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この講義ノートは曲面論の講義ノートを元に作成しました。曲線論と曲面論について書いてあります。 1.
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曲面化 曲面化曲面化モディファイア曲面化レベル スムース三角形 タグ細分割ボーンウェイトタグ 法線タグ モーフタグ 補間法 曲面化ウェイトツール(W) その他参考Xismo本家の説明 Xismoの曲面化はCatmull-Clark(カトマル・クラーク)法の一つ、PIXAR社のOpenSubdivを使用した細分割曲面を使用しています。 曲面化モディファイアのオプションの指定と曲面化ウェイトの指定ができます。 曲面化ウェイトを使用することで滑らかな形状と角張った形状が両立できます。 曲面化モディファイア モディファイア/0010_曲面化モディファイア オプション 曲面化レベル 曲面化のレベルを指定、0~5の整数を指定できる。この数値によりポリゴンの分割が変化する。 デフォルトは2 0の場合、曲面化モディファイア無しと同じ状態。 数値が高い方が滑らかな形状に近づくが、その分ポリゴンが増える。 スムース三角形 三角ポリゴンの曲面化に影響。 デフォルトはOFF 皺が出る場合このパラメータをON/OFF タグ細分割 タグ情報を細分化(曲面化適用後のポリゴン毎にタグ情報を適用)したい場合、ONにする。 デフォルトはOFF ボーンウェイトタグ メッシュノードにボーンウェイトを設定した時、タグ細分割OFFの場合はメッシュノード全体が同じ変形をする。 ポリゴン毎に異なるウェイトを適用したい場合はタグ細分割ONにする。 法線タグ 影響がよくわかりません モーフタグ おそらく影響しない。 補間法 曲面化を適用したUV展開のオプション指定。デフォルトはALL パラメータの種類 ALL・BOUNDARIES・CORNERS_PLUS1・CORNERS_PLUS2・CORNERS_ONLY・NONE UVの歪みが気になる場合、補間法のパラメータを変更し理想に近いものを選択する。 補間法指定 曲面化なし ALL BOUNDARIES CORNERS_PLUS1 CORNERS_PLUS2 CORNERS_ONLY NONE 場合により適切な指定は変わる 曲面化ウェイトツール(W) 曲面化ウェイトツールにより調整 メッシュノードのポリゴンの頂点および辺に対し個別に曲面化ウェイトを指定可能。 0~5の数値で調整可能 0がデフォルト、5が曲面化モディファイア無しと同じ状態になる。 形状の他に、ボーンウェイトの配分に影響する ツール機能/0140_曲面ウェイト その他 参考 Xismo本家の説明 http //mqdl.jpn.org/dw/doku.php?id=%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89 %E3%83%A2%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%82%A2 %E6%9B%B2%E9%9D%A2%E5%8C%96#%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E5%8C%96%E3%83%AC%E3%83%99%E3%83%AB Pixar初のオープンソースプロジェクト「OpenSubdiv」 https //www.4gamer.net/games/017/G001762/20120813035/ PixarのOpenSubdiv http //graphics.pixar.com/opensubdiv/docs/intro.html いちおう 特に記載の無い場合、xismo◇225aを使用し作成 編集履歴 +... 2020.07.27 新規作成 私dbotが確認したものになります。 用語の間違い、実際の機能と相違することがあります。予めご了承下さい。 記事の間違い、質問は下記メールアドレスまでお願いします。 すぱむ怖いので画像です。 内容の如何にかかわらず、メールを公開させて頂くことがございますので、ご了承下さい。 また必ずしも満足のできる回答が出来るとは限らないことをご了承下さい。
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球面のパラメトリック曲面は次式で与えられる ここでuの範囲は ここでvの範囲は ・cは局所座標系の原点~http //www13.atwiki.jp/ookubo/editx/15.html ・rは球の半径 ・xは局所座標系のx軸のベクトル ・yは局所座標系のy軸のベクトル ・zは局所座標系のz軸のベクトル これを参考しました これを参考しました Catmull-Rom 曲線1 Catmull-Rom 曲線2 CADG FFD論文1 CG系で参考になるものがある projection
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曲面の定義 Def. 曲面(砂川) E Euclidean Space (R3に種々の構造を入れたもの) E⊃X subset Xの各点pに対して,pを通る平面Xpと,Xp内のpの近傍V上定義されたなめらかな関数fで,次のものが存在するとき,Xを曲面という。 1. pを原点とし,Xpをxy平面とするxyz直交座標系において,関数fを z=f(x,y) と表したとき, 2. E内の点pの近傍で,以下を満たすものが存在する。 つまり,Xの各点pで接平面Xpがあって,さらにXはpの近傍では接空間Xp上の関数fがあって,グラフ(x,y,f(x,y))として表現できることを曲面の定義としている。 Eの開集合とXとの共通部分をXの開集合という。 平面の理論 平面の方程式(標準形) Cor. n=(a,b,c)は法ベクトル 実際,平面の方程式を満たす点を2つとってきて,両辺を引くと,以下のようになる。 p1とp2のとり方は任意だったから,(p1-p2)は平面内の任意のベクトルを表している。 従ってnは平面内の任意のベクトルに直交する元なので,法ベクトルである。 平面の方程式(各軸上の交点が指定されている) x軸との交点p, y軸との交点q, z軸との交点r をそれぞれ通る。 陰関数表示 点pにおける接平面の方程式 [導出(略式)] Fの外微分において, 接平面上では dF=0 となる。 微分形式dを微小変化Δと捉えなおす。 これを開き直って平面とみなせば求める式になる。 [導出(?)] 点 pにおける接ベクトルは, の線形結合で表される。 言い換えると,接空間は以下で与えられる。 従って,点pにおける法ベクトルを考えることができて,次で与えられる。 この法ベクトルに直交する平面として,以下が得られる。 パラメータ表示 Def. 曲面のパラメータ表示 R2⊃U open S U→E injective. Sのパラメータu,vによる偏微分Su,SvがUの各点で線形独立ならば X=S(U) は曲面である。 このときさらに,pにおける接空間の正体はSu,Svが張る2-dim.部分空間と同型。 Ex. x,y,z R2⊃U → R smooth. Def. 第一基本形式の係数 特に以下が成り立つ。 単位法ベクトル Def. ベクトル場 滑らかなベクトル値関数 φ(u,v) U→E のこと。 各点 p=S(u,v) に対してφ(u,v)が接空間TpXの元になれば接ベクトル場という。 ただし,TpXとEを同一視している。 逆に,常に接空間(接平面)に垂直になるとき法ベクトル場という。 Def. 第二基本形式の係数 Th. Gauss曲率
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曲線による定義 Def. 曲線Cに制限した微分 関数: 曲線: 始点P = C(0) 曲線Cに制限した関数f t=0における微分係数vC(f)とおけば, vC(f) は線形作用素 ただし,関数fに対して,座標変数による偏微分係数を対応させる偏微分作用素を以下で定義する。 Def. 曲線Cの始点Pにおける接ベクトル ただし,標準基底を以下で定義する。 Def. 接ベクトル空間 vCはC (0)と同一視できる。すなわち,以下の対応付けにより, 微分作用素の集合 は一次独立であり,点Pにおける任意の接ベクトルはBの線形結合で与えられる。 Span(B)を点Pにおける接ベクトル空間といい, で表す。冒頭の対応付けによって,これはRnと同型。 Def. 余接ベクトル空間 接ベクトル空間の双対空間 すなわち,関数に対して,次のような汎関数を考えると, dfは線形作用素であり,双対空間に関する議論から(df)Pの全体は再び線形空間になる。 このとき,次を満たす(df)P,iの集合を双対基底というが, 視察により,以下が双対基底であることが分かる。 バンドル Def. ベクトル場 点Pを動かし,各点Pに対して接ベクトルを対応させる写像をベクトル場という。 特に,各点における接ベクトル空間の基底を対応させるベクトル場を標準ベクトル場という。 Def. 1次微分形式 Prop. dfの係数 関数 に対し,以下がなりたつ。 [証明] これを標準ベクトル場に作用させると, 一方,この左辺はとなって,題意を得る。 Cor. さらにPを任意に動かすことで, 一般の曲面M M上の微分 M:2-dim Mfd. Mの開集合U上の局所座標φ 形式的な外微分を考える このとき,PjはU上のベクトル場であり, 各点q∈Uで一次独立なので,適当な内積を導入してTqMの正規直交基底にすることができる(Gram-Schmidt)。 eで表示したときの係数をθとする。 θはTq*M の基底になる。 R3との関係 さらに,R3の外積を用いてR3の基底を作り出すことができる。 U上の関数 関数の微分 内積 Prop. ωを並べた行列は交代行列 [証明] を用いる。 Def. 第一基本形式 1st fundamental form Def. 外積 Wedge product Tq*M の基底{dx1,dx2}qに対し, 1. 2. 3. を満たす演算として外積を定義する。 Prop. 一般の1-form f,g,h,k U上の2変数関数
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曲面構造論 講義データ 曜限 火曜3~4限(13 30~16 10) 教室 生産技術研究所(駒場Ⅱ)An棟404室(セミナー室) 教科書 評価方法 出席、授業中の質問および最後に宿題 教官 川口健一 試験・レポート・課題情報 口コミ情報 やることは数学です。まず微分幾何から始まり、次いで弾性論、膜理論、曲げ理論と話が進んでいきます。 宿題はレジュメに載っている問題全てです!つまり毎週こつこつやっていくことをお勧めします(でないと最後に死にます)。 名前 コメント すべてのコメントを見る
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曲面ウェイト(ツール機能)W 曲面ウェイト(ツール機能)Wサブ機能 オプション パラメータ ツールウィンドウ ウェイト値の表示 編集方法【パラメータ操作】 【マウス操作】 関連する機能 サブ機能 オプション パラメータ ツール_曲面ウェイト 曲面化モディファイアの丸めの調整を行う。 メッシュノードのポリゴンの「頂点」と「辺」に曲面ウェイト値を設定する。 (曲面化モディファイアの有無に関わらず設定可能) 「W」キーまたは『曲面ウェイト』アイコンで曲面ウェイトツールに切り替わる。 ツールウィンドウ ①曲面ウェイト値 曲面ウェイト値を指定 テキストボックスに直接入力、スクロールバーまたはスピンボタンで調整 適用ボタンを押すまで、要素の曲面ウェイト値に反映しない。 要素を選択時、その要素の曲面ウェイト値が表示される。 複数選択した場合は、最後に選択した要素 マウスで曲面ウェイトを調整した場合、その値が反映される。 ②適用ボタン 選択済みの要素に曲面ウェイト値を反映する。 適用ボタンを押すまで、要素に反映しない。 ウェイト値の表示 要素に設定されたウェイト値は色で表される 編集方法 【パラメータ操作】 ツールウィンドウより曲面ウェイト値を指定する。 「適用」ボタンを押下することで変形が反映する。 ①要素を選択し ②曲面ウェイト値を入力 ③適用ボタンを押す、曲面ウェイト値が適用される。 選択した要素すべて、パラメータで指定した曲面ウェイト値に変わる。 【マウス操作】 マウスをドラッグする方向により曲面ウェイト値を加算(または減算)する。 リアルタイムに変形が反映される。 ①要素を選択 ②要素にマウスを合わせ、クリックしドラッグ。 マウスのドラッグ方向:←(値をマイナス)(値をプラス)→ マウスを移動するごとに曲面ウェイト値が適用される。 要素ごとに、曲面ウェイト値がそれぞれ加算される。 関連する機能 メニュー→作成→モディファイア→曲面化ノード 類似する機能 特に記載の無い場合、xismo◇192を使用し作成 編集履歴 +... 2018.12.31 新規作成(雛形作成) 2019.01.06 自サイトより転記(一部修正) 私dbotが確認したものになります。 用語の間違い、実際の機能と相違することがあります。予めご了承下さい。 記事の間違い、質問は下記メールアドレスまでお願いします。 すぱむ怖いので画像です。 内容の如何にかかわらず、メールを公開させて頂くことがございますので、ご了承下さい。 また必ずしも満足のできる回答が出来るとは限らないことをご了承下さい。
https://w.atwiki.jp/neetubot/pages/61.html
このページを編集 n次元二次超曲面 上記を用いれば、m次元ユークリッド空間内で中心と直交半径行列で作られるn次元楕円体上の点をとしたとき、この点での接線の方向は(ただし、、)と書けて、 この点での接線の方向における曲率半径はと書ける。 タグ: 二次超曲面 曲率半径 正規接線
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/31.html
(接平面に関する必要条件) 十分滑らかな曲面 z=f(x, y) を考える。 点(x, y)=(a, b)で極値をとるためには となることが必要。 α, β は十分小さいとする。 テイラーの公式を用いて (a+α, b+β) での値を α, β の2次式まで見ると、 +(3次以上の項) 条件(*)の下では ここで、右辺は2次形式となっているので、 ヘッセ行列と呼ばれる実対称行列 を用いると、 命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定) z=f(x, y) を十分滑らかな曲面とする。 さらに、点(x, y)=(a, b)で fx(a, b)=fy(a, b)=0 となっているとする。 このとき、 (1) なら極値で、 fxx(a, b) 0 なら極大点。 fxx(a, b) 0 なら極小点。 (2) なら峠点。 の場合は判定できないので、他の方法を考える必要がある。 Proof. 補題 2.26.1 φ (t) は連続とする。 φ (0) かつ φ (0) 0 ならば、φ(t) は t=0 で狭義の極小。 φ (0) かつ φ (0) 0 ならば、φ(t) は t=0 で狭義の極大。 証明は省略する。 かつ fxx(a, b) 0 なら、命題 2.25 より 2次形式は正値。 すなわち、任意の (α, β)≠(0, 0) に対して、 左辺は φ (0) に等しいので、φ (0) 0 よって 補題 2.26.1 よりφ(t) は t=0 で狭義の極小。 任意の方向 (α, β)≠(0, 0) に対して φ(t) が t=0 で狭義の極小となるということは、 すなわち f(x, y) が点 (a, b) で極小であることを意味する。 fxx(a, b) 0 についても、同様の議論により極大。 なら、 正の固有値に対する固有ベクトルの方向には φ (0) 0 で極小、 負の固有値に対する固有ベクトルの方向には φ (0) 0 で極大となる。 すなわち峠点である。 ∥ (例) 過去問を参照。 次 1学期最終講義
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曲面化モディファイア 曲面化モディファイア曲面化モディファイアのプロパティ曲面化レベル スムース三角形 曲面ウェイト値曲面ウェイト値の指定と変形 ポリゴンの分割と変形 メッシュノードのポリゴンの角を丸めるような変形を行う。 曲面ウェイトツールにより、ポリゴンの「頂点」と「辺」にそれぞれ個別の曲面ウェイト値を設定できる。 曲面化モディファイアのプロパティ 曲面化レベル メッシュノードの面ポリゴンを分割するレベルを指定する。 0~5の整数で指定。 面の頂点に対して、(4の「曲面化レベル-1」乗)*頂点数の面を作成する。 作成される面は四角ポリゴン 曲面化レベル1 四角ポリゴン→ 4面( 1*4)、三角ポリゴン→3面( 1*3) 曲面化レベル2 四角ポリゴン→16面( 4*4)、三角ポリゴン→12面( 4*3) 曲面化レベル3 四角ポリゴン→64面(16*4)、三角ポリゴン→48面(16*3) 曲面化レベルを高くすると、曲面ウェイト値による変化が現れやすい。 曲面化レベル2の場合、曲面ウェイト値2以上はあまり変化しない スムース三角形 三角ポリゴンを含めた立体の変形を調整する。 どちらかと言えば、スムース三角形offの方が滑らか。 曲面ウェイト値 メッシュノードをカレントとし、曲面ウェイトツールで操作する。 曲面ウェイト値はポリゴンの「頂点」と「辺」にそれぞれ個別に設定できる。 曲面化モディファイアが付与されていない状態でも設定可能。 曲面化モディファイアを削除しても曲面ウェイト値は残る。フリーズするまで保持される。 曲面ウェイト値の指定と変形 ポリゴンの分割と変形 ポリゴンの形状が同じでも、変形が変わるので注意 特に記載の無い場合、xismo◇192を使用し作成 編集履歴 +... 2019.01.03 自サイトより転記(一部修正) 私dbotが確認したものになります。 用語の間違い、実際の機能と相違することがあります。予めご了承下さい。 記事の間違い、質問は下記メールアドレスまでお願いします。 すぱむ怖いので画像です。 内容の如何にかかわらず、メールを公開させて頂くことがございますので、ご了承下さい。 また必ずしも満足のできる回答が出来るとは限らないことをご了承下さい。