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一般公式 特殊公式 三角関数の微分 (ただし、 である) 楕円の微分 これをxで微分すると、 このことから、楕円の点(p,q)における接線は、 だとわかる。 双曲線の微分 xy=k (1)1文字に依存する場合、 (2)2文字に依存する場合、 これは(1)のk=xyと置き換えても作られる。 積分の微分 代入して微分 同じ文字で微分 積分に代入される変数で微分 g(t)=t,h(t)=αのときは、f(t)のくくりだしが出来る。 積分に代入される変数以外で微分 逆関数微分 の逆関数をとするとき、 の値を求める。 の逆関数の関係式は、 である。これより、 (ⅰ) (ⅱ) 両辺をxで微分すると、 以上より、 ここで、より、 よって、 あぶり出し が成り立つとき、を求める。 今、となるので、 と書ける。 よって、g (y)をxの関数であらわせれば十分である。 ライプニッツの公式
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f(x)=px^nを微分したいのですが f'(x)=pnx^(n-1)でいいですか？ 増減表で使われる/と×の違い x/2x^2+1 を微分すると-2x^2+1/(2x^2+1)^2 で合ってますか？ また、もう一回微分したら 8x^3-12x/(2x^2+1)^3 で合ってますか？ 数Ⅲの微分で増減表を書く時、一回微分でも二回微分でも正負がはっきりしない場合はどう判断すればいいのでしょうか。 関数f(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax-1がある。aは定数でa≠1 (1)f'(x)を求めよ。また、f'(x)=0を解け。 y=e^xとy=(x-a)^2との両方に接する直線が存在するaの値の範囲は？ 関数f(x) = (2xe)^-x^2を微分するとなんでf'(x) = (2e)^-(x^2)+x*e^-(x^)2*(-2x) = 2(1-2x^2)e^-x^2になるの? y=√(ｘ－１)/√(ｘ＋１)を微分したらどうなりますか？ 直線の式を微分すると定数になりますが、これは何を意味しているのですか？ 215 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 22 53 52 y=e^xとy=(x-a)^2との両方に接する直線が存在するaの値の範囲は？ それぞれを微分して、接点を適当な文字で表して、接線を表す方程式をそれらの文字を用いて表して比較・・・ しても解けなかった。 解法の見当がつかなくなったんだが誰かヒントでもいいから教えて 218 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/26(水) 23 29 47 215 y=e^xの(t,e^t)での接線とy=(x-a)^2の(u,(u-a)^2)での接線が 同一の直線だとすると、それらの傾きやy切片は一致する。 この条件でt,uの連立方程式を立てて整理するとaをtもしくは uの関数としてあらわせるので、その関数の取る範囲を考えればよい 278 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/28(金) 00 30 59 関数f(x) = (2xe)^-x^2を微分するとなんでf (x) = (2e)^-(x^2)+x*e^-(x^)2*(-2x) = 2(1-2x^2)e^-x^2になるの? 282 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/28(金) 02 30 35 278 f(x)=(2xe)^(-x^2)だとしてこれを微分してもf (x)=2(1-2x^2)*e^(-x^2)にはならないよ 微分してf (x)=2(1-2x^2)e^(-x^2)になるのはf(x)=2x*e^(-x^2)だろう 462 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 21 36 24 f(x)=px^nを微分したいのですが f (x)=pnx^(n-1)でいいですか？ 463 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 21 37 58 462 xで微分する(そしてpがxの関数で無い)ならそれでいいよ。 560 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 16 56 26 y=√(ｘ－１)/√(ｘ＋１)を微分したらどうなりますか？ たぶん商の積分公式使うんですけど分かりません… 562 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/01(火) 17 40 09 560 y=√(x-1)/√(x+1) =(x-1)^(1/2)/(x+1)^(1/2) 商の微分の公式は y=f(x)/g(x) のとき y ={f (x)g(x)-f(x)g (x)}/{g(x)}^2 この問題では f(x)=√(x-1)=(x-1)^(1/2) g(x)=√(x+1)=(x+1)^(1/2) となり f (x)=(1/2)(x-1)^(-1/2) g (x)=(1/2)(x+1)^(-1/2) 代入して変形すると y =√{(x-1)(x+1)}/(x-1)(x+1)^2 問題文にルートが入ってるので解答には指数でなくルートを使う上のほうがいいと思うけど、 わかりやすく書くなら下の指数を使った方が見やすいかな y =(x-1)^(-1/2)(x+1)^(-3/2) 変形の詳細は書くと見にくくなるので省きました 計算間違いしてたらすいません 563 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/01(火) 18 27 11 560 y=√u u=(x-1)/(x+1) として合成関数の微分でも良い。 結局商の微分公式は使うけど、√が外れるので少しは計算が楽かも。 727 ： １３２人目の素数さん [] 2011/02/03(木) 12 09 05 直線の式を微分すると定数になりますが、これは何を意味しているのですか？ 728 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 12 27 49 直線の傾きはどこをとっても同じ 729 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/02/03(木) 12 28 42 傾きが一定 831 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/17(月) 20 40 03 増減表で使われる/と×の違いを誰か…お願いしますm(__)m 一階微分の列に×が書かれている解答が見受けられます。 本はチャート式です。 833 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/17(月) 20 53 21 831 どっちでもいいです 850 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 03 02 49 x/2x^2+1 を微分すると -2x^2+1/(2x^2+1)^2 で合ってますか？ また、もう一回微分したら 8x^3-12x/(2x^2+1)^3 で合ってますか？ よろしくお願いします。 852 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/18(火) 03 04 35 850 おｋ 863 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 12 18 16 数Ⅲの微分で増減表を書く時、一回微分でも二回微分でも正負が はっきりしない場合はどう判断すればいいのでしょうか。 たとえば、a 0,x≧1の範囲で f(x)=logx/x^aの最大値を求める時の増減表を書く時です 864 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 13 29 23 863 たとえば、a 0,x≧1の範囲で f(x)=logx/x^aの最大値を求める時の増減表を書く時です f(x)=logx/x^aの1次導関数の正負なら分かるだろう f =(1-alogx)/x^(a+1) 865 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 14 04 35 863 f (x)=(1-alogx)*x^(a-1)/x^(2a) 普通にx=e^(1/a)で最大値とるんじゃないの？ 917 ： １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 18 10 56 関数f(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax-1がある。 aは定数でa≠1 (1)f (x)を求めよ。また、f (x)=0を解け。 (2)a 1のとき、関数f(x)の極大極小をaを用いて表せ。 (3)y=f(x)のグラフとx軸が異なる2つの共有点をもつときのaの値を求めよ 今回の進研問題です 解説よろしくお願いします・・・0rz 923 ： １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 20 07 33 917 (1)は池沼じゃないかぎりできるよね？ f (x)=0 ⇔ x=1,a (2)は a＞1だから x=1で極大、x=aで極小を取る。 それぞれの値はf(1),f(a)を代入計算することで求まる。 (3)f(x)がx=aを重根としてもつことが必要十分(a≠1に注意) だから とくに f(a)=0 がいえてないといけない。 f(a)=0をaについて解くことで a=1±√3 を得る。
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前回の復習 例題4.2.2 4.3 偏微分と全微分 偏微分 偏微分可能 偏微分係数 偏導関数 例4.3.1 例4.3.2 例題4.3.1
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偏微分は、多変数関数の微分を行うために発明された方法である。 経済学においてはおそらく普通の微分より行う機会が多いのではないだろうか。 とはいえ、通常の微分とほとんど変わらないため、比較的楽に習得できると思う。 多変数関数 偏微分とは 偏微分の基本性質 2階偏微分 多変数関数 これまで扱ってきた関数は1変数関数だった。 しかし、経済学では複数の変数を用いた多変数関数がよく使われる。 例えば、労働Lと資本Kを投入して生産Yを生み出す生産関数Y=F(K,L)などだ。 この場合、グラフを書こうとするとK軸、L軸、Y軸の3つの軸の3次元のグラフとなる。 k次同次 本来は多変数関数でなくとも扱える話なのだが、 今書く方がより説明しやすいと思い、このタイミングにした。 k次同次性とは、すべての変数をp倍すれば関数全体としては倍されるという性質のことだ。 例えば、市場に財が財1〜財nまでのn個あるとする。 また、それらの財の価格をとし、所得をYとする。 このとき、財1の需要関数D1の変数は、,Yとなる。 ここで、全ての財の価格と所得が一気に2倍になったとする。 しかし、この状態では財1の需要量は変化しないと考えられる。 なぜなら、財の値段が全て2倍になっても所得が2倍になれば、 買うことのできる個数などになんの影響も及ぼさないからだ。 従ってこの場合、需要関数は0次同次性を持つと考えられる。 偏微分とは 偏微分とは、他変数関数における微分の方法である。 その方法は非常に簡単で、偏微分したい変数以外の変数を定数とみなして微分するだけだ。 偏微分する時の記号としては、関数f(x,y)をxで偏微分する時はや、などと表記する。 また、左から1番目の変数で偏微分しているのでと表記することもある。 やは文脈によって他のことを表す場合があるので注意が必要だ。 例を出そう。2変数関数を考える。 これをxで偏微分すると、を定数とみなし、となる。 yで偏微分するとを定数とみなし、となる。 f(x,y)のxでの偏微分は、あるyのところで切った時のグラフの導関数になる。 例えば、でy=1とすると、となる。 これは、と平面y=1の共有部分のグラフの傾きを表している。 偏微分の基本性質 1変数の微分で成り立った性質のほとんどが偏微分においても成り立つ。 和の微分は微分の和や、定数倍の微分は微分の定数倍などだ。 積の微分や合成関数の微分についても問題なく成り立つ。 2階偏微分 偏微分も通常の微分と同じように2階偏微分が定義できる。 経済学ではそれなりに使う場面も多く、関数の最大化の条件などとして登場する。 以下の話は2変数関数の場合を紹介するが、n変数関数でも同様に成り立つ。 被偏微分関数をf(x,y)とすると、2階偏微分には4通りの方法がある。 x→x、x→y、y→x、y→yの4つだが、これらの値はすべて異なると考えられる。 またこれを、、、、と表す。 あるいは、、、のようにも表す。 x→y、y→xの場合上の表記と下の表記でxとyの順序が異なるのは、下の表記では偏微分の順序をそのまま表しているのに対して、上の表記ではの省略形であるからだ。 つまり上の表現は数式的で、下の表現は形式的なものであると言える。 実は経済学に登場するような数式では、は一致する。 これはヤングの定理と呼ばれている。 これによりどちらの変数での偏微分が先であるかを気にすることなく扱うことができる。
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微分積分 I 1章 微分法 関数の極限 平均変化率 微分係数と接線の傾き 三角関数の極限値 自然対数の底e 合成関数 対数関数の導関数 逆三角関数の定義 関数の連続 中間値の定理 2章 微分の応用 接線と法線 接線の傾きと関数の増減 増減表 円に内接する長方形 曲線の凹凸 凹凸を含めた増減表 媒介変数表示によるグラフ サイクロイド 平均値の定理 3章 積分法 定積分の定義 放物線の区分求積法 微分積分法の基本定理 定積分に関する平均値の定理 無理関数の定積分 4章 積分の応用 図形の面積 2つの曲線に囲まれた図形の面積 曲線の長さ 立体の体積 円柱を切断した部分の体積 四角錐の体積 媒介変数表示による図形の面積 媒介変数表示による回転体の体積 極座標表示 極方程式のグラフ 極方程式のグラフによる面積の公式 広義積分 微分積分 II 1章 関数の展開 2章 偏微分 円群の包絡線 放物線群の包絡線 直線群の包絡線 3章 重積分 4章 微分方程式
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平均律において半音より狭い音程のことを微分音程または微分音と呼ぶ。代表的な例として、半音をさらに半分に割った四分音、半音を3分の1に割った六分音、四分音を半分に割った八分音などがある。なおこれらの日本語での表記にはアラビア数字でなく漢数字が多く使われる。 長二度を3で割った三分音は、その音程でオクターブを均一に割ると半音が現れない。長三度と短三度の間の四分音と基音との関係を中三度と呼ぶ。この二つはアラブ・トルコ・イランなどのイスラーム文化圏や隣接するブルガリアなどの民族音楽での調律において見られる。 トルコのオスマン古典音楽では全音を九等分した九分音（200セント÷9＝約22.22セント）にほぼ近い音程が定義（厳密にはピュタゴラス音律における長2度を九等分している。約203.910セント÷9＝約22.66セント）されるなど、世界各地の民族音楽には様々な微分音が認められるものの、西洋伝統音楽にではギリシアから輸入したエンハーモニックの概念が臨時記号の読み替え程度にしか定着しなかった。「変位して良い音名はBのみ」としたグイド・ダレッツォの六音音階の理論により移調や半音階進行に束縛がかけられ、微分音が正当性を得ることがなかったためである。カルロ・ジェズアルドが公私で作曲語法を使い分けたことも、こういった事情に因っている。 西洋伝統音楽における微分音 [編集] 西洋において このような禁忌を破って行われた微分音の最初の探求には、エンハーモニックを解決すべく考案された16世紀のニコラ・ヴィチェンティーノによる36音音階や、17世紀のクリスティアーン・ホイヘンスによる31音音階などが存在する。しかしこれらはいずれも定着には至らなかった。 微分音が作曲上の素材として再認識されたのは20世紀に入ってからであり、アロイス・ハーバ、イワン・ヴィシネグラツキー他の人々によって、可能性が実作と理論の両面で究められた。現在では現代音楽において、幅広く聴かれるものになっている。 近年では、伝統音楽の範疇を超えたところでも実践が進み、ワルター・カーロスやハーマン・ミラー (Teamouse Chanezumi) などが可能性を追求している。ミラーのWEBサイトで、さまざまな微分音の音階がMIDIで試聴できる。 自然倍音上では、ド（和名ハ）を基音とした場合、第7倍音はシのフラット（変ロ）よりほぼ六分音、第11倍音はファのシャープ（嬰へ）よりほぼ四分音、平均律のそれより低い。よってこれらの微分音程は、平均律と自然倍音の差異として聞き取ることが可能である。また基音に対してこれらの倍音上の音程を演奏する場合は、平均律よりもこれらの微分音に相当する低さの音を演奏した方が自然倍音上にあてはまるため良く響く。訓練された弦楽器や管楽器の奏者は経験上これらの微分音の差異を心得ていることが多い。 上記の自然倍音と平均律との差異に着目した作風として、ジェルジ・リゲティの後期の作風、またスペクトル楽派の作曲家たちおよびその元祖となったジャチント・シェルシの作風が挙げられる。 商業音楽における微分音 [編集] クラシック音楽以外では、特撮番組『電人ザボーガー』の主題歌において見られる。この曲はヘ短調であるが、最後のドミナント和音の直前で、歌手の子門真人が変ニが2回続く部分のうち2回目をわざと四分音ほど下げている。歌詞の1番から3番までの全てのリフレインにおいて同様の歌い方をしているので、故意と確認できる。たとえ歌手が意識していなかったとしても、これはドッペルドミナントの基音であるト（ただしこの場面では変ロを最下音とする第1転回形で現れる）に対して変ニが減5度、つまり異名同音で言う嬰ハの増4度にあたり、自然倍音上では第11倍音に当たるため、四分音下げて歌った方が響きとしてよく馴染むことに拠る。 近年ではKURAU Phantom Memoryのサントラ内で、八分の一音まで用いた楽曲があることが話題となった。 表記法 [編集] 表記は作曲家によって様々であり統一されていないが、現在はフランスを中心にある程度普及された記譜法が成立している。以下はその書き方について述べる。 四分音 [編集] シャープ系 シャープより四分音高い：シャープの記号のうち縦線が3本 シャープより四分音低い：シャープの記号のうち縦線が1本 フラット系 フラットより四分音高い：フラットの記号の左右が逆になった記号のみを記す フラットより四分音低い：フラットの記号の左右が逆になった記号をフラットの左に加える 六分音 [編集] 六分音高い：上向き矢印記号を各臨時記号の左に記す 六分音低い：下向き矢印記号を各臨時記号の左に記す 八分音 [編集] シャープ系 シャープ系より八分音高い：シャープおよびシャープ系四分音記号の一番右の縦棒を上に伸ばし、その棒をもとに上向き矢印を加える シャープ系より八分音低い：シャープおよびシャープ系四分音記号の一番左の縦棒を下に伸ばし、その棒をもとに下向き矢印を加える フラット系 フラット系より八分音高い：フラットおよびフラット系四分音記号の一番左の縦棒を上に伸ばし、その棒をもとに上向き矢印を加える フラット系より八分音低い：フラットおよびフラット系四分音記号の一番左の縦棒を下に伸ばし、その棒をもとに下向き矢印を加える 参考：http //ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E9%9F%B3
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関数y=f(x)を微分することで、その関数の傾きが得られる。 一次関数y=ax+bの場合、微分すると傾きaが得られる。 これはその一次関数のどの部分をとっても、傾きがaであることを意味し、またxがどんな値をとろうとも傾きが変動しないことを示す。 二次関数y=ax^2+bx+cの場合、微分すると2ax+bが得られる。 たとえばこのなかでもy=x^2という関数を例にすると、微分で2xという値が得られる。 これはy=x^2という関数のあるxの箇所の傾きを表すものであり、たとえばx=5の箇所であれば傾きは10であり、x=-3の箇所では-6の傾きであることを示す。 三次関数などでも同様に、微分することで任意のxでの傾きを求めることができる。
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微分積分 「解析入門Ⅰ 基礎数学」 著：杉浦 光夫 出版社：岩波書店 https //www.amazon.co.jp/dp/4130620053 「解析入門Ⅱ 基礎数学」 著：杉浦 光夫 出版社：岩波書店 https //www.amazon.co.jp/dp/4130620061 「軽装版 解析入門Ⅰ」 著：小平 邦彦 出版社：岩波書店 https //www.amazon.co.jp/dp/400005192X 「軽装版 解析入門Ⅱ」 著：小平 邦彦 出版社：岩波書店 https //www.amazon.co.jp/dp/4000051938 「微分積分 共立講座 21世紀の数学」 著：黒田 成俊 出版社：共立出版 https //www.amazon.co.jp/dp/4320015533 「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分」 著：加藤 文元 出版社：数研出版 https //www.amazon.co.jp/dp/4410152297
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ベクトルで微分をするには、元の型を保ったまま展開するのが基本。 これは慣習であって、必ずしもそうとは限らない。列ベクトルを列ベクトルで微分して行方向に展開してしまうこともある。 ヤコビ行列との関係 ヤコビ行列は，独立変数xを横方向に伸ばし，従属変数yは縦方向に展開するのが良いらしい。 この向きは，重積分の変数変換などでは（行列式にしてしまうので）どちらでも支障はないが， テイラー展開などで左から列ベクトルに作用させる場合などには重要である。 Wiki, 幾何学B で出てきたのは次の形だった。 特に幾何学Bでは，転置や逆関数をとったりするから，向きに気をつけてさえいればどっちでもよさそうだった。 しかし，Taylor展開を自然に書くためには，xを横に伸ばす必要性が出てくる。 cf. １次のTaylor展開 行列関数を微分 行列関数Fの行列Aによる微分は、Fを行列RN×Mの各成分aijを引数とする多変数関数とみなして微分することができる。 これを利用して、合成行列関数の微分におけるヤコビ行列の積のようなものが得られると嬉しいが、残念ながら下記の様に成分毎の結果しか得られていない。 Traceをとる方法ではなく、M×N×P×Q個の成分を２つの行列の積として上手く並べる方法は見当たらない（vecを使う方法はある）。 The Matrix Cookbook 式122,126 でもこの形式を用いている。 逆行列による微分では、もう少し計算が進む。 Lem. はXの逆行列X-1のij成分であるとして、 (証明) ここで Y =X-1と置くと、xijはY-1のij成分であることに注意して、 このYをX、xijをと読み替えればよい。 逆行列による微分 (証明) 合成関数の微分公式によって、 この関係式から「系.Fは逆行列で最適化しても変わらない。」が導かれる。 Trの微分 次の交換が基本 detの微分 余因子展開と余因子行列の性質を用いると，次が分かる。 二次形式の微分 二次形式はスカラーであるから，トレースや転置をとっても変わらないことを利用する。 二次形式において、行列を対称成分と反対称成分に分けたとき、反対称成分は相殺してしまうので、表現行列として対称行列のみを考えて一般性を失わない。 方向微分による方法 定義に戻って，FのAにおけるH方向微分（Gateaux微分）を以下で計算する方法も有効である。 この計算で得られるのは，Jacobi行列の拡張に相当する作用素である。 計算結果において，Hは一般に外せない位置にくる。
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※このページは工事中です※ 微分積分学 微分積分学とは 数列の極限(ε-Ｎ論法、有界、上限・下限) 上に有界な単調列は収束+区間縮小法→Bolzano-Weierstrassの定理→Cauchy列 関数の極限(ε-δ論法) 関数とは 合成関数 連続性、片側極限、一様連続 最大値・最小値の存在 中間値の定理 初等関数 逆関数 指数関数、逆三角関数、双曲線関数 微分→準備：関数とは何か 関数の極限 連続・不連続 いろんな関数の微分 Rollの定理、平均値の定理 ロピタル Taylor・マクローリン(無限級数) オイラーの公式 Newton法 積分 級数 偏微分 重積分 ベクトル解析 最初に微分と積分をざっくりやるか？