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幾何学的意味 軸方向の拡大縮小 左からの作用 ＝ 行毎のスカラー倍 右からかければ列毎のスカラー倍になる。 代数的性質 1. 対角行列は可換環（結合的多元環、代数）である。←三角行列としての性格 (i) (ii) (iii) 2. 対角行列は上三角かつ下三角である。 3. 対角行列は対称行列である。 従って特に、正規行列である。 Rem. 三角行列と対称行列とは，全く異質の行列であることに注意！ 対角行列のスペクトル分解 対角行列は正規行列であるから，特にスペクトル分解ができる。 （自明な対角化可能性から明らか） ここから特に， は第一成分を取り出す射影であることなどが分かる。
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このページの内容は書きかけです。 21-1 対角化の復習
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一次独立と直交の関係 内積があれば一次独立系から正規直交系を作り出すことができる。 一方，直交系は一次独立系である。 一次独立にならない（縮退）系でも，適当な摂動を入れて一次独立とみなすことができるが， それを正規直交系にしても，限りなく０度に近い角度を９０度に広げるようなもので， 歪みが大きく表れてしまうことには留意すべき。 半単純 Def. 半単純 線形写像 A V→V（すなわち正方行列A）が半単純とは， Aの固有ベクトルがVの基底をなすこと。 Def. 対角化可能 正方行列Aがある対角行列Dと相似になること。 すなわち正則行列Bがあって， とできること。 Th. 半単純⇔対角化可能 [半単純⇒対角化可能] Aの固有値と対応する固有ベクトルをそれぞれ以下のように並べたものをとる。 このとき， が成り立つ。 固有ベクトルは線形独立なのでPは正則である。 [対角化可能⇒半単純] 正則行列Pと対角行列Dがあって，が成り立っているので， ここから成分を比べて，一次独立なベクトルによって となることが分かる。 固有値 Th. 固有多項式は座標系に依らない 実際，座標変換Tとすれば という関係がある。 このとき， 従って特に，その解である固有値も座標系に依らない。 Prop. 諸量との関係 Prop. 他の固有値との関係 の固有値は の固有値は の固有値は の固有値は （f：多項式） 固有空間と固有ベクトル Def. 固有空間 Aの固有値の１つをλとし，λに対応する固有ベクトル（0を含む）を全て集めた空間 固有空間はVの部分空間であり，固有空間の次元をλの幾何学的重複度という。 一方，固有多項式の解としての重複度をλの代数的重複度という。 Lem. 異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立 同じ固有値に対する固有ベクトルは，必ずしも分からない。 （固有空間の次元が２次元なら，平行なペアもとれるし，一次独立なペアもとれる。） Th. 異なる固有値に対する固有空間どうしは互いに素。 互いに素というのは，直交よりも弱い条件であることに注意する！ つまり，直交補空間とまではいかない。 Cor. 直和分解 Aが半単純であることは，Vが固有空間の直和に分解できることと同値。 Lem. 幾何学的重複度≦代数的重複度 Th. 幾何学的重複度＝代数的重複度 ⇔ 対角化可能 Cor. 半単純の判定法 Aが半単純であることは，以下の条件と同値。 即ち，λiの代数的重複度をmiとして， 各固有値に対し 証明は次元定理を使う。 スペクトル分解 Def. 直和条件 U,V⊂W：sub sp U,Vが直和条件を満たす，あるいは互いに素であるとは，以下が成り立つことをいう。 集合としての互いに素 E∩F=φとは異なることに注意！ Def. 射影 線形写像 P V→V が射影とは，以下を満たすことをいう。 さらに を満たすものを正射影という。 Th. 直和分解 射影の組 {Pi} が以下を満たしているとする。 このとき，異なる射影による像空間は互いに素である。 さらに，次を満たしているとする。 このときVは像空間の直和に分解される。 逆に，Vの直和分解があれば，上記２つの条件を満たす射影の組が唯一存在する。 Th. スペクトル分解 Aが半単純 ⇔ ⇔ 従って，Aは次のように分解できる。 これをスペクトル分解という。 結局，Aが半単純であることは，Aがスペクトル分解できることと同値。 Prop. スペクトル分解における射影行列の構成法 ただし，分母・分子のi番目とは除く！ 正規行列の場合 Def. 正規行列 Hermitian共役と自分との内積が可換になる行列。 Ex. 正規行列になる行列のクラス 実対称行列： エルミート行列： 直交行列： ユニタリ行列： Prop. エルミート行列の固有値は全て実数 なかんづく，実対称行列の固有値は全て実数。 Prop. ユニタリ行列の固有値は絶対値が１ Th. 正規行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。 内積としては標準内積を入れる。 Cor. 正規行列の固有空間は互いに直交する。 直交直和分解 Th. 正規行列はユニタリ行列で対角化可能 なかんづく，実対称行列は直交行列で対角化可能 Th. 正規行列の正体 Aが正規行列であるための必要十分条件は，正射影の組があって，以下を満たすこと。
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このページの内容は書きかけです。 6-3 対角行列・スカラー行列 06-3-1 対角行列・スカラー行列
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行列の対角化（覚書） 線形代数の基礎的な事項とはいえ，学生時代に勉強しなかったために，その意義が見出せぬまま「わけわからん！」状態で現在に至っていましたが，ようやくわかってきた気がします。要するに座標の2次形式の「積の項」を座標の回転でなくすことに相当するわけですね？ 運動方程式の混在した座標の分離や計量テンソルの対角化にも応用できるというわけで。 物理のかぎしっぽ Wikipedia 対角化 次正方行列 に対して、 次対角行列 と正則な 次正方行列 が存在して とできるとき、行列 は対角化可能であるという。 座標 に対して，対称行列 をはさんだ2次形式 があるとき，座標の回転 を施して，対角行列 を用いて と書き換えることができる。このとき， の対角成分を と書くと， したがって， は に関する方程式 の解である。 「かぎしっぽ」質問から例題を拝借。 一端を固定したばねの他端に質点１をつけ，さらにもうひとつのばねをつけてその先に質点２をつけた連成振子を考える。ばね定数はどちらも ，質点の質量は１，２とも とする。 ｜VVVVVVVVVV ● VVVVVVVVVV ● ２つのばねが自然長のときのつりあい位置を基準として，質点１，２の変位を ， とすると， 系のポテンシャルエネルギーは となるが，座標 を直交座標にみたて，回転 によって の対角化をはかる。 すなわち， となるような と をみつけようというわけである。 とおけば， の連立方程式が得られて を得るわけだが， は の解だから，これを解いてもいいわけだ。 となった。 名前 コメント
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このページの内容は書きかけです。 19-3特性方程式と固有値、対角化 19-3-1特性方程式の定義 19-3-2特性方程式の解は固有値である 19-3-3特性方程式が重根を持たない場合の行列の対角化 19-3-4対角化可能 19-3-5対角化可能でない行列の例
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行列の対角成分を角丸長方形で囲み，塗る． #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) diagonal_element.zip Putpoint("A",[2,2]); Putpoint("B",Rotatepoint(A,pi/4,[0,0])); Putpoint("C",[B.x+2*sqrt(2)-0.3,B.y-sqrt(2)/4]); Ovaldata("1",[B,C],["nodisp",1.7]); ／／ 点Bを中心として，点Cを右下端とする角丸長方形を作る． Rotatedata("1","ov1",-pi/4); ／／ 角丸長方形を原点を中心として-pi/4だけ回転させる． Setcolor([0.1,0,0,0]); Shade(["rt1"]); ／／ 角丸長方形の内部を塗りつぶす． Setcolor([0,0,0,1]); Putpoint("D",[2,2]); Putpoint("E",[-0.1,3.9]); Ovaldata("2",[D,E],["nodisp"]); ／／ 点Dを中心として，点Eを左上端とする角丸長方形を作る． PutonCurve("F","ov2"); Putpoint("F",[E.x,4-E.y]); ／／ 角丸長方形の左下端の点をとる． Partcrv("1",E,F,"ov2"); ／／ 角丸長方形の左側の部分曲線を描く． PutonCurve("G","ov2"); Putpoint("G",[2*D.x-F.x,F.y]); PutonCurve("H","ov2"); Putpoint("H",[G.x,E.y]); Partcrv("2",G,H,"ov2"); ／／ 角丸長方形の左側の部分曲線を描く． PutonCurve("I","ov2"); I.y=2; Expr(["I","w","A="]); ／／ "A="を書く． xLst=[10,10,10,10]; yLst=[10,10,10,10]; rmvL=["c0r0r4","c1r0r4","c2r0r4","c3r0r4","c4r0r4","r0c0c4","r1c0c4","r2c0c4","r3c0c4","r4c0c4"]; Tabledata("",xLst,yLst,rmvL); Putrowexpr(1,"c",["a_{11}","a_{12}","\cdots","a_{1n}"]); Putrowexpr(2,"c",["a_{21}","a_{22}","\cdots","a_{2n}"]); Putrowexpr(3,"c",["\vdots","\vdots","\ddots","\vdots"]); Putrowexpr(4,"c",["a_{n1}","a_{n2}","\cdots","a_{nn}"]); ／／ 行列を作る． Setwindow([-1,4.2],[-0.2,4.2]);
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このページの内容は書きかけです。 20-1対称行列とエルミート行列の対角化 20-1-1 対角行列は直交行列で対角化できる 20-1-2 定理の証明
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累積： - ＿＿＿ 昨日： - ＿＿＿今日： - 左右・前後・上下・対角の相関関係 体は自然、臨床は対話 【1】体は自然 [2] 動作負荷の分担原則 (6) 左右・前後・上下・対角の相関関係 １．はじめに ２．左右の相関、巨刺が代表例 ３．前後の相関、裏側の痛みは感じにくい ４．上下の相関横隔膜が境目のとき 足と胴の境目が、上下相関の境目のとき ５．対角の相関 ６．おわりに お知らせとお願い術伝流鍼灸操体講座で患者さん役を募集 感想など １．はじめに 左右・前後・上下と、それぞれの対角についての関係につい て書いていきます。 このうち、左右・前後については、頭や胴に現れるときには、 横輪切り相関の一部になります。そこで、左右については、主 に手足を中心に書いていきます。 ２．左右の相関、巨刺が代表例 左右の相関は、例えば、左の膝が痛いときに、右足の同じ所 を刺激すると良くなるということです。鍼の世界では、巨刺 （こし）と呼ばれ大昔から知られた技法です。 別に鍼でなくても、灸でも手技でも同じ現象は起きます。大 学のラグビー部の顧問をされていた人の本には、試合中に痛い と言われたら先ず棒で反対側を叩くと書いてありました。色々 な所で使われているようです。 そんなに強い刺激でなくても、円皮鍼などでも十分に効果を 出せます。多くの場合には反対側にもツボが出ていて、それを 見付けられると上手くいきます。 私の経験では、肘膝から先、特に、手首・足首から先に辛さ があるときに特に効果的なように思います。 ３．前後の相関、裏側の痛みは感じにくい 次は、前後ですが、これは、頭や胴に比べて手足に出ること は比較的少ないように思います。 ただ、膝のように、痛みが膝の表側の皿の周りにあるように 感じるときでも、原因は膝裏の痼りで、膝裏の痼りを解さない とスッキリ良くはならないなどの例があります。これは、肘や 肩などでも見られます。 表側の痛みを感じるところをやっても、すっきり治らないと き、特に「その辺り全体が痛い」と言って痛む場所を特定でき ないときや、「ずっと奥の方が痛い」という表現をされるとき には、裏側の痼りが原因の場合が多いです。 成ってから時間が経った五十肩などのときにも、そういう表 現をされる人がいますが、そういう場合には、脇の下に痼りが あり、筋肉の溝に沿って上腕から肘の手平側まで点々と痼りが 列を作っていることが多いです。 膝裏や脇の下の側の痛みは意識できずに、膝の皿側や肩の痛 みとして感じるようです。肩の場合には、前後というよりも表 裏の相関と言った方が良いかもしれませんが。 ４．上下の相関 次は、上下。これは、例えば、右膝の痛みに対して右肘の同 じような所にツボを探して、そこを刺激すると右膝の痛みが減 るというものです。 中国の本には、膝痛の人に同じ側の肘に鍼したまま階段を上 り下りしてもらうという方法が出ていました。 この場合には、膝と肘は解剖学的な構造が少し違うので、左 右相関よりも上下反対側のツボは見付けにくくなります。 が、大雑把に、拇指側か小指側か、肘膝の胴体寄りか手首足 首寄りかで見当を付けて、その辺りで、最も凹んでいる所を探 すと見付けやすいです。 このようなツボの探し方は、後で詳しく説明します。 この上下については、同じ側の手と足の相関関係以外に、頭 や胴体にも色々な上下相関を見ることができます。 横隔膜が境目のとき 胴も含めての上下相関の場合の境目は、一つは横隔膜の辺り になります。 この場合には、肩胛骨と骨盤が相関し、首や頭が尾骨の周り に対応します。 灸で痔を治すときに頭頂部の百会というツボを使うのですが、 それは、この上下相関を利用しています。 また、頭や首の症状が尾骨付近で改善することもあります。 腹側では、腕と胸の境目の辺り（ウムネ）が、足と腹の境目 の辺り（鼡径部）に対応したりします。 私の次男は、呼吸器の状態が悪く胸の腕寄りに反応があった 話を前に書いきましたが、足と腹の境目の鼡径部が今も縮んで いて伸びにくいです。これも上下相関かなと思います。 足と胴の境目が、上下相関の境目のとき 上下相関の境目は、もう一つあります。それは、足と胴の境 目です。この相関については、橋本敬三先生の「力学的医学の 構想」にも出てきます。 前に紹介した側湾の方の下腿裏側・脹ら脛の左右差が酷かっ たことなども例になると思います。 一般的に良く見られるのは、頭痛の場合に、足首の周りや足 甲にツボが出ていて、そのツボに鍼灸などしていると頭痛が改 善できることです。 ウオノメが原因の額の痛みの例が出ていた本もありました。 逆に、足首や足甲の痛みの場合に、頭にツボが出ていて、そ こへの刺激で足の方の痛みが減ったりもします。 この辺りは、経絡的な縦切り相関とも関係しますが、ただ、 縦切りの中でも最も遠い頭と足首から先が相関するので、上下 と言う視点で見てもよいかなと思います。 ５．対角の相関 対角の相関は、左右・前後・上下の組みあわせになります。 胴の部分では、右腰痛の人の場合に原因が左下腹にあり、そ こを改善しないと十分には治らない場合などが例になります。 同じ側に出る場合の人が多いですが、１／３位の人は対角に出 ます。女性で瘀血証がある場合の腰痛などに見られます。 手足の場合では、右足首の捻挫を左手首への鍼灸で治すとき などが典型例です。今までの相関と組み合わせて、対角→上下→ 左右の順で、だんだん患部に近づいていくと、かなり改善して しまいます。 例えば、調べたりするだけで痛がる右足首の捻挫なども、右 外踝前側下寄りを伸ばしたことが切っ掛けの場合には、左手首 の小指寄りの窪み近くに出ているツボ、右手首の小指寄りの窪 み近くに出ているツボ、左足首の外踝前側下寄りに出ているツ ボの順で、鍼灸や操体をしていくと、調べたりする位は痛くな くできるようになります。 ６．おわりに 今回は、左右、前後、上下、それらの組み合わせの対角の相 関関係を説明しました。 次回は、ある動作をするときに一緒に動く所同士の相関関係 です。 ＞＞＞つぎへ＞＞＞動作時に連動する筋肉内 ＞＞＞目次へ・・・・・・・・・体は自然、臨床は対話 ＞＞＞このページのトップヘ・・左右・前後・上下・対角の相関関係 ＞＞＞術伝HPトップへ ・・・・トップページ 術伝HP内検索：上の@wikiメニューの「wiki内検索」 お知らせとお願い 術伝流鍼灸操体講座で患者さん役を募集 術伝流鍼灸操体講座は、実践面を重視しています。実際に症状が出て いる方の治療を見たほうが勉強になります。そこで、講座で患者さん役 をしてくださる方を募集しています。 くわしくは、術伝流のモデルをみてください。 よろしくお願いします。 感想など 感想などありましたら、術伝事務局までメールをください。 よろしくおねがいします。 術伝事務局メルアド ：jutsuden-jmkkあまググどこ （この行は無視してください。akwba、laemfro、thgosewibe） （「あま」を「@」に、）（以下無視kuaniu、nteyu、lPpkiumo） （「ググ」を「googlegroups」に、）（以下無視mesiun、kiuen） （「どこ」を「.com」に変えて送信してください。） （面倒をおかけし申し訳ありません。迷惑メール対策です） 〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜 ＞＞＞術伝HPトップへ ・・・・トップページ
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このページの内容は準備段階のものです。数学書房「考える線形代数」をお買い求めください。 9-2. 対角行列の行列式 ＜9-1. 行列式の定義｜9-3. 転置行列の行列式＞ ＜9-1. 行列式の定義｜9-3. 転置行列の行列式＞