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曲線座標における微分と接続係数 曲線座標における微分で生じる，正規直交基底の回転による補正項は，リーマン幾何学における接続項に他ならないことが確認できた。 かつて，運動座標系による運動方程式（１）において，曲線座標系における微分 （上記ページでは時間微分をとっているが，全微分形式をとった） の形が，リーマン幾何学の共変微分 （これも全微分形式をとり，また，反変成分ととりかえた。との役割が上と交換しているが，あしからず承知されたい） に類似し，したがって基底の微分回転角が接続係数（クリストッフェル記号）に相当すると思われる…という予想を述べた。最近，弾性論を少し勉強しはじめてテンソルが出てきたのと，Yahoo!知恵袋で３次元極座標（球座標）におけるクリストッフェル記号に関して，質問に回答したことをきっかけに，あらためてこのことを考えてみることにした。結論として，両者が基本的には同じものの別表現であることが確認できた。 まず，軽く復習しておきたい。 円筒座標，球座標などの曲線座標に対して，正規直交基底 があるとき，ベクトル ※ について和をとる（アインシュタインの規約）。 の微分を考える。ベクトル場と考えての座標による微分，運動に付随するベクトルと考えての時間による微分等が考えられるが，どちらにも対応できるように全微分で記述すると， となる。第１項は変位前の基底による成分値の変化，第２項は基底そのものが回転することによる補正を意味する。したがって， は基底の微分回転角ベクトルを表している。この軸性ベクトルと双対をなす反対称テンソル を用いて， のように書くこともできる。このとき両者の対応は， となる。 は，添字の置換に対して完全反対称のレビ・チビタ擬テンソルである。 さて，一方リーマン幾何学における共変微分だが，曲線座標における空間の計量を として，計量テンソルの微分を用いて なる接続係数（第２種クリストッフェル記号）を定義したとき，共変微分は と書ける。※整合をとるため添字を英字に替えた。ギリシア文字は４次元で使うことが多い。 第１項は通常の微分で，第２項が曲線座標ならではの補正を意味する。なお，ベクトルの添字を上付きにしたのは，いわゆる反変成分を表しており，下付きで表示する共変成分と区別しているからであるが，上の基底による表現の下付き添え字との区別はない。しかしながら，スケール因子を計量テンソルに閉じ込めたことで，は線素ではなく「裸の」座標変位になっている（たとえば，ではなくになっている）ので，それにともなってベクトル成分の方でスケールを考慮しなければならなくなっている。このあたりの違いを読み取るのに正直のところ大分手間取った。 両者の対応の確認は，もっぱらリーマン幾何学の計量テンソルによる記述を，正規直交基底による記述に書き下ろす作業になる。ここでは，球座標（３次元極座標）を例にとって計算してみよう。 まず，球座標の計量テンソルは 接続係数は，数学ソフトMathcadを用いて求めた。第１添字で３階建ての行列に分解すると，以下のようになる。第２，第３添字について対称であることが確認できる。 また，これらを用いて共変微分の第２項を同様にMathcadで計算すると，次のようになった。この計算で，ベクトルの反変成分と正規直交基底による成分との違いに注目されたい。 さて，目標はといえば，正規直交基底による下記の記述との一致である。 ※極座標による微分導出への回転の活用(1) 第１成分は一致しているが，第２，第３成分は一致していない。これが上述した反変成分と基底による成分との違いに起因する副作用である。リーマン幾何学の結果は（スケール因子をのぞく）反変ベクトルの微分であり，の微分ではないのだった。そこで，もとの式にもどってその第１項を調べてみると， となり，上で求めた第２項との和をとってスケール因子を省けば，基底による微分の記述に一致することがわかる。
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次の単独型2階の線形微分方程式をGaussの超幾何微分方程式という． ここでである．
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運動座標系による運動方程式（１） 最も一般的な運動座標系における運動方程式の記述について整理してみた。OKWaveのQ Aにヒントを得て。 (1) 数学的準備 慣性系Sに対して並進および回転をしている運動座標系S において，運動方程式がどう記述されるかを整理する。S系で記述されたベクトルに対する，S 系の表現をとする。ベクトルそのものは，唯一の空間に浮かぶ同一の矢印であることに変わりはないから， である。この表現の意味するところは，S系の基底およびS 系の基底として，それぞれによる表現がおよびとなること，すなわち を示しているのである。 さて，運動方程式の成立は慣性系における観測が前提である。しかし，場合によって加速系による表現が要求されるから，慣性系で立てた運動方程式を加速系の表現に書き直す必要が出てくる。その一般的表現を得ようというのが，今回の目的だ。 ポイントは，加速系S においては基底自体が，S系の基底に対して時々刻々とその関係を変えていく，という点にある。たとえば，ある瞬間にS 系がS系の表現での角速度をもって回転しているとき，ベクトルの時間微分は， としなければならない。さて，いちいち成分表示をしていたのでは混乱のきわみである。そこで，上の事情を表現するために を用いることにする。上は，S 系から素直に見たベクトルの時間変化率を示し，下は基底自体の回転による「補正」を意味する。すなわち，任意のベクトルのS 系表示に対して，その時間微分は と書ける。この表式は，をのぞいて，S 系による表現として「閉じて」いる。これを慣性系から加速系へと乗り換えるときの基本公式として用いる。蛇足ながら注意を喚起しておくが，演算子は，プライムのついた（S 系で表現された）ベクトルに対しての作用においてのみ意味をもつ。 余談になるが，ここまで書いて上の公式が，リーマン幾何学の共変微分 に似ていることに気づいた。一般リーマン空間におけるベクトルの座標微分と加速系におけるベクトルの時間微分という違いはあるが，そこに数学的類似性が横たわっており，ある意味は「接続係数」に当たるといってよいかもしれない。 参考：ディラック「一般相対性理論」を読む 運動座標系による運動方程式（２）に続く
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極限値とは、関数の極限値 が存在する場合、この値を「のにおける微分係数」とする。
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経済学、特にミクロ経済学では微分を多用する。 ここでは、その微分について基礎からおさらいする。 微分係数 導関数 微分係数 あるグラフy=f(x)を考える。 そのグラフ上の2点A(a,f(a))、B(b,f(b))(a b)を結ぶ直線を引く。 この直線の傾きはであり、これを平均変化率と呼ぶ。 この2点A、Bを限りなく近づけていくとどうなっていくだろうか。 ここではわかりやすくするためAを固定してBをAに近づけるとする。 b aであるのである実数hを使ってb=a+hと表せる。 これを先ほどの平均変化率の式に代入すると、となる。 AとBを限りなく近づけていくためには、hを限りなく0に近づけていけばよい。 このことを記号でと書き表す。 これが微分係数である。 より簡略化した記号としてf (a)を用いる。 また、f (a)の値が存在する時、y=f(x)はx=aで微分可能という。 f (a)はy=f(x)のx=aにおける接線の傾きに対応する。 導関数 微分係数はある定数aのみでの話である。 そこで、グラフ上の微分可能なすべてのxで成り立つようなものが欲しくなる。 それが導関数f (x)だ。その定義式を書いておく。 式の見た目自体は微分係数のaをxに変えただけにすぎない。 しかしその中身はかなり異なる。 aは定数であるが、xだと変数になる。 つまり、はただの値だが、は関数になる。 導関数の変数xにある値を代入したものが、その値での微分係数となる。 導関数のことは、f (x)の他にや、と書くこともある。 経済学では経験上f (x)とがほとんどな気がする。論文などはわからないが。
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平均変化率 極限値 微分係数と接線 放物線と接線 放物線の接線 微分が接線の傾きになる訳(生徒用ワークシート) 導関数 関数の微分 多項式の微分 の導関数 の導関数 の導関数の演習問題(生徒用ワークシート) 接線の方程式 グラフ上にない点から引いた接線
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こいのびぶんけいすう【登録タグ NanahoshiP こ 初音ミク 曲】 作詞：NanahoshiP 作曲：NanahoshiP 編曲：NanahoshiP 唄：初音ミク 歌詞 （ピアプロより転載） あなたとわたし ふたりの相性占い 本を買ってきて ふたりの星を調べたの 一番あなたと 接近するのはいつかな？ 計算するけど 公転周期わかんないよ 枯れた花の代わりに 無理数を数えてみるの 富士山麓にオウム鳴く 鳴くよウグイス平安京 うまくいかないときは 確率論頼みで行動 求めたいのあなたのp.d.f. あなたとわたしの ふたりの恋の 進み具合を関数にして 計算するの恋の微分係数 だけどけわしい 道のりの中 不連続点多すぎて そう簡単に求まらない 難しいね あなたとわたし ふたりの相関関数 指数対数 フル活用で求めるの ベクトル成分 並べて内積計算 あれれどうして？ 180度になっちゃうよ 私の魅力探して ありったけ集めるために 世界の果てまで積分計算 天下を取ろうと関が原 あなたとわたしふたりの 間で揺れるモーメント 釣り合いの取れる重心探してる あなたとわたしの ふたりの恋の 成功確率求めてみて 確認するの恋の天気予報 だけど二人の恋愛模様 降水確率高すぎて 期待値低くて涙目 無理なのかな・・・・・・ 私の不安と 喜びの数 数えて因数分解したら くくり出されたのはあなたでした あなたの隣に いないわたしを 想像なんてできないんだから 打算計算なんて捨てて 歩いてゆこう コメント 名前 コメント
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日時 毎週木曜日 23 00~24 30 （疑問や分からないところがあればチャットで質問する） テキスト 『曲線と曲面の微分幾何』 - 小林昭七(裳華房)(見本) 曲面論の展開である極小曲面(シャボン玉の数学)についても書かれている。 このセミナーでは四章までを読み進めていく予定です。(五章は相談して決めます) 目標 皆で楽しく読み進めていく たくさん質問する たくさん図を書く 前提知識 多変数の微分積分(偏微分、重積分)※細かい極限の議論は少ない 線形代数（３×３行列の具体的計算、重積分とJacobi行列） ※意欲的な高校生や工学部の方でも読み進めていけると思います。 関連知識 以下は仮定しない（が、知識があるとより楽しめるかも） 常微分方程式、偏微分方程式 ベクトル解析(グリーンの定理、ストークスの定理) 位相空間 (連結性、コンパクト空間上の連続写像) 複素関数 (Cauchyの積分公式、等角写像) 可微分多様体 (もろもろ) 参考書 「曲線と曲面ー微分幾何的アプローチー」(裳華房)梅原雅顕、山田光太郎 「多様体の基礎」松本幸夫 「双曲幾何」深谷賢治 「集合と位相」内田伏一 「複素関数論」神保道夫 「解析入門I,II」杉浦光夫 「線形代数入門」斎藤正彦 リンク 裳華房のHP(正誤表あり) ホワイトボード(十人まで) idroo(書き込みの為にはアカウント取得必要) 「曲線と曲面演習」 「曲面の第一基本形式」 「曲面の第二基本形式」 セミナーの形式•備考 聴講•見学は要相談 現在発表者５人の毎週持ち回り(g,m,h,y,s,q) 調節がしやすい要に、発表者、テキストの§、日時の三つを一組で構成しています。 理解度確認、相互学習のため、発表者以外の質問を奨励します。疑問やつまづきは宝物！みんなで共有しましょう。 演習問題を扱うかどうかは、発表者にゆだねます。重要と思われるものや定理の例などはなるべく発表してください。 人数調節のため、控え室を設置しています。(詳しくはskype参加後に説明します。) 活動報告 01(11/26)§1. 曲線の概念~p.3(陰関数と媒介変数表示)(WB)g 02(12/03)§2. 曲率と平面曲線p.4~p.10（曲率の定義、合同変換）(WB)m 03(12/10)§2の残りと演習問題、§3.平面曲線に関する大域的定理(四頂点定理、回転数の定義)(WB)g 04(12/17)§3.全曲率と卵形線(FenchelのThm n=2)（※卵形線の幅は省略）(WB)y (補足) 05(12/24)§4.空間曲線,Frenet-serretの公式、曲率と捩率(幾何学的不変量)、Bouquetの公式(WB)s (12/31)休講 06(01/07)§5.空間曲線における大域的結果、Fenchelの定理(Thm5.1) h(WB) 07(01/14)§5.空間曲線における大域的結果、結び目の全曲率≧4π(Thm5.2) g(WB) 08(01/21)§1.空間内の曲線の概念媒介変数表示における曲面の定義と具体例 s(WB) 09(01/28)§2.基本形式と曲率(前半 p.56 2.44式まで )m(WB) 10(02/04)§2.基本形式と曲率 (後半p.56から) y (WB) 11(02/11)§3.実例について基本形式、曲率の計算 s(WB) 12 (02/18)補講 12(02/18)§4.正規直交標高を使う方法 q (WB) 13(02/25)§5.二変数の外微分形式 g[[(WB) http //imgur.com/a/prDCp}] 14(03/03)§6.外微分形式を使う方法 y(WB) 15(03/10)§1.曲面上のRiemann計量 m(WB) 16(03/17)§2.曲面の構造方程式 h→q(WB) 17(03/24)§3.ベクトル場 g(WB) 予定(願望) (03/31)§4.共変微分と平行移動 m (04/07) 休講予定 (時間割の編成) (四月以降は適宜、曜日•時間を変更予定)
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ここでは、通常「ピアソンの積率相関係数」と呼ばれるものについて解説します。 相関係数の定義正の相関、負の相関 相関係数の計算 相関係数の幾何的解釈 相関係数の定義 正の相関、負の相関 身長と体重、気温と湿度、葉面積と果実重量...などといった、「2組の数値がセットになったデータ」があったとしましょう。抽象的なもので説明をするために、2組の数値を文字を使って次のように表すことにします。 ここで、と、と、...、とがそれぞれ1つのセットになっています。 この2つの数値間に「相関係数」と呼ばれる値を計算することができます。相関係数は-1～1までの値をとり、1に近ければ「正の相関」、0に近ければ「相関なし」、-1に近ければ「負の相関」であるといわれます。相関が正であるというのは、の値が増えればの値が増加するということを意味し、相関が負であるというのはの値が増加するとの値が減少するということを意味し、両者に相関がないというのはの値を増やしたときの値が増加するか減少するか分からない(散らばる)ということを意味します。 2つのデータ間の関係を述べるのに都合のいい値であることが分かると思います。 相関係数の計算 相関係数は次のようなものであると解説される場合があります。 2つのデータの共分散をそれぞれのデータの標準偏差の積で割ったもの ここで共分散というのはそれぞれのデータの偏差の積を自由度で割ったものです。つまり、をそれぞれのデータの平均値として、(標本)共分散は次のように表現できます。 共分散を、の分散を、の分散をとすれば、相関係数は次の計算により求められます。 和の記号を使ってきちんと書けば次の形となります。 自由度をが分子分母双方に存在している(分母は平方根の二乗で分子に等しい)ため、キャンセルされていることに注意してください。 要するにこの計算によって相関係数が出てくるのですが、結局この値が何を意味しているのか、といったことが分かりにくいと思います。そこで、この相関係数という値に幾何的な解釈を加えましょう。 相関係数の幾何的解釈 まず、この式に注目します。 分母の方が分かりやすいと思うので分母に注目しましょう。 これはそれぞれの値(偏差)を二乗したものの総和を計算し、その平方根をとったものの積となっています。 「二乗して和を計算して平方根」といえば三平方の定理(ピタゴラスの定理)ですね。三平方の定理によれば、2次元空間上で原点から点までの「長さ」は次のように計算できます。 同様に3次元ならば このノリで次元ならば となるわけです(実際にはこの値が本当に次元空間の「長さ」として適当なのかを評価して証明する必要があります)。これを先ほどの値と比べると、相関係数の分母は「データとの偏差の長さ」の積だったことが分かります。次元数はデータの個数分あることになりますから、図にすることはできませんが、との偏差がそれぞれ「長さ」を持った1本の直線を作っているイメージをしてください。また、「の偏差」「の偏差」を1つのベクトルとして捕らえていることにも注意してください。 長さは絶対値の記号をつかって次のように表すことがよくあります。 というわけで、相関係数の分母を次のように書き直しましょう。 次に分子に注目します。 それぞれのデータの積の総和です。答えから言ってしまうとこれは内積です。 内積とは2つのベクトル間に定義される量で、2通りの表し方があります。、をそれぞれベクトルとしますと、まず一つの定義は いろいろな書き方をしてみましたが、要するにそれぞれの成分の積の総和です。相関係数の分子まんまです。 もう一つの定義が重要です。 ベクトルが2本あればその間には角があります。そのcosineと2本のベクトルの長さをかけたものが内積だということです。計算される値はどちらも同じになります。 さて、この定義を相関係数の式に入れてみましょう。 っというわけで相関係数の正体が分かりました。 です。相関係数が-1～1の値をとるのも当たり前の話でしたね。ここでというのは「の偏差」と「の偏差」という2本のベクトルが交わる角度です。 cosineというのは角度が0ならば1に、(180°)ならば-1に、(90°)ならば0になります。つまり、相関係数1というのは「2本の偏差ベクトルが同じ方向を向いている」ことを意味し、相関係数-1というのは「2本の偏差ベクトルが反対の方向を向いている」ことを意味し、相関係数0というのは「2本の偏差ベクトルが直角に交わっている」ことを意味するのです。「直角に交わっている」ことを特に「直行している」などといいます。
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第１章 ユークリッド空間 第２章 超曲面 第３章 超曲面の幾何 第４章 可微分多様体 第５章 ガウス‐ボンネの定理 付録 多重線形代数の復習