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パウリ行列と演算子の指数関数 パウリ行列の特性と，パウリ行列を含む演算子の指数関数の問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 をそれぞれパウリ行列とし、とする。このとき、 (1) 任意のベクトルについて、 が成り立つことを示せ。ただし、は２行２列の単位ベクトル、は虚数単位である。 (2) を任意の３次元ベクトルとする。このとき、演算子をとの内積の一次式で表せ。また、この演算子の物理的意味を記せ。 【解答】 (1) (2) 物理的意味？？
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指数関数の作成 [1]プロット import pylab import pylab # -10 から 10 まで 0.1 刻みの配列をつくる (numpy.arange ) ... x = pylab.arange(-10.0, 10.0, 0.1) # 関数 numpy.sin x の各要素に Math.sin を適用して配列オブジェクトを生成 ... y = pylab.sin(x) # x,y を描画 ... pylab.plot(x,y, r* ) [] # 描画 ... pylab.show() [2] math.exp(x) REF [1]http //symfoware.blog68.fc2.com/blog-entry-1416.html 数式の作成 [2]http //docs.python.jp/2.4/lib/module-math.html 指数表示
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自然数eを底とする指数関数。 指数関数は級数展開で求めることができる。x 0 である時は、級数展開の各項に正負が交互に現れるため桁落ちが生じる。そこで、指数関数の逆数を計算することによりx 0の計算に直す。 収束を早めるため、x=t+k*ln(x), -ln(x)/2 x ln(x)/2 となるtとkを求め、Exp(x)=Exp(t)*2^kとする。 このほかに、連分数を使って求める方法もある。 ActiveBasicでは級数展開を用いたアルゴリズムでExp関数が用意されている。 #N88BASICConst LOG2 = 0.6931471805599453094172321214581765680755'log_e(2)Function lldexp(x As Double, k As Integer) As DoubleDim w As DoubleIf k = 0 Thenw = 2Elsew = 0.5k = -kEnd IfWhile kIf k And 1 Then x = x * ww = w * wk = k 1Wendlldexp = xEnd FunctionFunction lexp1(x As Double) As Double' 級数展開にて求めるDim i As Integer, k As Integer, neg As IntegerDim a As Double, e As Double, prev As DoubleIf x = 0 Thenk = x / LOG2 + 0.5' またはFix(x / LOG2 + 0.5)Elsek = x / LOG2 - 0.5' またはFix(x / LOG2 - 0.5)End Ifx = x - k * LOG2' 級数展開If x = 0 Thenneg = 0Elseneg = 1x = -xEnd Ife = 1 + xa = xi = 2Doprev = ea = a * x / ie = e + ai = i + 1Loop While e prevIf neg Then e = 1 / elexp1 = lldexp(e, k)End FunctionConst N = 22' 本文参照 (6, 10, 14, 18, 22, 26, ...)Function lexp(x As Double) As Double' 連分数展開にて求めるDim i As Integer, k As IntegerDim x2 As Double, w As DoubleIf x = 0 Thenk = x / LOG2 + 0.5' またはFix(x / LOG2 + 0.5)Elsek = x / LOG2 - 0.5' またはFix(x / LOG2 - 0.5)End Ifx = x - k * LOG2'連分数展開x2 = x * xw = x2 / NFor i = N - 4 To 6 Step -4w = x2 / (w + i)Next ilexp = lldexp((2 + w + x) / (2 + w - x), k)End Function'Dim i As IntegerDim x As DoubleFor i = -10 To 10x = i / 4.0Print "exp("; x; Ex"* log(2))\t"; lexp1(LOG2 * x); lexp(LOG2 * x), Exp(LOG2 * x)Next i
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指数の拡張 負の数のｎ乗根 指数関数
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位相の入れ方 リー群リー環（行列の指数関数が活躍する）などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。 行列とベクトルの並べ替えによる線形同型 をとり， によってノルムを定義すると，これで等距離同型(isometry)になった。わけ。 このノルムで， によって収束を定義する。 つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから，成分毎の収束と同値。 作用素ノルムで考えてもおｋ（フロベニウスと同値な位相を誘導する） 行列ノルムの性質（劣乗法性）←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム，作用素ノルム，シャッテンノルムはおｋ 極限の基本 公式 「群演算は連続」 連続写像 （Y は適当な位相空間。実数体，行列空間など） 「fがAで連続」という条件は，以下の３つの条件とそれぞれ同値 点列連続 逆像が開写像 逆像が閉写像 例 相似写像は連続 応用（一般線形群は開集合，特殊線形群は閉集合） は成分の多項式なので連続 これを使って 左辺はKの開集合 右辺はKの閉集合 より，それぞれ det の連続性から示される。 応用（直交行列は閉集合） は連続（∵転置と積の合成写像） 右辺の一点集合は閉集合であるから，fの連続性によりO(n)もMat(n, R or C)の閉集合 べき乗を計算するためのテクニック 1. 三角行列の対角成分はそのままべき乗 任意の正方行列は適当な正則行列を使って，複素数の範囲で三角化可能なので， 対角成分だけの議論ならこのテクニックでどうにかなる。 2. べき零あるいは擬周期性 高々 k まで計算するだけ まず k まで計算して，あとは漸化式 不等式 行列の指数関数 全域で存在 連続性 を用いて示される。 例 公式 1. 2. 3. 4. 5. 注意（単射でない） だが，逆は成り立たない！ など。この形に限るかどうかは不明 対数関数 いつ逆写像になるか？ 1. 2. 3. で連続 結論 上で単射かつ双連続 注意 のとき，
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imageプラグインエラー ご指定のURLはサポートしていません。png, jpg, gif などの画像URLを指定してください。 ガロワ クロノスケープ ゲームシナリオのためのSF事典 デルタックス 地球の「１００兆倍」の水、１２０億光年のかなたに発見 対数スケール Logarithmic scale 複素指数関数 逆2乗の法則 量子テレポーテーション ナノク 図解入門よくわかる物理数学の基本と仕組み (How‐nual Visual Guide Book) showrss プラグインエラー RSSが見つからないか、接続エラーです。 showrss プラグインエラー RSSが見つからないか、接続エラーです。 showrss プラグインエラー RSSが見つからないか、接続エラーです。 #ref_list
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【妄想属性】指数関数 【名前】指数関数の申し子 【属性】成人男性 【大きさ】170^Xcm X＝戦闘開始から経過した秒数 一秒経過したならX＝1 一分経過したならX＝60 【攻撃力】大きさ相応 【防御力】大きさ相応 【素早さ】大きさ相応 【長所】指数関数的に巨大化 【短所】若干時間がかかる 【戦法】でかくなるまで逃げる ◆考察記録--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 370： ↓名無しさん＠おーぷん：20/03/29(日)04 54 02 ID 3z.dy.L1 × 指数関数の申し子 考察 戦闘開始時は小さいから逃げる前に攻撃を喰らうだろう 拳銃持ちには勝てないからその下から見てみる ×ばつ肉弾戦マン 特殊能力で弱体化されて負け ×パンチで地球を破壊できる人 パンチ食らって即死負け ×メイドウルフ 大きくなる前に攻撃で即死負け ×重い人 大きくなる前にパンチ食らって即死負け ×体重1万トンの成人男性 大きくなる前にパンチ食らって即死負け ×7メートルおじさん 大きくなる前に攻撃食らって即死負け ×6メートルおじさん 大きくなる前に攻撃食らって即死負け ○羊 強くなられる前に巨大化して追いかけて勝ち ×自転車マン 十分に巨大化する前に蹴られて負け ×5メートルおじさん 大きくなる前に攻撃食らって即死負け ○お坊さん 相手は逃げているので巨大化勝ち ×緑の悪魔 触れられて負け △Alice.A.Phoenix 槍に刺されても急所を守れば巨大化で勝てるかもしれないが微妙 ○えこー 燃え尽きる巨大化で勝ち ○火だるまの成人男性 燃え尽きる前に巨大化して勝ち ○大ダコ 体当たりでも首絞めでも即死はできなさそうなので巨大化勝ち ×でかいトド 逃げる前に押し潰されて負け ○ロックゴーレム 遅いので巨大化勝ち ○ダイオウイカ 遅いので巨大化勝ち ○オオアナコンダ 絞め殺される前に巨大化勝ち 6メートルおじさん＞指数関数の申し子＞羊 0487◆n0qGxROT0Q 2024/01/14(日) 14 09 59.23ID i3bYKM1z 指数関数の申し子再考察 2秒で289m、3秒で49130mになる ○小渕恵三 電話前に巨大化 ○地面を流砂に変える成人男性 巨大化するので埋もれない ○質量増加男 巨大化勝ち ○対戦相手を不幸にする成人男性 死ぬ前に巨大化 ○フワちゃんwith消しゴムマジック 先に巨大化できる ×5 アミメキリン～7メートルおじさん 大きくなる前に攻撃される アミメキリン＞指数関数の申し子＞フワちゃんwith消しゴムマジック
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ベクトルで微分をするには、元の型を保ったまま展開するのが基本。 これは慣習であって、必ずしもそうとは限らない。列ベクトルを列ベクトルで微分して行方向に展開してしまうこともある。 ヤコビ行列との関係 ヤコビ行列は，独立変数xを横方向に伸ばし，従属変数yは縦方向に展開するのが良いらしい。 この向きは，重積分の変数変換などでは（行列式にしてしまうので）どちらでも支障はないが， テイラー展開などで左から列ベクトルに作用させる場合などには重要である。 Wiki, 幾何学B で出てきたのは次の形だった。 特に幾何学Bでは，転置や逆関数をとったりするから，向きに気をつけてさえいればどっちでもよさそうだった。 しかし，Taylor展開を自然に書くためには，xを横に伸ばす必要性が出てくる。 cf. １次のTaylor展開 行列関数を微分 行列関数Fの行列Aによる微分は、Fを行列RN×Mの各成分aijを引数とする多変数関数とみなして微分することができる。 これを利用して、合成行列関数の微分におけるヤコビ行列の積のようなものが得られると嬉しいが、残念ながら下記の様に成分毎の結果しか得られていない。 Traceをとる方法ではなく、M×N×P×Q個の成分を２つの行列の積として上手く並べる方法は見当たらない（vecを使う方法はある）。 The Matrix Cookbook 式122,126 でもこの形式を用いている。 逆行列による微分では、もう少し計算が進む。 Lem. はXの逆行列X-1のij成分であるとして、 (証明) ここで Y =X-1と置くと、xijはY-1のij成分であることに注意して、 このYをX、xijをと読み替えればよい。 逆行列による微分 (証明) 合成関数の微分公式によって、 この関係式から「系.Fは逆行列で最適化しても変わらない。」が導かれる。 Trの微分 次の交換が基本 detの微分 余因子展開と余因子行列の性質を用いると，次が分かる。 二次形式の微分 二次形式はスカラーであるから，トレースや転置をとっても変わらないことを利用する。 二次形式において、行列を対称成分と反対称成分に分けたとき、反対称成分は相殺してしまうので、表現行列として対称行列のみを考えて一般性を失わない。 方向微分による方法 定義に戻って，FのAにおけるH方向微分（Gateaux微分）を以下で計算する方法も有効である。 この計算で得られるのは，Jacobi行列の拡張に相当する作用素である。 計算結果において，Hは一般に外せない位置にくる。
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対数とその性質 対数の定義(生徒用ワークシート) 対数関数 指数関数・対数関数 対数関数を含む関数の最大値・最小値問題 常用対数
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指数法則 は正の整数、は有理数とする。 対数法則 は実数とする。