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曲率テンソルの展開 一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル(リーマンテンソル)をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率(リッチスカラー)で展開する。 曲率テンソル は,交換およびに対して反対称,さらに同時交換に対して対称であるから,ある対称テンソルを用いて, と書ける。について縮約して得られるリッチテンソルは, となる。ここに,で,は空間の次元数である。さらに縮約して得られるスカラー曲率は, となる。 1次元空間()では,では不定。もともと1次元では反対称性から曲率テンソルの成分はことごとく0となるから当然だ。のとき, したがってのとき, を得る。これを代入すれば,曲率テンソルはリッチテンソルとスカラー曲率によって と展開されることがわかる。ただし,4次元の場合はここにワイルテンソルと呼ばれる4階テンソルの項が付加される。 2次元()の場合については,次のような方法をみつけた。 曲率テンソルはに関して反対称だから, とおくことができる。縮約して, したがって, 初めの曲率テンソルに代入して, とを同時交換して, 曲率テンソルは,この交換に対して対称だから, さらに縮約して, 結局, を得る。2次元についてはさらに,かぎしっぽ掲示板からある方の次の考察を覚え書きとして引用させていただく。 を2次元Levi-Civita記号とします。() 任意の反対称テンソルがと表せることより と書けます。(は自動的に満たされています。) ここで、同様に ですから(は行列式)、「一意的」に と書けます。
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(注意) これは他のブログに2020_03_31に投稿したものである。 新型コロナウイルスが猛威をふるっていますが、皆様には いかがお暮しでしょうか?お互い、しっかりと注意しながら 罹患しないよう、過ごして行きましょう。 さて、このblogの内容ですが、暫くの間は, Yahoo知恵袋!で回答したけれども削除されたものなどを編集して、 まとめて行きたいと思います。 まず最初は [曲率テンソル]の質問に答えます。 [質問] MをC^∞多様体、C^∞(M)をM上のC^∞関数の全体、 Χ(M)[Χはギリシャ文字χ(カイ)の大文字]を M上の C^∞ベクトル場の全体とする。 今 写像 R Χ(M)×Χ(M)×Χ(M)→Χ(M) を任意のX,Y,Z∊Χ(M)に 対して、 R(X,Y,Z)=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z) ・・・(☆) と定義するとき、任意のf,g,h∊X(M)に対して、 R(fX,gY,hZ)=(fgh)R(X,Y,Z)が成り立つことを示してください。 ここに、▽_XはXによる共変微分を表し、[X,Y]はベクトル場のリー括弧積 を表す。 (注意:このRを「曲率テンソル」という: [(1,3)型のテンソルです ] 普通は R(X,Y)Z=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z) とすることが多い。) ◎以下が[回答」です。 [回答」 [注意1] (ア) ∀X∈Χ(M)と∀h∈C^∞(M)に対し、Xh∈C^∞(M)である。 [∀p∈Mにおける関数Xhの値は(Xh)(p)=(X_p)hと定義する。 ここに、X_pは接ベクトル] (イ) f∈C^∞(M),X∈Χ(M)に対して、fX∈Χ(M)。 [fXのh∈C^∞(M)への作用は (fX)(h)=f・(Xh)である。(ア)のXh∈C^∞(M)に注意。 ここに、[・]は関数同士の積を表す。以後[・]は省略する。] (ウ) ベクトル場はある種の微分であるから、関数への作用について積の微分法が 成り立つ。 即ちg,h∈C^∞(M)とX∈Χ(M)に対して、X(gh)=(Xg)h+g(Xh)…(#)が成り立つ。 また以後、C^∞(M)=Fと略記する。 [注意2] (ア) ベクトル場X,Yに対して 「X=Y⇔∀h∈Fに対しXh=Yh 」 よってX=Yを示すには、 ∀h∈Fに対しXh=Yhを示せばよい…①。この①はよく用いる。 (イ) リー括弧積について[Y,X]=-[X,Y]が成り立つ。 [証明] ∀h∈Fをとる。定義は [X,Y]h=X(Yh)ーY(Xh)…②である。ゆえに [Y,X]h =Y(Xh)-X(Yh) =-{X(Yh)-Y(Xh)} =-[X,Y]h 即ち [Y,X]=-[X,Y] [∵①] [命題1] f∈Fとベクトル場X,Yに対して[fX,Y]=f[X,Y]ー(Yf)X …③ [証明] ∀h∈Fに対し②から、 [fX,Y]h =(fX)(Yh)-Y((fX)h) =f(X(Yh))-Y(f(Xh)) =f(X(Yh))-{(Yf)(Xh)+f(Y(Xh))} [∵(♯)より] =f{X(Yh)-Y(Xh)}-(Yf)(Xh) =f([X,Y]h)-((Yf)X)h =(f[X,Y])(h)-((Yf)X)(h) =(f[X,Y]-(Yf)X)(h) 即ち、 [fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X (証明終わり) [注意3] ベクトル場 X,Wとh∈Fに対し共変微分▽_Xを考えると (1) h∈F ⇒(▽_X)h∈F 。つまり、hが関数 ⇒(▽_X )hも関数。 Z∈Χ(M) ⇒(▽_X)Z∈Χ(M)。 つまり、Zがベクトル場 ⇒(▽_X)Zもベクトル場 (2) (▽_X)h=Xh …④ (3) 共変微分は一種の微分だから、積の微分法が成立する。 (▽_X)(hW)=((▽_X)(h))W+h((▽_X)(W)) …⑤ (2)により、これは (▽_X)(hW)=(Xh)W+h((▽_X)(W)) …⑥ となる。 (4) (▽_fX)(h)=f((▽_X)(h))と(▽_(X+Y))(Z)=(▽_X)(Z)+(▽_Y)(Z) が成り立つ。 ☆ 曲率テンソルRの質問については、 その定義から、R(X,Y,Z)∈Χ(M) つまり、R(X,Y,Z)はベクトル場である。 また、次の[命題2]が成り立つ。 [命題2] R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z) かつ、R(X,gY,Z)=gR(X,Y,Z) かつ R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z) が成り立つ ⇒ R(fX,gY,hZ)=fghR(X,Y,Z)が成り立つ。 [証明] R(fX,gY,hZ) =fR(X,gY,hZ) =f{gR(X,Y,hZ)}=(fg)R(X,Y,hZ)={(fg)h}R(X,Y,Z) =fghR(X,Y,Z) (証明終わり) [命題3] R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) [証明] [Y,X]=ー[X,Y]と、 (▽_(fX))(Z)=f((▽_X)(Z))を使う。 Rの定義(☆)から、 R(Y,X,Z) =(▽_Y)((▽_X)(Z))ー(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_[Y,X])(Z) =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))}-(▽_(-1)[X,Y])(Z) =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))}+(▽_[X,Y])(Z) [[注意3]の④] =-{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} =-R(X,Y,Z) 即ち R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) (証明終わり) ☆☆ それでは、質問に答えよう。 まず、 R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z)を示す。] [注意3]の(4)より (▽_(fX))((▽_Y)(Z))=f(▽_X)((▽_Y)(Z))…⑦ また (▽_Y)(▽_(fX))(Z) =(▽_Y)(f(▽_X(Z))) =(Yf)((▽_X)(Z))+f(▽_Y)((▽_X(Z)) [∵[注意3]の⑥]…⑧ そして、[命題1]と[注意3]の(4)より (▽_[fX,Y])(Z) =(▽_(f[X,Y]-(Yf)X))(Z) =(▽_(f[X,Y]))(Z))-(▽_(Yf)X)(Z) =(f(▽_([X,Y])))(Z)-(Yf)(▽_X)(Z)…⑨ ⑦⑧⑨から、 R(fX,Y,Z) =(▽_(fX))((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_(fX))(Z))-(▽_[fX,Y])(Z) =f(▽_X)((▽_Y)(Z)) -{(Yf)((▽_X)(Z))+f(▽_Y)((▽_X))(Z))} -{f(▽_[X,Y](Z)ー(Yf)((▽_X)(Z))} =f{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} -(Yf)((▽_X)(Z)) +(Yf)((▽_X)(Z)) =f{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} =fR(X,Y,Z) つまり R(fX,Y,Z)=fR(X,Y,Z)…⑩が示された。 次に R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z) により、⑩を用いて R(X,gY,Z)=-R(gY,X,Z)=-gR(Y,X,Z)=-g{ーR(X,Y,Z)}=gR(X,Y,Z) つまり R(X,gY,Z)=gR(X,Y,Z)が示された。 最後に、 R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z)を示そう。まず、 (▽_X)((▽_Y)(hZ)) =(▽_X){(Yh)Z+h((▽_Y)(Z))} [∵ [注意3]の⑥] =(X(Yh))Z+(Yh)(▽_X)(Z)+(Xh)((▽_Y)(Z))+h(▽_X)((▽_Y)(Z)) …(11) [再び [注意3]の⑥] 同様にして、 (▽_Y)((▽_X)(hZ)) =(Y(Xh))Z+(Xh)(▽_Y)(Z)+(Yh)((▽_X)(Z))+h((▽_Y)((▽_X)(Z)) …(12) また、 (▽_[X,Y])(hZ) =([X,Y]h)Z+h((▽_[X,Y])(Z)) …(13) [∵ [注意3]の⑥] ゆえに(11)(12)(13)から、 R(X,Y,hZ) =(X(Yh))Z+(Yh)((▽_X)(Z))+(Xh)((▽_Y)(Z))+h(▽_X)(((▽_Y)(Z)) -{(Y(Xh))Z+(Xh)(▽_Y)(Z)+(Yh)((▽_X)(Z))+h((▽_Y)((▽_X)(Z))} -([X,Y]h)Z-h((▽_[X,Y])(Z)) =(X(Yh))Z-(Y(Xh))Z-([X,Y]h)Z +(Xh)((▽_Y)(Z))+(Yh)((▽_X)(Z)) -(Xh)((▽_Y)(Z))-(Yh)((▽_X)(Z)) +h{(▽_X)((▽_Y)(Z))-(▽_Y)((▽_X)(Z))-(▽_[X,Y])(Z)} ={X(Yh)ーY(Xh)-[X,Y]h}Z+hR(X,Y,Z) =hR(X,Y,Z) [∵[X,Y]h=X(Yh)-Y(Xh)] 即ち R(X,Y,hZ)=hR(X,Y,Z)…(14)。 ゆえに[命題2]から、 R(fX,gY,hZ)=(fgh)R(X,Y,Z)が成り立つ。以上です。 [回答」終わり ◎ 曲率テンソルの「テンソル解析」との関係をみておこう。 X=∂/∂x^i,Y=∂/∂x^j,Z=∂/∂x^k,∂/∂x^mに対して R(X,Y)Z=(▽_X)(▽_Y)(Z)-(▽_Y)(▽_X)(Z)-(▽_[X,Y])(Z)は局所表示では、 R(∂/∂x^i,∂/∂x^j)(∂/∂x^k)=∑^(m)[Rijk^(m)](∂/∂x^m) と書かれる。 但し、mは上付きの文字、i,j,kは下付きの文字とする。 Rijk^(m)は[線形接続]の曲率テンソルの成分である。 Rijk^(m)をR^(m)kij とする流儀もあるので注意したい。したがって 回答で述べた、R(Y,X,Z)=-R(X,Y,Z)は、Rjik^(m)=-Rijk^(m) …(b) と同値である。またBianchi(ビアンキ)の第1恒等式は、以下の捩率 T=0のとき R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0 ⇔ Rijk^(m)+Rjki^(m)+Rkij^(m)=0 …(♯1) となる。[野水克己 現代微分幾何入門 P80の[定理1] 参照] ☆ さらに、線形接続がMのRiemann(リーマン)計量gから決まるリーマン接続 [即ち 捩率(れいりつ) T について、T(X,Y)=(▽_X)Y-(▽_Y)X-[X,Y] が T=0 ⇔ [Γj^(i)k=Γk^(i)j] を満たし、 かつ (▽_X)g=0 for ∀X∈X(M)] であるならば、(ここにΓはギリシャ文字の大文字ガンマです) g(R(X,Y)Z,W)+g(Z,R(X,Y)W)=0 かつ g(R(X,Y)Z,W)-g(R(Z,W)X,Y)=0…(♯2) が成り立つそうだ。[村上信吾著 多様体第2版 P176演習問題4の2番] (♯2)は私にはわからない。 (♯1)の右側の式は、例えば「立花俊一 リーマン幾何学」PP77~79に載っている。 但しリーマン接続のときである。
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一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率について_2018_01_08(月) 「Yahoo 知恵袋」での「guanguansugaro」 さんの色々沢山の幾何の質問に答えようとしていたが、期限が 2018_01_08(月)に切れてしまい、質問が削除された。良い問題が散りばめられていた。折角なので、 ここに書いておく。 1 一葉双曲面 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 ・・・(1)を曲面Sとする。そのパラメーター表示を u,vを用いて (x↑)=x(u,v)=(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) ・・・(2) にて表す。 ここに coshx=[e^x+e^(-x)]/2,sinhx=[e^x-e^(-x)]/2 はxの双曲線関数(hyperbolic_ functions of x)とする。 このとき、cosh^2x-sinh^2x=1,(coshx) =sinhx,(sinhx) =coshx・・・(3)が成り立つ。それで (2)は(1)を満たすことが分かる。ベクトルの内積を「・」、外積を「×」で表すことにする。 一般論を述べる。第一基本形式 I(いち)は、dx=x_udu+x_vdv を用いて、I=ds^2=dx・dx =(x_udu+x_vdv)・(x_udu+x_vdv)=(x_u・x_u)du^2+2(x_u・x_v)dudv+(x_v・x_v)dv^2・・・(4) と定義される。そこで、g_11=E=x_u・x_u ,g_12=F=x_u・x_v,g_21=x_v・x_u , g_22= G=x_v・x_v・・・(5) とおく。このとき、x_u・x_v=x_v・x_u ⇔g_12=g_21=F となる。また、 第一基本形式は、I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=g_11du^2+2g_12dudv+g_22dv^2 ・・・(6)とも表せる。 但し、x_u=∂x/∂u,x_v=∂x/∂v,ベクトルxのu,vによる偏微分である。また、曲面Sの1つの 単位法線ベクトルをeで表す。e=(x_u×x_v)/|x_u×x_v| ・・・(7)とする。ここに「×」は「外積」 を表す。第二基本形式Ⅱ(に)は, L=H_11=x_uu・e,M=H_12=x_uv・e,H_21=x_vu・e , N=H_22=x_vv・e として、H_12=H_21となるので、 Ⅱ(u,v)=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=H_11du^2+2H_12dudv+H_22dv^2 ・・・(8)と定義される。このとき、 第一基本形式は正定値なので、EG-F^2=g_11g_22-(g_12)^2>0 ・・・(9)がいつも成り立っている。 Gauss曲率 Kは、K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=[H_11H_22-(H_12)^2]/[g_11g_22-(g_12)^2]・・・(10) で与えられ、平均曲率 Hは、H=[EN-2FM+GL)/[2(EG-F^2)] =[g_11H_22-2g_12H_12+g_22H_11]/[2{(g_11g_22-(g_12)^2)}] ・・・(11)となる。 一般論はここまでとする。 さて、1番の回答に移る。一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率を求める問題。(2),(3)から、 x_u=∂x/∂u=(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu),x_v=(-acoshusinv,bcoshucosv,0),もう一回 偏微分し、 x_uu=∂(x_u)/∂u=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)=(x,y,z)・・・(12), x_uv=∂(x_u)/∂v=(-asinhusinv,bsinhucosv,0)・・・(13),x_vv=∂(x_v)/∂v =(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・・・(14)となる。ゆえに、 E=x_u・x_u=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15), F=x_u・x_v=-a^2sinhucoshusinvcosv+b^2sinhucoshusinvcosv=(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv (16), G=x_v・x_v=a^2cosh^2usin^2v+b^2cosh^2ucos^2v=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)・・・(17) よって EG-F^2 =(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u)× cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-[(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv]^2 =cosh^2u[(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v)(a^2sin^2v+b^2cos^2v) (c^2cosh^2u)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-sinh^2u(b^4-2a^2b^2+a^4_)cosh^2usin^2vcos^2v] =cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^4v+2sin^2vcos^2v+cos^4v} +(c^2cosh^2u_)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)] ここで [ ]は2行に亘るとする。 =cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^2v+cos^2v)^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v] =cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v] =[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]cosh^2u・・・(18) そこで、 Δ=√[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]・・・(19) とおけば、 (18)は、EG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)となる。 次に、 x_u×x_vを計算しよう。大学1・2年で物理の「荒川泰二」先生に習った「行列式的方法」にて 「外積」を計算する。 i,j,kを(x,y,z)空間の基本ベクトルとして、 x_u=(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu), x_v=(-acoshusinv,bcoshucosv,0) であるから、これらを3行3列の行列式として、 第1行に i,j,kを並べ、第2行に x_u,第3行にx_vを並べて x_u×x_v = i j k asinhucosv bsinhusinv ccoshu -acoshusinv bcoshucosv 0 とし、これを第1行に関し展開する方法である。 すると、 x_u×x_v = i[-bcoshucosv(ccoshu)]+j[-acoshusinv(ccoshu)] +k[asinhucosv(bcoshucosv)+acoshusinv(bsinhusinv)] =(-bccosh^2ucosv)i+(-cacosh^2usinv)j+[absinhucoshu(cos^2v+sin^2v)]k =(-bccosh^2ucosv)i+(-cacosh^2usinv)+[absinhucoshu]k =(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu) つまり x_u×x_v=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)・・・(21) とやるのである。 ゆえに |x_u×x_v|^2=coshu^2[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u] =(Δ^2)cosh^2u・・・(22) ⇔|x_u×x_v|=Δcoshu ・・・(23) ここで次の[補題1]を準備する。 [補題1] Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(1.1) 「証明」(2)から、 x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4 =a^2cosh^2ucos^2v/a^4+b^2cosh^2usin^2v/b^4+c^2sinh^2u/c^4 =cosh^2ucos^2v/a^2+cosh^2usin^2v/b^2+sinh^2u/c^2 =[1/(abc)^2][b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u] =[1/(abc)^2]・Δ^2 [∵ (19)による] ⇔ Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) よって証明された。 (証明終わり) 次に、 [命題2] e=-(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(2.1) と表すことができる。 「証明」 e=(x_u×x_v)/|x_u×x_v| ・・・(7)と(21)(23) により、 e=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)/[Δcoshu] =(-bccoshucosv,-cacoshusinv,absinhu)/Δ =-(abc)(acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,-csinhu/c^2)/Δ・・・(2.2) ここで、 (2) より (x↑)=x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) だから (acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,-csinhu/c^2)=(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)・・・(2.3)を (2.2)に代入して、 e=-(abc)(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)/Δ =-[(abc)/Δ](x/a^2,y/b^2,-z/c^2)・・・(2.4) ところで[補題1]の (1.1)式から、 (abc)/Δ=1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(2.5) ゆえに(2.4)は e=-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・(x/a^2,y/b^2,-z/c^2) =-(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(2.6)となり証明された。 (証明終わり) さて、L,M,Nを求めよう。L=H_11=x_uu・e,M=H_12=x_uv・e,N=H_22=x_vv・e であるので、 [命題2]と(12)から L=x_uu・e=(x,y,z)・e =-(x,y,z)・(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =-(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(23) [∵ 曲面Sの方程式は(1) から x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 ] 即ち L=-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(24) 次に(13)の x_uv=(-asinhusinv,bsinhucosv,0) と[命題2]と(2)の x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) により、 [x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)x_uv・e =-(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)・(-asinhusinv,bsinhucosv,0) =(x/a)sinhusinv-(y/b)sinhucosv=coshucosv(sinhusinv)-coshusinv(sinhucosv) =coshusinhusinvcosv-coshusinhusinvcosv=0 よって[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=0 ⇔ M=0 ・・・(25) 最後に Nを求める。(14)と(1)(2)[命題2]から N=x_vv・e=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・e =(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・[-(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)] /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =(-x,-y,0)・[-(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =[x^2/a^2+y^2/b^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =[(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2)+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =[1+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =[1+c^2sinh^2u/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =[1+sinh^2u]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) [∵ cosh^2u-sinh^2u=1 ] つまり、N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26) ☆それでは、Gauss曲率K 及び平均曲率 Hを求めよう。 (24)(25)(26)により、 LN-M^2=LN-0^2=LN =-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =-cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ・・・(27) ゆえに、(10)とEG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)から、 K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=-cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ÷[(Δ^2)cosh^2u] =-1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)(Δ^2)]・・・(28)ここで[補題1]から、 Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ゆえに、 K=-1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)・(abc)^2・(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)] =-1/[(abc)^2{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}^2] =-1/[(a^2b^2c^2)(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^2]・・・(29) 即ち Gauss曲率Kは K=-1/[(a^2b^2c^2)(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^2]・・・(30) つまりパラメーターu,vに無関係に、一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、 Gauss曲率は、 (30)で与えられ、K < 0 ・・・(31)であることも分かった。 また、(x,y,z)の値により変化することも分かった。次に Sophie Germain(ソフィー・ジェルマン)の平均曲率 Hを求める。M=0と(24)(26)により、 H=[EN-2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)] ・・・(32)であった。 ここで、E=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15)と N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26)とにより, EN=cosh^2u[a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u] ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =cosh^2u[sinh^2u(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2(1+sinh^2u)} ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) {∵ cosh^2u-sinh^2u=1 ] =cosh^2u[(cosh^2u-1)(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2sinh^2u+c^2] ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2] ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(33) [ ∵ sinh^2u=cosh^2u-1 ] また、(17)のG=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v_)と(24)の L=-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)とから、 から GL=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)×[-1/(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)] =-cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)] ・・・(34) ゆえに、 EN+GL=cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2] /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) -cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)] =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)-(a^2sin^2v+b^2cos^2v)+c^2] /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-a^2(cos^2v+sin^2v_)-b^2(sin^2v+cos^2v)+c^2] /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)] /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(35) [ここで、(1)の x=acoshucosv, y=bcoshusin^2v,z=csinhu を用いた。] したがって、(32)の平均曲率は (35)÷[2×_(20)]として H=[EN-2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)] =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ÷[2(Δ^2)cosh^2u]・・・(20) =[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ×1/[2(Δ^2)] ・・・(36) ところが[補題1]により、 Δ^2=(abc)^2×[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] よって (36)から H=[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[2a^b^2c^2(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(3/2)] ・・・(37) と求まった。 一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、平均曲率は (37)で与えられパラメーターに関係ない。 なお、上記の内容は、小林 昭七著「曲線と曲面の微分幾何」のP62の例3.3を敷衍(ふえん) して書いただけである。今はこのような古典的な内容は大学ではやらない事が多い。 大学1年生か2年生の内容である。私のときもやらなかった。 いきなり3年生で多様体論を学習した。研究者を目指す読者は早いうちに、、 「多様体論」を学習するべきであると思う。「多様体論」の本としては、 松島与三「多様体入門(新装版)」と村上 信吾「多様体第2版」,松本 幸夫「多様体の基礎」 ,今は、東京大学出版会の 「坪井 俊」の「多様体入門」から始まる幾何学の三部作「幾何学 1 _多様体入門」, 「幾何学 2 _ホモロジー入門」,「幾何学 3 _微分形式」がある。坪井の本は行間が狭く、 1頁に文字がびっしりと記されており、内容が盛りだくさんで、なかなか読みにくい気が 私にはする。 ★ 次回は、二葉双曲面P62~P63の例3.4について(古典的な微分幾何)などか、 「四面体及び三角形の内心Iと、内接球面と接点I^A,I^B,I^C,(I^D)との間のベクトル等式」について 記す予定である。 }
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e11[c_][t_] = D[c[u], u]/Sqrt[D[c[u], u].D[c[u], u]] /. u - t; e22[c_][t_] = Cross[e33[c][t], e11[c][t]]; e33[c_][t_] = Cross[ D[c[u], u], D[c[u], {u, 2}]]/ Sqrt[Cross[D[c[u],u],D[c[u],{u,2}]].Cross[D[c[u],u],D[c[u], {u, 2}]]] /. u - t; hel[t_] = {Cos[t], Sin[t], t/6}; ここでは隣接する従法線ベクトルのなす角を離散的な捩率とする。 隣接する接線ベクトルのなす角を離散的な曲率とする。 離散的な曲率は常に正をとり、 離散的な捩率は一つ前の従法線ベクトルに対して,ひとつ前の接戦ベクトルを軸にして 時計回り(外側)に回転するとき正 反時計回り(内側)に回転するとき負をとるようにする。 for(int i=0;i (int)cc.vectors.size()-1;i++) { cc.Curvatures.push_back( acos( GetCosFromVector( cc.vectors.at(i).x,cc.vectors.at(i).y,cc.vectors.at(i).z, cc.vectors.at(i+1).x,cc.vectors.at(i+1).y,cc.vectors.at(i+1).z ) ) ); } for(int i=0;i (int)cc.normals.size()-1;i++) { double theta=acos( GetCosFromVector( cc.binormals.at(i).x,cc.binormals.at(i).y,cc.binormals.at(i).z, cc.binormals.at(i+1).x,cc.binormals.at(i+1).y,cc.binormals.at(i+1).z ) ); if(0 GetCosFromVector( cc.normals.at(i).x,cc.normals.at(i).y,cc.normals.at(i).z, cc.binormals.at(i+1).x,cc.binormals.at(i+1).y,cc.binormals.at(i+1).z ) ) theta*=-1;//従法線ベクトルが 法線ベクトルの方向に回転するとき 捩率が負 をとるようにする cc.Torsions.push_back(theta); } curves.push_back(cc); 1.最初の動標構A 接線ベクトルe11, 従法線ベクトルe22, 主法線ベクトルe33がある。 2.動標構Aをコピーして動標構Bをつくる。e11 e22 e33 3.動標構Bをe11を軸にして離散的な捩率分だけ回転させる。 反時計回りの回転が負 時計回りが正 4.そのあとさらに、動標構Bをe22 を軸にして離散的な曲率分だけ回転させる。 反時計回りが正 これを繰り返して,線分で構成される曲線を,離散的な曲率・捩率から逐次復元していく。 RotateVectorByUnitVector( curves.curves.at(curve_at).Torsions.at(1), curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).x, curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).y, curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).z, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).x, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).y, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).z, tmpx, tmpy, tmpz ); tmptheta=GetCosFromVector( curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).x, curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).y, curves.curves.at(curve_at).binormals.at(1).z, tmpx,tmpy,tmpz); RotateVectorByUnitVector( curves.curves.at(curve_at).Curvatures.at(2), curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).x, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).y, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).z, tmpx,tmpy,tmpz, tmpx2, tmpy2, tmpz2 ); tmptheta=GetCosFromVector( curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).x, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).y, curves.curves.at(curve_at).vectors.at(2).z, tmpx2,tmpy2,tmpz2); glPushMatrix(); glColor3f(0,0,1); bvh.RenderBone( (float)curves.curves.at(curve_at).points.at(3).x, (float)curves.curves.at(curve_at).points.at(3).y, (float)curves.curves.at(curve_at).points.at(3).z, (float)(curves.curves.at(curve_at).points.at(3).x+tmpx2*7.53), (float)(curves.curves.at(curve_at).points.at(3).y+tmpy2*7.53), (float)(curves.curves.at(curve_at).points.at(3).z+tmpz2*7.53), 0.2f); glPopMatrix();
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歌唱:鏡音レン 編曲・調声:ぶっちぎりP 原曲:時間等曲率漏斗館へようこそ(P-MODEL) 関連リンク 時間等曲率漏斗館へようこそ(P-MODEL)
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スレッドより 以下は、平沢進の歌詞をどうにかして解読するスレ2ループ目から引用 679 Track No.774 2011/07/01(金) 12 53 24.58 漏斗の間奏部分の「お手元のアカシックレコードをしっかりとおしめください」の前の台詞知りたくて探してるが見つからん 頼む 680 Track No.774 2011/07/01(金) 17 17 30.56 「皆様の前方より ブラフマン、ブーツ・ストラップ素粒子 ロシアン・テトリス、オルゴン・ボックス お座席のアカシック・レコードをしっかりとお締めください」 ニコ動のコメから 正解は知らん アカシック・コードって聞こえてしょうがない 681 Track No.774 2011/07/01(金) 17 24 13.08 ロシアンテトリスだけはあり得ないw 682 Track No.774 2011/07/01(金) 19 48 21.52 ありがとう ロシアンテトリスはいささか微妙に思う 683 Track No.774 2011/07/02(土) 15 07 11.67 ソ連で開発されたらしいし あり得ない理由もないだろう まぁ、深い意味はないのかもしれんが 684 Track No.774 2011/07/02(土) 16 12 19.85 ロシアとテトリスは繋がりがあるが、だからなんでそれがあの曲に出てくるんだよ?w 685 Track No.774 2011/07/03(日) 17 20 14.69 じゃあ逆にブラフマン、ブーツ・ストラップ素粒子、 オルゴン・ボックス、アカシックレコードはなんであの曲に出てくるの 686 Track No.774 2011/07/03(日) 18 09 37.17 685 そうなるわな 684はちょっと的外れな感じがす 687 Track No.774 2011/07/03(日) 20 13 14.40 オルゴンボックスやアカシックレコードとテトリスを同義で語ろうとするほど、ここの住人のレベルが落ちてたなんて… 688 Track No.774 2011/07/03(日) 21 37 02.00 ブラフマンは原理、ブーツストラップ素粒子は素材 ロシアン・テトリスは構築、オルゴンボックスは集積,放射 アカシックレコードは記録 うーん大体この手だと思うんだけど 問い合わせフォームより 間奏の女性の台詞 「皆様の前方より ブラフマン、ブンツストラット素粒子、 ロシニアン・リトルズ、オルゴンボックス お座席のアカシック?コードをしっかりと御締め下さい」 だったようですが
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軌道座標系の「等加速度」運動 Yahoo!知恵袋の質問から。軌道座標系において加速度が一定の運動を考察する。 軌道座標系というのは,基底を軌道の法線方向と接線方向にとる座標系である。それぞれの基底をと書けば, 軌道運動の曲率半径を ,角速度を とすると, であるから,積分して ただし,とした。これを再度積分すると, ただし, にとった。また,軌道の曲率半径は, となる。曲率半径と進行方向角の関係を下図に示した。しかし,これは軌道を表してはいないことに注意したい。曲率中心は固定点ではないからである。なお,曲率半径は対数目盛りとなっている。 こちらが,軌道である。ただし,半径方向はやはり対数目盛り。 スケールを等方にした。青線は曲率中心の軌道である。どちらも同一時間分。
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<補間法> 点と点を線で連結する際に、連結する線が通るべき経路を決める方法。 ①リニア:2点間を直線で連結。 各点を最短距離で連結する。 ②ベジェ:2点間をベジェ曲線で連結。 各点を自由な曲率を設定できる曲線で連結する。 各点ごと(始点や終点も)に、接線ハンドルの長さと傾きによって異なる曲率を設定できる。 接線ハンドルの長さや傾きは、接線ハンドルの両端となる2つの制御点で決定される。 接線ハンドルは、左右で連動して設定することも、左右に分割して独立して設定することもできる。 ③カーディナルスプライン:2点間をカーディナル(C)スプライン曲線で連結。 全ての点をなるべく滑らかで無駄のない曲率の曲線で連結する。 両端の点(始点と終点)には曲率が設定されない。 テンションの値で全ての曲率を統一的に変更できる。 テンション1が最も無駄のない自然(N)スプラインで連結し、テンションが大きいほど曲率が強くなる。 パス,パス編集
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平面曲線 平面曲線の種類 なめらかな曲線,閉曲線,自己交叉のある曲線,区分的になめらかな曲線 1周してもとの点に戻るなめらかな曲線を閉曲線という。 自己交叉のない閉曲線を単純閉曲線という。 →平面の単純閉曲線は,平面をその内部と外部の2つの領域に分ける。(Jordanの曲線定理) 単純閉曲線上の任意の2点を結ぶ線分が曲線の境界か内部に含まれるとき,卵形線という。 曲線の表示 1. グラフによる表示 y=f(x) 微分可能な関数のグラフだけではあらわせない曲線がある。 2. 陰関数表示 F(x,y)=0 Fがなめらかなとき,陰関数定理により,局所的に自己交叉のない関数のグラフとして表すことができる。 3. 媒介変数表示(助変数,パラメータ,径数表示)γ(t)=(x(t),y(t)) x (t0)≠0のとき,逆関数定理により,x(t0)の近傍で逆関数g(x)=tがとれて, これをy(t)に合成した関数をf(x) =y(g(x))とおけば,グラフ表示になる。 Ex. 楕円 陰関数表示 パラメータ表示 Ex. レムニスケート 原点に特異点(速度が0になる点)をもつ。 陰関数表示 パラメータ表示 速度ベクトルと弧長 速度ベクトルは接ベクトルである。 弧長パラメータ に対し, とおくと, 逆関数定理により逆関数t=t(s)が存在して,弧長パラメータ表示が得られる。 このとき特に,次が成り立つ。 単位接ベクトル・法ベクトル 弧長パラメータの性質と,速度ベクトルの性質から,単位接ベクトルが以下で与えられることが分かる。 さらに,これに直交するベクトルとして単位法ベクトルが以下で与えられることが分かる。 この法ベクトルは,進行方向左手に伸びる。 曲率 弧長パラメータの性質 これをもう一度微分することによって,加速度ベクトルは接ベクトルと直交することが分かる。 従って,加速度ベクトルは法ベクトルのκ(s)倍である。このκ(s)を曲率という。 法ベクトルの向きから,κ 0のとき左曲がりとなる。 曲率円 γ(s)で2次の接触をする円を,曲率円という。 曲率円の半径は曲率の逆数で与えられ,その中心は法ベクトル方向に曲率半径だけ進んだところである。 座標変換(微分同相写像) φ D→R2全単射が微分可能で,その逆写像もまた微分可能であるとき,φをdiffeo.という。 diffeoによって,n次の接触(n階微分係数まで一致しているような接触)は保たれる。 Frenetの公式 弧長パラメータ表示において,接ベクトル・法ベクトルの間には以下の関係がある。 この関係式は,次の2つの定理を証明するのに使われる。 曲線論の基本定理 区間[0,l]で定義されたなめらかな関数 κ(s) に対して,sを弧長とし κ(s)を曲率とする平面曲率が存在する。 しかも,このような曲線は回転と平行移動で写りあうものを除いて一意である。 卵形線の4頂点定理(1909,Mukhopadhyaya) 曲率κ(s)が極大値・極小値をとる点を頂点という。 円でない卵形線には少なくとも4つの頂点が存在する。 閉曲線 正則ホモトピー同値 「速度ベクトルが消えない」ように,一方の閉曲線から他方の閉曲線に連続変形できること。 回転数 rotation index 以下の量は整数。右辺の積分は全曲率という。 任意の閉曲線は回転数で分類できる。(Whitney) 回転数が等しい ⇔ 正則ホモトピー同値 単純閉曲線の回転数は±1 空間曲線 動標構の導入 以下では, を仮定する。 弧長パラメータ 単位接ベクトル 主法線ベクトル 曲率(eとnの関係) 従法線ベクトル 捩率(bとnの関係) Frenet-Serretの公式 e,n,bはR3の正規直交基底になるから,R3の任意の元はこれらの線形結合で与えられる。 この事実を用いて,n とb をe,n,bで表すことができる(FS公式) フレーム 曲線論の基本定理 区間(a,b)上の微分可能関数κ(s) 0,τ(s)が与えられたとき, sを弧長パラメータとし,κを曲率,τを捩率とする曲線γ(s)が存在する。 しかもそのような曲線は向きを保つ合同変換を除いて一意である。 [証明]は,FS公式とODEの初期値問題の解の一意存在定理による。 結び目 空間の単純閉曲線のこと。 結び目は,正則変形によって円周にすることが必ずしも可能ではない。 また,全曲率との関係が重要である。