xy+yz+zx)≧axyzが常に成り立つような定数aの最大値を求めなさい 正の数a.bに対して√a+√b≦k√(a+b)が常に成り立つようなkの最小値を求めよ 65 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13 22 21 a≦bを証明しろという問題ではa bが証明できればそれで良いんですよね？ a=bが成立しなくても良いんですよね？ いろいろ考えたら逆にゴチャゴチャになってしまって 66 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 24 46 a≦bは「a bまたはa=b」ではなかろうか？ 67 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 24 47 だめだろ 68 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 26 51 a≦bは「a bまたはa=b」, つまり not(a b)⇒a=b not(a=b)⇒a b 69 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 13 29 49 65 数学的にはオッケーだけど、 高校レベルの問題で出てくるときはほぼ確実に 等号成立条件まで考えたほうがいいね。 等号が成立しないなら間違ってる可能性が高い。 先生によって減点があるかもしれない。 70 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/06(日) 13 35 22 ≧は＞または=だから 等号成立条件を考えていないと、＞しか示していないことになる 79 ： スガ ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/06(日) 13 52 09 76 ないね。オッケーだと思うよ。 あと何人か勘違いしてるけど、数学上は 等号が成立しなくても≧は使っていいんだよ。 学校ではたまに違うことがあるだけで。 80 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 53 04 1≦2は等号成立しないが明らか 81 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/06(日) 13 55 15 70 ばかか？ 5≧4はあっているし 5 4も正しい 221 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 00 41 54 √7-√5 √3-√2 を証明せよ。 √2=1.414 などの数値計算をしてはならない。 230 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 01 56 01 221 曲のない話だが、どんどん2乗を繰り返し、自明な不等式に帰着させる。 √7-√5 √3-√2 ⇔ √7+√2＞√5+√3 ⇔ 9+2√14＞8+2√15 ⇔ 1＞2(√15-√14) ⇔ 1＞4(29-2√(15*14)) ⇔ 8√(15*14)＞115 ⇔ 64*15*14＞115^2 ⇔ 2688＞2645 よって明らか 231 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/27(木) 02 02 11 221 √7-√5= 2/(√7+√5) √3-√2= 1/(√3+√2) つまり 2(√3+√2) (√7+√5) を証明すること = (√12+√8) 344 ： え(⌒▽⌒)？ [sage] 2011/01/29(土) 21 55 46 x 0 y 0 のとき xy-y・・・Aのとる符号とそのときのxを考える。 Aが正のとき xの変域はアであり、 Aが0のとき xはイであり、 Aが負のとき xの変域はウである。 どのようにして、やっていけばいいのでしょうか？ 368 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/30(日) 10 54 49 365 二つの実数をかけたとき符号はどうなるか、を考えるだけ。 369 ： え(⌒▽⌒)？ [sage] 2011/01/30(日) 11 01 57 y(x-1)・・・A y(x-1) 0のとき、 y 0より、(x-1) 0 → x 1 y(x-1)=0のとき、 y 0より、x-1=0 →x=1 y(x-1) 0のとき、 y 0より、(x-1) 0 →x 1 おーけー？ 346 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 22 06 21 不等式の証明について質問です a≧0，b≧0のとき (a+b)/2≧√ab を証明せよ この問題で，(左辺)-(右辺)≧0を示した後 等号成立の場合を示さないと間違いになると教わったのですが なぜ間違いになるのでしょうか？ 347 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22 10 55 不完全なだけで間違いじゃない気がするけどなあ。 348 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22 28 25 346 等号成立の場合を示さなくても間違いじゃねえよ。 ただし、問題文に「等号が成立するのはどんな場合か」を要求する記述があれば、それを書かなくては駄目だがな。 350 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22 56 10 347 不完全じゃないだろ 不等式の成立を示すことが要求されているだけで 等号が成立するかか否かは関係ない 352 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 22 58 41 高校数学ローカルルールにおいては「不等式を示せ」という問題は 「不等式を示し、等号成立条件を求めよ」という意味である、ということ。 変なローカルルールだけど、一般にまかり通ってるし、従っといて損はないというだけ。 354 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/29(土) 23 06 48 352 そんなのは、お前の脳内だけの、きわめて局所的なローカルルールだ まかり通ってなどないわ 355 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 23 06 55 352 それは間違い。 過去に京大の入試問題で、等号が成立しないのに等号付きの 不等式の証明が出題された事がある。 356 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/29(土) 23 10 03 p≧q⇔p qまたはp=q これを知らない高校生は多いだろう 364 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/30(日) 00 32 38 352 のような勘違いする奴がいるのは証明した不等式を用いて最大(小)値を求める問題が多いからだろうな そういう場合は当然だが等号成立条件の確認がいるんだけど それをどんな場合でも不等式の等号成立を確認しなければいけないと思い込んでしまうんだろう 困ったことにそういう勘違いをした数学教師も少なからずいるから勘違いした奴が増えてしまう 581 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/01(火) 20 54 17 xyz≦2とする。 xy≧16のとき、zのとりうる範囲を求めよ。 586 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 21 45 05 適当に解いたから検算程度に z 0のとき、xyz≦2を満たす z≧0のとき、xy≧16より、xyz≧16z また、xy≧16より 1/xy≦1/16なので 16z≦xyz≦2 z≦2/xy ≦1/8 ∴z≦1/8 777 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 21 55 05 k＜aでaの最小値が1ならk＜1なんですか？ 778 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/03(木) 21 57 38 777 その問題の背景を全然知らずに答えるけど、 aの最小値が１だとしてもaが1より大きな値をとりうるのだから、 kも1より大きな値をとりうるよ。 しかし、他にも条件がつけばk 1となる可能性もある。 856 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17 18 54 xが＜０のとき x＋1/x≦－2が成り立つことを証明しなさい この問題はx＝－a(a＞０)とおいて代入し式変形 そして相加･相乗平均の不等式から証明したらいいですか？ 857 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17 23 32 両辺にxかけて実数の平方が常に0以上であることを行ってもいい 858 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 17 27 39 856 相加相乗が使えるときの条件を100回読み直せ 866 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 18 39 31 858 ,865 (-x)と(-1/x)で相加相乗してこい 932 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 12 39 51 0以上の実数x、y、zに対して (x+y+z)*(xy+yz+zx)≧axyz が常に成り立つような定数aの最大値を求めなさい 全く分かりません ヒントお願いします 933 ： スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 12 49 15 932 x,y,zは0以上なので相加平均と相乗平均の関係が使えるよ。 x+y+x ≧ 3 (xyz)^(1/3) xy+yz+zx ≧ 3 (xyz)^(2/3) 両辺それぞれ掛け合わせればオッケー 938 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 13 25 16 933 おい、いい加減なこと書かずにちゃんと書けよ 932 が今後類題出たとき間違えるだろ 954 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17 12 29 文型プラチカ38番の2 正の数a.bに対して√a+√b≦k√(a+b)が常に成り立つようなkの最小値を求めよ という問題で、二乗して二次関数を使うような模範解答載っています。 二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab) をa+b≧2√(a+b)と比べて k^2-1≧1 から導く解法を考えてみたんですが、ダメな部分はありますか？ 963 ： 954 [sage] 2011/02/05(土) 17 47 41 僕は方針がこれでいいか聞きたかっただけです ここには回答を全部書かなければいけないというルールがあるんですか？ あったのなら僕の不手際なので謝ります 958 は僕じゃないです 964 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17 50 20 954 二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab) をa+b≧2√(a+b)と比べて これは、 二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab) をa+b≧2√(ab)と比べて の間違いじゃないの？ 965 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17 53 51 ちょっと、引用がおかしくなったので、書き直し 954 二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab) をa+b≧2√(a+b)と比べて これは、 「二乗したあと、(k^2-1)(a+b)≧2√(ab) をa+b≧2√(ab)と比べて 」 と書くつもりだったんじゃないの？ 966 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 17 55 40 965 すいません、右は相加相乗平均で出したものなのでそのとおりです。 967 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 18 13 05 結果的には正しい事をしているかもしれない。 しかし、解答者自身、自らがやろうとしているのは、 「最大値を求めようとして式変形をしている」のか、 「絶対不等式の式変形／式の比較を行っている」のか 「不等式を解こうという立場での式変形」なのか 明確に理解し、突っ込みを入れられても、きちんと応えられるのならｏｋだが、 何となく「これっていい近道じゃない？」みたいな感じでそのルートを取ったのだとすると、 やはり正道を取る事を俺は勧める。
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関数の不等式を見たら → sup/inf を付けてみよう↑ ← 作用素ノルム示すときとか。 初等不等式 相加相乗平均 Sinc関数 [証明]は，図を描くとほぼ明らか。 と を比べる。 Cor. 以下の形でも覚えておくとよい。 これを用いて，難しいところにある sin を x で置き換えてしまうことができる。 三角関数を抑えこむ 平均値の定理 （適当な微分可能性のもとで） C∞級とかなら何回も適用してみても良いことあるかも。 Jordanの不等式 Dirichletの振動積分を評価するときに使う。 [証明]は，sinの符号が変わる90度前後で場合わけして，Sinc関数の不等式に持ち込む。 90~180度は ω=π-θ とおくと0~90度の式に変わる。 複素数列とかで使う。 複素積分の基本不等式 曲線Cの長さをLとし、C上で とする。 超関数論で出てくる。 |x|大のとき で，C∞級，また なども成り立つ。 より一般に， さらに，ある定数があって， エントロピーの計算とかで使う。 Chebyshev(Чебышёв)の系譜 Chebyshev(Чебышёв)不等式 大数の弱法則を証明するのに使う。 Lpと測度収束の関係とか。 確率論的表現式は特に，平均からの離れ具合を分散の倍数で測った場合の確率を評価している。 測度論的 0 p ∞に対し，f∈Lp(X)とする。 任意の ε 0 に対し以下が成り立つ。 [証明] 確率論 確率変数Xは平均μと分散σ2を持つとする。←つまり二乗可積分 このとき，p=2,f=X-μ,ε=kσ とおけば以下を得る。 [証明]は次のようにしても良い。 Cor. 不等号の向きを逆にしておくのも有効 あるいは とおいて， Ex. 平均と分散が分かっているときに，平均からズレる確率を測る Jensenの系譜 Jensenの不等式 (1906) 基本的な不等式の１つ 相加相乗平均，Hölder，Cramer-Raoなどはみなこの不等式の系 相加相乗平均は -log(x) の凸性から導かれる。 KL divergenceの正値性もJensenから導かれる。 Cor.（変形） 凸関数の平均は，平均の凸関数よりでかい。 Cor.（積分版） Cor.（拡張） Cor.（期待値版） 凸関数の期待値は，期待値の凸関数よりでかい。 Def. 凸関数（convex-function） f(x)が凸であるとは，以下が成り立つことをいう。 要するに，下に凸のこと。 Prop. C2級関数の凸判定法 二階微分が常に正ならおｋ Ex. 不詳 [証明] 実際には（対称性を崩して）もっときつく押さえられることに注意↑ としてよい。 Youngの不等式 に対し， [証明] log は上に凸なので， この不等式に以下を代入する。 次の形に変形できる。 log は単調増加なので，求める不等式を得る。 Hölder不等式 (1889; Rogers 1888) f,g がそれぞれLp,Lqであることは求めない。 つまり，無限大も含めて成立するということ。 f∈Lp,g∈Lq が成立するときは，fg∈L1 が漏れなくついてくる。 Rem. 1≦p≦∞に対し，1/p+1/q=1なるqを，Hölder共役（-conjugates）という。 Rem. p=q=2のとき，Cauchy-Schwaltz不等式 使い方 指数は見方次第でコロコロ変えられるってこと。 Mincowski不等式 Rem. Lp空間の三角不等式にあたる。 Hölder不等式から証明される。 Schwartz不等式 何種類かある。 内積空間の特徴づけ。 Lp版はHölderの系として出てくる。 Cramer-Rao不等式 Jensenから証明される。 不偏推定量(推定量の期待値が真値と一致)に対して，分散を評価する不等式 目的の分布からとられた確率変数列 推定量(つまり真の母数θの推定方法) 不偏推定量 このときさらに，δが適当な正則条件を満たせば，推定量の分散について以下の不等式が成り立つ。 等号を成立させる推定量を有効推定量という。 一様分布は正則条件を満たさないので使えない。 相加相乗平均
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小澤の不等式 章立て １章 はじめに 2章 量子力学の基礎原理と解釈問題 量子力学の基礎原理から、オペレーターの定義、ハイゼンベルグの不等式、ハイゼンベルグを疑問視する1980年代の論争についてザックリとまとめる 2章memo 3章 小澤の不等式 測定精度と錯乱について整理して、小澤の不等式の導出と解釈、特に無雑音測定と無撹乱測定の解釈についてをまとめる 3章memo 4章 小澤の不等式の実験的証明 最近発表された、小澤の不等式の実験的検証について手法と結果、論文のポイントについてまとめる ４章memo 5章 おわりに 付録 参考文献 不確定性原理・保存法則・量子計算
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・1次方程式、1次不等式 ・2次方程式 ・不等式の証明
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等式の証明 不等式の証明
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不等式の性質を数直線上に表す． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) inequality1.zip 画面上に幾何点AからP4をとる． １）a b,b cのとき，a c Addax(0); Listplot([A,B]); Htickmark([Q,"n","c",R,"n","b",S,"n","a"]); Setcolor([0.8,0,0,0]); ／／色を指定する． Bowdata([Q,R],[1.5,0]); Bowdata([R,S],[1,0]); ／／２点の間に弓形を描く．オプション 曲がり，空白サイズ，文字 Setcolor("black"); Letter([[(Q.x+R.x)/2,(Q.y+R.y)/2],"s6","$c b$",[(R.x+S.x)/2,(R.y+S.y)/2],"s6","$b a$"]); ２）a bのとき，a+c b+c Listplot([C,D]); Listplot([E,F]); Htickmark([T,"n","b",U,"n","a",V,"s","b+4",W,"s","a+4"]); Setcolor([0.8,0,0,0]); Arrowdata(T,V); Arrowdata(U,W); ／／矢印を描く． Setcolor("black"); Letter([[(T.x+V.x)/2,(T.y+V.y)/2],"w5","$+4$",[(U.x+W.x)/2,(U.y+W.y)/2],"e4","$+4$"]); 同様に以下の図も描くことができる． ３）a b,c 0のとき，ca cb ４）a b,c 0のとき，ca cb
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このページの内容は書きかけです。 10-3 ノルムの不等式
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連立不等式の解を数直線上に表す． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) inequality2.zip 画面上に線分AB,点C,D,線分EF,GH,点K,Lをとる． Addax(0); Listplot([A,B]); Setpen(3); ／／線の太さを指定する． Listplot([C,D]); Setpen(1); Setcolor([0.8,0,0,0]); Listplot([E,F]); Listplot([G,H]); Circledata([K,C],["Rng=[pi/2,pi]"]); Circledata([L,D],["Rng=[0,pi/2]"]); ／／中心，通る点，角を指定して円弧を描く． Setcolor("black"); Pointdata("1",C,[0,"Size=10"]); Pointdata("2",D,["Size=10"]); ／／点を描く． ／／オプションで0とすると白丸になる． Letter([C,"nw2","$-2$",D,"ne2","$3$",B,"e","$x$",F,"e","$(1)$",H,"w","$(2)$"]);
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不等式の性質 区間１ 1次不等式の解き方 連立不等式 連立不等式 絶対値を含む方程式 絶対値を含む方程式１ 絶対値を含む方程式２ 絶対値を含む不等式