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複素数って実数と虚数を合わせたものですか? 2次以上の方程式についてですが、x=a+biを解に持つならx=a-biも解に持つことは自明として扱ってよいのでしょうか? 複素数の問題で 1-i^=2となってるのですが i^を-1に置き換えると1-(-1)^で1-1=0になるのでは無いのでしょうか? 平方するとjとなる複素数zを求めよ。 sin4y=4cos^3ysinysin^3y-4cosysin^3yド・モアブルの定理を用いて、次の関係式を求めよ つぎの関係式を満たす複素数zの範囲を求め、図示せよ (1)|z-1|+|z+1|=3 (2)Re(z-1)=|z| (3)z+z_+(1+j)z+(1-j)z_+1=0 _は共役な複素数 405 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 06 20 38 複素数って 実数と虚数を合わせたものですか? 407 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 06 59 44 x=a+bi(iは虚数単位、a,bは実数)の形で表せるものを複素数として b=0のときxは実数。b≠0のときxは虚数。a=0のときxは純虚数 583 : 132人目の素数さん [] 2011/02/01(火) 21 31 52 2次以上の方程式についてですが、x=a+biを解に持つならx=a-biも解に持つことは自明として扱ってよいのでしょうか? 585 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 21 43 41 二次方程式 x^2=2i はx=1+iを解に持つがx=1-iは解に持たない。 732 : 132人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 14 41 33 複素数の問題で 1-i^=2となってるのですが i^を-1に置き換えると1-(-1)^で1-1=0になるのでは無いのでしょうか? 733 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 14 45 48 732 2 の記法で式を書いてみて 734 : 132人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 14 52 29 733 1^2-i^2=2です 737 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 15 06 58 732 i^2 を -1 に置き換えたら 1-(-1)=2 740 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 15 23 34 複素数がよくわからんのです 平方するとjとなる複素数zを求めよ。 741 : 132人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 15 39 16 ±√j 743 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 15 47 29 基本的にルートの中は正の実数だけだから z=x+yjと置いて z^2 = jをとけばよろし 846 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/04(金) 15 32 28 sin4y=4cos^3ysinysin^3y-4cosysin^3y ド・モアブルの定理を用いて、次の関係式を求めよ、がうまく纏まらんです 848 : 845 [sage] 2011/02/04(金) 15 44 28 846 e^(4yi) = Cos[4y] + i*Sin[4y] e^(4yi) = (e^yi)^4 = (Cos[y] + i*Sin[y])^4 よって Cos[4y] + i*Sin[4y] = (Cos[y] + i*Sin[y])^4 両辺の虚部を比較する。 942 : 132人目の素数さん [sage] 2011/02/05(土) 13 52 22 つぎの関係式を満たす複素数zの範囲を求め、図示せよ (1)|z-1|+|z+1|=3 (2)Re(z-1)=|z| (3)z+z_+(1+j)z+(1-j)z_+1=0 _は共役な複素数 の問いがわかりません お願いします 943 : スガマサト ◆.ffFfff1uU [sage] 2011/02/05(土) 14 14 37 942 その種の問題は一般的には z = x + y j とおいてxとyの関係式にして求める。 (最近はiではなくjを使うの?) (1)は特別で、2点からの距離の和が等しい点の集合なので楕円になる。 (2)z+z_ = 2 x z- z_ = 2 yj を利用すると 4x+2y + 1 =0 という直線になる。
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相異なる複素数a,b,cに対し、集合{a,b,c}={a^2,b^2,c^2}が成り立つとする。a,b,cはどれも自分自身の平方と等しくないとき、a+b+cの実部を求めよ(02,上智) nを自然数、zを絶対値が1の複素数とします。z^n+1の絶対値が1となるzを全て掛け合わせた複素数を求めてください。(04,東北) z/2+1/zが0以上2以下の実数であるような複素数z(z≠0)を表す複素数平面上の点の集合を式で表し、図示してください。(98,北大) nを2以上の整数とします。α=cos(360°/n)+isin(360°/n)として等式(1-α)(1-α^2)(1-α^3)…(1-α^(n-1))=nを示してください。(02,北大) aを実数、zを複素数とし複素数平面上でa,z,z^2,z^3が表す点をそれぞれA,B,C,Dとします。この4点がひし形の4頂点になり、ACが対角線になるとき、a,zの値を求めてください。(03,千葉) xに関する2次方程式x^2+2tx-2t+3=0の複素数の範囲で考えた解をα,βとします。tがt≧0の範囲を動くとき(|α|+|β|)/2の最小値を求めてください。(03,早稲田) a,bを正の整数とし、f(x)=x^4+ax^3+(a+b)x^2+(2-a)x+1と置きます。4次方程式f(x)=0の解が全て絶対値1の複素数であるとき、a,bの値を求めてください。(03,早大) |z| 1を満たす任意の複素数zに対してz^2-pz+q≠0が成立します。この条件を満たす整数p,qをすべて求めてください。(03,東京医科歯科) aを実数としzを複素数とします。複素数平面上でa,z,z^2,z^3が表す4点があるひし形の4頂点になるとします。ただしaとz^2が表す頂点は対角線上にあるとします。このようなaとzの値をすべて求めてください。(03千葉) iは虚数単位でα=1+2i,β=(-1+i)/2,γ=α/βとし、複素数平面において3点A(α),B(β),C(γ)を通る円をDとします。点P(z)が円Dの周上を動くとき|z|の最大値を求めてください。(04,産業医科大) nを自然数とし複素数z=cosθ+isinθはz^n=1を満たすとして、次の級数和の値をそれぞれ求めてください。S_1=1+z+z^2+...+z^(n-1), S_2=1+cosθ+cos2θ+...+cos(n-1)θ (98名古屋大 文) z=cos60°+isin60°とします。9つの複素数(z+1)^m(z-1)^n (m,nはともに自然数)の虚部の最小値を求めてください。(04,九州) 複素数の数列{z_n}をz_1=2,z_(n+1)=(z_n-i)/(z_n+i) (n=1,2,3,...)で定めます。z_100の値を求めてください。(04,横浜市大) 0 t 1としx^2-2tx+1=0の解の1つをαとする。複素数平面上に4点O(0),A(-1),B(1),P(α)をとりABを直径とする円をCとする。点Aを通りOPに平行な直線が円Cと交わるA以外の点をQとする。四角形ABPQの面積の最大値とそのときのtを求めよ(04千葉) 3次方程式x^3+px^2+qx+r=0は絶対値が1である虚数解を持ちます。実数p,q,rの絶対値が等しいときの(p,q,r)の組を求めてください。(04,岡山) pを0でない実数とし2次方程式x^2-px+5p=0…(*)を考えます。(1)方程式(*)の解α、βがα^5+β^5=p^5を満たすときpの値を求めてください。(2)方程式(*)が虚数解をもち、その5乗が実数になるときのpの値を求めてください。(99東北) zを絶対値が1の複素数とします。√3+i+zの絶対値を最大値にする複素数zを求めてください。(お茶の水女子大)
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複素数概要 複素平面 複素数表記用途の直交座標平面実軸 実数軸/x軸に相当 虚軸 虚数軸/y軸に相当 記号法表示虚数単位 /j文字の積算に因り表記 複素数 虚数単位項を含む式実部 複素数における実数項/a 虚部 複素数における虚数項/jb 共役(きょうやく)複素数 基準の複素数に対し虚部の正負が対称な比較対象の複素数 三角関数表示 複素平面上の実軸/複素数座標の偏角に因る複素数表記絶対値 偏角 指数関数表示極座標表示 指数関数表示に分類乗算 除算 三角関数参考
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複素数平面 複素数平面の表記の仕方(生徒用ワークシート) 複素数の和と差(生徒用ワークシート) 複素数の極形式 ド・モアブルの定理 ド・モアブルの定理 複素数と図形
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一般に複素数は、 と表される。 β^3=a+biの解 今、に対して、少なくとも、 が成り立っているとする。 このとき、について、 より、 オイラーの公式
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ふくそすうねっとわーく【登録タグ GUMI ふ サイオナP 曲】 作詞:サイオナP 作曲:サイオナP 編曲:サイオナP 唄:V3 GUMI(Power) 曲紹介 「いつだって僕らを繋ぎとめるのは、曖昧な数字だった。」 サイオナP の25作目。 8bit、ピアノ、バンドサウンドといった割とキレイなロックです。(作者コメ転載) 歌詞 空を飛んでいる クジラの瞳 写り込んだ街 揺れる星座飲み込まれていく 夢追いの万華鏡 ふっと差し込む 概数を抱えて 歩く私の前に 走り去った あの日の君が 捨て忘れた 一枚の折り紙は ねぇ、今 話題の終末論 信じたがって 仮定立てたって 数式 解けないのは何故 足りないのは 君かそれとも私か 複素数平面を転げ落ちては 四則演算をし直す日々 羅針盤は今 どこを向いてる? 「i」は深海に 落ちていった 未練がましく 繋ぎ止めてた 君を結ぶ 糸 ネットワーク 接続先は無い 太陽と月の溜息 零れた 雨の 雫を散らし 廻る番傘 煌めく光 ふっと差し込む 係数を失った 私の がなった声は 交差点の蜃気楼の底深く 沈んでいった いつの日にか さ、今話題の幸福論 放って置いてよって寄って集(たか)って 枯れた喉が 擦り切れる 会いたいのは君か それとも虚像か 複素数球面を掴み損ねて 極形式を見直すんだ 羅針盤は今 天を指してる 「i」は空高く 落ちていった 烏滸(おこ)がましく 握りしめてた 君を結ぶ 糸 ネットワークに接続する 導なき道の先には 解を持つ君がいるのかな 複素数平面を転げ落ちては 四則演算をし直す日々 羅針盤は今 どこを向いてる? 「i」は深海に 落ちていった 未練がましく 繋ぎ止めてた 君を結ぶ 糸 ネットワーク 接続先は無い だなんて諦め掛けてた 八月のある日 目が覚めて クジラの声が頭に響く 「随分 待たせたね。」 ネットワーク 繋がる 証明 溢れた涙の答えは? コメント 追加おつ! -- 名無しさん (2013-09-11 00 31 13) 名前 コメント
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複素数を扱いたい ご想像通り、複素数のライブラリは用意されているのでhsファイルに import Complex と一言書き込むだけです。 GHCならコマンドラインからインポートも可。 import Complex 複素数の表現方法は [実数部] +[虚数部] と表記。 基本的な計算は複素数用にオーバーロードされてる筈なのでまぁ普通の計算に困る事も無いでしょう。
https://w.atwiki.jp/agri2011/pages/25.html
数学章A 複素数 定義 虚数を次のように定義する。 虚数を用いて複素数は次のように表す。 ここでxを実部(real part)、yを虚部(imaginary part)と呼ぶ。 実部、虚部はそれぞれ次のように表す。 Re(z)、Im(z)の代わりに、のような書き方が使われる場合もある。 和と積 複素数の和は実部と虚部をそれぞれ足せば良い。 複素数の積は二項式として計算すれば良い。 商 まず複素共役を定義する。複素数の複素共役は、 である。すなわち、虚部の符号を変えたものが複素共役となる。また、 [zz^*=x^2+y^2] であり、複素数にその複素共役をかけたものは実数となる。 商を計算する場合は分母の複素共役を分母分子の両方にかける。これにより分母が実数となるのでの形に記述できる。 複素平面 実部を横軸(x軸)、虚部を縦軸(y軸)とした二次元座標系を複素平面と呼ぶ。 複素平面上において原点から座標(x, y)までのベクトルの長さを複素数の大きさと言い、と書く。 である。 また、がx軸となす角θはzの位相角である。 オイラーの式 は次のようにも表示できる。 ここで前者を直交座標表示、後者を極座標表示と呼ぶ。 直交座標表示と極座標表示は次のオイラーの式によりいつでも変換できる。 極座標表示において、 であることに注意する。 演習問題 略。
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/27.html
(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角) を複素数という。 C には四則が定められる。 z=x+iy の絶対値 |z| を、 とする。 ( を z の共役複素数という。) z の偏角 θ を、 で定める。 z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。 C を平面状の点と同一視した場合、この平面を複素平面とかガウス平面と呼ぶことがある。 絶対値は、原点からの距離に相当する。 任意の複素数は、絶対値と偏角によって と表せる。 z=0 のときも成り立つ。 特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。 命題 1.11 絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、 絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、 絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、 積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。 Proof. 三角関数の加法定理よりすぐに示せる。 ∥ これにより、f(θ)=cosθ+isinθ が df(θ)/dθ=if(θ), f(α)f(β)=f(α+β), f(0)=1 を満たすことが確かめられる。 これは、f(θ)=eiθ としたときと同じ性質であり、次の定理を予感させる。 定理 1.12 (オイラーの公式) 本来は 定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義) の直後で登場する定理。 証明は 定義 1.14 に代入するだけなので、各自で。(やって見せても意味が無い) 次 §7 級数
https://w.atwiki.jp/coupledaysoff/pages/25.html
複素数の公式 複素数の平方根 \sqrt{x\pm{iy}}=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\pm{i\sqrt{{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}}} 例 例として\sqrt{3+4i} \begin{align} \sqrt{3+4i} =\sqrt{\frac{\sqrt{3^2+4^2}+3}{2}}+i\sqrt{{\frac{\sqrt{3^2+4^2}-3}{2}}}\\ =\sqrt{\frac{\sqrt{9+16}+3}{2}}+i\sqrt{{\frac{\sqrt{9+16}-3}{2}}}\\ =\sqrt{\frac{\sqrt{25}+3}{2}}+i\sqrt{{\frac{\sqrt{25}-3}{2}}}\\ =\sqrt{\frac{5+3}{2}}+i\sqrt{{\frac{5-3}{2}}}\\ =\sqrt{\frac{8}{2}}+i\sqrt{{\frac{2}{2}}}\\ =\sqrt{4}+i\sqrt{{1}}\\ =2+i \end{align} \begin{align} \left( 2+i \right)^2 =2^2+4i+i^2\\ =4+4i-1\\ =3+4i \end{align}