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統計学を用いた品質管理の基礎です。 正規分布 N（μ、σの２乗）で表される。 標準化 U＝(x-μ)／σ で正規分布表のKp（=U)を算出し、発生確率Pを求めることができる。 ガウス分布とも言われる。 中心極限定理：標本の平均値xは標準化によって正規分布に近づく 大数の法則：サンプル数が多いと正規分布に近づく 二項分布 不適合品数の処理はこの分布に従う。 例）不良発生率が0.4%で１０００個／日製造しているラインが１日に全く不良品を出さない（x＝０）確率は ポアソン分布 nが十分大きく、Pが小さい二項分布において、 m＝nP とすることでポアソン分布に近づく。 ワイブル分布 信頼性データに仮定される分布。 寿命データに関する分布関数は、この時刻までに故障する確率でもあるので、不信頼度（累積故障率に相当）と呼ばれる。 ワイブル分布は材料破壊の最弱リンク説（鎖が切れる故障は最も弱いところで起きる）による最小値の分布の一つとして実測データの当てはめから考えられた。 故障メカニズムが明らかでないアイテムの寿命分布にもよく近似することで知られる。 ここでγ（位置パラメーター）は故障の発生する可能性がある最小時間を表すパラメーターであるため、故障発生後には関与しないとして省略するとワイブル関数は下記にて記述される。 F(t) 累積故障率 「メジアンランク（故障率が50％）を用いた場合、下記で近似できる」 F(t)＝（i−0.3）/(n+0.4) iは故障の短い時間からi番目 例）サンプル数１０個（n=10）で３番目の累積故障率F(t)は F(t)＝（3-0.3)/(10+0.4）＝0.2596＝26.0% （下４桁程度まで近似できる） ｍ 形状パラメーター （物体を構成する物質の種類によって決まる） η：尺度パラメーター ワイブル分布のMTTF(平均故障時間）はη、分散σ^2はη^2に比例する。 →ηを大きくしてMTTFを改善すると分散も大きくなる。 また、この式を変形して となり、データすべてがある一定の傾きの直線上にあることが前提となっている。 つまり、初期故障期から偶発故障期にかかるようなｍが変わるほどの長い期間のデータを分析することには向いていない。 さらに、 ｍ＜１ 時刻ｔに関する減少関数 → 初期故障期 ｍ＝１ 時刻ｔに関して変化なし → 偶発故障期 ｍ＞１ 時刻ｔに関する増加関数 → 磨耗故障期 であると考えられる。 詳しくは下記リンクに詳しい。 統計学 ご参考になれば幸いです。。。 トップページに戻る
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確率分布の種類は多いので、分布名とどういった分布なのかだけを簡単に記述することにする。 ベータ分布 B(α,β)はベータ関数と呼ばれる。 ディリクレ分布 ベータ分布を多変量に拡張して一般化した形の確率分布。 ポアソン分布 ランダムに発生する事象の確率はポアソン分布に従うとされている。事象の平均発生回数を、その事象が発生した回数をxとしたときにで表される確率分布。
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2.9 大数の法則 実験回数を増やして、ある事象の起こる割合を測定すると、回数を増やせば増やすほど「一定値」に近づく。 （ベルヌーイの大数の法則） この法則により、先験的確率＝実験的確率、と考えられる。 2.10 確率変数・期待値・分散の感覚的把握 確率変数＝その取りうる値に対して、確率が対応している変数のこと たとえば、宝くじの例で言えば、賞金金額が確率変数である。 各賞金金額とその確率をかけて合計したものが、「期待金額（期待値）」という。 例.宝くじ 次の表のような当たり本数の宝くじを100本販売する。 等級 当選金額 当選本数 1等 100000円 1本 2等 10000円 3本 3等 1000円 6本 この場合、賞金総額は、100000円×1本+10000円×3本+1000円×6本＝136000円 であり、 宝くじ1本あたりの金額は、 136000円÷100本＝1360円 になる。 この宝くじを販売するとき、1360円以上で販売しないと利益は出ない。 この金額が、宝くじの期待金額になる。 上の期待金額は、次のようにも書ける： （100000円×1本+10000円×3本+1000円×6本）/100本 ＝100000円×（1/100）+10000円×（3/100）+1000円×（6/100）＝（当選金額）×（当選確率）の総和 すなわち、当選金額と当選確率を掛けて合計したものが期待金額であり、これが期待値(expectation)である。 例１．さいころを１回振るときに期待できる目の数（同じ確率のとき） 目の数 確率 1 2 3 4 5 6 このときの期待値は 例２．さいころを１回振るときに期待できる目の数（違う確率のとき） 目の数 確率 1 2 3 4 5 6 このときの期待値は したがって、このサイコロでは５と６の目が出やすいことが分かる。 解説 期待値Eは,平均＝全体のバランスをとる位置、を与えている。このため、確率分布の期待値を「確率分布の平均」という。 平均値からのばらつきを表す指標が「分散」である。 分散V(variance)は、各値から平均を引き、2乗した量に、対応する確率を掛けて加えて求める。 分散の平方根を取ったものが「標準偏差SD(standard deviation)」である。 例３．さいころを１回振るときに期待できる目の数（同じ確率のとき） 上の例１の場合の確率分布表からであるので、下の表ができる。 目の数 確率 1 -2.5 6.25 1.042 2 -1.5 2.25 0.375 3 -0.5 0.25 0.042 4 0.5 0.25 0.042 5 1.5 2.25 0.375 6 2.5 6.25 1.042 合計 1 2.918 このときの分散は、で、標準偏差は、の平方根を取り、となる。 後で述べるが、確率分布が正規分布の場合には、平均-標準偏差～平均+標準偏差、に全体の約３分の２（６８％）が含まれる。 今回の例3の場合は、まさしく、1.79～5.21の間に66.7％含まれていることが分かる。 これが、実は、標準偏差の役割である。
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2dの確率分布確率分布 目標値 達成値の比べあい 運命変転確率分布 2dの確率分布 確率分布 目標値 達成値の比べあい 確率分布 2d(六面体のサイコロを2コ振ったときの合計値)の確率分布です。 「丁度」：例えば、「合計値3丁度」なら(1,2),(2,1)が出る確率。 「以上」：例えば、「合計値11以上」なら(5,6),(6,5),(6,6)が出る確率。 期待値は7です。 合 計 値 出目 合計値丁度が 出る確率 合計値以上が 出る確率 - ％ - ％ 2 (1,1) 1/36 2.78% 36/36 100.00% 3 (1,2) (2,1) 2/36 5.56% 35/36 97.22% 4 (1,3) (2,2) (3,1) 3/36 8.33% 33/36 91.67% 5 (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 4/36 11.11% 30/36 83.33% 6 (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 5/36 13.89% 26/36 72.22% 7 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 6/36 16.67% 21/36 58.33% 8 (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 5/36 13.89% 15/36 41.67% 9 (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 4/36 11.11% 10/36 27.78% 10 (4,6) (5,5) (6,4) 3/36 8.33% 6/36 16.67% 11 (5,6) (6,5) 2/36 5.56% 3/36 8.33% 12 (6,6) 1/36 2.78% 1/36 2.78% 目標値 目標値のある行為判定は、「達成値(技能レベル+能力値ボーナス+2d-修正)≧目標値」で成功となります(同点は成功)。 例）スカウトLv2、器用度B2、スカウトツール持ちのキャラが、解除判定(目標値10)を試みるならば、2dで6以上を出せば成功(成功率72.22%)。 達成値の比べあい 攻撃の命中判定など、能動(攻撃)側と受動(防御)側のある行為判定は、「能動側の達成値 受動側の達成値」で能動側の成功、「能動側の達成値≦受動側の達成値」で受動側の成功となります(同点は受動側の成功)。 また能動側が1ゾロ(自動的失敗)を出したら、受動側は判定不要で成功。 かつ能動側が6ゾロ(自動的成功)を出しても、受動側が6ゾロ(自動的成功)を出せば受動側の成功。 ※達成値の比べあいは、受動側に有利といえます。 お互いにサイコロを振り合うため、成功率の計算は煩雑になります。 基準値が同じ場合を例に解説してみます。 例)基準値が同じ場合の比べあいの成功率 能動側の出目 受動側が「失敗」する出目 能動側の成功率% 受動側の成功率% 6ゾロ 2～11 44.37 55.63 11 2～10 10 2～9 9 2～8 8 2～7 7 2～6 6 2～5 5 2～4 4 2～3 3 1ゾロ 1ゾロ 判定不要で成功 達成値の比べあい表 （能動側基準値－受動側基準値） 能動側の成功率% +9以上 94.52 +8 94.21 +7 93,29 +6 91.36 +5 87.96 +4 82.56 +3 75.15 +2 65.97 +1 55.48 ±0 44.37 -1 33.87 -2 24.69 -3 17.28 -4 11.88 -5 8.49 -6 6.56 -7 5.63 -8以下 5.32 ※+9以上、-8以下は6ゾロ(自動的成功)と1ゾロ(自動的失敗)絡みで成功率が変わらなくなる。 運命変転 確率分布 確率分布 人間の種族特徴【剣の加護／運命変転】を使用した時の確率分布です。 「丁度」：例えば、「合計値3丁度」なら(1,2),(2,1)が出る確率。 「以上」：例えば、「合計値11以上」なら(5,6),(6,5),(6,6)が出る確率。 期待値は8.944…です。 合 計 値 出目 合計値丁度が 出る確率 合計値以上が 出る確率 - ％ - ％ 2 - - 36/36 100.00% 3 - - 36/36 100.00% 4 - - 36/36 100.00% 5 - - 36/36 100.00% 6 - - 36/36 100.00% 7 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 6/36 16.67% 36/36 100.00% 8 (1,5) (2,4)(2,6) (3,3)(3,5) (4,2)(4,4) (5,1)(5,3) (6,2) 10/36 27.78% 30/36 83.33% 9 (1,4) (2,3) (3,2)(3,6) (4,1)(4,5) (5,4) (6,3) 8/36 22.22% 20/36 55.56% 10 (1,3) (2,2) (3,1) (4,6) (5,5) (6,4) 3/36 16.67% 12/36 33.33% 11 (1,2) (2,1) (5,6) (6,5) 4/36 11.11% 6/36 16.67% 12 (1,1) (6,6) 2/36 5.56% 2/36 2.78%
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2dの確率分布 2dの確率分布 目標値 達成値の比べあい 2dの確率分布 2d(六面体のサイコロを2コ振ったときの合計値)の確率分布です。 「丁度」：例えば、「合計値3丁度」なら(1,2),(2,1)が出る確率。 「以上」：例えば、「合計値11以上」なら(5,6),(6,5),(6,6)が出る確率。 期待値は7です。 合 計 値 出目 合計値丁度が 出る確率 合計値以上が 出る確率 - ％ - ％ 2 (1,1) 1/36 2.78% 36/36 100.00% 3 (1,2) (2,1) 2/36 5.56% 35/36 97.22% 4 (1,3) (2,2) (3,1) 3/36 8.33% 33/36 91.67% 5 (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 4/36 11.11% 30/36 83.33% 6 (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 5/36 13.89% 26/36 72.22% 7 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 6/36 16.67% 21/36 58.33% 8 (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 5/36 13.89% 15/36 41.67% 9 (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 4/36 11.11% 10/36 27.78% 10 (4,6) (5,5) (6,4) 3/36 8.33% 6/36 16.67% 11 (5,6) (6,5) 2/36 5.56% 3/36 8.33% 12 (6,6) 1/36 2.78% 1/36 2.78% 目標値 目標値のある行為判定は、「達成値(技能レベル+能力値ボーナス+2d-修正)≧目標値」で成功となります(同点は成功)。 例）スカウトLv2、器用度B2、スカウトツール持ちのキャラが、解除判定(目標値10)を試みるならば、2dで6以上を出せば成功(成功率72.22%)。 達成値の比べあい 攻撃の命中判定など、能動(攻撃)側と受動(防御)側のある行為判定は、「能動側の達成値 受動側の達成値」で能動側の成功、「能動側の達成値≦受動側の達成値」で受動側の成功となります(同点は受動側の成功)。 また能動側が1ゾロ(自動的失敗)を出したら、受動側は判定不要で成功。 かつ能動側が6ゾロ(自動的成功)を出しても、受動側が6ゾロ(自動的成功)を出せば受動側の成功。 ※達成値の比べあいは、受動側に有利といえます。 お互いにサイコロを振り合うため、成功率の計算は煩雑になります。 基準値が同じ場合を例に解説してみます。 例)基準値が同じ場合の比べあいの成功率 能動側の出目 受動側が「失敗」する出目 能動側の成功率% 受動側の成功率% 6ゾロ 2～11 44.37 55.63 11 2～10 10 2～9 9 2～8 8 2～7 7 2～6 6 2～5 5 2～4 4 2～3 3 1ゾロ 1ゾロ 判定不要で成功 達成値の比べあい表 （能動側基準値－受動側基準値） 能動側の成功率% +9以上 94.52 +8 94.21 +7 93,29 +6 91.36 +5 87.96 +4 82.56 +3 75.15 +2 65.97 +1 55.48 ±0 44.37 -1 33.87 -2 24.69 -3 17.28 -4 11.88 -5 8.49 -6 6.56 -7 5.63 -8以下 5.32 ※+9以上、-8以下は6ゾロ(自動的成功)と1ゾロ(自動的失敗)絡みで成功率が変わらなくなる。
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確率空間 のとき を測度空間と呼ぶ。とくに のとき、 を確率空間と呼ぶ。 また、 を事象と呼び を の確率と呼ぶ。 注意 確率論は測度論の特殊な場合で、 を仮定するところが異なる。 測度(確率)空間の例 ルベーグ測度 上のボリュームを表す測度をルベーグ測度と呼び で表すことにする。 古典的なモデルも全て測度論的に記述できる。 サイコロ 、 、そして に対して確率測度を と定義する。 つまり例えば の目が出る確率は 。 また奇数が出る確率は である。 確率変数 まず と が測度空間であるとする。このとき関数 が可測であるとは ということである。 が確率空間のとき可測関数 を確率変数と呼び、よく や であらわされる。 確率変数の便利な使い方 空間 注意 以下での積分はルベーグ積分である。可測な実関数の集合を と書く。 測度 と に対して所謂 -空間を商空間 として定義する。つまり に対して同値関係を と定義する。 ノルム によって がバナッハ空間になることは有名である。 確率密度 を -有限な測度とする。 が かつ を満たすとき に対する確率密度と呼ぶ。 ある確率密度 が与えられたとき対応する確率測度 を に対して と定義する。 ラドン・ニコディム -有限な測度 に対して、 がすべての となる に対して成り立つとき、 は に絶対連続であると言う。このとき と書く。そうでないとき、・・・ 独立性 再び確率空間 を考える。 事象 が を満たすとき が独立であるという。 さらに、確率変数 が独立であるとは、任意の に対して が独立事象であることを言う。 確率変数 関数 が を満たすとき は(-)可側であると言う。可測な関数 を確率変数と呼ぶ。 確率分布 に対してもし のとき を の期待値、また のとき を の分散という。但し混乱しない場合は例えば単に 等と書いたりもする。 確率分布 を確率空間とする。 上の確率測度 を の確率分布と呼ぶ。 の時、 と書く。 例えば(関数としては)全く異なる確率変数 が同じ確率分布を持つことはいくらでもありうる。 を参照(確率)測度と呼ぶ。ある確率変数や確率分布の話をしているときに と書けばこれは常に参照(確率)測度を意味する。 独立同分布 が独立同分布とはこれらが独立かつ確率分布が全て同一であるということである。 確率分布の収束 殆ど確かな収束 が に殆ど確かに収束するとは という事である。 分布収束 が に分布収束するとは任意の に対して を満たすという事である。 重要な確率分布 実際に良く使われる確率分布の種類はそれほど多くない。 正規分布(一次元) を 上のルベーグ測度とし、確率密度 (ここで はガウス積分 から導かれる。)を定義する。 確率分布 を正規分布と呼び と書く。 を の時、 かつ である。 学校のテストの点数の分布等はこれである。 ポアソン分布 のとき に対して を -ポアソン分布という。 ある機械が故障するまでの時間等の分布はこれである。 ベルヌイ分布 。 二つのもの(ここでは )から一つを確率 で引く分布。 二項分布(一次元) 。 個の中から 個の物(それぞれ独立に確率)を引き当てる確率の分布。 超幾何分布 。 個の中から 回引いて 個入ってるものを 個引き当てる確率。 ガンマ分布 (オイラーの)ガンマ関数は に対して で定義される。 ガンマ分布は 、このとき密度関数 は で定義される。 ベータ分布 ベータ関数は に対して で定義される。ちなみに (証明)。 ベータ分布は 、このとき密度関数 は で定義される。 重要な定理 中心極限定理 が独立同分布で かつ のとき とすると分布収束で が成り立つ(証明)。 大数の法則 大数の(強)法則 が同じ期待値 を持ち殆ど確かに を満たすとき大数の(強)法則を満たすと言う。 大数の(弱)法則 が同じ期待値 を持ち分布収束で を満たすとき大数の(強)法則を満たすと言う。 有名な定理 以下のようなものがある。 が独立同分布のとき大数の弱法則が成り立つことが簡単に示される。 実際には が独立同分布のとき大数の(強)法則が成り立つ。 便利な公式 チェビシェフの不等式 と に対して 。 備考 ガンマ関数とベータ関数の関係を計算する。 まず 。 これを で変数変換するとヤコビアンは なので 。 大数の弱法則の証明 任意の に対してチェビシェフの不等式より 。 は独立で期待値がゼロなので 。 あわせて 。 ガウス積分 を計算する。極座標変換を使って なので である。
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化学屋の便覧 ちょっとあると便利な基礎情報と素朴な疑問を書いてみた。 品質管理上のデータ解析 ○検定の種類（ｔ分布など） ○サンプリングの種類 ○管理図の種類（シューハート管理図） ○工程管理指数 ○確率分布の種類 ○実験計画法 ○品質機能展開 ○最小二乗法の基本 ～寄与率、相関係数 ○QC7つ道具（新旧） その他雑学 ○よく使う？物理定数 ○一つじゃないのよプラスティック ○周期表の覚え方 ○みんな蛍の光 ○乾電池白書 ○デジタルパーマ白書 ○Alcoholについて みちしるべ〜 組織論 トップページに戻る
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●シーチング 薄手の木綿平織り生地。洋服からパッチワークまで用途は様々。ただ長く使うとケバ立ちやすい。その為、洋服作りにはちゃんとした洋服ではなくカジュアルくらいまで。 ●ハチス織り（ワッフル） 凹凸で格子になっている変わり織り生地です。木綿だと夏物向き？ ベビーのスタイなどもかわいいです。 ●キルティング 中綿芯を表布、裏布で挟んだもの。昔お稽古バックを作ってもらいました。 ●ダブルガーゼ 2枚重ねて使うガーゼ生地。子供のお洋服でふわふわ感を出して作ったり他の布と合わせてスタイにしたり、用途は様々。 ●ツイード 太い羊毛を使って平織り、もしくは綾織りした厚手生地。もとはスコットランドのツイード川で素材の羊の毛を洗っていたことからこの名前になったそうです。 ●スムース 伸縮性のある生地。ジャージ ●天竺 しっかりとした平織り厚手の綿織物。インド綿とも。 ●オーガニックコットン 有機栽培されたわたからつくられたコットン。化学製品を一切使わない。漂白もないのでかすが入っていたり、生成り調だったりします。 ●シャンブレー 縦糸と横糸の配色を変えた平織りの布。シャツなどによく使われ、柄が小さく遠目には無地に見えることも。 ●ベルベット パイル地の一種。光沢がありなめらかなフォーマル向けの生地、ビロード ●パイル いわゆるタオル地。なかには片面のものもあります。 ●デニム ジーンズに使われる生地。厚いものは重ね縫いが大変です。 ●ツイル 綾織りで表面に斜めの線が入ります。 ●ちりめん 表面がしぼりになっている和の布。夏物向け。 ●ブロード シャツなどに使われる素材。平織りで綿100％のものやポリエステル混のものなどがある。 ●フリース ポリエステルでつくられた起毛生地。冬ものによく使用される。綿フリースというものもある。 ●リネン 亜麻を減量とした吸湿性のよい織物。麻＝リネンではなく、麻布の種類の中にリネンがある。他に麻と表記されるものはラミー。それ以外のものは○○麻というように記載される。 ●コーデュロイ コールテンと昔は言っていたような。横ビロード織りの厚手生地。冬物向け。 ●リップル でこぼこの立体感のある木綿生地。浴衣や甚平に。 ●ジャージ（ニット） 織りではなく編みで出来た布です。のびるのでニット用糸で作品を作るのがお勧めです。 ●レーヨン 光沢のある化学繊維。絹に似せて作られました。 ●オックス ドビー織り機を使った表面に独自のテクスチャのあるやや厚手生地。しっかりした生地なのでメンズシャツやバッグなどに向く。起毛タイプでやわらかめのものは冬物のレディースにも。 ●ネル（フランネル） 起毛生地。綿のものをネル、コットンネルなどといい、厚手のウールなどは「フラノ」とよばれたりするようです。 ●ビエラ 日暮里で教えてもらって知った生地です。英国ウイリアム･ホーリンズ商会の商標「バイエラ」から来た名前だとか。綿と毛の混紡生地で薄手で起毛しています。綿100％のものは「ビエラ風」の生地になる。 参照：Slow-Life So+La.「布の種類」より http //slow.ku-jin.com/?eid=674214 古布専門店 はてな 東京都立川市高松町3-30-24 古布 / 吊るし雛
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確率分布のグラフ １.二項分布 ２.正規分布 今回の感想を入れてください。 半分授業についていけなかったので家に帰ったら復習します -- P011003 石丸里美 (2013-05-28 17 51 12) 二項分布・正規分布まででしたが、頭の痛い話になってきたので今後の自分の理解度に自信をなくしそうです。 -- M010011 佐川綾香 (2013-05-28 17 52 35) いつも以上に難しかったです。何度か復習しなければ理解できそうにないです。 -- P011015 栄 美穂 (2013-05-28 17 52 58) 数っておもしろいなと思いました。家でも打率など、数を楽しもうと思います。 -- M010031 真鍋圭依 (2013-05-28 17 54 55) 名前 コメント
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前ページ次ページLibrary/数学/統計学 キーワード 離散確率分布 ベルヌーイ試行 ２項分布 ポワソン分布 負の２項分布 超幾何分布 連続確率分布 一様分布 正規分布 標準正規分布 対数正規分布 ロジスティック分布 ベータ分布 ウィシャート分布 ガンマ分布 ディリクレ分布 指数分布 ワイブル分布 パレート分布 ラプラス分布（２重指数分布） カイ２乗分布 t分布（stdudent分布） コーシー分布 F分布 統計物理学との関連 マクスウェル-ボルツマン（Maxwell-Boltzman）分布 フェルミ分布 ボース分布 乱数生成（特定の分布） 一様分布の生成 メルセンヌツイスター 正規分布の生成 ボックス＝ミュラー法 中心極限定理を用いた手法 乱数生成（任意の分布） 棄却法 マルコフ連鎖モンテカルロ法 メトロポリス・へイスティング法 ギブスサンプラー このコラムの参考文献 キーワード ベルヌーイ試行 ２項分布 負の２項分布 超幾何分布 ポワソン分布 一様分布 正規分布 ベータ分布 ガンマ分布 指数分布 ワイブル分布 ラプラス分布 ハザード分布 ロジスティック分布 カイ２乗分布 t分布 F分布 離散確率分布 ベルヌーイ試行 独立同一分布(i.i.d)で、事象の要素が、２種類（０と１）で、例として、１の発生確率をp、０の発生確率を1-pとした長さnの、事象の順序を決めた場合の確率 ２項分布 独立同一分布(i.i.d)で、事象の要素が、２種類（０と１）で、例として、１の発生確率をp、０の発生確率を1-pとした長さnの時の、1の発生回数が、X=kとした場合の確率 ポワソン分布 ２項分布の極限操作によってポワソン分布を作る事ができる。 希現象の大量観察のモデルとして、使われる。 トラフィック理論では、呼の到着モデルとして使われる。 負の２項分布 ベルヌーイ試行において、0がr回数出るまで続ける場合、その間に出続ける1の回数をXとする。 超幾何分布 M個の要素から成り、そのうちN個は、１であるサンプルを想定する。M-N個は、0である母集団から重複を許さずn個の要素を取り出す（非復元抽出）行為を行う。そこから取り出した１個が、Xとなる確率。 連続確率分布 一様分布 区間(a,b)内に一様にランダムに値を取る確率変数 平均 分散 正規分布 平均、分散の正規分布。中心極限定理で保証される。 密度関数 標準正規分布 平均0、分散1の正規分布。 対数正規分布 Y=logXが、正規分布に従う場合のXの分布 ロジスティック分布 ベータ分布 密度関数 ベータ関数 ウィシャート分布 多次元のベータ分布 ガンマ分布 ベイズ推定では、応用上、重要らしい。 密度関数 ディリクレ分布 多次元のガンマ分布 指数分布 故障確率のモデルでもある。ポワソン分布と関連深い。 密度関数 ポワソン分布との関係 ポワソン分布をアレンジ(0,t]の間にk個の事象（故障）が発生する確率は、 次に、最初から(0,t]の間に0個の事象（故障）が発生する確率は、 これから、(0,t]の間に1個以上の事象（故障）が発生する確率は、 よって、単位時間当たりに、1個以上の事象（故障）が発生する確率は、 tをxに置き換えればよし。 ワイブル分布 指数分布のアレンジ パレート分布 高額所得者の分布で見られる分布 ラプラス分布（２重指数分布） a,bは、正規化する必要あり。 カイ２乗分布 X_1,...X_nが、互いに独立で、標準正規分布N(0,1)に従う変数とする。このとき、 の分布を自由度nのカイ２乗分布と呼ぶ。 平均は、n、分散は、2nとなる。 t分布（stdudent分布） Xが、標準正規分布N(0,1)、Yが、自由度nのカイ２乗分布に従うとき、 の分布を自由度nのt分布とする。 コーシー分布 自由度1のt分布である。 F分布 Xが、由度mのカイ２乗分布、Yが、自由度nのカイ２乗分布に従うとき、 の分布を自由度(m,n)のF分布と呼ぶ。 統計物理学との関連 マクスウェル-ボルツマン（Maxwell-Boltzman）分布 フェルミ分布 ボース分布 乱数生成（特定の分布） 一様分布の生成 メルセンヌツイスター 有名 正規分布の生成 ボックス＝ミュラー法 中心極限定理を用いた手法 乱数生成（任意の分布） 棄却法 マルコフ連鎖モンテカルロ法 メトロポリス・へイスティング法 ギブスサンプラー このコラムの参考文献 統計 白旗 慎吾,"統計解析入門",共立出版 NTTラーニングシステムズ株式会社編,"電気通信主任技術者 伝送交換設備及び設備管理・法規編" 故障率の解説がわかりやすい。 阿部龍蔵,"熱統計物理学",裳華房 基礎統計学Ⅰ（統計学入門),東京大出版 パレート分布の存在を教えてくれた。 杉山将,"機械学習プロフェッショナルシリーズ 機械学習のための確率と統計",講談社 ラプラス分布、ディリクレ分布、ウィシャート分布を参考。