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加法定理 加法定理(+) 加法定理(-) 加法定理テスト 加法定理の応用 三角関数の合成 2倍角の定理
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3辺の長さが7、3、Xで、1つの内角が120°の三角形がある。Xの値を求めろ △ABCにおいて a=5 b=7 c=3の時、角Bの大きさを求めなさい 86 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 22 31 どのように解くかを教えてほしいです。。。 3辺の長さが7、3、Xで、1つの内角が120°の三角形がある。Xの値を求めろ 87 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 26 01 正弦定理、余弦定理の2パターンある その中から1つを選択すればよいので 解決策としては2C1(通り) すなわち2通りある。 88 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 26 49 両方教えてください 89 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 31 29 しちごさんの三角形には120度がある だから7が最大辺のとき、x=5 xが最大辺のときは√61とかそんくらいだったはず 90 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 34 33 答えはこの問題が載っている本の解答書にX=5、√79と書かれていて・・・ でもそこに至るまでの解説が一行もないから、それを教えてもらいたいな、と・・・ 92 : 132人目の素数さん [sage] 2011/01/07(金) 16 42 13 90 7、3、xの三角形だと、3の対角は120°にはなり得ない。 従って3と7の間の角か3とxの間の角のどちらかが120°。 222 : 132人目の素数さん [] 2011/01/27(木) 00 42 33 △ABCにおいて a=5 b=7 c=3の時、角Bの大きさを求めなさい 上記の問題を解こうと思って調べてるんですがこれは数学のなんという分野?をしらべたらいいのでしょうか?? またできたら解き方も教えて貰えると非常に助かります。 223 : 132人目の素数さん [] 2011/01/27(木) 00 53 21 222 分野は数1の「三角比と図形」 そこで学習する「余弦定理」を使えばいい。 B=120°
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逆関数定理 写像の微分が逆を持てば, 写像自身が局所的に逆写像を持つ 逆関数定理の基本アイデア 1. 全単射なら(なめらかな)逆関数(逆写像)が存在する。 1 . 特に一変数のとき(逆関数の微分)=(微分の逆数)はこの定理の系 2. 定義域・値域を適当に制限することで,逆写像を作れることが多い。 3. 線形写像 Ax の逆写像 A-1 が存在するための条件は,det A ≠ 0 4. 一般の写像でも,det f (a) ≠ 0 のとき,適当な近傍で逆写像が存在する! 微分が0になる点a(放物線の頂点など)では、aを含む任意のε近傍である2点s,tがとれて、 f(a+s)=f(a+t)とできてしまう。つまり単射にならないので逆写像は作れない。 6. 実は,陰関数定理の系である。 Th. 逆関数定理(梅原・山田「曲面と曲線」裳華房) (1) 点aを含む区間上で定義されたsmooth関数f(x)が f (a)≠0 を満たすならば, f(a)を含む区間で定義されたsmooth関数g(y)で,g(f(x))=x, f(g(y))=y を満たすものが唯一存在する。 さらに,導関数の微分は g (y)=1/f (g(y)) で与えられる(逆関数の微分)。 (2) 平面上の点Pを含む領域Dで定義されたsmooth写像f D→R2が,J(f)(P)≠0 を満たすならば, f(P)を含む領域D で定義されたsmooth写像g D →R2で,gfとfgがともに恒等になるものが存在する。 陰関数定理 写像の微分が全射であれば, 写像自身が局所的に全射である 陰関数表示ないしパラメータ表示された多様体が実際になめらかであることを示すための定理。 方程式が1本あると,変数が1つ消せる事実は,この定理に依る。 例えば,sinとかを含むときは,陰関数定理を使う。 F(x,y)=0において,陽関数y=φ(x)が存在するための条件 Fの零点集合から,グラフ(多様体)を作り出すための条件として捉えることもできる。 Th. 陰関数定理(梅原・山田「曲面と曲線」裳華房) Rnの点P=(p1,...,pn)を含む領域D上で定義されたsmooth関数F D→Rが,次を満たすとき, P =(p1,...,pn-1)のある近傍U(P を含む領域)で定義された関数fが存在して,U上で次を満たす。 さらに,点Pの十分小さい近傍では, の解は次を満たすものに限る。 系(Lagrangeの未定乗数法) 参考資料 明大「多変数関数の微分積分学講義」 東工大「偏微分方程式論第一回講義」
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余弦定理 16.01.30 cosine_rule.cdy #ref error :ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (title=) cosine_rule.zip 余弦定理の証明に使う図をつくる 画面に幾何点A, B, Cをとる Putpoint("H",[C.x,0]); // CからABに下ろした点Hを幾何点にとる Listplot([A,B,C,A]); Listplot([C,H]); Listplot([A,H]); Listplot([B,H]); Paramark([C,H,A]); // 垂直のマークをつける Bowdata([B,C],[1,1.2,"Expr=a","dr,0.5"]); Bowdata([C,A],[1,1.2,"Expr=b","dr,0.5"]); Bowdata([A,B],[1,1.2,"Expr=c","dr,0.5"]); // 弓を描いて中央に文字を書き入れる Letter([A,"s1w1","A",B,"s1e1","B"]); Letter([C,"n2","C",H,"n1e1","H"]);
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標本化定理ともいう. 「入力信号として最大周波数fMAXまでの交流信号をA-D変換したのち,これをD-A変換して戻したとき,原信号が忠実に再生できるためには,少なくとも2fMAX以上のサンプリング周波数fSでサンプリングする必要がある」という定理. 例えば電話の場合fMAX=3.2kHz,fS=8kHz,CDの場合fMAX=20kHz,fS=44.1kHz,テレビの場合fMAX=4.2MHz,fS=14.318MHzを採用している. 周波数fの交流信号をサンプリング周波数fSでサンプリングする場合のもっとも基本的な定理.目的信号の周波数の少なくとも2倍の周波数以上でサンプリングしないと現信号の情報が失われる. 例えば100kHzの信号なら,200kHz以上のサンプリング・レートでサンプリングし,A-D変換する必要がある.
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定理風月陣 ていりふうげつじん 概要 ルイの奥義。風の魔導術式を展開し豪風で敵を吹き飛ばして攻撃する。 名称 区分 基礎特技 前提 装備限定 消費奥義ゲージ 備考 定理風月陣 奥義 《クリティカルキャスト》 定理炎熱陣プリースト13以上フェアリーテイマー13以上 なし 20% ▼条件選択型 効果 《クリティカルキャスト》を宣言したキャラクターの望んだタイミングで一度だけ魔法のダメージに、[(プリーストレベル+フェアリーテイマーレベル)×4]点のボーナスを得ます。 風属性の魔法を使用していた場合精神抵抗による半減が発生しません。 修得ボーナス 《クリティカルキャスト》を宣言した魔法攻撃の1回目のダメージロールの出目+1(累計+3)する。 習得特技数+1 奥義一覧へ Dominateメインメニューへ
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NがGの正規部分群であるときにG/Nが分裂するとは,Gが部分群Hを持ち,HとNの半直積がGになることをいう。そのためにはG=HNとH∩N=1が必要十分である。HをG/Nの補群という。|N|と|G/N|が互いに素であるとすれば,Hが補群になるためには|H|=|G/N|が必要十分である。 NがGの正規部分群であり,|N|と|G/N|が互いに素であるとき,以下の定理が成立する。 (定理1) G/Nは分裂する。 (定理2) Nが可解であればG/Nの補群は全て互いに共役である。 (定理3) G/Nが可解であればG/Nの補群は全て互いに共役である。 定理1は拡大G/Nの2次コホモロジー群が自明であることに帰着し,定理2は1次コホモロジー群が自明であることに帰着する。定理3はホールの定理の後半に似ているが,Nの可解性を要求しない。しかし,その証明はホールの定理の証明の敷衍である。 定理1の証明 G/Nを最小の反例とする。 NがGの正規部分群Mを真に含むと仮定すれば,(G/M)/(N/M)が補群H/Mを持ち,そのH/Mも補群Kを持つ。|K|=|G/N|であるからKはG/Nの補群である。従い,Gが反例であるためにはNがGの極小正規部分群でなければならない。 PをNのシロー部分群とすればフラッチニ論法によりG=NG(P)Nとなり,NG(P)≠GであればNG(P)/NG(P)∩Nが補群を持ち,同型定理によりG/N=NG(P)N/Nも補群を持つ。従い,Gが反例であるためにはNG(P)=Gでなければならない。PはGの正規部分群であり,Pの中心Z(P)もGの正規部分群であり,Nの極小性によりN=Z(P)であるからNは可換である。 G/Nの元をx,y,zなどの簡単な記号で表す。また,各剰余類xの代表元を任意に決めてs(x)と書く。任意のx∈G/Nにつきs(x)N=xである。 f(x,y)=s(x)s(y)s(xy)−1とする。 s(xyz)=s(x)s(yz)f(x,yz)=s(x)s(y)s(z)f(y,z)f(x,yz) s(xyz)=s(xy)s(z)f(xy,z)=s(x)s(y)f(x,y)s(z)f(xy,z)=s(x)s(x)s(z)f(x,y)s(z)f(xy,z) 両式の右辺を比べてf(y,z)=f(x,y)s(z)f(xy,z)f(x,yz)−1となり,f(x,y)∈Nに注意しつつ, xを動かして総積を作るとf(y,z)|G/N|=g(y)s(z)g(z)g(yz)−1となる。但し,g(y)=Πxf(x,y)とする。 |G/N|と|N|が素であると仮定しているから|G/N|r≡1となる整数rがあり,h(y)=g(y)rとすると,f(y,z)=h(y)s(z)h(z)h(yz)−1となる。 {s(x)h(x)−1 | x∈G/N}は群を成す。 定理2の証明 G/Nを最小の反例とし,HとLをG/Nの補群とする。N′をNの交換子群とする。Nが可解であると仮定しているからN′≠Nである。また,N′はNの特性部分群であるからGの正規部分群である。 HN′/N′とLN′/N′は(G/N′)/(N/N′)の補群である。N′≠1であればHN′/N′とLN′/N′が互いに共役であり,HとLも互いに共役である。従い,G/Nが反例であるためにはNが可換でなければならない。 Hが同じ剰余類と二元以上で交わればHとNが自明でなく交わることになる。また,HがG/Nと同じだけの元を持つには各剰余類から一元づつを拾わなければならない。Lについても同様である。Hの各元を同じ剰余類に属するLの元に対応させる写像をtとする。 h(x)=x−1t(x)∈Nとして,xyh(xy)=t(xy)=t(x)t(y)=xh(x)yh(y)=xyh(x)yh(y)からh(xy)=h(x)yh(y)を得る。 rを|N|に対する|H|の逆数とし,u=(Πxh(x))rとする。 xを動かして総乗を取ればu=uyh(y)となり,t(y)=yh(y)=yuである。即ち,LはH の共役である。 定理3の証明 G/Nを最小の反例とし,HとLをG/Nの補群とする。|N|と|G/N|が互いに素であることを仮定している。また,G/Nが可解であることを仮定している。 NがGの正規部分群Mを真に含むと仮定すれば,HM/MとLM/Mは共に(G/M)/(N/M)の補群であるから互いに共役であり,LxM=(LM)x=HMとなるx∈Gがある。HMはHN=Gより真に小さい。HとLxは共にHM/Mの補群であるから互いに共役である。従い,G/Nが反例であるためにはNがGの極小正規部分群でなければなない。 R/NをG/Nの極小正規部分群とする。R/Nは可解群の極小正規部分群であるから可換な準素群である。R/Nはp群であるとする。 R=G∩R=HN∩RN=(H∩R)Nであり,Nが正規であるから,H∩Rの位数はR/Nの位数に等しい。L∩Rについても同様である。 H∩RとL∩Rは共にRのシローp群であるから互いに共役であり,(L∩R)y=H∩Rとなるyがある。 RはGの正規部分群であるから,H∩RはHの正規部分群である。 また,Ly∩R=(L∩R)yはLyの正規部分群である。 KをP=H∩R=(L∩R)yの正規化群とする。 PがGの正規部分群であればHPは群になり,その位数は|H|と|P|の公約数であるが,|P|と|G|/|H|=|N|が互いに素であるから|HP|=|H|となるしかない。従い,HはPを含み,Lも同じくPを含む。H/PとL/Pは共に(G/P)/Nの補群であるから最初と同じ議論によりHとLが共役になる。 PがGの正規部分群でなければKはGより真に小さく,HとLyは共にK/N∩Kの補群であるから互いに共役である。即ち,反例Gは存在しない。 定理2の系 HをG/Nの補群とする。Gの部分群H′の位数がHの位数の約数であればH′を含むHの共役がある。 ∵ LN=LN∩G=LN∩HN=(LN∩H)Nであり,LとLN∩Hは共にLN/Nの補群である。従い,L=(LN∩H)gとなるgがあり,L∈Hgである。
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ベイズの定理 概要 1763年に発表された確率論の定理。 = 事象 が発生する確率(事前確率) = 事象 が起きた後での、事象 の確率(事後確率) とし、ベイズの定理によれば、ならば、 が成り立つ。
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フェルマーの最終定理(大定理) 定理内容 n 2において X^n+Y^n=Z^n を満たす3つの自然数X,Y,Zは存在しない おおまかな歴史 1665:フェルマーの死後、彼が愛用していた数論の余白に書き込まれた定理が複数発見される。 ↓ 息子が本として出版する。 素数定理など、多数の定理が証明されるも、最終定理だけ未証明のまま残る。 フェルマーによると証明済みらしいが、誰にも証明方法が分からない。 ↓ 1753:レオンハルト・オイラーがn=3の場合の証明をする。 ↓ ソフィー・ジェルマンが、無限に存在する素数の切り崩し方を示す。 1832:ディリクレ、ルジャンドルがそれぞれ独自にn=5の場合の証明をする。 ↓ 1847:ラメがn=7の場合を証明する ↓ クンマーがnが正則素数である場合の証明をする。 また、100以下の非正則素数を含む自然数に対する証明もする。 クンマーは1856(1850?)にフランス科学アカデミーから最終定理証明者の賞金を、不完全であることを承知で授与され、受け取る。 ↓ 1955: すべての楕円曲線はモジュラーである。 という谷山・志村予想(志村のみ、とも)が唱えられる ↓ 1984:フライが谷山・志村予想を証明することは最終定理を証明することと同義だと主張、リベットが証明する。 再び最終定理が数学界の中心的議題となる ↓ 1993:アンドリュー・ワイルズが講義で最終定理の証明を行うが、1カ所欠陥が見つかる。 1994:欠陥を修復し、ワイルズが証明に成功。
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定理流砂陣 ていりりゅうさじん 概要 ルイの奥義。土の魔導術式を展開し流砂で敵を飲み込み攻撃する。 名称 区分 基礎特技 前提 装備限定 消費奥義ゲージ 備考 定理流砂陣 奥義 《クリティカルキャスト》 定理風月陣プリースト15以上フェアリーテイマー15以上 なし 25% ▼条件選択型 効果 《クリティカルキャスト》を宣言したキャラクターの望んだタイミングで一度だけ魔法のダメージに、[(プリーストレベル+フェアリーテイマーレベル)×5]点のボーナスを得ます。 土属性の魔法を使用していた場合精神抵抗による半減が発生しません。 修得ボーナス 《クリティカルキャスト》を宣言した魔法攻撃の1回目のダメージロールの出目+1(累計+4)する。 習得特技数+1 奥義一覧へ Dominateメインメニューへ